Materiały pomocnicze do realizacji programu zajęć pozaszkolnych
Transkrypt
Materiały pomocnicze do realizacji programu zajęć pozaszkolnych
„ TYLKO OSZLIFOWANY DIAMENT ŚWIECI ” MATERIAŁY POMOCNICZE DO REALIZACJI PROGRAMU ZAJĘĆ POZASZKOLNYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW ZDOLNYCH SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH ALEKSANDER RYBSKI NOWY SĄCZ - 2009 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego METODA PROJEKTU W NAUCZANIU „ Powiesz – zapomnę, pokażesz – zapamiętam, przeż yję, doświadczę – zrozumiem.‖ Metoda projektu jest interdyscyplinarną metodą nauczania matematyki, uczy poszukiwania informacji i autoprezentacji. Odwołuje się do zainteresowań ucznia i pozwala na poszerzenie jego wiedzy. Projekt uczy samodzielności i współdziałania w sposób planowy i konsekwentny, wyrabia nawyki samokształceniowe – rozwija samodzielne myślenie i kreatywność uczniów. Odwołuje się do zainteresowań ucznia i pozwala na poszerzenie jego wiedzy. Ma charakter odkrywczy. Wymusza realizację pełnego procesu badawczego: planowanie przebiegu badań przez zdobywanie informacji, stosowanie rozmaitych strategii rozwiązywania problemu, opracowanie wniosków, stawianie dobrych pytań. Uczy jak radzić sobie z nadmiarem informacji – jak je gromadzić, selekcjonować, odrzucać , uczy umiejętności dokonywania stosownych wyborów. Jako aktywna metoda uczenia pozwala tak organizować proces nauczania, że uczeń z biernego odbioru wiedzy staje się aktywnym poszukiwaczem. To wyzwala odwagę, uczy przedsiębiorczości , zaradności i samodzielności. Najważniejszymi cechami metody projektu są: samodzielne planowanie i przeprowadzanie pracy przez uczniów, zerwanie z zasadą dominacji nauczyciela, uczenie się poprzez rozwiązywanie problemów, zdobywanie wiedzy z jednoczesnym jej wykorzystaniem w praktyce, korzystanie z różnych źródeł informacji, 2 stwarzanie sytuacji sprzyjających przeżywaniu i doświadczaniu życia, wspieranie rozwoju charakteru, efektywne współdziałanie w zespole, poszukiwanie i porządkowanie informacji, rozwijanie osobistych zainteresowań, rozwijanie dociekliwości poznawczej, ocenianie własnej nauki. Realizując projekt prowadzący pozostawia dużą swobodę uczniom głównie w sposobie rozwiązania problemu. Jednocześnie należy czuwać nad prawidłową realizacją programu projektu. 3 ZAŁOŻENIA DYDAKTYCZNE I WYCHOWAWCZE KONCEPCJI PROJEKTU Rozwiązanie nietypowych zadań proponowanych przez uczniów, Rozwijanie emocjonalne, intelektualne, światopoglądowe i praktyczne uczniów, Rozwijanie motywacyjne sprzyjające aktywnemu uczestnictwu w działaniu i podejmowaniu decyzji przez uczniów, Kształtowanie elementarnych zasad wnioskowania, Rozwiązywanie problemów w sposób twórczy, Kształtowanie umiejętności i postaw pozwalających na funkcjonowanie w świecie stale dokonujących się zmian wymagających permanentnego doskonalenia się, Wyrabianie umiejętności takich, jak: planowanie, organizowanie, ocenianie własne, kształcenie i branie za nie odpowiedzialności, Prezentowanie własnego punktu widzenia, uwzględnianie poglądów innych ludzi i porozumiewanie się w różnych sytuacjach, Współdziałanie w zespole, podejmowanie decyzji i zachowanie obowiązujących norm, Poszukiwanie, porządkowanie i wykorzystanie informacji z różnych źródeł oraz posługiwanie się wszelkimi środkami multimedialnymi, Stosowanie w praktyce przyswojonej wiedzy oraz wyrabianie odpowiednich nawyków, Rozwijanie sprawności intelektualnych i zainteresowań, Przejmowanie odpowiedzialności za własne życie i rozwój osobowy, Stwarzanie sytuacji do odkrywania pojęć i stosowania metod wyzwalających aktywność uczniów, 4 Dostrzeganie problemów w środowisku, w którym przebywają uczniowie. Ujęcie i interpretowanie ich w pewnym modelu matematycznym, Wyciąganie odpowiednich wniosków, Dochodzenie do rozumienia przekazywanych treści, Rozwijanie zdolności dostrzegania związków i zależności, Kształtowanie umiejętności w sprawnym operowaniu pojęciami matematycznymi, biegłym rozwiązywaniu zadań o zwiększonym stopniu trudności, Rozszerzenie wiadomości z matematyki (nie objętych) programem szkoły średniej, Nabycie umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy , korzystania z różnych źródeł, Uporządkowanie i uzupełnienie wiadomości i umiejętności dotyczących materiału objętego programem nauczania, Rozwijanie myślenia analitycznego i syntetycznego. Szczegółowe cele edukacyjne – kształcenia i wychowania Nadrzędnym celem pracy edukacyjnej każdego nauczyciela jest dążenie do wszechstronnego rozwoju ucznia oraz przygotowanie go do rozumienia współczesnego świata i aktywnego uczestnictwa w życiu oraz do wyrabiania nawyku samodzielnego zdobywania wiedzy na dalszych etapach edukacji. Zgodnie z podstawą programową uczniowie kształcą swoje umiejętności w celu wykorzystania zdobytej wiedzy we współczesnym świecie, a nauczyciele tworzą uczniom warunki do nabywania następujących umiejętności: 5 - rozwijania logicznego myślenia i konstruowania własnych strategii postępowania, kształcenia postawy samodzielności, dociekliwości i krytycyzmu w stosunku do swoich działań, - planowania, organizowania i właściwego interpretowania zebranych informacji oraz oceniania własnej nauki, przyjmowania za nią odpowiedzialności oraz kształcenia nawyku dobrej organizacji pracy, - skutecznego porozumiewania się w różnych sytuacjach, prezentacji własnego punktu widzenia i uwzględniania poglądów innych ludzi, poprawnego posługiwania się językiem ojczystym, przygotowania do publicznych wystąpień, - efektywnego współdziałania w zespole, budowania więzi międzyludzkich, podejmowania indywidualnych i wspólnych decyzji, skutecznego działania na gruncie obowiązujących norm, kształcenia postawy otwartości i szacunku dla pomysłów i poglądów innych uczestników projektu, prowadzenia dyskusji, prezentowania wyników własnej pracy, tolerancji i szacunku dla poglądu innych, dzielenie się w grupie rolami i zadaniami, - poszukiwania kompromisu, - planowania, układanie harmonogramu działań, poszukiwanie sojuszników, którzy wsparliby realizację planowanych działań, - rozwiązywania problemów w sposób twórczy, stawiania pytań i dochodzenia do wniosków, - przygotowania do dostrzegania różnych problemów i zjawisk społecznych, ekonomicznych, przyrodniczych, fizycznych, elektronicznych, astronomicznych i technicznych, analizowania ich i opisywania z wykorzystaniem wiedzy matematycznej i języka matematyki, - poszukiwania, porządkowania i wykorzystywania informacji z różnych źródeł, projektowania obliczeń i ich wykonywania; budowania modeli matematycznych i ich wykorzystania do rozwiązywania problemów praktycznych; efektywnego posługiwania się technologiami informatycznymi i komunikacyjnymi, - odnoszenia do praktyki zdobytej wiedzy oraz tworzenia potrzebnych doświadczeń i nawyków; odbioru i interpretacji tekstu matematycznego; odczytywania, gromadzenia, interpretacji danych; logicznego wnioskowania i uzasadniania, 6 - rozwijania sprawności umysłowych oraz osobistych zainteresowań poprzez kształcenie wyobraźni przestrzennej; sprawnego posługiwania się regułami wnioskowania i algorytmami oraz językiem matematycznym, - przyswajania metod i technik negocjacyjnego rozwiązywania konfliktów i problemów społecznych, - zapoznania uczniów z zagadnieniami wychodzącymi poza program szkoły średniej, a wymaganymi na studiach. Treści nauczania matematyki Zamieszczone w tym projekcie treści nauczania matematyki oparte są na obowiązującej podstawie programowej realizującej program nauczania matematyki na poziomie rozszerzonym oraz uwzględniają treści nauczania obowiązujące na pierwszych latach studiów na kierunkach związanych z matematyką. Przedstawiony poniżej podział treści nauczania jest tylko propozycją, a ostateczna decyzja co do rozkładu treści należy do nauczyciela prowadzącego dany moduł . Kolejność realizowania modułów jest dowolny – wybór należy do nauczyciela prowadzącego projekt. Uczniowie wykonują zadania obejmujące pewną partię materiału przez samodzielne sformułowanie tematu i samodzielne poszukiwanie rozwiązania pod „niezauważalną‖ opieką nauczyciela. Projekt wymaga wykorzystania wiedzy z różnych przedmiotów nauczania – fizyki, biologii, astronomii, ekonomii, geografii, polityki itp. Metoda projektu rozwija kreatywność uczniów i samodzielne myślenie. Prowadzący projekt musi pozostawić dużą swobodę uczniom głównie w sposobie rozwiązywania problemu, a jednocześnie musi czuwać nad prawidłową realizacją przyjętego programu nauczania. 7 I MODUŁ PROJEKTOWY „Zastosowania twierdzeń matematycznych” 1) Wprowadzenie do modułu: Najciekawszą częścią matematyki są twierdzenia i konstrukcje geometryczne. Twierdzenia mogą być łatwe i trudne, takie do których udowodnienia trzeba najpierw udowodnić twierdzenia pomocnicze tzw. lematy. Wiele twierdzeń czekało wieki na ich udowodnienie a ci, którzy uczynili to pierwsi ,zostali na stałe wpisani do historii matematyki. Nie wszystkie problemy matematyczne ,znalazły pozytywne rozstrzygnięcie, jak np. „kwadratura koła‖, to znaczy konstrukcja kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła. Zadanie to sprowadza się w istocie do konstrukcji odcinka długości Dopiero w XIX wieku wykazano niemożliwość tej konstrukcji a dokonali tego Pierre Wantzel oraz Ferdinand Lindemann. Był to jeden z trzech głównych problemów starożytnej matematyki greckiej , obok „trysekcji kąta‖ tzn. podziału kąta na trzy równe części oraz „podwojenia sześcianu‖, czyli zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej od danego sześcianu. Dawno w programie matematyki szkoły ponadgimnazjalnej zostały wykreślone treści związane z klasycznymi konstrukcjami geometrycznymi tzn. tylko przy użyciu cyrkla i linijki. Są to bardzo ciekawe konstrukcje ,jak chociażby „złoty podział‖ odcinka, których poprawność należy wykazać , poznając przy okazji wiele ciekawych twierdzeń geometrii i algebry. Większość twierdzeń ma zapis zgodny z logiką, dlatego też ich dowody opieramy na zasadach logicznych. Bo czymże jest reguła wnioskowania, jak nie prawem przechodniości implikacji, albo dowód nie wprost – kontrapozycją, połączoną z prawem przechodniości implikacji. Reguła wnioskowania niestety nie zdaje egzaminu w twierdzeniach i wzorach określanych dla dowolnej liczby naturalnej, bo co prawdziwe jest dla skończonej ilości nawet bardzo wielkiej, może okazać się nieprawdziwe w nieskończoności, stąd konieczny jest dowód indukcyjny. Chyba najciekawszym sposobem dowodzenia twierdzeń dotyczących własności w zbiorze liczb naturalnych jest zasada szufladkowa Dirichleta. W oparciu o zasadę możliwe jest wykazanie, że w Warszawie mieszkają przynajmniej dwie osoby , które mają taką samą ilość włosów na głowie. (Dorosły człowiek ma ich nie więcej niż 500 000). 8 2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Elementy logiki: alternatywa, koniunkcja, Uczeń potrafi: implikacja, równoważność, kontrapozycja, -odczytywać zdania zapisane z użyciem reguła odrywania. Prawa rachunku zdań. symboli matematycznych 2.Hipoteza i twierdzenie. Kontrprzykład. Budowa twierdzenia, rodzaje twierdzeń. Kwadrat logiczny i zamknięty układ symboliką -posługiwać się alternatywa, koniunkcja, logiczną: implikacja i równoważność zdań oraz form zdaniowych twierdzeń. Twierdzenie proste i odwrotne oraz twierdzenie przeciwne i przeciwstawne. -stosować do zapisu zdań symbole logiki Dowody twierdzeń: wprost i nie wprost. matematycznej 3.Dowód indukcyjny. -stosować prawa logiczne 4.Zasada szufladkowa Dirichleta. -odnaleźć regułę „modus ponens‖ (reguła 5.Dwody dedukcyjne. Główne schematów wnioskowań. wnioskowania a Schematy wnioskowania. Metody wnioskowania (wnioskowanie tollens, Schematy twierdzenia wnioskowania odrywania), „modus tollens‖ (modus tollendo rodzaje pomocy logiczne. a poprawności zaprzeczający zaprzeczenia), „modus przy tollendo zaprzeczenie) w tautologii rachunku zdań logicznego i -zastosować prosty schemat wnioskowania wnioskowanie wprzód). 6.Dowody sposób ponens‖ (łac. sposób potwierdzający przez reguły wstecz łac. dedukcyjnego konstrukcji -podać kontrprzykład pokazujący fałszywość geometrycznych w oparciu o twierdzenia danej hipotezy geometrii euklidesowej. -podać budowę twierdzenia -wskazać założenie i tezę twierdzenia -uzasadnić na czym polega dowód które należy matematyczny -rozpoznać 9 twierdzenia, dowodzić nie wprost -odnaleźć dowód Euklidesa na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych -odnaleźć różne dowody niewymierności klasyczne -wykonać konstrukcje geometryczne przy pomocy cyrkla i linijki, wraz z dowodem poprawności konstrukcji -przeprowadzić dowód twierdzenia wprost i nie wprost -zastosować własności twierdzeń -wskazać warunek konieczny i wystarczający -rozróżniać twierdzenia -zapisywać twierdzenia przy pomocy symboli matematycznych -wyszukać twierdzenia w algebrze, geometrii, trygonometrii i w kombinatoryce -wyjaśnić pojęcie zasady indukcji matematycznej -stosować indukcję matematyczną w prowadzeniu rozumowań, w szczególności w dowodzeniu twierdzeń -zauważyć które twierdzenia dowodzić za pomocą zasady szufladkowej Dirichleta -przeprowadzić dowód wykorzystując zasadę szufladkową Dirichleta -opisać językiem matematyki twierdzenia w 10 innych dziedzinach niekoniecznie w matematyce 3) PROJEKT 1: Jakie mają zastosowania twierdzenia logiczne w matematyce? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - Jaka jest budowa twierdzenia? - Jakie są sposoby zapisywania twierdzeń ? - Jakie znasz rodzaje twierdzeń w logice? - Jaka jest różnica w dowodach twierdzeń w logice, algebrze, geometrii i trygonometrii? - Jaki związek ma twierdzenie „wprost‖ z kontrapozycją i dowodem „nie wprost‖? - Jak konstruujemy twierdzenie odwrotne do danego? - W jaki sposób dowodzimy równoważność w logice, a jak w innych dziedzinach matematyki? - Jakie potrafisz znaleźć reguły logiczne, które można zastosować w innych dziedzinach? 11 b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Znajdź prawa rachunku zdań w Internecie i przeprowadź dowody ważniejszych praw rachunku zdań, np.: prawo kontrapozycji prawo odrywania (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe) prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia) prawo eliminacji implikacji prawo zaprzeczenia implikacji prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum) prawo Fregego 12 Zadanie 2. Reguły wnioskowania – na podstawie poniższego tekstu, znajdź problemy związane z życiem codziennym, w których możemy zastosować opisane tu reguły: Reguła odrywania – oparta na prawie rachunku zdań modus ponens reguła przekształcania jednych formuł zdaniowych w inne formuły zdaniowe przyjmowana na gruncie rachunku zdań. W pierwotnej formie sformułowana w logice stoików. Część autorów termin „reguła odrywania‖ rozumie szerszej, mianowicie regułę odrywania dla równoważności o analogicznej do reguły odrywania (dla implikacji) postaci. Modus ponens (reguła odrywania), wnioskowanie logiczne, to reguła logiki mówiąca że jeśli zaakceptujemy że z x wynika y, oraz x (jest prawdziwe), to musimy zaakceptować też y. prawo pustego spełniania: 0 q ; nie ma co wtedy martwić się nieprawdą; stąd zał. zał. , że prawdą są wszystkie! przesłanki w dowodach założeniowych ; kończąc dowód tezy – udowadniamy tautologię. Modus tollens (modus tollendo tollens, łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia) – wnioskowanie logiczne, reguła logiki mówiąca, że jeśli zaakceptujemy że z X wynika Y, oraz że Y jest fałszywe, to musimy zaakceptować też fałszywość X. "Modus tollendo tollens – tryb obalający [...] przez obalenie [...]. Jest to inna postać "sylogizmu kategoryczno-hipotetycznego". Zastosowania: Jeżeli nie ma śladów uderzeń na 13 zwłokach, a przy tym gdyby zmarły był bity przed śmiercią, to by były ślady uderzeń na zwłokach, tedy nieprawda, że zmarły był bity przed śmiercią." Modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przez zaprzeczenie) – tautologia rachunku zdań i analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego. Tautologia rachunku zdań mówi, że jeśli uznajemy alternatywę i fałszywość jednego z jej członów, musimy uznać prawdziwość drugiego członu: Analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego ma postać: p lub q, nie p. Zatem: q. Modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przez potwierdzenie) – Jest to tautologia rachunku zdań mówiąca o właściwościach dysjunkcji – na podstawie prawdziwości jednego ze zdań składowych prawdziwej dysjunkcji można orzekać o fałszywości drugiego. Analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego ma postać Jeżeli: bądź p bądź q, i p. Zatem: nieprawda, że q. 14 Zadanie 3. Na podstawie wybranych podanych poniżej rodzajów przykładów sporządź reguł wnioskowania i uproszczony algorytmu działania maszyny wnioskującej wprzód schemat i wstecz. 1) Reguła odrywania oparta na prawie "modus ponens" zgodnie z którym jeśli uznany (prawdziwy) jest okres warunkowy (implikacja) i jego poprzednik, wolno zawsze uznać (za prawdziwy) jego następnik. "Modus ponens" polega na wnioskowaniu w przód, tzn. z przyczyny wnioskujemy o skutkach. Przykład z życia maturzystki: przesłanka 1: Maturzystka otrzymała w teście 20 punktów. przesłanka 2: Jeżeli maturzystka otrzymała 20 punktów to maturzystka zaliczyła przedmiot. wniosek: Maturzystka zaliczyła przedmiot. 2) Reguła oparta na prawie "modus tollens" polegającego także na wnioskowaniu wprzód. Przykłady z życia maturzystki: a) przesłanka 1: Jeżeli maturzystka otrzymała w teście ponad 20 punktów to maturzystka zaliczyła przedmiot. przesłanka 2: Maturzystka nie zaliczyła przedmiotu. wniosek: Maturzystka nie otrzymała na teście ponad 20 punktów. b) przesłanka1: Jeżeli rodzice maturzystki wysłali na jej konto 500 zł to maturzystka kupi sobie skórzane buty. przesłanka 2: Maturzystka nie kupiła sobie skórzanych butów. wniosek: Rodzice maturzystki nie wysłali na jej konto 500 zł. Wnioskowanie wprzód 15 Na podstawie dostępnych reguł i faktów należy generować nowe fakty tak długo, aż wśród wygenerowanych faktów znajdzie się postawiona hipoteza. Zadanie 4. Sporządź algorytm poniższego wnioskowania wprzód: Krok 1:(START) Weź hipotezę ze szczytu zadań. Krok2: Jeśli w bazie wiedzy na liście faktów jest odpowiedź na postawioną hipotezę przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym wypadku przejdź do Krok-u 4 Krok3: Sformułuj odpowiedz (STOP) Krok4 :Określ reguły, których przesłanki znajdują się na liście faktów Krok5: Wybierz regułę, stosując strategię wnioskowania Krok6: Jeśli nie istnieje reguła, którą można uaktywnić przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym wypadku przejdź do Krok-u 7 Krok7: Uaktywnij wybraną regułę Krok8: Dopisz nowe fakty do listy faktów Krok9: Zaznacz użycie uaktywnionej reguły Krok10: Wróć do Krok-u 2 Zadanie 5. Wnioskowanie wstecz Polega na wykazaniu prawdziwości hipotezy głównej na podstawie prawdziwości przesłanek. Sporządź algorytm poniższego wnioskowania wstecz: 16 Poszczególne kroki algorytmu działania maszyny wnioskującej wstecz Krok1: (START) Załaduj bazę wiedzy Krok2: Sprawdź składnię bazy wiedzy Krok3: Zwolnij struktury danych, które reprezentowały bazę wiedzy w poprzednim wnioskowaniu Krok4: Utwórz listę reguł przez odczytywanie bazy wiedzy i utworzenie odpowiednich struktur Krok5: Utwórz listę faktów na podstawie listy reguł według określonych zadań Krok6: Postaw hipotezę przez odczytanie jej z bazy wiedzy lub wyprowadź nową hipotezę Krok7: Szukaj odpowiedzi na postawioną hipotezę Krok8: Jeśli jest następna hipoteza, przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym razie przejdź do Krok-u 10 Krok10: Jeżeli chcesz załadować następną bazę przejdź do Krok-u 1, w przeciwnym wypadku zakończ działanie (STOP) Zadanie 6. Istnieje więcej reguł wnioskowania – znajdź je w Internecie. Zadanie 7. Wiemy, że nie istnieje problem „kwadratury koła”. Rozwiąż „kwadraturę trójkąta” tzn. skonstruuj kwadrat o polu równym polu trójkąta równobocznego o danym boku a. 17 Zadanie 8. Spróbuj ustalić, czy „zasada złotego podziału” może być traktowana jako matryca nie tylko dla świata materialnego, ale również dla świata duchowego ? (Czy złota proporcja odnosi się tylko do ilości, czy także do idei ?) - złoty podział odcinka, dowód konstrukcji – trójkąt wpisany w kwadrat. Jeżeli kwadrat o boku 1 wpisze się trójkąt o podstawie równej 1 i wysokości h= 1, to styczna poprowadzona do koła wpisanego w ten trójkąt i równoległa do podstawy, podzieli 2 boki kwadratu w złotym podziale a utworzony prostokąt będzie złotym prostokątem. Jeżeli w ten sam kwadrat wpisze się trójkąt o podstawie 1 i wysokości h = , to styczna poprowadzona do koła wpisanego w te trójkąt i równoległa do podstawy, podzieli boki kwadratu w srebrnym stosunku a utworzony prostokąt będzie srebrnym prostokątem. 18 Zadanie 9. Geometria Greków – odszukaj stosowanie złotego podziału w architekturze np.: Partenon, katedra Notre Dame, gmach ONZ itp., czy sztuce: Pierro della Francesca, Leonardo da Vinci, Velazquez, Dali itp. Zadanie 10. Czy ciąg Fibonacciego pozwolił na odkrywanie złotych zależności w naturze, szczególnie zaś w biologii, fizyce, astronomii, czy nawet ekonomii ? 4) PROJEKT 2: Znajdź twierdzenia z różnych dziedzin, które nie można udowodnić wprost? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - na czym polega dowód nie wprost? - z jakimi twierdzeniami w logice kojarzymy dowód nie wprost? - czy dowód wprost można zastąpić dowodem nie wprost? - jakie są sposoby dowodu niewymierności liczby ? - jak udowodnić niewymierność liczby π? - jaki jest dowód na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych? - w jakich działach matematyki stosowane są dowody nie wprost? 19 - jak udowodnić przestępność liczby π oraz e? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Znajdź dowód niewymierności liczby e podany przez J.Fouriera i przez Eulera . Wskazówka: Dowód niewymierności liczby e; używający szeregu ( odszukaj jakiego? ), który został najprawdopodobniej podany przez J. Fouriera, a więc jest o około sto lat późniejszy od naszkicowanego dowodu podanego przez Eulera. Jest on następujący: niech e = p/q; gdzie p i q są liczbami naturalnymi. Mnożąc szereg przez q! otrzymamy jawną sprzeczność (książka Eli Maora). Zadanie 2. Przeprowadź dowód niewymierności liczby π. Zadanie 3. Liczba algebraiczna to taka , która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Liczba przestępna to liczba ,która nie jest algebraiczna. Udowodnij przestępność liczby π. Zadanie 4. Znajdź średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną dla dowolnych dwóch liczb dodatnich i określ zależności między nimi : która z nich jest największa a która jest najmniejsza. Przeprowadź dowód nie wprost tej zależności. Czy możliwy jest dowód nie wprost średnich określonych dla skończonej ilości dodatnich liczb rzeczywistych? 20 5) PROJEKT 3: Jakie są metody dowodzenia twierdzeń określone dla zmiennej naturalnej, występujące w różnych dziedzinach? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - co to jest dedukcja? - jakie są etapy związane z indukcją matematyczną? - jaki jest związek indukcji matematycznej ze zbiorem liczb naturalnych a jaki z dominem? - do czego służy indukcja matematyczna? - na czym polega zasada szufladkowa Dirichleta? - czy dowód indukcyjny można zastąpić dowodem dedukcyjnym? - jakie jest zastosowanie indukcji matematycznej w teorii ciągów? - jakie są zastosowania indukcji matematycznej w geometrii? - co ma wspólnego podzielność liczb naturalnych z indukcją matematyczną? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Sprawdzając monotoniczność ciągu poprzez wyznaczenie skończonej ilości kolejnych jego wyrazów, można zauważyć, że ciąg jest malejący , co może okazać się nieprawdą dla całego ciągu. Wyznacz monotoniczność ciągu an =n3-(10100-1020)n2-10120n. 21 Zadanie 2. Udowodnij prawdziwość nierówności 2n>n2 dla każdej liczby naturalnej n≥3. Zadanie 3. Udowodnij : liczba naturalna złożona z n jednakowych cyfr np. 777…7 = ⁷⁄₉(10n-1). Zadanie 4. Udowodnij podzielność 6l n3 - n .Czy podzielność tą można wykazać bez użycia indukcji? Zadanie 5. Odszukaj w literaturze matematycznej nierówność Bernoulli‘ego i udowodnij ją na podstawie indukcji. Zadanie 6. Korzystając z ciągu Fibonacciego określonego rekurencyjnie u0=0, u1=1, un+2=un+un+1 udowodnij równość u2n=un2+ un+12 Zadanie 7. Na ile rozłącznych figur n prostych podzieli płaszczyznę? Znajdź wzór i udowodnij go. Zadanie 8. Na podstawie Zasady szufladkowej Dirichleta przedstawionej poniżej, wykaż, że w Warszawie mieszkają dwie osoby mające te sama liczbę włosów na głowie. Sformułowanie: Mamy k szufladek i n królików, gdzie n > k. Jeżeli powsadzamy króliki do szufladek, to w przynajmniej jednej znajda sie przynajmniej dwa króliki. 22 Dowód: Jeżeli w każdej szufladce byłby co najwyżej jeden królik, to w sumie byłoby ich co najwyżej k - sprzeczność z założeniami. Sformułowanie w innym języku: Niech X będzie n - elementowym zbiorem. Zbiór X przedstawmy w postaci sumy k parami rozłącznych zbiorów (X = X 1[ X 2[. . .[ X k ). Jeśli n > k, to przynajmniej jeden ze zbiorów Xi ma co najmniej dwa elementy. Sformułowanie w jeszcze innym języku: Niech X i Y będą zbiorami mającymi odpowiednio n i k elementów. Jeśli n > k, to żadna funkcja f : X ! Y nie jest różnowartościowa. Uogólniona wersja zasady szufladkowej: Jeśli mamy k szufladek i n > mk królików, to jeśli poupychamy króliki w szufladkach, to w przynajmniej jednej będzie przynajmniej m + 1 królików. Dowód: Jeśli byłoby inaczej, czyli w każdej szufladce byłoby co najwyżej m królików, to w sumie byłoby ich nie więcej niż mk - sprzeczność z założeniami. Zadanie: Na sali znajduje sie 47 osób. Udowodnić, ze na sali znajdzie sie 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Dowód: Dni tygodnia to szufladki, osoby to króliki. Mamy 7 szufladek i 47 > 42 = 6 · 7 królików. Zatem z uogólnionej zasady szufladkowej, znajdzie sie przynajmniej 7 królików w przynajmniej jednej klatce, czyli przynajmniej 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Wskazówka: Wygodnie tutaj jest spojrzeć na sytuacje przy użyciu funkcji. Niech X będzie zbiorem mieszkańców stolicy, a Y — zbiorem liczb naturalnych od 0 do, powiedzmy, 500000 (grube oszacowanie górne możliwej liczby włosów na głowie). Niech f : X ! Y będzie funkcja, która przypisuje obywatelowi liczbę jego włosów. Ponieważ |X| > |Y |, wiec f nie może być różnowartościowa — a wiec przynajmniej jedna wartość jest przypisana co najmniej dwóm argumentom. Wracając do zwykłego języka: przynajmniej dwie osoby maja taka sama liczbę włosów na głowie. 23 Literatura i inne źródła informacji 1.Lev Kurlyandchik, Złote rybki w oceanie matematyki 2.Henryk Pawłowski, Kółko matematyczne dla olimpijczyków 3.The Pigeon Hole Principle http://www.mathpages.com/home/kmath389.htm 4.Matematyka Dyskretna dr Edyta Szymańska http://atos.wmid.amu.edu.pl/~edka/mad_sz/mat.html 5. Matematyka Dyskretna Uniwersytet Zielonogórski http://www.muzg.uz.zgora.pl/pliki/mde.pdf 6. http://aragorn.pb.bialystok.pl/~radev/logic/plewako/glosar.htm#reguly 7. http://www.wsip.com.pl/serwisy/czasmat/mat599/mat5991.htm 8. http://www.wom.opole.pl/dla_nauczycieli/awans.doc 9. Tadeusz Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk 10. http://www.katedra.uksw.edu.pl/posiedzenia/pos21.htm 11.http://WWW.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node67.html 24 II MODUŁ PROJEKTOWY „Zastosowania liczby e” 1) Wprowadzenie do modułu: Niewątpliwie jedną z najciekawszych liczb w matematyce jest liczba e. Zwana także liczbą Napiera. Została wymyślona przez szkockiego matematyka i astronoma Johna Napiera (Nepera) w XVI wieku ,który zastosował ją do logarytmów, układając tablice logarytmiczne na potrzeby astronomii. Oznaczenie liczby literą e wprowadził w 1736 roku Euler, porządkując stałe w matematyce. Liczbę e definiujemy jako granicę ciągu . W 1873 roku Charles Hermite wykazał przestępność liczby e. Liczba ta jest ponadto niewymierna i niealgebraiczna. Jej wartość z dokładnością do 10 miejsc po przecinku wynosi e=2,7182818284… . Można jej wartość obliczyć z dowolną dokładnością, gdyż daje się ona łatwo rozwinąć w szereg odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych: e= korzystając z rozwinięcia funkcji wykładniczej ex w szereg Maclaurina. W informatyce stosujemy zapis ex = exp (x). Zastosowanie tej liczby jest wielkie, nie tylko jako podstawa logarytmu naturalnego, bo dzięki technice komputerowej powoli logarytmy odchodzą w niepamięć. Liczbę e spotykamy w bankowości, w przyrodzie, w społeczeństwie, gdzie przy jej pomocy określamy rozwój rośliny czy rozwój danej populacji. Stosuje się ją również w analizie zespolonej, do przedstawienia liczby zespolonej w postaci wykładniczej jak również w elektronice do określenia natężenia prądu zmiennego. 25 2) Cele operacyjne modułu uwzględnione we wszystkich projektach modułu Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Ciągi i szeregi liczbowe. Pojęcie ciągu, ciągów. Uczeń potrafi: sposoby Ciągi geometryczne. definiowania -opisać ciąg różnymi sposobami arytmetyczne Sumy i skończonej początkowej liczby wyrazów ciągu. Ciągi -zbadać czy ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny monotoniczne i ograniczone. Zbieżność -obliczyć ciągów. Granica ciągu w punkcie nieskończoności. Granice i jego geometryczne. zbieżności. Suma n wyrazów ciągu w arytmetycznego i geometrycznego ciągów wymiernych. Własności granic. Pojęcie szeregu sumę -wyznaczać granicę ciągu Szeregi -zastosować liczbę e do obliczania odsetek przy nieskończonego lokatach bankowych szeregu geometrycznego. - narysować wykres funkcji exponens (czyli ) i odczytać własności na podst. wykresu 2.Funkcje odwrotne i odwracalne. 3.Funkcje wykładnicze. -podać przybliżenie liczby 4.Funkcje logarytmiczne. -zastosować arkusz kalkulacyjny do podania 5.Wykresy funkcji wykładniczej i przybliżenia liczby , korzystając ze wzoru logarytmicznej. 6.Skala wykładnicza i logarytmiczna. - odnaleźć wzór 7.Funkje trygonometryczne. 8.Funkcje hiperboliczne. oraz zapisać go za pomocą -wyjaśnić pojęcie logarytmu naturalnego i jego 26 związku z liczbą -narysować wykres logarytmu naturalnego -zastosować skalę wykładniczą i logarytmiczną -odnaleźć różne zastosowania liczby -wyjaśnić które funkcje posiadają funkcje odwrotne -wskazać funkcje odwracalne -rysować wykresy danych funkcji i funkcji do nich odwrotnych -zauważyć związek funkcji hiperbolicznych i liczby -narysować wykresy funkcji hiperbolicznych -korzystać z wykresów funkcji do opisywania zagadnień matematycznych związanych z matematycznymi innymi – i zjawisk dziedzinami znaleźć nie zastosowania liczby w różnych dziedzinach -zauważyć skąd się wzięła liczba -odnaleźć w jakich funkcjach algebraicznych występuje liczba 27 3) PROJEKT 1: Skąd się wzięła liczba e? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jakie jest pochodzenie liczby e? - co łączy matematyków: Leonharda Eulera i Daniela Bernoulli‘ego? - co ma wspólnego liczba e z ciągami? - co ma wspólnego liczba e z szeregami? - co to znaczy ciąg zbieżny, a co to znaczy szereg zbieżny? - w jaki sposób obliczyć przybliżoną wartość liczby e? - czy istnieje związek między liczbami e oraz π? - czy można skonstruować odcinek długości e? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego znajdź przybliżenie liczby e n 1 2,00000000000000000000 28 - utwórz arkusz podobny do poniższego i 11 2,60419901189753000000 21 2,65626321392611000000 31 2,67569630591468000000 41 2,68585634753775000000 51 2,69210220891500000000 61 2,69633049628226000000 71 2,69938286996830000000 81 2,70168999138346000000 91 2,70349510285585000000 101 2,70494597748515000000 111 2,70613757203900000000 121 2,70713368818801000000 itd. e = 2,7182818284904.... Zadanie 2. Uzupełnij zdanie: Oznaczenie liczby e wprowadził w 1736r. szwajcarski matematyk …………………….……… , a jej przybliżoną wartość obliczył w 1728r. szwajcarski matematyk ………………………………….. . Zadanie 3. Poniżej przeprowadzono dowód twierdzenia. Na podstawie przedstawionego dowodu : 29 Wyjaśnij pojęcia: ciąg rosnący, ciąg ograniczony, ciąg zbieżny, szereg geometryczny Podaj pojęcie silnii i jego związku z liczbą e Wyjaśnij kolejne kroki przedstawionego dowodu Znajdź inny dowód na zbieżność ciągu Tw. Ciąg ( en ) o wyrazie ogólnym jest zbieżny. Dowód. 1. Dla dowolnego n N+ : en+1 – en = czyli ciąg jest rosnący. 2. Dla dowolnego n N+ zachodzi: czyli , . en = Prawa strona tej nierówności jest sumą liczby 1 i n-tej sumy częściowej ciągu geometrycznego, w którym a1 = 1 i q = , więc: 30 en . Korzystając z tego i z tego, że: e1 = i (en ) jest rosnący mamy: dla dowolnego n N+ zachodzi: 2 en <3, czyli ciąg ( en ) jest ograniczony. Ciąg ( en ) jest ograniczony i rosnący, więc jest zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy literą e . Zadanie 4. Znajdź dowód twierdzenia przedstawionego poniżej: Prawdziwe jest również twierdzenie: 4) PROJEKT 2: W jakich funkcjach algebraicznych występuje liczba e? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jaką funkcję nazywamy wykładniczą a jaką logarytmiczną? - jaka jest różnica między funkcją odwrotną a odwracalną? - czy do każdej funkcji istnieje funkcja odwrotna? - jakie są sposoby wyznaczania funkcji odwrotnej do danej? 31 - jakie są wykresy funkcji y = ex oraz y = ln x? - czy istnieje związek między funkcjami wykładniczymi i potęgowymi? - funkcje hiperboliczne to funkcje algebraiczne czy trygonometryczne? - w jaki sposób obliczamy pochodną funkcji wykładniczych i logarytmicznych? - co to są funkcje polowe, jaki jest ich związek z funkcjami hiperbolicznymi? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Wyznacz wzory i wykresy funkcji odwrotnych do funkcji: f(x)=x2 – 7x + 6 g(x)= 0,5exp(2x – 1) h(x)= 2sin(0,5x – π/2) – 1 k(x)= x3 – x Zadanie 2. Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji logarytmicznych. Który z nich to wykres y= ln(x) ? Czy taki rysunek jest wystarczający do określenia wzorów funkcji ,które są na nim przedstawione? 32 Zadanie 3. Narysuj wykresy funkcji hiperbolicznych. Funkcjami hiperbolicznymi nazywamy cztery funkcje: cosinus hiperboliczny, sinus hiperboliczny, tangens hiperboliczny i cotangens hiperboliczny, które są zdefiniowane poniżej. Jak widać, w definicjach tych występuje funkcja exponens (czyli 33 ). Zadanie 4. Odszukaj związek między rozwinięciem dwumianu Newtona: , a liczbą e. Zadanie 5. Znajdź zależność funkcji trygonometrycznych z funkcjami wykładniczymi. 5)PROJEKT 3: Jakie są zastosowania liczby e w różnych dziedzinach? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania do tematu projektu: - w jaki sposób budujemy tablice logarytmiczne? - do czego służą tablice logarytmiczne? - co to jest skala wykładnicza a jaka jest logarytmiczna? - jakie jest zastosowanie skali logarytmicznej ? - czy trzęsienie Ziemi można przewidzieć? 34 - co to jest procent składany? - co mają wspólnego odsetki od oszczędności z liczbą e? - jakie jest zastosowanie liczby e w zbiorze liczb zespolonych? - jaki związek mają funkcje trygonometryczne z funkcją wykładniczą y= ex? - jakie jest zastosowanie funkcji wykładniczej w elektronice? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Zbuduj tablice logarytmów naturalnych dla argumentów z przedziału [1;10] z krokiem 0,1. W jaki sposób można to zrobić? Zadanie 2. Skonstruuj skalę logarytmiczną. Znajdź przykłady stosowania tej skali. Zadanie 3. Stosując logarytmy oblicz wartość wyrażenia x : x = [ (3547634x )/( 9872419x )] x sin758⁰17‘ Spróbuj obliczyć x przy pomocy kalkulatora. 35 Zadanie 4. Pewien bank daje za roczny depozyt 100% zysku. Odsetki mogą być doliczane do kwoty w różny sposób: a)Na przykład odsetki mogą być doliczone na koniec roku. Wówczas inwestując 1 zł, na koniec roku będziemy mieć 2 zł. b)Jeśli odsetki doliczane są co pół roku (są dwa okresy kapitalizacji), to na koniec roku będziemy mieć ( 1+ )2 = 2,25 [zł]. c)Jeśli kapitalizacja odbywałaby się co kwartał, wówczas na koniec roku mielibyśmy ( 1+ )4 = 2,44 [zł]. d)Jeśli kapitalizacja odbywałaby się co miesiąc, mielibyśmy ( 1+ codziennie : ( 1+ )12 = 2,62 [zł], a jeśli )365 = 2,71 [zł]. e)Gdyby zaś kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły ( czyli liczba okresów kapitalizacji dążyłaby do nieskończoności ), wówczas na koniec roku mielibyśmy [zł] Na podstawie wyżej podanego przykładu znajdź bank w Nowym Sączu, w którym jest najkorzystniej ulokować nasze oszczędności. 36 Zadanie 5. W którym z banków w Nowym Sączu wziąłbyś kredyt? Zadanie 6. Na podstawie danych w Internecie znajdź bank w Polsce, w którym podają najkorzystniejsze warunki oszczędzania i kredytowania. Zadanie 7. Znajdź zastosowanie liczby e w mechanice – do czego służy wzór: ? Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_wykladnicze 37 http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje _logarytmiczne 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa ,1976, 6. Liczba_e\Liczba e.mht 7.Miś B. Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki, WNT, W-wa, 1989, 38 III MODUŁ PROJEKTOWY „Układy równań i nierówności – czy jest to dział algebry, a może geometrii czy trygonometrii ”? 1)Wprowadzenie do modułu: Układy równań i nierówności to podstawowe narzędzie matematyka i nie tylko matematyka do rozwiązywania wszelkich problemów począwszy od zadań tekstowych poprzez geometrię, trygonometrię, rachunek prawdopodobieństwa, analizę matematyczną aż do analizy zespolonej. Układy równań liniowych można rozwiązywać na różne sposoby: algebraiczne i geometryczne, stosując wyznaczniki i układy współrzędnych oraz wektory. Ciekawa jest interpretacja układów równań przy pomocy wektorów , jak również zapis macierzowy. Temu zagadnieniu poświęcony jest wielki dział algebry wyższej. W tym module zajmiemy się jedynie najciekawszymi metodami rozwiązywania układów równań, oraz ich zastosowaniami. Układy równań służą również do zapisu krzywych w postaci parametrycznej a układy nierówności do opisywania figur płaskich, lub przestrzennych. Ponieważ dział ten jest bardzo obszerny, prowadzący musi uważać , wybierając tylko niektóre zastosowania, by uczniowie byli w stanie ogarnąć istotę układów równań, układów nierówności a nie zajęli się samymi macierzami, czy obliczaniem powierzchni i objętości przy pomocy całek , bo na to mają jeszcze czas. 39 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Równania liniowe, wykładnicze, Cele operacyjne modułu kwadratowe, Uczeń potrafi: logarytmiczne i trygonometryczne. Geometryczna wykładnicze, interpretacja logarytmicznych i trygonometrycznych. liniowe, wykładnicze, kwadratowych, wykładniczych, kwadratowe, logarytmicznych i trygonometrycznych logarytmiczne i -rozwiązać nierówności liniowe, kwadratowe, wykładnicze, interpretacja logarytmiczne i nierówności trygonometryczne liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych. -podać geometryczną interpretację liniowych, kwadratowych, nierówności 3.Układy równań liniowych, kwadratowych, wykładniczych, wykładniczych, i -podać geometryczną interpretację równań liniowych, trygonometryczne. Geometryczna logarytmiczne równań trygonometryczne liniowych, kwadratowych, wykładniczych, 2.Nierówności -rozwiązać równania liniowe, kwadratowe, logarytmicznych trygonometrycznych. logarytmicznych i i trygonometrycznych -rozwiązać układy równań Geometryczna interpretacja układów równań kwadratowych, liniowych, wykładniczych, liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych logarytmicznych i trygonometrycznych. 4.Geometria przestrzenna. płaska, analityczna -podać geometryczną interpretację układów i równań liniowych, wykładniczych, kwadratowych, logarytmicznych i trygonometrycznych. -rozwiązać układ równań i nierówności liniowych, kwadratowych, logarytmicznych 40 i wykładniczych, trygonometrycznych różnymi sposobami -odnaleźć w jakich działach matematyki spotykamy układy równań i nierówności -opisać językiem matematycznym za pomocą równań i nierówności zależności z różnych dziedzin poza matematycznych – zastosowania układów równań i nierówności w fizyce, chemii itp. -opisać figury geometrii płaskiej i przestrzennej za pomocą układów równań bądź nierówności 3) PROJEKT 1: W jakich działach matematyki spotykamy układy równań i nierówności? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jaka jest różnica między wykresami funkcji jednej zmiennej a wykresami równań dwóch zmiennych? - jakie są wykresy funkcji występujących w szkole ponadgimnazjalnej? - jakie znasz sposoby rozwiązywania układów równań stopnia 1 z dwoma i z trzema niewiadomymi? - jaka jest różnica rozwiązywania układów nierówności od układów równań stopnia 1 z dwoma niewiadomymi? - czy możliwe jest graficzne rozwiązanie układu nierówności stopnia 1 z trzema niewiadomymi? 41 - co to jest równanie i nierówność przestępna? - jak rozwiązuje się układy równań i nierówności wykładniczych i logarytmicznych? - jak rozwiązać układy równań trygonometrycznych? - co to jest dziedzina układu równań i nierówności? b)przykładowe zadania: Zapoznaj się z poniższym tekstem matematycznym i na jego podstawie rozwiąż zad.1 i zad.2 : Układem równań nazywamy koniunkcję takich równań i oznaczamy : ax by c, gdzie a 2 b2 0 2 2 dx ey f , gdzie d e 0 DEFINICJA: Rozwiązaniem układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Rozwiązać układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi, to znaczy wyznaczyć wszystkie jego rozwiązania, albo stwierdzić, że zbiór rozwiązań jest pusty. Zauważmy, że układ równań liniowych określony jest jednoznacznie przez podanie jego współczynników. A zatem układ równań : ax by c dx ey f umiemy opisać w ten sposób, że podajemy jego współczynniki zapisane w prostokątnej a b tablicy (zwanej macierzą): d e c . f W praktyce okazuje się, że łatwiej posługiwać się macierzami kwadratowymi. W naszym przypadku będą one wyglądać następująco: 42 a b d e , c f b , e a d c . f Każdej macierzy kwadratowej przypisuje się pewną liczbę, która nazywa się wyznacznikiem. a b DEFINICJA: Wyznacznikiem macierzy nazywamy liczbę ae – db, d e którą oznaczamy a b a b . Mamy więc ae db. d e d e Wróćmy do naszego układu równań : ax by c dx ey f i wprowadźmy następujące oznaczenia : WYZNACZNIK GŁÓWNY (charakterystyczny) UKŁADU W a b d e WYZNACZNIK ZE WZGLĘDU NA ZMIENNĄ x Wx c f b e WYZNACZNIK ZE WZGLĘDU NA ZMIENNĄ y Wy a d c f Jeśli znamy te trzy wyznaczniki, to możemy określić zbiór rozwiązań układu ax by c . dx ey f TWIERDZENIE: Mówi o tym następujące twierdzenie : Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ax by c, gdzie a 2 b2 0 2 2 dx ey f , gdzie d e 0 43 1. ma tylko jedno rozwiązanie Wx x W , Wy y W 2. ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli W 0. jeśli W = Wx = Wy=0 3. nie ma rozwiązań, jeśli W = 0 i przynajmniej jeden z wyznaczników Wx , Wy jest różny od zera, co można zapisać następująco : W = 0 ( Wx 0 Wy 0 ). Metoda wyznacznikowa jest bardzo wygodna przy rozwiązywaniu układów równań z parametrem. Zadanie 1. Rozwiąż układ równań liniowych z niewiadomymi x, y x 3y 1 5 x 2 y 2 Zadanie 2. Rozwiąż układ równań liniowych z niewiadomymi x, y i przeprowadź dyskusję mx y 2 liczby rozwiązań układu ze względu na parametr m, jeśli : . x my m Zadanie 3. Rozwiąż układ równań zapisany przy użyciu macierzy x = 44 Zadanie 4. Sporządź schemat blokowy algorytmu rozwiązywania układów równań. Schemat blokowy algorytmu START W=0 Nie Układ oznaczony Tak Wx = 0 i Wy = 0 Nie Układ równao sprzecznych Tak Układ nieoznaczony STOP 45 Zadanie 5. Twierdzenie. Jeżeli liczby p, q, r spełniają układ równań : to p, q, r są pierwiastkami równania x3 – ax2 + bx – c = 0 Korzystając z powyższego twierdzenia , rozwiąż układ równań: 4) PROJEKT 2: Jakie są zastosowania układów równań i nierówności w różnych dziedzinach? (np. w fizyce, chemii) Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - w jaki sposób zapisać punkty kratowe układu współrzędnych w postaci układu równań? - jaki związek mają układy równań z macierzami? - jaki jest związek wektorów z układami równań? - co to jest metoda Kramera rozwiązywania układów równań? - w jaki sposób krzywe np. okrąg , parabola można przedstawić w postaci układu parametrycznego? - w jakich działach fizyki znajdziemy zastosowanie układów równań? - czy w biologii, chemii i geografii można spotkać układy równań? 46 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Punkt kratowy to taki punkt na płaszczyźnie kartezjańskiej, którego obie współrzędne są całkowite. Wyznacz wszystkie punkty kratowe, które są rozwiązaniem układu nierówności: Zadanie 2. Wyprowadź równanie okręgu a następnie przedstaw go w postaci układu parametrycznego. Zadanie 3. Jaką figurę na płaszczyźnie przedstawia układ równań: Gdzie t jest parametrem rzeczywistym? Zadanie 4. Przy pomocy Internetu wyszukaj zastosowania układów równań w dziedzinach niematematycznych. 47 Zadanie 5. Przeanalizuj rzut ukośny korzystając z układu równań: gdzie x i y oznaczają drogę w kierunku poziomym i pionowym , natomiast oraz prędkość w kierunku poziomym i pionowym. 48 5)PROJEKT 3: W jaki sposób opisać figury geometrii płaskiej i przestrzennej układami równań, bądź nierówności? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jaki jest związek układów nierówności z płaskimi figurami geometrycznymi? - co jest wykresem równania z 3 niewiadomymi? - czy kulę można opisać układem nierówności a może równaniem? - jaki jest związek brył z układami nierówności? - co to jest łuk krzywej i jak go można opisać układem równań? - w jaki sposób w postaci układu równań opisać powierzchnie w przestrzeni np. sferę? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Opisz układami nierówności podstawowe figury geometrii płaskiej: koło, trójkąt równoboczny, kwadrat, romb, wielokąt foremny. Zadanie 2. Wyprowadź równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 różne punkty A( , , ),B , , ),C , , ). Wyznacz w postaci układu nierówności ostrosłup prawidłowy czworokątny , którego wszystkie krawędzie mają długość 6. Zadanie 3. 49 Czy łuk okręgu , elipsy , paraboli itp. można opisać równaniem a może układem równań? Przedstaw na wybranych przykładach. Zadanie 4. W jaki sposób przedstawić fragmenty brył np. odcinek kuli, czy wycinek kuli w postaci układu nierówności? Zadanie 5. Co jest wykresem zbioru : {(x, y, z); x, y, z Є R; x2 + y2 ≤ r2 i ׀z} ≤ ׀. Spróbuj w podobny sposób określić inne bryły obrotowe. 50 Literatura i inne źródła informacji 1. Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W - wa, 1994. 2. Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W - wa ,1976. 3. A.Pardała, Wyobraźnia przestrzenna uczniów w warunkach nauczania szkolnej matematyki. Teoria problemy, propozycje, "Fosze", Rzeszów 1995. 4. G. Polya, Jak to rozwiązać?, PWN, Warszawa 1993. 5. G. Polya, Odkrycie matematyczne, WN-T, Warszawa 1975. 6. Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. 7. Andrzej Herdegen: Wykłady z algebry liniowej i geometrii. Kraków: Discepto, 2005. 51 IV MODUŁ PROJEKTOWY „Z miasta A do miasta B. Czy mechanika jest częścią fizyki czy matematyki?” 1)wprowadzenie do modułu: Mechanika klasyczna a zwłaszcza kinematyka w wielu krajach świata jest działem matematyki a nie fizyki. Dlatego zadania związane zwłaszcza z ruchem, przeniknęły również i u nas do matematyki. Wielu uczniom spędzają sen z powiek zadania zaczynające się od słów „ z miasta A do miasta B‖. Problem zaczyna się gdy mamy wytłumaczyć pojęcia prędkości chwilowej, czy przyspieszenia chwilowego bez użycia pochodnej . Albo jak wyprowadzić równanie drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez pomocy całki. Jak wygląda droga w ruchu jednostajnym po okręgu? Wszystkie te wzory oparte na równaniach zmiennej t, można wyprowadzić w prosty logiczny sposób, oczywiście pod warunkiem, że poznamy podstawy rachunku różniczkowego i całkowego. Zadania te wielokrotnie prowadzą do układów równań, z których rozwiązaniem już nie powinno być problemu. Takie pojęcia jak styczna do wykresu funkcji ,czy pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji zmiennej t, to przecież nie tylko pojęcia matematyczne, ale również pojęcia kinematyki jak prędkość, przyspieszenie, droga. Natomiast ruch po okręgu ma olbrzymie zastosowanie w astronomii. Przecież nie potrafimy określić prędkości liniowej poruszającej się gwiazdy, stąd prędkość kątowa. Stajemy się mądrzejsi, gdy rozumiemy otaczający nas Świat a zrozumieć stosując prawa fizyki i matematyki. 52 potrafimy wiele 2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Rodzaje ruchów. Pojęcie drogi, prędkości i Uczeń potrafi: przyspieszenia w ruchu jednostajnym i niejednostajnym. Związek między drogą, -podać rodzaje ruchów -wyznaczać i stosować prędkością i przyspieszeniem. wzory dotyczące drogi, prędkości i przyspieszenia w ruchu 2.Prędkość średnia i chwilowa. jednostajnym i niejednostajnym 3.Przyspieszenie średnie i chwilowe. 4.Równanie ruchu. wykresy -rysować drogi, prędkości i przyspieszenia 5.Iloraz różnicowy funkcji. Interpretacja -podać fizyczna ilorazu różnicowego. interpretację wykresów drogi, prędkości i przyspieszenia 6.Pochodna funkcji. Interpretacja fizyczna -rozróżniać prędkość chwilową od prędkości średniej pochodnej. 7.Druga pochodna funkcji. Interpretacja -rozróżniać przyspieszenie fizyczna drugiej pochodnej. przyspieszenia średniego 8.Całka funkcji. Interpretacja fizyczna całki. -stosować 9.Rachunek różniczkowy i całkowy do interpretację chwilowe fizyczną od ilorazu różnicowego jako prędkość średnią wyznaczania wielkości fizycznych. - obliczyć średnią harmoniczną 10.Ruch jednostajny i niejednostajny. -opisać zapis matematyczny i fizyczny -stosować interpretację fizyczną pochodnej jako prędkość chwilową -opisać językiem matematyki zagadnienia z fizyki i mechaniki -odnaleźć 53 definicję przyspieszenia jako pochodną prędkości po czasie (jest to miara zmienności prędkości), przyspieszenie jest wielkością równą wartości pochodnej prędkości względem czasu w danej chwili -znaleźć wzór i podać jego interpretację -odnaleźć zastosowanie pochodnej i całki w mechanice równanie -wyprowadzić drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym, a może jeszcze w innym ruchu -stosować metody informatyczne i wykorzystać Internet do pozyskiwania i rozwiązywania problemów fizycznych 54 3)PROJEKT 1:Jakie mogą być zastosowania funkcji zmiennej t w mechanice ,a może jeszcze w innych działaniach fizyki? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jakie wielkości fizyczne są przedstawione w postaci funkcji liniowej a jakie w postaci funkcji kwadratowej zmiennej t? - jaka jest różnica między prędkością średnią, chwilową, kątową? - czy ta sama funkcja zmiennej t np. kwadratowa może przedstawiać różne pojęcia kinematyki drogę, prędkość, przyspieszenie? - jaki jest geometryczny związek wykresu funkcji v(t )= at + v0 w przedziale [t0;t1] z drogą w tym ruchu? - w jakim ruchu prędkość jest funkcją kwadratową zmiennej t? - jaka jest zależność energii kinetycznej od prędkości w danym ruchu? - jakie jest zastosowanie średniej harmonicznej z prędkością średnią? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Pociąg i balon wyruszają jednocześnie z tego samego punktu. Pociąg porusza się po linii prostej z prędkością 50 km/h, balon wznosi się pionowo do góry z prędkością 10 km/h. Z jaką prędkością oddalają się od siebie? 55 Zadanie 2. Ciało o masie 2 kg porusza się ruchem prostoliniowym określonym funkcją st 1 2 t t 1 gdzie s to droga w metrach, a t czas w sekundach. W której sekundzie 2 ruchu energia kinetyczna ciała będzie wynosiła 4 J? Energia kinetyczna –energia, którą posiada każde poruszające się ciało. Wartość tej energii zależy od masy ciała i jego prędkości. Zadanie 3. Punkt M oddala się od nieruchomego punktu A po linii prostej tak, że odległość AM rośnie proporcjonalnie do kwadratu czasu. Po upływie 2 minut od chwili rozpoczęcia ruchu odległość AM wynosiła 12 m. Oblicz prędkość w 3 minucie ruchu. Zadanie 4. Ruch punktu opisują równania parametryczne x ct , y a bt , przy czym a, b, 2 c są stałe. a) Obliczyć składowe prędkości i przyspieszenia. b) Wyznaczyć tor ruchu punktu przyjmując a 0 , b 1 g , c v0 . 2 Zadanie 5. Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi. 56 Zadanie 6. Odległość miedzy miejscowościami A i B wynosi 19 km. Z A do B wyjechał kolarz z pewną stałą prędkością.. W 15 minut po nim, w tym samym kierunku, wyjechał samochód i po 10 minutach jazdy dogonił kolarza. Samochód nie zatrzymując się, pojechał dalej do B i zaraz zawrócił. W drodze powrotnej, po upływie 50 minut od wyjazdu z A, spotkał ponownie kolarza. Wyznacz prędkość kolarza i samochodu. Zadanie 7. Pewien kierowca podzielił trasę, którą miał przejechać na trzy odcinki. Trzeci odcinek był dwa razy dłuższy od każdego z poprzednich. Pierwszy przejechał z prędkością 80 km/h, drugi z prędkością 60 km/h , a trzeci – 90 km/h. Oblicz średnią prędkość z jaką kierowca pokonał trasę. Wynik podaj z dokładnością 0,01 km/h. Wskazówka: Możesz zastosować wzór na średnią harmoniczną czterech liczb. Zastanów się dlaczego to jest możliwe? Zadanie 8. Łyżwiarz 1/3 trasy jedzie z prędkością 12 km/h, połowę pozostałej trasy z prędkością 10 km/h, a resztę, aż do mety, z prędkością 6 km/h. Jaka jest jego średnia prędkość na tej trasie? Zadanie 9. Z miejscowości A do B jednocześnie wyjechały dwie ciężarówki. Pierwsza połowę czasu przeznaczonego na przebycie drogi jechała z prędkością 50 km/h, a drugą połowę czasu – z prędkością 40 km/h. Natomiast druga ciężarówka połowę drogi jechała z prędkością 40 km/h, a pozostałą część – z prędkością 50 km/h. Rozstrzygnij, która z ciężarówek była pierwsza w miejscowości B. 57 4)PROJEKT 2: Jakie jest zastosowanie pochodnej i całki w mechanice? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jakie są definicje pochodnej funkcji w punkcie? - jakie są interpretacje pochodnej funkcji w punkcie? -jaka jest różnica między pochodną funkcji a pochodną funkcji w punkcie? - jaka jest definicja funkcji pierwotnej czyli całki nieoznaczonej? - jaka jest interpretacja całki nieoznaczonej? - co to jest całka oznaczona i jakie są jej zastosowania? -jakie są zastosowania fizyczne pochodnej? - jakie są zastosowania fizyczne całki? b)przykładowe zadania: 1. Podstawowe pojęcia z zakresu rachunku różniczkowego. 58 DEF 1. Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, określoną w pewnym otoczeniu punktu x0, i jeśli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego f ( x) f ( x0 ) , przy x x0 , to f nazywa się funkcją różniczkowalną w punkcie x0, a x x0 wartość tej granicy nazywa się pochodną funkcji w punkcie x0 i oznacza symbolem f ( x0 ) : f ( x0 ) lim x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 h ) f ( x0 ) ; lim h0 x x0 h x0 – punkt różniczkowalności funkcji f. DEF 2. Otoczeniem punktu x0 nazywamy każdy przedział otwarty, do którego należy punkt x0. DEF 3. Jeśli dziedziną X funkcji f jest przedział otwarty (lub ogólniej: suma pewnej liczby przedziałów otwartych) i jeśli f ma pochodną w wszystkich punktach, to f nazywa się funkcją różniczkowalną w zbiorze X, a funkcja X x f (x) nazywa się funkcją pochodną (lub krócej: pochodną) funkcji f w tym zbiorze. Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, a w zbiorze jest funkcją, oznaczoną symbolem f ; inne oznaczenie: df . dx Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie. 59 Rys. 1. A0=(x0, f(x0)) A1=(x0+h1, f(x0+h1)) A3=(x0+h3, f(x0+h3)) f ( x0 h1 ) f ( x0 ) tg 1 a1 h1 Tym samym: f ( x0 h2 ) f ( x0 ) tg 2 a 2 h2 A2=(x0+h2, f(x0+h2)) f ( x0 ) a tg f ( x0 h3 ) f ( x0 ) tg 3 a3 h3 Pochodna funkcji w punkcie x0 równa się współczynnikowi kierunkowemu a prostej stycznej do wykresu w punkcie Ao=(x0, f(x0)). Tym samym równanie stycznej do krzywej w punkcie A0 ma postać: y f x0 f x0 x x0 DEF 4. Jeżeli funkcja f : X R jest różniczkowalna w zbiorze X oraz jej pochodna f : X R jest również różniczkowalna w zbiorze X, to mówimy, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze X. Funkcję f f nazywamy drugą pochodną funkcji. 10 Y f(x) f`(x) f``(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 Created with an unregistered version of Advanced Grapher - http:/ / www.serpik.com/ agrapher/ Rys. 2 60 Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji f ( x) x 3 4 x 1 , jej pierwszej (f`) i drugiej (f``) pochodnej. 2. Różne interpretacje pochodnej Interpretacja geometryczna. Równanie stycznej Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną f ‘(x0), to do wykresu tej funkcji istnieje w punkcie (x0, f(x0)) styczna o równaniu y-f(x0)=f ’(x0)(x- x0). Styczna ta jest granicą siecznych przechodzących przez punkty A(x0, f(x0)) oraz B(x0+h, f(x0+h)) przy h zmierzającym do 0. Fakt ten ilustruje poniższy rysunek. y f sieczna B f(x0+h) A f(x0) styczna α C α x0 x0+h x Rys. 3 Długość odcinka BC jest równa przyrostowi wartości funkcji f odpowiadającego przyrostowi argumentu o h (długość odcinka AC). Iloraz różnicowy funkcji jest więc stosunkiem długości odcinków BC do AC. Jest on zatem równy tangensowi kąta α nachylenia siecznej AB do osi OX, co oznacza, że w sensie geometrycznym jest on równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej AB. 61 Jeżeli przyrost argumentu h maleje do zera, to punkt B zbliża się do punktu A. Przy przejściu do granicy (czyli do pochodnej) punkt ten pokryje się z punktem A, a sieczna stanie się już styczną (im mniejszy przyrost argumentu h, tym bardziej sieczne zbliżają się do stycznej). Zatem pochodną w punkcie x0 możemy interpretować geometrycznie jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o współrzędnych (x0, f(x0)). Interpretacją kinematyczną (fizyczną) pochodnej jest prędkość chwilowa w ruchu prostoliniowym. Przypuśćmy, że ciało porusza się po linii prostej, przebywając pewną drogę od punktu początkowego O. Prędkość średnia tego ciała w odstępie czasu t wyliczmy z dobrze znanego nam wzoru Vśr s s(t 0 t ) s(t 0 ) t t Ale jeśli byśmy chcieli znać dokładną wartość prędkości ciała w momencie t0 musielibyśmy liczyć ją, gdy przyrost czasu t jest znikomy, tzn. gdy t 0 , czyli V (t 0 ) lim t 0 s(t 0 t ) s(t 0 ) t Oznacza to, że prędkość ciała w dowolnym momencie jest pochodną funkcji s(t), której wartość określa drogę przebytą w czasie t (zob. definicja pochodnej funkcji) 3. Zapis pochodnej w kinematyce, prędkość i przyspieszenie Mimo iż pojęcie pochodnej w matematyce i w fizyce niczym się nie różni, to forma zapisu w nauce zajmującej się własnościami i prawami materii nieco odbiega od tej, jaką stosujemy na matematyce w szkole średniej. Dla pokazania różnicy można przytoczyć prosty przykład ukazujący pochodną iloczynu stałej i funkcji: zapis od strony matematycznej (szkoła średnia): (cf ) cf 62 zapis od strony fizycznej: d df (cf ) c dx dx Poniżej ukazane są fizyczne zapisy najczęściej stosowanych twierdzeń dotyczących obliczania pochodnych: a) b) c) d) e) f) dx 1 dx d ax a dx dx dx d u v du dv x dx dx d m x mx m 1 , m C \ 0 dx d 1 ln x , x 0 dx x d uv u dv v du dx dx dx u, v – funkcje różniczkowalne a – parametr Prędkość. Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu. Prędkość stała. Jeśli samochód porusza się ze stałą prędkością v, to odległość, jaką przebywa w czasie t jest równa x = vt. Jeśli w czasie to znajdował się w punkcie xo, to 63 x xo vt t o , czyli: v x xo , t t 0 (stała prędkość, gdzie v jest stałą) t to Ta zależność między x i t jest wykreślona na rysunku 3. Wielkość może być dodatnia albo ujemna, jej znak wskazuje kierunek ruchu. Jeśli v jest ujemne, to ruch odbywa się w stronę malejących x. x x0 t0 t Rys. 3 Wykres położenia samochodu w funkcji czasu dla samochodu poruszającego się ze stałą prędkością. Prędkość chwilowa. Jeżeli samochód przyspiesza lub zwalnia, to wskazania szybkościomierza nie zgadzają się z wynikiem, chyba, że użyjemy bardzo małych wartości x xo . Takie bardzo małe 64 wartości x xo będziemy oznaczać przez x , a bardzo małe odstępy czasu, w których samochód przebył drogę x , będziemy oznaczać jako t . DEF 1. Prędkość chwilowa jest granicą x t , gdy t dąży do zera, czyli xt t xt 0 x v lim lim 0 x`t 0 t t 0 t t 0 (Symbol „ ” oznacza „jest zdefiniowany jako”). co zapisujemy jako: v dx x`t 0 . dt Przyspieszenie. Wszyscy w jakościowy sposób rozumiemy, co to jest przyspieszenie. Możemy wywołać przyspieszenie samochodu naciskając pedał gazu. Im bardziej ten pedał wciskamy, tym jest większe przyspieszenie. Gdy trwa przyspieszenie prędkość rośnie. Naciśnięcie na pedał hamulca daje podobny efekt, tyle tylko, że teraz mamy przyspieszenie ujemne (zwane opóźnieniem). Przyspieszenie jest tempem zmian prędkości. Przyspieszenie jednostajne. Z definicji ciało porusza się z jednostajnym, czyli stałym przyspieszeniem, gdy jego prędkość rośnie jednostajnie z czasem. Przyspieszenie a jest stałe, gdy v vo at , czyli: 65 a v vo (stałe przyspieszenie), t gdzie v vo jest wzrostem prędkości w czasie t. Przyspieszenie chwilowe. Jeżeli przyspieszenie zmienia się z czasem, musimy wtedy zmierzyć zmianę prędkości w ciągu krótkiego odstępu czasu t . DEF 2. Przyspieszenie chwilowe jest granicą v t , gdy t dąży do zera, czyli v a lim , t 0 t co zapisujemy jako: a dv d 2 x 2 x (t ) dt dt 66 Zadanie 1. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=3x2-5 w punkcie A(1,-2). Ponieważ x0=1 i f(x0)=f(1)=-2. Aby skorzystać z podanego wzoru stycznej, brakuje nam tylko wartości f‘(1). W tym celu policzmy pochodną f‘(x)= 6x oraz f‘(1)= 6∙1=6. Na podstawie podanego wzoru stycznej otrzymujemy y-(-2)=6(x-1) czyli równane stycznej do funkcji w punkcie A(1,-2) ma postać y=6x-8. Zadanie 2. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = 4+3x2-x3. Wskazówka: Funkcja ta jako funkcja wielomianowa jest różniczkowalna. Oblicz jej pochodną i wykorzystaj tekst matematyczny podany powyżej punkt 4/4. Zadanie 3. Zbadaj ekstrema funkcji f(x)=2x3+3x2-36x+15 Wskazówka: Funkcja ta jako funkcja wielomianowa jest różniczkowalna. Oblicz jej pochodną i wykorzystaj tekst matematyczny podany powyżej punkt 4/5. Badamy teraz znak pochodnej. W tym celu narysujmy jej przybliżony wykres. y y = 6 (x2+x-6) -3 0 2 x 67 Widzimy więc, że w punkcie x=-3 funkcja ma maksimum (znak pochodnej zmienia się z + na - ) równe fmax(-3)=96, a punkcie x=2 funkcja ma minimum (znak pochodnej zmienia się z na + ) równe fmin(2)=-19. Zadanie 4. Zbadaj jaką najmniejszą i jaką największą wartość przyjmuje funkcja y = x33x2-9x+7 w przedziale [-2,1]. Zadanie 5. Zbadaj wypukłość i wyznacz punkty przegięcia wykresu funkcji f(x) = 2x3+3x24x+10. Wskazówka: Policz pochodne (pierwszą i drugą), wykorzystaj tekst matematyczny podany powyżej punkt 4/6 : f‘(x) = 6x2+6x-4 f‘‘(x) = 12x+6 = 6 (2x+1) i narysuj przybliżony wykres drugiej pochodnej -1/2 0 1 Zatem widać, że wykres funkcji f jest wypukły w przedziale (-1/2, +∞) (druga pochodna funkcji f jest dodatnia), natomiast w przedziale (-∞,-1/2) wklęsły (druga pochodna funkcji f jest ujemna). Ponieważ w punkcie x0=-1/2 druga pochodna zeruje się i zmienia w otoczeniu tego punkty znak, to punkt x0=-1/2 jest punktem przegięcia wykresy tej funkcji. 68 Zadanie 6. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f x x 2 w punkcie P2, 4 , Zadanie 7. Z prostokątnego kawałka blachy o szerokości 80 cm i długości 120 cm robi się opakowanie w ten sposób, że w rogach wycina się kwadraty, następnie zagina wystające brzegi i lutuje na krawędziach. Zbadać, jak wielkie należy wyciąć kwadraty, aby otrzymać opakowanie o możliwie największej pojemności. Zadanie 8. Jaki powinien być stosunek wymiarów puszki do konserw w kształcie walca, aby przy danej objętości zużyć na jej wyrób jak najmniej blachy ? Zadanie 9. Wartość produkcji zakładu kształtuje się według funkcji f x 50 x 2 x 1 zł za 2 x roboczogodzin. Znaleźć wydajność krańcową przy zatrudnieniu 5-ciu robotników. Zadanie 10. Prędkość w pewnym ruchu wyraża się wzorem v(t) = t2 + 2t + 3 . Wyznacz : a) przyspieszenie w chwili t0 = 4 b)drogę , jaką przebył punkt materialny w czasie od t0 = 4 do t1 = 10 69 5)PROJEKT 3: W jaki sposób można wyprowadzić równanie drogi w ruchu jednostajnie przyśpieszonym, a może w jeszcze innym ruchu? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jakie znasz rodzaje ruchów w fizyce? - w jaki sposób wyznaczamy prędkość w ruchu ? - jak wyprowadzamy wzór na przyspieszenie? - w jaki sposób opisujemy drogę w ruchu po okręgu? - jak się wyznacza prędkość a jak przyspieszenie w ruchu po okręgu? - w jaki sposób z funkcji zmiennej t określającej przyspieszenie wyprowadzamy równanie prędkości? - jak z równania prędkości wyprowadzić wzór na równanie drogi? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Wiedząc, że droga w pewnym ruchu wyraża się wzorem s(t) = -2t2 + 3t +4 wyprowadź wzór na prędkość i przyspieszenie w tym ruchu. Czy prędkość może być ujemna? Co oznacza ujemne przyspieszenie a co dodatnie? 70 Zadanie 2. Jaki ruch przedstawiają równania : Znajdź w podręczniku do fizyki te wzory i wyprowadź wzory na prędkość i przyspieszenie w tym ruchu. Zadanie 3. W ruchu niejednostajnie zmiennym po okręgu wyprowadź równanie drogi kątowej w zależności od prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego w zależności od drogi kątowej. Zadanie 4. W jaki sposób określać ruch krzywoliniowy przestrzenny np. po linii śrubowej? Jak wyznaczyć w takim ruchu drogę, prędkość i przyspieszenie? 71 Literatura i inne źródła informacji J. Orear, Fizyka, Wydawnictwo Naukowo techniczne, Warszawa 1990. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971. H. Pańkowska (red. nacz.), Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988. K. Cegiełka, J. Przyjemski, K. Szamański, Matematyka. Podręcznik dla klasy III liceum oraz klasy III technikum, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1994. A. Śnieżek, P. Tęcza, Zbiór zadań z matematyki dla szkół średnich. Część trzecia, Oddział Doskonalenia Nauczycieli w Rzeszowie, Rzeszów 1986. S. Ćwiok, M. Zwoliński, P. i M. Hensel, Zbiór zadań z fizyki dla trzeciej i czwartej klasy liceum ogólnokształcącego i technikum, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1998. D. Halliday, R. Resnick, Fizyka. Tom 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1974. J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami. Część I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987. Advanced Grapher, http://www.serpik.com/agrapher (wykresy). A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer, Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 1999. 72 V MODUŁ PROJEKTOWY „Krzywe stożkowe a może jeszcze inne krzywe – wykres funkcji czy równania” 1) Wprowadzenie do modułu: Krzywe jako wykresy równań algebraicznych mają bardzo szerokie zastosowanie, nie tylko w matematyce. Bo gdyby nie krzywe stożkowe, nie znalibyśmy pór roku, długości dnia, odległości Ziemi od Księżyca i wiele innych pojęć z astronomii. Skąd wiedzielibyśmy ,czy kometa Halley‘a będzie znowu widoczna z Ziemi gołym okiem i kiedy to nastąpi, gdyby nie to, że jej torem jest elipsa. Gdyby torem komety była parabola lub hiperbola, jej pobyt w pobliżu Ziemi byłby pojedynczym incydentem w historii ludzkości. Anteny satelitarne są zbudowane na bazie krzywych stożkowych. Powstają one przez obrót krzywej dookoła osi symetrii, stąd antena satelitarna eliptyczna, paraboliczna czy hiperboliczna. Wiedza o tym gdzie krzywa stożkowa ma ognisko, pozwala na odbiór fal, dzięki którym możemy oglądać TV. Krzywe służą również do projektowania karoserii samochodu i wielu innych przedmiotów codziennego użytku, a nowoczesne budowle są oparte na bryłach obrotowych , powstałych przez obrót figur ograniczonych krzywymi stożkowymi i innymi krzywymi. To tylko niektóre zastosowania, ale wystarczą do tego , by zainteresować się krzywymi, nie tylko stożkowymi a ich przepiękny wygląd , może być źródłem inspiracji twórczych. 73 2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Krzywe stopnia drugiego: okrąg, elipsa, Uczeń potrafi: parabola, hiperbola. -narysować krzywą stopnia drugiego: okrąg , 2.Funkcje elementarne i odwrotne do nich. elipsę, parabolę, hiperbolę 3.Krzywe wykładnicze i logarytmiczne. -opisać krzywą równaniem lub układem parametrycznym 4.Krzywe trygonometryczne. -rozróżniać wykres równania od wykresu 5.Krzywe kołowe (cyklometryczne). funkcji 6.Krzywe hiperboliczne. -odnaleźć zastosowania krzywych w krzywą wykładniczą i krzywą trygonometryczną, 7.Ognisko, kierownice i osie krzywych. astronomii i technice 8.Całka oznaczona. -narysować logarytmiczną 9.Długość łuku krzywej. 10.Pole krzywych. figury ograniczonej łukami -narysować cyklometryczną i hiperboliczną -podać ogniska, kierownice i osie krzywych -stosować pojęcie całki oznaczonej -obliczać długość łuku krzywej -obliczać pole figury ograniczonej łukami krzywej -podać wytłumaczenie pojęć astronomicznych na gruncie matematyki -korzystać z technologii informatycznych do rozwiązywania problemów -opisać językiem matematycznym krzywe oraz zjawiska w otaczającym nas Świecie – 74 zagadnienia z astronomii: dzień, noc, pory roku, rok przestępny -uzasadnić poprawność rozumowania używając fachowej terminologii -rejestrować, dokumentować i prezentować wyniki obserwacji, dotyczące obserwacji zjawisk w otaczającym nas Świecie 3) PROJEKT 1: Jak zmierzyć długość łuku krzywej? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe: - skąd się wzięła nazwa krzywe stożkowe? - w jaki sposób powstają krzywe stożkowe? - ile jest różnych typów krzywych stożkowych? - co to są krzywe stożkowe niewłaściwe? - czy prosta jest krzywą stożkową? - dlaczego krzywe stożkowe nazywane są też krzywymi stopnia 2? - w jaki sposób definiujemy krzywe stożkowe? - jaki jest związek elipsy z okręgiem? - jakie elementy posiadają krzywe stożkowe? 75 - czy definicja krzywej stożkowej pozwala zbudować przyrząd do jej konstrukcji? - jak zmierzyć długość krzywej stożkowej lub jej fragment? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Wyjaśnij pojęcia: mimośród, ognisko, kierownica Rys.2 Rys.3 Zadanie 2. Dopasuj podpisy do podanych krzywych stożkowych(rys.1 - 6): rys.1 rys.2 rys.3 76 rys.4 Elipsa, rys.5 rys.6 Okrąg: płaszczyzna do osi stożka, Punkt: płaszczyzna przechodząca wyłącznie przez wierzchołek stożka, Parabola: płaszczyzna do boku stożka, Para przecinających się prostych, Pojedyncza prosta: płaszczyzna styczna do stożka, Zadanie 3. Kierownica paraboli to ………………………., z których parabolę widad pod kątem prostym. Kierownice to linie prostopadłe do osi dużej elipsy i hiperboli w odległości ich środka. Używając terminów półosi dużej i mimośrodu ( od ), kiedy poruszamy się od środka elipsy (hiperboli) wzdłuż osi dużej, otrzymujemy co następuje: ognisko jako odległośd …………….. od środka elipsy (hiperboli) wierzchołek jako odległośd ………….. od środka elipsy (hiperboli) kierownicę jako odległośd (……………….) od środka elipsy (hiperboli). Zadanie 4. Załóżmy, że przecinająca płaszczyzna tworzy kąt ostry α z osią stożka i niech kąt ostry między ścianą stożka a jego osią wynosi β (zobacz rys.5). 77 rys.5 Wtedy mamy (wpisz warunek): a. b. c. d. okrąg, jeśli ……………….…. elipsę, jeśli ………………….. parabolę, jeśli …………………….. hiperbolę, jeśli …………………….. Zadanie 5. Równanie: przedstawia: a. okrąg, jeśli ………. (specjalne przypadki: wykresem jest punkt lub wykres nie istnieje) b. parabolę, jeśli równanie ………….. jest z jedną zmienną w drugiej potędze a z drugą w pierwszej c. elipsę, jeśli …….. i ……. są albo dodatnie, albo ujemne (specjalny przypadek: pojedynczy punkt lub wykres nie istnieje) d. hiperbolę, jeśli …….. i …… mają przeciwne znaki (specjalny przypadek: pojedynczy punkt albo wykres nie istnieje) e. prostą, jeśli ……. i …….. są równe zero oraz …… i ……… są różne od zera. 78 Zadanie 6. Nazwij krzywe stożkowe (rys.6): Krzywe stożkowe: A -………., B -………, C -……….., D -…………. . Zadanie 7. W oparciu o definicję skonstruuj przyrząd do rysowania elipsy. Zadanie 8. Oblicz długości łuków określonych niżej: a) prosta y = 4 dzieli okrąg x2 + y2 = 36 na dwa łuki ,jaka jest ich długość? b) jaka jest długość elipsy 9x2 + 16y2 = 144 ? c) jaka jest długość paraboli y = x2 w przedziale [0 ; 2] ? d) jaka jest długość hiperboli xy = 1 w przedziale [1 ; 10] ? 79 4)PROJEKT 2:Jakie są zastosowania krzywych stożkowych w różnych dziedzinach? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe: - jakie jest zastosowanie krzywych stożkowych w astronomii? - dlaczego dla ciał niebieskich, prędkość ich przemieszczania się określamy przy pomocy prędkości kątowej? - czy prędkość kątowa pozwala na wyznaczenie długości toru planety? Poszukaj przykłady. -w jaki sposób określamy pory roku? - jak wyznaczyć długość konkretnego dnia? - co to jest rok przestępny? - jak skonstruować antenę satelitarną paraboliczną, a jak hiperboliczną? - jakie są zastosowania krzywych stożkowych w innych dziedzinach? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Przeczytaj uważnie tekst “Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych.” 80 Słońce ulokowane jest w ognisku orbity eliptycznej a nie w środku orbity jak mogliśmy przypuszczać. Okazuje się, że jeśli orbita jest określona równaniem to wtedy punkty elipsy najdalsze i najbliższe ―słońcu‖ występują na osi ―x‖, na lewo i na prawo od początku układu współrzędnych, odpowiednio (rys.1). Rys. 1 Najbliższy punkt nazywamy perygeum (punkt przysłoneczny) a najdalszy – apogeum (punkt odsłoneczny). Teoretycznie, kometa może mieć eliptyczną, paraboliczną lub hiperboliczną orbitę poruszając się dookoła Słońca. Jeśli orbita jest paraboliczna lub hiperboliczna, wtedy możemy zobaczyć kometę maksymalnie dwukrotnie. Jednakże, jeśli orbita jest eliptyczna, wtedy kometa może pokazywać się okresowo. Najlepiej ilustrującym przykładem takiej komety jest kometa Halley‘a, która ma okres około 76 lat. Kometa Halley‘a pojawiła się ponownie w 1985-1986 r. A jej perygeum wystąpiło 9 lutego 1986 r. Sztuczny satelita nie może mieć żadnej z trzech wymienionych wyżej orbit. Jest on umiejscawiany na orbicie kołowej. Jak określić kiedy może pojawić się kometa Halley’a? 81 Zadanie 2. Algorytm pozwalający wyznaczyć dzień Wielkiej Nocy ułożony został przez Carla Friedricha Gaussa (żył 78 lat) . Był to genialny matematyk (metoda przybliżonego całkowania, krzywa dzwonowa Gaussa - rozkład normalny, konstrukcja siedemnastokąta i wiele innych dokonań), astronom (wiekowe perturbacje planet), geodeta (odwzorowania kartograficzne) i fizyk (prawo Gaussa dla pola elektrycznego i dla pola magnetycznego, absolutny elektromagnetyczny układ jednostek, badania nad włoskowatością i wiele innych dokonań). Stawiany na równi z Archimedesem i Newtonem - znajdź algorytm, przy pomocy którego można wyznaczyć dzień w którym będzie w danym roku Wielkanoc, a w jakim "Tłusty Czwartek". Zadanie 3. W jaki sposób obliczyć długość toru po którym Ziemia obiega Słońce? Zadanie 4. Zaprojektuj antenę satelitarną paraboliczną lub hiperboliczną. Zadanie 5. Masz gotową antenę satelitarną (talerz) wyprowadź wzór krzywej stożkowej na bazie której powstała ta antena. 82 5)PROJEKT 3: Gdzie można znaleźć inne krzywe niż te, o których uczyłeś się na lekcjach matematyki i jak je zastosować ? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe: - co to są krzywe cyklometryczne? - jak definiujemy funkcje hiperboliczne? -jaki jest związek funkcji kołowych z kołem? - jaki jest związek funkcji hiperbolicznych z hiperbolą? - co to jest krzywa wykładnicza a co logarytmiczna? -w jaki sposób konstruuje się krzywe Lissajous? - skąd się wzięły krzywe Béziera i jakie jest ich zastosowanie? b)Przykładowe zadania: Zadanie 1. Znajdź zastosowania krzywych cyklometrycznych. Zadanie 2. Jak wygląda krzywa łańcuchowa? Wykonaj wykresy funkcji hiperbolicznych i poszukaj ich zastosowanie np. w fizyce. 83 Zadanie 3. Znajdź zastosowanie krzywej wielomianowej Béziera (Pierre Bézier to francuski matematyk, pracownik firmy Renault. W ramach prac projektowych nad nowymi karoseriami samochodowymi opracował model opisu krzywych. Krzywe Béziera są parametrycznymi krzywymi trzeciego stopnia i znajdują szerokie zastosowanie w modelowaniu kształtu figur i powierzchni. Przykładem może tu być modelowanie kształtu nadwozi samochodów. Są one podstawą działania wszystkich poważniejszych programów do tworzenia i edycji rysunków wektorowych (Corel DRAW, Adobe Ilustrator).) Zadanie 4. Znajdź zastosowanie poniżej przedstawionych krzywych: Przykłady krzywych Lissajous o parametrach 1. a = 1, b = 2 a = 3, b = 2 , a – nieparzyste, b – parzyste, | a − b | = a = 3, b = 4 a = 5, b = 4 a = 5, b = 6 a = 9, b = 8 Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_Lissajous‖ Zadanie 5. Znajdź przykłady krzywych przestrzennych np. linia spiralna. 84 Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice,1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa ,1976 6. E.Kącicki, D.Sadowska, L.Siewierski Geometria analityczna w zadaniach WN PWN , W-wa, 1993, 7. http://portalwiedzy.onet.pl/75982,,,,stozkowe_krzywe,haslo.html 8. www.mini.pw.edu.pl/~pkamins/pdf/geom_stoz.pdf 9. www.wsipnet.pl/oip/msl/cz2/u/wgks.html 10. http://corel.wodip.opole.pl/krzywe_beziera/krzywe_beziera.htm 11. http://jaroslawlinder.webpark.pl/grawit.html 12. http://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_Lissajous 85 VI MODUŁ PROJEKTOWY „Wielomiany – czy przydałyby się na giełdzie? 1)Wprowadzenie do modułu: Wielomiany to jedne z najciekawszych funkcji, nie tylko matematyki szkoły średniej ale również matematyki wyższej. Doczekały się wiele opracowań, a zajmowali się nimi tacy matematycy jak : Bezoute, Cardano,Fourier, Hermite, Horner, Kronecker, Lagrange, Laurent i wielu innych. Istnieje cały dział algebry zajmujący się wielomianami jednej i wielu zmiennych. Poszukiwanie pierwiastków wielomianów można porównać do szukania igły w stogu siana. Tylko niektóre specjalnie dobrane wielomiany mają pierwiastki ,które dają się wyznaczyć albo poprzez wzory albo jeżeli są całkowite lub wymierne, to bez trudu je znajdziemy. Wzory na pierwiastki wielomianów kończą się na trzecim stopniu chyba, że wielomian wyższego stopnia poprzez podstawienie ,da się sprowadzić do wielomianu stopnia co najwyżej trzeciego. Zastosowanie wielomianów jest bardzo szerokie, m.in. w rozwinięciu funkcji w szereg potęgowy mamy do czynienia z wielomianem stopnia nieskończonego, ale do zastosowań można ten stopień ograniczy do skończonego, bez straty dokładności przybliżenia. Ciekawym zastosowaniem wielomianu jest gra giełdowa. Gdybyśmy notowania pewnej spółki giełdowej wybrali z danego przedziału czasowego, to liczby te utworzyłyby wykres słupkowy. Końce tych słupków są punktami wykresu pewnego wielomianu. Znajomość wzoru wielomianu pozwoliłaby nam poznać własności tego wielomianu , takie jak monotoniczność czy ekstrema, co pozwoliłoby osiągać zyski na giełdzie. Wiedząc, że w analogicznym przedziale czasowym wielomian jest funkcją rosnącą, to kupujemy akcje gdy wielomian osiąga minimum a sprzedajemy gdy osiąga maksimum. Niestety nasza giełda jest zbyt młoda i mało przewidywalna, żeby można było zbyt szybko na niej się wzbogacić. 86 Niemniej warto poznać wielomiany, przybliżone metody poszukiwania pierwiastków i poznać ludzi, którzy zajmowali się wielomianami. 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Pojęcie wielomianu. Wykres wielomianu. Uczeń potrafi: Miejsca zerowe wielomianu. Monotoniczność i ekstrema wielomianu. -narysować wykres wielomianu Wykres wielomianu. 2.Pojęcie pochodnej. funkcji -podać miejsca zerowe wielomianu Pochodna wielomianowej. Własności wielomianu na podstawie wykresu. Wyznaczanie wzoru wielomianu pochodnej. na podstawie Monotoniczność Lagrangea. Wielomian -określić monotoniczność wielomianu na podstawie wykresu wykresu i ekstrema -podać ekstrema wielomianu na podstawie wielomianu na podstawie pochodnej. 3.Interpolacja. -podać typy wielomianów wykresu interpolacyjny -określić własności funkcji wielomianowej na podstawie wykresu pochodnej -podać ekstrema wielomianu na podstawie wykresu pochodnej -określić monotoniczność wielomianu na podstawie wykresu pochodnej -wyznaczyć wzór wielomianu w oparciu o wykres -wyznaczyć wzór wielomianu przy pomocy danych giełdowych -wykorzystać własności wielomianów do gry giełdowej 87 -prześledzić notowania spółki giełdowej przez miesiąc -sporządzić wykres działania giełdowej korzystając z tej spółki wielomianu interpolacyjnego Lagrangea -określić na podstawie w/w wykresu i na podstawie monotoniczności wykresu określić kiedy warto kupić akcje, kiedy jest tendencja zwyżkowa i spadkowa spółki itp. -opisać językiem matematyki przy użyciu badania wielomianów zależności ekonomiczne 3)PROJEKT 1:Jakie są typy wielomianów i jak je rysować? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie są sposoby przedstawienia wielomianu? - jakie są metody poszukiwania dokładnych pierwiastków wielomianu? - czy istnieją wzory na pierwiastki wielomianów? - co to są metody przybliżone poszukiwania pierwiastków? - jak wykorzysta komputer do obliczania pierwiastków wielomianu? -jak rozkładać wielomian na czynniki? 88 - jakie jest zastosowanie rachunku pochodnej do określenia własności wielomianu? - czy na podstawie wykresu wielomianu można wyznaczyć jego wzór? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Rozłóż wielomian W(x) = x4 + x3 – 6x2 – 4x + 8 na czynniki liniowe stosując różne sposoby rozkładu. 6 4 Jak rozłożyć wielomiany P(x) = x4 + x2 - 1 oraz 2 Q(x) = x – 2x + 4x - 8 Zadanie 2. Wyznacz dokładną i przybliżoną wartość pierwiastka wielomianu W(x) = x3 + x – 1 i uzasadnij, że wielomian ten ma tylko jeden pierwiastek. Zadanie 3. Stosując metody przybliżonego wyznaczania pierwiastków wielomianu znajdź pierwiastek wielomianu W(x) = x3 + 2x2 + 3 a) metodą średnich arytmetycznych, b) metodą siecznych, c) metodą stycznych, d) graficznie. Zadanie 4. Zbadaj przebieg zmienności funkcji i narysuj bardzo dokładnie wykres wielomianu W(x) = x3 - 2x2 – 4x + 8 Zadanie 5. 89 Spróbuj wykorzystując komputer , znaleźć przynajmniej jeden pierwiastek wielomianu W(x) = x5 - x4 – x3 + x2 – 2x + 1 Zadanie 6. Na poniższych rysunkach podane są wykresy czterech wielomianów, znajdź ich wzory. 90 4)PROJEKT 2: Jakie zależności z różnych dziedzin, przedstawione graficznie, i nie tylko, można opisać wzorem wielomianowym? Materiały pomocnicze do realizacji tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie elementy potrzebne są do wyznaczenia wzoru wielomianu? - ile punktów wystarczy do wyznaczenia wzoru wielomianu, wiedząc którego stopnia jest wielomian? - w jakich zagadnieniach ekonomicznych występuje wielomian? - w jakich działach fizyki stosuje się wielomiany? - jakie przekształcenia geometryczne stosujemy do rysowania wielomianów? -jakie własności wielomianu są przydatne do zagadnień ekonomicznych? - jaki związek jest między wielomianem a funkcją wymierną? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Odszukaj zastosowania wielomianów Hermite’a w fizyce. Zadanie 2. Jakie jest zastosowanie wielomianów Legendre’a do przedstawienia potencjału elektrycznego. Zadanie 3. 91 Jak korzystając z wykresu wielomianu W(x) = x3 – x2 – 2x narysować wykres wielomianu V(x) = (x-1)3 – (x-1)2 – 2(x-1) – 3 Zadanie 4. Korzystając z komputera porównaj wykresy funkcji f(x) = sin x oraz g(x) = x - + - Co zaobserwowałeś, jaki jest związek między tymi funkcjami? Zadanie 5. Przy pomocy kalkulatora graficznego przedstaw wykres funkcji f(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1 i spróbuj odczytać jego pierwiastki. 5)PROJEKT 3: Jak można wykorzystać wielomiany do gry giełdowej? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - co to jest bessa, a co hossa? - na czym polega wzrost gospodarczy? - gdzie mamy do czynienia z popytem i podażą? - w jaki sposób analizując wydatki domowe można określić budżet domowy? - do czego służy wielomian interpolacyjny Lagrange‘a? - co to jest czułość i elastyczność funkcji? Gdzie znajdziemy ich zastosowanie? 92 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Jesteś Prezesem firmy DIAMENT. Jak poniższe notatki i przykłady pomogą Ci w zarządzaniu firmą? Dochód, a wzrost popytu, Funkcja kosztów Niech K(x) oznacza funkcje kosztów, tzn. oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego produktu. Wtedy iloraz różnicowy tej funkcji oznacza koszt przeciętny wytworzenia jednostki produktu, przy zwiększeniu produkcji od x0 do x0+h. Natomiast iloraz K p (x) K(x) x jest kosztem przeciętnym przypadającym na jednostkę produkcji. Jeżeli funkcja K(x) posiada pochodną, to funkcję K‘(x) nazywamy funkcją kosztów krańcowych. Pochodna K‘(x0) funkcji kosztów K(x) w punkcie x0 nazywamy kosztami krańcowymi w punkcie x0. Pochodną tę interpretujemy jako prędkość zmian kosztów przy poziomie produkcji x0. Ponieważ K (x0+h)- K (x0) ≈ K‘(x0)∙h, to w szczególności przyjmując h=1 mamy K (x0+1)- K (x0) ≈ K‘(x0)∙ co oznacza, że podniesienie produkcji o jedną jednostkę powoduje zwiększenie kosztów produkcji o K‘(x0). Koszty krańcowe w punkcie x0 są zatem równe w przybliżeniu wartości nakładów zużytych na wyprodukowanie dodatkowej jednostki produktu w stosunku do poziomu wyjściowego x0. 93 Przykład. Koszt całkowity wytworzenia x jednostek pewnego produktu określony jest wzorem K(x)=2500+50x-0,01x3. Wtedy funkcja kosztów krańcowych ma postać K‘(x)= 50-0,03x2. Przy wysokości produkcji x=10 koszt krańcowy wynosi K‘(10)= 50-0,03∙100= 47 jednostek pieniężnych, natomiast przy x=20 koszt ten jest równy K‘(x)= 50-0,03∙400=38 jednostek pieniężnych. Tak więc przybliżony koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki przy poziomie produkcji x=10 wynosi K‘(10)= 47, a przy poziomie produkcji x=20 wynosi K‘(20)= 38. Można to zinterpretować, że produkcja 20 jednostek jest korzystniejsza niż 10 jednostek. Elastyczność funkcji Jeżeli mamy daną funkcję f określoną dla x>0, przyjmującą tylko dodatnie wartości i różniczkowalną w dziedzinie, to liczbę określoną wzorem x f ' (x) f (x) nazywamy elastycznością funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem Exf. Elastyczność funkcji f w punkcie x jest przybliżoną miarą procentowego przyrostu (wzrostu lub spadku) wartości funkcji odpowiadającemu przyrostowi argumentu x o 1%. Przy przyjętych założeniach x0>0 i f(x0)>0, czyli znak elastyczności zależy tylko od znaku pochodnej f‘(x0). Stąd, elastyczność funkcji rosnącej w otoczeniu x0 jest dodatnia w punkcie x0, natomiast elastyczność funkcji malejącej w otoczeniu x0 jest ujemna. 94 Przykład. Ustalono, Ze pomiędzy popytem y na pewne dobro a przeciętnymi dochodami miesięcznymi x ludności istnieje zależność funkcyjna y 18 x x 27 Obliczmy elastyczność dochodową na dane dobro. Łatwo sprawdzić, że y' 18 27 x 272 Elastyczność dochodowa popytu na dane dobro wynosi więc Ex f Jeżeli np. x=3, to E3f = 27 18 27 x 27 2 18 x x 27 x 27 x 27 /30 =0,9. Zatem przy dochodzie miesięcznym równym 3 (np. 3 tysiące złotych) wzrost dochodu o 1% pociąga za sobą wzrost popytu na dane dobro o 0,9%. Zadanie 2. 1. Poniższa tabela przedstawia możliwości produkcyjne firmy DIAMENT. wielkość produkcji dobra X 0 1 2 3 4 5 wielkość produkcji dobra Y 10 8 6 4 2 0 2. Na podstawie tabeli wykreśl krzywą możliwości produkcyjnych firmy DIAMENT. 3. Jaki jest koszt alternatywny 4. drugiej jednostki dobra X czwartej jednostki dobra X dwóch jednostek dobra X czterech jednostek dobra X zwiększenia produkcji dobra X z poziomu 2 sztuk do 4 sztuk? 5. Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę transformacji dobra X w dobro Y 6. Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę transformacji dobra Y w dobro X 95 7. Firma DIAMENT wprowadziła technologię, dzięki której przy takich samych nakładach można wyprodukować o 40% więcej dobra X. Przedstaw powyższą sytuację na rysunku Ile wyniesie koszt alternatywny, jeżeli firma DIAMENT zdecyduje się produkować wyłącznie dobro X? Zadanie 3. Przeczytaj uważnie poniższy tekst, a następnie na podstawie zebranych danych, sporządź krzywą Englaco i odpowiedz na pytanie czy rodzice wśród których prowadziliście badania budżetów domowych żyją w luksusie ? Krzywa Engla - to wykorzystywana w ekonomii zależność pomiędzy dochodem konsumenta a ilością konsumowanego przez niego dobra, przy założeniu stałych cen wszystkich towarów oraz innych zmiennych (ceteris paribus). Graficznie krzywą Engla zazwyczaj przedstawia się w układzie współrzędnych kartezjańskich z dochodem na osi odciętych i ilością konsumowanego dobra na osi rzędnych. Kształt krzywej Engla pozwala zilustrować graficznie dochodową elastyczność popytu danego dobra, a zatem określić czy jest ono podrzędne, normalne czy luksusowe. Nazwa krzywej pochodzi od nazwiska niemieckiego ekonomisty, Ernsta Engla. Średnie kroczące pełnią dwie funkcje: a) pokazują średnią wartość kursu, b) generują sygnały kupna i sprzedaży akcji. Jeśli średnia o mniejszym współczynniku k przetnie od dołu średnią o większym współczynniku k, oznacza to sygnał kupna. Przecięcie od góry oznacza sygnał sprzedaży. Także, jeśli wykres notowań przetnie średnią od dołu, jest to sygnał kupna, jeśli od góry — sygnał sprzedaży. Dzięki temu inwestor może podjąć decyzję o zakupie akcji na początku trendu wzrostowego i wycofać się z inwestycji na początku trendu spadkowego. 96 Zadanie 4. Wejdź na stronę www.gpwinfostrefa.pl. Wybierz jedną ze spółek i obserwuj jej notowania przez kwartał danego roku. Następnie wygeneruj te notowania do arkusza kalkulacyjnego. W arkuszu kalkulacyjnym: a) Wybierz ceny zamknięcia kursów. b) Oblicz prostą średnią kroczącą z 5 oraz z 15 kursów. c) Oblicz wykładniczą średnią kroczącą z 5 kursów. d) Narysuj wykres zawierający datę, kurs zamknięcia oraz średnie z podpunktów b) i c). Zadanie 5. Na podstawie danych oraz wykresów uzyskanych w zadaniu 1. wyciągnij wnioski dotyczące zachowania się notowań giełdowych wybranej spółki. Spróbuj porównać średnią prostą ze średnią wykładniczą. Zadanie 6. Seria zadań do samodzielnego wykonania: Zadanie a. Dana jest krzywa popytu: XD = 6 – P. Na podstawie funkcji wypełnij tabelę oraz wykonaj wykres krzywej D oraz TR. P 6 5 4 3 2 1 0 X TR = TE MR Zadanie b. Rysunek przedstawia krzywe popytu i podaży na rynku dobra X. Podpisz osie i wykresy. 97 Na podstawie rysunku podkreśl prawidłowe odpowiedzi w poniższym zdaniu: Popyt w punkcie równowagi jest słabo/silnie elastyczny, natomiast podaż charakteryzuje się współczynnikiem cenowej elastyczności mniejszym/większym od 1. Podniesienie w tej sytuacji ceny spowodowałoby wzrost/spadek całkowitych wydatków konsumentów na to dobro (przychodów przedsiębiorstw z tytułu sprzedaży tego dobra). Zadanie c. Wiedząc, że współczynnik dochodowej elastyczności popytu na dobro Ź wynosi Edi = 1,5 podkreśl prawidłowe odpowiedzi: Dobro Ź jest dobrem niższego rzędu/luksusowym/podstawowym, co oznacza, że procentowa zmiana popytu jest większa/mniejsza od procentowej zmiany dochodu. Gdyby w tej sytuacji dochód wzrósł o 1 % to popyt spadłby/wzrósłby o 5% / 2% / 1,5%. Zadanie d. Krzywe popytu i podaży dane są równaniami: P = 5 – X i P = 1 + X. Krótko omów, jak wpłynęłoby na rynek ustalenie ceny administracyjnej na poziomie 4 jednostek pieniężnych. Zadanie e. Wiedząc, że krzywa możliwości produkcyjnych jest funkcją liniową oraz że firma jest w stanie wyprodukować maksymalnie 5 jednostek dobra A lub 10 jednostek dobra B, oblicz krańcową stopę transformacji dobra A w dobro B i krańcową stopę transformacji dobra B w dobro A. Wyniki zinterpretuj. Zadanie 7. a)Na podstawie miesięcznej obserwacji pewnej wybranej spółki giełdowej, sporządź wykres jej działania korzystając z wielomianu interpolacyjnego Lagrangea. b) Podaj wzór wielomianu i na podstawie pochodnej określ jej monotoniczność i ekstrema. c)Na podstawie zgromadzonych danych, odpowiedz na pytania: 98 - Kiedy warto kupić akcje tej spółki? - Kiedy jest tendencja zwyżkowa, a kiedy spadkowa tej spółki? 99 Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa ,1976 , WNT, W-wa ,1976 6. http://mfiles.pl/pl/index.php/Doch%C3%B3d 7. http://www.math.uni.wroc.pl/~aracz/dydaktyka/mik08/mik08-l3.pdf 8. www.seria.home.pl/2007_zeszyt4/8_dudek.pdf 9.J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadao z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, 1997 10. B.P. Demidowicz, Zbiór zadao i dwiczeo z analizy matematycznej, M. Nauka, 1971 11. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, 2, WUJ, Kraków, 1995 12. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, Warszawa, PWN, 1986 13. W.Kaczor, M.Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 2005 14.W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982. 15. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN, 1986. 100 VII MODUŁ PROJEKTOWY „Co to znaczy zwinąć w szereg, a co to znaczy rozwinąć funkcję w szereg ” 1)Wprowadzenie do modułu: Szeregi to kolejny dział analizy matematycznej mający szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach , nie tylko w matematyce. Stosowana w tym dziale symbolika wprowadza ucznia w świat matematyki wyższej i pozwala nie tylko operować tymi symbolami , ale daje poczucie własnej wartości. Uczeń nagle stwierdza, że matematyka wcale nie jest taka straszna. W szkole średniej przy okazji ciągu geometrycznego rozważa się szereg geometryczny i rozwiązuje się wiele zadań na zastosowanie tego szeregu. Ale przecież mamy nie tylko szereg geometryczny. Istnieją różne rodzaje szeregów. Oczywiście poznamy tylko te najważniejsze. Ponadto w szkole uczymy się działania jednostronnego, czyli obliczenia wartości sumy szeregu geometrycznego liczbowego lub funkcyjnego. Działanie to popularnie jest nazywane zwijaniem szeregu. Dla pełności wiedzy powinniśmy nauczyć się również rozwijania niektórych liczb, czy funkcji w szereg , co wydaje się o wiele ciekawsze. W każdym działaniu w matematyce powinno nam towarzyszyć „sprzężenie zwrotne‖ : masz funkcję, to rozwiń ją w szereg, masz szereg funkcyjny, to go zwiń w funkcję. Podobnie jak we wcześniejszym module: masz funkcję , to narysuj jej wykres, ale masz wykres funkcji, to wyznacz jej wzór. Rozwijanie niektórych funkcji w szereg pozwoli zrozumieć konstrukcje tablic logarytmicznych, trygonometrycznych, czy wreszcie obliczyć z dużą dokładnością stałe matematyczne takie jak liczby e i . 101 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Ciąg geometryczny. Granica ciągu. 2.Szereg geometryczny. Uczeń potrafi: szeregu -rozpoznać ciąg geometryczny Suma geometrycznego. -rozpoznać kiedy ciąg geometryczny jest 3.Szereg potęgowy. zbieżny 4.Kryterium zbieżności szeregów. -policzyć granicę ciągu geometrycznego 7.Funkcje wykładnicze. Funkcja . 8.Funkcje trygonometryczne. 9.Funkcje kołowe (cyklometryczne). 10.Wzór Taylora i Mclaurina. 11.Pochodna funkcji. 12.Pochodne wyższych rzędów. -obliczyć pochodne wyższych rzędów -obliczyć sumę szeregu geometrycznego i niektórych szeregów potęgowych -wskazać funkcje cyklometryczne - odwrotne do funkcji trygonometrycznych -omówić własności funkcji cyklometrycznych -określić warunki zbieżności -określić kryteria zbieżności szeregu -zwinąć szereg trygonometryczny -określić warunki przy, których można zwinąć szereg trygonometryczny -rozwinąć każdą funkcję elementarną różniczkowalną w szereg (jeżeli jest to możliwe) -stosować pochodne wyższych rzędów do rozwijania funkcji 102 -rozwijać funkcje i arctgx w szereg -konstruować tablice wartości sinusa -stosować wzór Taylora i Mclaurina -wyznaczyć dokładną wartość liczby i liczby -stosować technologie informatyczne prowadzące do rozwiązania problemu 3) PROJEKT 1: Jaki szereg i przy jakich warunkach można zwinąć? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie znasz rodzaje ciągów? - które ciągi są związane z szeregami? - w jaki sposób zapisujemy szeregi? - jakie znasz rodzaje szeregów? - co oznaczają słowa szereg zbieżny? - czy każdy szereg można zwinąć ? - jakie są kryteria zbieżności szeregów? - czy wiedząc, że szereg jest zbieżny, potrafimy wyznaczyć jego sumę? 103 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Obliczyć promień zbieżności szeregu i zbadać zbieżność na krańcach przedziałów zbieżności (1) x 1 (2) x n n 1 n n n 1 nn n x n n 1 2 (7) (8) n 1 xn n 2n (5) nx xn (6) n 1 n! n n 1 xn n n 1 n 5 3n n x n 1 n 1 (9) 2n n (4) x n 1 3n 2 1 (3) 2 x n n 1 n n2 xn n n 1 n 1 3 4 (10) (11) n 5 n x n n 1 n (12) n! (13) n x n (15) n! x n n 1 10 n 1 n! n (16) x n 1 ( 2n)! 2n n (17) x n 1 n! n 1 x 2 2x 5 n n 1 5 n (18) Zadanie 2. xn xn Zbadać zbieżność szeregów (1) 2 (2) oraz zbieżność szeregów n 1 n n 1 n utworzonych z pochodnych wyrazów tego szeregu. Zadanie 3. Wyznaczyć dziedziny funkcji określonych w następujący sposób e nx 2 n 1 1 n (1) f ( x) (2) g ( x) ( x 2 x 6) n n 1 Zadanie 4. Rozwiąż równanie (1 x) n 3. n 1 104 4) PROJEKT 2:W jaki sposób można rozwinąć funkcję w szereg? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - co oznacza rozwinięcie funkcji w szereg? - czy każdą funkcję można rozwinąć w szereg? - w jaki szereg można rozwinąć większość funkcji? - które funkcje można rozwinąć w szereg potęgowy? - do czego potrzebny jest wzór Taylora? - jak stosujemy wzór Maclaurina? - po co we wzorach Taylora i Maclaurina określa się reszty? - czy suma , różnica , iloczyn i iloraz funkcji , które dają się rozwinąć w szereg, też są funkcjami dającymi się rozwinąć w szereg? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Napisz wzór Taylora z resztą Lagrange’a dla f(x)= f(x)= x , x 1 f ‘(x)= 1 , ( x 1) 2 x , a =2 i n=3. x 1 f(2)=2, f ‗(2)=-1 105 f ‘‘(x)= 2 ( x 1)3 f ‗‘‘(x)= 6 ( x 1) 4 f ‗‗(2)=2, f ‗‘‗(c)= 6 (c 1) 4 f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f ' ' ' (c ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 )3 1! 2! 3! f ' (2) f ' ' (2) f ' ' ' (c ) f (2) ( x 2) ( x 2) 2 ( x 2)3 1! 2! 3! 1 ( x 2)3 2 ( x 2) ( x 2) 2 ( x 2)3 x 2 5 x 8 (c 1) (c 1) f ( x) f ( x0 ) c jest pewną liczbą między 2 i x. Zadanie 2. Rozwiń w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y = sin x. Oblicz pochodne i ich wartości w zerze. y(0) 0 y' cos x , y' (0) 1 y' ' sin x , y' ' (0) 0 y' ' ' cos x , y' ' ' (0) 1 y IV sin x , y IV (0) 0 y V cos x , y V (0) 1 y VI sin x , y VI (0) 0 y VII cos x , y VII (0) 1 ... Widać, że powtarzają się sekwencje liczb 0,1,0,-1, 0,1,0,-1, .... W związku z tym mamy 106 1 0 2 1 3 0 4 1 5 0 6 1 7 (1) n 2 n1 sin x 0 x x x x x x x ... x . 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! n 0 (2n 1)! Łatwo sprawdzić, że przedziałem zbieżności tego szeregu jest również cała oś liczbowa, więc (1) n 2 n 1 x . n 0 ( 2n 1)! dla każdego x rzeczywistego prawdziwy jest wzór sin x Zadanie 3. Podobnie rozwijając w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y=cosx otrzymamy (1) n 2 n x . n 0 ( 2n)! prawdziwy na całej osi liczbowej wzór cos x Zadanie 4. Rozwiń w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y 1 (1 x) 1 , x 1. 1 x Oblicz kolejne pochodne i ich wartości w zerze. y(0) 1 y' (1 x) 2 , y' (0) 1 1! y' ' 2(1 x) 3 , y' ' (0) 2 2! y' ' ' 6(1 x) 4 , y' ' ' (0) 6 3! y IV 24(1 x) 5 , y IV (0) 24 4! y V 120(1 x) 6 , y V (0) 120 5! y VI 720(1 x) 7 , y VI (0) 720 6! ... Mamy y 1 1! 2! 3! 4! 5! 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 ... 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 ... 1 x 1! 2! 3! 4! 5! (1) n xn. n 0 107 Sprawdzimy w jakim zbiorze jest prawdziwy powyższy wzór. W tym celu wyznaczymy promień zbieżności. Policzmy lim n 1 1 , więc przedziałem zbieżności tego szeregu jest n n zbiór (-1,1). Łatwo można sprawdzić, że dla x=-1 i dla x=1 szereg potęgowy jest rozbieżny. 1 Wobec tego wzór (1) n x n jest prawdziwy tylko dla x (1,1) . 1 x n 0 Zadanie 5. Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję y 1 wykorzystaj zadanie 4. 1 2x 2 (1) n x n zamiast x wstawimy 2x 2 i dostaniemy W szeregu n 0 ostatecznie 1 (1) n (2 x 2 ) n i 2 1 2x n 0 1 (1) n 2 n x 2 n .Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu : 2 1 2x n 0 lim n (1) n 2 n 2 , więc r n 1 1 . Korzystając twierdzenia 5 dostajemy, że x 2 , więc 2 2 2 2 2 2 1 n n 2n , czyli wzór jest prawdziwy dla x , x ( 1 ) 2 x 2 2 , 2 . 2 2 1 2 x n 0 Czyli 1 (1) n x 2 n dla x (1,1). 2 1 x n 0 Zadanie 6. Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x)= 1 1 x x 2 x 3 ... x n 1 x n 0 x wykorzystaj rozwinięcie 3 x dla |x|<1 Zajmijmy się najpierw rozwinięciem 1 3 x 2 3 1 x x x 1 (1 ... x 3 3 3 3 n0 3 3(1 ) 3 1 n 1 xn . 108 1 1 A teraz f(x)= x x 3 x n 0 3 n 1 1 x n 0 3 n 1 n x n 1 . Obliczamy promień zbieżności n 1 1 powstałego szeregu : lim n , więc r=3. n 3 3 Czyli szereg 1 n 0 3 n 1 x n 1 jest zbieżny dla |x|<3 Zadanie 7. Posługując się twierdzenia 9 rozwiniemy w szereg Maclaurina funkcję y=arctgx. 1 Zwrócić uwagę, że pochodna tej funkcji (arctgx )' . 1 x2 Z poprzedniego przykładu wiemy, że 1 (1) n x 2 n . 2 1 x n 0 Całkując obustronnie w obrębie przedziału zbieżności (1,1) dostajemy : arctgx 2 n 1 1 (1) n 2 n1 n 2n n 2n n x dx ( 1 ) x dx ( 1 ) x dx ( 1 ) x C. 2n 1 n 0 2 n 1 1 x2 n 0 n 0 n 0 (1) n 2 n 1 x C x=0 dostajemy, że C=0. n 0 2n 1 Podstawiając do obu stron równania arctgx (1) n 2 n 1 x w przedziale (-1,1), ponieważ przy całkowaniu n 0 2n 1 promień zbieżności a tym samym przedział zbieżności nie zmienia się. Ostatecznie, więc arctgx 5)PROJEKT 3: Jak zastosować rozwinięcie funkcji w szereg? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: 109 - do czego są potrzebne rozwinięcia funkcji w szereg? - w jaki sposób obliczyć wartość liczby e z zadaną dokładnością? - jak wyznaczyć przybliżoną wartość liczby π z dokładnością np. do 0,000001? -jak zbudować tablice funkcji trygonometrycznych np. y = sin x ? - w jaki sposób wykonać tablice funkcji y = ln x ? - do czego są potrzebne reszty w szeregu? - co to jest promień zbieżności szeregu i do czego jest potrzebny? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcję y e x . Pochodna dowolnego rzędu tej funkcji jest tą samą funkcją, tzn. (e x ) ( n ) e x czyli funkcja jest gładka oraz e 0 1 , więc wzór jest następujący: ex 1 1 1 1 1 1 x x 2 x 3 ... x n ... x n . 1! 2! 3! n! n 0 n! Wyznaczymy promień zbieżności powstałego szeregu potęgowego. 1 n! 1 (n 1)! Mamy lim lim lim 0 , czyli r= i przedziałem zbieżności jest cała n n ( n 1)! n n 1 1 n! 1 oś liczbowa, więc funkcja y e x rozwija się w szereg potęgowy postaci x n na całej osi n 0 n! liczbowej. W szczególności jeśli za x podstawimy 1 to otrzymamy wartość liczby e. 1 1 1 1 11 ... . 2 6 24 n 0 n! e 110 a jeśli chcemy obliczyć wartość e z dokładnością do 0.001 sumujemy wyrazy których wartość bezwzględna jest większa od 0.001. Stąd 1 1 1 1 1 1 e 1 1 2.718 ponieważ 0.0001984 <0.001 . 2! 3! 4! 5! 6! 7! 1 z dokładnością do 0,01 należy w rozwinięciu y e x za x=-2 , stąd 2 e 1 1 1 1 1 1 e 2 1 1 (2) (2) 2 (2) 3 (2) 4 (2) 5 (2) 6 (2) 7 0.13 2! 3! 4! 5! 6! 7! 1 wystarczy dodać osiem kolejnych razów gdyż (2) 8 0.006349 <0.01. 8! Aby policzyć wartość Zadanie 2. Korzystając z rozwinięcia funkcji f(x) = arctgx wyznacz przybliżoną wartość liczby π. Zadanie 3. Rozwiń funkcję f(x) = w szereg a następnie oblicz przybliżoną wartość . Zadanie 4. Wyznacz tablice wartości tangensów dla kątów z przedziału [0; ] z krokiem 0,1. Zadanie 5. Obliczyć: (1)sin 1 z dokładnością do 0,0001, 4 (2)cos 1 z dokładnością do 0,00001 4 (3)1/e z dokładnością do 0,001 111 posługując się rozwinięciem odpowiedniej funkcji w szereg potęgowy. Zadanie 6 Oszacuj dokładność podanych wzorów przybliżonych (1) e x 1 x (2) sin x x x2 2 dla 0<x<0,1. x3 x5 6 120 dla |x|1 x x2 2 8 dla |x| (3) 1 x 1 1 4 112 Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa ,1976 6. http://www.math.uni.wroc.pl/instytut/skrypty/marcinkowska/index1 7. http://math.uni.lodz.pl/~kowalcr/Analiza4/analiza4_zestaw1.pdf 8. www.impan.pl/~lysik/Fourier-series.pdf 9.J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, 1997 10. B.P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, M. Nauka, 1971 11. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, 2, WUJ, Kraków, 1995 12. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, Warszawa, PWN, 1986 13. W.Kaczor, M.Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 2005 14.W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982. 15. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN, 1986. 113 VIII MODUŁ PROJEKTOWY „Budujemy osiedle mieszkaniowe – czy budowle mogą mieć nietypowe kształty?” 1)Wprowadzenie do modułu: Każdy w dzieciństwie lubił bawić się klockami, a jeżeli przy okazji powstawały ciekawe budowle, to radość była jeszcze większa. Mając do dyspozycji takie narzędzie jak geometria przestrzenna, możemy wykonywać projekty w sposób profesjonalny, przy okazji uczymy się ciekawych pojęć, związanych z architekturą i budownictwem. Wielką rolę odgrywają też : sprawność manualna, zdolności artystyczne , przewidywanie i chyba najtrudniejsza sprawność rachunkowa. Gdy staniemy nad makietą osiedla zaplanowanego w całości przez nas, złożonego z budynków i obiektów wykonanych własnoręcznie, radość jest jeszcze większa. A powodem do dumy będzie również umiejętność obliczenia kubatury, powierzchni elewacji czy powierzchni dachów, tych najbardziej wymyślnych w kształcie kopuł, hiperboloid itp. Przez pewien czas będziemy i dziećmi i architektami i budowniczymi czy wreszcie matematykami. Powodzenia! 114 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Wielościany. Graniastosłupy. Ostrosłupy. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: 2.Bryły obrotowe. Powierzchnia. Kubatura -obliczać Audyt. 3.Elipsoida, paraboloida, hiperboloida. 4.Pole powierzchni brył. 5.Objętość brył 6.Całka oznaczona. 7.Zastosowanie całki oznaczonej. pole powierzchni i objętość graniastosłupów, ostrosłupów oraz brył obrotowych -podać określenia pojęć kubatura i audyt -konstruować modele brył -stosować całki do obliczania pola powierzchni i objętości brył obrotowych językiem -opisywać technicznym matematycznym zagadnienia związane z budownictwem -wyszukać bryły do budowy osiedla mieszkaniowego -uzasadnić do czego jest potrzebne pole powierzchni i objętość brył obrotowych z których zbudowano osiedle -zauważyć w jaki sposób obliczać pole powierzchni i objętość brył obrotowych -stosować całkę oznaczoną do obliczania pól powierzchni i objętości brył obrotowych -wykorzystać wiedzę matematyczną do zagadnień architektonicznych,ekonomicznych i inżynierskich 115 -utworzyć plan i makietę osiedla -stosować fachową terminologię do opisu otaczającego nas Świata -wykorzystać narzędzia matematyki i Internet do rozwiązywania problemu 3) PROJEKT 1: Jakie bryły można wykorzystać do budowy osiedla mieszkaniowego? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jaka jest różnica między bryłą a wielościanem? - jakie są rodzaje wielościanów? - co to są wielościany foremne i ile ich jest? -w jaki sposób powstają bryły obrotowe? - co to są przekroje brył ? - kiedy bryła jest wpisana a kiedy opisana na innej bryle? - co powstaje z podziału bryły na części płaszczyzną albo powierzchnią przestrzenną? 116 - w jaki sposób powstają: odcinek kulisty, wycinek kulisty, warstwa kulista czy kąt kulisty? - czy każda bryła może być użyta do planowania budowli? - jakie bryły obrotowe otrzymamy wykonując obroty figur płaskich ograniczonych poznanymi wcześniej krzywymi? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Z jaką bryłą kojarzymy kulę ziemską czyli geoidę? Jakie są jej wymiary? 117 Zadanie 2. Z obrotu jakich figur płaskich powstają poniższe bryły? TORUS KAPSUŁA BECZKA STOŻEK ŚCIĘTY Zadanie 3. Planujemy domy mieszkalne do naszego osiedla DIAMENT. Każdy z uczniów wykonuje jeden model w skali 1 : 200. Zadanie 4. Planujemy szkołę , przedszkole, sklep MINIMARKET, kościół . Wszystkie modele w skali 1 : 200. Modele brył wykonują uczniowie dobierając się w grupy 2 lub 3 osobowe. Zadanie 5. Przygotowujemy w formie powierzchni wypukło-falistej teren pod budowę. Używamy do tego płyty pilśniowej w skali 1 : 200. Na tym terenie umieszczamy wykonane przez uczniów bryły budowli. 118 4)PROJEKT 2: Do czego jest nam potrzebne pole powierzchni i objętości brył z których zbudowano osiedle? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - w jaki sposób obliczamy objętość wielościanów ? - jak obliczamy pole powierzchni wielościanów? - co to jest kubatura budynku? - jak obliczamy powierzchnię fasad budynków? - jak obliczamy powierzchnię dachów? - w jaki sposób obliczamy pola przekrojów? - do czego są potrzebne bryły wpisane i opisane na innej bryle? - co to jest kosztorys i do czego służy w budownictwie? 119 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Oblicz kubaturę każdego budynku z osobna i wszystkich razem. Zadanie 2. Oblicz powierzchnię wszystkich elewacji. Zadanie 3. Oblicz powierzchnię wszystkich dachów i każdego osobno. Zadanie 4. Wykonaj kalkulację kosztów malowania elewacji wszystkich budynków. Należy odwiedzić sklep z farbami i przynieść cennik wraz z normami użycia farb to znaczy jakiej są wielkości pojemniki z farbą i ile się zużywa farby w przeliczenie na m2. Zadanie 5. Wykonaj kalkulację kosztów pokrycia dachów różnymi materiałami : blacho dachówką lub dachówkami ceramicznymi. W tym celu należy postępować analogicznie , jak w przypadku malowania elewacji. 120 5)PROJEKT 3: W jaki sposób obliczamy pole powierzchni i objętości nietypowych brył np. obrotowych? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jak obliczamy długość łuku krzywej? - jak obliczamy objętość bryły obrotowej? - w jaki sposób obliczamy pole powierzchni bryły obrotowej? - jaki jest związek równania krzywej z postacią parametryczną w formie układu równań z parametrem? - który wzór jest korzystniejszy do obliczeń objętości i pola , czy w postaci ogólnej , czy w postaci układu parametrycznego? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Jak obliczyć pole powierzchni i objętość powyższych brył obrotowych? KAPSUŁA BECZKA STOŻEK ŚCIĘTY TORUS 121 Zadanie 2. Wyprowadź wzór na długość łuku krzywej, objętość i pole powierzchni kuli korzystając z całki oznaczonej. Aby wyznaczyć, ograniczone przy pomocy przez całki, daną pole krzywą. Obliczamy pole zawarte między sinusoidą y = sinx i osią x, w zakresie od 0 do π (zakreskowane na rysunku). π π P = ∫ sinx dx = (- cosx) 0 = ( - cos π ) - ( - cos 0 ) = 1 + 1 = 2 0 Szukane pole równe jest 2. Takie wykorzystanie całki do obliczania pola to najprostsze z jej zastosowań. W innych przypadkach, niezależnie od rozwiązania samej całki, trzeba najpierw opisać zadanie odpowiednim równaniem. Aby obliczyć długość L krzywej będącej wykresem jakiejś funkcji y = f(x), w zakresie od x1 do x2: x2 L = ∫ dL x1 (suma nieskończenie wielu nieskończenie małych elementów dL) Patrząc na rysunek obok, możemy zapisać (na podstawie twierdzenia Pitagorasa): (dL)2 = (dx)2 + (dy)2 , czyli (dL)2 = (dx)2 + (y' . dx)2 = (dx)2 . [1 + (y')2] dL = [ 1 + (y')2 ]1/2 . dx 122 Aby znaleźć szukaną długość krzywej, trzeba będzie najpierw obliczyć pochodną y', a następnie całkę oznaczoną x2 L = ∫ [ 1 + (y')2 ]1/2 . dx x1 Aby obliczyć objętość bryły: obliczamy objętość górnej połowy kuli z rysunku obok (dla z w zakresie od 0 do R, R = promień gdzie Dzielimy kulę na okrągłe kuli). "plasterki" prostopadłe do osi z i sumujemy ich objętości. Objętość takiego elementarnego "plasterka" to: dV = π r2 . dz ( dz możemy nazwać jego wysokością lub grubością ) Średnica i promień "plasterka" zależy od jego położenia na osi z (z twierdzenia Pitagorasa): r2 = R2 - z2 Mamy więc: dV = π (R2 - z2) dz , a szukaną przez nas objętość połowy kuli możemy zapisać: R V = ∫ π (R2 - z2) dz 0 Rozwiązanie tej całki nie powinno sprawić trudności (pamiętamy, że stałe można wyłączyć przed znak całki, a całka sumy równa jest sumie całek): 123 R R R V = π R2 ∫ dz - π ∫ z 2 dz = (π R2 . z) 0 0 - (π . 0 1. 3 R z3) 0 Po podstawieniu z = R (wartości obydwu wyrażeń zerują się dla dolnej granicy całkowania z = 0) otrzymamy: V = π R3 - 1 . 3 π R3 = 2 3 . π R3 czyli objętość całej bryły wynosi: 4 3 . π R3 Zadanie 3. Krzywa y= , -1 ≤ x ≤ 1, jest łukiem okręgu x2 + y2 = 4. Obliczyć pole powierzchni otrzymanej przez obrót tego łuku wokół osi x. Zadanie 4. Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót obszaru ograniczonego krzywymi y = x3, y = 8 oraz x = 0 wokół osi y. Zadanie 5. Oblicz objętośd odcinka kuli i jego pole powierzchni, jeżeli kulę o promieniu R przetniemy płaszczyzną odległą od środka kuli o a. 124 Zadanie 6. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót figury ograniczonej elipsą b2x2 + a2x2 = a2b2 dookoła a) osi 0x b) osi 0y Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadao z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznao 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadao z analizy matematycznej, WNT, W-wa ,1976 6.http://images.google.pl/images?hl=pl&source=hp&q=elipsoida&lr=&u m=1&ie=UTF-8&ei=C3QtS9_SDYP 7. http://bryla.gazetadom.pl/bryla/0,85304.html?tag=nietypowe 8.http://dzamik13.republika.pl/bryly/index.html 9. http://jknow.republika.pl/pochodna/pochodna.html 125 X MODUŁ PROJEKTOWY „Statystyka – prawda czy fałsz?” 1) Wprowadzenie do modułu: Nikt sobie nie wyobraża funkcjonowania w obecnym Świecie bez statystyki i narzędzi , które zawarte są w chyba najnowszym dziale matematyki. Planujemy budżet domowy, planujemy budżety państw, porównujemy banki, uczelnie, szkoły, nawet przedszkola organizując różnego rodzaju rankingi. Nawet, gdy nauczyciel przygotowuje sprawdzian wiedzy z danego przedmiotu, to przygotowuje zadania, standaryzuje test, opracowuje skalę ocen i na końcu „ obrabia‖ wyniki, by móc obliczyć średnią, porównać wyniki w klasach w których uczy , aby stwierdzić czy dobrze wykonuje swoją pracę. Potem te wyniki weryfikuje życie, gdy nasi uczniowie radzą sobie w szkołach wyższego typu, rozwijają się , osiągają sukces. Ale statystyka jest również na usługach polityki, te same dane można przedstawić w mniej lub bardziej korzystny sposób, stosując różne skale, czy biorąc pod uwagę inny punkt odniesienia. Można komuś pomóc ale można też zaszkodzić. Stąd tytuł modułu „statystyka – prawda czy fałsz?‖ Spróbujmy trochę poznać prawdę, trochę pomanipulować , stosując narzędzia statystyczne bez których nie może się obejść ekonomista, czy nowoczesny polityk. 126 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Średnia arytmetyczna, średnia ważona, Uczeń potrafi: średnia harmoniczna, średnia geometryczna. -stosować pojęcia: średnia 2.Moda i mediana. Stanina. ważona, harmoniczna 3.Wariancja i odchylenie standardowe. -obliczyć 4.Rodzaje diagramów. Diagram słupkowy i kołowy. 5.Zmienna losowa. 6.Wykresy funkcji. 7.Krzywa Gaussa. modę, arytmetyczna, medianę, wariancję i odchylenie standardowe -sporządzać diagramy słupkowe, kołowe, liniowe -wyszukać pojęcie Staniny -wykonać samodzielnie zadanie (zna wzory) -dokonać interpretacji wyników -interpretować obliczenia na -wnioskować podstawie otrzymanych wyników -przedstawić wyniki sposobem graficznym -rozróżniać średnie -zbierać i przetwarzać dane statystyczne -budować modele statystyczne -zbierać i przetwarzać dane prasowe dla potrzeb statystyki -odczytać i interpretować diagramy umieszczone w Internecie 127 przetworzone -wykorzystać dane w zagadnieniach ekonomicznych i bankowości -obrabiać przy pomocy narzędzi statystycznych zjawiska ekonomiczne i z życia wzięte -uzasadnić poprawność rozumowania używając fachowej terminologii 3)PROJEKT 1: Co to znaczy „ lepsza klasa z matematyki”? W jaki sposób na podstawie analizy końcowych ocen z matematyki w dwóch wybranych klasach, można dokonać takiego wyboru? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie są średnie w matematyce i statystyce? - co to jest moda mediana? - czym się różni skala ocen „szkolna” i „staninowa”? - co to jest wariancja i odchylenie standardowe? - jakie są sposoby przedstawiania danych statystycznych? - na jakiej podstawie oceniamy , która klasa jest lepsza tzn. osiąga wyższe wyniki w nauce? - w jaki sposób porównać wyniki na maturze z tego samego przedmiotu w dwóch kolejnych latach? - co to jest przyrost wiedzy uczniów danej klasy i jak go zbadać ? 128 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Dwóch nauczycieli oceniało aktywność pewnych uczniów na lekcji matematyki przydzielając uczniom punkty w skali od 3 do 15. Wyniki podane są w poniższej tabeli Uczeń Ola Roman Ada Basi a Ani a Ew a Paweł Tome k Zuzi a Al a Kub a m Liczba punktów przyznanyc h przez I nauczyciela 12 8 3 15 6 4 9 13 11 10 7 Liczba punktów przyznanyc h przez II nauczyciela 15 12 9 11 5 3 8 10 14 7 6 Który z uczniów oceniany jest jako najbardziej ‖przeciętny‖( oblicz medianę liczby punktów) i czy u obu nauczycieli jest to ten sam uczeń. Zadanie 2. Przeprowadź dogłębną analizę porównawczą w dwóch klasach np. drugich o podobnym profilu, ze wszystkich przedmiotów. Wykonaj diagramy słupkowe z każdego przedmiotu dla obu klas. Oblicz średnie, medianę i modę oraz odchylenie standardowe. Na podstawie otrzymanych wyników porównaj klasy globalnie, jak również z każdego przedmiotu osobno. 129 Zadanie 3. Przeanalizuj wyniki uczniów w przeciągu pobytu w szkole tzn. po pierwszej, po drugiej i po trzeciej klasie ze wszystkich przedmiotów. Wykonaj odpowiednie diagramy słupkowe, oblicz średnie i odchylenie standardowe i na tej podstawie porównaj wyniki za poszczególne lata nauki. Czy na tej podstawie można określić przyrost wiedzy klasy i poszczególnych uczniów z różnych przedmiotów i globalnie? 4)PROJEKT 2: Co to znaczy „twarda waluta”? Jak ocenić na podstawie notowań euro i dolara do złotego, w okresie np. kwartału, która z walut jest mocniejsza? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - czy warto analizować kursy walut? -co jest bardziej opłacalne inwestowanie w waluty czy w surowce? - która z walut euro czy dolar ma większe znaczenie ekonomiczne? -wolałbyś aby Polska była w strefie euro czy dolara a może złoty powinien pozostać jako środek płatniczy? - czy elementy statystyki można stosowa na giełdzie? - czy porównywanie średnich notowań walut i notowań spółek giełdowych może by przydatne w przewidywaniu krachu finansowego poszczególnych państw? 130 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Na podstawie obserwacji (okres np. kwartał) notowań euro i dolara do złotego określ która z tych walut jest mocniejsza – wykorzystanie metod statystycznych. Co to znaczy „twarda waluta”? Korzystając np. ze strony: http://www.bankier.pl/inwestowanie/waluty/ Tab. nr 247/A/NBP/2009 z dn. 2009-12-18 USD 2.9038 -0.23% EUR 4.1806 -0.03% Zadanie 2. Korzystając z Internetu przeanalizuj notowania złota, srebra i ropy naftowej w ciągu ostatnich dwóch lat. Wykonaj odpowiednie diagramy. Oblicz średnie, odchylenie standardowe i przyrost wartości . Który z tych surowców uznałbyś za twardą walutę. Czy mając do dyspozycji gotówkę wolałbyś zainwestować w dolary, euro czy w któryś z surowców? Zadanie 3. Zbierz odpowiednie dane z banków i na ich podstawie oceń co to znaczy bank wiarygodny. Czy narzędzia statystyczne pomogą nam w tej ocenie. 131 5)PROJEKT 3: W jaki sposób wyniki statystyczne opracowane przy użyciu średnich i odchylenia standardowego, można interpretować? Do czego służą diagramy? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie są diagramy przedstawiające dane statystyczne? - czy średnia arytmetyczna wystarcza do porównania wyników statystycznych? - do czego potrzebna jest wariancja i odchylenie standardowe? - co to jest zmienna losowa? - do czego służy rozkład zmiennej losowej? - co to jest krzywa Gaussa? - czy się różni rozkład punktowy od ciągłego? - jak stosować rozkład w badaniach statystycznych? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Na podstawie wyników matur 10-ciu klas oblicz średnią, wariancję i odchylenie standardowe z poszczególnych przedmiotów, sporządź wykres słupkowy i określ z jakiego przedmiotu klasy zdały maturę najlepiej. Porównaj wyniki ze Staninami podanymi na stronie CKE (zdawalność poszczególnych przedmiotów w skali standardowej dziewiątki) Stopień Opis stopnia skali 9 najwyższy 8 bardzo wysoki 7 wysoki 132 6 5 4 3 2 1 wyżej średniego średni niżej średni niski bardzo niski najniższy Zadanie 2. Na podstawie wyników z matury np. z matematyki rozszerzonej w dwóch kolejnych latach , wykonaj diagramy kołowe i słupkowe, biorąc pod uwagę klasy z rozszerzonym programem matematyki. Oblicz średnie ocen w skali od 1 do 9. Wyznacz modę, medianę i wariancję wraz z odchyleniem standardowym. Na podstawie powyższych obliczeń oceń, który rocznik był lepszy. Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.A.Plucińska, E.Pluciński :Probabilistyka. Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka. Procesy stochastyczne. WNT, W-wa 2009 5.W.Krysicki,J.Bartos,W.Dyczka,K.Królikowska,M.Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN W-wa 2008 http://www.bankier.pl/inwestowanie/waluty/ 133 X MODUŁ PROJEKTOWY „Gdy niemożliwe staje się możliwe – liczby zespolone” 1)Wprowadzenie do modułu: Są pojęcia w matematyce, które są jasne, logiczne zgodne z rzeczywistością, ale i takie które kłócą się ze zdrowym rozsądkiem. Wiemy z historii nauk ścisłych, że inność, nietypowe rozumowanie, nawet wbrew logice prowadziły do postępu wiedzy i odkryć nie tylko naukowych. Swoistą część rozwiązywanych zadań, czy określanych twierdzeń stanowią założenia. Założenia te często ograniczają zakres prawdziwości twierdzenia, a czasami są niezbędne by twierdzenie mogło funkcjonować jako twierdzenie prawdziwe . Zmiana założeń może prowadzić do sprzeczności, ale może też być motorem postępu. Niektóre założenia są tylko po to , by dane zagadnienie miało zastosowanie w innych dziedzinach. Założenia te określam założeniami z „wygody‖. Bo przecież istnieje funkcja wykładnicza f(x) = (-2)x ale jej przydatność jest znikoma, stąd definiujemy funkcje wykładnicze o podstawie dodatniej i różnej od 1. Inaczej wygląda sytuacja z pierwiastkiem kwadratowym. W szkole definiujemy pierwiastek kwadratowy , tylko z liczby nieujemnej. Natomiast w matematyce wyższej łamiąc pewne zasady, wprowadzamy definicją = i czyli tzw. jednostkę urojoną i dzięki temu powstał olbrzymi dział matematyki „analiza zespolona‖. W której podstawowym zbiorem liczbowym jest zbiór liczb zespolonych, będącym rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych. Bez funkcji zmiennej zespolonej niemożliwy byłby postęp w elektronice a co za tym idzie we wszystkich dziedzinach w których potrzebny jest prąd. 134 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele wszystkich projektów: Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Równania kwadratowe. Uczeń potrafi: 2.Definicja liczb zespolonych, pojęcie liczb -rozwiązywać zespolonych – Bombelli, Gauss, Hamilton. 3.Interpretacja równania kwadratowe w zbiorze liczb rzeczywistych liczb -odnaleźć ciekawostki historyczne dotyczące geometryczna zespolonych. odkrycia liczb zespolonych 4.Działania na liczbach zespolonych. -znaleźć jednostkę rzeczywistą i urojoną 5.Postać trygonometryczna liczby zespolonej. 6.Wzór de Moivre‘a – Potęga i pierwiastek liczby zespolonej. 7.Postać wykładnicza liczby zespolonej. liczby zespolonej -wykonać działania dodawania, mnożenia i dzielenia na liczbach zespolonych -przedstawić w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną -obliczyć potęgę i pierwiastek z liczby zespolonej -rozwiązywać równania kwadratowe w zbiorze liczb zespolonych -przedstawić liczbę zespoloną w różnych postaciach -wykonać działania na liczbach zespolonych przedstawionych w różnych postaciach -przedstawia przekształcenie geometryczne w postaci funkcji zespolonej 135 -odnaleźć związek zespolonymi i między funkcjami przekształceniami geometrycznymi -odnaleźć związki geometrii i trygonometrii z liczbami zespolonymi -rozwijać matematyczne myślenie -dostrzegać prawidłowości matematyczne w otaczającym Świecie -korzystać z podręczników akademickich i Internetu 3)PROJEKT 1 : Jak rozwiązać równanie x2 + px + q = 0 ? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - co to jest równanie kwadratowe? - jakie są sposoby rozwiązywania równań kwadratowych? - wyprowadź wzory na pierwiastki równania kwadratowego? -czy równanie kwadratowe musi mieć pierwiastek? -czy przy pomocy wzorów Viete‘a można wyznaczyć pierwiastki trójmianu? - co to jest jednostka urojona a co liczba zespolona? - czy znając liczby zespolone można zawsze rozwiązać równanie kwadratowe? - jak rozwiązać równanie kwadratowe o współczynnikach zespolonych? 136 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Wyprowadź wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego y=ax2+bx+c oraz y= x2+px+q o współczynnikach rzeczywistych. Zadanie 2. Wiedząc, że Δ<0 w trójmianie o współczynnikach rzeczywistych, Wyprowadź wzory na pierwiastki zespolone. Zadanie 3. Rozwiąż równania: x2 + 2x +5 = 0 oraz x2 +ix +(i - ) = 0 Zadanie 4. Rozwiąż równanie x3 + x + 1 = 0 w zbiorze liczb zespolonych. Zadanie 5. Udowodnij twierdzenie : założenie: ax2 + bx +c = 0 ; a, b, c Є R; Δ<0 teza: pierwiastki równania są liczbami zespolonymi sprzężonymi. 137 4)PROJEKT 2 : Jak wykonać działania na liczbach zespolonych, przedstawionych w różnych postaciach? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie są sposoby przedstawienia liczby zespolonej? - co to jest płaszczyzna zespolona? - co to jest cześć rzeczywista i cześć urojona liczby zespolonej? - co to jest moduł a co argument liczby zespolonej? - co to znaczy że zbiór liczb zespolonych jest domknięty ze względu na podstawowe działania? - co to są wzory de Moivre’a? - w jaki sposób podnosimy liczbę zespoloną do kwadratu? - jak wykonuje się pierwiastkowanie liczby zespolonej? - jaki jest związek zbioru liczb rzeczywistych ze zbiorem liczb zespolonych? b)przykładowe zadania: Liczby zespolone - liczby składające się z części rzeczywistej ( ) i części urojonej ( ) zapisywane w postaci a+bi gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi zaś liczbę nazywamy liczbą urojoną. Definicja liczby urojonej i = ; i2=-1 ;i4= 1 138 Liczby zespolone możemy interpretować geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Płaszczyznę, na której umieszczamy liczby zespolone nazywamy płaszczyznę Gaussa. Liczbę zespoloną możemy przedstawić na płaszczyźnie Gaussa pamiętając, że (część rzeczywista) oraz (część urojona). Liczba zespolona przeciwna do liczby : Liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zespolonej nazywamy liczbę w postaci . Liczba zespolona Jej sprzężenie . . Moduł liczby zespolonej to liczba w postaci . Moduł liczby zespolonej w interpretacji geometrycznej jest odległością liczby zespolonej od środka płaszczyzny Gaussa. Istnieje pewna zależność pomiędzy liczbą zespoloną a jej sprzężeniem: ׀z=׀ ponieważ: 139 Dzięki zależnością pomiędzy kątem modułem oraz wartościami a i b możemy wyznaczyć postać trygonometryczną liczby zespolonej. więc więc Postać trygonometryczna liczby zespolonej . Podstawowe działania na liczbach zespolonych: - dodawanie liczb zespolonych: - odejmowanie liczb zespolonych: - mnożenie liczb zespolonych: - dzielenie liczb zespolonych: 140 Zadanie 1. Zaznacz w układzie współrzędnych następujące punkty: a\ b\ spełniające zależność . Zadanie 2. Dane są następujące liczby zespolone: a=5+2i ; b=i+3; c=i ; d=2 Wykonaj działania: a +b=? b -c=? =? (a+c)(b-c) =? a2=? =? Zadanie 3. Wyznacz moduły i argumenty liczb zespolonych : z1=3 – 3i z2 =1 + i z3 = 2i Zadanie 4. Udowodnij, że następujące związki są prawdziwe: 141 Zadanie 5. Przedstaw liczbę zespoloną z = oblicz z4 oraz + i w postaci trygonometrycznej i następnie . 5)PROJEKT 3 : Jakie istnieją związki geometrii i trygonometrii z liczbami zespolonymi? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: -jaka jest różnica pomiędzy płaszczyzną kartezjańską a zespoloną? - co ma wspólnego postać geometryczna liczby zespolonej z punktami na płaszczyźnie? -czym się różni argument główny od argumentu liczby zespolonej? - jaki jest związek pomiędzy mnożeniem i dzieleniem liczb zespolonych a ich argumentami? - w jaki sposób przy pomocy liczb zespolonych wyprowadzić wzór na sinus sumy kątów? - jaki jest związek funkcji zmiennej zespolonej z przekształceniami geometrycznymi? - jak przy pomocy funkcji zmiennej zespolonej wyprowadzić wzory na przekształcenia izometryczne na płaszczyźnie? 142 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Znajdź w układzie współrzędnych zbiory opisane następującymi nierównościami: a)׀z ≥׀4 b) ׀z – 2 + 3i <׀2 c) ׀z≤׀1 i Re z ≥ 0 Zadanie 2. Korzystając z mnożenia liczb zespolonych w postaci trgonometrycznej wyprowadź wzór sin(α+β)= sinαcosβ + cos α sinβ Zadanie 3. Zapisz poniższe przekształcenia przy pomocy funkcji analitycznych zmiennej zespolonej: a)symetrii względem punktu S(a,b) b) symetrii względem osi 0x c)translacji o wektor [a,b] d)jednokładności o środku 0(0,0) i skali k≠0 korzystając ze wzorów analitycznych w których obrazem punktu A(x,y) jest punkt punkt A’(x’,y’) . 143 Zadanie 4. Jaki jest związek liczb zespolonych w postaci wykładniczej z funkcjami trygonometrycznymi? Zadanie 5. Wyznacz obraz liczby z= - + 2i w obrocie dookoła punktu 0 o kąt 120⁰. Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J .: Analiza matematyczna, t.I, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa ,1976 T.Trajdos : Matematyka: Cześć 3. Liczby zespolone. Wektory. Macierze. Wyznaczniki. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne ,W-wa 2004 144 PROCEDURY OSIĄGANIA CELÓW Nauczanie matematyki metodą projektu ma wspierać ucznia w zakresie samodzielnego zdobywania wiedzy, operowania obiektami abstrakcyjnymi, budowania i stosowania modeli matematycznych, projektowania i wykonywania obliczeń oraz kształcić jego logiczne myślenie. W procesie nauczania – uczenia się aktywną stroną ma być uczeń. Nauczyciel powinien być przede wszystkim organizatorem działalności uczniów. Powinien stwarzać takie sytuacje dydaktyczne, które zachęcą do nauki, zainteresują przedmiotem, wskażą że matematyka jest wszędzie wokół nas. Wiadomości zdobyte przez uczniów w czasie ich aktywnej działalności są o wiele trwalsze niż bierne przyswajanie wiedzy. Podczas realizacji modułów mamy doskonałe warunki do tego, aby uczyć kultury dyskusji. Bardzo często uczniowie będą przedstawiali różne metody rozwiązania tego samego problemu, wtedy obowiązkiem prowadzącego jest wysłuchanie wszystkich propozycji i wspólnie z zespołem podjęcie decyzji w jaki sposób dany problem ostatecznie rozwiązać. Należy zwracać też uwagę na język wypowiedzi, precyzyjne formułowanie myśli, logiczną konstrukcję wypowiedzi. W trakcie realizacji projektu uczniowie pracują w grupach, więc cały czas rozwijają następujące umiejętności: podejmowania decyzji grupowych wyrażania własnych opinii i słuchanie opinii innych poszukiwania kompromisu dzielenia się w grupie rolami i zadaniami rozwiązywania konfliktów poszukiwania kompromisu stosowania różnych sposobów prezentacji wyników pracy grupy dokonywania oceny pracy grupy i jej członków dokonywania samooceny W wyniku realizacji projektu uczeń samodzielnie planuje, rozwiązuje problemy i wnioskuje. Odważnie i z pewnością zgłasza propozycje rozwiązań różnych problemów. 145 OPIS ZAŁOŻONYCH OSIĄGNIĘĆ UCZNIA I PROPOZYCJE METOD ICH OCEN Przewidywane osiągnięcia ucznia Uczeń powinien umieć : posługiwać się pojęciami, własnościami i algorytmami dotyczącymi : logiki, liczb rzeczywistych, funkcji, funkcji liniowej i kwadratowej, równań, nierówności liniowych i kwadratowych, układów równań i nierówności, wielomianów i funkcji wymiernych, funkcji trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych, ciągów, szeregów, ciągłości i pochodnej funkcji, całki nieoznaczonej, całki oznaczonej, wektorów, przekształceń izometrycznych i jednokładności, podobieństwa, planimetrii, rachunku prawdopodobieństwa, stereometrii ; stosować posiadaną wiedzę do rozwiązywania zadań praktycznych ,np. : 1. wykorzystać ciąg arytmetyczny (geometryczny) jako matematyczny model sytuacji praktycznej i rozwiązać w tym modelu problem – modele ekonomiczne, analiza finansowa-lokaty i kredyty, kursy walut, pożyczki długoterminowe, fundusze emerytalne; 2. korzystać z pochodnej i całki w wielu dziedzinach nauki (fizyki, biologii, ekonomii) oraz w życiu; 3. dokonywać obliczeń miarowych – obwodów, pól, objętości – budujemy osiedle –jakie bryły wykorzystamy(siatka kuli, objętość kuli za pomocą całki), obrót elipsy wzdłuż krótszej i dłuższej osi - Ziemia, a elipsoida – objętość kuli jako szczególny przypadek elipsoidy, ; 4. stosować wiadomości matematyczne w astronomii – pory roku, kometa Halleya kiedy pojawi się znów? 5. rozwiązać problem spółki giełdowej za pomocą gromadzenia (statystyka) i przetwarzania danych (korzystając z wielomianu Lagrangea i pochodnej) sporządzić wykres i na podstawie wykresu(korzystając z monotoniczności) odpowiedzieć na pytanie kiedy warto kupić akcję? – kiedy nastąpi tendencja zwyżkowa?; zjawiska masowe – zjawiska społeczne – gromadzenie i opracowywanie danych na przykładzie najbliższego otoczenia- obserwacja przez miesiąc spółki; 146 6. podać przybliżenie liczby i – rozwinąć funkcję i w szereg 7. wyprowadzić za pomocą całki np. wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym – z miasta A do miasta B; 8. stosować modele matematyczne do rozwiązania problemów fizycznych i mechanicznych - wykorzystać średnie statystyczne - wahadło, średnie wychylenie sprężyny, przyciąganie ziemskie, wskazywanie południka - średnia harmoniczna; 1 i 9 jednakowe średnie: arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna; 9. wyszukać twierdzenia w algebrze, geometrii, trygonometrii i w kombinatoryce - stosować różne rodzaje dowodów matematycznych; formułować zależności, wyciągać wnioski i uzasadniać ich prawdziwość; dobierać odpowiedni model matematyczny czy algorytm do sytuacji problemowej i weryfikować uzyskane wyniki ; stosować definicje i twierdzenia w rozwiązywaniu problemów ; argumentować i przeprowadzać pełne rozumowanie dedukcyjne; wykorzystywać urządzenia techniczne i multimedialne, jak kalkulator, komputer, projektor, wizualizer, tablica interaktywna itp. W trakcie przedstawiania odpowiednich modułów projektu przez grupy pozostali uczniowie uczestniczący w projekcie również się uczą. Aby ta nauka była skuteczna prezentacje przez poszczególne grupy muszą być solidnie przygotowane i przeprowadzone. Wspólnie z uczniami prowadzący dokonuje oceny pracy grupy. Najistotniejsze jest koordynowanie prac uczniów na etapie powstawania projektu. W przypadku prezentacji multimedialnych należy zwrócić uwagę na poprawność zapisu symboli matematycznych, doboru treści do tematu oraz wykorzystania szaty graficznej, podkładu muzycznego i animacji, które mogą być konsultowane z nauczycielem technologii informacyjnej. Bardzo ważnym elementem jest przygotowanie instrukcji dla każdej grupy kontraktu między nauczycielem a uczniami, w którym szczegółowo określi się cele, temat i zadania do realizacji. 147 Przed przystąpieniem do projektu należy zapoznać uczniów z zasadą pracy w grupach: 1. Będziecie pracować w grupie, a zatem wspólnie musicie dążyć do celu. Każdy niech stara się pracować intensywnie, na miarę swoich możliwości – musi jednak ciągle mieć na uwadze dbałość o wspólne interesy grupy. 2. Wybierzcie spośród siebie Lidera, Sekretarza i Sprawozdawcę. Lider organizuje i kieruje pracą grupy, dba o to, aby wszyscy pracowali, aby każdy miał swój udział w rozwiązywaniu zadania, pilnuje, aby grupa nie poświęcała uwagi kwestiom ubocznym, nieistotnym dla osiągnięcia celu, nie narzuca swoich poglądów, ale dba o to, aby wszyscy mogli się wypowiedzieć – ustali kto w danej chwili mówi, upewni się, czy wszyscy zrozumieli postawione przed grupą zadanie. Sekretarz pilnuje, aby nie umknęły jego uwadze i pamięci ciekawe pomysły zgłaszane w czasie pracy nad zadaniem, zapisze końcowe rozwiązanie. Sprawozdawca stara się wyłowić w trakcie pracy grupy ważne ustalenia, uzgodni z grupą rezultaty pracy i przedstawi publicznie efekt pracy zespołu. 3. Przed przystąpieniem do pracy uzgodnijcie plan działania. 4. Po wykonanej pracy dokonajcie samooceny i porozmawiajcie przez chwilę o przyczynach sukcesów bądź niepowodzeń. 148 Aby praca w zespole przebiegała sprawnie i bez zakłóceń członkowie zespołu muszą się wykazać wieloma umiejętnościami. Omawiając z uczniami zasady współpracy w grupie należy zwrócić uczniom uwagę na umiejętności: uważne słuchanie każdej osoby; pilnowanie kolejności zabierania głosu; powracanie do zadania, kiedy tylko ktoś spostrzeże, że grupa odbiega od tematu; uprzejme wyrażanie niezgody; proszenie o pomoc; udzielanie wsparcia; dbanie, by wszyscy byli zaangażowani w pracę; parafrazowanie, czyli powtarzanie myśli przedmówcy własnymi słowami, zanim wygłosi się własne zdanie; wyrażanie szczerego wzajemnego podziwu; słuchania z empatią; hamowanie mało twórczych zachowań członków grupy; dbanie, by każdy w grupie czuł się ważny; utrzymywanie kontaktu wzrokowego. Podział zadań w zespole Lp. Kiedy Zadanie (co trzeba wykonać?) Kto zrobił Co jest do tego zostanie potrzebne? wykonane? (terminarz) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 149 7. 8. Uczniowie przy współpracy z nauczycielem ustalają zasady pracy w zespole: USTALENIE ZASAD PRACY W ZESPOLE 1.Kto będzie przewodniczącym zespołu (tzw. liderem) ? ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. 2.Jak podzielimy odpowiedzialność za realizację zadań ? ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. 3.Jak będziemy podejmować decyzje ? ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. 4.W jaki sposób będziemy rozwiązywać konflikty, spory ? ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. 5.Gdzie i w jakim czasie będą odbywały się spotkania naszego zespołu ? 150 ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. 6.Jakie zasady będą obowiązywały w naszej grupie, aby dobrze nam się pracowało ? ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………. Uczeń może opracować materiał nie zawsze tak jak tego oczekujemy, lecz czas spędzony przez ucznia na samodzielnym wyszukiwaniu informacji może sprawić, że wiedza którą zdobędzie przez osobiste doświadczenia może przyczynić się do jej lepszego zapamiętania przez ucznia. 151 EWALUACJA PROJEKTU Ewaluacja Evaluate - (j. ang.) - oceniać, szanować. Ewaluacja edukacyjna stanowi systematyczne badanie lub szacowanie wartości jakiegoś obiektu. Ewaluacja to systematyczne gromadzenie różnorodnych informacji, które są pomocne w określaniu, jak i czy w ogóle nastąpiła modyfikacja uczenia się. To proces zmierzający do stwierdzenia, w jakim stopniu zamierzone cele edukacyjne są rzeczywiście realizowane. To systematyczne badanie zdarzeń, które mają miejsce w ramach realizowanego programu bądź stanowią jego konsekwencję. Badania te mają przyczynić się zarówno do usprawnienia tego programu, jak i innych programów zmierzających do tych samych celów. To dostarczanie informacji potrzebnych do podjęcia decyzji, np. jak dalej uczyć, żeby było lepiej. Po wdrożeniu programu wskazane jest przeprowadzenie ewaluacji w celu uzyskania informacji zwrotnej o tym w jakim stopniu zaproponowane treści umożliwią realizację zadań edukacyjnych. Dzięki ewaluacji nie tylko oceniamy, kontrolujemy czy zbieramy dane, ale dowiadujemy się, jakie potrzeby i oczekiwania mają uczniowie odnośnie proponowanych zajęć. Przedmiotem ewaluacji będzie: osiąganie celów edukacyjnych, skuteczność metod i form aktywności, przyrost wiedzy, kształtowanie umiejętności i postaw. W trakcie realizacji treści programowych uczniowie będą oceniani na podstawie: obserwacji uczniów w czasie zajęć, szacowania wytworów ich pracy. analizy zgodności działań z poleceniem do wykonania zadania, aktywności przy omawianiu zgodności problemów informatycznych 152 „Karty samooceny ucznia‖ Na początku pracy nad projektem nauczyciel ustala szczegółowe zasady oceniania i podaje uczniom do wiadomości: 1.Uczniowie ze swojego punktu widzenia oceniają: - czy prezentacja pokazana przez kolegów czegoś mnie nauczyła? - czy wypowiedzi były jasne i przejrzyste? - czy prowadzący mówią precyzyjnie? - czy stosują różne sposoby prezentacji? - czy w prezentację zaangażowani byli wszyscy członkowie grupy? - czy informacje przedstawione były w sposób czytelny i logiczny? - czy zebrane informacje przedstawione były w sposób oryginalny (z wykorzystaniem ciekawych środków przekazu)? - czy trafnie dobrane były techniki przekazu informacji? - czy reszta grupy została włączona w prezentację? - czy prowadzący prezentację poprawnie posługują się językiem ojczystym? 2.Nauczyciel ocenia zaangażowanie poszczególnych członków grupy za: - planowanie pracy – praca w grupie - przeprowadzenie jej zgodnie z planem - dokumentację pracy - prezentację wyników Nauczyciel ustala wraz z grupą szczegółową liczbę punktów za powyższe działania. Przedstawia też arkusz oceny wg którego będzie przyznawał punkty: 153 ARKUSZ OCENY GRUPA: …………………………………………………………………………….. TEMAT MODUŁU: ……………………………………………………………………… TERMIN PREZENTACJI: ………………………………………………………………. ETAP REALIZACJI MODUŁU - tu nauczyciel wstawia punkty podczas spotkań ETAP REALIZACJI MODUŁU - roboczych z uczniami w trakcie realizacji projektu ETAP REALIZACJI MODUŁU - ETAP REALIZACJI MODUŁU punkty ustala wraz z uczniami UMIEJĘTNOŚCI LICZBA PUNKTÓW zbieranie i opracowanie -selekcja informacji materiałów -krytyczna ocena informacji -„przetwarzanie‖ informacji praca w grupie -udzielanie sobie informacji -podejmowanie decyzji -słuchanie się nawzajem -rozwiązywanie konfliktów -zaangażowanie innych osób w pracę -samoocena postępów pracy prezentacja -wykorzystanie czasu prezentacji -zainteresowanie innych uczniów -sposób mówienia(akcentowanie, precyzja wypowiedzi 154 3.Arkusze ewaluacyjne dla ucznia. Samoocena ucznia, której celem jest usprawnienie pracy grupy. Jest jednym z elementów oceny rezultatów projektu. Samoocena ucznia: Czy realizujemy przyjęte zadania w terminie? Z którym zadaniem są największe trudności? Co można zrobić aby je pokonać? Czy wszyscy czują się włączeni do pracy grupy? Co należałoby usprawnić w naszej pracy? Dlaczego nie wszystkie cele zostały zrealizowane? Jak inni oceniali naszą pracę? Biorąc pod uwagę cały projekt, co zrobilibyśmy inaczej powtarzając go? 155 Jak oceniam pracę w grupach? 1. Czy według ciebie moduł był interesujący? tak nie 2. Czy dobrze ci się pracowało z koleżankami i kolegami w grupie ? tak nie 3. Jaką funkcję pełniłeś w grupie? lider sekretarz sprawozdawca inną 4. Czy zadania wykonywane na zajęciach były dla ciebie łatwe i zrozumiałe? tak raczej tak nie 5. Jak oceniasz pracę w grupie (w skali od 1 do 6)? 1 2 3 4 5 6 6. Czy chciałbyś poznawać ciekawostki na temat sławnych matematyków dotyczące tematu modułu ? tak nie 7. Czy podobał ci się losowy dobór grup ? tak raczej tak obojętne nie 156 Samoocena pracy w grupie Grupa: ......... Imię i nazwisko 1............................................. 2............................................. 3............................................. 4............................................. Umiejętność /Imię 1 2 3 4 Bierze udział w dyskusji Uzasadnia swoje stanowisko Świadomie dąży do kompromisu Trzyma się tematu grupie Akceptuje innych członków grupy Akceptuje decyzje grupowe Nie ocenia innych i ich wypowiedzi Bierze udział w planowaniu wspólnych działań pracy Organizacja Atmosfera w Komunikowanie się Potrafi słuchać, nie przerywać Akceptuje ustalone zasady pracy Bierze odpowiedzialność za przyjętą pracę RAZEM PUNKTÓW W KRATECZKI WPISUJEMY PUNKTY 0, 1, 2 LUB 3 WEDŁUG ZASADY: (ZDECYDOWANIE NIE) 0 pkt 1 2 3 pkt (ZDECYDOWANIE TAK) 157 Co sądzisz o zajęciach realizowanych za pomocą projektu? - ankieta dla uczniów Wpisz do poniższej tabeli spostrzeżenia i uwagi: Jak przygotowałeś się do zajęć? Jaką wiedzę i umiejętności dodatkowe zdobyłeś? Jakie materiały i pomoce wykorzystałeś? Twoje refleksje na temat zajęć – jaką funkcję pełniłeś, jak się czułeś itp. Co sądzisz o zajęciach realizowanych za pomocą projektu? Są bardzo interesujące i zachęcają do poznania i zrozumienia matematyki ? Są interesujące Są mało interesujące Nie są ciekawe i nie przekonują do nauki matematyki 158 ARKUSZ SAMOOCENY UCZNIA …........................................................ grupa ................ (imię i nazwisko) Odpowiedz szczegółowo na poniższe pytania. Twoje odpowiedzi pozwolą mi skrupulatnie ocenić całoroczną pracę nad projektem: 1. Jaki był temat projektu, nad którym pracowałe(a)ś? ....................................................................................................................................................... ......................................................................... 2. Jaka była Twoja rola w grupie? Czym się zajmowałe(a)ś? ..................................................................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………… 3. Jakie trudności, problemy pojawiły się w czasie pracy i w jaki sposób je rozwiązałe(a)ś? ....................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... 4. Z czyjej pomocy korzystałe(a)ś (rówieśnicy, rodzice, nauczycielka, instytucje, inne) i w jakim zakresie? ..................................................................................................................................................... 5. Czego się nauczyłe(a)ś, pracując nad projektem? ………………………………………………………………………………………………… 6. Na ile punktów w skali 1:10 oceniasz: swój wkład w pracę grupy .................................. zdobyte umiejętności i wiedzę ……...............................? 7. Czy Twoje oczekiwania związane z taką metodą pracy zostały spełnione, czy odpowiada Ci taka forma zdobywania wiedzy i umiejętności? ..................................................... Uzasadnij swoją odpowiedź ....................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... 8. Jakie ewentualne zmiany należałoby wprowadzić do organizacji pracy grup?.............................................................................................................................................. ................................................................................................................................................... Dziękuję za przemyślaną odpowiedź. 159 ANONIMOWA ANKIETA DLA UCZNIÓW NA TEMAT PROWADZENIA ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH METODĄ PROJEKTU 1. Czy na zajęciach ............................. uczysz się dużo? Tak Raczej tak Raczej nie Nie 2. Czy sposób prowadzenia zajęć zachęca cię do aktywności? Tak Raczej tak Raczej nie Nie 3. Czy w trakcie zajęć czujesz się: Swobodny/a? Skrępowany/a? 4. Czy na zajęciach panuje przyjazna atmosfera? Tak Raczej tak Raczej nie Nie 5. Czy nauczyciel jest dobrze przygotowany do zajęć? Tak Raczej tak Raczej nie Nie 6. Czy zajęcia są interesujące? Tak Raczej tak Raczej nie Nie 7. Czy materiał jest wyjaśniany w sposób jasny? Tak 160 Raczej tak Raczej nie Nie 8. Czy nauczyciel jest wymagający? Tak Raczej tak Raczej nie Nie 9. Czy twoje zaangażowanie na zajęciach jest: Duże Średnie Małe? 10. Czy ocena pracy grup jest w twoim odczuciu sprawiedliwa? Tak Raczej tak Raczej nie Nie 11. Jakich słów/wyrażeń użyłbyś do scharakteryzowania zajęć ……........................ , atmosfery w czasie zajęć? Nudno Ciekawie Stresująca Boję się Luźna atmosfera Chodzę chętnie na zajęcia Chodzę niechętnie na zajęcia Mogę dowiedzieć się czegoś nowego Nie dowiem się nic nowego Podoba mi się Nie podoba mi się UWAGI: ........................................ 161 ANKIETA DLA UCZNIA Celem ankiety jest poznanie opinii uczniów na temat metod pracy podczas realizacji projektu i wykorzystanie tych informacji do poprawy skuteczności pracy dydaktycznej. Przeczytaj poniższe pytania i zaznacz wybrana odpowiedź. Ankieta jest w pełni anonimowa. Dziękuję za szczere wypełnienie! Płeć: ..... dziewczyna ...... chłopak 1. Czy praca w grupie była dla Ciebie kształcąca? tak nie nie wiem 2. Jeżeli na poprzednie pytanie odpowiedziałeś tak, to czy nauczyłeś się nowych umiejętności? tak nie nie mam zdania 3. Czy zawsze rozumiałeś cele modułów? tak nie 4. Prowadzone zajęcia były dla Ciebie (wybierz 2 odpowiedzi): atrakcyjne zrozumiałe zmuszające do myślenia monotonne stresujące nudne niezrozumiałe 5. Określ jak pracowałeś podczas realizacji projektu? byłem aktywny byłem znudzony czekałem, aż ktoś inny odpowie 6. Czy zajęcia mobilizowały Cię do aktywności? 162 tak nie 7. Czy twoja aktywność została zauważana przez nauczyciela i doceniona? tak nie 8. Czy problemy omawiane podczas realizacji projektu były dostosowane do poziomu Twoich umiejętności? tak nie 9. Czy realizacja projektu nauczyła Cię planowania pracy? tak nie 10. Czy realizacja projektu nauczyła Cię wnioskowania? tak nie 11. Czy miałeś odwagę zwrócić się do nauczyciela jeżeli miałeś problem z realizacją modułu? tak nie 12. Czy często zwracałeś się o pomoc do nauczyciela? tak nie 13. Czy uważasz, że wiadomości, umiejętności jakie zdobyłeś podczas pracy nad projektem, przydadzą Ci się w życiu? tak nie nie wiem 14. Czy taka forma realizacji projektu (każdy moduł opracowywany przez inną grupę) była wg Ciebie dobra? tak nie 15. Czy wolałbyś żeby każdy moduł był realizowany przez wszystkie grupy? tak nie 163 16. Napisz w kilku zdaniach, co chciałbyś zmienić gdybyś jeszcze raz miał brać udział w podobnym projekcie ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Ankieta ewaluacyjna Atmosfera na zajęciach Czy wg Ciebie PROJEKT był ciekawy? Czy dobrze Ci się pracowało? Prowadzący Rozumiałem wszystko, czego się uczyliśmy? Jeżeli czegoś nie rozumiałem mogłem zwrócid się o pomoc do nauczyciela. Wiadomości zostały zaprezentowane w ciekawej i przystępnej formie. W skali od 1 do 6 przeprowadzenie projektu oceniam na........... 164 Literatura i inne źródła informacji 1. Brudnik E., Moszczyńska A., Owczarska B., Ja i mój uczeń pracujemy aktywnie – przewodnik po metodach aktywizujących, Zakład Wydawniczy SFS, Kielce 2000. 2. Eby J. W., Smutny J. F., Jak kształcić uzdolnienia dzieci i młodzieży, WSiP, Warszawa 1999. 3. Kruszewski K., Pedagogika w pokoju nauczycielskim, WSiP, Warszawa 2000. 4. Mikołajczyk M., Udane projekty nie tylko z matematyki, PWN, Warszawa 2002. 5. Nowak W., Konserwatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa 1989. 6. Wiadomości Matematyczne, Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria II, PWN Warszawa. Podręczniki szkolne, przewodniki dla nauczycieli i materiały dydaktyczne. 7. J. Królikowski, E. Tołwińska-Królikowska, Projekt jako metoda nauczania, w: Europa na co dzień - pakiet edukacyjny RIV, Warszawa, CODN, 1998. 8. http://www.scholaris.edu.pl 165