Zadanie 1 Dla belki przedstawionej na rysunku, stosując metodę

Zadanie 1 Dla belki przedstawionej na rysunku, stosując metodę

Zadanie 1
Dla belki przedstawionej na rysunku, stosując metodę Clebscha, sporządzić
wykresy siły tnącej i momentu gnącego, wyznaczyć strzałkę ugięcia w miejscu
przyłożenia siły F oraz kąt obrotu przekroju w punkcie A.
Dane: q=0,05 [MN/m], F=0.05[MN], L=0.8[m], EI=0.6[MNm2]
Belkę należy uwolnić od więzów:
- w punkcie A podporę przesuwną zastępujemy reakcją Ray
- w punkcie B utwierdzenie sztywne zastępujemy parą reakcji Rbx , Rby oraz
momentem utwierdzenia Mu
Zapisujemy równania równowagi (1):
(suma rzutów sił na oś x i y, suma momentów względem punktu B)
∑F
x
= 0:
∑ Fy = 0 :
∑M
b
= 0:
Rbx = 0
1
Ray + Rby − F − qL = 0
2
1
1 3
F L + qL L − Ray L − M u = 0
2
2 4
(1)
Zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne ponieważ są trzy
równania równowagi i cztery niewiadome: Ray , Rbx , Rby , Mu. Brakującą
zależność uzyskamy wykorzystując równanie linii ugięcia.
Zgodnie z metodą Clebscha, obciążenie ciągłe, jeżeli jest to konieczne,
należy przedłużyć do końca belki, dokładając na przedłużonym odcinku
obciążenie ciągłe o przeciwnym zwrocie:
Równanie momentu gnącego ma postać:
2
1
1 
1 
1 

Mg ( x) = − qx 2 + Ray x |1 + q  x − L  − F  x − L  |2
2
2 
2 
2 

(2)
Wyrażenia od początku do |1 odnoszą się do pierwszego przedziału (0≤
x≤0.5L), natomiast od początku do |2 dotyczą drugiego przedział (0.5L≤x≤L).
Równanie różniczkowe osi ugiętej:
EI
d2y
= − Mg ( x)
dx 2
(3)
2
d2y 1 2
1 
1 
1 

EI 2 = qx − Ray x |1 − q  x − L  + F  x − L  |2
dx
2
2 
2 
2 

(4)
Całkujemy pierwszy raz (nie rozwijając nawiasów!):
3
2
dy
1
1
1 
1  1 
1 
EI
= C + qx3 − Ray x 2 |1 − q  x − L  + F  x − L  |2
dx
6
2
6 
2  2 
2 
(5)
Całkujemy drugi raz:
4
3
1 4 1
1 
1  1 
1 
EIy = Cx + D +
qx − Ray x 3 |1 − q  x − L  + F  x − L  |2
24
6
24 
2  6 
2 
(6)
W równaniach (5) i (6) niewiadomymi są stałe całkowania C i D oraz Ray.
Ze względu na sposób podparcia belki mamy trzy warunki brzegowe:
- w punkcie A (x=0) znajduje się podpora przesuwna odbierająca możliwość
przemieszczenia pionowego punku A:
y x =0 = 0
(7)
- w punkcie B (x=L) belka jest utwierdzona sztywno – ograniczenia mamy więc
na przemieszczenie pionowe i kąt obrotu:
y x=L = 0
ΘB =
dy
dx
(8)
=0
(9)
x= L
Podstawiając warunek (7) do równania (6) (ponieważ warunek ten dotyczy
pierwszego przedziału, równanie (6) bierzemy do |1 ) otrzymujemy:
D=0
(10)
Następnie wstawiamy np.: warunek (9) do (5) (dotyczy drugiego
przedziału, więc uwzględniamy całe równanie – do |2) i wyliczamy C:
C=
24 Ray L2 − 6 FL2 − 7 qL3
(11)
48
Wykorzystując (11) oraz warunek (8) otrzymujemy równanie:
24 Ray L2 − 6 FL2 − 7 qL3
48
4
3
1
1
1 1  1 1 
L + qL4 − Ray L3 − q  L  + F  L  = 0
24
6
24  2  6  2 
(12)
pozwalające wraz z równaniami równowagi (1) wyznaczyć wartości reakcji i
momentu utwierdzenia:
Ray =
40 F − 41qL
= 0, 0284[MNm]
128
Rby =
88F − 23qL
= 0, 0416[MNm]
128
24FL + 7qL2
Mu =
= 0,0092[MNm]
128
oraz:
24FL2 + 11qL3
C=
= 0,00137[MNm2 ]
768
Strzałkę ugięcia pod siłą F (x=0.5L) obliczamy z równania (6):
y x = 0.5 L
1
=
EI
4
3
 1
1 1  1
1  
 C L + q  L  − Ray  L   = 0, 497[mm]
24  2  6
2  
 2
Kąt obrotu przekroju w punkcie A (x=0) wyznaczamy z zależności (5):
ΘB =
dy
C
|x =0 =
= 0, 002284rad
dx
EI
Siła tnąca:
1 

T ( x ) = − qx + Ray |1 + q  x − L  − F |2
2 

T (0) = Ray = 0, 0284[MN]
1
1 
T  L  |1 = Ray − ql = 0, 084[MN]
2
2 
1
1 
T  L  |2 = Ray − ql − F = −0, 0416[MN]
2
2 
T ( L ) = − Rby = −0, 0416[MN]
Przebieg siły tnącej
Wartości momentu gnącego w odpowiednich przekrojach określa równanie (2):
2
1
1 
1 
1 

Mg ( x) = − qx 2 + Ray x |1 + q  x − L  − F  x − L  |2
2
2 
2 
2 

Mg ( x = 0) = 0
1
1
1 
Mg  L  = − qL2 + Ray L = 0, 00736[MNm]
8
2
2 
Mg ( L ) = − M u = −0, 00925[MNm]
Maksymalny moment gnący wynosi:
Mg max =| Mg ( x = L ) |= 0, 00925[MNm]
Przebieg momentu gnącego – w przedziale <0≤x≤0.5L> paraboliczny, w przedziale <0.5L≤x≤L> liniowy