Ekonometria - Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilnosci

Transkrypt

Test liniowych restrykcji
Stabilność parametrów
Prognozowanie i błąd predykcji ex ante
Błąd predykcji ex post
Ekonometria
Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów
strukturalnych
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
Prognozowanie, stabilność
1 / 17
Agenda
1
2
Test Chowa
Test QLR
3
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
2 / 17
Agenda
1
2
Test Chowa
Test QLR
3
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
2 / 17
Agenda
1
2
Test Chowa
Test QLR
3
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
2 / 17
Agenda
1
2
Test Chowa
Test QLR
3
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
2 / 17
Outline
1
2
Test Chowa
Test QLR
3
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
3 / 17
Test Walda – łączna istotność zmiennych
Łączna istotność oszacowań parametrów może być weryfikowana przy pomocy testu Walda, tj.:
H0 :
β1 = β2 = . . . = βk
=0
(1)
H1 :
∃j∈{1,...,k} βj
6= 0
(2)
Statystyka testowa:
F=
(1 −
R2 /k
− (k + 1))
R2 )/(n
(3)
Statystyka testowa F ma rozkład F-Snedecora z r1 = k oraz r2 = n − (k + 1)
stopniami swobody.
Jeżeli F > F r1 ,r2 ,α - to dorzucamy H0 na rzecz H1 .
Jeżeli F < F r1 ,r2 ,α -to nie ma podstaw do odrzucenia H0 na rzecz H1 .
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
4 / 17
Test Walda umożliwia przede wszystkim szersze testowanie restrykcji liniowych.
H0 : R × β = q
(4)
Macierz restrykcji R jest wymiarów r × (k + 1), gdzie r to liczba restrykcji. Restrykcje są zapisywane wierszowo, a test Walda pozwala na weryfikację koniunkcji
wszystkich restrykcji.
Statystyka testowa:
F=
(SSE(β̂) − SSE(β̂ R ))/r
SSE(β̂)/(n − (k + 1))
ma rozkład F-Snedecora z r1 = r oraz r2 = n − (k + 1).
SSE(β̂ R ) - jest sumą kwadratów reszt modelu z restrykcjami;
SSE(β̂) - jest sumą kwadratów reszt modelu bez restrykcji;
(5)
Przykłady wykorzystania testu Walda:
Weryfikowanie restrykcji ekonomicznych.
Test pominiętych zmiennych.
Wiarygodność wnioskowania zależy od potencjalnych problemów ze składnikiem
losowym, tj. autokorelacji czy heteroskedastyczności!
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
5 / 17
Przykłady zapisu macierzowego w teście liniowych restrykcji Walda
Przykład #1: test Walda na istotność zmiennych w modelu:
 0
 0
R= .
.
.
0
1
0
..
.
0
0
1
..
.
0
...
...
..
.
...
0
0
..
.
1
 0 

 0 
 oraz q =  .. 

.
0
Przykład #2: załóżmy, że mamy cztery zmienne egzogeniczne oraz
1
2
3
β1 = β3
β2 = ν
β1 + β4 = γ.
Wtedy:
"
R=
Jakub Mućk
Ekonometria
0
0
0
1
0
1
0
1
0
Ćwiczenia 4
−1
0
0
0
0
1
#
"
oraz
q=
0
ν
γ
#
6 / 17
Test Walda i odporny estymator kowariancji
Częstym rozwiązaniem problemu autokorelacji lub heteroskeastyczności jest
wykorzystanie odpornego estymatora kowariancji.
Statystyka testu Walda nie będzie wiarygodna, jeżeli składnik losowy będzie
wykazywał autokorelację lub heteroskedastyczność.
Statystyka W uwzględniająca odporny estymator kowariancji:
W = (Rβ − q)0 R0 VR (Rβ − q) ,
(6)
gdzie V to odporny estymator macierzy kowariancji, a R i q opisują r testowanych hipotez.
Statystyka W ma rozkład χ2 z r stopniami swobody.
Zależność między statystykami F i W:
F=
1
W,
r
(7)
gdzie F ma rozkład F-Snedecora z r1 = r oraz r2 = n − (k + 1).
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
7 / 17
Test Chowa
Test QLR
Outline
1
2
Test Chowa
Test QLR
3
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
8 / 17
Test Chowa
Test QLR
Stabilność oszacowań parametrów modeli ekonometrycznych jest zasadna zarówno w przypadku prognozowania jak i analizy strukturalnej.
Testy statystyczne: test Chowa i QLR.
Estymacja rekursywna (recursive estimation) lub na oknie o stałej liczbie
obserwacji (rolling window estimation).
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
9 / 17
Test Chowa
Test QLR
Test Chowa pozwala na statystyczną identyfikację zmiany strukturalnej parametrów.
Punktem wyjściowym w teście Chowa jest wybór punktu załamania strukturalnego, a więc momentu w czasie, po którym nastąpiła zmiana strukturalna.
Przed załamaniem strukturalnym
yt =
β0,1 + β1,1 x1t + . . . + βk,1 xkt + εt
(8)
Po załamaniu strukturalnym
yt =
β0,2 + β1,2 x1t + . . . + βk,2 xkt + ηt
(9)
Zestaw hipotez:
H0 :
∀1∈(1,..,k) βi = βi,1 = βi,2
(10)
H1 :
∃1∈(1,..,k) βi,1 6= βi,2
(11)
SSE − SSE1 − SSE2 /(k + 1)
(SSE1 + SSE2 )/(n − 2(k + 1))
(12)
Statystyka testowa:
F=
gdzie SSE to suma kwadratów reszt w całej próbie, a SSE1 oraz SSE1 w
pierwszej oraz drugiej podróbie.
Statystyka F ma rozkład F-snedecora z k + 1 oraz n − 2(k + 1) stopniami
swobody.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
10 / 17
Test Chowa
Test QLR
Test QLR
Test QLR pozwala rozwiązać problem, gdy nieznany jest dokładny punkt
załamania strukturalnego.
Rozważana postać regresji:
yt =
k
X
βi xjt +
i=0
k
X
δi βi xjt It (τ ) + εt
(13)
i=0
gdzie It (τ ) to zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość 1 gdy t ≤ τ
Jako punkt załamania strukturalnego rozważany jest każdy punkt τ należący
do sensownego przedziału, np. 70% środkowych obserwacji.
Dla każdego punktu τ obliczana jest statystyka testowa F i dalsze wnioskowanie opiera się na schemacie analogicznym do testu Chowa.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
11 / 17
Outline
1
2
Test Chowa
Test QLR
3
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
12 / 17
Zasady prognozowania punktowego:
Zasada prognozowania według wartości oczekiwanej.
Zasada prognozowania według największego prawdopodobieństwa.
Zasada prognozowania według mediany.
Zasada prognozowania minimalizującego oczekiwaną stratę.
Model przydatny do prognozowania:
Charakteryzuje się stabilnymi w czasie oszacowaniami.
Posiada znane realizacje wartości zmiennych objaśniających.
Zostać pozytywnie zweryfikowany, tj. własności składnika losowego nie powinny budzić zastrzeżeń.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
13 / 17
Prognoza punktowa opiera się o: oszacowania wektora (β̂) oraz realizację
zmiennych objaśniających (Xτ ):
yτP = Xτ β̂
(14)
Błąd prognozy ex ante wynika z niepewności oszacowań parametrów
strukturalnych (błąd estymacji) oraz błędu struktury stochastyczne:
SτP = S
q
1 + XτT (X T X )−1 XτT
(15)
gdzie S to estymator odchylenia standardowego składnika losowego.
Średni względny błąd prognozy:
ντ =
SτP
|yτP |
(16)
Prognoza przedziałowa opiera się zarówno o prognozę punktową jak i błąd
prognozy:
(17)
P yτP − tα SτP < yτP < yτP + tα SτP = 1 − α
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
14 / 17
Outline
1
2
Test Chowa
Test QLR
3
4
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
15 / 17
W przeciwieństwie do błędu prognozy ex ante, błąd prognozy ex post
pozwala na ocenę trafności prognoz w porównaniu do zrealizowanych wartości
zmiennej y.
Podobnie jest w przypadku mierników dopasowania modelu do danych – błąd
prognozy ex post nie powinnien być nadrzędnym kryterium w wyborze
modelu ekonometrycznego.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
16 / 17
Średni błąd predykcji ME (mean error):
n
X
1
n
ME =
P
(yτ − yτ )
(18)
i=1
Średni absolutny błąd predykcji MAE (mean absolute error):
n
X
1
n
MAE =
P
|yτ − yτ |
(19)
i=1
Błąd średniokwadratowy predykcji MSE (mean square error):
MSE =
1
n
n
X
P 2
(yτ − yτ )
(20)
i=1
Pierwiastek błędu średniokwadratowy predykcji RMSE (root mean square error):
s
RMSE =
1
n
n
X
(yτ − yτP )2
(21)
i=1
Średni procentowy błąd prognozy MAPE(mean absolute percentage error)
MAPE =
1
n
n
X
|
yτ − yτP
|
yτ
(22)
i=1
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 4
17 / 17

Ekonometria - Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilnosci

Transkrypt

Podobne dokumenty

Ramowy program szkolenia Zarządzanie finansami dla każdego

zaproszenie - Wydział Bezpieczeństwa Narodowego

STRAIL Vorderseite 210x297mm 4c pl

ZASTOSOWANIE SZAREGO MODELU GM (1,1) W PREDYKCJI

Jak sporządzić plan finansowy? Prognoza sprawozdań finansowych

wykorzystanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu

tygiel ceramiczny_AMERIO - Arex-Pol

Data Mining – podstawy analizy danych

lista tytułów w pdf