Podstawy Ekonomii Matematycznej
Transkrypt
Podstawy Ekonomii Matematycznej
Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa. . . . . . . . 8 2.2 Równowa»no±¢ stóp procentowych. 2.3 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Dyskontowanie proste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Dyskonto handlowe proste. 15 3.1 Dyskonto handlowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Stopa dyskontowa a stopa procentowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Weksle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Procent skªadany 22 4.1 Zasada oprocentowania skªadanego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Kapitalizacja roczna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3 Kapitalizacja podokresowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Kapitalizacja ci¡gªa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.5 Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania skªadanego. . . . . . . . 26 4.6 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.7 Dyskontowanie skªadane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.8 Oprocentowanie a inacja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5 Warto±¢ kapitaªu w czasie 34 5.1 Model warto±ci kapitaªu w czasie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2 Zasada równowa»no±ci kapitaªów. 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Modele matematyczne. 39 6 Pochodna funkcji w ekonomii 40 6.1 Funkcja kra«cowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2 Elastyczno±¢ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.3 f w punkcie x0 . 6.2.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji 6.2.2 Elastyczno±¢ funkcji kosztów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2.3 Elastyczno±¢ funkcji popytu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Funkcje Törnquista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.3.1 53 Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnquista. 2 . . . . . 45 Spis tre±ci 7 Modele ekonomiczne. 7.1 7.2 7.3 7.4 55 Skªadniki modelu ekonomicznego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modele równowagi statycznej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Cz¦±ciowa równowaga rynkowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Keynesowski model dochodu narodowego. . . . . . . . . . . . . . . 55 56 56 57 Modele nakªadów i wyników Leontiewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.3.1 Model statyczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.3.2 Model dynamiczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Modele dynamiczne z czasem dyskretnym. 7.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Model paj¦czyny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 3 Spis tre±ci . Aktualizacja: 9 czerwca 2011 4 Cz¦±¢ I Elementy matematyki nansowej. 5 Rozdziaª 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. W matematyce procent oznacza oczywi±cie setn¡ cz¦±¢ caªo±ci (per centum przez sto ) x% = x . 100 W matematyce nansowej procent o jaki zmienia si¦ dana wielko±¢ nazywamy procentow¡ Przykªad 1.1. okresu o stop¡ (wzrostu lub spadku). 30%. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiªa 500 zª i wzrosªa w ci¡gu tego Obecnie cena powi¦kszyªa si¦ o 500 · 30% = 500 · 0.3 = 150 [zª], wynosi wi¦c 500 + 150 = 650 [zª]. Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie ceny ko«cowej 500 · (1 + 0.3) = 650 [zª]. 40%, a nie o nie o 10%. Dla Warto zwróci¢ te» uwag¦, »e gdyby po roku roku cena towaru zwi¦kszyªa si¦ o 30%, to stopa wzrostu zwi¦kszyªaby si¦ o 10 porównania, gdyby stopa zwi¦kszyªaby si¦ o punktów procentowych, a 10%, to wynosiªaby 30% · (1 + 10%) = 30% · (1.1) = 33%. Przykªad 1.2. 20%, Cena pewnego towaru wynosiªa a po upªywie kolejnego miesi¡ca wzrosªa o 300 zª. Po upªywie miesi¡ca wzrosªa o 30%. Zatem po dwóch miesi¡cach cena wynosiªa 300 · 1.2 · 1.3 = 468 Cena wzrosªa wi¦c o [zª]. 468 − 300 = 0.56 = 56%. 300 Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie o ile procent wzrosªa cena: 1.2 · 1.3 − 1 = 0.56 = 56%. Uzasadnienie powy»szego rachunku jest proste 468 − 300 300 · 1.2 · 1.3 − 300 = = 1.2 · 1.3 − 1. 300 300 6 Rozdziaª 1. Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. Powy»szy przykªad uzasadnia przyj¦cie nast¦puj¡cej denicji. Je±li pewna wielko±¢ zmieniªa si¦ o procentowym p%, to liczb¦ p ρ := 1 + 100 nazywamy czynnikiem zmiany (wzrostu lub spadku). Uogólniaj¡c przykªad 1.2 mo»emy stwierdzi¢, »e je±li wielko±¢ nast¦pnie wzrasta o p2 %, P wzrasta o p1 %, a to wzrasta o P · (100 + p1 ) % · (100 + p2 ) % − P p1 p2 = 1+ · 1+ −1 P 100 100 h i p1 p2 = 1+ · 1+ − 1 · 100% = (ρ1 · ρ2 − 1) · 100%, 100 100 gdzie ρ1 = 1 + p1 , 100 ρ2 = 1 + p2 s¡ czynnikami wzrostu odpowiadaj¡cymi stopom 100 W matematyce nansowej cz¦sto uto»samia si¦ procent o jaki wzrasta kapitaª z p1 , p2 . odset- kami , czyli wielko±ci¡ o jak¡ wzrósª kapitaª. Powi¦kszenie kapitaªu o odsetki wygenerowane przez ten kapitaª nazywa si¦ kapitalizacj¡ odsetek . Same odsetki nie s¡ kapitaªem, ale stan¡ si¦ jego cz¦±ci¡ dopiero po kapitalizacji. Czas, po którym odsetki s¡ dopisywa- okresem kapitalizacji . Kapitaª, który wygenerowaª odsetki nazywa si¦ kapitaªem pocz¡tkowym , a kapitaª powi¦kszony, po okresie kapitalizacji, o odsetki nazywa si¦ kapitaªem ko«cowym . Czas, w ci¡gu którego odsetki s¡ generowane nazywa si¦ czasem oprocentowania . ne do kapitaªu nazywamy Stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª w ustalonym okresie nosi nazw¦ okresowej stopy procentowej . W praktyce najcz¦±ciej mamy do czynienia ze stopami ustalonymi dla okresu rocznego i wtedy mówimy o rocznej stopie procentowej , stopie w stosunku rocznym lub u»ywamy skrótu p.a. (per annum). Warto zauwa»y¢, »e efektem obliczenia odsetek za dany okres nie musi by¢ ich kapitalizacja. Przez warunki oprocentowania nale»y rozumie¢ dane, których znajomo±¢ wystar- cza, aby obliczy¢ wysoko±¢ odsetek nale»nych od ustalonego kapitaªu za ustalony czas. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 7 Rozdziaª 2 Procent prosty. 2.1. Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa. W przypadku transakcji nansowych zwykle nie okre±la si¦ odsetek, lecz wysoko±¢ stopy procentowej oraz sposób obliczania odsetek wedªug zasady oprocentowania prostego lub skªadanego. Zasada oprocentowania prostego. Odsetki oblicza si¦ od kapitaªu pocz¡tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Niech: K0 pocz¡tkowa warto±¢ kapitaªu, r roczna stopa procentowa, n czas oprocentowania wyra»ony w latach, In odsetki za czas n lat, Kn ko«cowa warto±¢ kapitaªu po n latach. Przy powy»szych oznaczeniach zasad¦ oprocentowania prostego mo»na zapisa¢ jako In = rK0 · n (2.1) Kn = K0 + rK0 · n = K0 (1 + rn) . (2.2) albo Innymi sªowy, kapitaª przy oprocentowaniu prostym wzrasta liniowo wzgl¦dem czasu ze wspóªczynnikiem kierunkowym równym rK0 . Zauwa»my te», »e Kn+1 − Kn = K0 + rK0 · (n + 1) − (K0 + rK0 · n) = rK0 , czyli przy oprocentowaniu prostym kapitaª wzrasta arytmetycznie. Przykªad 2.1. a) 4 Jak¡ warto±¢ osi¡gnie kapitaª pocz¡tkowy latach, b) 198 dniach 8 500 zª po: Rozdziaª 2. Procent prosty. oprocentowania prostego, przy rocznej stopie (1 rok = 360 12% i latach liczonych wedªug reguªy bankowej dni)? Skorzystamy ze wzoru (2.2) Kn = K0 + rK0 · n. Ad. a) Mamy: K0 = 500 zª, r = 0.12, n = 364·3+365 360 K = 500 + 0.12 · 500 · Ad. b) Tym razem n= = 1457 = 742.83 360 [zª]. 198 , 360 K = 500 + 0.12 · 500 · Przykªad 2.2. 1457 , st¡d 360 198 = 533 360 [zª]. W dniu 30 czerwca 2001 r. pan X miaª na koncie a'vista 2500 zª. W okresie od 1 lipca do 30 wrze±nia tego roku dokonano dwóch wpªat na konto: 12 lipca 3259 zª i 17 sierpnia 1600 zª oraz trzech wypªat: 23 lipca 4200 zª, 5 sierpnia 1900 zª i 18 wrze±nia 300 zª. Odsetki dopisywane s¡ na koniec ka»dego kwartaªu. Bank oblicza odsetki od dodatniego salda wg ustalonej stopy rocznej 12%, a w przypadku ujemnego salda karne odsetki wg. ustalonej stopy rocznej powi¦kszonej o 50%. Obliczy¢ odsetki za III kwartaª 2001 roku. Czas bankowy biegnie wedªug reguªy kalendarzowej. Mamy tu do czynienia z oprocentowaniem prostym w ka»dym z okresów, kiedy kapitaª na koncie nie ulegaª zmianie. Do oblicze« wygodnie jest sporz¡dzi¢ tabel¦ Data operacji Operacja Saldo Numer dnia Czas oprocentowania w roku w dniach wpªata wypªata po operacji − − 2500 181 − 12 lipca 3250 − 5750 193 12 23 lipca − 4200 1550 204 13 5 sierpnia − 1900 −350 217 12 17 sierpnia 1600 − 1250 229 32 18 wrze±nia − 300 950 261 12 30 wrze±nia − − 950 273 − 30 czerwca Aktualizacja: 9 czerwca 2011 9 Rozdziaª 2. Procent prosty. Do obliczenia odsetek skorzystamy ze wzoru (2.1) 12 = 9.86 365 11 = 5750 · 0.12 · = 20.79 365 13 = 1550 · 0.12 · = 6.62 365 12 = −350 · 0.18 · = −2. 07 365 32 = 1250 · 0.12 · = 13.15 365 12 = 950 · 0.12 · = 3.75 365 I 1 = 2500 · 0.12 · I2 I3 I4 I5 I6 Zatem za III kwartaª wynosz¡ odsetki wynosz¡ 9.86 + 20.79 + 6.62 − 2. 07 + 13.15 + 3.75 = 52.10 Kapitaª ko«cowy na dzie« 30 wrze±nia, wynosi 950 + 52.10 = 1002.10 [zª]. Cz¦sto, aby obliczy¢ odsetki proste u»ywamy oprócz stopy rocznej stopy miesi¦cznej lub kwartalnej. W tym wypadku miesi¡c, kwartaª itd. nazywamy podokresem opro- centowania (wzgl¦dem oprocentowania rocznego), a stop¦ procentow¡ dla tego okresu stop¡ podokresow¡ . Podokres mo»e by¢, cho¢ jest to stosowane rzadko, dªu»szy ni» rok np. mo»e wynosi¢ 2 lata. Wprowad¹my oznaczenia: k liczba podokresów, których ª¡czna dªugo±¢ jest równa dªugo±ci ik stopa podokresowa, mk czas wyra»ony w podokresach (numer kolejnego podokresu). roku, 1 dªugo±ci roku. W praktyce k najcz¦±ciej mamy do czynienia z nast¦puj¡cymi podokresami: Dªugo±¢ podokresu, przy ustalonym • póªrocze, • kwartaª, k = 4, • miesi¡c, k = 13, • tydzie«, k = 52, • dzie«, k, jest zawsze równa k=2 k = 365 (lub 360). Odsetki wg oprocentowania prostego za mk podokresów wynosz¡ Imk = ik K0 · mk , a warto±¢ kapitaªu Kmk = K0 (1 + ik · mk ) . Aktualizacja: 9 czerwca 2011 10 Rozdziaª 2. Przykªad 2.3. Procent prosty. Po»yczka 1200 zª b¦dzie spªacona jednorazowo po upªywie odsetkami prostymi przy miesi¦cznej stopie wynosz¡cej 1.3%. 4 miesi¦cy z Obliczmy kwot¦ potrzebn¡ do spªaty tej po»yczki. A zatem, k = 12, m12 = 4, i12 = 0.013, K0 = 1200, czyli K4 = 1200 + 0.013 · 1200 · 4 = 1262 [zª]. 2.2. Równowa»no±¢ stóp procentowych. Skoro mo»emy posªugiwa¢ si¦ ró»nymi stopami (roczn¡ lub podokresow¡) wa»ne jest ustalenie warunków równowa»no±ci tych stóp. Przede wszystkim doprecyzujmy, co oznacza równowa»no±¢ stóp. T¦ równowa»no±¢ okre±la w matematyce nansowej nast¦puj¡ca Zasada równowa»no±ci stóp procentowych. czasie n, Stopy procentowe s¡ równowa»ne w je»eli przy ka»dej z nich ten sam kapitaª pocz¡tkowy samym czasie n, K0 , generuje w tym b¦d¡cym liczb¡ lat, te same odsetki. Dla ustalenia warunku równowa»no±ci stóp zauwa»my najpierw, »e je»eli mk podokresów dªugo±ci k1 roku wynosi n jest liczb¡ lat, to odpowiadaj¡ca jej liczba mk = nk. (2.3) Niech dane b¦d¡ dwie stopy podokresowe ik1 oraz ik2 odpowiadaj¡ce podokresom dªugo±ci 1 1 i roku. Odsetki generowane przez kapitaª K0 po upªywie n lat s¡ identyczne przy k1 k2 stopach ik1 i ik2 , wtedy i tylko wtedy, gdy ik1 mk1 K0 = ik2 mk2 K0 , gdzie wobec (2.3) mk1 = nk1 , mk2 = nk2 , sk¡d ik1 nk1 K0 = ik2 nk2 K0 . W konsekwencji ik1 ik2 = 1 k1 1 k2 , (2.4) co mo»na sªownie wyrazi¢ nast¦puj¡co: dwie stopy podokresowe s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy ich stosunek jest identyczny jak stosunek dªugo±ci odpowiadaj¡cych im podokresów wyra»onych w latach. Z tego powodu przy oprocentowaniu prostym stopy równowa»ne nazywamy proporcjonalnymi. Wzór (2.4) jest równowa»ny wzorowi ik1 = ik2 kk12 , (2.5) który pozwala przelicza¢ równowa»ne stopy procentowe. W szczególno±ci, z powy»szego 1 wzoru wynika, »e je±li ik jest stop¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi dªugo±ci roku, za± r jest k stop¡ roczn¡, to r = ik k. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 11 Rozdziaª 2. Przykªad 2.4. Procent prosty. Póªroczna stopa oprocentowania prostego wynosi i2 = 18%. 13dniow¡, 2letni¡. U»ywaj¡c ka»dej z nich obliczy¢ za czas 3 lat. W obliczeniach u»ywa¢ reguªy bankowej. nowa»ne stop¦ miesi¦czn¡, proste od kapitaªu 400 zª W przypadku stopy miesi¦cznej mamy: i12 = i2 Dalej dla 3 lat m12 = 12 · 3 = 36 k = 12 13dniowej k = odsetki i wobec wzoru (2.5) 1 2 = 18% · = 3%. 12 6 oraz I = i12 · m12 · K0 = 0.03 · 36 · 400 = 432 Dla stopy Obliczy¢ rów- [zª] 360 oraz 13 2 13 i 360 = i2 360 = 18% · = 1.3%. 13 180 13 Mamy te», »e dla 3 lat m 360 = 13 360 13 1080 oraz 13 ·3= I = i 360 · m 360 · K0 = 0.013 · 13 Wreszcie dla stopy 13 1080 · 400 = 432 [zª] 13 2letniej k = 21 , 2 i 1 = i2 1 = 18% · 4 = 72% 2 m1 = 2 1 2 ·3= 2 3 2 I = i 1 · m 1 · K0 = 0.72 · 2 Przykªad 2.5. 2 3 · 400 = 432 2 [zª]. Najni»sza cena, po której kupiono 26tygodniowe bony skarbowe wyniosªa 9521.06 zª za bon o warto±ci 10000 zª. Obliczy¢ stop¦ zysku tych bonów w skali 26 tygodni i skali roku. Mamy wi¦c k= oraz ik = 360 26 · 7 10000 − 9521.06 = 0.0503 = 5.03%, 9521.06 co wynika ze wzoru K = K0 + i k K0 . W skali roku r = ik k = 5.03% 360 = 9.95%. 26 · 7 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 12 Rozdziaª 2. Procent prosty. 2.3. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna. Zaªó»my, »e czas oprocentowania kapitaªu po sobie okresów o dªugo±ci n1 , n2 , ..., nm K0 wynosi n lat i skªada si¦ z m nast¦puj¡cych lat, gdzie n= m X ni . i=1 Zaªó»my dalej, »e w itym itym odsetki proste w okresie obowi¡zuje stopa roczna ri , i = 1, 2, ..., m. Wówczas okresie wynosz¡ Ini = ri ni · K0 . ¡czne odsetki za okres n lat wynosz¡ wi¦c I= m P ri ni · K0 = K0 i=1 m P ri ni , i=1 za± kapitaª ko«cowy K = K0 + K0 m P m P ri ni = K0 1 + ri ni . i=1 Mo»emy teraz wprowadzi¢ poj¦cie (2.6) i=1 stopy przeci¦tnej pomoc¡ równo±ci r̄nK0 = K0 m X r̄ (za okres n lat) okre±lonej za ri ni . i=1 Czyli jest to staªa stopa, jaka daªaby za n lat ten sam przyrost kapitaªu, co stopy zmienne. Wynika st¡d, »e r̄ = 1 n m P ri ni . i=1 Stopa przeci¦tna jest wi¦c ±redni¡ stop¡ wa»on¡ stóp r1 , r2 , ..., rm z wagami b¦d¡cymi dªugo±ciami poszczególnych okresów. W szczególno±ci, je±li okresy s¡ jednakowe, stopa przeci¦tna jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp Przykªad 2.6. r1 , r2 , ..., rm . Pan X wpªaciª 3600 zª na roczn¡ lokat¦ z odsetkami naliczanymi po za- ko«czeniu lokaty. Przez 4 miesi¡ce obowi¡zywaªo oprocentowanie 6%, przez nast¦pne 3 miesi¡ce 5.5%, a przez ostatnie 5 miesi¦cy 4.5% (wszystkie stopy w stosunku rocznym). Zgodnie z (2.6) warto±¢ lokaty wynosi 4 3 5 K = 3600 1 + 0.06 · + 0.055 · + 0.045 · = 12 12 12 11 3 421 1 3600 1 + + + = 3600 · = 3789 50 800 160 400 Natomiast ±rednia stopa r̄ = [zª]. 21 = 0.0525 = 5.25%. 400 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 13 Rozdziaª 2. Procent prosty. 2.4. Dyskontowanie proste. Dyskontowaniem nazywamy obliczanie kapitaªu pocz¡tkowego to±ci kapitaªu ko«cowego nazywamy r, K. Ró»nic¦ D K0 na podstawie war- mi¦dzy kapitaªem ko«cowym i pocz¡tkowym dyskontem . Je±li dyskontowanie odbywa si¦ przy u»yciu stopy procentowej dyskontem prostym . W matematyce nansowej stosuje si¦ równie» to nazywamy je dyskontowanie handlowe oparte na tzw. stopie dyskontowej. Zatem, przyjmuj¡c za n czas wyra»ony w latach mamy, »e K = K0 (1 + rn) sk¡d K0 = K (1 + rn)−1 oraz D = K − K0 = K − K (1 + rn)−1 = Przykªad 2.7. Krn K + Krn − K = = Krn (1 + rn)−1 . 1 + rn 1 + rn Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej wpªacie a) 1 kwietnia, b) 1 stycznia saldo na rachunku 1 stycznia nast¦pnego roku b¦dzie wynosi¢ 1000 zª? Mamy natychmiast a) K0 = 1000 K = = 892.86 1 + rn 1 + 0.16 · 0.75 [zª], b) K0 = 1000 1000 = = 862.07 1 + 0.16 1 + 0.16 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 [zª]. 14 Rozdziaª 3 Dyskonto handlowe proste. 3.1. Dyskonto handlowe. Zapªata za po»yczenie pieni¦dzy mo»e by¢ zrealizowana w formie odsetek od po»yczonej kwoty. Nie jest to jednak jedyna forma zapªaty, omówimy teraz zapªat¦ za po»yczk¦ zwan¡ dyskontem. Dyskontem handlowym nazywamy zapªat¦ za po»yczk¦ obliczon¡ za pomoc¡ stopy dyskontowej na podstawie kwoty, któr¡ dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, przy czym dyskonto jest pªatne z góry (w momencie otrzymania po»yczki) i pomniejsza kwot¦ przekazanych pieni¦dzy. Dyskonto handlowe bywa nazywane procentem pªatnym z góry. Warto±¢ dyskonta zale»y od kwoty, któr¡ mamy zwróci¢ oraz od czasu, na jaki po»yczamy pieni¡dze. Roczna stopa, przy u»yciu której oblicza si¦ warto±¢ dyskonta nosi nazw¦ stopy dyskontowej. Mamy Zasada dyskonta handlowego (prostego). Dyskonto jest obliczane od kwoty, któr¡ dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane od tej kwoty w momencie udzielenia po»yczki. Niech: F kwota spªaty (warto±¢ nominalna po»yczki), D dyskonto, P warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki (warto±¢ nominalna po potr¡ceniu d roczna stopa dyskontowa, n czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, wyra»ony w latach. dyskonta) Zgodnie z zasad¡ dyskonta handlowego: D = dF · n (3.1) P = F − D = F (1 − dn) . (3.2) oraz sk¡d równie» F = P . 1−dn (3.3) Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki nie mo»e by¢ ujemna czyli F −D >0 15 Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. sk¡d dostajemy, »e dn < 1, co oznacza, »e przy danej stopie d czas udzielenia po»yczki musi speªnia¢ warunek n < d1 , za± przy ustalonym czasie n (3.4) stopa musi speªnia¢ warunek d < n1 . Przykªad 3.1. (3.5) Aby dzi± dosta¢ po»yczk¦ zobowi¡zujemy si¦ odda¢ po 3 miesi¡cach 1500 zª. Jaka jest opªata za po»yczk¦, je±li ma ona posta¢ dyskonta o stopie d = 14%. Wobec (3.1) D = 0.14 · 1500 · 3 = 52.50 12 zª, a zatem otrzymamy P = F − D = 1500 − 52.50 = 1447.50 Przykªad 3.2. zª. Po koniec 2001 roku du»¡ popularno±ci¡ cieszyªy si¦ w Polsce tzw. lokaty antypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry w zwi¡zku z 20% tzw. podatkiem Belki. Zaªó»my, »e dysponujemy kwot¡ 10000 zª i chcemy je zdeponowa¢ na póª roku maj¡c do wyboru dwie oferty: • w banku X póªroczn¡ lokat¦ z odsetkami pªaconymi z góry przy stopie rocznej d= 12% • w banku Y póªroczn¡, tradycyjn¡ lokat¦ z oprocentowaniem r = 15% w stosunku rocznym. Która oferta jest lepsza? W banku X po»yczka lokata ma charakter dyskontowy z kwot¡ pocz¡tkow¡ zª, musimy wi¦c obliczy¢ kwot¦ ko«cow¡ F = P = 10000 F : 10000 P = 1 − dn 1 − 0.12 · 1 2 = 10638.30 zª W banku Y mamy, »e odsetki b¦d¡ wynosiªy I = rP n = 0.15 · 10000 · 1 = 750.00 2 zª ale b¦d¡ obci¡»one podatkiem, a zatem bank wypªaci nam K = 10000 + 0.8 · 750.00 = 10600.00 zª. Zatem, lepiej skorzysta¢ z oferty banku X Aktualizacja: 9 czerwca 2011 16 Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. Obliczymy jeszcze przy jakiej stopie r obie oferty s¡ jednakowo opªacalne P = P + rP n · 0.8 1 − dn 1 = 1 + rn · 0.8 1 − dn 1 −1 rn · 0.8 = 1 − dn nd rn · 0.8 = 1 − dn 1.25d 1.25 · 0.12 r= = = 0.159 6 = 15.96%. 1 − dn 1 − 0.12 12 3.2. Stopa dyskontowa a stopa procentowa. Zajmiemy si¦ odpowiedzi¡ na pytanie kiedy stopa dyskontowa i procentowa wygeneruj¡ w jednakowym czasie jednakowe odsetki. Takie stop¦ nazywamy równowa»nymi. Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i procentowej. Roczna stopa dyskontowa d i roczna stopa procentowa r n, s¡ równowa»ne w czasie je±li dyskonto i odsetki obliczane przy tych stopach dla tej samej po»yczki s¡ równe. Wyprowadzimy teraz analityczny warunek równowa»no±ci obu stóp. Skoro (przy oznaczeniach przyj¦tych w tym oraz poprzednim rozdziale) D=I przy warunku K0 = P, wi¦c wobec (3.1) dF n = rP n, sk¡d uwzgl¦dniaj¡c (3.3) P = rP, 1 − dn czyli r= d 1−dn (3.6) d= r . 1+rn (3.7) oraz Ze wzorów (3.6)-(3.7) wynika Wªasno±¢ 3.1. 1. Wysoko±¢ równowa»nych stóp nie zale»y od kwoty udzielonej po»yczki, ale zale»y od czasu na jaki j¡ udzielono. 2. Istnieje dokªadnie jeden okres n, w którym stopy s¡ równowa»ne (zwany równowa»no±ci stóp dyskontowej i procentowej), wynosi on n= 3. Okres równowa»no±ci stóp din okresem 1 1 − . d r (3.8) jest dodatni (wynika, to z warunku (3.4)). Aktualizacja: 9 czerwca 2011 17 Rozdziaª 3. n d. 4. Dla ka»dego okresu stopa dyskontowa Dyskonto handlowe proste. i ka»dej stopy procentowej 5. Dla ka»dej stopy dyskontowej istnieje równowa»na w okresie d i ka»dego n stopa r. r okresu istnieje równowa»na w okresie n speªniaj¡cego warunek n nd < 1 Zauwa»my te», »e warunkiem, aby warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki przy dyskoncie przy n byªa dodatnia byªa nierówno±¢ n < d1 , która dla okresu równowa»no±ci otrzymanego w (3.8) jest oczywi±cie speªniona. okresie po»yczki Przykªad 3.3. Powró¢my do przykªadu, w którym rozwa»ali±my inwestycj¦ w 26 tygo- dniowe bony skarbowe o warto±ci 10000 zª. Nominalna cena zakupu tych bonów wynosiªa 26·7 9521.06 zª. Przyjmijmy F = 10000 zª, P = 9521.06 zª, n = 360 . Roczna stopa dyskonta wynosiªa wi¦c d= F −P 10000 − 9521.06 D = = = 0.0947 = 9.47%. 26·7 nF nF · 10000 360 Roczna stopa rentowno±ci tej inwestycji jest równa r= D 10000 − 9521.06 = 26·7 = 0.0995 = 9.95%. nP · 9521.06 360 Jest to oczywi±cie roczne oprocentowanie po»yczki 9521.06, której warto±¢ wraz z odsetkami wyniosªaby po 26 tygodniach 10000 zª. Powy»szy przykªad uzmysªawia nam nast¦puj¡ce spostrze»enie. Wªasno±¢ 3.2. Roczna stopa zysku (rentowno±ci) z transakcji, w której opªat¡ jest dys- konto obliczone przy stopie d w czasie d za czas n jest roczn¡ stop¡ procentow¡ r równowa»n¡ stopie n. Dowód. Rzeczywi±cie, roczna stopa zysku wynosi w tym wypadku I D = = r. nP nP W praktyce du»e znaczenie ma Wªasno±¢ 3.3. d i r b¦d¡ stopami rocznymi dyskontow¡ i procentow¡ odpowiednio równowa»nymi w okresie n̄ . Niech D b¦dzie warto±ci¡ dyskonta, za± I warto±ci¡ odsetek 1 przy po»yczce na n lat (n < d ). Wówczas Niech 1. D > I ⇔ n > n̄, 2. D < I ⇔ n < n̄. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 18 Rozdziaª 3. Dowód. Niech P Dyskonto handlowe proste. b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡ po»yczki, dyskontowej o warto±ci pocz¡tkowej P po n F kwot¡ spªaty po»yczki latach.. Mamy wobec (3.1), (3.2) oraz (3.6), »e D = dF n, I = rP n = rF (1 − dn)n = Zatem 1 − dn d F (1 − dn)n = · dF n. 1 − dn̄ 1 − dn̄ 1 − dn̄ D = . I 1 − dn W konsekwencji (przy zaªo»eniu, »e n< D>I⇔ oraz 1 ) d 1 − dn̄ > 1 ⇔ n > n̄ 1 − dn 1 − dn̄ < 1 ⇔ n < n̄ 1 − dn D < I. D<I⇔ teraz n > n̄, to D > I, n < n̄, je±li to Mamy równie» Wªasno±¢ 3.4. n oznacza czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, I warto±¢ odsetek za czas n przy stopie rocznej stopie procentowej r, za± D warto±¢ dyskonta tej samej 1 po»yczki za czas n lat przy rocznej stopie dyskontowej d (n < d ). Wówczas: Niech 1. D>I⇔r< r d ⇔d> . 1 − dn 1 + rn D<I⇔r> r d ⇔d< . 1 − dn 1 + rn 2. Dowód. Mamy wobec (3.3) P 1 − dn dF dP 1 d 1 D = = · = · , I rP 1 − dn rP 1 − dn r F = sk¡d (przy zaªo»eniu n< 1 ) d D>I⇔ d 1 d r · >1⇔r< ⇔d> 1 − dn r 1 − dn 1 + rn oraz D<I⇔r> d r ⇔d< 1 − dn 1 + rn Aktualizacja: 9 czerwca 2011 19 Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. 3.3. Weksle. Weksel stanowi zobowi¡zanie do zapªaty okre±lonej kwoty w ustalonym terminie i ma form¦ dokumentu sprecyzowanego odpowiednimi przepisami. Kwot¦, do zapªaty której zobowi¡zuje weksel nazywamy warto±ci¡ nominaln¡ weksla. Termin, w którym weterminem wykupu weksla . Warto±¢ weksla obliczon¡ ksel ma by¢ spªacony nazywamy na podstawie jego warto±ci nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej dzie« poprzedzaj¡cy poprzedzaj¡cy termin jego wykupu nazywamy w¡ (aktualn¡) weksla. d na okre±lony warto±ci¡ handlo- Poniewa» weksel stanowi form¦ po»yczki liczonej wedªug zasady dyskonta handlowego, zast¦pujemy dotychczas stosowan¡ terminologi¦ dotycz¡c¡ dyskonta handlowego w nast¦puj¡cy sposób: • kwota spªaty • opªata za po»yczk¦ (dyskonto) • warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki • czas od otrzymania do zwrotu po»yczki F warto±¢ nominalna weksla, D warto±¢ dyskonta weksla, P =F −D n warto±¢ aktualna weksla, czas do wykupu weksla. W konsekwencji, aktualna warto±¢ weksla o warto±¢ nominalnej kontowej (rocznej) d na n F, przy stopie dys- lat przed wykupem wynosi P = F (1 − dn) . Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e w odniesieniu do weksli czas w dniach zamienia si¦ na lata wedªug reguªy bankowej (1 rok = 360 dni). Przykªad 3.4. Zobowi¡zanie do zapªaty za dostaw¦ pewnego towaru o warto±¢ 195 jp (jednostek pieni¦»nych) ma posta¢ weksla podpisanego 3 lipca na sum¦ 200 jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku. Mamy wi¦c F = 200, P = 195, D = F − P = 5. Czas do wykupu wyra»ony w dniach (wg tabeli) 276 − 183 = 92 wyra»ony w latach n= dni; 92 . 360 Stopa dyskontowa d= D 5 = nF 200 · 92 360 = 5 9 = 9.78%. 92 = 92 5· 9 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 20 Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. Równowa»na stopa procentowa przy czasie d r= = 1 − dn 1− 9 92 9 · 92 92 360 9 92 1− 1 40 n = wynosi 9 40 3 10 30 · = · = = 10.03%. 92 39 23 13 299 Oznacza to, »e gdyby±my 3 lipca po»yczyli 195 jp, to zwrot 3 pa¹dziernika 200 jp oznaczaªby stop¦ procentow¡ 10.03%. Innymi sªowy po»yczka byªaby korzystniejsza od wystawienia weksla przy stopie mniejszej ni» Przykªad 3.5. 10.03%. Wynika to równie» bezpo±rednio z wªasno±ci 3.4. Firma X rozwa»a dwa warianty pozyskania potrzebnych jej ±rodków: wy- stawienie weksla o terminie wykupu za 90 dni przy stopie dyskontowej dniowa po»yczka przy stopie rocznej r = 17%. d = 16%, albo 90 Która opcja jest korzystniejsza. Mamy d 0.16 = 1 − dn 1 − 0.16 · 90 360 = 0.16 16 1 − 100 · 1 4 = 16 100 1 · = = 16.67% < r. 100 96 6 Zatem z wªasno±ci 3.4 wynika, »e weksel jest bardziej opªacalny. Mo»emy równie» obliczy¢ czas n̄, przy którym obie stopy s¡ równowa»ne. Z (3.8) mamy n̄ = 100 100 25 · 17 − 400 25 1 1 − = − = = = 0.367 647 058 8 d r 16 17 68 68 to jest 0.367 647 058 8 · 360 = 132.352 941 2 dni. Z wªasno±ci 3.3 po»yczka byªaby korzystniejsza dla czasu co najmniej 133 dni. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 21 Rozdziaª 4 Procent skªadany 4.1. Zasada oprocentowania skªadanego. Przypomnijmy, »e w przypadku oprocentowania prostego odsetki s¡ dopisywane do kapitaªu dopiero po zako«czeniu czasu oprocentowania. Taki proces nazywa si¦ kapitalizacj¡. Gdy jednak odsetki powi¦kszaj¡ kapitaª w równych odst¦pach czasu, przed upªywem czasu oprocentowania mamy do czynienia z procentem skªadanym. Czas, po upªywie którego odsetki s¡ za ka»dym razem dopisywane do kapitaªu nazywa si¦ okresem kapitalizacji. Zasada oprocentowania skªadanego. Oprocentowanie skªadane polega na tym, »e odsetki (proste) oblicza si¦ za ka»dy ustalony z góry okres i kapitalizuje si¦ je na koniec tego okresu. Omówimy trzy zasadnicze typy oprocentowania skªadanego zwi¡zane z ró»nymi okresami kapitalizacji. 4.2. Kapitalizacja roczna. Przypu±¢my, »e dany jest kapitaª pocz¡tkowy odsetki s¡ kapitalizowane co rok. Niech n K0 > 0 i roczna stopa procentowa r, a oznacza okres oprocentowania wyra»ony w latach. Przy kapitalizacji rocznej musimy poczyni¢ zaªo»enie, »e n ∈ N (:= {1, 2, . . .}) . Obliczmy warto±¢ kapitaªu po upªywie kolejnych lat: po roku K1 = K0 + rK0 = K0 (1 + r) po dwóch latach K2 = K1 + rK1 = K1 (1 + r) = K0 (1 + r)2 . . . . . . po n Zatem, po upªywie K0 (1 + r)n latach n lat kapitaª Kn wynosi: Kn = K0 (1 + r)n , za± ª¡czne odsetki po upªywie n (4.1) lat: In = Kn − K0 = K0 ((1 + r)n − 1) . 22 (4.2) Rozdziaª 4. Procent skªadany model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji rocznej, albo krócej: model kapitalizacji rocznej. Widzimy te», »e przy modelu roczRównania (4.1)-(4.2) stanowi¡ nym kapitaª wzrasta geometrycznie z ilorazem (1 + r) . Model ten mo»e by¢ wi¦c opisany za pomoc¡ równania ró»nicowego postaci Kn+1 = Kn (1 + r)n , n ∈ N ∪ {0} . atwo wida¢, »e przy danym kapitale pocz¡tkowym K0 i ko«cowym Kn (Kn > K0 ) za n lat roczna stopa oprocentowania wynosi r n r= za± przy danym kapitale pocz¡tkowym czas oprocentowania n K0 , Kn − 1, K0 (4.3) ko«cowym Kn (Kn > K0 ) n = log1+r Kn K0 ln = Kn K0 r ln (1 + r) W tym drugim przypadku nale»y dodatkowo zaªo»y¢, »e n ln K K0 jest liczb¡ naturaln¡. ln(1+r) Przykªad 4.1. i stopie rocznej (wyra»ony w latach) wynosi . K0 , Kn Rozwa»my pi¦cioletni¡ lokat¦ w wysoko±ci (4.4) i r s¡ tak dobrane, »e K0 = 10000 zª przy czym: (a) odsetki s¡ naliczane po jej zako«czeniu a stopa procentowa wynosi (b) lokata jest kapitalizowana corocznie a stopa procentowa wynosi r = 12%, r̃ = 10%. W pierwszym przypadku warto±¢ ko«cowa kapitaªu wynosi K5 = K0 (1 + rn) = 10000 (1 + 0.12 · 5) = 16000.00 zª, w drugim K̃5 = K0 (1 + r̃)n = 10000 (1 + 0.1)5 = 16100.00 zª. Widzimy wi¦c, »e pomimo ni»szej stopy kapitalizacja jest bardziej opªacalna. Mo»emy si¦ te» zastanowi¢ jaka stopa roczna co stopa r̃ r̄ bez kapitalizacji wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª z kapitalizacj¡: K̃5 K0 r̄ = i na odwrót, jaka stopa roczna stopa roczna r −1 n r̂ = 16100 10000 5 −1 = 12.20%, z kapitalizacj¡ wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª co bez kapitalizacji r r̂ = 5 K5 −1= K0 r 5 16000 − 1 ≈ 9.856%. 10000 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 23 Rozdziaª 4. Procent skªadany 4.3. Kapitalizacja podokresowa Przypu±¢my, »e odsetki dopisywane s¡ za ka»dym razem po upªywie czasu krótszego ni» 1 rok. Wtedy taki okres nazywamy podokresem kapitalizacji . Oczywi±cie kapitaª b¦dzie wzrastaª dokªadnie wg tej samej zasady co przy kapitalizacji rocznej, pod warunkiem »e do jego opisu b¦dziemy u»ywa¢ stopy z zwi¡zanej z tym podokresem czyli stopy podokreso- wej . Poj¦cie stopy podokresowej pojawiªo si¦ przy omawianiu oprocentowania prostego. W przypadku kapitalizacji podokresowej jest ona równa procentowi, o jaki wzrasta kapitaª za ka»dym razem po upªywie jednego podokresu. Liczb¦ podokresów kapitalizacji przypadaj¡cych na jeden rok nazywa si¦ cz¦stotliwo±ci¡ kapitalizacji . Wprowadzaj¡c oznaczenia analogiczne jak dla oprocentowania prostego przyjmijmy k cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji (ile razy w roku dopisywane s¡ odsetki), mk czas oprocentowania wyra»ony w liczbie podokresów (zakªadamy, »e mk ∈ N), ik stopa podokresowa. Km k po podokresu), przy kapitale pocz¡tkowym K0 Wtedy, rozumuj¡c analogicznie jak dla kapitalizacji rocznej dostajemy, »e kapitaª upªywie czasu mk (czyli na koniec mk − tego wynosi Kmk = K0 (1 + ik )mk , a ª¡czne odsetki po upªywie czasu mk wynosz¡ Imk = K0 ((1 + ik )mk − 1) . Przykªad 4.2. K0 = 1000 zª. Kapitaª ro±nie = 4) i stop¡ kwartaln¡ (mk = 8). Kapitaª ko«cowy wynosi Niech warto±¢ pocz¡tkowa kapitaªu wynosi wedªug oprocentowania skªadanego z kapitalizacj¡ kwartaln¡ (k i4 = 6%. Wówczas okres 2 lat stanowi 8 podokresów wi¦c K8 = K0 (1 + ik )mk = 1000 (1 + 0.06)8 = 1593.85 zª. Cz¦sto warunki oprocentowania z kapitalizacj¡ podokresow¡ z cz¦stotliwo±ci¡ kapitali- k razy w roku mog¡ by¢ podane przy u»yciu tak zwanej rocznej stopy nominalnej rk (a nie podokresowej ik ). W tym wypadku podawana roczna stopa nominalna rk jest zacji deniowana jako stopa proporcjonalna do stopy podokresowej, dokªadniej rk := k · ik . mk okresów przy powy»szych K0 b¦dzie wynosi¢ Kapitaª po upªywie tale pocz¡tkowym Kmk = K0 1 + warunkach oprocentowania i przy kapi- rk mk k , albo, je±li zamiast czasu wyra»onego w liczbie podokresów u»yjemy odpowiadaj¡cego mu czasu wyra»onego w n latach, Kn = K0 1 + rk nk k . Warto równie» zwróci¢ uwag¦, »e o ile stopa podokresowa wyra»aªa procent o jaki wzro±nie nas kapitaª w ci¡gu jednego okresu kapitalizacji, to stopa roczna nominalna ju» takiej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 24 Rozdziaª 4. Procent skªadany wªasno±ci nie posiada (chyba, »e podokres jest równy 1 rok co, cho¢ formalnie poprawne, podwa»a praktyczny sens u»ycia okre±lenia podokres). U»ywaj¡c rocznej stopy nominalnej mo»na wprowadzi¢ jeszcze jeden wspóªczynnik mierz¡cy szybko±¢ wzrostu kapitaªu. Przy poprzednich oznaczeniach zbadajmy iloraz warto±ci kapitaªu po dwóch nast¦puj¡cych po sobie latach nk+k K0 1 + rkk rk k Kn+1 = 1 + = . nk Kn k K0 1 + rkk Wspóªczynnik ten oznaczany przez oprocentowania . ρk nie zale»y od n i zwany jest rocznym czynnikiem Informuje on ile razy zwi¦ksza si¦ kapitaª po upªywie roku. Ma on nast¦puj¡c¡ (do±¢ jasn¡ intuicyjnie wªasno±¢) Wªasno±¢ 4.1. Przy ustalonej rocznej stopie nominalnej roczny czynnik oprocentowania jest tym wi¦kszy (czyli kapitaª ro±nie tym szybciej), im krótszy jest okres kapitalizacji. 4.4. Kapitalizacja ci¡gªa Przypu±¢my, »e dana jest roczna stopa nominalna talizacji k mo»e wzrasta¢ nieograniczenie (czyli okres kapitalizacji staje si¦ niesko«czenie maªy, dodatni), to przy zaªo»eniu, »e stopa kapitaª rc . Je±li zaªo»ymy, »e cz¦stotliwo±¢ kapi- Kn , rc jest niezmienna dostajemy, »e po n latach K0 b¦dzie wynosi¢ nrc rc rkc = K0 erc n . 1+ = lim K0 k→∞ k którego warto±¢ pocz¡tkowa byªa rc nk Kn = lim K0 1 + k→∞ k Zauwa»my, »e powy»szy wzór ma sens nie tylko dla n ∈ N, n (4.5) mo»e by¢ liczb¡ rzeczywista dodatni¡, musimy tylko pami¦ta¢, »e odpowiada upªywowi czasu wyra»onego w jednostce 1 rok. Z tego powodu wygodniej b¦dzie dla oznaczania czasu u»ywa¢ litery t. Zatem, w chwili t≥0 warto±¢ kapitaªu K(t) podlegaj¡cego oprocentowaniu ci¡gªemu (z kapitalizacj¡ co niesko«czenie krótki czas) z roczn¡ stop¡ nominaln¡ rc wynosi K(t) = K(0)erc t . (4.6) t = 0 znana jest t ≥ t0 wynosi¢ b¦dzie Je»eli zaªo»ymy, »e zamiast warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego w chwili warto±¢ kapitaªu w chwili t = t0 , to jego warto±¢ w dowolnej chwili K(t) = K(t0 )erc (t−t0 ) . Wreszcie, je±li przyjmiemy r = erc − 1, (4.7) to wzór (4.7) przyjmie posta¢ K(t) = K(t0 )(1 + r)(t−t0 ) . (4.8) Wzory (4.5)-(4.8) opisuj¡ wi¦c model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji ci¡gªej (co niesko«czenie krótki czas) zwany równie» sprawdzi¢, podstawiaj¡c we wzorze (4.8) modelem kapitalizacji ci¡gªej . atwo t = t0 + 1, »e r jest roczn¡ stop¡ efektywn¡, czyli w ci¡gu roku kapitaª pocz¡tkowy podlegaj¡cy modelowi (4.8) wzro±nie o dokªadnie Aktualizacja: 9 czerwca 2011 r%. 25 Rozdziaª 4. Procent skªadany Powy»szy model mo»na równie» wyprowadzi¢ nast¦puj¡co. Przypu±¢my, »e kapitalizacja odbywa si¦ co t ∆t lat (∆t nie musi by¢ wielko±ci¡ caªkowit¡). Wówczas, je±li w chwili warto±¢ kapitaªu wynosiªa K (t) oraz kapitalizacja nast¡pi w chwili t + ∆t, to K (t + ∆t) = K (t) + K (t) rc ∆t st¡d K (t + ∆t) − K (t) = rc K (t) . ∆t Gdyby okres kapitalizacji byª niesko«czenie krótki, to K (t + ∆t) − K (t) = rc K (t) ∆t→0 ∆t lim czyli K 0 (t) = rc K (t) . (4.9) Rozwi¡zaniem powy»szego równania jest ka»da funkcja postaci, K (t) = cerc t , gdzie c jest dowoln¡ staª¡. Zakªadaj¡c, »e w chwili pocz¡tkowej wynosiªa K0 t=0 warto±¢ kapitaªu mamy, »e K0 = c, sk¡d K (t) = K0 erc t . Tak jak poprzednio musimy pami¦ta¢, »e powy»sze rozumowanie jest prawdziwe, je±li jednostk¡ czasu t jest 1 rok. Równanie (4.9) mówi, »e przy kapitalizacji ci¡gªej pr¦dko±¢ wzrostu kapitaªu w chwili t jest proporcjonalna do jego wielko±ci, za± wspóªczynnik tej proporcjonalno±ci interpre- tujemy jako roczn¡ stop¦ nominaln¡. 4.5. Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania skªadanego. Zajmiemy si¦ teraz problemem równowa»no±ci stóp procentowych w oprocentowaniu skªadanym. Przypomnijmy ogóln¡ denicj¦ stóp równowa»nych. Dwie stopy procentowe ik2 ik1 i n, je±li przy tym samym kapitale pocz¡tkowym K0 generuj¡ n identyczne odsetki albo, co na jedno wychodzi generuj¡ ten sam kapitaª ko«Kn . Denicja ta, wprowadzona przez nas w rozdziale dotycz¡cym oprocentowania s¡ równowa»ne w czasie w czasie cowy prostego obowi¡zuje bez wzgl¦du na rodzaj oprocentowania. Podamy analityczny warunek równowa»no±ci dwóch stóp procentowych. Zajmijmy si¦ najpierw oprocentowaniem skªadanym z kapitalizacj¡ dyskretn¡. Rozwa»my dwa modele oprocentowania skªadanego. W pierwszym mamy do czynienia 1 ), w z kapitalizacj¡ k1 razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik1 (zwi¡zan¡ z podokresem k1 drugim z kapitalizacj¡ k2 razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik2 (zwi¡zan¡ z podokresem Aktualizacja: 9 czerwca 2011 26 Rozdziaª 4. Procent skªadany 1 ). Niech dany b¦dzie kapitaª pocz¡tkowy k2 ik2 s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy K0 n oraz czas lat. Wówczas, stopy ik1 oraz K0 (1 + ik1 )nk1 = K0 (1 + ik2 )nk2 zatem (1 + ik1 )k1 = (1 + ik2 )k2 . Ta sama zale»no±¢ przy u»yciu rocznych stóp nominalnych stóp ik1 i ik2 rk1 1+ rk1 k1 k1 = 1+ rk2 k2 k2 i proporcjonalnych do . Wreszcie, przy u»yciu rocznych czynników oprocentowuj¡cych rk1 rk2 odpowiednio ma posta¢ stopom i rk2 ρk1 i ρk2 (odpowiadaj¡cych odpowiednio) dostajemy warunek równowa»no±ci w postaci ρk1 = ρk2 . Oczywi±cie, z powy»szych wzorów wynika, »e równowa»no±¢ stóp procentowych nie zale»y od kapitaªu pocz¡tkowego, ani czasu oprocentowania. Tym samym udowodnili±my Wªasno±¢ 4.2. Niech ik1 ik2 b¦d¡ stopami podokresowymi ik1 oraz ik2 odpowiadak1 i k2 , za± rk1 , rk2 rocznymi stopami nominalnymi oraz oprocentowuj¡cymi odpowiadaj¡cymi stopom ik2 , ik2 odpo- oraz j¡cymi podokresom kapitalizacji ρk1 , ρk2 rocznymi czynnikami wiednio. Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne (1) stopy ik1 oraz ik2 s¡ równowa»ne, (3) (1 + ik1 )k1 = (1 + ik2 )k2 , rk2 k2 rk1 k1 = 1 + k2 , 1 + k1 (4) ρk1 = ρk2 . (2) ik1 Z powy»szej wªasno±ci ªatwo wynika, »e je»eli j¡c¡ podokresowi kapitalizacji podokresowi kapitalizacji k2 k1 , jest stop¡ podokresow¡ odpowiada- to równowa»na stopa podokresowa ik2 odpowiadaj¡ca wyra»a si¦ wzorem k1 ik2 = (1 + ik1 ) k2 − 1. W szczególno±ci, stopa roczna (odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji 1 raz w roku) równowa»na stopie ik odpowiadaj¡cej podokresowi czana symbolem ref k nazywana stop¡ efektywn¡, jest ozna- i wynosi ref = (1 + ik )k − 1 = ρk − 1, gdzie ρk oznacza roczny czynnik oprocentowania dla stopy podokresowej (4.10) ik . Poniewa» roczny czynnik oprocentowania mierzy ile razy powi¦kszy si¦ kapitaª w ci¡gu roku, to stopa efektywna informuje nas o ile procent powi¦kszy si¦ ten kapitaª w ci¡gu roku. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 27 Rozdziaª 4. Procent skªadany Stopa podokresowa ik odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji ref tywnej k równowa»na stopie efek- wynosi natomiast 1 ik = (1 + ref ) k − 1. Wreszcie, je±li cji k1 , rk1 jest roczn¡ stop¡ nominaln¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi kapitaliza- to jak ªatwo sprawdzi¢, równowa»na roczna stopa nominalna podokresowi kapitalizacji k2 rk2 odpowiadaj¡ca wyra»a si¦ wzorem rk2 = 1+ rk1 k1 kk1 2 ! − 1 k1 . Je»eli teraz porównamy kapitalizacj¦ ci¡gª¡ przy rocznej stopie nominalnej talizacj¡ k razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik , rc z kapi- to te dwie stopy s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy erc = (1 + ik )k . W szczególno±ci, stopa efektywna równowa»na stopie rc wynosi ref = erc − 1 = ρc − 1. Na zako«czenie zajmiemy si¦ problemem równowa»no±ci stóp procentowych przy oprocentowania skªadanym i prostym. Niech ik b¦dzie stop¡ podokresow¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi k, za± r roczn¡ stop¡ procentow¡ przy oprocentowaniu prostym. Wówczas, w my±l zasady równowa»no±ci stóp stopy s¡ równowa»ne w okresie n lat wtedy i tylko wte- dy, gdy (1 + ik )nk = 1 + rn. Równowa»no±¢ stóp oprocentowania prostego i zªo»onego zale»y wi¦c od okresu oprocentowania. Mo»na udowodni¢, »e je±li te dwie stopy s¡ równowa»ne w okresie n, to nie s¡ równowa»ne w »adnym innym okresie. 4.6. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna. Przypu±¢my, »e kapitaª K0 zostaª zªo»ony na (i) w kolejnych latach obowi¡zywaªy stopy r , i n lat z kapitalizacj¡ roczn¡, = 1, 2, ..., n. Wtedy warto±¢ przy czym kapitaªu w kolejnych latach wynosi K1 = K0 1 + r(1) , K2 = K0 1 + r(1) 1 + r(2) , ... Indukcyjnie dowodzimy, »e warto±¢ kapitaªu po za± ª¡czne odsetki po n n latach wynosi Kn = K0 Qj 1 + r(i) , (4.11) Q j i=1 1 + r(i) − 1 . (4.12) i=1 latach In = K0 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 28 Rozdziaª 4. Powy»sze wzory opisuj¡ stopie. Procent skªadany model oprocentowania skªadanego rocznego przy zmiennej stop¦ przeci¦tn¡ (roczn¡) r̄ jako stop¦ roczn¡, Mo»emy wprowadzi¢ dla tego modelu która wygeneruje po okresie n lat ten sam kapitaª n Y K0 (1 + r̄)n = K0 Kn , zatem 1 + r(i) , i=1 sk¡d r̄ = Je±li oznaczymy przez qQ n n ρ̄ przeci¦tny (1 + r(i) ) − 1. j=1 (4.13) roczny czynnik oprocentowuj¡cy odpowiadaj¡cy stopie przeci¦tnej, to qQ n n ρ̄ = r̄ + 1 = j=1 (1 + r(i) ), mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy jest ±redni¡ geometryczn¡ rocznych czynników oprocentowuj¡cych w kolejnych latach okresu i(j) , j = 1, 2, ..., m Uogólniaj¡c powy»sze wzory, je±li stopy n lat. s¡ stopami okresowymi (niekoniecznie rocznymi) w kolejnych okresach, to warto±¢ ko«cowa kapitaªu pocz¡tkowego K0 zªo»onego na czas m podokresów (z kapitalizacj¡ na koniec ka»dego okresu) wynosi Qm Km = K0 za± stopa przeci¦tna w czasie m 1 + i(j) , j=1 podokresów, zwana (4.14) m−okresow¡ stop¡ przeci¦tn¡ , ı̄ wynosi qQ m m ı̄ = Zauwa»my, »e wobec wzoru (4.14) j=1 (1 + i(j) ) − 1. m−okresowy czynnik oprocentowuj¡cy miany jako wielko±¢ o jak¡ zmieni si¦ kapitaª po upªywie ρ= m−okresowa natomiast upªywie m Qm 1+i j=1 stopa efektywna r (4.15) (j) m ρm (rozu- podokresów) wynosi , (4.16) (czyli o jaki procent zmieni si¦ kapitaª po podokresów) wynosi r = ρm − 1 = Qm j=1 Rozwa»my teraz sytuacj¦, w której kapitaª 1 + i(j) − 1 K0 (4.17) zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj¡ (j) rc , j = ci¡gª¡, przy czym w kolejnych latach obowi¡zywaªy nominalne stopy nominalne 1, 2, ..., n. Wtedy kapitaª Kn po n latach ma warto±¢ (1) (2) (n) Kn = K0 erc erc za± roczna nominalna stopa ±rednia ...rc rc (j) j=1 rc Pn = K0 e , oprocentowania ci¡gªego speªnia warunek erc n = e (j) j=1 rc Pn , i wynosi rc = czyli jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp 1 n (j) j=1 rc , Pn (j) rc , j = 1, 2, ..., n. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 29 Rozdziaª 4. Procent skªadany 4.7. Dyskontowanie skªadane. Zajmiemy si¦ teraz operacj¡ odwrotn¡ do obliczania kapitaªu ko«cowego na podstawie kapitaªu pocz¡tkowego, który podlegaª oprocentowaniu skªadanemu, czyli operacj¡ dyskontowania. Kn , który powstaª z kapitaªu pon lat przy oprocentowaniu skªadanym. Rozwa»my dwa Przypu±¢my, »e znamy warto±¢ kapitaªu ko«cowego cz¡tkowego K0 zdeponowanego na przypadki: 1. Okres kapitalizacji wynosi rok i roczna stopa procentowa jest równa r. Wtedy z zale»no±ci Kn = K0 (1 + r)n dostajemy natychmiast, »e K0 = 2. Kapitalizacja jest ci¡gªa z roczn¡ stop¡ Kn . (1 + r)n rc . Wówczas Kn = K0 erc n , sk¡d K0 = e−rc n Kn . W obydwu przypadkach warto±¢ dyskonta (czyli ró»nica mi¦dzy kapitaªem ko«cowym i pocz¡tkowym) jest równa warto±ci ª¡cznych odsetek od kapitaªu K0 . rocznymi czynnikami dyskontuj¡cymi 1 −r oraz e c nazywaj¡ si¦ 1+r kapitalizacji rocznej i ci¡gªej odpowiednio. Jest to wspóªczynnik Czynniki ν przy przez jaki trzeba po- mno»y¢ kapitaª na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª na pocz¡tku tego roku tzn, Kn = νKn+1 , Obliczaj¡c Kn+1 roczn¡ stop¦ dyskontow¡ d, czyli o ile procent trzeba zmniejszy¢ kapitaª na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª d= Kn na pocz¡tku tego roku mamy Kn+1 − Kn = 1 − ν. Kn+1 Zatem, roczna stopa dyskontowa przy kapitalizacji rocznej ze stop¡ roczn¡ d=1− r wynosi 1 r = , 1+r 1+r za± przy kapitalizacji ci¡gªej i stopie nominalnej rc dc = 1 − e−rc . Przy u»yciu czynnika dyskontuj¡cego kapitaª pocz¡tkowy latach kapitaª ko«cowy Kn K0 , który wygeneruje po n wyra»a si¦ wzorem K0 = ν n Kn , a przy u»yciu rocznej stopy dyskontowej d: K0 = (1 − d)n Kn . Aktualizacja: 9 czerwca 2011 30 Rozdziaª 4. Procent skªadany 4.8. Oprocentowanie a inacja. Mianem inacji okre±lamy zjawisko spadku siªy nabywczej kapitaªu, czyli ilo±ci dóbr (towarów i usªug), które mo»emy kupi¢ za ten kapitaª. Miar¡ inacji w ustalonym okresie czasu jest stopa procentowa inacji , która wyra»a procentowy wzrost cen towarów i usªug w tym okresie. Poniewa» inacyjny wzrost cen w danym okresie nakªada si¦ na wzrost cen w poprzednim okresie, wi¦c model opisuj¡cy inacyjne zmiany cen jest modelem oprocentowania skªadanego ze zmiennymi w czasie stopami wyra»onego równaniem (4.11). Przypu±¢my, »e badamy inacyjne zmiany cen w m okresach. Niech: (j) iinf okresowa stopa inacji w okresie j = 1, 2, ..., m, finf m−okresowa stopa inacji (równa procentowi o jaki wzrosn¡ ceny ª¡cznie po upªywie ı̄inf m okresów), przeci¦tna w czasie m okresów stopa inacji. Zgodnie ze wzorami (4.16)-(4.17) mokresowy 1 + finf = Qm j=1 czynnik inacji 1 + iinf wynosi (j) 1 + iinf , czyli jest iloczynem czynników inacji z kolejnych okresów. Za± zgodnie z (4.15) przeci¦tna w czasie m podokresów stopa inacji wynosi ı̄inf p = m 1 + finf − 1 = r Qm m j=1 (j) 1 + iinf − 1. Bior¡c pod uwag¦ wpªyw inacji na zmian¦ warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego upªywie pewnego ustalonego okresu t (4.18) K0 po nale»y rozró»ni¢ jego wzrost nominalny np. zwi¡zany z faktem, »e kapitaª byª zdeponowany w banku, z jego wzrostem realnym zwi¡zanym z siª¡ nabywcz¡ tego kapitaªu. Zaªó»my, »e dana jest pewna stopa procentowa inom zwana w tym kontek±cie stop¡ nominaln¡. Wedªug tej stopy, po upªywie czasu t kapitaª ko«cowy b¦dzie wynosi¢ Knom = K0 (1 + inom ) . (4.19) Kreal tego kapitaªu zwi¡zana z jego siª¡ nabywcz¡ b¦dzie tyle razy mniejsza wzrosªy ceny w tym okresie. Je±li wi¦c iinf oznacza stop¦ inacji w tym okresie, Jednak warto±¢ ile razy to Kreal = 1 + inom Knom = K0 . 1 + iinf 1 + iinf (4.20) Powy»sze rozwa»ania pozwalaj¡ na formalne wprowadzenie poj¦¢ warto±¢ kapitaªu nominalnego i realnego. Warto±ci¡ nominaln¡ kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy danej stopie inom nazywamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (4.19), tzn. Knom := K0 (1 + inom ) . Aktualizacja: 9 czerwca 2011 31 Rozdziaª 4. Warto±ci¡ realn¡ kapitaªu Procent skªadany na koniec okresu dªugo±ci t przy stopie inacji iinf nazy- wamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (4.20) t.j. Kreal := Stop¡ realn¡ Knom . 1+iinf nazywamy liczb¦ ireal := 1 + inom − 1. 1 + iinf (4.21) Wobec (4.19)-(4.20) Kreal = czyli stopa ireal Knom K0 (1 + inom ) = = K0 (1 + ireal ) , 1 + iinf 1 + iinf jest w istocie stop¡ procentow¡ informuj¡c¡ o ile procent zmienia si¦ warto±¢ realna kapitaªu w badanym okresie czasu t. Bezpo±rednio z (4.21) wynika, »e 1 + inom = (1 + ireal ) (1 + iinf ) . Powy»sza zale»no±¢ nosi nazw¦ wzoru Fishera . (4.22) Mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e czynnik nominalnego oprocentowania kapitaªu jest iloczynem czynnika realnego wzrostu kapitaªu i czynnika inacji. Ze wzoru Fishera wynika, »e ireal = inom −iinf 1+iinf (4.23) oraz iinf = inom −ireal . 1+ireal Mamy Wªasno±¢ 4.3. 1. Stopy nominalna jest równa stopie realnej jedynie przy zerowej inacji. 2. Je±li iinf > 0, to ireal < inom − iinf . 3. Je±li iinf < 0, to ireal > inom − iinf = inom + |iinf | 4. ireal > 0 ⇔ iinf < inom W okresach, w których stopa inacji jest ujemna mówimy o jest stopa |iinf |. deacji , której miar¡ Wtedy wªasno±¢ 4.3.3 mówi, »e przy deacji (o stopie mniejszej ni» 1) warto±¢ realna jest wi¦ksza ni» stopa nominalna nawet powi¦kszona o stop¦ deacji. Przykªad 4.3. Tegoroczne ±rodki przyznane uczelni na prace naukowo-badawcze s¡ wy»sze do ubiegªorocznych o 22%. Jaki jest realny wzrost tego funduszy, je±li stopa inacji wynosi 13%? Przykªad pokazuje sens wzoru Fishera. Mam oczywi±cie, »e 1 + rreal = 1 + rnom 1.22 = ≈ 1.0796, 1 + rinf 1.13 sk¡d rreal = 7.96% Aktualizacja: 9 czerwca 2011 32 Rozdziaª 4. Przykªad 4.4. Procent skªadany 5% Przewiduj¡c stop¦ inacji rocznie ustalono, »e spªata po»yczki 6500 zª wyniesie po dwóch latach 8000 zª. Obliczymy realn¡ roczn¡ stop¦ oprocentowania po»yczki, je±li (a) poziom inacji b¦dzie zgodny z przewidywaniami, (b) w pierwszym roku inacja wyniesie 6%, a w drugim (Ad a) Obliczymy najpierw roczn¡ stop¦ nominaln¡ rnom 9%. oprocentowania po»yczki. Ponie- wa» 8000 = 6500 (1 + rnom )2 , wi¦c r rnom = 8000 − 1 ≈ 10.94%. 6500 Korzystaj¡c ze wzoru Fishera albo bezpo±rednio z (4.23) rreal = rnom − rinf 0.1094 − 0.05 = ≈ 5.66%. 1 + rinf 1 + 0.05 (Ad b) Stopa inacji zmieniaªa si¦ w ci¡gu caªego okresu dwóch lat. Mo»emy jednak obliczy¢ stop¦ przeci¦tn¡, która zgodnie z okre±leniem, wygenerowaªaby w okresie dwóch lat identyczny spadek warto±ci nominalnej kapitaªu. Zgodnie ze wzorem (4.18) r̄inf = p (1 + 0.06) (1 + 0.09) − 1 ≈ 7.49%. 0.1094 − 0.0749 rnom − rinf = ≈ 3.21%. 1 + rinf 1 + 0.0749 Powró¢my jeszcze do zale»no±ci mi¦dzy warto±ci¡ realn¡ kapitaªu i jego warto±ci¡ nominaln¡. Wobec okre±lenia warto±ci realnej Kreal Knom = Knom = 1 + iinf 1 + iinf − iinf 1 + iinf = Knom 1 − iinf 1 + iinf . Obliczenie kapitaªu realnego na podstawie kapitaªu realnego przypomina wi¦c operacj¦ dyskontowania ze stop¡ dinf := iinf . 1 + iinf Aktualizacja: 9 czerwca 2011 33 Rozdziaª 5 Warto±¢ kapitaªu w czasie 5.1. Model warto±ci kapitaªu w czasie. Jest rzecz¡ jasn¡, »e warto±¢ kapitaªu jest wielko±ci¡ zmienn¡ w czasie. Ta sama kwota pieni¦dzy posiadana 10 lat temu dzi± stanowi zupeªnie inn¡ warto±¢. W matematyce nansowej za aktualn¡ warto±¢ kapitaªu rozumie si¦ jego warto±¢ w chwili obecnej present value (PV). Dla oznaczenia przyszªej warto±ci kapitaªu u»ywa si¦ skrótu FV future value. Oczywi±cie dla obliczenia przyszªej warto±ci kapitaªu na podstawie warto±ci obecnej stosuje si¦ model oprocentowania, natomiast dla obliczenia warto±ci obecnej na podstawie warto±ci przyszªej model dyskontowania. Rozwa»my nast¦puj¡cy Przykªad 5.1. N pocz¡tku roku pan Kowalski ma zdeponowane na lokacie rocznej opro- centowanej 6% w skali roku 100000 zª. Na koniec roku pan Kowalski otrzyma 40000 zª jako zapªat¦ za pewn¡ prac¦ zlecon¡. Zauwa»my, »e 1. Pan Kowalski nie mo»e powiedzie¢, »e na koniec roku b¦dzie posiadaczem kwoty 140000 zª albowiem b¦dzie posiadaczem kwoty 40000 zª oraz 100000 zª powi¦kszonej o odsetki: 100000 · 1.06 + 40000 = 1460000. 2. W chwili obecnej pan Kowalski nie mo»e (na ogóª) uwa»a¢ si¦ za posiadacza kwoty 140000 zª. Gdyby chciaª za t¦ kwot¦ kupi¢ samochód, to nawet likwiduj¡c lokat¦ musiaªby wzi¡¢ kredyt na pozostaª¡ kwot¦. W sytuacji, gdyby otrzymaª kredyt do ko«ca roku musiaªby go spªaci¢ wraz z odsetkami, czyli w kwocie przekraczaj¡cej 40000zª. Powy»szy przykªad pokazuje, »e aby analizowa¢ warto±¢ kapitaªu potrzebne jest u»ycie jakiego± mechanizmu rachunkowego przeliczaj¡cego jego warto±¢ na wskazan¡ chwil¦ czasu. Oczywi±cie takim mechanizmem jest oprocentowania i dyskontowanie. Na ogóª do przeliczania warto±ci kapitaªu w czasie u»ywa si¦ modelu zwi¡zanego z procentem (dyskontem) skªadanym. Niech R 3 t 7→ K (t) b¦dzie funkcj¡ modeluj¡c¡ warto±¢ kapitaªu w czasie (t oznacza czas mierzony w latach). Przypu±¢my, »e znana jest jego warto±¢ K (t0 ) w chwili t0 . Za- stosujemy model wykªadniczy oprocentowania czyli model kapitalizacji ci¡gªej. Zaªó»my, 34 Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie »e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu ze stop¡ efektywn¡ mamy dla t ≥ t0 r > 0. Wobec (4.8) K (t) = K (t0 ) (1 + r)t−t0 , gdy» kapitaª podlega oprocentowaniu. Aby obliczy¢ warto±¢ kapitaªu dla t < t0 musimy zauwa»y¢, »e zgodnie z modelem wykªadniczym K (t0 ) = K (t) (1 + r)t0 −t , sk¡d K (t) = K (t0 ) (1 + r)t−t0 . Zatem, modelem zmiany warto±ci kapitaªu w czasie jest funkcja K (t) = K (t0 ) (1 + r)t−t0 , t ∈ R. (5.1) Oczywi±cie w przypadku, gdy kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu z kapitalizacj¡ okresow¡ powy»szy funkcja uci¡gla dyskretne zmiany warto±ci kapitaªu. Wtedy warto±ci t powinny by¢ dyskretne, zwi¡zane z dªugo±ci¡ okresu kapitalizacji (pami¦tajt wyra»a czas mierzony w latach). Za pomoc¡ rocznej stopy r nominalnej rc (speªniaj¡cej warunek (1 + r = e c ) model (5.1) mo»e by¢ wyra»ony jako argumentu my, »e w ka»dym wypadku K (t) = K (t0 ) erc (t−t0 ) . t0 jest arbitralny K (t1 ) = K (t0 ) (1 + r)t1 −t0 oraz Zwró¢my te» uwag¦, »e we wzorze (5.1) wybór chwili zast¡pi¢ dowolnie inn¡ chwil¡ t1 . Wtedy t0 mo»na K (t) = K (t0 ) (1 + r)t−t0 +t1 −t1 = K (t0 ) (1 + r)t1 −t0 (1 + r)t−t1 = K (t1 ) (1 + r)t−t1 . Kolejn¡ istotn¡ cech¡ modelu (5.1) jest jego addytywno±¢. To znaczy, je±li kapitaª podlegaj¡cy modelowi (5.1) jest sum¡ kapitaªów m X K (t) = K1 , . . . Km , K tzn. Kj (t) , j=1 to ka»dy z kapitaªów Kj zmienia sw¡ warto±¢ wedªug tego samego modelu tzn. K (t) = K (t0 ) (1 + r) t−t0 t−t0 = (1 + r) m X Kj (t0 ) = j=1 Przykªad 5.2. m X Kj (t0 ) (1 + r)t−t0 . j=1 Przypu±¢my, »e koszt produkcji towaru A wytwarzanego przez rm¦ B t przypadaj¡cy na jednostk¦ czasu w chwili wynosi c (t) (jest to tzw. strumie« kosztów produkcji wyra»ony w jednostkach monetarnych dzielonych przez czas; mo»na t¦ wielko±¢ uto»samia¢ z pr¦dko±ci¡ zmiany kosztów produkcji). Przypu±¢my, »e nie uwzgl¦dniamy zmiany warto±ci pieni¡dza w czasie. W tej sytuacji dla maªego przyrostu czasu t̄ do chwili t̄ + ∆t ∆t o chwili mo»na przyj¡¢, »e koszt produkcji nie zmienia si¦ w tym przedziale czasowym i w konsekwencji wynosi c (t̄) ∆t. Post¦puj¡c jak przy konstrukcji caªki w sensie Riemanna dostajemy, »e caªkowity koszt produkcji w czasie od t0 = 0 do chwili t = T wynosi Z T c (t) dt. 0 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 35 Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie Taki sposób obliczenia kosztów caªkowitych nie uwzgl¦dnia realnej zmiany warto±ci pieni¡dza. Nale»y najpierw zaktualizowa¢ poszczególne warto±ci kosztu na jeden wspólny moment i dopiero pó¹niej dokona¢ obliczenia kosztu caªkowitego. Przypu±¢my, »e dokonamy aktualizacji funkcji kosztu na chwil¦ ko«cow¡ realny koszt produkcji na chwil¦ kosztów b¦d¡ miaªy w chwili T t = T, t = T. a dla chwil Wtedy funkcja t<T c b¦dzie odzwierciedlaªa pieni¡dze wydawane na pokrycie na ogóª realn¡ warto±¢ wi¦ksz¡ ni» ich ówczesna warto±¢ nominalna. Zakªadaj¡c zmian¦ warto±ci kapitaªu zgodn¡ z modelem oprocentowania ze stop¡ efektywn¡ r>0 realny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci c (t) (1 + r)T −t . Caªkowity koszt wynosi¢ wi¦c b¦dzie T Z C (T ) = c (t) (1 + r)T −t dt. 0 Odwrotnie, je±li szacujemy caªkowity koszt produkcji dla chwili dawana w chwilach bliskich T t = 0, to kwota c (t) wy- b¦dzie miaªa mniejsz¡ warto±¢ realn¡ od nominalnej, st¡d realny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci c (t) (1 + r)−t , a caªkowity koszt Z C (0) = T c (t) (1 + r)−t dt. 0 Zwró¢my uwag¦, »e mo»emy równie» znaj¡c caªkowity zaktualizowany na chwil¦ t0 wyrazi¢, korzystaj¡c z modelu wykªadniczego przeliczy¢ go na dowoln¡ chwil¦ Na C (τ ) = C (t0 ) (1 + r)τ −t0 . RT T −t przykªad znaj¡c koszt C (T ) = 0 c (t) (1 + r) dt mamy Z T Z −T −T T −t C (0) = C (T ) (1 + r) = (1 + r) c (t) (1 + r) dt = 0 T τ: c (t) (1 + r)−t dt. 0 W obu przypadkach dostajemy identyczny efekt ko«cowy. 5.2. Zasada równowa»no±ci kapitaªów. Zasada równowa»no±ci kapitaªów jest jedn¡ z najwa»niejszych zasad matematyki nansowej. Pozwala ona zbada¢, czy dwa modele zmienno±ci kapitaªu w czasie opisuj¡ zmiany tego samego kapitaªu. Punktem wyj±cia do naszych rozwa»a« jest poni»sza Zasada równowa»no±ci kapitaªów w momencie t. wa»ne w chwili t, Kapitaªy K1 i K2 s¡ równo- je±li ich warto±ci zaktualizowane na t¦ chwil¦ s¡ równe. Wyprowadzimy teraz formalne warunki równowa»no±ci kapitaªów. Zakªadamy caªy czas, »e warto±¢ kapitaªu w czasie jest zgodna z modelem wykªadniczym (5.1) z ustalon¡ roczn¡ stop¡ efektywn¡ r. Niech K1 (t) = K1 (t1 ) (1 + r)t−t1 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 (5.2) 36 Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie oraz K2 (t) = K2 (t2 ) (1 + r)t−t2 , K1 (t1 ) , K2 (t2 ) > 0. Zgodnie chwili t, wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie (5.3) z powy»sz¡ zasad¡ kapitaªy te b¦d¡ równowa»ne w K1 (t1 ) (1 + r)t−t1 = K2 (t2 ) (1 + r)t−t2 , sk¡d dziel¡c obie strony przez (1 + t)t−t2 K1 (t1 ) (1 + r)−t1 = K2 (t2 ) (1 + r)−t2 . Je±li rc oznacza roczn¡ stop¦ nominaln¡ oprocentowania ci¡gªego równowa»n¡ stopie (5.4) r, to warunek równowa»no±ci ma posta¢ K1 (t1 ) e−rc t1 = K2 (t2 ) e−rc t2 . Wida¢, »e w obu wzorach (5.4) i (5.5) nie wyst¦puje chwila Wªasno±¢ 5.1. Kapitaªy nowa»ne w chwili t K1 i (5.5) t, st¡d mamy K2 opisane modelami (5.2) i (5.3) odpowiednio, s¡ rów0 wtedy i tylko wtedy, gdy s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t . Wobec powy»szej wªasno±ci mo»emy mówi¢ o równowa»no±ci kapitaªów niezale»nie od czasu, czyli prowadzi¢ nasze dalsze rozwa»ania w oparciu o zasad¦ równowa»no±ci sformuªowan¡ nast¦puj¡co: Zasada równowa»no±ci kapitaªów. Kapitaªy K1 i K2 , opisane modelem wykªadni- czym, s¡ równowa»ne je±li s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t. Ze wzoru (5.4) wynika te» natychmiast Wniosek 5.1. Dwa kapitaªy K1 i K2 opisane modelami (5.2) i (5.3) odpowiednio, s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy K1 (t1 ) K2 (t2 ) = (1 + r)t2 −t1 . (5.6) Ponadto, relacja równowa»no±ci kapitaªów jest relacj¡ przechodni¡. Wszystkie powy»sze rozwa»ania zostaªy przeprowadzone przy danej z góry stopie proZauwa»my, »e je»eli kapitaªy K1 i K2 s¡ równowa»ne przy stopie r, to dla 0 dowolnej innej stopy r równowa»no±¢ kapitaªów oznaczaªaby na mocy poprzedniej wªacentowej r. sno±ci, »e t −t1 (1 + r)t2 −t1 = (1 + r0 ) 2 , sk¡d t2 = t1 . Czyli równowa»no±¢ przy nowej stopie byªaby mo»liwa, gdyby zmiana stopy nast¡piªa dla obu kapitaªów w tym samym momencie, w pozostaªych przypadkach kapitaªy nie b¦d¡ równowa»ne. Rozwa»aj¡c model wykªadniczy kapitaªu w czasie mo»na równie» postawi¢ nast¦puj¡cy problem. Zaªó»my, »e mamy dane dwa kapitaªy K1 i K2 , których warto±ci K1 (t1 ) i K2 (t2 ) Aktualizacja: 9 czerwca 2011 37 Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie w chwilach t1 i t2 s¡ dane. Przy jakiej stopie r kapitaªy te s¡ równowa»ne? Ze wzoru (5.6) dostajemy natychmiast, »e stopa ta speªnia warunek r= K1 (t1 ) K2 (t2 ) 1 2 −t1 t − 1. Na zako«czenie rozwa»my jeszcze przypadek, w którym dane s¡ dwa ci¡gi kapitaªów j = 1, 2, ..., m oraz Nj , j = 1, 2, ..., n. Powiemy, »e powy»sze ci¡gi s¡ ci¡gami kapitaªów, je±li kapitaªy K1 oraz K2 postaci K1 (t) = m X Mj , równowa»nymi Mj (t) j=1 oraz K2 (t) = n X Nj (t) j=1 s¡ równowa»ne. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 38 Cz¦±¢ II Modele matematyczne. 39 Rozdziaª 6 Pochodna funkcji w ekonomii Przyjmijmy oznaczenie R+ := [0, ∞) . 6.1. Funkcja kra«cowa C : R+ → R+ opisuje koszt produkcji pewnego towaru w zale»no±ci od liczby x ∈ R+ wielko±¢ C (x) oznacza wi¦c koszt wyprodukowania x jednostek towaru. Funkcj¦ C b¦dziemy nazywa¢ funkcj¡ kosztu caªkowitego. Dalej, dla x > 0 wielko±¢ C (x) c (x) := x oznacza koszt jednostkowy wyprodukowania x jednostek towaru, tzn. koszt, jaki przypada na produkcj¦ jednej jednostki towaru przy poziomie produkcji x jednostek. Funkcj¦ c : (0, ∞) → R+ nazywamy funkcj¡ kosztu przeci¦tnego . Niech funkcja wyprodukowanych jednostek. Dla Niech x0 ∈ R+ , ∆x > 0 wtedy iloraz ró»nicowy C (x0 + ∆x) − C (x0 ) ∆x oznacza przeci¦tny koszt wyprodukowania dodatkowych mie produkcji x0 . ∆x jednostek towaru przy pozio- Granic¦ C (x0 + ∆x) − C (x0 ) , ∆x→0 ∆x C 0 (x0 ) := lim o ile istnieje, nazywamy mie produkcji x0 . kosztem kra«cowym (marginalnym) Zakªadaj¡c ró»niczkowalno±¢ funkcji kosztu kra«cowego. Mamy te», »e dla maªych ∆x C funkcj¦ produkcji przy pozio- C0 nazywamy funkcj¡ C (x0 + ∆x) − C (x0 ) ≈ C 0 (x0 ) ∆x, co, uznaj¡c ∆x = 1 za wielko±¢ maª¡, daje przybli»on¡ informacj¦, »e je±li zwi¦kszymy produkcj¦ z poziomu C 0 (x0 ) . x0 Wielko±¢ produkcji jednostek o jedn¡ jednostk¦, to koszt produkcji zwi¦kszy si¦ o x0 dla której koszt przeci¦tny c(x) wyprodukowania jednostki da- nego dobra przez przedsi¦biorstwo osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡ nazywamy nologicznym. 40 optimum tech- Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii Przykªad 6.1. 3 C(x) = x − Koszt wytworzenia x jednostek produkcji dla x ≥ 0 okre±lony jest funkcj¡ 60x2 + 1528x. Funkcja kosztów kra«cowych, a wi¦c pochodna funkcji C ma posta¢ C 0 (x) = 3x2 − 120x + 1528. Dla produkcji wynosz¡cej x = 5, koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie C (6) − C (5) = 7224 − 6265 = 959, C 0 (5) = 1003 a koszt kra«cowy ma warto±¢ jednostki, zatem skorzystanie z interpretacji kosztu kra«cowego daj¦ mocno przybli»ony wynik. Je»eli x = 100, to koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie C (101) − C (100) = 572 569 − 552 800 = 19 769, a koszt kra«cowy ma warto±¢ C 0 (100) = 19 528 jednostek. Widzimy wi¦c, »e nawet stosu- j¡c przybli»on¡ za pomoc¡ funkcji kosztu kra«cowego warto±¢ wyprodukowania dodatkowej jednostki towaru mo»emy wyci¡gn¡¢ wniosek, »e zwi¦kszanie produkcji opªaca si¦ bardziej przy produkcji na poziomie x=5 jednostek ni» na poziomie x = 100 jednostek. Nast¦pnie koszt przeci¦tny okre±la funkcja postaci c(x) = C(x) = x2 − 60x + 1528. x Mamy wi¦c, »e minimalna warto±¢ funkcji produkcji x = 30 c jest osi¡gni¦ta dla x = 30. Zatem wielko±¢ stanowi optimum technologiczne. Zauwa»my te», »e c(30) = 628 = C 0 (30) Wªasno±¢ 6.1. Niech x0 b¦dzie optimum technologicznym, wówczas c(x0 ) = C 0 (x0 ). Dowód. Niech x0 b¦dzie wielko±ci¡ produkcji. Skoro to 0 c (x0 ) = 0 ⇔ st¡d C(x) x x0 jest optimum technologicznym, 0 = 0, x=x0 C 0 (x0 )x0 − C(x0 ) = 0, x20 czyli C(x0 ) = C 0 (x0 ), x0 zatem c(x0 ) = C 0 (x0 ). Ostatnia równo±¢ oznacza, »e krzywa kosztów kra«cowych przecina si¦ z krzyw¡ kosztów przeci¦tnych w punkcie oznaczaj¡cym jej minimum. Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi sprzeda» towaru. Niech nostek towaru sprzedawanych przez ten zakªad. oznaczmy przez Aktualizacja: 9 czerwca 2011 x ≥ 0 oznacza ilo±¢ jedU (x) utarg caªkowity , 41 Rozdziaª 6. czyli przychód ze sprzeda»y cj¡ utargu caªkowitego za sprzeda» x x Pochodna funkcji w ekonomii jednostek towaru. Funkcja U : R+ → R+ jest, wi¦c funk- czyli funkcj¦ opisuj¡c¡ kwot¦, jak¡ przedsi¦biorstwo otrzyma jednostek towaru. Zakªadaj¡c, »e zmian utargu zakªadu przy sprzeda»y x U jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ szybko±¢ jednostek wynosi: ∆U . ∆t→0 ∆x U 0 (x) = lim funkcj¡ utargu kra«cowego 0 Tak jak w przypadku kosztu U nazywana jest . Zatem utarg 0 kra«cowy U jest równy wzrostowi sprzeda»y je±li zwi¦kszymy j¡ o dodatkow¡ jednostk¦ towaru. Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi produkcj¦ i sprzeda» produktu. Niech cza zysk caªkowity Funkcj¦ Z : R+ → R+ przedsi¦biorstwa przy produkcji i sprzeda»y nazywamy x Z(x) ozna- jednostek towaru. funkcj¡ zysku caªkowitego . Oczywi±cie Z(x) = U (x) − C(x) dla x ≥ 0, U (x) oznacza utarg, a C(x) koszt caªkowity produkcji x jednostek danego produktu. gdzie St¡d dostajemy natychmiast Wªasno±¢ 6.2. Je±li x0 jest wielko±ci¡ produkcji dla której przedsi¦biorstwo osi¡ga zysk 0 0 maksymalny, to C (x0 ) = U (x0 ), czyli koszt kra«cowy dla produkcji o wielko±ci x0 jest równy utargowi kra«cowemu dla Przykªad 6.2. x0 . Cena zbytu wyrobu jest równa p(x) = 40 − 0.03x, gdzie x oznacza liczb¦ jednostek wyrobu. Koszt caªkowity x jednostek wyrobu w pewnym zakªadzie dany jest wzo2 rem C(x) = 0.01x + 20x + 225. Dla jakiej wielko±ci produkcji zysk na jednostk¦ wyrobu jest najwi¦kszy? Mamy C 0 (x) = 0.02x + 20, Z (x) = (xp (x) − C (x)) = 20x − 0.04x2 − 225, Z 0 (x) = −0.08x + 20. Niech x0 b¦dzie wielko±ci¡ produkcji odpowiadaj¡c¡ zyskowi maksymalnemu, wtedy U 0 (x0 ) = C 0 (x0 ), sk¡d x0 = 250. 6.2. Elastyczno±¢ funkcji f : (a, b) → R, ((a, b) ⊂ R+ ), x0 ∈ (a, b) (x0 + ∆x) ∈ (a, b). Niech »e oraz niech Przyrostem wzgl¦dnym warto±ci funkcji f ∆x b¦dzie takim przyrostem, dla argumentu x0 i przyrostu ∆x nazywamy liczb¦ f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆y := , y f (x0 ) Aktualizacja: 9 czerwca 2011 42 Rozdziaª 6. o ile f (x0 ) 6= 0. Pochodna funkcji w ekonomii Liczb¦ ∆x x0 przyrostem wzgl¦dnym argumentu dla argumentu x0 . Elastyczno±ci¡ przeci¦tn¡ funkcji f w przedziale hx0 , x0 +∆xi nazywamy stosunek nazywamy wzgl¦dnego przyrostu funkcji do wzgl¦dnego przyrostu argumentu f (x0 + ∆x) − f (x0 ) x0 · f (x0 ) ∆x i oznaczamy symbolem (6.1) Ex0 ,∆x f . Elastyczno±ci¡ funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic¦ (o ile istnieje) lim Ex0 ,∆x f ∆x→0 i oznaczamy Ex0 f . Uwaga 6.1. Je±li ∆x = 0.01x0 = 1% · x0 , Ex0 f ≈ Ex0 ,∆x f = to f (x0 + ∆x) − f (x0 ) · 100%. f (x0 ) Ex0 f jest wi¦c (w przybli»eniu) miar¡ przeci¦tnego procentowego funkcji f , odpowiadaj¡cego przyrostowi warto±ci argumentu x o 1%. Elastyczno±¢ warto±ci przyrostu Mamy nast¦puj¡c¡ Wªasno±¢ 6.3. Je»eli f (x0 ) 6= 0, to Ex0 f = f 0 (x0 ) x0 . f (x0 ) (6.2) Dowód. Mamy, »e x0 x0 f (x0 + ∆x) − f (x0 ) · = f 0 (x0 ) . ∆x→0 ∆x f (x0 ) f (x0 ) lim Ex0 ,∆x f = lim ∆x→0 Wªasno±¢ 6.4. x0 , x funkcji f wzrasta o p% od pewnej si¦ o q%, gdzie Je»eli argument to warto±¢ funkcji zmienia warto±ci pocz¡tkowej q ≈ pEx0 f. Dowód. Niech x0 b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡. Przypu±¢my, »e argument x wzrósª o p%, co wywoªaªo zmian¦ warto±ci funkcji o f (x0 + q% (licz¡c od f (x0 )), wtedy p q x0 ) − f (x0 ) = f (x0 ). 100 100 (6.3) Mamy, »e f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ f 0 (x0 ) ∆x, Aktualizacja: 9 czerwca 2011 43 Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii sk¡d Ex0 f = Przyjmuj¡c ∆x = x0 f (x0 + ∆x) − f (x0 ) x0 0 f (x0 ) ≈ f (x0 ) f (x0 ) ∆x p x otrzymujemy z (6.3), »e 100 0 E x0 f ≈ q · f (x0 ) x0 100 q = , p f (x0 ) 100 x0 p zatem q ≈ pEx0 f. Przykªad 6.3. Obliczymy elastyczno±¢ funkcji f (x) = w punkcie 2x , x+8 x>0 x0 = 2. Poniewa» f 0 (x) = 16 , zatem (x+8)2 16 8 1 = . Ex0 f = (x + 8) 2 2 (x + 8) x+8 Dla x0 = 2 1%, to warto±¢ funkcji mamy wi¦c, »e f E2 f = 0.8. Oznacza to, »e je±li argument wzro±nie o okoªo x0 = 2 wzro±nie o 0.8%. Porównamy ten wynik z wynikiem dokªadnym: f (x0 + 0.01x0 ) = f (2 + 0.02) = f (2.02) = oraz f (x0 ) = f (2) = 2 · 2.02 4.04 202 = = 2.02 + 8 10.02 501 4 = 0.4. 10 Sk¡d 202 f (x0 + 0.01x0 ) 202 10 505 · 100% = 501 · 100% = · · 100% = · 100% ≈ 100.798 403 2, f (x0 ) 0.4 501 4 501 czyli wzrost nast¡piª o 0.798 403 2%. Widzimy wi¦c, »e stosuj¡c wzór na elastyczno±¢ funkcji w punkcie rozwi¡zanie jest znacznie krótsze. Uwaga 6.2. Wªasno±¢ 6.4 podaje przybli»ony wzrost procentowy funkcji jednak, »e warto±¢ pEx0 f f Zauwa»my jest dokªadnie równa procentowi o jaki wzrosªa warto±¢ funkcji przy wzro±cie argumentu o »e dla funkcji liniowej f. p%, je±li funkcja jest liniowa. Wynika to bezpo±rednio z faktu, zachodzi wzór f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) ∆x. Innymi sªowy, dla funkcji liniowej elastyczno±¢ przeci¦tna i elastyczno±¢ s¡ równe. Powy»szy wniosek pozostaje prawdziwy, je±li przyrost przedziale (x0 , x0 + ∆x) ∆x jest na tyle maªy, »e funkcja f na jest liniowa (lub mo»e by¢ tak traktowana). Aktualizacja: 9 czerwca 2011 44 Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii f(x) f(x) STYCZNA STYCZNA f(x) 0 f(x) 0 k k X0 X0 Rysunek 6.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x0 . 6.2.1. Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x0. x0 warto±¢ f 0 (x0 ) jest wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )). Niech x1 oznacza miejsce zerowe tej stycznej oraz niech k := x0 − x1 . Wówczas f 0 (x0 ) = f (xk 0 ) . St¡d Zgodnie z geometryczn¡ interpretacj¡ pochodnej funkcji Ex0 f (x0 ) = f w punkcie x0 f (x0 ) x0 x0 0 f (x0 ) = = . f (x0 ) f (x0 ) k k Analizuj¡c funkcj¦ przedstawion¡ na rysunku 6.1 z lewej strony widzimy, »e elastyczx0 jest wi¦ksza od 1, czyli Ex0 f (x0 ) = xk0 > 1, gdy» x0 > k, za± funkcja z prawej strony ma elastyczno±¢ w punkcie x0 mniejsz¡ od 1, czyli Ex0 f (x0 ) = x0 < 1, gdy» x0 < k . k no±¢ funkcji w punkcie 6.2.2. Elastyczno±¢ funkcji kosztów. C : R+ → R+ oznacza funkcj¦ kosztu caªkowitego (C(x) oznacza koszt caªkowity wytworzenia x jednostek produktu). Zaªó»my, »e C jest ró»niczkowalna. Wówczas zgodnie ze wzorem (6.2) elastyczno±¢ kosztu (przy zaªo»eniu, »e C(x) > 0) wynosi Niech Ex C = Je±li wi¦c c x C 0 (x). C(x) oznacza funkcj¦ kosztu przeci¦tnego, to C 0 (x) Ex C = . c(x) Aktualizacja: 9 czerwca 2011 45 Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest wi¦c równa stosunkowi (ilorazowi) kosztu caªkowitego do kosztu przeci¦tnego. Dla kosztu przeci¦tnego c mamy Ex c = x 0 c (x). c(x) (6.4) Mamy Wªasno±¢ 6.5. Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest o jeden wi¦ksza od elastyczno±ci kosztu przeci¦tnego Ex c + 1 = Ex C. Dowód. x x 0 c (x) = C(x) · Ex c = c(x) x C(x) x 0 x2 xC 0 (x) − C(x) x = · C 0 (x) − 1 = Ex C − 1. = 2 C(x) x C(x) 6.2.3. Elastyczno±¢ funkcji popytu. Zajmiemy si¦ teraz rozwa»aniem dotycz¡cym zmian popytu. W ekonomii popyt okre±la ilo±¢ dobra (usªugi), jak¡ nabywcy s¡ gotowi zakupi¢ (naby¢) przy ró»nej wysoko±ci ceny w danym czasie przy zaªo»eniu, »e inne czynniki maj¡ce wpªyw na popyt pozostaj¡ niezmienne. Zmiana popytu zachodzi pod wpªywem licznych czynników takich jak: wysoko±¢ ceny, dochód, liczba nabywców, zmiana cen innych dóbr, reklama i preferencje nabywców. Dokªadniej omówimy dwa z tych czynników: zmian¦ wielko±ci cen dóbr i wysoko±ci dochodu konsumenta. Cz¦sto aby zilustrowa¢ popyt rozwa»a si¦ tak zwan¡ krzyw¡ popytu. Jest to zale»- no±¢ mi¦dzy ilo±ci¡ danego towaru, jaki mo»e by¢ wchªoni¦ty przez rynek, a czynnikiem ksztaªtuj¡cym popyt np. cen¡ towaru na rynku. Naturalne jest, »e je±li cena danego dobra ro±nie, to wyst¦puje spadek wielko±ci popytu i odwrotnie gdy cena maleje wówczas nast¦puje zwi¦kszenie wielko±ci popytu jest, to tak zwane prawo popytu. Cena p2 q1 q2 p1 x1 x2 Ilość Rysunek 6.2 Krzywa popytu. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 46 Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii Cenowa elastyczno±¢ popytu Zaªó»my, »e zmiana popytu jest wyra»ona za pomoc¡ funkcji ilo±ci towaru »e zosta¢ wchªoni¦ty przez rynek a jego cen¡ jednostkow¡ p. q, jaki mo- Wra»liwo±¢ zmian popytu cenow¡ elastyczno±ci¡ popytu. Jej warto±¢ (dla konkretnej warto±ci ceny) nazywa si¦ wspóªczynnikiem elastyczno±ci cenowej popytu. na zmian¦ cen dóbr mierzy si¦ przy pomocy elastyczno±ci funkcji Dokonuj¡c linearyzacji funkcji q (p), q (p) zwanej czyli zakªadaj¡c, »e zmiana funkcji q ma, przy- najmniej lokalnie charakter liniowy, mamy, »e elastyczno±¢ cenowa popytu to stosunek wzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu do wzgl¦dnej (procentowej), (maªej), zmiany ce- p, to przy takim zaªo»eniu wspóªczynnik elastyczno±ci c (deniowany jako warto±¢ elastyczno±ci w punkcie p) okre±la (w przybli»eniu tak dobrym, jak zaªo»enie liniowo±ci funkcji w otoczeniu punktu p jest realne), o ile procent zmieni ny. Je±li ustalimy argument (zmniejszy lub zwi¦kszy) si¦ popyt na dane dobro w przypadku gdy jego cena zmieni si¦ (wzro±nie lub spadnie) o Przykªad 6.4. 1%. Zaªó»my, »e p jest cen¡ towaru za± q oznacza popyt na dany towar (ilo±¢ towaru, jaka mo»e by¢ wchªoni¦ta przez rynek). Niech cena pocz¡tkowa towaru wynosi p0 = 30 jednostek pieni¦»nych, nast¦pne cena ta zostaªa zwi¦kszona o ∆p = 6 jednostki pieni¦»ne. Wzgl¦dna zmiana ceny, wi¦c wynosi 6 ∆p = = 20% p 30 Nast¦pnie zaªó»my, »e cenie zwi¦kszonej o 6 p0 = 30 odpowiada popyt jednostek od pozycji wyj±ciowej, czyli q = 200 jednostek towaru, a cenie p + ∆p = 36 odpowiada popyt q + ∆q = 190 jednostek towaru, st¡d mamy ∆q = −10, zatem wzgl¦dna zmiana popytu wynosi −10 ∆q = = −5%. q 200 Zaªó»my, »e popyt jest funkcj¡ liniow¡ (przynajmniej w otoczeniu p0 ). Elastyczno±¢ cenowa popytu w naszym przypadku b¦dzie równa ∆q ∆p 1 : =− . q p 4 Widzimy wi¦c, »e w naszym przypadku wzrost (b¡d¹ spadek) ceny szenie (b¡d¹ zwi¦kszenie) popytu o p o 1% spowoduje zmniej- 0.25%. |c | mo»e przyjmowa¢ war(0; ∞) dlatego przyj¦to konwencje wedªug której okre±lamy czy funkcja Bezwzgl¦dny wspóªczynnik cenowej elastyczno±ci popytu to±ci z przedziaªu popytu jest elastyczna w pewnym punkcie. A zatem gdy: • |c | = 0 oznacza, »e zmiany ceny jakie wyst¡piªy nie spowodowaªy zmiany popytu. Popyt jest wówczas • |c | < 1 doskonale nieelastyczny (sztywny). wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest wi¦ksza ni» wzgl¦dna zmiana popytu, czyli je±li wzrostowi ceny o 1% odpowiada zmiana warto±ci popytu mniejsza ni» 1%. W tym przypadku mówimy, »e popyt jest nieelastyczny . Aktualizacja: 9 czerwca 2011 47 Rozdziaª 6. • |c | = 1 Pochodna funkcji w ekonomii wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest równa wzgl¦dnej zmianie popytu, czyli je±li cena wzro±nie np. o nazywamy 1% to popyt zmieni sam¡ warto±¢ o 1% tak¡ elastyczno±¢ elastyczno±ci¡ wzorcow¡ a popyt o tej wªasno±ci popytem neutralnym . • |c | > 1 wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest mniejsza od wzgl¦dnej zmiany popytu, czyli wzrost ceny o 1% spowoduje zmian¦ wielko±ci popytu o warto±¢ wi¦ksza od wzrostu ceny - wi¦ksz¡ ni» 1%. Mówimy wi¦c, »e popyt jest elastyczny (silnie elastyczny). • |c | → ∞ wówczas mówimy, »e popyt jest W przypadku gdy c < 0 doskonale elastyczny . wówczas jest to tzw. paradoks cenowy, czyli wzrost ceny powoduje wzrost wielko±ci popytu, a spadek ceny powoduje spadek wielko±ci popytu. ∆q : ∆p = − 41 , a wi¦c zmiana ceny jaka q p wyst¡piªa jest wi¦ksza od zmiany warto±ci popytu, czyli |c | < 1, wi¦c popyt jest nieelaWracaj¡c do przykªadu 6.4 otrzymali±my styczny. Znajomo±¢ elastyczno±ci cenowej popytu ma du»e znaczenie ekonomiczne dla przedsi¦biorcy poniewa» pozwala przewidzie¢ reakcj¦ jaka wyst¡pi na rynku w przypadku zmian cen towarów, czyli w jakim stopniu zmiany cen wpªyn¡ na popyt. Przykªad 6.5. Znaj¡c warto±¢ elastyczno±ci cenowej popytu wiemy jak powinni±my zmie- ni¢ wysoko±¢ opªat za przejazd autobusem, aby nast¡piª wzrost przychodów MPK za korzystanie z transportu publicznego. W przypadku gdy popyt na przejazdy jest elastyczny w stosunku do ceny, wówczas podwy»ka opªat za bilety zmniejszy przychody MPK. Obni»aj¡c wysoko±¢ opªaty za przejazdy, spowoduje zwi¦kszenie liczby ch¦tnych korzystaj¡cych z usªug transportu autobusowego a przy tym podniesie wpªywy MPK. Gdyby jednak popyt na przejazdy autobusem byª nieelastyczny, nale»aªoby wprowadzi¢ podwy»k¦ cen biletów. Dochodowa elastyczno±¢ popytu Kolejnym wa»nym czynnikiem wpªywaj¡cym na zmian¦ popytu jest wielko±¢ dochodu w (d) ilo±ci towaru w, jaki mo»e wchªon¡¢ rynek d. Wówczas mo»emy mówi¢ o dochodowej ela- konsumenta. Rozwa»amy wi¦c zale»no±¢ w zale»no±ci od dochodu konsumenta styczno±ci popytu. d Rozumuj¡c jak poprzednio wprowadzamy (dla ustalonego dochodu przy zaªo»eniu lokalnej liniowo±ci funkcji w) miernik sªu»¡cy do oceny wpªywu zmiany dochodu konsumenta na popyt, czyli stosunek wzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu do wzgl¦dnej (procentowej) zmiany dochodu d = Wtedy d ∆w ∆d : . w d jest równy warto±ci elastyczno±ci funkcji (6.5) w w punkcie d i mierzy siª¦ reakcj¦ popytu na zmian¦ dochodu konsumenta, czyli o ile procent wzro±nie popyt gdy dochód konsumenta wzro±nie o 1%. Podobnie jak dla elastyczno±ci cenowej popytu wyró»nia- my takie same rodzaje popytu: elastyczny, doskonale elastyczny, neutralny, nieelastyczny. Zwró¢my te» uwag¦, »e wyst¦puje równie» zjawisko, które polega na spadku popytu na niektóre towary mimo wzrostu dochodu gdy |d | < 0 (np. zast¡pienie dotychczas nabywa- nego produktu takim samym tylko w wy»szej jako±ci). Aktualizacja: 9 czerwca 2011 48 Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii Na podstawie przyjmowanych warto±ci wska¹nika dochodowej elastyczno±ci popytu mo»emy dokona¢ rozró»nienia nast¦puj¡cych dóbr: • je±li d < 0, to mamy do czynienia z popytem na tzw. (podrz¦dne). S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w > 0) i odwrotnie, popyt na < 0). Przykªadem mo»e tu by¢ dobra ni»szego rz¦du < 0) wraz ze wzrostem dochodu konsumentów (∆d nie ro±nie (∆w dochody spadaj¡ (∆d u»ywana niskogatunkowa > 0), gdy odzie». • je±li d > 0, to mamy do czynienia z popytem na tzw. S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w mentów (∆ < 0) oraz ro±nie (∆w > 0), < 0) dobra normalne (zwykªe). wraz ze spadkiem dochodu konsu- gdy dochody rosn¡ (∆d > 0). Rozró»niamy dobra normalne dwojakiego rodzaju dobra podstawowe (niezb¦dne) charakteryzuje je wspóªczynnik d ∈ [0, 1], s¡ to dobra pierwszej potrzeby np. chleb, dobra luksusowe (dobra wy»szego rz¦du), dla których d > 1 s¡ to przewa»nie towary wysokiej jako±ci. Wykorzystanie dochodowej elastyczno±ci popytu odgrywa istotn¡ role w ekonomii, jest niezb¦dne do prognozowania zmian w strukturze popytu konsumpcyjnego, zachodz¡cych pod wpªywem wzrostu zamo»no±ci konsumentów jak i wzrostu gospodarczego (czyli w zwi¦kszeniu rocznej produkcji dóbr i usªug). Informacje które dotycz¡ce zmian ilo±ci asortymentu produkcji wskazuje wªa±nie warto±¢ wska¹nika elastyczno±ci dochodowej popytu. W przypadku gdy nast¦puje wzrost dochodów konsumentów wówczas producent w celu osi¡gni¦cia najwy»szych wpªywów ze sprzeda»y dóbr, mo»e zwi¦kszy¢ swoj¡ produkcje dóbr normalnych lub te» zast¡pi¢ dobra podrz¦dne innymi, posiadaj¡cymi wy»szy standard lub takimi które b¦d¡ atrakcyjniejsze dla klientów itp. Je±li za± dochód konsumentów maleje wówczas producent powinien obni»y¢ produkcje dóbr normalnych a zwi¦kszy¢ produkcj¦ dóbr podrz¦dnych, w szczególno±ci tych wy»szego rz¦du (tzw. luksusowych). 6.3. Funkcje Törnquista Szwedzki ekonomista Törnquist badaª zale»no±¢ pomi¦dzy wydatkami na zakup dóbr a wielko±ci¡ dochodów konsumentów. Zaproponowaª on wymierny model krzywej popytu jako funkcji dochodu konsumentów. Rozró»nia si¦ trzy rodzaje funkcji Törnquista: • dla dóbr podstawowych: T1 (x) = a · • x , x+b gdzie x>0 oraz a, b > 0; dla dóbr wy»szego rz¦du: T2 (x) = a · x−c , x+b gdzie x≥c oraz Aktualizacja: 9 czerwca 2011 a, b, c > 0; 49 Rozdziaª 6. • dla dóbr luksusowych: T3 (x) = a · x · gdzie Pochodna funkcji w ekonomii x x−c , x+b oznacza dochód, za± parametry gdzie a, b, c x≥c oraz a, b, c > 0 s¡ pewnymi staªymi (przy czym parametry te dla ka»dej funkcji mog¡ by¢ ró»ne). Przedstawimy teraz wykresy ka»dej z powy»szych funkcji oraz omówmy ich interpretacj¦ ekonomiczn¡. 1. Funkcja Törnquista dla dóbr pierwszej potrzeby (podstawowych): T1 (x) = a · gdzie x>0 oraz a, b > 0. Wykres funkcji x , x+b T1 jest postaci: f1(x) a 0 X Rysunek 6.3 Wykres funkcji dla dóbr podstawowych. Widzimy, »e dobra pierwszej potrzeby nabywane s¡ ju» przy najni»szych dochodach. Wydatki konsumentów s¡ rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów, czyli zwi¦kszaj¡ si¦ wraz ze wzrostem wielko±ci dochodów. Jednak wzrost ten mimo wzrostu dochodu jest coraz wolniejszy. Zauwa»my, »e x = a, x→∞ x+b asymptot¦ poziom¡ y = a, lim a · a wi¦c krzywa T1 ma oznacza to »e istnieje poziom nasycenia, czyli cho¢by dochód rósª nieograniczenie, to wydatki nie przekrocz¡ tego poziomu. Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem: Ex0 T1 = x0 · Obliczaj¡c granice Ex0 T1 x0 + b ab b · = . ax0 (x0 + b)2 x0 + b w niesko«czono±ci mamy b = 0. x→∞ x0 + b lim Aktualizacja: 9 czerwca 2011 (6.6) 50 Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii Ex(0f1) 1 0 X Rysunek 6.4 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr podstawowych. Z wykresów 6.4 oraz 6.6 wida¢, »e gdy dochód konsumenta ro±nie, to warto±¢ ela- T1 jest, wi¦c nieelastyczny, poniewa» elastyczno±¢ jest zawsze mniejsza od 1, Ex0 T1 < 1 dla ka»dego x0 > 0 gdy» b > 0. Oznacza to, »e wzrost dochodów o 1% powoduje wzrost wydatków (popytu) na okre±lone dobro o warto±¢ mniejsz¡ ni» 1%. Przy odpowiednio du»ych dochostyczno±ci maleje do zera. Popyt dochodowy funkcji dach wzrost konsumpcji na okre±lone dobro zanika, czyli konsumenci posiadaj¡cy wy»sze dochody w znacznie wi¦kszym stopniu maj¡ zaspokajaj¡ dobra podstawowe ni» konsumenci o ni»szych dochodach, u których reakcja na wzrost dochodów jest znacznie silniejsza. 2. Funkcja Törnquista dla dóbr wy»szego rz¦du : T2 (x) = a · gdzie x≥c oraz a, b, c > 0. x−c , x+b Wykres funkcji f2 (x) jest postaci: f2(x) a 0 c X Rysunek 6.5 Wykres funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du. Wykres funkcji przedstawiony na rysunku 6.5 podobnie jak w poprzednim przypadku (rysunek 6.3) jest rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów wzgl¦dem wydatków na dobra wy»szego rz¦du. Funkcji jest okre±lona dla x>c co oznacza, »e wydatki na dobra wy»szego rz¦du wyst¦puj¡ je±li zostan¡ zaspokojone potrzeby na dobra podstawowe. Zauwa»my, »e x−c = a. x→∞ x+b Zatem podobnie jak w przypadku funkcji T1 przy coraz wi¦kszych dochodach popyt lim a · zmienia si¦ nieznacznie (stabilizuje si¦) w stosunku do wydatków, nie przekraczaj¡c poziomu nasycenia. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 51 Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem: b+c , (x0 − c)(x0 + b) Ex0 T2 = x0 · x0 > c. Ex(0f2) c 0 X Rysunek 6.6 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du. Elastyczno±¢ funkcji T2 (rysunek (6.6)) jest funkcj¡ malej¡c¡. Mamy, te», »e lim x0 · x→∞ b+c = 0, (x0 − c)(x0 + b) a wi¦c wraz ze wzrostem dochodów konsumenta elastyczno±¢ funkcji T2 maleje do ze- ra. Zatem procentowy wzrost dochodów powoduje coraz mniejszy procentowy wzrost wydatków (popytu) na dane dobro wy»szego rz¦du. Mo»emy te» zauwa»y¢, »e przy do±¢ du»ych dochodach wzrost konsumpcji na dane dobro zanika. 3. Funkcja Törnquista dla dóbr luksusowych : T3 (x) = a · x · gdzie x≥c oraz a, b, c > 0. x−c , x+b Wykres funkcji jest postaci: f3(x) 0 c b+c X Rysunek 6.7 Wykres funkcji dla dóbr luksusowych. Dobra luksusowe podobnie jak dobra wy»szego rz¦du nabywane s¡ po osi¡gni¦ciu odpowiednio wysokiego poziomu dochodu, który pozwoliª zaspokoi¢ potrzeby dóbr ni»szych rz¦dów. Widzimy, »e T30 (x) = a · (x2 + 2bx − bc) > 0, (x + b)2 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 52 Rozdziaª 6. a wi¦c funkcja T3 Pochodna funkcji w ekonomii jest rosn¡ca w caªej swojej dziedzinie (rysunek 6.7). Zauwa»my równie», »e w przeciwie«stwie do poprzednich funkcji T1 i T2 powy»sza funkcja jest nieograniczona. Oznacza to, »e wydatki konsumentów na dobra luksusowe rosn¡ wraz ze wzrostem dochodów (coraz szybciej) nieograniczenie, czyli wzrost wydatków staje si¦ wprost proporcjonalny do wielko±ci dochodu konsumenta. Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem: Ex0 T3 = x0 (x0 + b) a(x20 + 2bx0 − bc) x20 + 2bx0 − bc · . = ax0 (x0 − c) (x0 + b)2 (x0 − c)(x − 0 + b) Ex(0f3) 1 c 0 X Rysunek 6.8 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr luksusowych. T3 jest funkcj¡ malej¡c¡, przyjmuj¡c¡ warto±ci wi¦ksze od 1 ((Ex0 f3 ) > 1 dla x0 > c), a wi¦c popyt dla dóbr luksusowych jest zawsze elastyczny. Obliczaj¡c granic¦ Ex0 T3 otrzymujemy Z powy»szego wykresu (rysunek 6.8) wida¢, »e elastyczno±¢ funkcji x20 + 2bx0 − bc =1 x→∞ (x0 − c)(x − 0 + b) lim co oznacza, »e dopiero dla odpowiednio du»ego dochodu konsumenta elastyczno±¢ T3 1. Zatem dla dóbr luksusowych procentowy wzrost 1% powoduje, wzrost wydatków (popytu) o wi¦cej ni» 1% ma warto±¢ blisk¡ a nawet równ¡ dochodów konsumentów o na dane dobro. 6.3.1. Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnquista. Rozwa»my funkcje Törnquista postaci x , gdzie x > 0 oraz a1 , b1 > 0; x + b1 x − c2 T2 (x) = a2 · , gdzie x ≥ c2 oraz a2 , b2 , c2 > 0; x + b2 x − c3 T3 (x) = a3 · x · , gdzie x ≥ c3 oraz a3 , b3 , c3 > 0. x + b3 T1 (x) = a1 · Przedstawmy na jednym wykresie wszystkie funkcje (krzywe) Törnquista. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 53 Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii T(x) a2 a1 T2 T1 0 T3 c1 c2 Rysunek 6.9 Krzywe T1 , T2 , T3 . ci gdzie (i = 1, 2, 3) s¡ wyznacznikami hierarchii (i = 1, 2, 3) okre±laj¡ poziom ich nasycenia. Parametry ai gdzie Analizuj¡c wykresy funkcji X b+c pilno±ci potrzeb , za± T1 , T2 , T3 przedstawione na wykresie (rysunek 6.9) widzimy, »e przy niskim poziomie dochodów zaspokajane s¡ dobra pierwszej potrzeby, to na nie przeznaczona jest wi¦ksza ilo±¢ wydatków. Jednak wraz ze wzrostem dochodów popyt na dobra podstawowe jest wolniejszy, zmiany te nast¦puj¡ a» do poziomu a1 tzw. poziomu nasycenia. W przypadku gdy dochód ulegª zwi¦kszeniu na tyle, »e dobra podstawowe zostaªy zaspokojone wówczas dochód przeznaczany jest na wydatki dóbr wy»szego rz¦du. Zatem wydatki te wyst¦puj¡ dla x > c1 gdzie c1 jest warto±ci¡ od której wyst¦puje wzrost popytu na dobra wy»szych rz¦dów. Zmiany wielko±ci tych wydatków d¡»¡ do poziomu nasycenia a2 i ich wzrost jest coraz wolniejszy. Gdy dochód konsumentów jest na tyle wysoki, »e zapewnione s¡ potrzeby na dobra ni»szych rz¦dów wówczas mamy do czynienia z wydatkami na dobra luksusowe, czyli x > c2 gdzie c2 jest warto±ci¡ od której zaczyna si¦ popyt na dobra luksusowe. W przeci- wie«stwie do wydatków na dobra ni»szych rz¦dów, wydatki na dobra luksusowe wzrastaj¡ nieograniczenie staj¡c sie wprost proporcjonalne do dochodów. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 54 Rozdziaª 7 Modele ekonomiczne. W ekonomii matematycznej buduje si¦ matematyczne modele ekonomiczne stanowi¡ce przybli»on¡ reprezentacj¦ rzeczywistego zjawiska. Mo»na ogólnie stwierdzi¢, »e model ekonomiczny, to ukªad równa« matematycznych opisuj¡cy struktur¦ pewnego zjawiska. 7.1. Skªadniki modelu ekonomicznego. Jak ju» wspomnieli±my model ekonomiczny stanowi ukªad równa«. Równania te zawieraj¡ trzy rodzaje obiektów: zmienne (b¦dziemy na ogóª stosowa¢ nast¦puj¡ce oznaczenia zmiennych: π zysk, R przychód (utarg), C koszt, Y P cena, dochód narodowy), staªe, parametry. Zmienne. W terminologii ekonomii matematycznej utrwaliª si¦ podziaª zmiennych na: endogeniczne, inaczej wewn¦trzne, których warto±¢ jest determinowana przez dany model, egzogeniczne, inaczej zewn¦trzne czyli okre±lane niezale»nie od modelu. Dokªadniejsze znaczenie poszczególnych rodzajów zmiennych zostanie omówione na przykªadach w dalszej cz¦±ci wykªadu. Ju» teraz mo»emy jednak zwróci¢ uwag¦, »e pewne zmienne endogeniczne w jednym modelu mog¡ by¢ egzogeniczne w innym i na odwrót. Staªe. Warto±¢ staªych nie zmienia si¦ w danym modelu. Parametry. S¡ to wielko±ci, które nie s¡ zmiennymi, ale mog¡ przyjmowa¢ ró»ne warto±ci w zale»no±ci od przyj¦tych w modelu zaªo»e«. Oznaczamy je zwykle a, b, c, α, β γ. Równania wyst¦puj¡ce w modelu mog¡ by¢: denicyjne, czyli ustalaj¡ce to»samo±ci mi¦dzy wielko±ciami i wyra»eniami. Cz¦sto w równaniach tych pojawia si¦ zamiast znaku równo±ci znak 55 ≡, np. π ≡ R − C, Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne. behawioralne opisuj¡ce zachowanie zmiennej w reakcji na zmian¦ innych zmiennych. Przykªadowo, równaniem behawioralnym jest równanie j¡ce koszt C produkcji w zale»no±ci od jej wielko±ci C = 75 + 10Q, opisu- Q. równowagi, które opisuj¡ warunki zachowania pewnej równowagi, np. Qd = Qs popyt jest równowa»ony przez poda». 7.2. Modele równowagi statycznej. Spróbujmy najpierw udzieli¢ odpowiedzi na pytanie: czym jest równowaga? Przyjmijmy za ekonomist¡ austriackim Fritzem Machlupem, »e równowaga jest pewn¡ konstelacj¡ wybranych, powi¡zanych ze sob¡ zmiennych, tak dopasowanych do siebie, »e w modelu, który stanowi¡ nie przewa»a »adna tendencja do zmiany. Mo»emy wi¦c krótko powiedzie¢, »e równowaga, to brak tendencji do zmiany. 7.2.1. Cz¦±ciowa równowaga rynkowa. Model liniowy dla jednego dobra. Opis. Zaªó»my, »e mamy do czynienia z izolowanym rynkiem, w którym wyst¦puje tyl- ko jedno dobro. B¦dziemy bada¢ warunki równowagi popytu i poda»y na to dobro w zale»no±ci od ceny. Oznaczenia. Niech Qd > 0 oznacza wielko±¢ popytu na Qs > 0 oznacza wielko±¢ poda»y na P > 0 cena za jednostk¦ dobra. Zaªo»enia. dobro, dobro, Zakªadamy, »e popyt i poda» zmieniaj¡ si¦ liniowo w zale»no±ci od ceny. Popyt jest funkcj¡ malej¡c¡ ceny, za± poda» funkcj¡ rosn¡c¡. Dodatkowo, poda» pojawia si¦ pocz¡wszy od pewnej ceny minimalnej P1 > 0. Równania modelu. Qd = a − bP, P ≥ 0 Qs = −c + dP, P > P1 Qd = Qs , (równanie gdzie parametry (równanie behawioralne) (równanie behawioralne) równowagi), a, b, c, d > 0. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 56 Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne. 7.2.2. Keynesowski model dochodu narodowego. Opis. Rozwa»my gospodark¦ narodow¡, w której wyst¦puj¡ trzy rodzaje wydatków: in- westycje, wydatki rz¡dowe oraz wydatki na konsumpcje. Oznaczenia. Niech I0 inwestycje (wielko±¢ staªa), G0 wydatki rz¡dowe (wielko±¢ staªa), C wydatki na konsumpcj¦ (zmienna egzogeniczna), Y dochód narodowy (zmienna endogeniczna). Zaªo»enia. Zakªadamy, »e wydatki na konsumpcje s¡ liniow¡ funkcj¡ rosn¡c¡ dochodu narodowego. Dochód narodowy pokrywa wszystkie (trzy) rodzaje wydatków. Równania modelu. C = a + bY (równanie behawioralne) Y = C + I0 + G0 (równanie równowagi), gdzie parametry a > 0, b ∈ (0, 1) . Interpretacja parametrów. a konsumpcja autonomiczna, niezale»na od dochodu (wydatki na konsumpcj¦ przy zerowym dochodzie narodowym), b kra«cowa skªonno±¢ do konsumpcji (gdy dochód wzrasta o 1, wydatki na konsumpcje wzrastaj¡ o b < 1. Rozwi¡zania modelu. Punktem równowagi jest konsumpcja C̄ przy dochodzie Ȳ , gdzie a + I0 + G0 , 1−b a + b (I0 + G0 ) C= . 1−b Ȳ = 7.3. Modele nakªadów i wyników Leontiewa 7.3.1. Model statyczny. Opis. Rozwa»my gospodark¦, w której funkcjonuje n ≥ 1 gaª¦zi przemysªu. Model bada, jaki powinien by¢ poziom produkcji ka»dej z n gaª¦zi, aby caªkowity popyt na wytwarzany przez nie produkt byª zaspokajany. Wyniki produkcji ka»dej z gaª¦zi s¡ potrzebne jako nakªady w innych gaª¦ziach (nie wykluczaj¡c jej samej); tªumaczy to nazw¦ modelu. Oznaczenia. Xi globalna wielko±ci produkcji i − tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) , xij wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹, Yi wielko±¢ ko«cowa produkcji i − tej gaª¦zi nie zu»yta przez gaª¦zie. Zaªo»enia. 1. Produkcja i − tej gaª¦zi jest caªkowicie bilansowana (równowa»ona) przez zu»ycie produkcji w pozostaªych gaª¦ziach i warto±¢ produkcji ko«cowej Xi = n X xij + Yi dla i = 1, ..., n. j=1 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 57 Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne. i − tej gaª¦zi j − tej gaª¦zi 2. Wielko±¢ produkcji do wielko±ci produkcji xij = aij Xj Parametr aij zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ jest proporcjonalna i = 1, ..., n, j = 1, ..., n. dla nazywa si¦ wspóªczynnikiem nakªadów. Równania modelu. Xi = n X aij Xj + Yi dla i = 1, ..., n. j=1 Równania te mo»na zapisa¢ w postaci macierzowej. Przyjmuj¡c: X1 . . . Xn = a11 · · · . . . .. a1n . . . . an1 · · · ann X1 . . . Xn + Y1 . . . Yn X̄ = [X1 , ..., Xn ]T , Ȳ = [Y1 , ..., Yn ]T , A = [aij ]i,j=1,...,n mamy X̄ = AX̄ + Ȳ , (7.1) (I − A) X̄ = Ȳ . (7.2) albo, równowa»nie Uwagi. 1. Macierz A nazywa si¦ macierz¡ nakªadów bezpo±rednich, pªywów mi¦dzygaª¦ziowych, balnego, za± Ȳ (I − A) macierz¡ Leontiewa, X = [xij ] macierz¡ przeX̄ wektorem produktu glo- wektorem produktu ko«cowego. 2. Cz¦sto warto±ci Xi , xij oraz Yi s¡ wyra»ane w jednostkach monetarnych, w tym wypadku wielko±ci te reprezentuj¡ warto±ci produkcji. 3. Dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n aij = a poniewa» xij xij , Xj i − tej gaª¦zi zu»ywan¡ przez j−t¡ gaª¡¹, xij ≤ Xj , czyli aby aij ≤ 1. Co wi¦cej, oznacza wielko±¢ produkcji wi¦c ekonomicznie uzasadnione jest, by zauwa»my, »e ustalonego j = 1, ..., n n X suma xij = Xj i=1 n X aij i=1 j−t¡ gaª¡¹. Wielko±¢ ta powinna by¢ nie wi¦ksza ni» Xj , w przeciwnym wypadku j −ta gaª¡¹ zu»ywa reprezentuje sum¦ produkcji wszystkich gaª¦zi, zu»ywanych przez wi¦cej ni» sama produkuje. Zatem Xj n X aij ≤ Xj , dla j = 1, ..., n i=1 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 58 Rozdziaª 7. sk¡d n X Modele ekonomiczne. aij ≤ 1 dla j = 1, ..., n i=1 Dodatkowo, je±li Yj > 0, j − tej czyli jaka± cz¦±¢ produkcji gaª¦zi jest niewykorzy- stana przez pozostaªe gaª¦zie, to n X aij < 1. i=1 4. W przypadku, gdy wektor produktu ko«cowego jest niezerowy, mówimy o tak zwanym modelu otwartym. Rozwi¡zanie modelu. Przy zaªo»eniu, »e det (I − A) 6= 0, czyli macierz I − A jest A oraz danym wektorze produktu nieosobliwa rozwi¡zaniem modelu przy danej macierzy ko«cowego jest wektor produkcji X̄ = (I − A)−1 Ȳ . (7.3) 7.3.2. Model dynamiczny. W przedstawionym w poprzednim podrozdziale modelu statycznym zakªadali±my, »e warto±ci produkcji, a co za tym idzie wektory X̄ i Ȳ nie zmieniaj¡ si¦ w czasie. Zbadamy teraz wªasno±ci modelu, który jest pewnym analogonem tego modelu, ale takim, w którym powy»sze zaªo»enie nie jest speªnione. Opis. n ≥ 1 gaª¦ziami t oznacza czas dyskretny, reprezentuj¡cy kolejny numer pewnego okresu, Zaªó»my, jak w modelu statycznym, »e mamy do czynienia z gospodarki. Niech w którym zakªadamy, »e produkcja poszczególnych gaª¦zi jest staªa. Niech dalej Xi (t) globalna wielko±ci produkcji i − tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) w okresie t, xij (t) wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ w okresie t, Yi (t) wielko±¢ ko«cowa produkcji i − tej gaª¦zi w okresie t Zakªadamy wi¦c, »e wektor produkcji globalnej, oraz wielko±ci produkcji poszczególnych gaª¦zi zu»ywanej przez inne gaª¦zie oraz produkcji ko«cowej s¡ funkcjami czasu dyskretnego: N ∪ {0} 3 t 7→ X̄ (t) = [X1 (t) , ..., Xn (t)]T wektor produkcji globalnej, N ∪ {0} 3 t 7→ xij (t) , N ∪ {0} 3 t 7→ Ȳ (t) = [Y1 (t) , ..., Yn (t)]T wektor produkcji ko«cowej. W czasie trwania ka»dego z okresów zakªadamy, »e speªnione s¡ te same zaªo»enia jak w przypadku otwartego modelu statycznego. W szczególno±ci, dla ustalonego t, zachodz¡ wszystkie wªasno±ci, ª¡cznie z formuª¡ na rozwi¡zanie, prawdziwe dla tego modelu. Zakªadamy te», »e macierz nakªadów A jest macierz¡ staª¡ (maj¡c¡ takie same wyrazy dla wszystkich okresów). Zaªo»enia wyprowadzenie modelu. 1. Zakªadamy, »e w ka»dym nast¦pnym okresie t+1 chcemy zwi¦kszy¢ produkcj¦ w stosunku do okresu poprzedniego t. Mo»emy to uczyni¢ przeznaczaj¡c cz¦±¢ produktu ko«cowego Ustalmy t, Ȳ (t) na inwestycje. zatem Ȳ (t) = S̄ (t) + C̄ (t) , Aktualizacja: 9 czerwca 2011 59 Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne. gdzie: S̄ (t) − wektor inwestycji, wykorzystany jako nakªad C̄ (t) − S̄ (t) = [S1 (t) , ..., Sn (t)]T , w nast¦pnym okresie t + 1, wektor czystego produktu ko«cowego , korzystanego w nast¦pnym okresie t+1 tj. produktu, który b¦dzie C̄ (t) = [C1 (t) , ..., Cn (t)]T , jako nakªad w »adnej gaª¦zi). i = 1, ..., n Si (t) jest rozdystrybuowane gospodarki (j = 1, ..., n), tzn. 2. Zakªadamy dalej, »e dla ka»dego stycje w ka»dej z j gaª¦zi Si (t) = n X (nie wy- sij (t) , dla na inwe- i = 1, ..., n, (7.4) j=1 sij (t) jest j − tej gaª¦zi. gdzie wielko±ci¡ inwestycji 3. Przyjmijmy, »e wielko±¢ gaª¦zi w okresie t + 1, sij i − tej jest proporcjonalna do wzrostu produkcji globalnej zij j−tej tzn. sij (t) = zij (Xj (t + 1) + X (t)) gdzie staªa gaª¦zi przeznaczon¡ na inwestycje w dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n. jest tzw. wspóªczynnikiem inwestycyjnym. W konsekwencji, wobec (7.4) Si (t) = n X sij (t) = j=1 n X zij (Xj (t + 1) − Xj (t)) dla i = 1, ..., n, j=1 czyli S1 . . . Sn = z11 · · · . . . .. . zn1 · · · z1n . . . znn X1 (t + 1) − X1 (t) . . . Xn (t + 1) − X (t) Oznaczaj¡c macierz wspóªczynników inwestycyjnych przez Z = [zij ]i=1,...,n, j=1,...,n mamy S̄ (t) = Z · X̄ (t + 1) − X̄ (t) . Wykorzystuj¡c równanie (7.2) statycznego modelu Leontiewa (w czasie trwania okresu t badany model jest statyczny) dostajemy, »e (I − A) X̄ (t) = Ȳ (t) = S̄ (t) + C̄ (t) = Z · X̄ (t + 1) − X̄ (t) + C̄ (t) , Z −1 (I − A) X̄ (t) = X̄ (t + 1) − X̄ (t) + Z −1 C̄ (t) czyli równanie dynamicznego modelu Leontiewa X̄ (t + 1) = Z −1 − Z −1 A + I X̄ (t) − Z −1 C̄ (t) . Rozwi¡zanie modelu. Zaªó»my, »e macierze A oraz Z s¡ dane oraz (7.5) (I − A) i Z s¡ nieosobliwe. Przypu±¢my te», »e dane s¡ wielko±¢ pocz¡tkowego czystego produktu ko«cowego C̄ (0) oraz pocz¡tkowego wektora inwestycji S̄ (0) , Aktualizacja: 9 czerwca 2011 a co za tym idzie dana jest 60 Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne. wielko±¢ pocz¡tkowego produktu ko«cowego Ȳ (0) = S̄ (0) + C̄ (0) . Wówczas z formuªy (7.3) na rozwi¡zanie statycznego modelu Leontiewa dostajemy X̄ (0) = (I − A)−1 Ȳ (0) . Wykorzystuj¡c równanie (7.5) mamy X̄ (1) = Z −1 − Z −1 A + I X̄ (0) − Z −1 C̄ (0) . Znaj¡c teraz warto±¢ (7.6) X̄ (1) wektora produkcji globalnej dla okresu t = 1 mo»emy ze wzoru (7.2) obliczy¢ warto±¢ wektora produkcji ko«cowej dla tego okresu Ȳ (1) = (I − A) X̄ (1) . W tym momencie mo»emy znów podj¡¢ decyzj¦ jak¡ cz¦±¢ produktu ko«cowego przeznaczamy na inwestycj¦ S̄ (1), a jaka b¦dzie stanowi¢ czysty produkt ko«cowy Ȳ (1) C̄ (1). Pami¦ta¢ jednak powinni±my, »e Ȳ (1) = S̄ (1) + C̄ (1) , oraz, »e wszystkie wspóªrz¦dne wektorów nych wektorach S̄ (1) i C̄ (1) powinny by¢ nieujemne. Przy da- X̄ (1) oraz C̄ (1) mo»emy ponownie wyliczy¢ warto±¢ produktu globalnego dla nast¦pnego okresu za pomoc¡ formuªy (7.5): X̄ (2) = Z −1 − Z −1 A + I X̄ (1) − Z −1 C̄ (1) . Kontynuuj¡c to post¦powanie generujemy ci¡g wektorów produkcji ∞ X̄ (t) t=0 . Ci¡g ten nazywany jest ±cie»k¡ rozwoju gospodarczego. Z formalnego punktu widzenia rozwi¡zaniem dynamicznego modelu Leontiewa jest wi¦c ci¡g wektorów produkcji globalnej b¦d¡cy rozwi¡zaniem równania ró»nicowego X̄ (t + 1) = Z −1 − Z −1 A + I X̄ (t) − Z −1 C̄ (t) , z warunkiem pocz¡tkowym X̄ (0) = X0 , gdzie wektor C̄ (t) jest okre±lony dla wszystkich Fakt, »e wektor produktu ko«cowego t = 0, 1, .... C̄ (t) jest z góry dany oznacza, »e zaplanowane zostaªo jak¡ cz¦±¢ Ȳ (t) przeznaczamy na inwestycj¦ S̄ (t) = Ȳ (t)− C̄ (t) dla wszystkich t = 0, 1, .... Aby model S̄ (t) tj. »e miaª sens ekonomiczny musi by¢ speªniony warunek nieujemno±ci wektora C̄ (t) ≤ Ȳ (t) = (I − A) X̄ (t) dla t = 0, 1, .... 7.4. Modele dynamiczne z czasem dyskretnym. Z modelem dynamicznym mieli±my ju» do czynienia przy omawianiu modelu Leontiewa. W tym podrozdziale zbadamy kilka klika innych modeli dynamicznych. Najogolniej mówi¡c s¡ to modele, w których zmienne s¡ zale»ne od czasu. Ograniczymy si¦ do sytuacji, w której czas jest czasem dyskretnym reprezentuj¡cym numer kolejnego okresu. Tak jak w przypadku modelu Leontiewa w czasie trwania ka»dego z okresów model jest statyczny a zmiana warto±ci zmiennych nast¦puje po przej±ciu do kolejnego okresu. Takie modele s¡ opisane za pomoc¡ równa« ró»nicowych. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 61 Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne. 7.4.1. Model paj¦czyny. Opis. Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t = 0, 1, 2, .... Rozwa»a- my rynek pewnego, pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ±cie»ki ceny {P (t)}∞ t=0 na dane dobro, aby dla ka»dego okresu popyt caªkowicie zaspokoiª poda». Oznaczenia. Niech t = 0, 1, 2, ... kolejny numer okresu, Qs (t) poda» na dobro w okresie t (liczba jednostek dobra poszukiwana przez konsumentów w okresie t), Qd (t) popyt na dobor w okresie t (liczbe jedostek dobra dostarczana przez producentów w okresie t), P (t) cena za jednostk¦ dobra w okresie t. Zaªo»enia. 1. Wileko±¢ popytu Qd (t) 2. Wielko±¢ poda»y P (t) dla Qd (t) ≥ 0. zale»y liniowo od ceny no±¢ jest funkcj¡ malej¡c¡. Zakªadmy, »e Qs (t) P (t − 1) Qs (t) ≥ 0. zale»y liniowo od ceny Zale»no±¢ jest funkcj¡ rosn¡c¡. Zakªadamy, »e tego samego okresu. Zale»- z okresu poprzedniego. 3. Liniowy charakter popytu i poda»y jest identyczny dla ka»dego z okresów. 4. W ka»dym okresie popyt jest caªkowicie równowa»ony przez poda». Równania modelu. Qd (t) = α − βP (t) Qs (t) = −γ + δP (t − 1) Qd (t) = Qs (t) dla t = 1, 2, ..., gdzie α, β, γ, δ > 0 (7.7) (7.8) (7.9) (parametry). Uwagi. 1. Sytuacja opisywane przez model wyst¦puje w rolnictwie , gdzie zasiewy poprzedzaj¡ zbiory. Popyt na dany produkt jest zale»ny od aktualnej ceny, ale poda», wynikaj¡ca z wielko±ci zasiewów, jest ustalana na podstawie cen z poprzedniego okresu. 2. Aby równania przedstawiaªy sens ekonomiczny musz¡ by¢ speªnione warunki nieujm∞ no±ci zmiennych. Warunki te prowadz¡ do zastrze»enia, »e ±cie»ka cenowa {P (t)}t=0 powinna speªnia¢ warunek α γ ≤ P (t) ≤ δ β dla t = 0, 1, 2, .... (7.10) W szczególno±ci, musi by¢ speªniony warunek γ α ≤ δ β (7.11) βγ − αδ ≤ 0 (7.12) lub równowa»nie Aktualizacja: 9 czerwca 2011 62 Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne. Interpretacja parametrów. α −β maksymalna warto±¢ popytu (przy zerowej cenie), kra«cowa warto±¢ popytu reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ konsumentów na zmian¦ ceny, −γ wspóªczynnik zapewniaj¡cy dodatnio±¢ poda»y pocz¡wszy od pewnej ceny mi- nimalnej δ P1 ≥ 0, kra«cowa warto±¢ poda»y reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ producentów zmian¦ na ceny. Rozwi¡zanie modelu. Poszukujemy ±cie»ki ceny {P (t)}∞ t=0 , czyli ci¡gu speªniaj¡cego ukªad (7.7)-(7.9). Wo- bec równania równowagi (7.9) i wobec (7.7)-(7.8) α − βP (t) = −γ + δP (t − 1) , sk¡d wobec faktu, »e β 6= 0 α+γ δ . P (t) = − P (t − 1) + β β (7.13) Jest to równanie ró»nicowe liniowe niejednorodne pierwszego rz¦du. Ogóª rozwi¡za« równania jednorodnego jest postaci δ Po (t) = c − β gdzie c t , t = 0, 1, 2, ..., jest dowoln¡ staª¡. Szczególnego rozwi¡zania równania niejednorodnego poszuku- jemy w±ród rozwi¡za« staªych Ps (t) = k, zatem α+γ δ , k=− k+ β β sk¡d k= gdy» β + δ > 0. α+γ , β+δ St¡d, ogóª rozwi¡za« równania (7.13) jest postaci δ P (t) = c − β Je±li znamy warto±¢ P (0) = P0 , t + α+γ , β+δ t = 0, 1, 2, .... to P (0) = c + α+γ , β+δ W konsekwencji rozwi¡zaniem równania (7.13) z warunkiem pocz¡tkowym P (0) = P0 jest ±cie»ka cenowa t α+γ δ α+γ P (t) = P0 − − + , β+δ β β+δ t = 0, 1, 2, .... Uwaga. Aby rozwi¡zanie miaªo sens ekonomiczny nale»y zaªo»y¢, »e γ (7.10). Nale»y przynajmniej zadba¢, aby ≤ P0 ≤ αβ . δ (7.14) P (t) speªnia warunek Dalsza analiza modelu wªasno±ci ±cie»ki cenowej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 63 Rozdziaª 7. 1. Je±li P0 = α+γ , to β+d P (t) = Modele ekonomiczne. α+γ , β+d t = 0, 1, 2, .... Mamy wtedy do czynienia z rozwi¡zaniem staªym. Zauwa»my, »e z warunku (7.12) γ wynika, »e ≤ P (t) ≤ αβ dla t = 0, 1, 2, ... (¢wiczenie). Model jest to»samy ze staδ tycznym modelem równowagi omawianym w jednym z poprzednich podrozdziaªów. α+γ (ze wzgl¦du na sens ekonomiczny nie mo»e zaj±c sytuacja 2. Zaªó»my, »e P0 > β+δ α+γ P0 < β+d ). Rozwa»my trzy przypadki. (a) δ β < 1. Wtedy ±cie»ka {P (t)}∞ t=0 jest ci¡giem zbe»nym do (b) δ β = 1. Wtedy ±cie»ka {P (t)}∞ t=0 jest postaci ( gdy t jest parzyste − P0 gdy t jest nieparzyste ±cie»ka oscyluje wi¦c wokóª warto±ci α+γ . β+d P (t) = (c) P0 α+γ . β+d 2 α+γ β+d . δ > 1. ±cie»ka jest ci¡giem rozbie»nym pocz¡wszy od pewnego β ekonomiczny. t traci sens Powy»sz¡ analiz¦ mo»na przedstawi¢ gracznie za pomoc¡ tzw. diagramu schodkowego. Ksztaªt otrzymanego diagramu jest wyja±nieniem nazwy modelu (¢wiczenia). Aktualizacja: 9 czerwca 2011 64 Skorowidz m−okresowa stopa efektywna, 29 m−okresowy czynnik oprocentowuj¡cy, inacja, 31 29 kapitaª cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji, 24 ko«cowy, 7 czas oprocentowania, 7 pocz¡tkowy, 7 czynnik procentowy, 7 kapitalizacja odsetek, 7 koszt kra«cowy (marginalny), 40 deacja, 32 krzywa popytu, 46 dobra luksusowe (dobra wy»szego rz¦du), 49 model kapitalizacji rocznej, 23 ni»szego rz¦du (podrz¦dne), 49 normalne (zwykªe), 49 model kapitalizacji ci¡gªej, 25 podstawowe (niezb¦dne), 49 model oprocentowania skªadanego rocznego przy zmiennej stopie, 29 dyskonto, 14 handlowe, 15 odsetki, 7 proste, 14 okres kapitalizacji, 7 dyskontowanie, 14 okres równowa»no±ci stopy procentowej i dyskontowej, 17 elastyczno±¢ optimum technologiczne, 40 cenowa popytu, 47 dochodowa popytu, 48 per annum (p.a.), 7 wzorcowa, 48 podokres kapitalizacji, 24 elastyczno±¢ funkcji, 43 podokres oprocentowania, 10 przeci¦tna, 43 popyt, 46 Fishera wzór, 32 doskonale elastyczny, 48 funkcja kosztu doskonale nieelastyczny (sztywny), 47 caªkowitego, 40 elastyczny (silnie), 48 kra«cowego, 40 neutralny, 48 przeci¦tnego, 40 nieelastyczny, 47 poziom nasycenia potrzeb, 54 Funkcja Törnquista dla dóbr luksusowych, 52 prawo popytu, 46 dla dóbr pierwszej potrzeby (podsta- procent, 6 pªatny z góry, 15 wowych), 50 dla dóbr wy»szego rz¦du, 51 przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy, 29 funkcja utargu caªkowitego, 42 przyrost wzgl¦dny argumentu, 43 funkcja zysku warto±ci funkcji, 42 caªkowitego, 42 punkt procentowy, 6 hierarchia pilno±ci potrzeb, 54 równowa»ne ci¡gi kapitaªów, 38 65 Skorowidz reguªa bankowa, 9 równowa»no±ci stopy dyskontowej i pro- reguªa kalendarzowa, 9 centowej, 17 roczna nominalna stopa ±rednia, 29 roczna stopa nominalna, 24 zasada równowa»no±ci kapitaªów, 37 w momencie roczny czynnik dyskontuj¡cy, 30 t, 36 zysk caªkowity, 42 roczny czynnik oprocentowania, 25 stopa nominalna, 31 realna, 32 stopa dyskontowa, 15 roczna, 30 stopa procentowa, 6 efektywna, 27 inacji, 31 kwartalna, 10 miesi¦czna, 10 okresowa, 7 podokresowa, 10, 24 przeci¦tna roczna dla modelu oprocentowania skªadanego, 29 m−okresowa, 29 (dla modelu oprocentowania prostego), 13 roczna, 7 stopa w stosunku rocznym, 7 termin wykupu weksla, 20 utarg caªkowity, 41 warto±¢ kapitaªu nominalna, 31 realna, 32 warto±¢ weksla handlowa (aktualna), 20 nominalna, 20 warunki oprocentowania, 7 weksel, 20 wspóªczynnik elastyczno±ci cenowej popytu, 47 zasada dyskonta handlowego (prostego), 15 oprocentowania prostego, 8 oprocentowania skªadanego, 22 równowa»no±ci stóp procentowych, 11 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 66