Podstawy Ekonomii Matematycznej

Transkrypt

Podstawy Ekonomii Matematycznej
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
Spis tre±ci
I Elementy matematyki nansowej.
5
1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja.
6
2 Procent prosty.
8
2.1
Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa.
. . . . . . .
8
2.2
Równowa»no±¢ stóp procentowych.
2.3
Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4
Dyskontowanie proste.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3 Dyskonto handlowe proste.
15
3.1
Dyskonto handlowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Stopa dyskontowa a stopa procentowa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3
Weksle.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4 Procent skªadany
22
4.1
Zasada oprocentowania skªadanego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2
Kapitalizacja roczna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3
Kapitalizacja podokresowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.4
Kapitalizacja ci¡gªa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.5
Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania skªadanego. . . . . . . .
26
4.6
Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.7
Dyskontowanie skªadane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.8
Oprocentowanie a inacja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5 Warto±¢ kapitaªu w czasie
34
5.1
Model warto±ci kapitaªu w czasie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.2
Zasada równowa»no±ci kapitaªów.
36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Modele matematyczne.
39
6 Pochodna funkcji w ekonomii
40
6.1
Funkcja kra«cowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.2
Elastyczno±¢ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.3
f
w punkcie
x0 .
6.2.1
Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji
6.2.2
Elastyczno±¢ funkcji kosztów.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.2.3
Elastyczno±¢ funkcji popytu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Funkcje Törnquista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.3.1
53
Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnquista.
2
. .
. . .
45
Spis tre±ci
7 Modele ekonomiczne.
7.1
7.2
7.3
7.4
55
Skªadniki modelu ekonomicznego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modele równowagi statycznej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1
Cz¦±ciowa równowaga rynkowa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2
Keynesowski model dochodu narodowego.
. . . . . . . . . . . . . .
55
56
56
57
Modele nakªadów i wyników Leontiewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
7.3.1
Model statyczny.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
7.3.2
Model dynamiczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Modele dynamiczne z czasem dyskretnym.
7.4.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Model paj¦czyny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3
Spis tre±ci
.
4
Cz¦±¢ I
Elementy matematyki nansowej.
5
Rozdziaª 1
Procent, stopa procentowa,
kapitalizacja.
W matematyce
procent
oznacza oczywi±cie setn¡ cz¦±¢ caªo±ci (per centum przez sto )
x% =
x
.
100
W matematyce nansowej procent o jaki zmienia si¦ dana wielko±¢ nazywamy
procentow¡
Przykªad 1.1.
okresu o
stop¡
(wzrostu lub spadku).
30%.
Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiªa
500
zª i wzrosªa w ci¡gu tego
Obecnie cena powi¦kszyªa si¦ o
500 · 30% = 500 · 0.3 = 150
[zª],
wynosi wi¦c
500 + 150 = 650
[zª].
Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie ceny ko«cowej
500 · (1 + 0.3) = 650
[zª].
40%, a nie o
nie o 10%. Dla
Warto zwróci¢ te» uwag¦, »e gdyby po roku roku cena towaru zwi¦kszyªa si¦ o
30%,
to stopa wzrostu zwi¦kszyªaby si¦ o
10
porównania, gdyby stopa zwi¦kszyªaby si¦ o
punktów procentowych, a
10%,
to wynosiªaby
30% · (1 + 10%) = 30% · (1.1) = 33%.
Przykªad 1.2.
20%,
Cena pewnego towaru wynosiªa
a po upªywie kolejnego miesi¡ca wzrosªa o
300 zª. Po upªywie miesi¡ca wzrosªa o
30%. Zatem po dwóch miesi¡cach cena
wynosiªa
300 · 1.2 · 1.3 = 468
Cena wzrosªa wi¦c o
[zª].
468 − 300
= 0.56 = 56%.
300
Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie o ile procent wzrosªa cena:
1.2 · 1.3 − 1 = 0.56 = 56%.
Uzasadnienie powy»szego rachunku jest proste
468 − 300
300 · 1.2 · 1.3 − 300
=
= 1.2 · 1.3 − 1.
300
300
6
Rozdziaª 1.
Procent, stopa procentowa, kapitalizacja.
Powy»szy przykªad uzasadnia przyj¦cie nast¦puj¡cej denicji.
Je±li pewna wielko±¢ zmieniªa si¦ o
procentowym
p%,
to liczb¦
p
ρ := 1 + 100
nazywamy
czynnikiem
zmiany (wzrostu lub spadku).
Uogólniaj¡c przykªad 1.2 mo»emy stwierdzi¢, »e je±li wielko±¢
nast¦pnie wzrasta o
p2 %,
P
wzrasta o
p1 %,
a
to wzrasta o
P · (100 + p1 ) % · (100 + p2 ) % − P
p1 p2 = 1+
· 1+
−1
P
100
100
h
i
p1 p2 = 1+
· 1+
− 1 · 100% = (ρ1 · ρ2 − 1) · 100%,
100
100
gdzie
ρ1 = 1 +
p1
,
100
ρ2 = 1 +
p2
s¡ czynnikami wzrostu odpowiadaj¡cymi stopom
100
W matematyce nansowej cz¦sto uto»samia si¦ procent o jaki wzrasta kapitaª z
p1 , p2 .
odset-
kami , czyli wielko±ci¡ o jak¡ wzrósª kapitaª. Powi¦kszenie kapitaªu o odsetki wygenerowane przez ten kapitaª nazywa si¦ kapitalizacj¡ odsetek . Same odsetki nie s¡ kapitaªem,
ale stan¡ si¦ jego cz¦±ci¡ dopiero po kapitalizacji. Czas, po którym odsetki s¡ dopisywa-
okresem kapitalizacji . Kapitaª, który wygenerowaª odsetki
nazywa si¦ kapitaªem pocz¡tkowym , a kapitaª powi¦kszony, po okresie kapitalizacji, o
odsetki nazywa si¦ kapitaªem ko«cowym . Czas, w ci¡gu którego odsetki s¡ generowane
nazywa si¦ czasem oprocentowania .
ne do kapitaªu nazywamy
Stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª w ustalonym okresie nosi nazw¦
okresowej stopy procentowej . W praktyce najcz¦±ciej mamy do czynienia ze stopami
ustalonymi dla okresu rocznego i wtedy mówimy o rocznej stopie procentowej , stopie w stosunku rocznym lub u»ywamy skrótu p.a. (per annum). Warto zauwa»y¢, »e
efektem obliczenia odsetek za dany okres nie musi by¢ ich kapitalizacja.
Przez
warunki oprocentowania
nale»y rozumie¢ dane, których znajomo±¢ wystar-
cza, aby obliczy¢ wysoko±¢ odsetek nale»nych od ustalonego kapitaªu za ustalony czas.
7
Rozdziaª 2
Procent prosty.
2.1. Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa.
W przypadku transakcji nansowych zwykle nie okre±la si¦ odsetek, lecz wysoko±¢ stopy
procentowej oraz sposób obliczania odsetek wedªug zasady oprocentowania prostego lub
skªadanego.
Zasada oprocentowania prostego. Odsetki oblicza si¦ od kapitaªu pocz¡tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania.
Niech:
K0 pocz¡tkowa warto±¢ kapitaªu,
r roczna stopa procentowa,
n czas oprocentowania wyra»ony w latach,
In odsetki za czas n lat,
Kn ko«cowa warto±¢ kapitaªu po n latach.
Przy powy»szych oznaczeniach zasad¦ oprocentowania prostego mo»na zapisa¢ jako
In = rK0 · n
(2.1)
Kn = K0 + rK0 · n = K0 (1 + rn) .
(2.2)
albo
Innymi sªowy, kapitaª przy oprocentowaniu prostym wzrasta liniowo wzgl¦dem czasu ze
wspóªczynnikiem kierunkowym równym
rK0 .
Zauwa»my te», »e
Kn+1 − Kn = K0 + rK0 · (n + 1) − (K0 + rK0 · n) = rK0 ,
czyli przy oprocentowaniu prostym kapitaª wzrasta arytmetycznie.
Przykªad 2.1.
a)
4
Jak¡ warto±¢ osi¡gnie kapitaª pocz¡tkowy
latach,
b) 198 dniach
8
500
zª po:
Rozdziaª 2.
Procent prosty.
oprocentowania prostego, przy rocznej stopie
(1 rok
= 360
12% i latach liczonych wedªug reguªy bankowej
dni)?
Skorzystamy ze wzoru (2.2)
Kn = K0 + rK0 · n.
Ad. a) Mamy:
K0 = 500
zª,
r = 0.12, n =
364·3+365
360
K = 500 + 0.12 · 500 ·
Ad. b) Tym razem
n=
=
1457
= 742.83
360
[zª].
198
,
360
K = 500 + 0.12 · 500 ·
Przykªad 2.2.
1457
, st¡d
360
198
= 533
360
[zª].
W dniu 30 czerwca 2001 r. pan X miaª na koncie a'vista 2500 zª. W
okresie od 1 lipca do 30 wrze±nia tego roku dokonano dwóch wpªat na konto: 12 lipca 3259 zª i 17 sierpnia 1600 zª oraz trzech wypªat: 23 lipca 4200 zª, 5 sierpnia 1900 zª
i 18 wrze±nia 300 zª. Odsetki dopisywane s¡ na koniec ka»dego kwartaªu. Bank oblicza
odsetki od dodatniego salda wg ustalonej stopy rocznej 12%, a w przypadku ujemnego salda
karne odsetki wg. ustalonej stopy rocznej powi¦kszonej o 50%. Obliczy¢ odsetki za III
kwartaª 2001 roku. Czas bankowy biegnie wedªug reguªy kalendarzowej.
Mamy tu do czynienia z oprocentowaniem prostym w ka»dym z okresów, kiedy kapitaª
na koncie nie ulegaª zmianie. Do oblicze« wygodnie jest sporz¡dzi¢ tabel¦
Data
operacji
Operacja
Saldo
Numer dnia
Czas oprocentowania
w roku
w dniach
wpªata
wypªata
po operacji
−
−
2500
181
−
12 lipca
3250
−
5750
193
12
23 lipca
−
4200
1550
204
13
5 sierpnia
−
1900
−350
217
12
17 sierpnia
1600
−
1250
229
32
18 wrze±nia
−
300
950
261
12
30 wrze±nia
−
−
950
273
−
30 czerwca
9
Rozdziaª 2.
Procent prosty.
Do obliczenia odsetek skorzystamy ze wzoru (2.1)
12
= 9.86
365
11
= 5750 · 0.12 ·
= 20.79
365
13
= 1550 · 0.12 ·
= 6.62
365
12
= −350 · 0.18 ·
= −2. 07
365
32
= 1250 · 0.12 ·
= 13.15
365
12
= 950 · 0.12 ·
= 3.75
365
I 1 = 2500 · 0.12 ·
I2
I3
I4
I5
I6
Zatem za III kwartaª wynosz¡ odsetki wynosz¡
9.86 + 20.79 + 6.62 − 2. 07 + 13.15 + 3.75 = 52.10
Kapitaª ko«cowy na dzie« 30 wrze±nia, wynosi
950 + 52.10 = 1002.10
[zª].
Cz¦sto, aby obliczy¢ odsetki proste u»ywamy oprócz stopy rocznej stopy miesi¦cznej
lub kwartalnej. W tym wypadku miesi¡c, kwartaª itd. nazywamy
podokresem opro-
centowania (wzgl¦dem oprocentowania rocznego), a stop¦ procentow¡ dla tego okresu stop¡ podokresow¡ . Podokres mo»e by¢, cho¢ jest to stosowane rzadko, dªu»szy ni» rok
np. mo»e wynosi¢ 2 lata.
Wprowad¹my oznaczenia:
k liczba podokresów, których ª¡czna dªugo±¢ jest równa dªugo±ci
ik stopa podokresowa,
mk czas wyra»ony w podokresach (numer kolejnego podokresu).
roku,
1
dªugo±ci roku. W praktyce
k
najcz¦±ciej mamy do czynienia z nast¦puj¡cymi podokresami:
Dªugo±¢ podokresu, przy ustalonym
•
póªrocze,
•
kwartaª,
k = 4,
•
miesi¡c,
k = 13,
•
tydzie«,
k = 52,
•
dzie«,
k,
jest zawsze równa
k=2
k = 365
(lub
360).
Odsetki wg oprocentowania prostego za
mk
podokresów wynosz¡
Imk = ik K0 · mk ,
a warto±¢ kapitaªu
Kmk = K0 (1 + ik · mk ) .
10
Rozdziaª 2.
Przykªad 2.3.
Procent prosty.
Po»yczka 1200 zª b¦dzie spªacona jednorazowo po upªywie
odsetkami prostymi przy miesi¦cznej stopie wynosz¡cej
1.3%.
4
miesi¦cy z
Obliczmy kwot¦ potrzebn¡
do spªaty tej po»yczki.
A zatem,
k = 12, m12 = 4, i12 = 0.013, K0 = 1200,
czyli
K4 = 1200 + 0.013 · 1200 · 4 = 1262
[zª].
2.2. Równowa»no±¢ stóp procentowych.
Skoro mo»emy posªugiwa¢ si¦ ró»nymi stopami (roczn¡ lub podokresow¡) wa»ne jest ustalenie warunków równowa»no±ci tych stóp. Przede wszystkim doprecyzujmy, co oznacza
równowa»no±¢ stóp. T¦ równowa»no±¢ okre±la w matematyce nansowej nast¦puj¡ca
Zasada równowa»no±ci stóp procentowych.
czasie
n,
Stopy procentowe s¡ równowa»ne w
je»eli przy ka»dej z nich ten sam kapitaª pocz¡tkowy
samym czasie
n,
K0 ,
generuje w tym
b¦d¡cym liczb¡ lat, te same odsetki.
Dla ustalenia warunku równowa»no±ci stóp zauwa»my najpierw, »e je»eli
mk podokresów dªugo±ci k1 roku wynosi
n
jest liczb¡
lat, to odpowiadaj¡ca jej liczba
mk = nk.
(2.3)
Niech dane b¦d¡ dwie stopy podokresowe ik1 oraz ik2 odpowiadaj¡ce podokresom dªugo±ci
1
1
i
roku. Odsetki generowane przez kapitaª K0 po upªywie n lat s¡ identyczne przy
k1
k2
stopach ik1 i ik2 , wtedy i tylko wtedy, gdy
ik1 mk1 K0 = ik2 mk2 K0 ,
gdzie wobec (2.3)
mk1 = nk1 , mk2 = nk2 ,
sk¡d
ik1 nk1 K0 = ik2 nk2 K0 .
W konsekwencji
ik1
ik2
=
1
k1
1
k2
,
(2.4)
co mo»na sªownie wyrazi¢ nast¦puj¡co: dwie stopy podokresowe s¡ równowa»ne wtedy i
tylko wtedy, gdy ich stosunek jest identyczny jak stosunek dªugo±ci odpowiadaj¡cych im
podokresów wyra»onych w latach. Z tego powodu przy oprocentowaniu prostym stopy
równowa»ne nazywamy
proporcjonalnymi.
Wzór (2.4) jest równowa»ny wzorowi
ik1 = ik2 kk12 ,
(2.5)
który pozwala przelicza¢ równowa»ne stopy procentowe. W szczególno±ci, z powy»szego
1
wzoru wynika, »e je±li ik jest stop¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi dªugo±ci
roku, za± r jest
k
stop¡ roczn¡, to
r = ik k.
11
Rozdziaª 2.
Przykªad 2.4.
Procent prosty.
Póªroczna stopa oprocentowania prostego wynosi i2
= 18%.
13dniow¡, 2letni¡. U»ywaj¡c ka»dej z nich obliczy¢
za czas 3 lat. W obliczeniach u»ywa¢ reguªy bankowej.
nowa»ne stop¦ miesi¦czn¡,
proste od kapitaªu 400 zª
W przypadku stopy miesi¦cznej mamy:
i12 = i2
Dalej dla
3
lat
m12 = 12 · 3 = 36
k = 12
13dniowej k =
odsetki
i wobec wzoru (2.5)
1
2
= 18% · = 3%.
12
6
oraz
I = i12 · m12 · K0 = 0.03 · 36 · 400 = 432
Dla stopy
Obliczy¢ rów-
[zª]
360
oraz
13
2
13
i 360 = i2 360 = 18% ·
= 1.3%.
13
180
13
Mamy te», »e dla
3
lat
m 360 =
13
360
13
1080
oraz
13
·3=
I = i 360 · m 360 · K0 = 0.013 ·
13
Wreszcie dla stopy
13
1080
· 400 = 432 [zª]
13
2letniej k = 21 ,
2
i 1 = i2 1 = 18% · 4 = 72%
2
m1 =
2
1
2
·3=
2
3
2
I = i 1 · m 1 · K0 = 0.72 ·
2
Przykªad 2.5.
2
3
· 400 = 432
2
[zª].
Najni»sza cena, po której kupiono 26tygodniowe bony skarbowe wyniosªa
9521.06 zª za bon o warto±ci 10000 zª. Obliczy¢ stop¦ zysku tych bonów w skali 26 tygodni
i skali roku.
Mamy wi¦c
k=
oraz
ik =
360
26 · 7
10000 − 9521.06
= 0.0503 = 5.03%,
9521.06
co wynika ze wzoru
K = K0 + i k K0 .
W skali roku
r = ik k = 5.03%
360
= 9.95%.
26 · 7
12
Rozdziaª 2.
Procent prosty.
2.3. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
Zaªó»my, »e czas oprocentowania kapitaªu
po sobie okresów o dªugo±ci
n1 , n2 , ..., nm
K0
wynosi
n lat i skªada si¦ z m nast¦puj¡cych
lat, gdzie
n=
m
X
ni .
i=1
Zaªó»my dalej, »e w
itym
itym
odsetki proste w
okresie obowi¡zuje stopa roczna
ri , i = 1, 2, ..., m.
Wówczas
okresie wynosz¡
Ini = ri ni · K0 .
¡czne odsetki za okres
n
lat wynosz¡ wi¦c
I=
m
P
ri ni · K0 = K0
i=1
m
P
ri ni ,
i=1
za± kapitaª ko«cowy
K = K0 + K0
m
P
m
P
ri ni = K0 1 +
ri ni .
i=1
Mo»emy teraz wprowadzi¢ poj¦cie
(2.6)
i=1
stopy przeci¦tnej
pomoc¡ równo±ci
r̄nK0 = K0
m
X
r̄
(za okres
n
lat) okre±lonej za
ri ni .
i=1
Czyli jest to staªa stopa, jaka daªaby za
n lat ten sam przyrost kapitaªu, co stopy zmienne.
Wynika st¡d, »e
r̄ =
1
n
m
P
ri ni .
i=1
Stopa przeci¦tna jest wi¦c ±redni¡ stop¡ wa»on¡ stóp
r1 , r2 , ..., rm
z wagami b¦d¡cymi
dªugo±ciami poszczególnych okresów. W szczególno±ci, je±li okresy s¡ jednakowe, stopa
przeci¦tna jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp
Przykªad 2.6.
r1 , r2 , ..., rm .
Pan X wpªaciª 3600 zª na roczn¡ lokat¦ z odsetkami naliczanymi po za-
ko«czeniu lokaty. Przez 4 miesi¡ce obowi¡zywaªo oprocentowanie 6%, przez nast¦pne 3
miesi¡ce 5.5%, a przez ostatnie 5 miesi¦cy 4.5% (wszystkie stopy w stosunku rocznym).
Zgodnie z (2.6) warto±¢ lokaty wynosi
4
3
5
K = 3600 1 + 0.06 ·
+ 0.055 ·
+ 0.045 ·
=
12
12
12
11
3
421
1
3600 1 +
+
+
= 3600 ·
= 3789
50 800 160
400
Natomiast ±rednia stopa
r̄ =
[zª].
21
= 0.0525 = 5.25%.
400
13
Rozdziaª 2.
Procent prosty.
2.4. Dyskontowanie proste.
Dyskontowaniem
nazywamy obliczanie kapitaªu pocz¡tkowego
to±ci kapitaªu ko«cowego
nazywamy
r,
K.
Ró»nic¦
D
K0
na podstawie war-
mi¦dzy kapitaªem ko«cowym i pocz¡tkowym
dyskontem . Je±li dyskontowanie odbywa si¦ przy u»yciu stopy procentowej
dyskontem prostym . W matematyce nansowej stosuje si¦ równie»
to nazywamy je
dyskontowanie handlowe oparte na tzw. stopie dyskontowej. Zatem, przyjmuj¡c za
n
czas
wyra»ony w latach mamy, »e
K = K0 (1 + rn)
sk¡d
K0 = K (1 + rn)−1
oraz
D = K − K0 = K − K (1 + rn)−1 =
Przykªad 2.7.
Krn
K + Krn − K
=
= Krn (1 + rn)−1 .
1 + rn
1 + rn
Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej
wpªacie a) 1 kwietnia, b) 1 stycznia saldo na rachunku 1 stycznia nast¦pnego roku b¦dzie
wynosi¢ 1000 zª?
Mamy natychmiast
a)
K0 =
1000
K
=
= 892.86
1 + rn
1 + 0.16 · 0.75
[zª],
b)
K0 =
1000
1000
=
= 862.07
1 + 0.16
1 + 0.16
[zª].
14
Rozdziaª 3
Dyskonto handlowe proste.
3.1. Dyskonto handlowe.
Zapªata za po»yczenie pieni¦dzy mo»e by¢ zrealizowana w formie odsetek od po»yczonej
kwoty. Nie jest to jednak jedyna forma zapªaty, omówimy teraz zapªat¦ za po»yczk¦ zwan¡
dyskontem.
Dyskontem handlowym nazywamy zapªat¦ za po»yczk¦ obliczon¡ za pomoc¡ stopy
dyskontowej na podstawie kwoty, któr¡ dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, przy czym
dyskonto jest pªatne z góry (w momencie otrzymania po»yczki) i pomniejsza kwot¦ przekazanych pieni¦dzy.
Dyskonto handlowe bywa nazywane
procentem pªatnym z góry. Warto±¢ dyskonta
zale»y od kwoty, któr¡ mamy zwróci¢ oraz od czasu, na jaki po»yczamy pieni¡dze. Roczna
stopa, przy u»yciu której oblicza si¦ warto±¢ dyskonta nosi nazw¦
stopy dyskontowej.
Mamy
Zasada dyskonta handlowego (prostego). Dyskonto jest obliczane od kwoty, któr¡
dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane
od tej kwoty w momencie udzielenia po»yczki.
Niech:
F kwota spªaty (warto±¢ nominalna po»yczki),
D dyskonto,
P warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki (warto±¢ nominalna po potr¡ceniu
d roczna stopa dyskontowa,
n czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, wyra»ony w latach.
dyskonta)
Zgodnie z zasad¡ dyskonta handlowego:
D = dF · n
(3.1)
P = F − D = F (1 − dn) .
(3.2)
oraz
sk¡d równie»
F =
P
.
1−dn
(3.3)
Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki nie mo»e by¢ ujemna czyli
F −D >0
15
Rozdziaª 3.
sk¡d dostajemy, »e
dn < 1,
co oznacza, »e przy danej stopie
d
czas udzielenia po»yczki musi speªnia¢ warunek
n < d1 ,
za± przy ustalonym czasie
n
(3.4)
stopa musi speªnia¢ warunek
d < n1 .
Przykªad 3.1.
(3.5)
Aby dzi± dosta¢ po»yczk¦ zobowi¡zujemy si¦ odda¢ po 3 miesi¡cach 1500
zª. Jaka jest opªata za po»yczk¦, je±li ma ona posta¢ dyskonta o stopie
d = 14%.
Wobec
(3.1)
D = 0.14 · 1500 ·
3
= 52.50
12
zª,
a zatem otrzymamy
P = F − D = 1500 − 52.50 = 1447.50
Przykªad 3.2.
zª.
Po koniec 2001 roku du»¡ popularno±ci¡ cieszyªy si¦ w Polsce tzw. lokaty
antypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry w zwi¡zku z 20% tzw. podatkiem Belki. Zaªó»my, »e dysponujemy kwot¡ 10000 zª i chcemy je zdeponowa¢ na póª roku maj¡c do wyboru
dwie oferty:
•
w banku X póªroczn¡ lokat¦ z odsetkami pªaconymi z góry przy stopie rocznej
d=
12%
•
w banku Y póªroczn¡, tradycyjn¡ lokat¦ z oprocentowaniem
r = 15%
w stosunku
rocznym.
Która oferta jest lepsza?
W banku X po»yczka lokata ma charakter dyskontowy z kwot¡ pocz¡tkow¡
zª, musimy wi¦c obliczy¢ kwot¦ ko«cow¡
F =
P = 10000
F :
10000
P
=
1 − dn
1 − 0.12 ·
1
2
= 10638.30
zª
W banku Y mamy, »e odsetki b¦d¡ wynosiªy
I = rP n = 0.15 · 10000 ·
1
= 750.00
2
zª
ale b¦d¡ obci¡»one podatkiem, a zatem bank wypªaci nam
K = 10000 + 0.8 · 750.00 = 10600.00
zª.
Zatem, lepiej skorzysta¢ z oferty banku X
16
Rozdziaª 3.
Obliczymy jeszcze przy jakiej stopie
r
obie oferty s¡ jednakowo opªacalne
P
= P + rP n · 0.8
1 − dn
1
= 1 + rn · 0.8
1 − dn
1
−1
rn · 0.8 =
1 − dn
nd
rn · 0.8 =
1 − dn
1.25d
1.25 · 0.12
r=
=
= 0.159 6 = 15.96%.
1 − dn
1 − 0.12 12
3.2. Stopa dyskontowa a stopa procentowa.
Zajmiemy si¦ odpowiedzi¡ na pytanie kiedy stopa dyskontowa i procentowa wygeneruj¡
w jednakowym czasie jednakowe odsetki. Takie stop¦ nazywamy równowa»nymi.
Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i procentowej. Roczna stopa dyskontowa
d
i roczna stopa procentowa
r
n,
s¡ równowa»ne w czasie
je±li dyskonto i odsetki
obliczane przy tych stopach dla tej samej po»yczki s¡ równe.
Wyprowadzimy teraz analityczny warunek równowa»no±ci obu stóp. Skoro (przy oznaczeniach przyj¦tych w tym oraz poprzednim rozdziale)
D=I
przy warunku
K0 = P, wi¦c
wobec (3.1)
dF n = rP n,
sk¡d uwzgl¦dniaj¡c (3.3)
P
= rP,
1 − dn
czyli
r=
d
1−dn
(3.6)
d=
r
.
1+rn
(3.7)
oraz
Ze wzorów (3.6)-(3.7) wynika
Wªasno±¢ 3.1.
1. Wysoko±¢ równowa»nych stóp nie zale»y od kwoty udzielonej po»yczki, ale zale»y od
czasu na jaki j¡ udzielono.
2. Istnieje dokªadnie jeden okres
n,
w którym stopy s¡ równowa»ne (zwany
równowa»no±ci stóp dyskontowej i procentowej), wynosi on
n=
3. Okres równowa»no±ci stóp
din
okresem
1 1
− .
d r
(3.8)
jest dodatni (wynika, to z warunku (3.4)).
17
Rozdziaª 3.
n
d.
4. Dla ka»dego okresu
stopa dyskontowa
i ka»dej stopy procentowej
5. Dla ka»dej stopy dyskontowej
istnieje równowa»na w okresie
d i ka»dego
n stopa r.
r
okresu
istnieje równowa»na w okresie
n
speªniaj¡cego warunek
n
nd < 1
Zauwa»my te», »e warunkiem, aby warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki przy dyskoncie przy
n byªa dodatnia byªa nierówno±¢ n < d1 , która dla okresu równowa»no±ci
otrzymanego w (3.8) jest oczywi±cie speªniona.
okresie po»yczki
Przykªad 3.3.
Powró¢my do przykªadu, w którym rozwa»ali±my inwestycj¦ w 26 tygo-
dniowe bony skarbowe o warto±ci 10000 zª. Nominalna cena zakupu tych bonów wynosiªa
26·7
9521.06 zª. Przyjmijmy F = 10000 zª, P = 9521.06 zª, n = 360 . Roczna stopa dyskonta
wynosiªa wi¦c
d=
F −P
10000 − 9521.06
D
=
=
= 0.0947 = 9.47%.
26·7
nF
nF
· 10000
360
Roczna stopa rentowno±ci tej inwestycji jest równa
r=
D
10000 − 9521.06
= 26·7
= 0.0995 = 9.95%.
nP
· 9521.06
360
Jest to oczywi±cie roczne oprocentowanie po»yczki 9521.06, której warto±¢ wraz z odsetkami
wyniosªaby po 26 tygodniach 10000 zª.
Powy»szy przykªad uzmysªawia nam nast¦puj¡ce spostrze»enie.
Wªasno±¢ 3.2.
Roczna stopa zysku (rentowno±ci) z transakcji, w której opªat¡ jest dys-
konto obliczone przy stopie
d
w czasie
d
za czas
n
jest roczn¡ stop¡ procentow¡
r
równowa»n¡ stopie
n.
Dowód. Rzeczywi±cie, roczna stopa zysku wynosi w tym wypadku
I
D
=
= r.
nP
nP
W praktyce du»e znaczenie ma
Wªasno±¢ 3.3.
d i r b¦d¡ stopami rocznymi dyskontow¡ i procentow¡ odpowiednio
równowa»nymi w okresie n̄ . Niech D b¦dzie warto±ci¡ dyskonta, za± I warto±ci¡ odsetek
1
przy po»yczce na n lat (n < d ). Wówczas
Niech
1.
D > I ⇔ n > n̄,
2.
D < I ⇔ n < n̄.
18
Rozdziaª 3.
Dowód.
Niech
P
b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡ po»yczki,
dyskontowej o warto±ci pocz¡tkowej
P
po
n
F
kwot¡ spªaty po»yczki
latach.. Mamy wobec (3.1), (3.2) oraz (3.6),
»e
D = dF n,
I = rP n = rF (1 − dn)n =
Zatem
1 − dn
d
F (1 − dn)n =
· dF n.
1 − dn̄
1 − dn̄
1 − dn̄
D
=
.
I
1 − dn
W konsekwencji (przy zaªo»eniu, »e
n<
D>I⇔
oraz
1
)
d
1 − dn̄
> 1 ⇔ n > n̄
1 − dn
1 − dn̄
< 1 ⇔ n < n̄
1 − dn
D < I.
D<I⇔
teraz
n > n̄,
to
D > I,
n < n̄,
je±li
to
Mamy równie»
Wªasno±¢ 3.4.
n oznacza czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, I warto±¢ odsetek
za czas n przy stopie rocznej stopie procentowej r, za± D warto±¢ dyskonta tej samej
1
po»yczki za czas n lat przy rocznej stopie dyskontowej d (n < d ). Wówczas:
Niech
1.
D>I⇔r<
r
d
⇔d>
.
1 − dn
1 + rn
D<I⇔r>
r
d
⇔d<
.
1 − dn
1 + rn
2.
Dowód. Mamy wobec (3.3)
P
1 − dn
dF
dP
1
d
1
D
=
=
·
=
· ,
I
rP
1 − dn rP
1 − dn r
F =
sk¡d (przy zaªo»eniu
n<
1
)
d
D>I⇔
d
1
d
r
· >1⇔r<
⇔d>
1 − dn r
1 − dn
1 + rn
oraz
D<I⇔r>
d
r
⇔d<
1 − dn
1 + rn
19
Rozdziaª 3.
3.3. Weksle.
Weksel
stanowi zobowi¡zanie do zapªaty okre±lonej kwoty w ustalonym terminie i ma
form¦ dokumentu sprecyzowanego odpowiednimi przepisami. Kwot¦, do zapªaty której
zobowi¡zuje weksel nazywamy
warto±ci¡ nominaln¡ weksla. Termin, w którym weterminem wykupu weksla . Warto±¢ weksla obliczon¡
ksel ma by¢ spªacony nazywamy
na podstawie jego warto±ci nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej
dzie« poprzedzaj¡cy poprzedzaj¡cy termin jego wykupu nazywamy
w¡ (aktualn¡) weksla.
d
na okre±lony
warto±ci¡ handlo-
Poniewa» weksel stanowi form¦ po»yczki liczonej wedªug zasady dyskonta handlowego, zast¦pujemy dotychczas stosowan¡ terminologi¦ dotycz¡c¡ dyskonta handlowego w
nast¦puj¡cy sposób:
•
kwota spªaty
•
opªata za po»yczk¦ (dyskonto)
•
warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki
•
czas od otrzymania do zwrotu po»yczki
F
warto±¢ nominalna weksla,
D
warto±¢ dyskonta weksla,
P =F −D
n
warto±¢ aktualna weksla,
czas do wykupu weksla.
W konsekwencji, aktualna warto±¢ weksla o warto±¢ nominalnej
kontowej (rocznej)
d
na
n
F,
przy stopie dys-
lat przed wykupem wynosi
P = F (1 − dn) .
Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e w odniesieniu do weksli czas w dniach zamienia si¦ na
lata wedªug reguªy bankowej (1 rok = 360 dni).
Przykªad 3.4.
Zobowi¡zanie do zapªaty za dostaw¦ pewnego towaru o warto±¢ 195 jp
(jednostek pieni¦»nych) ma posta¢ weksla podpisanego 3 lipca na sum¦ 200 jp z terminem
wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku.
Mamy wi¦c
F = 200,
P = 195,
D = F − P = 5.
Czas do wykupu wyra»ony w dniach (wg tabeli)
276 − 183 = 92
wyra»ony w latach
n=
dni;
92
.
360
Stopa dyskontowa
d=
D
5
=
nF
200 ·
92
360
=
5
9
= 9.78%.
92 =
92
5· 9
20
Rozdziaª 3.
Równowa»na stopa procentowa przy czasie
d
r=
=
1 − dn
1−
9
92
9
· 92
92 360
9
92
1−
1
40
n
=
wynosi
9 40
3 10
30
·
=
·
=
= 10.03%.
92 39
23 13
299
Oznacza to, »e gdyby±my 3 lipca po»yczyli 195 jp, to zwrot 3 pa¹dziernika 200 jp oznaczaªby
stop¦ procentow¡
10.03%.
Innymi sªowy po»yczka byªaby korzystniejsza od wystawienia
weksla przy stopie mniejszej ni»
Przykªad 3.5.
10.03%.
Wynika to równie» bezpo±rednio z wªasno±ci 3.4.
Firma X rozwa»a dwa warianty pozyskania potrzebnych jej ±rodków: wy-
stawienie weksla o terminie wykupu za 90 dni przy stopie dyskontowej
dniowa po»yczka przy stopie rocznej
r = 17%.
d = 16%,
albo 90
Która opcja jest korzystniejsza.
Mamy
d
0.16
=
1 − dn
1 − 0.16 ·
90
360
=
0.16
16
1 − 100
·
1
4
=
16 100
1
·
= = 16.67% < r.
100 96
6
Zatem z wªasno±ci 3.4 wynika, »e weksel jest bardziej opªacalny. Mo»emy równie» obliczy¢
czas
n̄,
przy którym obie stopy s¡ równowa»ne. Z (3.8) mamy
n̄ =
100 100
25 · 17 − 400
25
1 1
− =
−
=
=
= 0.367 647 058 8
d r
16
17
68
68
to jest
0.367 647 058 8 · 360 = 132.352 941 2
dni.
Z wªasno±ci 3.3 po»yczka byªaby korzystniejsza dla czasu co najmniej 133 dni.
21
Rozdziaª 4
Procent skªadany
4.1. Zasada oprocentowania skªadanego.
Przypomnijmy, »e w przypadku oprocentowania prostego odsetki s¡ dopisywane do kapitaªu dopiero po zako«czeniu czasu oprocentowania. Taki proces nazywa si¦ kapitalizacj¡.
Gdy jednak odsetki powi¦kszaj¡ kapitaª w równych odst¦pach czasu, przed upªywem czasu oprocentowania mamy do czynienia z procentem skªadanym. Czas, po upªywie którego
odsetki s¡ za ka»dym razem dopisywane do kapitaªu nazywa si¦ okresem kapitalizacji.
Zasada oprocentowania skªadanego.
Oprocentowanie skªadane polega na tym, »e
odsetki (proste) oblicza si¦ za ka»dy ustalony z góry okres i kapitalizuje si¦ je na koniec
tego okresu.
Omówimy trzy zasadnicze typy oprocentowania skªadanego zwi¡zane z ró»nymi okresami kapitalizacji.
4.2. Kapitalizacja roczna.
Przypu±¢my, »e dany jest kapitaª pocz¡tkowy
odsetki s¡ kapitalizowane co rok. Niech
n
K0 > 0
i roczna stopa procentowa
r,
a
oznacza okres oprocentowania wyra»ony w
latach. Przy kapitalizacji rocznej musimy poczyni¢ zaªo»enie, »e
n ∈ N (:= {1, 2, . . .}) .
Obliczmy warto±¢ kapitaªu po upªywie kolejnych lat:
po roku
K1 = K0 + rK0 = K0 (1 + r)
po dwóch latach
K2 = K1 + rK1 = K1 (1 + r) = K0 (1 + r)2
.
.
.
.
.
.
po
n
Zatem, po upªywie
K0 (1 + r)n
latach
n
lat kapitaª
Kn
wynosi:
Kn = K0 (1 + r)n ,
za± ª¡czne odsetki po upªywie
n
(4.1)
lat:
In = Kn − K0 = K0 ((1 + r)n − 1) .
22
(4.2)
Rozdziaª 4.
Procent skªadany
model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji
rocznej, albo krócej: model kapitalizacji rocznej. Widzimy te», »e przy modelu roczRównania (4.1)-(4.2) stanowi¡
nym kapitaª wzrasta geometrycznie z ilorazem
(1 + r) .
Model ten mo»e by¢ wi¦c opisany
za pomoc¡ równania ró»nicowego postaci
Kn+1 = Kn (1 + r)n ,
n ∈ N ∪ {0} .
atwo wida¢, »e przy danym kapitale pocz¡tkowym
K0
i ko«cowym
Kn (Kn > K0 )
za
n
lat roczna stopa oprocentowania wynosi
r
n
r=
za± przy danym kapitale pocz¡tkowym
czas oprocentowania
n
K0 ,
Kn
− 1,
K0
(4.3)
ko«cowym
Kn (Kn > K0 )
n = log1+r
Kn
K0
ln
=
Kn
K0
r
ln (1 + r)
W tym
drugim przypadku nale»y dodatkowo zaªo»y¢, »e
n
ln K
K0
jest liczb¡ naturaln¡.
ln(1+r)
Przykªad 4.1.
i stopie rocznej
(wyra»ony w latach) wynosi
.
K0 , Kn
Rozwa»my pi¦cioletni¡ lokat¦ w wysoko±ci
(4.4)
i
r
s¡ tak dobrane, »e
K0 = 10000
zª przy czym:
(a) odsetki s¡ naliczane po jej zako«czeniu a stopa procentowa wynosi
(b) lokata jest kapitalizowana corocznie a stopa procentowa wynosi
r = 12%,
r̃ = 10%.
W pierwszym przypadku warto±¢ ko«cowa kapitaªu wynosi
K5 = K0 (1 + rn) = 10000 (1 + 0.12 · 5) = 16000.00
zª,
w drugim
K̃5 = K0 (1 + r̃)n = 10000 (1 + 0.1)5 = 16100.00
zª.
Widzimy wi¦c, »e pomimo ni»szej stopy kapitalizacja jest bardziej opªacalna. Mo»emy si¦
te» zastanowi¢ jaka stopa roczna
co stopa
r̃
r̄
bez kapitalizacji wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª
z kapitalizacj¡:
K̃5
K0
r̄ =
i na odwrót, jaka stopa roczna
stopa roczna
r
−1
n
r̂
=
16100
10000
5
−1
= 12.20%,
z kapitalizacj¡ wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª co
bez kapitalizacji
r
r̂ =
5
K5
−1=
K0
r
5
16000
− 1 ≈ 9.856%.
10000
23
Rozdziaª 4.
Procent skªadany
4.3. Kapitalizacja podokresowa
Przypu±¢my, »e odsetki dopisywane s¡ za ka»dym razem po upªywie czasu krótszego ni» 1
rok. Wtedy taki okres nazywamy
podokresem kapitalizacji . Oczywi±cie kapitaª b¦dzie
wzrastaª dokªadnie wg tej samej zasady co przy kapitalizacji rocznej, pod warunkiem »e do
jego opisu b¦dziemy u»ywa¢ stopy z zwi¡zanej z tym podokresem czyli
stopy podokreso-
wej . Poj¦cie stopy podokresowej pojawiªo si¦ przy omawianiu oprocentowania prostego.
W przypadku kapitalizacji podokresowej jest ona równa procentowi, o jaki wzrasta kapitaª za ka»dym razem po upªywie jednego podokresu. Liczb¦ podokresów kapitalizacji
przypadaj¡cych na jeden rok nazywa si¦
cz¦stotliwo±ci¡ kapitalizacji .
Wprowadzaj¡c oznaczenia analogiczne jak dla oprocentowania prostego przyjmijmy
k cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji (ile razy w roku dopisywane s¡ odsetki),
mk czas oprocentowania wyra»ony w liczbie podokresów (zakªadamy, »e mk ∈ N),
ik stopa podokresowa.
Km k
po
podokresu), przy kapitale pocz¡tkowym
K0
Wtedy, rozumuj¡c analogicznie jak dla kapitalizacji rocznej dostajemy, »e kapitaª
upªywie czasu
mk
(czyli na koniec
mk − tego
wynosi
Kmk = K0 (1 + ik )mk ,
a ª¡czne odsetki po upªywie czasu
mk
wynosz¡
Imk = K0 ((1 + ik )mk − 1) .
Przykªad 4.2.
K0 = 1000 zª. Kapitaª ro±nie
= 4) i stop¡ kwartaln¡
(mk = 8). Kapitaª ko«cowy wynosi
Niech warto±¢ pocz¡tkowa kapitaªu wynosi
wedªug oprocentowania skªadanego z kapitalizacj¡ kwartaln¡ (k
i4 = 6%.
Wówczas okres 2 lat stanowi 8 podokresów
wi¦c
K8 = K0 (1 + ik )mk = 1000 (1 + 0.06)8 = 1593.85
zª.
Cz¦sto warunki oprocentowania z kapitalizacj¡ podokresow¡ z cz¦stotliwo±ci¡ kapitali-
k razy w roku mog¡ by¢ podane przy u»yciu tak zwanej rocznej stopy nominalnej
rk (a nie podokresowej ik ). W tym wypadku podawana roczna stopa nominalna rk jest
zacji
deniowana jako stopa proporcjonalna do stopy podokresowej, dokªadniej
rk := k · ik .
mk okresów przy powy»szych
K0 b¦dzie wynosi¢
Kapitaª po upªywie
tale pocz¡tkowym
Kmk = K0 1 +
warunkach oprocentowania i przy kapi-
rk mk
k
,
albo, je±li zamiast czasu wyra»onego w liczbie podokresów u»yjemy odpowiadaj¡cego mu
czasu wyra»onego w
n
latach,
Kn = K0 1 +
rk nk
k
.
Warto równie» zwróci¢ uwag¦, »e o ile stopa podokresowa wyra»aªa procent o jaki wzro±nie
nas kapitaª w ci¡gu jednego okresu kapitalizacji, to stopa roczna nominalna ju» takiej
24
Rozdziaª 4.
Procent skªadany
wªasno±ci nie posiada (chyba, »e podokres jest równy 1 rok co, cho¢ formalnie poprawne,
podwa»a praktyczny sens u»ycia okre±lenia podokres).
U»ywaj¡c rocznej stopy nominalnej mo»na wprowadzi¢ jeszcze jeden wspóªczynnik
mierz¡cy szybko±¢ wzrostu kapitaªu. Przy poprzednich oznaczeniach zbadajmy iloraz warto±ci kapitaªu po dwóch nast¦puj¡cych po sobie latach
nk+k K0 1 + rkk
rk k
Kn+1
=
1
+
=
.
nk
Kn
k
K0 1 + rkk
Wspóªczynnik ten oznaczany przez
oprocentowania .
ρk
nie zale»y od
n i zwany jest rocznym
czynnikiem
Informuje on ile razy zwi¦ksza si¦ kapitaª po upªywie roku. Ma on
nast¦puj¡c¡ (do±¢ jasn¡ intuicyjnie wªasno±¢)
Wªasno±¢ 4.1.
Przy ustalonej rocznej stopie nominalnej roczny czynnik oprocentowania
jest tym wi¦kszy (czyli kapitaª ro±nie tym szybciej), im krótszy jest okres kapitalizacji.
4.4. Kapitalizacja ci¡gªa
Przypu±¢my, »e dana jest roczna stopa nominalna
talizacji
k
mo»e wzrasta¢ nieograniczenie (czyli okres kapitalizacji staje si¦ niesko«czenie
maªy, dodatni), to przy zaªo»eniu, »e stopa
kapitaª
rc . Je±li zaªo»ymy, »e cz¦stotliwo±¢ kapi-
Kn ,
rc
jest niezmienna dostajemy, »e po
n
latach
K0 b¦dzie wynosi¢
nrc
rc rkc
= K0 erc n .
1+
= lim K0
k→∞
k
którego warto±¢ pocz¡tkowa byªa
rc nk
Kn = lim K0 1 +
k→∞
k
Zauwa»my, »e powy»szy wzór ma sens nie tylko dla
n ∈ N, n
(4.5)
mo»e by¢ liczb¡ rzeczywista
dodatni¡, musimy tylko pami¦ta¢, »e odpowiada upªywowi czasu wyra»onego w jednostce 1
rok. Z tego powodu wygodniej b¦dzie dla oznaczania czasu u»ywa¢ litery t. Zatem, w chwili
t≥0
warto±¢ kapitaªu
K(t)
podlegaj¡cego oprocentowaniu ci¡gªemu (z kapitalizacj¡ co
niesko«czenie krótki czas) z roczn¡ stop¡ nominaln¡
rc
wynosi
K(t) = K(0)erc t .
(4.6)
t = 0 znana jest
t ≥ t0 wynosi¢ b¦dzie
Je»eli zaªo»ymy, »e zamiast warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego w chwili
warto±¢ kapitaªu w chwili
t = t0 ,
to jego warto±¢ w dowolnej chwili
K(t) = K(t0 )erc (t−t0 ) .
Wreszcie, je±li przyjmiemy
r = erc − 1,
(4.7)
to wzór (4.7) przyjmie posta¢
K(t) = K(t0 )(1 + r)(t−t0 ) .
(4.8)
Wzory (4.5)-(4.8) opisuj¡ wi¦c model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji ci¡gªej
(co niesko«czenie krótki czas) zwany równie»
sprawdzi¢, podstawiaj¡c we wzorze (4.8)
modelem kapitalizacji ci¡gªej . atwo
t = t0 + 1, »e r
jest roczn¡ stop¡ efektywn¡, czyli
w ci¡gu roku kapitaª pocz¡tkowy podlegaj¡cy modelowi (4.8) wzro±nie o dokªadnie
r%.
25
Rozdziaª 4.
Procent skªadany
Powy»szy model mo»na równie» wyprowadzi¢ nast¦puj¡co. Przypu±¢my, »e kapitalizacja odbywa si¦ co
t
∆t
lat (∆t nie musi by¢ wielko±ci¡ caªkowit¡). Wówczas, je±li w chwili
warto±¢ kapitaªu wynosiªa
K (t)
oraz kapitalizacja nast¡pi w chwili
t + ∆t,
to
K (t + ∆t) = K (t) + K (t) rc ∆t
st¡d
K (t + ∆t) − K (t)
= rc K (t) .
∆t
Gdyby okres kapitalizacji byª niesko«czenie krótki, to
K (t + ∆t) − K (t)
= rc K (t)
∆t→0
∆t
lim
czyli
K 0 (t) = rc K (t) .
(4.9)
Rozwi¡zaniem powy»szego równania jest ka»da funkcja postaci,
K (t) = cerc t ,
gdzie
c
jest dowoln¡ staª¡. Zakªadaj¡c, »e w chwili pocz¡tkowej
wynosiªa
K0
t=0
warto±¢ kapitaªu
mamy, »e
K0 = c,
sk¡d
K (t) = K0 erc t .
Tak jak poprzednio musimy pami¦ta¢, »e powy»sze rozumowanie jest prawdziwe, je±li
jednostk¡ czasu
t
jest 1 rok.
Równanie (4.9) mówi, »e przy kapitalizacji ci¡gªej pr¦dko±¢ wzrostu kapitaªu w chwili
t
jest proporcjonalna do jego wielko±ci, za± wspóªczynnik tej proporcjonalno±ci interpre-
tujemy jako roczn¡ stop¦ nominaln¡.
4.5. Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania
skªadanego.
Zajmiemy si¦ teraz problemem równowa»no±ci stóp procentowych w oprocentowaniu skªadanym. Przypomnijmy ogóln¡ denicj¦ stóp równowa»nych. Dwie stopy procentowe
ik2
ik1
i
n, je±li przy tym samym kapitale pocz¡tkowym K0 generuj¡
n identyczne odsetki albo, co na jedno wychodzi generuj¡ ten sam kapitaª ko«Kn . Denicja ta, wprowadzona przez nas w rozdziale dotycz¡cym oprocentowania
s¡ równowa»ne w czasie
w czasie
cowy
prostego obowi¡zuje bez wzgl¦du na rodzaj oprocentowania.
Podamy analityczny warunek równowa»no±ci dwóch stóp procentowych. Zajmijmy si¦
najpierw oprocentowaniem skªadanym z kapitalizacj¡ dyskretn¡.
Rozwa»my dwa modele oprocentowania skªadanego. W pierwszym mamy do czynienia
1
), w
z kapitalizacj¡ k1 razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik1 (zwi¡zan¡ z podokresem
k1
drugim z kapitalizacj¡ k2 razy w roku i stop¡ podokresow¡ ik2 (zwi¡zan¡ z podokresem
26
Rozdziaª 4.
Procent skªadany
1
). Niech dany b¦dzie kapitaª pocz¡tkowy
k2
ik2 s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
K0
n
oraz czas
lat. Wówczas, stopy
ik1
oraz
K0 (1 + ik1 )nk1 = K0 (1 + ik2 )nk2
zatem
(1 + ik1 )k1 = (1 + ik2 )k2 .
Ta sama zale»no±¢ przy u»yciu rocznych stóp nominalnych
stóp
ik1
i
ik2
rk1
1+
rk1
k1
k1
= 1+
rk2
k2
k2
i
proporcjonalnych do
.
Wreszcie, przy u»yciu rocznych czynników oprocentowuj¡cych
rk1
rk2
odpowiednio ma posta¢
stopom
i
rk2
ρk1 i ρk2
(odpowiadaj¡cych
odpowiednio) dostajemy warunek równowa»no±ci w postaci
ρk1 = ρk2 .
Oczywi±cie, z powy»szych wzorów wynika, »e równowa»no±¢ stóp procentowych nie zale»y
od kapitaªu pocz¡tkowego, ani czasu oprocentowania. Tym samym udowodnili±my
Wªasno±¢ 4.2.
Niech
ik1
ik2 b¦d¡ stopami podokresowymi ik1 oraz ik2 odpowiadak1 i k2 , za± rk1 , rk2 rocznymi stopami nominalnymi oraz
oprocentowuj¡cymi odpowiadaj¡cymi stopom ik2 , ik2 odpo-
oraz
j¡cymi podokresom kapitalizacji
ρk1 , ρk2
rocznymi czynnikami
wiednio. Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne
(1) stopy ik1 oraz ik2 s¡ równowa»ne,
(3)
(1 + ik1 )k1 = (1 + ik2 )k2 ,
rk2 k2
rk1 k1
= 1 + k2
,
1 + k1
(4)
ρk1 = ρk2 .
(2)
ik1
Z powy»szej wªasno±ci ªatwo wynika, »e je»eli
j¡c¡ podokresowi kapitalizacji
podokresowi kapitalizacji
k2
k1 ,
jest stop¡ podokresow¡ odpowiada-
to równowa»na stopa podokresowa
ik2
odpowiadaj¡ca
wyra»a si¦ wzorem
k1
ik2 = (1 + ik1 ) k2 − 1.
W szczególno±ci, stopa roczna (odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji 1 raz w roku) równowa»na stopie ik odpowiadaj¡cej podokresowi
czana symbolem
ref
k
nazywana
stop¡ efektywn¡, jest ozna-
i wynosi
ref = (1 + ik )k − 1 = ρk − 1,
gdzie
ρk
oznacza roczny czynnik oprocentowania dla stopy podokresowej
(4.10)
ik .
Poniewa»
roczny czynnik oprocentowania mierzy ile razy powi¦kszy si¦ kapitaª w ci¡gu roku, to
stopa efektywna informuje nas o ile procent powi¦kszy si¦ ten kapitaª w ci¡gu roku.
27
Rozdziaª 4.
Procent skªadany
Stopa podokresowa ik odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji
ref
tywnej
k
równowa»na stopie efek-
wynosi natomiast
1
ik = (1 + ref ) k − 1.
Wreszcie, je±li
cji
k1 ,
rk1
jest roczn¡ stop¡ nominaln¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi kapitaliza-
to jak ªatwo sprawdzi¢, równowa»na roczna stopa nominalna
podokresowi kapitalizacji
k2
rk2
odpowiadaj¡ca
wyra»a si¦ wzorem
rk2 =
1+
rk1
k1
kk1
2
!
− 1 k1 .
Je»eli teraz porównamy kapitalizacj¦ ci¡gª¡ przy rocznej stopie nominalnej
talizacj¡
k
razy w roku i stop¡ podokresow¡
ik ,
rc
z kapi-
to te dwie stopy s¡ równowa»ne wtedy i
tylko wtedy, gdy
erc = (1 + ik )k .
W szczególno±ci, stopa efektywna równowa»na stopie
rc
wynosi
ref = erc − 1 = ρc − 1.
Na zako«czenie zajmiemy si¦ problemem równowa»no±ci stóp procentowych przy oprocentowania skªadanym i prostym. Niech ik b¦dzie stop¡ podokresow¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi
k,
za±
r
roczn¡ stop¡ procentow¡ przy oprocentowaniu prostym. Wówczas, w
my±l zasady równowa»no±ci stóp stopy s¡ równowa»ne w okresie
n
lat wtedy i tylko wte-
dy, gdy
(1 + ik )nk = 1 + rn.
Równowa»no±¢ stóp oprocentowania prostego i zªo»onego zale»y wi¦c od okresu oprocentowania. Mo»na udowodni¢, »e je±li te dwie stopy s¡ równowa»ne w okresie
n,
to nie s¡
równowa»ne w »adnym innym okresie.
4.6. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
Przypu±¢my, »e kapitaª
K0
zostaª zªo»ony na
(i)
w kolejnych latach obowi¡zywaªy stopy r , i
n lat z kapitalizacj¡ roczn¡,
= 1, 2, ..., n. Wtedy warto±¢
przy czym
kapitaªu w
kolejnych latach wynosi
K1 = K0 1 + r(1) ,
K2 = K0 1 + r(1) 1 + r(2) ,
...
Indukcyjnie dowodzimy, »e warto±¢ kapitaªu po
za± ª¡czne odsetki po
n
n
latach wynosi
Kn = K0
Qj
1 + r(i) ,
(4.11)
Q
j
i=1
1 + r(i) − 1 .
(4.12)
i=1
latach
In = K0
28
Rozdziaª 4.
Powy»sze wzory opisuj¡
stopie.
Procent skªadany
model oprocentowania skªadanego rocznego przy zmiennej
stop¦ przeci¦tn¡ (roczn¡) r̄ jako stop¦ roczn¡,
Mo»emy wprowadzi¢ dla tego modelu
która wygeneruje po okresie
n
lat ten sam kapitaª
n
Y
K0 (1 + r̄)n = K0
Kn ,
zatem
1 + r(i) ,
i=1
sk¡d
r̄ =
Je±li oznaczymy przez
qQ
n
n
ρ̄ przeci¦tny
(1 + r(i) ) − 1.
j=1
(4.13)
roczny czynnik oprocentowuj¡cy odpowiadaj¡cy
stopie przeci¦tnej, to
qQ
n
n
ρ̄ = r̄ + 1 =
j=1
(1 + r(i) ),
mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy jest ±redni¡ geometryczn¡ rocznych czynników oprocentowuj¡cych w kolejnych latach okresu
i(j) , j = 1, 2, ..., m
Uogólniaj¡c powy»sze wzory, je±li stopy
n
lat.
s¡ stopami okresowymi
(niekoniecznie rocznymi) w kolejnych okresach, to warto±¢ ko«cowa kapitaªu pocz¡tkowego
K0
zªo»onego na czas
m
podokresów (z kapitalizacj¡ na koniec ka»dego okresu) wynosi
Qm
Km = K0
za± stopa przeci¦tna w czasie
m
1 + i(j) ,
j=1
podokresów, zwana
(4.14)
m−okresow¡
stop¡ przeci¦tn¡ , ı̄
wynosi
qQ
m
m
ı̄ =
Zauwa»my, »e wobec wzoru (4.14)
j=1
(1 + i(j) ) − 1.
m−okresowy
czynnik oprocentowuj¡cy
miany jako wielko±¢ o jak¡ zmieni si¦ kapitaª po upªywie
ρ=
m−okresowa
natomiast
upªywie
m
Qm
1+i
j=1
stopa efektywna
r
(4.15)
(j)
m
ρm
(rozu-
podokresów) wynosi
,
(4.16)
(czyli o jaki procent zmieni si¦ kapitaª po
podokresów) wynosi
r = ρm − 1 =
Qm
j=1
Rozwa»my teraz sytuacj¦, w której kapitaª
1 + i(j) − 1
K0
(4.17)
zostaª zªo»ony na
n
lat z kapitalizacj¡
(j)
rc , j =
ci¡gª¡, przy czym w kolejnych latach obowi¡zywaªy nominalne stopy nominalne
1, 2, ..., n.
Wtedy kapitaª
Kn
po
n
latach ma warto±¢
(1)
(2)
(n)
Kn = K0 erc erc
za±
roczna nominalna stopa ±rednia
...rc
rc
(j)
j=1 rc
Pn
= K0 e
,
oprocentowania ci¡gªego speªnia warunek
erc n = e
(j)
j=1 rc
Pn
,
i wynosi
rc =
czyli jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp
1
n
(j)
j=1 rc ,
Pn
(j)
rc , j = 1, 2, ..., n.
29
Rozdziaª 4.
Procent skªadany
4.7. Dyskontowanie skªadane.
Zajmiemy si¦ teraz operacj¡ odwrotn¡ do obliczania kapitaªu ko«cowego na podstawie
kapitaªu pocz¡tkowego, który podlegaª oprocentowaniu skªadanemu, czyli operacj¡ dyskontowania.
Kn , który powstaª z kapitaªu pon lat przy oprocentowaniu skªadanym. Rozwa»my dwa
Przypu±¢my, »e znamy warto±¢ kapitaªu ko«cowego
cz¡tkowego
K0
zdeponowanego na
przypadki:
1. Okres kapitalizacji wynosi rok i roczna stopa procentowa jest równa
r.
Wtedy z
zale»no±ci
Kn = K0 (1 + r)n
dostajemy natychmiast, »e
K0 =
2. Kapitalizacja jest ci¡gªa z roczn¡ stop¡
Kn
.
(1 + r)n
rc .
Wówczas
Kn = K0 erc n ,
sk¡d
K0 = e−rc n Kn .
W obydwu przypadkach warto±¢ dyskonta (czyli ró»nica mi¦dzy kapitaªem ko«cowym i
pocz¡tkowym) jest równa warto±ci ª¡cznych odsetek od kapitaªu
K0 .
rocznymi czynnikami dyskontuj¡cymi
1
−r
oraz e c nazywaj¡ si¦
1+r
kapitalizacji rocznej i ci¡gªej odpowiednio. Jest to wspóªczynnik
Czynniki
ν
przy
przez jaki trzeba po-
mno»y¢ kapitaª na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª na pocz¡tku tego roku
tzn,
Kn = νKn+1 ,
Obliczaj¡c
Kn+1
roczn¡ stop¦ dyskontow¡
d,
czyli o ile procent trzeba zmniejszy¢ kapitaª
na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª
d=
Kn
na pocz¡tku tego roku mamy
Kn+1 − Kn
= 1 − ν.
Kn+1
Zatem, roczna stopa dyskontowa przy kapitalizacji rocznej ze stop¡ roczn¡
d=1−
r
wynosi
1
r
=
,
1+r
1+r
za± przy kapitalizacji ci¡gªej i stopie nominalnej
rc
dc = 1 − e−rc .
Przy u»yciu czynnika dyskontuj¡cego kapitaª pocz¡tkowy
latach kapitaª ko«cowy
Kn
K0 ,
który wygeneruje po
n
wyra»a si¦ wzorem
K0 = ν n Kn ,
a przy u»yciu rocznej stopy dyskontowej
d:
K0 = (1 − d)n Kn .
30
Rozdziaª 4.
Procent skªadany
4.8. Oprocentowanie a inacja.
Mianem
inacji
okre±lamy zjawisko spadku siªy nabywczej kapitaªu, czyli ilo±ci dóbr
(towarów i usªug), które mo»emy kupi¢ za ten kapitaª. Miar¡ inacji w ustalonym okresie
czasu jest
stopa procentowa inacji ,
która wyra»a procentowy wzrost cen towarów
i usªug w tym okresie. Poniewa» inacyjny wzrost cen w danym okresie nakªada si¦ na
wzrost cen w poprzednim okresie, wi¦c model opisuj¡cy inacyjne zmiany cen jest modelem oprocentowania skªadanego ze zmiennymi w czasie stopami wyra»onego równaniem
(4.11).
Przypu±¢my, »e badamy inacyjne zmiany cen w
m
okresach.
Niech:
(j)
iinf okresowa stopa inacji w okresie j = 1, 2, ..., m,
finf m−okresowa stopa inacji (równa procentowi o jaki wzrosn¡ ceny ª¡cznie po
upªywie
ı̄inf
m
okresów),
przeci¦tna w czasie
m
okresów stopa inacji.
Zgodnie ze wzorami (4.16)-(4.17)
mokresowy
1 + finf =
Qm j=1
czynnik inacji
1 + iinf
wynosi
(j)
1 + iinf ,
czyli jest iloczynem czynników inacji z kolejnych okresów. Za± zgodnie z (4.15) przeci¦tna
w czasie
m
podokresów stopa inacji wynosi
ı̄inf
p
= m 1 + finf − 1 =
r
Qm m
j=1
(j)
1 + iinf − 1.
Bior¡c pod uwag¦ wpªyw inacji na zmian¦ warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego
upªywie pewnego ustalonego okresu
t
(4.18)
K0
po
nale»y rozró»ni¢ jego wzrost nominalny np.
zwi¡zany z faktem, »e kapitaª byª zdeponowany w banku, z jego wzrostem realnym
zwi¡zanym z siª¡ nabywcz¡ tego kapitaªu. Zaªó»my, »e dana jest pewna stopa procentowa
inom
zwana w tym kontek±cie
stop¡ nominaln¡. Wedªug tej stopy, po upªywie czasu t
kapitaª ko«cowy b¦dzie wynosi¢
Knom = K0 (1 + inom ) .
(4.19)
Kreal tego kapitaªu zwi¡zana z jego siª¡ nabywcz¡ b¦dzie tyle razy mniejsza
wzrosªy ceny w tym okresie. Je±li wi¦c iinf oznacza stop¦ inacji w tym okresie,
Jednak warto±¢
ile razy
to
Kreal =
1 + inom
Knom
= K0
.
1 + iinf
1 + iinf
(4.20)
Powy»sze rozwa»ania pozwalaj¡ na formalne wprowadzenie poj¦¢ warto±¢ kapitaªu nominalnego i realnego.
Warto±ci¡ nominaln¡ kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy danej stopie inom
nazywamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (4.19), tzn.
Knom := K0 (1 + inom ) .
31
Rozdziaª 4.
Warto±ci¡ realn¡ kapitaªu
Procent skªadany
na koniec okresu dªugo±ci
t
przy stopie inacji
iinf
nazy-
wamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (4.20) t.j.
Kreal :=
Stop¡ realn¡
Knom
.
1+iinf
nazywamy liczb¦
ireal :=
1 + inom
− 1.
1 + iinf
(4.21)
Wobec (4.19)-(4.20)
Kreal =
czyli stopa
ireal
Knom
K0 (1 + inom )
=
= K0 (1 + ireal ) ,
1 + iinf
1 + iinf
jest w istocie stop¡ procentow¡ informuj¡c¡ o ile procent zmienia si¦
warto±¢ realna kapitaªu w badanym okresie czasu
t.
Bezpo±rednio z (4.21) wynika, »e
1 + inom = (1 + ireal ) (1 + iinf ) .
Powy»sza zale»no±¢ nosi nazw¦
wzoru Fishera .
(4.22)
Mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e czynnik
nominalnego oprocentowania kapitaªu jest iloczynem czynnika realnego wzrostu kapitaªu
i czynnika inacji. Ze wzoru Fishera wynika, »e
ireal =
inom −iinf
1+iinf
(4.23)
oraz
iinf =
inom −ireal
.
1+ireal
Mamy
Wªasno±¢ 4.3.
1. Stopy nominalna jest równa stopie realnej jedynie przy zerowej inacji.
2. Je±li iinf
> 0,
to ireal
< inom − iinf .
3. Je±li iinf
< 0,
to ireal
> inom − iinf = inom + |iinf |
4.
ireal > 0 ⇔ iinf < inom
W okresach, w których stopa inacji jest ujemna mówimy o
jest stopa
|iinf |.
deacji , której miar¡
Wtedy wªasno±¢ 4.3.3 mówi, »e przy deacji (o stopie mniejszej ni»
1)
warto±¢ realna jest wi¦ksza ni» stopa nominalna nawet powi¦kszona o stop¦ deacji.
Przykªad 4.3.
Tegoroczne ±rodki przyznane uczelni na prace naukowo-badawcze s¡ wy»sze
do ubiegªorocznych o
22%.
Jaki jest realny wzrost tego funduszy, je±li stopa inacji wynosi
13%?
Przykªad pokazuje sens wzoru Fishera. Mam oczywi±cie, »e
1 + rreal =
1 + rnom
1.22
=
≈ 1.0796,
1 + rinf
1.13
sk¡d
rreal = 7.96%
32
Rozdziaª 4.
Przykªad 4.4.
Procent skªadany
5%
Przewiduj¡c stop¦ inacji
rocznie ustalono, »e spªata po»yczki
6500
zª
wyniesie po dwóch latach 8000 zª. Obliczymy realn¡ roczn¡ stop¦ oprocentowania po»yczki,
je±li
(a) poziom inacji b¦dzie zgodny z przewidywaniami,
(b) w pierwszym roku inacja wyniesie
6%,
a w drugim
(Ad a) Obliczymy najpierw roczn¡ stop¦ nominaln¡
rnom
9%.
oprocentowania po»yczki. Ponie-
wa»
8000 = 6500 (1 + rnom )2 ,
wi¦c
r
rnom =
8000
− 1 ≈ 10.94%.
6500
Korzystaj¡c ze wzoru Fishera albo bezpo±rednio z (4.23)
rreal =
rnom − rinf
0.1094 − 0.05
=
≈ 5.66%.
1 + rinf
1 + 0.05
(Ad b) Stopa inacji zmieniaªa si¦ w ci¡gu caªego okresu dwóch lat. Mo»emy jednak obliczy¢
stop¦ przeci¦tn¡, która zgodnie z okre±leniem, wygenerowaªaby w okresie dwóch lat
identyczny spadek warto±ci nominalnej kapitaªu. Zgodnie ze wzorem (4.18)
r̄inf =
p
(1 + 0.06) (1 + 0.09) − 1 ≈ 7.49%.
0.1094 − 0.0749
rnom − rinf
=
≈ 3.21%.
1 + rinf
1 + 0.0749
Powró¢my jeszcze do zale»no±ci mi¦dzy warto±ci¡ realn¡ kapitaªu i jego warto±ci¡
nominaln¡. Wobec okre±lenia warto±ci realnej
Kreal
Knom
= Knom
=
1 + iinf
1 + iinf − iinf
1 + iinf
= Knom 1 −
iinf
1 + iinf
.
Obliczenie kapitaªu realnego na podstawie kapitaªu realnego przypomina wi¦c operacj¦
dyskontowania ze stop¡
dinf :=
iinf
.
1 + iinf
33
Rozdziaª 5
Warto±¢ kapitaªu w czasie
5.1. Model warto±ci kapitaªu w czasie.
Jest rzecz¡ jasn¡, »e warto±¢ kapitaªu jest wielko±ci¡ zmienn¡ w czasie. Ta sama kwota
pieni¦dzy posiadana 10 lat temu dzi± stanowi zupeªnie inn¡ warto±¢. W matematyce nansowej za aktualn¡ warto±¢ kapitaªu rozumie si¦ jego warto±¢ w chwili obecnej present
value (PV). Dla oznaczenia przyszªej warto±ci kapitaªu u»ywa si¦ skrótu FV future value. Oczywi±cie dla obliczenia przyszªej warto±ci kapitaªu na podstawie warto±ci obecnej
stosuje si¦ model oprocentowania, natomiast dla obliczenia warto±ci obecnej na podstawie
warto±ci przyszªej model dyskontowania.
Rozwa»my nast¦puj¡cy
Przykªad 5.1.
N pocz¡tku roku pan Kowalski ma zdeponowane na lokacie rocznej opro-
centowanej 6% w skali roku 100000 zª. Na koniec roku pan Kowalski otrzyma 40000 zª
jako zapªat¦ za pewn¡ prac¦ zlecon¡. Zauwa»my, »e
1. Pan Kowalski nie mo»e powiedzie¢, »e na koniec roku b¦dzie posiadaczem kwoty
140000 zª albowiem b¦dzie posiadaczem kwoty 40000 zª oraz 100000 zª powi¦kszonej
o odsetki:
100000 · 1.06 + 40000 = 1460000.
2. W chwili obecnej pan Kowalski nie mo»e (na ogóª) uwa»a¢ si¦ za posiadacza kwoty
140000 zª. Gdyby chciaª za t¦ kwot¦ kupi¢ samochód, to nawet likwiduj¡c lokat¦
musiaªby wzi¡¢ kredyt na pozostaª¡ kwot¦. W sytuacji, gdyby otrzymaª kredyt do
ko«ca roku musiaªby go spªaci¢ wraz z odsetkami, czyli w kwocie przekraczaj¡cej
40000zª.
Powy»szy przykªad pokazuje, »e aby analizowa¢ warto±¢ kapitaªu potrzebne jest u»ycie jakiego± mechanizmu rachunkowego przeliczaj¡cego jego warto±¢ na wskazan¡ chwil¦
czasu. Oczywi±cie takim mechanizmem jest oprocentowania i dyskontowanie. Na ogóª do
przeliczania warto±ci kapitaªu w czasie u»ywa si¦ modelu zwi¡zanego z procentem (dyskontem) skªadanym.
Niech
R 3 t 7→ K (t)
b¦dzie funkcj¡ modeluj¡c¡ warto±¢ kapitaªu w czasie (t oznacza
czas mierzony w latach). Przypu±¢my, »e znana jest jego warto±¢
K (t0 )
w chwili
t0 .
Za-
stosujemy model wykªadniczy oprocentowania czyli model kapitalizacji ci¡gªej. Zaªó»my,
34
Rozdziaª 5.
»e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu ze stop¡ efektywn¡
mamy dla
t ≥ t0
r > 0.
Wobec (4.8)
K (t) = K (t0 ) (1 + r)t−t0 ,
gdy» kapitaª podlega oprocentowaniu. Aby obliczy¢ warto±¢ kapitaªu dla
t < t0
musimy
zauwa»y¢, »e zgodnie z modelem wykªadniczym
K (t0 ) = K (t) (1 + r)t0 −t ,
sk¡d
K (t) = K (t0 ) (1 + r)t−t0 .
Zatem, modelem zmiany warto±ci kapitaªu w czasie jest funkcja
K (t) = K (t0 ) (1 + r)t−t0 ,
t ∈ R.
(5.1)
Oczywi±cie w przypadku, gdy kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu z kapitalizacj¡
okresow¡ powy»szy funkcja uci¡gla dyskretne zmiany warto±ci kapitaªu. Wtedy warto±ci
t powinny by¢ dyskretne, zwi¡zane z dªugo±ci¡ okresu kapitalizacji (pami¦tajt wyra»a czas mierzony w latach). Za pomoc¡ rocznej stopy
r
nominalnej rc (speªniaj¡cej warunek (1 + r = e c ) model (5.1) mo»e by¢ wyra»ony jako
argumentu
my, »e w ka»dym wypadku
K (t) = K (t0 ) erc (t−t0 ) .
t0 jest arbitralny
K (t1 ) = K (t0 ) (1 + r)t1 −t0 oraz
Zwró¢my te» uwag¦, »e we wzorze (5.1) wybór chwili
zast¡pi¢ dowolnie inn¡ chwil¡
t1 .
Wtedy
t0
mo»na
K (t) = K (t0 ) (1 + r)t−t0 +t1 −t1 = K (t0 ) (1 + r)t1 −t0 (1 + r)t−t1 = K (t1 ) (1 + r)t−t1 .
Kolejn¡ istotn¡ cech¡ modelu (5.1) jest jego addytywno±¢. To znaczy, je±li kapitaª
podlegaj¡cy modelowi (5.1) jest sum¡ kapitaªów
m
X
K (t) =
K1 , . . . Km ,
K
tzn.
Kj (t) ,
j=1
to ka»dy z kapitaªów
Kj
zmienia sw¡ warto±¢ wedªug tego samego modelu tzn.
K (t) = K (t0 ) (1 + r)
t−t0
t−t0
= (1 + r)
m
X
Kj (t0 ) =
j=1
Przykªad 5.2.
m
X
Kj (t0 ) (1 + r)t−t0 .
j=1
Przypu±¢my, »e koszt produkcji towaru A wytwarzanego przez rm¦ B
t
przypadaj¡cy na jednostk¦ czasu w chwili
wynosi
c (t)
(jest to tzw. strumie« kosztów
produkcji wyra»ony w jednostkach monetarnych dzielonych przez czas; mo»na t¦ wielko±¢
uto»samia¢ z pr¦dko±ci¡ zmiany kosztów produkcji). Przypu±¢my, »e nie uwzgl¦dniamy
zmiany warto±ci pieni¡dza w czasie. W tej sytuacji dla maªego przyrostu czasu
t̄
do chwili
t̄ + ∆t
∆t o chwili
mo»na przyj¡¢, »e koszt produkcji nie zmienia si¦ w tym przedziale
czasowym i w konsekwencji wynosi
c (t̄) ∆t.
Post¦puj¡c jak przy konstrukcji caªki w sensie
Riemanna dostajemy, »e caªkowity koszt produkcji w czasie od
t0 = 0
do chwili
t = T
wynosi
Z
T
c (t) dt.
0
35
Rozdziaª 5.
Taki sposób obliczenia kosztów caªkowitych nie uwzgl¦dnia realnej zmiany warto±ci pieni¡dza. Nale»y najpierw zaktualizowa¢ poszczególne warto±ci kosztu na jeden wspólny moment
i dopiero pó¹niej dokona¢ obliczenia kosztu caªkowitego. Przypu±¢my, »e dokonamy aktualizacji funkcji kosztu na chwil¦ ko«cow¡
realny koszt produkcji na chwil¦
kosztów b¦d¡ miaªy w chwili
T
t = T,
t = T.
a dla chwil
Wtedy funkcja
t<T
c
b¦dzie odzwierciedlaªa
pieni¡dze wydawane na pokrycie
na ogóª realn¡ warto±¢ wi¦ksz¡ ni» ich ówczesna warto±¢
nominalna. Zakªadaj¡c zmian¦ warto±ci kapitaªu zgodn¡ z modelem oprocentowania ze
stop¡ efektywn¡
r>0
realny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci
c (t) (1 + r)T −t .
Caªkowity koszt wynosi¢ wi¦c b¦dzie
T
Z
C (T ) =
c (t) (1 + r)T −t dt.
0
Odwrotnie, je±li szacujemy caªkowity koszt produkcji dla chwili
dawana w chwilach bliskich
T
t = 0,
to kwota
c (t)
wy-
b¦dzie miaªa mniejsz¡ warto±¢ realn¡ od nominalnej, st¡d
realny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci
c (t) (1 + r)−t ,
a caªkowity koszt
Z
C (0) =
T
c (t) (1 + r)−t dt.
0
Zwró¢my uwag¦, »e mo»emy równie» znaj¡c caªkowity zaktualizowany na chwil¦ t0 wyrazi¢,
korzystaj¡c z modelu wykªadniczego przeliczy¢ go na dowoln¡ chwil¦
Na
C (τ ) = C (t0 ) (1 + r)τ −t0 .
RT
T −t
przykªad znaj¡c koszt C (T ) = 0 c (t) (1 + r)
dt mamy
Z T
Z
−T
−T
T −t
C (0) = C (T ) (1 + r) = (1 + r)
c (t) (1 + r)
dt =
0
T
τ:
c (t) (1 + r)−t dt.
0
W obu przypadkach dostajemy identyczny efekt ko«cowy.
5.2. Zasada równowa»no±ci kapitaªów.
Zasada równowa»no±ci kapitaªów jest jedn¡ z najwa»niejszych zasad matematyki nansowej. Pozwala ona zbada¢, czy dwa modele zmienno±ci kapitaªu w czasie opisuj¡ zmiany
tego samego kapitaªu. Punktem wyj±cia do naszych rozwa»a« jest poni»sza
Zasada równowa»no±ci kapitaªów w momencie t.
wa»ne w chwili
t,
Kapitaªy
K1
i
K2
s¡ równo-
je±li ich warto±ci zaktualizowane na t¦ chwil¦ s¡ równe.
Wyprowadzimy teraz formalne warunki równowa»no±ci kapitaªów. Zakªadamy caªy
czas, »e warto±¢ kapitaªu w czasie jest zgodna z modelem wykªadniczym (5.1) z ustalon¡
roczn¡ stop¡ efektywn¡
r.
Niech
K1 (t) = K1 (t1 ) (1 + r)t−t1
(5.2)
36
Rozdziaª 5.
oraz
K2 (t) = K2 (t2 ) (1 + r)t−t2 ,
K1 (t1 ) , K2 (t2 ) > 0. Zgodnie
chwili t, wtedy i tylko wtedy, gdy
gdzie
(5.3)
z powy»sz¡ zasad¡ kapitaªy te b¦d¡ równowa»ne w
K1 (t1 ) (1 + r)t−t1 = K2 (t2 ) (1 + r)t−t2 ,
sk¡d dziel¡c obie strony przez
(1 + t)t−t2
K1 (t1 ) (1 + r)−t1 = K2 (t2 ) (1 + r)−t2 .
Je±li
rc
oznacza roczn¡ stop¦ nominaln¡ oprocentowania ci¡gªego równowa»n¡ stopie
(5.4)
r, to
warunek równowa»no±ci ma posta¢
K1 (t1 ) e−rc t1 = K2 (t2 ) e−rc t2 .
Wida¢, »e w obu wzorach (5.4) i (5.5) nie wyst¦puje chwila
Wªasno±¢ 5.1.
Kapitaªy
nowa»ne w chwili
t
K1
i
(5.5)
t,
st¡d mamy
K2
opisane modelami (5.2) i (5.3) odpowiednio, s¡ rów0
wtedy i tylko wtedy, gdy s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t .
Wobec powy»szej wªasno±ci mo»emy mówi¢ o równowa»no±ci kapitaªów niezale»nie
od czasu, czyli prowadzi¢ nasze dalsze rozwa»ania w oparciu o zasad¦ równowa»no±ci
sformuªowan¡ nast¦puj¡co:
Zasada równowa»no±ci kapitaªów. Kapitaªy K1
i
K2 ,
opisane modelem wykªadni-
czym, s¡ równowa»ne je±li s¡ równowa»ne w dowolnej chwili
t.
Ze wzoru (5.4) wynika te» natychmiast
Wniosek 5.1.
Dwa kapitaªy
K1
i
K2
opisane modelami (5.2) i (5.3) odpowiednio, s¡
równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
K1 (t1 )
K2 (t2 )
= (1 + r)t2 −t1 .
(5.6)
Ponadto, relacja równowa»no±ci kapitaªów jest relacj¡ przechodni¡.
Wszystkie powy»sze rozwa»ania zostaªy przeprowadzone przy danej z góry stopie proZauwa»my, »e je»eli kapitaªy K1 i K2 s¡ równowa»ne przy stopie r, to dla
0
dowolnej innej stopy r równowa»no±¢ kapitaªów oznaczaªaby na mocy poprzedniej wªacentowej
r.
sno±ci, »e
t −t1
(1 + r)t2 −t1 = (1 + r0 ) 2
,
sk¡d
t2 = t1 .
Czyli równowa»no±¢ przy nowej stopie byªaby mo»liwa, gdyby zmiana stopy nast¡piªa dla
obu kapitaªów w tym samym momencie, w pozostaªych przypadkach kapitaªy nie b¦d¡
równowa»ne.
Rozwa»aj¡c model wykªadniczy kapitaªu w czasie mo»na równie» postawi¢ nast¦puj¡cy
problem. Zaªó»my, »e mamy dane dwa kapitaªy
K1 i K2 , których warto±ci K1 (t1 ) i K2 (t2 )
37
Rozdziaª 5.
w chwilach t1 i t2 s¡ dane. Przy jakiej stopie
r
kapitaªy te s¡ równowa»ne? Ze wzoru (5.6)
dostajemy natychmiast, »e stopa ta speªnia warunek
r=
K1 (t1 )
K2 (t2 )
1
2 −t1
t
− 1.
Na zako«czenie rozwa»my jeszcze przypadek, w którym dane s¡ dwa ci¡gi kapitaªów
j = 1, 2, ..., m
oraz
Nj , j = 1, 2, ..., n.
Powiemy, »e powy»sze ci¡gi s¡
ci¡gami kapitaªów, je±li kapitaªy K1 oraz K2 postaci
K1 (t) =
m
X
Mj ,
równowa»nymi
Mj (t)
j=1
oraz
K2 (t) =
n
X
Nj (t)
j=1
s¡ równowa»ne.
38
Cz¦±¢ II
Modele matematyczne.
39
Rozdziaª 6
Pochodna funkcji w ekonomii
Przyjmijmy oznaczenie
R+ := [0, ∞) .
6.1. Funkcja kra«cowa
C : R+ → R+ opisuje koszt produkcji pewnego towaru w zale»no±ci od liczby
x ∈ R+ wielko±¢ C (x) oznacza wi¦c koszt wyprodukowania x jednostek towaru. Funkcj¦ C b¦dziemy nazywa¢ funkcj¡ kosztu caªkowitego.
Dalej, dla x > 0 wielko±¢
C (x)
c (x) :=
x
oznacza koszt jednostkowy wyprodukowania x jednostek towaru, tzn. koszt, jaki przypada
na produkcj¦ jednej jednostki towaru przy poziomie produkcji x jednostek. Funkcj¦ c :
(0, ∞) → R+ nazywamy funkcj¡ kosztu przeci¦tnego .
Niech funkcja
wyprodukowanych jednostek. Dla
Niech
x0 ∈ R+ , ∆x > 0
wtedy iloraz ró»nicowy
C (x0 + ∆x) − C (x0 )
∆x
oznacza przeci¦tny koszt wyprodukowania dodatkowych
mie produkcji
x0 .
∆x jednostek towaru przy pozio-
Granic¦
C (x0 + ∆x) − C (x0 )
,
∆x→0
∆x
C 0 (x0 ) := lim
o ile istnieje, nazywamy
mie produkcji
x0 .
kosztem kra«cowym (marginalnym)
Zakªadaj¡c ró»niczkowalno±¢ funkcji
kosztu kra«cowego. Mamy te», »e dla maªych ∆x
C
funkcj¦
produkcji przy pozio-
C0
nazywamy
funkcj¡
C (x0 + ∆x) − C (x0 ) ≈ C 0 (x0 ) ∆x,
co, uznaj¡c
∆x = 1
za wielko±¢ maª¡, daje przybli»on¡ informacj¦, »e je±li zwi¦kszymy
produkcj¦ z poziomu
C 0 (x0 ) .
x0
Wielko±¢ produkcji
jednostek o jedn¡ jednostk¦, to koszt produkcji zwi¦kszy si¦ o
x0
dla której koszt przeci¦tny
c(x)
wyprodukowania jednostki da-
nego dobra przez przedsi¦biorstwo osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡ nazywamy
nologicznym.
40
optimum tech-
Rozdziaª 6.
Przykªad 6.1.
3
C(x) = x −
Koszt wytworzenia x jednostek produkcji dla x ≥ 0 okre±lony jest funkcj¡
60x2 + 1528x. Funkcja kosztów kra«cowych, a wi¦c pochodna funkcji C ma
posta¢
C 0 (x) = 3x2 − 120x + 1528.
Dla produkcji wynosz¡cej
x = 5,
koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie
C (6) − C (5) = 7224 − 6265 = 959,
C 0 (5) = 1003
a koszt kra«cowy ma warto±¢
jednostki, zatem skorzystanie z interpretacji
kosztu kra«cowego daj¦ mocno przybli»ony wynik.
Je»eli
x = 100,
to koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie
C (101) − C (100) = 572 569 − 552 800 = 19 769,
a koszt kra«cowy ma warto±¢
C 0 (100) = 19 528
jednostek. Widzimy wi¦c, »e nawet stosu-
j¡c przybli»on¡ za pomoc¡ funkcji kosztu kra«cowego warto±¢ wyprodukowania dodatkowej
jednostki towaru mo»emy wyci¡gn¡¢ wniosek, »e zwi¦kszanie produkcji opªaca si¦ bardziej
przy produkcji na poziomie
x=5
jednostek ni» na poziomie
x = 100
jednostek.
Nast¦pnie koszt przeci¦tny okre±la funkcja postaci
c(x) =
C(x)
= x2 − 60x + 1528.
x
Mamy wi¦c, »e minimalna warto±¢ funkcji
produkcji
x = 30
c
jest osi¡gni¦ta dla
x = 30.
Zatem wielko±¢
stanowi optimum technologiczne. Zauwa»my te», »e
c(30) = 628 = C 0 (30)
Wªasno±¢ 6.1.
Niech
x0
b¦dzie optimum technologicznym, wówczas
c(x0 ) = C 0 (x0 ).
Dowód.
Niech
x0
b¦dzie wielko±ci¡ produkcji. Skoro
to
0
c (x0 ) = 0 ⇔
st¡d
C(x)
x
x0
jest optimum technologicznym,
0
= 0,
x=x0
C 0 (x0 )x0 − C(x0 )
= 0,
x20
czyli
C(x0 )
= C 0 (x0 ),
x0
zatem
c(x0 ) = C 0 (x0 ).
Ostatnia równo±¢ oznacza, »e krzywa kosztów kra«cowych przecina si¦ z krzyw¡ kosztów
przeci¦tnych w punkcie oznaczaj¡cym jej minimum.
Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi sprzeda» towaru. Niech
nostek towaru sprzedawanych przez ten zakªad. oznaczmy przez
x ≥ 0 oznacza ilo±¢ jedU (x) utarg caªkowity ,
41
Rozdziaª 6.
czyli przychód ze sprzeda»y
cj¡ utargu caªkowitego
za sprzeda»
x
x
jednostek towaru. Funkcja
U : R+ → R+
jest, wi¦c
funk-
czyli funkcj¦ opisuj¡c¡ kwot¦, jak¡ przedsi¦biorstwo otrzyma
jednostek towaru. Zakªadaj¡c, »e
zmian utargu zakªadu przy sprzeda»y
x
U
jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ szybko±¢
jednostek wynosi:
∆U
.
∆t→0 ∆x
U 0 (x) = lim
funkcj¡ utargu kra«cowego
0
Tak jak w przypadku kosztu U nazywana jest
. Zatem utarg
0
kra«cowy U jest równy wzrostowi sprzeda»y je±li zwi¦kszymy j¡ o dodatkow¡ jednostk¦
towaru.
Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi produkcj¦ i sprzeda» produktu. Niech
cza
zysk caªkowity
Funkcj¦
Z : R+ → R+
przedsi¦biorstwa przy produkcji i sprzeda»y
nazywamy
x
Z(x) ozna-
jednostek towaru.
funkcj¡ zysku caªkowitego . Oczywi±cie
Z(x) = U (x) − C(x) dla x ≥ 0,
U (x) oznacza utarg, a C(x) koszt caªkowity produkcji x jednostek danego produktu.
gdzie
St¡d dostajemy natychmiast
Wªasno±¢ 6.2.
Je±li x0 jest wielko±ci¡ produkcji dla której przedsi¦biorstwo osi¡ga zysk
0
0
maksymalny, to C (x0 ) = U (x0 ), czyli koszt kra«cowy dla produkcji o wielko±ci x0 jest
równy utargowi kra«cowemu dla
Przykªad 6.2.
x0 .
Cena zbytu wyrobu jest równa
p(x) = 40 − 0.03x,
gdzie
x
oznacza liczb¦
jednostek wyrobu. Koszt caªkowity x jednostek wyrobu w pewnym zakªadzie dany jest wzo2
rem C(x) = 0.01x + 20x + 225. Dla jakiej wielko±ci produkcji zysk na jednostk¦ wyrobu
jest najwi¦kszy?
Mamy
C 0 (x) = 0.02x + 20,
Z (x) = (xp (x) − C (x)) = 20x − 0.04x2 − 225,
Z 0 (x) = −0.08x + 20.
Niech
x0
b¦dzie wielko±ci¡ produkcji odpowiadaj¡c¡ zyskowi maksymalnemu, wtedy
U 0 (x0 ) = C 0 (x0 ),
sk¡d
x0 = 250.
6.2. Elastyczno±¢ funkcji
f : (a, b) → R, ((a, b) ⊂ R+ ), x0 ∈ (a, b)
(x0 + ∆x) ∈ (a, b).
Niech
»e
oraz niech
Przyrostem wzgl¦dnym warto±ci funkcji
f
∆x
b¦dzie takim przyrostem,
dla argumentu
x0
i przyrostu
∆x
nazywamy liczb¦
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆y
:=
,
y
f (x0 )
42
Rozdziaª 6.
o ile
f (x0 ) 6= 0.
Liczb¦
∆x
x0
przyrostem wzgl¦dnym argumentu dla argumentu x0 .
Elastyczno±ci¡ przeci¦tn¡ funkcji f w przedziale hx0 , x0 +∆xi nazywamy stosunek
nazywamy
wzgl¦dnego przyrostu funkcji do wzgl¦dnego przyrostu argumentu
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) x0
·
f (x0 )
∆x
i oznaczamy symbolem
(6.1)
Ex0 ,∆x f .
Elastyczno±ci¡ funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic¦ (o ile istnieje)
lim Ex0 ,∆x f
∆x→0
i oznaczamy
Ex0 f .
Uwaga 6.1.
Je±li
∆x = 0.01x0 = 1% · x0 ,
Ex0 f ≈ Ex0 ,∆x f =
to
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
· 100%.
f (x0 )
Ex0 f jest wi¦c (w przybli»eniu) miar¡ przeci¦tnego procentowego
funkcji f , odpowiadaj¡cego przyrostowi warto±ci argumentu x o 1%.
Elastyczno±¢
warto±ci
przyrostu
Mamy nast¦puj¡c¡
Wªasno±¢ 6.3.
Je»eli
f (x0 ) 6= 0,
to
Ex0 f = f 0 (x0 )
x0
.
f (x0 )
(6.2)
Dowód. Mamy, »e
x0
x0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
·
= f 0 (x0 )
.
∆x→0
∆x
f (x0 )
f (x0 )
lim Ex0 ,∆x f = lim
∆x→0
Wªasno±¢ 6.4.
x0 ,
x funkcji f wzrasta o p% od pewnej
si¦ o q%, gdzie
Je»eli argument
to warto±¢ funkcji zmienia
warto±ci pocz¡tkowej
q ≈ pEx0 f.
Dowód. Niech x0 b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡. Przypu±¢my, »e argument x wzrósª o p%,
co wywoªaªo zmian¦ warto±ci funkcji o
f (x0 +
q%
(licz¡c od
f (x0 )),
wtedy
p
q
x0 ) − f (x0 ) =
f (x0 ).
100
100
(6.3)
Mamy, »e
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ f 0 (x0 ) ∆x,
43
Rozdziaª 6.
sk¡d
Ex0 f =
Przyjmuj¡c
∆x =
x0 f (x0 + ∆x) − f (x0 )
x0 0
f (x0 ) ≈
f (x0 )
f (x0 )
∆x
p
x otrzymujemy z (6.3), »e
100 0
E x0 f ≈
q
· f (x0 )
x0 100
q
= ,
p
f (x0 ) 100 x0
p
zatem
q ≈ pEx0 f.
Przykªad 6.3.
Obliczymy elastyczno±¢ funkcji
f (x) =
w punkcie
2x
,
x+8
x>0
x0 = 2.
Poniewa»
f 0 (x) =
16
, zatem
(x+8)2
16
8
1
=
.
Ex0 f = (x + 8)
2
2
(x + 8)
x+8
Dla
x0 = 2
1%,
to warto±¢ funkcji
mamy wi¦c, »e
f
E2 f = 0.8.
Oznacza to, »e je±li argument
wzro±nie o okoªo
x0 = 2
wzro±nie o
0.8%.
Porównamy ten wynik z wynikiem dokªadnym:
f (x0 + 0.01x0 ) = f (2 + 0.02) = f (2.02) =
oraz
f (x0 ) = f (2) =
2 · 2.02
4.04
202
=
=
2.02 + 8
10.02
501
4
= 0.4.
10
Sk¡d
202
f (x0 + 0.01x0 )
202 10
505
· 100% = 501 · 100% =
·
· 100% =
· 100% ≈ 100.798 403 2,
f (x0 )
0.4
501 4
501
czyli wzrost nast¡piª o
0.798 403 2%.
Widzimy wi¦c, »e stosuj¡c wzór na elastyczno±¢ funkcji w punkcie rozwi¡zanie jest
znacznie krótsze.
Uwaga 6.2.
Wªasno±¢ 6.4 podaje przybli»ony wzrost procentowy funkcji
jednak, »e warto±¢
pEx0 f
f
Zauwa»my
jest dokªadnie równa procentowi o jaki wzrosªa warto±¢ funkcji
przy wzro±cie argumentu o
»e dla funkcji liniowej
f.
p%,
je±li funkcja jest liniowa. Wynika to bezpo±rednio z faktu,
zachodzi wzór
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) ∆x.
Innymi sªowy, dla funkcji liniowej elastyczno±¢ przeci¦tna i elastyczno±¢ s¡ równe. Powy»szy wniosek pozostaje prawdziwy, je±li przyrost
przedziale
(x0 , x0 + ∆x)
∆x
jest na tyle maªy, »e funkcja
f
na
jest liniowa (lub mo»e by¢ tak traktowana).
44
Rozdziaª 6.
f(x)
f(x)
STYCZNA
STYCZNA
f(x)
0
f(x)
0
k
k
X0
X0
Rysunek 6.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji
f
w punkcie
x0 .
6.2.1. Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x0.
x0 warto±¢ f 0 (x0 ) jest
wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji f w punkcie
(x0 , f (x0 )). Niech x1 oznacza miejsce zerowe tej stycznej oraz niech k := x0 − x1 . Wówczas
f 0 (x0 ) = f (xk 0 ) . St¡d
Zgodnie z geometryczn¡ interpretacj¡ pochodnej funkcji
Ex0 f (x0 ) =
f
w punkcie
x0 f (x0 )
x0
x0 0
f (x0 ) =
= .
f (x0 )
f (x0 ) k
k
Analizuj¡c funkcj¦ przedstawion¡ na rysunku 6.1 z lewej strony widzimy, »e elastyczx0 jest wi¦ksza od 1, czyli Ex0 f (x0 ) = xk0 > 1, gdy» x0 > k, za±
funkcja z prawej strony ma elastyczno±¢ w punkcie x0 mniejsz¡ od 1, czyli Ex0 f (x0 ) =
x0
< 1, gdy» x0 < k .
k
no±¢ funkcji w punkcie
6.2.2. Elastyczno±¢ funkcji kosztów.
C : R+ → R+ oznacza funkcj¦ kosztu caªkowitego (C(x) oznacza koszt caªkowity
wytworzenia x jednostek produktu). Zaªó»my, »e C jest ró»niczkowalna. Wówczas zgodnie
ze wzorem (6.2) elastyczno±¢ kosztu (przy zaªo»eniu, »e C(x) > 0) wynosi
Niech
Ex C =
Je±li wi¦c
c
x
C 0 (x).
C(x)
oznacza funkcj¦ kosztu przeci¦tnego, to
C 0 (x)
Ex C =
.
c(x)
45
Rozdziaª 6.
Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest wi¦c równa stosunkowi (ilorazowi) kosztu caªkowitego
do kosztu przeci¦tnego.
Dla kosztu przeci¦tnego
c
mamy
Ex c =
x 0
c (x).
c(x)
(6.4)
Mamy
Wªasno±¢ 6.5.
Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest o jeden wi¦ksza od elastyczno±ci
kosztu przeci¦tnego
Ex c + 1 = Ex C.
Dowód.
x
x 0
c (x) = C(x) ·
Ex c =
c(x)
x
C(x)
x
0
x2 xC 0 (x) − C(x)
x
=
·
C 0 (x) − 1 = Ex C − 1.
=
2
C(x)
x
C(x)
6.2.3. Elastyczno±¢ funkcji popytu.
Zajmiemy si¦ teraz rozwa»aniem dotycz¡cym zmian popytu. W ekonomii
popyt
okre±la
ilo±¢ dobra (usªugi), jak¡ nabywcy s¡ gotowi zakupi¢ (naby¢) przy ró»nej wysoko±ci ceny w danym czasie przy zaªo»eniu, »e inne czynniki maj¡ce wpªyw na popyt pozostaj¡
niezmienne.
Zmiana popytu zachodzi pod wpªywem licznych czynników takich jak: wysoko±¢ ceny,
dochód, liczba nabywców, zmiana cen innych dóbr, reklama i preferencje nabywców. Dokªadniej omówimy dwa z tych czynników: zmian¦ wielko±ci cen dóbr i wysoko±ci dochodu
konsumenta.
Cz¦sto aby zilustrowa¢ popyt rozwa»a si¦ tak zwan¡
krzyw¡ popytu.
Jest to zale»-
no±¢ mi¦dzy ilo±ci¡ danego towaru, jaki mo»e by¢ wchªoni¦ty przez rynek, a czynnikiem
ksztaªtuj¡cym popyt np. cen¡ towaru na rynku. Naturalne jest, »e je±li cena danego dobra ro±nie, to wyst¦puje spadek wielko±ci popytu i odwrotnie gdy cena maleje wówczas
nast¦puje zwi¦kszenie wielko±ci popytu jest, to tak zwane
prawo popytu.
Cena
p2
q1
q2
p1
x1
x2
Ilość
Rysunek 6.2 Krzywa popytu.
46
Rozdziaª 6.
Cenowa elastyczno±¢ popytu
Zaªó»my, »e zmiana popytu jest wyra»ona za pomoc¡ funkcji ilo±ci towaru
»e zosta¢ wchªoni¦ty przez rynek a jego cen¡ jednostkow¡
p.
q,
jaki mo-
Wra»liwo±¢ zmian popytu
cenow¡
elastyczno±ci¡ popytu. Jej warto±¢ (dla konkretnej warto±ci ceny) nazywa si¦ wspóªczynnikiem elastyczno±ci cenowej popytu.
na zmian¦ cen dóbr mierzy si¦ przy pomocy elastyczno±ci funkcji
Dokonuj¡c linearyzacji funkcji
q (p),
q (p)
zwanej
czyli zakªadaj¡c, »e zmiana funkcji
q
ma, przy-
najmniej lokalnie charakter liniowy, mamy, »e elastyczno±¢ cenowa popytu to stosunek
wzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu do wzgl¦dnej (procentowej), (maªej), zmiany ce-
p, to przy takim zaªo»eniu wspóªczynnik elastyczno±ci c (deniowany jako warto±¢ elastyczno±ci w punkcie p) okre±la (w przybli»eniu tak dobrym,
jak zaªo»enie liniowo±ci funkcji w otoczeniu punktu p jest realne), o ile procent zmieni
ny. Je±li ustalimy argument
(zmniejszy lub zwi¦kszy) si¦ popyt na dane dobro w przypadku gdy jego cena zmieni si¦
(wzro±nie lub spadnie) o
Przykªad 6.4.
1%.
Zaªó»my, »e
p
jest cen¡ towaru za±
q
oznacza popyt na dany towar (ilo±¢
towaru, jaka mo»e by¢ wchªoni¦ta przez rynek). Niech cena pocz¡tkowa towaru wynosi
p0 = 30
jednostek pieni¦»nych, nast¦pne cena ta zostaªa zwi¦kszona o
∆p = 6
jednostki
pieni¦»ne. Wzgl¦dna zmiana ceny, wi¦c wynosi
6
∆p
=
= 20%
p
30
Nast¦pnie zaªó»my, »e cenie
zwi¦kszonej o
6
p0 = 30
odpowiada popyt
jednostek od pozycji wyj±ciowej, czyli
q = 200 jednostek towaru, a cenie
p + ∆p = 36 odpowiada popyt q +
∆q = 190 jednostek towaru, st¡d mamy ∆q = −10, zatem wzgl¦dna zmiana popytu wynosi
−10
∆q
=
= −5%.
q
200
Zaªó»my, »e popyt jest funkcj¡ liniow¡ (przynajmniej w otoczeniu
p0 ). Elastyczno±¢ cenowa
popytu w naszym przypadku b¦dzie równa
∆q ∆p
1
:
=− .
q
p
4
Widzimy wi¦c, »e w naszym przypadku wzrost (b¡d¹ spadek) ceny
szenie (b¡d¹ zwi¦kszenie) popytu o
p o 1% spowoduje zmniej-
0.25%.
|c | mo»e przyjmowa¢ war(0; ∞) dlatego przyj¦to konwencje wedªug której okre±lamy czy funkcja
Bezwzgl¦dny wspóªczynnik cenowej elastyczno±ci popytu
to±ci z przedziaªu
popytu jest elastyczna w pewnym punkcie. A zatem gdy:
• |c | = 0
oznacza, »e zmiany ceny jakie wyst¡piªy nie spowodowaªy zmiany popytu.
Popyt jest wówczas
• |c | < 1
doskonale nieelastyczny (sztywny).
wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest wi¦ksza ni» wzgl¦dna zmiana popytu,
czyli je±li wzrostowi ceny o
1% odpowiada zmiana warto±ci popytu mniejsza ni» 1%.
W tym przypadku mówimy, »e popyt jest
nieelastyczny .
47
Rozdziaª 6.
• |c | = 1
wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest równa wzgl¦dnej zmianie popytu, czyli
je±li cena wzro±nie np. o
nazywamy
1%
to popyt zmieni sam¡ warto±¢ o
1%
tak¡ elastyczno±¢
elastyczno±ci¡ wzorcow¡ a popyt o tej wªasno±ci popytem neutralnym
.
• |c | > 1
wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest mniejsza od wzgl¦dnej zmiany popytu,
czyli wzrost ceny o
1%
spowoduje zmian¦ wielko±ci popytu o warto±¢ wi¦ksza od
wzrostu ceny - wi¦ksz¡ ni»
1%.
Mówimy wi¦c, »e popyt jest
elastyczny
(silnie
elastyczny).
• |c | → ∞
wówczas mówimy, »e popyt jest
W przypadku gdy
c < 0
doskonale elastyczny .
wówczas jest to tzw. paradoks cenowy, czyli wzrost ceny
powoduje wzrost wielko±ci popytu, a spadek ceny powoduje spadek wielko±ci popytu.
∆q
: ∆p
= − 41 , a wi¦c zmiana ceny jaka
q
p
wyst¡piªa jest wi¦ksza od zmiany warto±ci popytu, czyli |c | < 1, wi¦c popyt jest nieelaWracaj¡c do przykªadu 6.4 otrzymali±my
styczny.
Znajomo±¢ elastyczno±ci cenowej popytu ma du»e znaczenie ekonomiczne dla przedsi¦biorcy poniewa» pozwala przewidzie¢ reakcj¦ jaka wyst¡pi na rynku w przypadku zmian
cen towarów, czyli w jakim stopniu zmiany cen wpªyn¡ na popyt.
Przykªad 6.5.
Znaj¡c warto±¢ elastyczno±ci cenowej popytu wiemy jak powinni±my zmie-
ni¢ wysoko±¢ opªat za przejazd autobusem, aby nast¡piª wzrost przychodów MPK za korzystanie z transportu publicznego. W przypadku gdy popyt na przejazdy jest elastyczny w
stosunku do ceny, wówczas podwy»ka opªat za bilety zmniejszy przychody MPK. Obni»aj¡c wysoko±¢ opªaty za przejazdy, spowoduje zwi¦kszenie liczby ch¦tnych korzystaj¡cych z
usªug transportu autobusowego a przy tym podniesie wpªywy MPK. Gdyby jednak popyt na
przejazdy autobusem byª nieelastyczny, nale»aªoby wprowadzi¢ podwy»k¦ cen biletów.
Dochodowa elastyczno±¢ popytu
Kolejnym wa»nym czynnikiem wpªywaj¡cym na zmian¦ popytu jest wielko±¢ dochodu
w (d) ilo±ci towaru w, jaki mo»e wchªon¡¢ rynek
d. Wówczas mo»emy mówi¢ o dochodowej ela-
konsumenta. Rozwa»amy wi¦c zale»no±¢
w zale»no±ci od dochodu konsumenta
styczno±ci popytu.
d
Rozumuj¡c jak poprzednio wprowadzamy (dla ustalonego dochodu
przy zaªo»eniu lokalnej liniowo±ci funkcji
w)
miernik sªu»¡cy do oceny wpªywu zmiany
dochodu konsumenta na popyt, czyli stosunek wzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu do
wzgl¦dnej (procentowej) zmiany dochodu
d =
Wtedy
d
∆w ∆d
:
.
w
d
jest równy warto±ci elastyczno±ci funkcji
(6.5)
w
w punkcie
d
i mierzy siª¦ reakcj¦
popytu na zmian¦ dochodu konsumenta, czyli o ile procent wzro±nie popyt gdy dochód
konsumenta wzro±nie o
1%.
Podobnie jak dla elastyczno±ci cenowej popytu wyró»nia-
my takie same rodzaje popytu: elastyczny, doskonale elastyczny, neutralny, nieelastyczny.
Zwró¢my te» uwag¦, »e wyst¦puje równie» zjawisko, które polega na spadku popytu na
niektóre towary mimo wzrostu dochodu gdy
|d | < 0 (np. zast¡pienie dotychczas nabywa-
nego produktu takim samym tylko w wy»szej jako±ci).
48
Rozdziaª 6.
Na podstawie przyjmowanych warto±ci wska¹nika dochodowej elastyczno±ci popytu
mo»emy dokona¢ rozró»nienia nast¦puj¡cych dóbr:
•
je±li
d < 0,
to mamy do czynienia z popytem na tzw.
(podrz¦dne).
S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w
> 0) i odwrotnie, popyt na
< 0). Przykªadem mo»e tu by¢
dobra ni»szego rz¦du
< 0)
wraz ze wzrostem
dochodu konsumentów (∆d
nie ro±nie (∆w
dochody spadaj¡ (∆d
u»ywana niskogatunkowa
> 0),
gdy
odzie».
•
je±li
d > 0,
to mamy do czynienia z popytem na tzw.
S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w
mentów (∆
< 0)
oraz ro±nie (∆w
> 0),
< 0)
dobra normalne (zwykªe).
wraz ze spadkiem dochodu konsu-
gdy dochody rosn¡ (∆d
> 0).
Rozró»niamy
dobra normalne dwojakiego rodzaju
dobra podstawowe (niezb¦dne) charakteryzuje je wspóªczynnik d ∈ [0, 1],
s¡ to dobra pierwszej potrzeby np. chleb,
dobra luksusowe (dobra wy»szego rz¦du),
dla których
d > 1
s¡ to
przewa»nie towary wysokiej jako±ci.
Wykorzystanie dochodowej elastyczno±ci popytu odgrywa istotn¡ role w ekonomii, jest
niezb¦dne do prognozowania zmian w strukturze popytu konsumpcyjnego, zachodz¡cych
pod wpªywem wzrostu zamo»no±ci konsumentów jak i wzrostu gospodarczego (czyli w
zwi¦kszeniu rocznej produkcji dóbr i usªug).
Informacje które dotycz¡ce zmian ilo±ci asortymentu produkcji wskazuje wªa±nie warto±¢ wska¹nika elastyczno±ci dochodowej popytu. W przypadku gdy nast¦puje wzrost
dochodów konsumentów wówczas producent w celu osi¡gni¦cia najwy»szych wpªywów ze
sprzeda»y dóbr, mo»e zwi¦kszy¢ swoj¡ produkcje dóbr normalnych lub te» zast¡pi¢ dobra
podrz¦dne innymi, posiadaj¡cymi wy»szy standard lub takimi które b¦d¡ atrakcyjniejsze
dla klientów itp. Je±li za± dochód konsumentów maleje wówczas producent powinien obni»y¢ produkcje dóbr normalnych a zwi¦kszy¢ produkcj¦ dóbr podrz¦dnych, w szczególno±ci
tych wy»szego rz¦du (tzw. luksusowych).
6.3. Funkcje Törnquista
Szwedzki ekonomista Törnquist badaª zale»no±¢ pomi¦dzy wydatkami na zakup dóbr a
wielko±ci¡ dochodów konsumentów. Zaproponowaª on wymierny model krzywej popytu
jako funkcji dochodu konsumentów. Rozró»nia si¦ trzy rodzaje funkcji Törnquista:
•
dla dóbr podstawowych:
T1 (x) = a ·
•
x
,
x+b
gdzie
x>0
oraz
a, b > 0;
dla dóbr wy»szego rz¦du:
T2 (x) = a ·
x−c
,
x+b
gdzie
x≥c
oraz
a, b, c > 0;
49
Rozdziaª 6.
•
dla dóbr luksusowych:
T3 (x) = a · x ·
gdzie
x
x−c
,
x+b
oznacza dochód, za± parametry
gdzie
a, b, c
x≥c
oraz
a, b, c > 0
s¡ pewnymi staªymi (przy czym parametry
te dla ka»dej funkcji mog¡ by¢ ró»ne).
Przedstawimy teraz wykresy ka»dej z powy»szych funkcji oraz omówmy ich interpretacj¦ ekonomiczn¡.
1.
Funkcja Törnquista dla dóbr pierwszej potrzeby (podstawowych):
T1 (x) = a ·
gdzie
x>0
oraz
a, b > 0.
Wykres funkcji
x
,
x+b
T1
jest postaci:
f1(x)
a
0
X
Rysunek 6.3 Wykres funkcji dla dóbr podstawowych.
Widzimy, »e dobra pierwszej potrzeby nabywane s¡ ju» przy najni»szych dochodach.
Wydatki konsumentów s¡ rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów, czyli zwi¦kszaj¡ si¦ wraz ze
wzrostem wielko±ci dochodów. Jednak wzrost ten mimo wzrostu dochodu jest coraz
wolniejszy. Zauwa»my, »e
x
= a,
x→∞
x+b
asymptot¦ poziom¡ y = a,
lim a ·
a wi¦c krzywa
T1
ma
oznacza to »e istnieje poziom
nasycenia, czyli cho¢by dochód rósª nieograniczenie, to wydatki nie przekrocz¡ tego
poziomu.
Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem:
Ex0 T1 = x0 ·
Obliczaj¡c granice
Ex0 T1
x0 + b
ab
b
·
=
.
ax0
(x0 + b)2
x0 + b
w niesko«czono±ci mamy
b
= 0.
x→∞ x0 + b
lim
(6.6)
50
Rozdziaª 6.
Ex(0f1)
1
0
X
Rysunek 6.4 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr podstawowych.
Z wykresów 6.4 oraz 6.6 wida¢, »e gdy dochód konsumenta ro±nie, to warto±¢ ela-
T1 jest, wi¦c nieelastyczny, poniewa» elastyczno±¢ jest zawsze mniejsza od 1, Ex0 T1 < 1 dla ka»dego x0 > 0 gdy»
b > 0. Oznacza to, »e wzrost dochodów o 1% powoduje wzrost wydatków (popytu)
na okre±lone dobro o warto±¢ mniejsz¡ ni» 1%. Przy odpowiednio du»ych dochostyczno±ci maleje do zera. Popyt dochodowy funkcji
dach wzrost konsumpcji na okre±lone dobro zanika, czyli konsumenci posiadaj¡cy
wy»sze dochody w znacznie wi¦kszym stopniu maj¡ zaspokajaj¡ dobra podstawowe
ni» konsumenci o ni»szych dochodach, u których reakcja na wzrost dochodów jest
znacznie silniejsza.
2.
Funkcja Törnquista dla dóbr wy»szego rz¦du :
T2 (x) = a ·
gdzie
x≥c
oraz
a, b, c > 0.
x−c
,
x+b
Wykres funkcji
f2 (x)
jest postaci:
f2(x)
a
0
c
X
Rysunek 6.5 Wykres funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du.
Wykres funkcji przedstawiony na rysunku 6.5 podobnie jak w poprzednim przypadku (rysunek 6.3) jest rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów wzgl¦dem wydatków na dobra
wy»szego rz¦du. Funkcji jest okre±lona dla
x>c
co oznacza, »e wydatki na dobra
wy»szego rz¦du wyst¦puj¡ je±li zostan¡ zaspokojone potrzeby na dobra podstawowe.
Zauwa»my, »e
x−c
= a.
x→∞
x+b
Zatem podobnie jak w przypadku funkcji T1 przy coraz wi¦kszych dochodach popyt
lim a ·
zmienia si¦ nieznacznie (stabilizuje si¦) w stosunku do wydatków, nie przekraczaj¡c
poziomu nasycenia.
51
Rozdziaª 6.
b+c
,
(x0 − c)(x0 + b)
Ex0 T2 = x0 ·
x0 > c.
Ex(0f2)
c
0
X
Rysunek 6.6 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du.
Elastyczno±¢ funkcji
T2
(rysunek (6.6)) jest funkcj¡ malej¡c¡. Mamy, te», »e
lim x0 ·
x→∞
b+c
= 0,
(x0 − c)(x0 + b)
a wi¦c wraz ze wzrostem dochodów konsumenta elastyczno±¢ funkcji
T2 maleje do ze-
ra. Zatem procentowy wzrost dochodów powoduje coraz mniejszy procentowy wzrost
wydatków (popytu) na dane dobro wy»szego rz¦du. Mo»emy te» zauwa»y¢, »e przy
do±¢ du»ych dochodach wzrost konsumpcji na dane dobro zanika.
3.
Funkcja Törnquista dla dóbr luksusowych :
T3 (x) = a · x ·
gdzie
x≥c
oraz
a, b, c > 0.
x−c
,
x+b
Wykres funkcji jest postaci:
f3(x)
0
c
b+c
X
Rysunek 6.7 Wykres funkcji dla dóbr luksusowych.
Dobra luksusowe podobnie jak dobra wy»szego rz¦du nabywane s¡ po osi¡gni¦ciu
odpowiednio wysokiego poziomu dochodu, który pozwoliª zaspokoi¢ potrzeby dóbr
ni»szych rz¦dów. Widzimy, »e
T30 (x) =
a · (x2 + 2bx − bc)
> 0,
(x + b)2
52
Rozdziaª 6.
a wi¦c funkcja
T3
jest rosn¡ca w caªej swojej dziedzinie (rysunek 6.7). Zauwa»my
równie», »e w przeciwie«stwie do poprzednich funkcji
T1 i T2
powy»sza funkcja jest
nieograniczona. Oznacza to, »e wydatki konsumentów na dobra luksusowe rosn¡
wraz ze wzrostem dochodów (coraz szybciej) nieograniczenie, czyli wzrost wydatków
staje si¦ wprost proporcjonalny do wielko±ci dochodu konsumenta.
Ex0 T3 =
x0 (x0 + b) a(x20 + 2bx0 − bc)
x20 + 2bx0 − bc
·
.
=
ax0 (x0 − c)
(x0 + b)2
(x0 − c)(x − 0 + b)
Ex(0f3)
1
c
0
X
Rysunek 6.8 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr luksusowych.
T3 jest funkcj¡
malej¡c¡, przyjmuj¡c¡ warto±ci wi¦ksze od 1 ((Ex0 f3 ) > 1 dla x0 > c), a wi¦c popyt
dla dóbr luksusowych jest zawsze elastyczny. Obliczaj¡c granic¦ Ex0 T3 otrzymujemy
Z powy»szego wykresu (rysunek 6.8) wida¢, »e elastyczno±¢ funkcji
x20 + 2bx0 − bc
=1
x→∞ (x0 − c)(x − 0 + b)
lim
co oznacza, »e dopiero dla odpowiednio du»ego dochodu konsumenta elastyczno±¢
T3
1. Zatem dla dóbr luksusowych procentowy wzrost
1% powoduje, wzrost wydatków (popytu) o wi¦cej ni» 1%
ma warto±¢ blisk¡ a nawet równ¡
dochodów konsumentów o
na dane dobro.
6.3.1. Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnquista.
Rozwa»my funkcje Törnquista postaci
x
, gdzie x > 0 oraz a1 , b1 > 0;
x + b1
x − c2
T2 (x) = a2 ·
, gdzie x ≥ c2 oraz a2 , b2 , c2 > 0;
x + b2
x − c3
T3 (x) = a3 · x ·
, gdzie x ≥ c3 oraz a3 , b3 , c3 > 0.
x + b3
T1 (x) = a1 ·
Przedstawmy na jednym wykresie wszystkie funkcje (krzywe) Törnquista.
53
Rozdziaª 6.
T(x)
a2
a1
T2
T1
0
T3
c1
c2
Rysunek 6.9 Krzywe
T1 , T2 , T3 .
ci gdzie (i = 1, 2, 3) s¡ wyznacznikami hierarchii
(i = 1, 2, 3) okre±laj¡ poziom ich nasycenia.
Parametry
ai
gdzie
Analizuj¡c wykresy funkcji
X
b+c
pilno±ci potrzeb , za±
T1 , T2 , T3 przedstawione na wykresie (rysunek 6.9) widzimy,
»e przy niskim poziomie dochodów zaspokajane s¡ dobra pierwszej potrzeby, to na nie
przeznaczona jest wi¦ksza ilo±¢ wydatków. Jednak wraz ze wzrostem dochodów popyt na
dobra podstawowe jest wolniejszy, zmiany te nast¦puj¡ a» do poziomu
a1
tzw. poziomu
nasycenia.
W przypadku gdy dochód ulegª zwi¦kszeniu na tyle, »e dobra podstawowe zostaªy
zaspokojone wówczas dochód przeznaczany jest na wydatki dóbr wy»szego rz¦du. Zatem
wydatki te wyst¦puj¡ dla
x > c1 gdzie c1 jest warto±ci¡ od której wyst¦puje wzrost popytu
na dobra wy»szych rz¦dów. Zmiany wielko±ci tych wydatków d¡»¡ do poziomu nasycenia
a2
i ich wzrost jest coraz wolniejszy.
Gdy dochód konsumentów jest na tyle wysoki, »e zapewnione s¡ potrzeby na dobra
ni»szych rz¦dów wówczas mamy do czynienia z wydatkami na dobra luksusowe, czyli
x > c2
gdzie
c2
jest warto±ci¡ od której zaczyna si¦ popyt na dobra luksusowe. W przeci-
wie«stwie do wydatków na dobra ni»szych rz¦dów, wydatki na dobra luksusowe wzrastaj¡
nieograniczenie staj¡c sie wprost proporcjonalne do dochodów.
54
Rozdziaª 7
Modele ekonomiczne.
W ekonomii matematycznej buduje si¦ matematyczne modele ekonomiczne stanowi¡ce
przybli»on¡ reprezentacj¦ rzeczywistego zjawiska. Mo»na ogólnie stwierdzi¢, »e model ekonomiczny, to ukªad równa« matematycznych opisuj¡cy struktur¦ pewnego zjawiska.
7.1. Skªadniki modelu ekonomicznego.
Jak ju» wspomnieli±my model ekonomiczny stanowi ukªad równa«. Równania te zawieraj¡
trzy rodzaje obiektów:
zmienne (b¦dziemy na ogóª stosowa¢ nast¦puj¡ce oznaczenia zmiennych:
π
zysk,
R
przychód (utarg),
C
koszt,
Y
P
cena,
dochód narodowy),
staªe,
parametry.
Zmienne.
W terminologii ekonomii matematycznej utrwaliª si¦ podziaª zmiennych
na:
endogeniczne, inaczej wewn¦trzne, których warto±¢ jest determinowana przez dany
model,
egzogeniczne, inaczej zewn¦trzne czyli okre±lane niezale»nie od modelu.
Dokªadniejsze znaczenie poszczególnych rodzajów zmiennych zostanie omówione na
przykªadach w dalszej cz¦±ci wykªadu. Ju» teraz mo»emy jednak zwróci¢ uwag¦, »e pewne
zmienne endogeniczne w jednym modelu mog¡ by¢ egzogeniczne w innym i na odwrót.
Staªe. Warto±¢ staªych nie zmienia si¦ w danym modelu.
Parametry.
S¡ to wielko±ci, które nie s¡ zmiennymi, ale mog¡ przyjmowa¢ ró»ne
warto±ci w zale»no±ci od przyj¦tych w modelu zaªo»e«. Oznaczamy je zwykle
a, b, c, α, β γ.
Równania wyst¦puj¡ce w modelu mog¡ by¢:
denicyjne, czyli ustalaj¡ce to»samo±ci mi¦dzy wielko±ciami i wyra»eniami. Cz¦sto
w równaniach tych pojawia si¦ zamiast znaku równo±ci znak
55
≡,
np.
π ≡ R − C,
Rozdziaª 7.
Modele ekonomiczne.
behawioralne opisuj¡ce zachowanie zmiennej w reakcji na zmian¦ innych zmiennych. Przykªadowo, równaniem behawioralnym jest równanie
j¡ce koszt
C
produkcji w zale»no±ci od jej wielko±ci
C = 75 + 10Q,
opisu-
Q.
równowagi, które opisuj¡ warunki zachowania pewnej równowagi, np.
Qd = Qs
popyt jest równowa»ony przez poda».
7.2. Modele równowagi statycznej.
Spróbujmy najpierw udzieli¢ odpowiedzi na pytanie: czym jest równowaga? Przyjmijmy
za ekonomist¡ austriackim Fritzem Machlupem, »e równowaga jest pewn¡ konstelacj¡
wybranych, powi¡zanych ze sob¡ zmiennych, tak dopasowanych do siebie, »e w modelu,
który stanowi¡ nie przewa»a »adna tendencja do zmiany. Mo»emy wi¦c krótko powiedzie¢,
»e równowaga, to brak tendencji do zmiany.
7.2.1. Cz¦±ciowa równowaga rynkowa.
Model liniowy dla jednego dobra.
Opis.
Zaªó»my, »e mamy do czynienia z izolowanym rynkiem, w którym wyst¦puje tyl-
ko jedno dobro. B¦dziemy bada¢ warunki równowagi popytu i poda»y na to dobro w
zale»no±ci od ceny.
Oznaczenia. Niech
Qd > 0 oznacza wielko±¢ popytu na
Qs > 0 oznacza wielko±¢ poda»y na
P > 0 cena za jednostk¦ dobra.
Zaªo»enia.
dobro,
dobro,
Zakªadamy, »e popyt i poda» zmieniaj¡ si¦ liniowo w zale»no±ci od ceny.
Popyt jest funkcj¡ malej¡c¡ ceny, za± poda» funkcj¡ rosn¡c¡. Dodatkowo, poda» pojawia
si¦ pocz¡wszy od pewnej ceny minimalnej
P1 > 0.
Równania modelu.
Qd = a − bP, P ≥ 0
Qs = −c + dP, P > P1
Qd = Qs ,
(równanie
gdzie parametry
(równanie behawioralne)
równowagi),
a, b, c, d > 0.
56
Rozdziaª 7.
Modele ekonomiczne.
7.2.2. Keynesowski model dochodu narodowego.
Opis.
Rozwa»my gospodark¦ narodow¡, w której wyst¦puj¡ trzy rodzaje wydatków: in-
westycje, wydatki rz¡dowe oraz wydatki na konsumpcje.
Oznaczenia. Niech
I0 inwestycje (wielko±¢ staªa),
G0 wydatki rz¡dowe (wielko±¢ staªa),
C wydatki na konsumpcj¦ (zmienna egzogeniczna),
Y dochód narodowy (zmienna endogeniczna).
Zaªo»enia.
Zakªadamy, »e wydatki na konsumpcje s¡ liniow¡ funkcj¡ rosn¡c¡ dochodu
narodowego. Dochód narodowy pokrywa wszystkie (trzy) rodzaje wydatków.
Równania modelu.
C = a + bY
Y = C + I0 + G0
(równanie równowagi),
gdzie parametry
a > 0, b ∈ (0, 1) .
Interpretacja parametrów.
a
konsumpcja autonomiczna, niezale»na od dochodu (wydatki na konsumpcj¦ przy
zerowym dochodzie narodowym),
b kra«cowa skªonno±¢ do konsumpcji (gdy dochód wzrasta o 1, wydatki na konsumpcje wzrastaj¡ o b < 1.
Rozwi¡zania modelu. Punktem równowagi jest konsumpcja C̄ przy dochodzie Ȳ , gdzie
a + I0 + G0
,
1−b
a + b (I0 + G0 )
C=
.
1−b
Ȳ =
7.3. Modele nakªadów i wyników Leontiewa
7.3.1. Model statyczny.
Opis. Rozwa»my gospodark¦, w której funkcjonuje n ≥ 1 gaª¦zi przemysªu. Model bada,
jaki powinien by¢ poziom produkcji ka»dej z
n gaª¦zi, aby caªkowity popyt na wytwarzany
przez nie produkt byª zaspokajany. Wyniki produkcji ka»dej z gaª¦zi s¡ potrzebne jako
nakªady w innych gaª¦ziach (nie wykluczaj¡c jej samej); tªumaczy to nazw¦ modelu.
Oznaczenia.
Xi globalna wielko±ci produkcji i − tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) ,
xij wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹,
Yi wielko±¢ ko«cowa produkcji i − tej gaª¦zi nie zu»yta przez gaª¦zie.
Zaªo»enia.
1. Produkcja
i − tej
gaª¦zi jest caªkowicie bilansowana (równowa»ona) przez zu»ycie
produkcji w pozostaªych gaª¦ziach i warto±¢ produkcji ko«cowej
Xi =
n
X
xij + Yi
dla
i = 1, ..., n.
j=1
57
Rozdziaª 7.
Modele ekonomiczne.
i − tej gaª¦zi
j − tej gaª¦zi
2. Wielko±¢ produkcji
do wielko±ci produkcji
xij = aij Xj
Parametr
aij
zu»ywana przez
j − ta
gaª¡¹ jest proporcjonalna
i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.
dla
nazywa si¦ wspóªczynnikiem nakªadów.
Równania modelu.
Xi =
n
X
aij Xj + Yi
dla
i = 1, ..., n.
j=1
Równania te mo»na zapisa¢ w postaci macierzowej.




Przyjmuj¡c:
X1
.
.
.
Xn


 
=
 
a11 · · ·
.
.
.
..

a1n
.
.
.
.
an1 · · ·



ann
X1
.
.
.
Xn


 
+
 
Y1
.
.
.
Yn
X̄ = [X1 , ..., Xn ]T , Ȳ = [Y1 , ..., Yn ]T , A = [aij ]i,j=1,...,n




mamy
X̄ = AX̄ + Ȳ ,
(7.1)
(I − A) X̄ = Ȳ .
(7.2)
albo, równowa»nie
Uwagi.
1. Macierz
A
nazywa si¦ macierz¡ nakªadów bezpo±rednich,
pªywów mi¦dzygaª¦ziowych,
balnego, za±
Ȳ
(I − A)
macierz¡ Leontiewa,
X = [xij ] macierz¡ przeX̄ wektorem produktu glo-
wektorem produktu ko«cowego.
2. Cz¦sto warto±ci
Xi , xij
oraz
Yi
s¡ wyra»ane w jednostkach monetarnych, w tym
wypadku wielko±ci te reprezentuj¡ warto±ci produkcji.
3. Dla
i = 1, ..., n, j = 1, ..., n
aij =
a poniewa»
xij
xij
,
Xj
i − tej gaª¦zi zu»ywan¡ przez j−t¡ gaª¡¹,
xij ≤ Xj , czyli aby aij ≤ 1. Co wi¦cej,
oznacza wielko±¢ produkcji
wi¦c ekonomicznie uzasadnione jest, by
zauwa»my, »e ustalonego
j = 1, ..., n
n
X
suma
xij = Xj
i=1
n
X
aij
i=1
j−t¡ gaª¡¹. Wielko±¢ ta powinna by¢ nie wi¦ksza ni» Xj , w przeciwnym wypadku j −ta gaª¡¹ zu»ywa
reprezentuje sum¦ produkcji wszystkich gaª¦zi, zu»ywanych przez
wi¦cej ni» sama produkuje. Zatem
Xj
n
X
aij ≤ Xj ,
dla
j = 1, ..., n
i=1
58
Rozdziaª 7.
sk¡d
n
X
Modele ekonomiczne.
aij ≤ 1
dla
j = 1, ..., n
i=1
Dodatkowo, je±li
Yj > 0,
j − tej
czyli jaka± cz¦±¢ produkcji
gaª¦zi jest niewykorzy-
stana przez pozostaªe gaª¦zie, to
n
X
aij < 1.
i=1
4. W przypadku, gdy wektor produktu ko«cowego jest niezerowy, mówimy o tak zwanym
modelu otwartym.
Rozwi¡zanie modelu.
Przy zaªo»eniu, »e
det (I − A) 6= 0, czyli macierz I − A jest
A oraz danym wektorze produktu
nieosobliwa rozwi¡zaniem modelu przy danej macierzy
ko«cowego jest wektor produkcji
X̄ = (I − A)−1 Ȳ .
(7.3)
7.3.2. Model dynamiczny.
W przedstawionym w poprzednim podrozdziale modelu statycznym zakªadali±my, »e warto±ci produkcji, a co za tym idzie wektory
X̄
i
Ȳ
nie zmieniaj¡ si¦ w czasie. Zbadamy
teraz wªasno±ci modelu, który jest pewnym analogonem tego modelu, ale takim, w którym
powy»sze zaªo»enie nie jest speªnione.
Opis.
n ≥ 1 gaª¦ziami
t oznacza czas dyskretny, reprezentuj¡cy kolejny numer pewnego okresu,
Zaªó»my, jak w modelu statycznym, »e mamy do czynienia z
gospodarki. Niech
w którym zakªadamy, »e produkcja poszczególnych gaª¦zi jest staªa. Niech dalej
Xi (t) globalna wielko±ci produkcji i − tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) w okresie t,
xij (t) wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ w okresie t,
Yi (t) wielko±¢ ko«cowa produkcji i − tej gaª¦zi w okresie t
Zakªadamy wi¦c, »e wektor produkcji globalnej, oraz wielko±ci produkcji poszczególnych
gaª¦zi zu»ywanej przez inne gaª¦zie oraz produkcji ko«cowej s¡ funkcjami czasu dyskretnego:
N ∪ {0} 3 t 7→ X̄ (t) = [X1 (t) , ..., Xn (t)]T wektor produkcji globalnej,
N ∪ {0} 3 t 7→ xij (t) ,
N ∪ {0} 3 t 7→ Ȳ (t) = [Y1 (t) , ..., Yn (t)]T wektor produkcji ko«cowej.
W czasie trwania ka»dego z okresów zakªadamy, »e speªnione s¡ te same zaªo»enia jak
w przypadku otwartego modelu statycznego. W szczególno±ci, dla ustalonego
t,
zachodz¡
wszystkie wªasno±ci, ª¡cznie z formuª¡ na rozwi¡zanie, prawdziwe dla tego modelu. Zakªadamy te», »e macierz nakªadów
A
jest macierz¡ staª¡ (maj¡c¡ takie same wyrazy dla
wszystkich okresów).
Zaªo»enia wyprowadzenie modelu.
1. Zakªadamy, »e w ka»dym nast¦pnym okresie
t+1
chcemy zwi¦kszy¢ produkcj¦ w
stosunku do okresu poprzedniego t. Mo»emy to uczyni¢ przeznaczaj¡c cz¦±¢ produktu ko«cowego
Ustalmy
t,
Ȳ (t)
na inwestycje.
zatem
Ȳ (t) = S̄ (t) + C̄ (t) ,
59
Rozdziaª 7.
Modele ekonomiczne.
gdzie:
S̄ (t) −
wektor inwestycji,
wykorzystany jako nakªad
C̄ (t) −
S̄ (t) = [S1 (t) , ..., Sn (t)]T ,
w nast¦pnym okresie t + 1,
wektor czystego produktu ko«cowego ,
korzystanego w nast¦pnym okresie
t+1
tj. produktu, który b¦dzie
C̄ (t) = [C1 (t) , ..., Cn (t)]T ,
jako nakªad w »adnej gaª¦zi).
i = 1, ..., n Si (t) jest rozdystrybuowane
gospodarki (j = 1, ..., n), tzn.
2. Zakªadamy dalej, »e dla ka»dego
stycje w ka»dej z
j
gaª¦zi
Si (t) =
n
X
(nie wy-
sij (t) ,
dla
na inwe-
i = 1, ..., n,
(7.4)
j=1
sij (t) jest
j − tej gaª¦zi.
gdzie
wielko±ci¡ inwestycji
3. Przyjmijmy, »e wielko±¢
gaª¦zi w okresie
t + 1,
sij
i − tej
jest proporcjonalna do wzrostu produkcji globalnej
zij
j−tej
tzn.
sij (t) = zij (Xj (t + 1) + X (t))
gdzie staªa
gaª¦zi przeznaczon¡ na inwestycje w
dla
i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.
jest tzw. wspóªczynnikiem inwestycyjnym. W konsekwencji, wobec
(7.4)
Si (t) =
n
X
sij (t) =
j=1
n
X
zij (Xj (t + 1) − Xj (t))
dla
i = 1, ..., n,
j=1
czyli




S1
.
.
.
Sn


 
=
 
z11 · · ·
.
.
.
..
.
zn1 · · ·
z1n
.
.
.
znn




X1 (t + 1) − X1 (t)
.
.
.
Xn (t + 1) − X (t)
Oznaczaj¡c macierz wspóªczynników inwestycyjnych przez




Z = [zij ]i=1,...,n, j=1,...,n
mamy
S̄ (t) = Z · X̄ (t + 1) − X̄ (t) .
Wykorzystuj¡c równanie (7.2) statycznego modelu Leontiewa (w czasie trwania okresu
t
badany model jest statyczny) dostajemy, »e
(I − A) X̄ (t) = Ȳ (t) = S̄ (t) + C̄ (t) = Z · X̄ (t + 1) − X̄ (t) + C̄ (t) ,
Z −1 (I − A) X̄ (t) = X̄ (t + 1) − X̄ (t) + Z −1 C̄ (t)
czyli równanie dynamicznego modelu Leontiewa
X̄ (t + 1) = Z −1 − Z −1 A + I X̄ (t) − Z −1 C̄ (t) .
Zaªó»my, »e macierze
A
oraz
Z
s¡ dane oraz
(7.5)
(I − A)
i
Z
s¡
nieosobliwe. Przypu±¢my te», »e dane s¡ wielko±¢ pocz¡tkowego czystego produktu ko«cowego
C̄ (0)
oraz pocz¡tkowego wektora inwestycji
S̄ (0) ,
a co za tym idzie dana jest
60
Rozdziaª 7.
Modele ekonomiczne.
wielko±¢ pocz¡tkowego produktu ko«cowego
Ȳ (0) = S̄ (0) + C̄ (0) .
Wówczas z formuªy
(7.3) na rozwi¡zanie statycznego modelu Leontiewa dostajemy
X̄ (0) = (I − A)−1 Ȳ (0) .
Wykorzystuj¡c równanie (7.5) mamy
X̄ (1) = Z −1 − Z −1 A + I X̄ (0) − Z −1 C̄ (0) .
Znaj¡c teraz warto±¢
(7.6)
X̄ (1) wektora produkcji globalnej dla okresu t = 1 mo»emy ze wzoru
(7.2) obliczy¢ warto±¢ wektora produkcji ko«cowej dla tego okresu
Ȳ (1) = (I − A) X̄ (1) .
W tym momencie mo»emy znów podj¡¢ decyzj¦ jak¡ cz¦±¢ produktu ko«cowego
przeznaczamy na inwestycj¦
S̄ (1),
a jaka b¦dzie stanowi¢ czysty produkt ko«cowy
Ȳ (1)
C̄ (1).
Pami¦ta¢ jednak powinni±my, »e
Ȳ (1) = S̄ (1) + C̄ (1) ,
oraz, »e wszystkie wspóªrz¦dne wektorów
nych wektorach
S̄ (1) i C̄ (1)
powinny by¢ nieujemne. Przy da-
X̄ (1) oraz C̄ (1) mo»emy ponownie wyliczy¢ warto±¢ produktu globalnego
dla nast¦pnego okresu za pomoc¡ formuªy (7.5):
X̄ (2) = Z −1 − Z −1 A + I X̄ (1) − Z −1 C̄ (1) .
Kontynuuj¡c to post¦powanie generujemy ci¡g wektorów produkcji
∞
X̄ (t) t=0 .
Ci¡g ten
nazywany jest ±cie»k¡ rozwoju gospodarczego.
Z formalnego punktu widzenia rozwi¡zaniem dynamicznego modelu Leontiewa jest
wi¦c ci¡g wektorów produkcji globalnej b¦d¡cy rozwi¡zaniem równania ró»nicowego
X̄ (t + 1) = Z −1 − Z −1 A + I X̄ (t) − Z −1 C̄ (t) ,
z warunkiem pocz¡tkowym
X̄ (0) = X0 ,
gdzie wektor
C̄ (t)
jest okre±lony dla wszystkich
Fakt, »e wektor
produktu ko«cowego
t = 0, 1, ....
C̄ (t) jest z góry dany oznacza, »e zaplanowane zostaªo jak¡ cz¦±¢
Ȳ (t) przeznaczamy na inwestycj¦ S̄ (t) = Ȳ (t)− C̄ (t) dla wszystkich
t = 0, 1, .... Aby model
S̄ (t) tj. »e
miaª sens ekonomiczny musi by¢ speªniony warunek nieujemno±ci
wektora
C̄ (t) ≤ Ȳ (t) = (I − A) X̄ (t)
dla
t = 0, 1, ....
7.4. Modele dynamiczne z czasem dyskretnym.
Z modelem dynamicznym mieli±my ju» do czynienia przy omawianiu modelu Leontiewa. W
tym podrozdziale zbadamy kilka klika innych modeli dynamicznych. Najogolniej mówi¡c
s¡ to modele, w których zmienne s¡ zale»ne od czasu. Ograniczymy si¦ do sytuacji, w
której czas jest czasem dyskretnym reprezentuj¡cym numer kolejnego okresu. Tak jak w
przypadku modelu Leontiewa w czasie trwania ka»dego z okresów model jest statyczny a
zmiana warto±ci zmiennych nast¦puje po przej±ciu do kolejnego okresu. Takie modele s¡
opisane za pomoc¡ równa« ró»nicowych.
61
Rozdziaª 7.
Modele ekonomiczne.
7.4.1. Model paj¦czyny.
Opis.
Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym
t = 0, 1, 2, ....
Rozwa»a-
my rynek pewnego, pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ±cie»ki ceny
{P (t)}∞
t=0 na dane dobro, aby dla ka»dego okresu popyt caªkowicie zaspokoiª poda».
Oznaczenia. Niech
t = 0, 1, 2, ... kolejny numer okresu,
Qs (t) poda» na dobro w okresie t (liczba jednostek dobra poszukiwana przez konsumentów w okresie t),
Qd (t) popyt na dobor w okresie t (liczbe jedostek dobra dostarczana przez producentów w okresie t),
P (t) cena za jednostk¦ dobra w okresie t.
Zaªo»enia.
1. Wileko±¢ popytu
Qd (t)
2. Wielko±¢ poda»y
P (t) dla
Qd (t) ≥ 0.
zale»y liniowo od ceny
no±¢ jest funkcj¡ malej¡c¡. Zakªadmy, »e
Qs (t)
P (t − 1)
Qs (t) ≥ 0.
zale»y liniowo od ceny
Zale»no±¢ jest funkcj¡ rosn¡c¡. Zakªadamy, »e
tego samego okresu. Zale»-
z okresu poprzedniego.
3. Liniowy charakter popytu i poda»y jest identyczny dla ka»dego z okresów.
4. W ka»dym okresie popyt jest caªkowicie równowa»ony przez poda».
Równania modelu.
Qd (t) = α − βP (t)
Qs (t) = −γ + δP (t − 1)
Qd (t) = Qs (t)
dla
t = 1, 2, ...,
gdzie
α, β, γ, δ > 0
(7.7)
(7.8)
(7.9)
(parametry).
Uwagi.
1. Sytuacja opisywane przez model wyst¦puje w rolnictwie , gdzie zasiewy poprzedzaj¡
zbiory. Popyt na dany produkt jest zale»ny od aktualnej ceny, ale poda», wynikaj¡ca
z wielko±ci zasiewów, jest ustalana na podstawie cen z poprzedniego okresu.
2. Aby równania przedstawiaªy sens ekonomiczny musz¡ by¢ speªnione warunki nieujm∞
no±ci zmiennych. Warunki te prowadz¡ do zastrze»enia, »e ±cie»ka cenowa {P (t)}t=0
powinna speªnia¢ warunek
α
γ
≤ P (t) ≤
δ
β
dla
t = 0, 1, 2, ....
(7.10)
W szczególno±ci, musi by¢ speªniony warunek
γ
α
≤
δ
β
(7.11)
βγ − αδ ≤ 0
(7.12)
lub równowa»nie
62
Rozdziaª 7.
Modele ekonomiczne.
Interpretacja parametrów.
α
−β
maksymalna warto±¢ popytu (przy zerowej cenie),
kra«cowa warto±¢ popytu reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ konsumentów na zmian¦
ceny,
−γ
wspóªczynnik zapewniaj¡cy dodatnio±¢ poda»y pocz¡wszy od pewnej ceny mi-
nimalnej
δ
P1 ≥ 0,
kra«cowa warto±¢ poda»y reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ producentów zmian¦ na ceny.
Poszukujemy ±cie»ki ceny
{P (t)}∞
t=0 ,
czyli ci¡gu speªniaj¡cego ukªad (7.7)-(7.9). Wo-
bec równania równowagi (7.9) i wobec (7.7)-(7.8)
α − βP (t) = −γ + δP (t − 1) ,
sk¡d wobec faktu, »e
β 6= 0
α+γ
δ
.
P (t) = − P (t − 1) +
β
β
(7.13)
Jest to równanie ró»nicowe liniowe niejednorodne pierwszego rz¦du. Ogóª rozwi¡za« równania jednorodnego jest postaci
δ
Po (t) = c −
β
gdzie
c
t
,
t = 0, 1, 2, ...,
jest dowoln¡ staª¡. Szczególnego rozwi¡zania równania niejednorodnego poszuku-
jemy w±ród rozwi¡za« staªych
Ps (t) = k,
zatem
α+γ
δ
,
k=− k+
β
β
sk¡d
k=
gdy»
β + δ > 0.
α+γ
,
β+δ
St¡d, ogóª rozwi¡za« równania (7.13) jest postaci
δ
P (t) = c −
β
Je±li znamy warto±¢
P (0) = P0 ,
t
+
α+γ
,
β+δ
t = 0, 1, 2, ....
to
P (0) = c +
α+γ
,
β+δ
W konsekwencji rozwi¡zaniem równania (7.13) z warunkiem pocz¡tkowym
P (0) = P0
jest ±cie»ka cenowa
t
α+γ
δ
α+γ
P (t) = P0 −
−
+
,
β+δ
β
β+δ
t = 0, 1, 2, ....
Uwaga. Aby rozwi¡zanie miaªo sens ekonomiczny nale»y zaªo»y¢, »e
γ
(7.10). Nale»y przynajmniej zadba¢, aby
≤ P0 ≤ αβ .
δ
(7.14)
P (t) speªnia warunek
Dalsza analiza modelu wªasno±ci ±cie»ki cenowej.
63
Rozdziaª 7.
1. Je±li
P0 =
α+γ
, to
β+d
P (t) =
Modele ekonomiczne.
α+γ
,
β+d
t = 0, 1, 2, ....
Mamy wtedy do czynienia z rozwi¡zaniem staªym. Zauwa»my, »e z warunku (7.12)
γ
wynika, »e
≤ P (t) ≤ αβ dla t = 0, 1, 2, ... (¢wiczenie). Model jest to»samy ze staδ
tycznym modelem równowagi omawianym w jednym z poprzednich podrozdziaªów.
α+γ
(ze wzgl¦du na sens ekonomiczny nie mo»e zaj±c sytuacja
2. Zaªó»my, »e P0 >
β+δ
α+γ
P0 < β+d ). Rozwa»my trzy przypadki.
(a)
δ
β
< 1.
Wtedy ±cie»ka
{P (t)}∞
t=0
jest ci¡giem zbe»nym do
(b)
δ
β
= 1.
Wtedy ±cie»ka
{P (t)}∞
t=0
jest postaci
(
gdy
t
jest parzyste
− P0
gdy
t
jest nieparzyste
±cie»ka oscyluje wi¦c wokóª warto±ci
α+γ
.
β+d
P (t) =
(c)
P0
α+γ
.
β+d
2 α+γ
β+d
.
δ
> 1. ±cie»ka jest ci¡giem rozbie»nym pocz¡wszy od pewnego
β
ekonomiczny.
t
traci sens
Powy»sz¡ analiz¦ mo»na przedstawi¢ gracznie za pomoc¡ tzw. diagramu schodkowego. Ksztaªt otrzymanego diagramu jest wyja±nieniem nazwy modelu (¢wiczenia).
64
Skorowidz
m−okresowa stopa efektywna, 29
m−okresowy czynnik oprocentowuj¡cy,
inacja, 31
29
kapitaª
cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji, 24
ko«cowy, 7
czas oprocentowania, 7
pocz¡tkowy, 7
czynnik procentowy, 7
kapitalizacja odsetek, 7
koszt kra«cowy (marginalny), 40
deacja, 32
krzywa popytu, 46
dobra
luksusowe (dobra wy»szego rz¦du), 49
model
kapitalizacji rocznej, 23
ni»szego rz¦du (podrz¦dne), 49
normalne (zwykªe), 49
model kapitalizacji ci¡gªej, 25
podstawowe (niezb¦dne), 49
model oprocentowania skªadanego rocznego
przy zmiennej stopie, 29
dyskonto, 14
handlowe, 15
odsetki, 7
proste, 14
okres kapitalizacji, 7
dyskontowanie, 14
okres równowa»no±ci stopy procentowej i dyskontowej, 17
elastyczno±¢
optimum technologiczne, 40
cenowa popytu, 47
dochodowa popytu, 48
per annum (p.a.), 7
wzorcowa, 48
podokres kapitalizacji, 24
elastyczno±¢ funkcji, 43
podokres oprocentowania, 10
przeci¦tna, 43
popyt, 46
Fishera wzór, 32
doskonale elastyczny, 48
funkcja kosztu
doskonale nieelastyczny (sztywny), 47
caªkowitego, 40
elastyczny (silnie), 48
kra«cowego, 40
neutralny, 48
przeci¦tnego, 40
nieelastyczny, 47
poziom nasycenia potrzeb, 54
Funkcja Törnquista
dla dóbr luksusowych, 52
prawo popytu, 46
dla dóbr pierwszej potrzeby (podsta-
procent, 6
pªatny z góry, 15
wowych), 50
dla dóbr wy»szego rz¦du, 51
przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy,
29
funkcja utargu
caªkowitego, 42
przyrost wzgl¦dny
argumentu, 43
funkcja zysku
warto±ci funkcji, 42
caªkowitego, 42
punkt procentowy, 6
hierarchia pilno±ci potrzeb, 54
równowa»ne ci¡gi kapitaªów, 38
65
Skorowidz
reguªa bankowa, 9
równowa»no±ci stopy dyskontowej i pro-
reguªa kalendarzowa, 9
centowej, 17
roczna nominalna stopa ±rednia, 29
roczna stopa nominalna, 24
zasada równowa»no±ci kapitaªów, 37
w momencie
roczny czynnik dyskontuj¡cy, 30
t,
36
zysk caªkowity, 42
roczny czynnik oprocentowania, 25
stopa
nominalna, 31
realna, 32
stopa dyskontowa, 15
roczna, 30
stopa procentowa, 6
efektywna, 27
inacji, 31
kwartalna, 10
miesi¦czna, 10
okresowa, 7
podokresowa, 10, 24
przeci¦tna
roczna dla modelu oprocentowania
skªadanego, 29
m−okresowa,
29
(dla modelu oprocentowania prostego), 13
roczna, 7
stopa w stosunku rocznym, 7
termin wykupu weksla, 20
utarg caªkowity, 41
warto±¢ kapitaªu
nominalna, 31
realna, 32
warto±¢ weksla
handlowa (aktualna), 20
nominalna, 20
warunki oprocentowania, 7
weksel, 20
wspóªczynnik elastyczno±ci cenowej popytu,
47
zasada
dyskonta handlowego (prostego), 15
oprocentowania prostego, 8
oprocentowania skªadanego, 22
równowa»no±ci stóp procentowych, 11
66

Podstawy Ekonomii Matematycznej

Transkrypt

Podobne dokumenty

Podstawowe stopy procentowe NBP

Wykaz oprocentowania kredytów dla osób fizycznych w

Globalne ocieplenie - zadania kwali kacyjne

Tabela oprocentowania karty kredytowej Carrefour Visa (dla umów

tabela oprocentowania

oprocentowanie proste 1. Oblicz jaką wartość osiągnie kapitał

Informacja dla poszkodowanych w wyniku powodzi Informujemy, że

Podstawowe stopy procentowe Narodowego Banku Polskiego