Siła harmoniczna

Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest
skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą spręŜystości. JeŜeli obierzemy oś x
wzdłuŜ przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyraŜona równaniem
F = – kx
(1)
gdzie x jest przesunięciem od połoŜenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą
spręŜynę o ile tylko spręŜyna nie została rozciągnięta poza granicę spręŜystości. To jest prawo Hooke'a.
JeŜeli spręŜyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do spręŜyny) znalazła się w połoŜeniu
x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to połoŜenie masy w funkcji czasu będzie dane
równaniem
x = Acosωt
Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z załoŜeniami. Z II zasady
dynamiki Newtona wynika, Ŝe
– kx = ma
czyli
– kx = m(dv/dt)
wreszcie
– kx = m(d2x/dt2)
(2)
Równanie takie nazywa się równaniem róŜniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie
i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, Ŝe rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę
właściwość, Ŝe jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, Ŝe moŜe to być
funkcja x = Acosωt i sprawdzamy
dx/dt = v = – Aωsinωt
(3)
d2x/dt2 = a = – Aω2cosωt
Podstawiamy ten wynik do równania (2)
(– kAcosωt) = m(– Aω2cosωt)
i otrzymujemy
ω2 = k/m
(4)
(5)
Widzimy, Ŝe x = Acosωt jest rozwiązaniem równania (2) ale tylko gdy ω = k / m .
Zwróćmy uwagę, Ŝe funkcja x = Asinωt jest równieŜ rozwiązaniem równania ale nie spełnia warunku
początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).
Najogólniejszym rozwiązaniem jest
x = Asin(ωt + ϕ)
(6)
gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe.
Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
• dla wychylenia
A
• dla prędkości
ωA (występuje gdy x = 0)
• dla przyspieszenia
ω2A (występuje gdy x = A)
RUCHY OKRESOWE
(periodyczne)
prawo Cooke’a
∆l =
∆l - wydłuŜenie
F ⋅ l0
E⋅s
F – działająca siła
L0 – długość początkowa
E – współczynnik Yang’a
s – przekrój
Odkształcenia spręŜyste nie powodują deformacji
r
r
F = −k ⋅ x (F=mg)
k – współczynnik spręŜystości
a = − k x
m
Ruch harmoniczny
a. droga x = x 0 sin (ω t + ϕ
b. prędkość
V = x0ω ⋅ cos (ωt + ϕ )
c. przyśpieszenie
)
a = − x0ω 2 sin(ωt + ϕ )
II zasada dynamiki dla ruchu harmonicznego
ω
2
=
k
m
(ωt + ϕ ) = α (t ) - faza drgań
φ – faza początkowa wartość fazy w t=0
ω – taki sam sens fizyczny jak prędkość kątowa – częstość (kołowa)
ω
=
T =
2 Π
T
1
f
T – okres (czas 1 pełnego drgnienia)
f – ilość drgań w jednostce czasu
T = 2Π
m
k
m – masa
k – stała dla danego ciała
α
F1
N
mg
α
F2
α
mg
F1 – nie jest równowaŜona (nadaje przyśpieszenie)
F2 – jest równowaŜona
sinα ≈ tgα => gdy α = do 70
x
l
ma = F1 = mg sin α
sin α =
F1 = − mg
a = −g
x
l
x
l
a = −ω2 ⋅ x
− ω 2 – współczynnik proporcjonalności
x – wychylenie
g
l
ω =
T =
2Π
ω
= 2Π
l
g