)( )( s s s Bu AI x − = )()( )( ss s uG x =

Opis własności dynamicznych (1)
Portret
fazowy
Równanie(a) u(t)
różniczkowe
Równanie
charakterystyczne
Transmitancja
u(s)
operatorowa
Bieguny
na płaszczyźnie
Im(Re)
Funkcja
x(t)
Charakterystyki
czasowe
Funkcja
x(s)
np. odpowiedzi
skokowe,
impulsowe
rozwiązanie analityczne
charakterystyka czasowa
położenie biegunów
portret fazowy
przekształcenie Laplace'a,
położenie biegunów
transformata rozwiązania, przekształcenie odwrotne
rozwiązanie symulacyjne
charakterystyki częstotliwościowe
1
Układ równań stanu / transmitancja – własności obiektu
 x&1 (t )  − a1
 x& (t ) =  b
 2   1
a 2   x&1 (t )  1 0  u1 (t ) 
+
− b2   x& 2 (t ) 0 1 u 2 (t )
s 2 + (a1 + b2 ) s + a1b2 − b1a 2 = 0
sx( s ) = Ax( s ) + Bu ( s )
x( s) = (sI − A )−1 Bu( s)
x( s) = G ( s)u( s)
s 2 + (a1 + b2 ) s + a1b2 − b1a2 = 0
( s + a1 ) x1 ( s) = a2 x2 ( s ) + u1 ( s )

( s + b2 ) x2 ( s) = b1 x1 ( s) + u 2 ( s)
M 1 ( s ) x1 ( s ) = a2 x2 ( s) + u1 ( s )

M 2 ( s ) x2 ( s ) = b1 x1 ( s ) + u2 ( s)
x1 ( s ) =
M 2 ( s)
a
u1 ( s ) + 2 u2 ( s )
M (s)
M (s)
x2 ( s) =
b1
M (s)
u1 ( s ) + 1 u2 ( s )
M (s)
M ( s)
M ( s) = M 1 ( s ) M 2 ( s ) − b1a2
2
Układ równań stanu / transmitancja – „struktura” obiektu
 x&1 (t )  − a1
 x& (t ) =  b
 2   1
a2   x1 (t )  1 0 u1 (t ) 
+
− b2   x2 (t ) 0 1 u 2 (t )
u1
x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t)
u2
X 1 ( s) =
X 2 (s) =
x1
x2
s + b2
a
U1 ( s) + 2 U 2 ( s)
M (s)
M (s)
u1
b1
s + a1
u2
U1 ( s ) +
U 2 (s)
M ( s)
M (s)
M ( s) = s 2 + (a1 + b2 ) s + a1b2 − b1a2
X 1 ( s) = G11 ( s)U1 ( s ) + G12 ( s )U 2 ( s)
X 2 ( s ) = G21 ( s )U1 ( s ) + G22 ( s )U 2 ( s)
G11
x1
G12
G21
x2
G22
3
Transmitancja - połączenia elementarne
u
u1
G1
x1
u2
X 1 = G1U1
u1
u2
G1
G2
G1
x
X = G1G2U
X 2 = G2U 2 = G2 X 1
X 2 = G1G2U1
x1
x
x2
X = X1 + X 2
X = G1U1 + G2U 2
x1
x
u
G2
x2
G2
x2
X = (G1 + G2 )U
X = X1 + X 2
X = G1U + G2U
4
Kaskady niewspółdziałające i współdziałające
fwe
fwe
h1
h2
h1
h2
h1
fwe
fwy2
fwy2
....
.....
h2
h2
fwe
h1
fwe
h2
G1
G2
h1
G1
h2
G2
...
f we ( s)
M 1 ( s)
...
h2 ( s) =
f we ( s )
M 1 (s)M 2 (s)
h1 ( s) =
...
f we ( s )
M ( s)
...
h2 ( s ) =
f we ( s)
M (s)
h1 ( s) =
M ( s ) = M 1 ( s) M 2 ( s) + k
Człon inercyjny
G(s) =
a1 x& (t ) + a0 x(t ) = b0 u (t )
G ( s) =
r.s.:
r.ch.:
b0
=
a1s + a0
b0
 a1

a0  s + 1
 a0

,k =
b0
a0
,T =
a0 x = b0u → x = b0u / a0
a1s + a0 = 0 → s1 =
Rozwiązanie ogólne dla uk:
a) x (t ) = Ae s1t = Ae (−1/ T )t
k
,T > 0
Ts + 1
a1
a0
lim s
s →0
− a0
a1
5
k uk
= ku k
Ts + 1 s
Ts + 1 = 0 → s1 =
, u (t ) = u k
−1
T
s1 < 0 → T > 0
x(t ) = Ae (−1 / T )t + ku k
s
u(t)
b) x w (t ) = b0 u k / a0 = ku k
Odpowiedź skokowa:
c) uk =1
x(t ) = −ke (−1/ T )t + k
(
x (t ) = k 1 − e ( −1/ T )t
t
k
h(t )
)
t
d) u(0)=0, x(0)=0
0 = Ae −1/ T ⋅0 + k → A = −k
u(t)=1(t)
1
T
6
Człon inercyjny - przykłady
Kw
fwe
h
h( s ) =
1
f we ( s )
As + a
K cw
1
qg (s) +
Tz ( s )
CV s + K cw
CV s + K cw
1
k =1
k=
K cw
C
T = v >0
Gdy Kcw↑, to …
K cw
Tw ( s ) =
1
a
A
T = >0
a
k=
Gdy A↑, to …
L
Gdy V ↑, to …
u
R
i
uwe R
C
uwy
1 u we ( s )
sC R + 1 /( sC )
u wy ( s) =
1
i( s ) =
u(s)
sL + R
 1 
uwy ( s) = 
uwe ( s )
 sCR + 1 
b
b0
a1 s
x( s ) =
x
1
F ( s)
sb + c
F
7
Człon całkujący
a1 x& (t ) = b0 u (t )
, Ti =
G(s) =
a1
b0
lim s
s →0
r.s.:
Rozwiązanie ogólne dla uk:
a) x (t ) = k i ∫ u k dt + x 0
s →0
1
1
= ki
Ti s
s
1 uk
=∞
Ti s s
, u (t ) = u k
1
1
1=
Ti s
Ti
, u (t ) = δ (t )
lim s
a1 s = 0 → s = 0
r.ch.:
bx& (t ) + cx(t ) = F (t )
c
sLi( s) + Ri ( s ) = u ( s)
G ( s) =
Obiekty
z samowyrównywaniem
CV T&w (t ) = q g (t ) − K cw (Tw (t ) − Tz (t ) )
Ah&(t ) = f we (t ) − ah(t )
k
,T > 0
Ts + 1
Tw
qg
fwy=ah
G(s) =
Tz
x(t ) = k i u k t + x0
u(t)
1
t
x(t ) = k i t
Odpowiedź skokowa:
b) uk =1
h(t)
kit
1
c) u(0)=0, x(0)=0
t
0 = ki t + xk
Ti=1/ki
Człon całkujący - przykłady
fwe
h
fwy
uC
b
F
x
Ah&(t ) = f we (t ) − f wy (t )
h1 (s ) =
1
1
f we (s ) −
f wy ( s )
As
As
bx& (t ) = F (t )
x( s ) =
1
F ( s)
sb
i
u C (t ) =
1
∫ i (t )dt
C
u C ( s) =
1
i( s )
sC
1


 u C (t ) = q(t ) 
C


C
R
u
i
1
i ( s) = u (s)
sC
i (s ) = sCu ( s )
ewe
C
uwy
+
u wy =
−1
e we
sRC
8
k1
,ωn > 0
s 2 + 2 ξ ω n s + ω n2
k
G(s) = 2 2
,T > 0
Tn s + 2 ξ Tn s + 1 n
Człon oscylacyjny
a2 &x&(t ) + a1 x& (t ) + a0 x(t ) = b0u (t )
G ( s) =
b0
=
a2 s 2 + a1s + a0
b0
 2 a1
a 
a2  s + s + 0 
a
a2 

2
ωn2 =
Jeśli a0 /a2 > 0, to:
G(s) =
=
b0
a

a
a0  2 s 2 + 1 s + 1
a0
 a0

a0
a
b
, 2ξωn = 1 , k1 = 0
a2
a2
a2
T2 =
a2
a
b
, 2ξT = 1 , k = 0
a0
a0
a0
k1
r.s.:
a0 x = b0u
lim s
r.ch.:
a2 s 2 + a1s + a0 = 0 → s1 , s2
s 2 + 2ξω n s + ω n2 = 0
s →0
Im(si ) = 0, Re( si ) < 0
k
(T1s + 1)(T2 s + 1)
h (t)
s + 2ξω n s
2
+ ω n2
k1
s + 2 ξ ω s + ω2
2
k
h ( t)
rzą d > = 2
t
0< ξ< 1
Człon inercyjny
II rzędu
t
Człon oscylacyjny - przykłady
L
C
, u (t ) = u 0
T 2 s 2 + 2ξTs + 1 = 0
b0
a2 (s − s1 )(s − s2 )
G ( s) =
k
R
u 0 k1u 0
= 2
s
ωn
u
G(s) =
F
b
c
m
i
9
k1
,ωn > 0
s + 2 ξ ω n s + ω n2
k
G(s) = 2 2
, Tn > 0
Tn s + 2 ξ Tn s + 1
2
x
1
sLi( s) + Ri( s ) +
i ( s) = u ( s) m&x&(t ) + bx& (t ) + cx(t ) = F (t )
sC
i( s )
sC
1
x( s )
=
=
2
u ( s) s 2 LC + sRC + 1
F ( s ) ms + bs + c
Tp
f
h1
f
h1
h2
A1
h2
A1
qg
K1
Twew
Kp
Tzew
Kw
A2
A2
 A1h&1 (t ) = f (t ) − a1h1 (t )
 &
 A2 h2 (t ) = a1h1 (t ) − a2 h2 (t )
 A1h&1 (t ) = f (t ) − a1 (h1 (t ) − h2 (t ) )
 &
 A2 h2 (t ) = a1 (h1 (t ) − h2 (t ) ) − a2 h2 (t )
h2 ( s)
1
=
f ( s) ( A1 s + a1 )( A2 s + a 2 )
h2 ( s)
1
=
f ( s) ( A1 s + a1 )( A2 s + a1 + a 2 ) − a12
ξ =?
ξ >1
ξ =?
10
Człon proporcjonalny
G(s) = k
a 0 x (t ) = b0 u (t )
,k =
G ( s) = k
b0
a0
a0 x = b0u
r.s.:
r.ch.:
u(t)
x(t ) = k1(t )
Odpowiedź skokowa:
a) uk =1
1
b) u(0)=0, x(0)=0
t
h(t)
k
t
Człon proporcjonalny - przykłady
uR
c1
uwe R1
i
u R (t ) = Ri(t )
 R2 
u we (t )
u wy (t ) = 
 R1 + R2 
u wy ( s )
R2
=
u we (s ) R1 + R2
u R ( s)
=R
i (s)
0 = c1 x1 (t ) + c 2 ( x1 (t ) − x 2 (t ) )

F (t ) = c 2 ( x 2 (t ) − x1 (t ) )
x1 =
F
c1
x2 =
Rz
f
p p (t ) = ( R + R z ) f (t )
c1 + c 2
F
c1c 2
f =
1
pp
R + Rz
11
G ( s ) = Td s
a 0 x(t ) = b1u& (t )
, Td =
R
pp
x2
x1
Człon różniczkujący
G ( s) = Td s
F
c2
uwy
R2
b1
a0
a0 x = 0
r.s.:
r.ch.:
u(t)
x(t ) = Td δ (t )
Odpowiedź skokowa:
a) uk =1
1
b) u(0)=0, x(0)=0
t
h(t)
t
Człon różniczkujący - przykłady
eL
i
L
L
di(t )
e L (t ) = − L
dt
L
R
i
di (t )
= u (t )
dt
sLi ( s ) = u ( s)
i ( s) =
1
u ( s)
sL
C
u
ewe
di (t )
L
+ Ri (t ) = u (t )
dt
sLi ( s ) + Ri ( s) = u ( s)
i ( s) =
1
u(s )
sL + R
R
+
uwy
u wy = − sRC ewe
12
Podstawowe obiekty (człony) dynamiki
a 0 x (t ) = b0 u (t )
k, k1 – współczynniki wzmocnienia członu
T – stała czasowa
To – opóźnienie
Ti – czas całkowania
Td – czas różniczkowania
ωn – pulsacja drgań własnych nietłumionych
Tn,– okres drgań własnych nietłumionych
ξ – współczynnik tłumienia względnego
G(s) = k
a1 x& (t ) + a0 x(t ) = b0 u (t )
G(s) =
k
Ts + 1
,T > 0
&x&(t ) + 2ξωx& (t ) + ω 2 x(t ) = b0 u (t )
k1
,ω > 0
s + 2 ξ ω s +ω2
k
, Tn > 0
G(s) = 2 2
Tn s + 2 ξ Tn s + 1
G ( s) =
a1 x& (t ) = b0 u (t )
G ( s) =
2
1
Ti s
G ( s) =
a 0 x(t ) = b1u& (t )
L( s )
M (s)
x(t ) = u (t − T0 )
G ( s) = Td s
G ( s) = e −T0 s
13
Odpowiedzi skokowe członów podstawowych
u(t)
h(t)
u(t)=1(t)
1
kit
1
t
t
Ti=1/ki
h(t)
k
k
t
h(t)
Td s
t
k
h(t )
k
Ts + 1
t
h(t)
T
h ( t)
t
k
k
rzą d> = 2
t
h ( t)
k
1
= i
Ti s s
e −To s
To
(T1s + 1)(T2 s + 1)
k
k
0< ξ< 1
s + 2 ξ ωn s + ωn2
2
t
K
Tn2 s 2 + 2 ξTn s + 1
14
Przykłady obiektów
Ah&(t ) = f we (t ) − f wy (t )
fwe
h
fwy
h1 ( s ) =
1
1
f we ( s) −
f wy ( s )
As
As
Ah&(t ) = f we (t ) − ah(t )
fwe
h
fwy=ah
h( s ) =
1
f we ( s )
As + a
Ah&(t ) = f we (t ) − Aw 2 gh(t )
fwe
h
f wy = Aw 2 gh
fwe
h
Aw (x)
Ah&(t ) = f we (t ) − Aw ( x(t ) ) 2 gh(t )
15
Człony o zadanych parametrach
1) Cz.inercyjny z biegunem s1:
G ( s) =
a
=
s − s1
a) wzmocnienie członu inercyjnego = 1
a
k
=
 1
 Ts + 1
s + 1
− s1 
 − s1

2) Cz.oscylacyjny o tłumieniu* ½ i pulsacji** 2:
k =1
a
= 1 → a = − s1
− s1
b) wzmocnienie układu K0:
1
lim sG ( s) = K 0 →
s →0
s
a =1
a
=
G ( s) = 2
s + 2ξωs + ω 2 s 2 + 2 s + 4
b) wzmocnienie układu K0:
a
b
=
=
( s − s1 )( s − s 2 ) (T1 s + 1)(T2 s + 1)
1
a
lim sG ( s) = K 0 →
= K 0 → a = ...
s →0
s
ω2
a) wzmocnienie członu oscylacyjnego = 1
a
a
G ( s) = 2 2
= 2
T s + 2ξTs + 1 4s + 2 s + 1
a =1
b) wzmocnienie układu K0:
1
lim sG ( s ) = K 0
s →0
s
*
tłumienie - współczynnik tłumienia względnego
pulsacja/okres – pulsacja/okres drgań własnych nietłumionych
**
a
= K 0 → a = ...
− s1
a) wzmocnienie członu oscylacyjnego = 1
a
3) Cz.oscylacyjny o tłumieniu ½ i okresie** 2:
→
→ a = K0
16
Identyfikacja modelu na podstawie odpowiedzi na wymuszenie skokowe
k
h(t)
63.2%
t
k
Ts + 1
,k=
∆x
∆u
T
h(t)
h(t)
k
k
(1 + sT ) n
k
e − sTo
(1 + sT ) n
t
α
ta
t
T0
T
h(t) 1
h(t) 1
k
s (Ts + 1)
t
T
k −sTo
e
Ts +1
k
k − sTo
e
s
t
k -1
k -1
To
17
Regulator PID – odpowiedzi skokowe
h(t)
P
I
D
h(t)
h(t)
Kp
Kp
Kp
t

1 

PI : K p 1 +
T
is 

P :K p
t
Kp
t
Kp
t
Ti
PD : K p (1 + Td s )
h(t)
h(t)
Kp


1
+ Td s 
PID : K p 1 +

 Ti s
idealny
t

1
T s 
+ d 
PID : K p 1 +
 Ti s Ts + 1 
rzeczywisty
18