4. Planimetria
Transkrypt
4. Planimetria
Planimetria – poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm. Oblicz pole tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/117565 2. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o obwodzie 40 ma długość 17. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/120532 3. Dany jest trójkąt, w którym suma długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok jest równa 8. Funkcja przyporządkowuje długości tego boku – pole trójkąta. Wyznacz wzór tej funkcji, jej dziedzinę, największą wartość, oraz zbiór wartości funkcji. http://www.zadania.info/d18/141189 4. Na bokach i Udowodnij, że | równoległoboku | = | |. zbudowano kwadraty i (zobacz rysunek). http://www.zadania.info/d18/165340 5. Obwód czworokąta wypukłego jest równy 50 cm. Obwód trójkąta jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej . jest równy 46 cm, a obwód trójkąta http://www.zadania.info/d18/174072 6. Miary kątów trójkąta są w stosunku 1:2:3. Obwód koła opisanego na tym trójkącie jest równy 12 . Oblicz pole tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/211229 7. Romb o kącie ostrym 30° jest opisany na okręgu o promieniu 2. Oblicz pole tego rombu. http://www.zadania.info/d18/223324 8. Znajdź długości przekątnych rombu o boku 29 jeżeli wiadomo, że ich różnica długości jest równa 2. http://www.zadania.info/d18/261121 9. W trapezie kąty przy dłuższej podstawie to 60° i 30°, a długość wysokości trapezu wynosi 6. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw wiedząc, że suma długości ramion jest równa sumie długości podstaw. http://www.zadania.info/d18/274850 10. Stosunek długości przekątnych rombu o boku 17 cm jest równy 5:3. Oblicz pole rombu. http://www.zadania.info/d18/300183 11. Wierzchołki kwadratu połączono ze środkami jego boków (zobacz rysunek) i otrzymano w ten sposób mniejszy kwadrat . Oblicz, jaki jest stosunek obwodów kwadratów i . http://www.zadania.info/d18/309798 12. Przez wierzchołek i prostokąta w punktach i poprowadzono prostą, która przecięła proste | odpowiednio. Wykaż, że | | | | +| | | = 1. http://www.zadania.info/d18/315547 13. Uzasadnij, że jeżeli prostokąt nie jest kwadratem, to punkty przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych są wierzchołkami kwadratu. http://www.zadania.info/d18/316669 14. Udowodnij, że w trójkącie równoramiennym środkowe poprowadzone do równych boków są równej długości. http://www.zadania.info/d18/405361 15. Boki prostokąta mają długości 5 i 12. Oblicz odległość wierzchołka od przekątnej . http://www.zadania.info/d18/425091 16. W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 3√3. http://www.zadania.info/d18/443709 17. W trapezie równoramiennym stosunek długości podstaw jest równy 3: 4, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 7√35. http://www.zadania.info/d18/8545863 18. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 8 cm. Promień okręgu, stycznego w punktach stych zawierających ramiona i trójkąta, ma długość 5 cm. Oblicz pole trójkąta . i do pro- http://www.zadania.info/d18/470376 19. Punkty , , dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 2: 3: 4. Oblicz miary kątów trójkąta http://www.zadania.info/d18/480702 20. Punkty , , leżą na okręgu o środku " i dzielą ten okrąg na trzy łuki, których stosunek długości jest równy 3: 4: 5. Oblicz miary kątów trójkąta . http://www.zadania.info/d18/9130944 21. Punkty , , dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 5: 6: 7. Oblicz miary kątów trójkąta . http://www.zadania.info/d18/4201901 . 22. Punkty #, $, % dzielą okrąg na trzy łuki #$, $% i #%. Długości łuków #$, $% i #% pozostają w stosunku 1: 2: 3. Oblicz miary kątów trójkąta #$%. http://www.zadania.info/d18/3962726 23. Punkt % jest środkiem okręgu wpisanego w trapez ( ∥ ). Wykaż, że trójkąt % jest prostokątny. http://www.zadania.info/d18/499969 24. Przyprostokątne trójkąta 39. Oblicz pole trójkąta mają długości 10 i 24. Przeciwprostokątna trójkąta ' podobnego do niego ma długość '. http://www.zadania.info/d18/503019 25. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 9 i 40. Najdłuższy bok tego trójkąta jest równy najkrótszemu bokowi trójkąta ' podobnego do trójkąta . Oblicz pole trójkąta '. http://www.zadania.info/d18/6202631 26. Trójkąty prostokątne i są podobne. Przyprostokątne trójkąta trójkąta ma długość 26. Wyznacz pole trójkąta . mają długości 5 i 12, a przeciwprostokątna http://www.zadania.info/d18/4180585 27. Z punktu leżącego na okręgu poprowadź cięciwę znacz miary kątów wewnętrznych trójkąta . o długości równej promieniowi okręgu oraz średnicę . Wy- http://www.zadania.info/d18/508943 28. Pole rombu jest równe 60 cm2. Dłuższa przekątna rombu podzieliła kąt ostry rombu na takie dwa kąty o mierze (, że + tg ( = ,-. Oblicz długość boku rombu. http://www.zadania.info/d18/515099 29. Uzasadnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym. http://www.zadania.info/d18/517971 30. Odcinek | |=| jest wysokością przedstawionego na rysunku trójkąta równoramiennego |. Udowodnij, że |∢ | = 2|∢ |. , w którym http://www.zadania.info/d18/519144 31. Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/540808 32. Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 6 cm i 20 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/5097730 33. Dany jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30°. Oblicz obwód trójkąta, jeżeli przeciwprostokątna ma długość 12 dm. Zad. 34. http://www.zadania.info/d18/554341 34. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym . Kąt % jest trzy razy większy od kąta %, a kąt % jest dwa razy większy od kąta %. Oblicz kąty trójkąta . http://www.zadania.info/d18/582786 35. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym . Kąt większy od kąta %, a kąt jest o 10° większy od kąta %. Oblicz kąty trójkąta Zad. 35. jest dwa razy . http://www.zadania.info/d18/406414 36. W trójkącie równobocznym bok jest o 6 cm dłuższy od wysokości trójkąta. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/585528 37. W trójkącie równobocznym wysokość jest o 3 cm krótsza od boku trójkąta. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/1763649 38. Bok czworokąta wodnij, że| |/ + | |/ wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udo= | |/ + | |/ . http://www.zadania.info/d18/597648 39. W trójkącie sposób, że | , w którym | | = | | połączono wierzchołek punktem na boku | = | |. Wyznacz miary kątów trójkąta | = 18°. jeżeli |∢ w ten Zad. 38. http://www.zadania.info/d18/614531 40. W rombie jedna z przekątnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekątnych pole rombu jest większe od 5 cm2? http://www.zadania.info/d18/634518 41. Na przekątnej równoległoboku obrano dowolny punkt #. Wykaż, że pola trójkątów # i # są równe. #i # są równe. http://www.zadania.info/d18/648299 42. Na przekątnej równoległoboku obrano dowolny punkt P. Wykaż, że pola trójkątów http://www.zadania.info/d18/7463284 43. Czy istnieje taki wielokąt, który ma 2 razy więcej przekątnych niż boków? http://www.zadania.info/d18/656817 44. Do dwóch okręgów o promieniach długości 3 cm i 10 cm poprowadzono wspólną styczną tak, że okręgi znajdują się po różnych stronach tej stycznej. Odległość między środkami okręgów wynosi 39 cm. Oblicz długość odcinka między punktami styczności. http://www.zadania.info/d18/663131 45. W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, ramię ma długość 7 cm, a przekątna 8 cm. Oblicz długości podstaw trapezu wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 4 cm. http://www.zadania.info/d18/747002 46. Punkt E leży na ramieniu trapezu , w którym ∥ . Udowodnij, że |∢ | = |∢ | + |∢ |. http://www.zadania.info/d18/771471 47. Dany jest trójkąt gdzie |∢ 2 | = 90°. Wiadomo, że tg ( = . Podaj wartości pozostałych funk- cji trygonometrycznych kąta (. http://www.zadania.info/d18/776162 48. Dany jest trójkąt gdzie |∢ 3 | = 90°. Wiadomo, że tg ( = . Podaj wartości pozostałych funk- cji trygonometrycznych kąta (. http://www.zadania.info/d18/816031 49. Dane jest koło o promieniu długości 16 cm. W kole tym poprowadzono cięciwę opartą na łuku odpowiadającym kątowi środkowemu o mierze 120°. Znajdź odległość tej cięciwy od środka koła. http://www.zadania.info/d18/789916 50. Dany jest trójkąt prostokątny, w którym 4, 5 oznaczają długości przyprostokątnych, ( jest miarą kąta ostrego leżącego naprzeciw przyprostokątnej 4. Wiadomo, że sin ( = a) Tangens kąta (; ; √,9 . ,9 Oblicz: => b) Wartość wyrażenia 3 ∙ ;<= + 2 ∙ ;> ?=>. http://www.zadania.info/d18/797723 51. Podaj wymiary prostokąta, którego boki różnią się o 6 cm, a przekątna ma długość 30 cm. http://www.zadania.info/d18/800923 52. Liczby @ − 1; @; 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz @. http://www.zadania.info/d18/847239 53. Z punktu leżącego na okręgu o promieniu C = 6 cm i środku " poprowadzono dwie równej długości cięciwy tworzące kąt 30°. Oblicz pole czworokąta " . i http://www.zadania.info/d18/855782 54. Jaki warunek musi spełniać liczba @, aby istniał trójkąt o bokach 2@, @, 4? http://www.zadania.info/d18/918605 55. Dany jest trójkąt równoboczny | | = | |. . Okrąg o średnicy przecina bok w punkcie . Wykaż, że http://www.zadania.info/d18/928884 56. Punkt M jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego . Punkt D jest punktem wspólnym przekątnej i wysokości opuszczonej na dłuższą podstawę . Wykaż, że | '|/ = |'D| ∙ |' |. http://www.zadania.info/d18/930402 57. Na zewnątrz kwadratu Uzasadnij, że proste i na bokach i są prostopadłe. zbudowano trójkąty równoboczne i . http://www.zadania.info/d18/967350 58. Dany jest trójkąt prostokątny o polu 2√3 i kącie ostrym 30°. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/1082355 59. Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest E boków i E ≥ 3 wyraża się wzorem #G = GHG<2I . / a) Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym. b) Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków. c) Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij. d) Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków. http://www.zadania.info/d18/1091721 60. Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku ma miarę 60°. Przekątna prostopadła do boku . Oblicz długości boków równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/1095850 ma długość 6, a przekątna jest 61. Przez środek % okręgu wpisanego w trójkąt poprowadzono prostą równoległą do boku która przecina boki i odpowiednio w punktach i . Wykaż, że: | | = | | + | |. , http://www.zadania.info/d18/1170579 62. Krótsza przekątna rombu o długości 8√3 cm dzieli go na dwa trójkąty równoboczne. Oblicz pole rombu. http://www.zadania.info/d18/1183727 63. W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość między tymi cięciwami. http://www.zadania.info/d18/1199631 64. Dany jest trójkąt o wymiarach 4 = 8 cm, 5 = 12 cm, J = 16 cm. Oblicz obwód trójkąta podobnego w skali 5. http://www.zadania.info/d18/1208276 , 65. Dany jest trójkąt o wymiarach 4 = 8 cm, 5 = 12 cm, J = 16 cm. Oblicz obwód trójkąta podobnego w skali 2. http://www.zadania.info/d18/9953582 66. W trójkącie równobocznym i '. '. Oblicz stosunek pól trójkątów połączono środki wysokości otrzymując trójkąt http://www.zadania.info/d18/1281792 67. Liczby 4, 10, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz J. http://www.zadania.info/d18/1334320 68. Liczby 6, 12, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz długość boku J. http://www.zadania.info/d18/8293324 69. Liczby 3, 7, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz długość boku J. http://www.zadania.info/d18/9637057 70. Przekątne czworokąta są prostopadłe. Wykaż, że | |/ + | |/ = | |/ + | |/. http://www.zadania.info/d18/1340877 71. Dany jest prostokąt . Okręgi o średnicach że punkty , #, leżą na jednej prostej. i przecinają się w punktach i #. Wykaż, http://www.zadania.info/d18/1388144 72. Dany jest równoległobok . Okręgi o średnicach Wykaż, że punkty , , leżą na jednej prostej. i przecinają się w punktach i . http://www.zadania.info/d18/789411 73. Punkty i są punktami wspólnymi dwóch okręgów, a odcinki że punkt leży na prostej przechodzącej przez punkty i . i ich średnicami. Wykaż, http://www.zadania.info/d18/8050931 74. Wykaż, że wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki i , których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio i tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/1443383 75. Na zewnątrz kwadratu na bokach sadnij, że trójkąt jest równoboczny. i zbudowano trójkąty równoboczne i . Uza- http://www.zadania.info/d18/1450893 76. Różnica kwadratów długości przekątnych trapezu prostokątnego wynosi 21, jego wysokość ma długość 4, a dłuższe ramię ma długość 5. Oblicz pole trapezu. http://www.zadania.info/d18/1455062 77. Na zewnątrz trójkąta prostokątnego | | = 12 zbudowano kwadrat Oblicz pole trójkąta . | = 90° oraz | | = 5, , w którym |∢ | = 90°. . Punkt leży na prostej i kąt |∢ http://www.zadania.info/d18/1482488 78. Na rysunku przedstawiono kwadrat odcinki i są prostopadłe. . Punkty i są środkami boków i . Uzasadnij, że http://www.zadania.info/d18/1503205 79. Punkt jest środkiem boku prostokąta , w którym | | = 90°. Udowodnij, że |∢ | = |∢ |. oraz |∢ |>| |. Punkt leży na boku tego prostokąta http://www.zadania.info/d18/1503800 80. Punkt #, będący punktem wewnętrznym trójkąta , przekształcamy przez symetrię względem prostych zawierających boki , i otrzymując odpowiednio punkty #, , #/ , #2 . Udowodnij, że pole sześciokąta #, #/ #2 jest dwa razy większe od pola trójkąta . http://www.zadania.info/d18/1552465 81. Krótsza podstawa trapezu ma długość 2, a ramiona długości 2√2 i 4 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 45° i 30°. Oblicz pole trapezu. http://www.zadania.info/d18/1562603 82. W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona do podstawy ma długość 6√6. Ramię jest o 30% krótsze od podstawy. Oblicz obwód tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/1604874 83. O ile procent zmniejszy się pole rombu, jeśli jedną przekątną rombu zwiększymy o 20%, a drugą przekątną skrócimy o 40%? http://www.zadania.info/d18/1660476 84. Wyznacz wymiary prostokąta o obwodzie 36 cm, którego pole jest największe. http://www.zadania.info/d18/1682747 85. Z drutu o długości 200 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe? http://www.zadania.info/d18/2312654 86. Z drutu o długości 320 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe? http://www.zadania.info/d18/4923186 ; 87. Z wierzchołków kwadratu o boku 4, jako ze środków zakreślono 4 okręgi o promieniu /. Znajdź promienie okręgów stycznych do tych czterech okręgów jednocześnie. http://www.zadania.info/d18/1723380 | = 70° połączono środek okręgu wpisanego " z wierzchoł88. W trójkącie , w którym |∢ kami i . Oblicz miarę kąta " . http://www.zadania.info/d18/1756024 89. Dany jest trapez prostokątny (zobacz rysunek). Wyznacz obwód tego trapezu, jeżeli miara kąta przy wierzchołku wynosi 30°. http://www.zadania.info/d18/1766816 90. Punkt ' leży wewnątrz prostokąta (zob. rysunek). / / / Udowodnij, że: | '| + | '| = | '| + | '|/ . http://www.zadania.info/d18/1787847 91. Dany jest kwadrat . Przekątne odcinków – odpowiednio – , | D| = | 2 i i . Punkty przecinają się w punkcie . Punkty i D leżą na przekątnej | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta i ' są środkami tak, że | , 2 |= | | i 'D do pola kwadratu jest równy 1:3. http://www.zadania.info/d18/1791391 92. Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 4 zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt 'D#. Wykaż, że pole trójkąta 'D# jest równe 4/ . http://www.zadania.info/d18/1796252 93. Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych figur ma większe pole. http://www.zadania.info/d18/1814426 94. W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy 4 = 12 cm i wysokości ℎ = 18 cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta, przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta. http://www.zadania.info/d18/1838865 95. Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre α i β są takie, że 2 3 cos ( = 3 i tg O = 2. http://www.zadania.info/d18/1848583 96. Suma pól dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 234 cm2. Oblicz promienie tych kół, jeżeli wiadomo, że obwód większego koła jest o 400% większy od obwodu mniejszego koła. http://www.zadania.info/d18/1891398 97. Oblicz pole trójkąta równoramiennego, w którym odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej jest równa 5 cm. http://www.zadania.info/d18/1926837 98. Wysokość trapezu równoramiennego ma długość √6, a jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole trapezu wiedząc, że sinus jego kąta ostrego jest równy 0,2. http://www.zadania.info/d18/1992164 99. Wykaż, że jeśli przekątna trapezu równoramiennego zawiera się w dwusiecznej jego kąta ostrego, to ramię jest równe krótszej podstawie. http://www.zadania.info/d18/2020226 100. Obwód trapezu równoramiennego wynosi 32 cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na dwa odcinki o długościach 3 cm i 11 cm. Oblicz pole trapezu. http://www.zadania.info/d18/2060973 101. Obwód trapezu równoramiennego wynosi 50 cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na dwa odcinki o długościach 5 cm i 12 cm. Oblicz pole trapezu. http://www.zadania.info/d18/1092866 102. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że pola tych trójkątów, w których jeden z boków jest ramieniem trapezu, są równe. http://www.zadania.info/d18/2067469 103. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że stosunek pól tych trójkątów, w których jeden z boków jest podstawą trapezu, jest równy stosunkowi kwadratów długości podstaw trapezu. http://www.zadania.info/d18/4553577 104. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że stosunek pól trójkątów takich, że bokiem jednego jest ramię trapezu, a bokiem drugiego jest podstawa trapezu, jest równy stosunkowi długości podstaw trapezu. http://www.zadania.info/d18/8478142 105. Na sześciokącie foremnym opisano okrąg i w ten sześciokąt wpisano okrąg. Pole powstałego pierścienia jest równe 2 dm2. Oblicz pole powierzchni wielokąta. http://www.zadania.info/d18/2111107 106. Punkty trójkąta P , P , ′ są środkami boków trójkąta . . Pole trójkąta ′ ′ ′ jest równe 4. Oblicz pole http://www.zadania.info/d18/2124722 107. Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 240°. Oblicz miarę kąta środkowego. http://www.zadania.info/d18/2165878 108. Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 330°. Oblicz miarę kąta wpisanego. http://www.zadania.info/d18/192935 109. Oblicz pole rombu, którego jeden z kątów wewnętrznych wynosi 120°, a przekątna poprowadzona z wierzchołka tego kąta ma długość 10 cm. http://www.zadania.info/d18/2189527 110. Dany jest trójkąt , w którym | | > | |. Na bokach i tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty i , że zachodzi równość | | = | |. Proste i prze| = |∢ | − 2|∢ |. cinają się w punkcie (zobacz rysunek). Wykaż, że: |∢ http://www.zadania.info/d18/2202691 111. Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest równoramienny. razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest http://www.zadania.info/d18/2218229 112. W trójkącie równoramiennym , w którym | | = | | = 10 cm, wysokość poprowadzona z wierzchołka równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach. jest http://www.zadania.info/d18/2235003 113. Prosta przechodząca przez wierzchołek równoległoboku przecina jego przekątną / w punkcie , a prostą w punkcie . Udowodnij, że: | | = | | ∙ | |. w punkcie i bok http://www.zadania.info/d18/2235986 114. W trójkącie ne. połączono środki boków i otrzymano trójkąt ′ ′ ′. Uzasadnij, że trójkąty i ′ ′ ′ są podob- http://www.zadania.info/d18/2320163 115. Punkty P , P , ′ są środkami odpowiednio boków ′ ′ ′ jest przystający do trójkąta ′ ′. , , trójkąta . Uzasadnij, że trójkąt http://www.zadania.info/d18/5467125 116. Trójkąty i są równoboczne (zobacz rysunek). Punkty , i leżą na jednej prostej. Punkty , i ' są środkami odcinków , i . Wykaż, że |∢ '| = 60°. http://www.zadania.info/d18/2368306 117. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki długości 1 cm i 49 cm. Oblicz pole tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/2377825 118. Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o obwodzie 90 jest liczbą całkowitą i jest o 1 większa od długości jednej z przyprostokątnych. Oblicz pole tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/2399890 119. Dwa przeciwległe boki kwadratu wydłużono dwukrotnie, a każdy z dwóch pozostałych skrócono o 3 cm. Pole otrzymanego prostokąta jest o 16 cm2 większe od pola kwadratu. Oblicz długości boków prostokąta. http://www.zadania.info/d18/2464724 120. Dwa przeciwległe boki kwadratu wydłużono trzykrotnie, a każdy z dwóch pozostałych wydłużono o 2 cm. Pole otrzymanego prostokąta jest o 108 cm2 większe od pola kwadratu. Oblicz długości boków prostokąta. http://www.zadania.info/d18/5384223 121. Dwa okręgi o środkach %, i %/ przecinają się w punktach i , przy czym punkty %, i %/ leżą po przeciwnych stronach prostej . Miary kątów ∢ %, i ∢ %/ wynoszą odpowiednio 90° i 60°. Wyznacz stosunek R S długości promieni tych okręgów. http://www.zadania.info/d18/2470454 122. Trójkąty prostokątne równoramienne i są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że | | = | |. http://www.zadania.info/d18/2471654 123. Oblicz pole rombu, w którym długość boku jest równa 13 cm, a długości przekątnych różnią się o 14 cm. http://www.zadania.info/d18/2564378 124. Obwód rombu jest równy 8√10 cm, a jedna z jego przekątnych jest o 8 cm dłuższa od drugiej. Oblicz pole rombu. http://www.zadania.info/d18/6329196 125. Dany jest romb o boku długości 35. Długości przekątnych tego rombu różnią się o 14. Oblicz pole tego rombu. http://www.zadania.info/d18/3506208 126. Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 60°, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1. Oblicz długości boków trójkąta. http://www.zadania.info/d18/2574626 127. W trapezie długość podstawy odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ∢ Oblicz obwód tego trapezu. jest równa 18, a długości ramion trapezu i są i∢ , zaznaczone na rysunku, mają równe miary. http://www.zadania.info/d18/2587243 128. Oblicz pole trójkąta równoramiennego | | = 8, a długość odcinka | | = 6. (patrz rysunek, | |=| |), w którym wysokość (patrz rysunek, | |=| |), w którym wysokość http://www.zadania.info/d18/2599814 129. Oblicz pole trójkąta równoramiennego | | = 4, a długość odcinka | | = 3. http://www.zadania.info/d18/2257587 130. Podział odcinka, w wyniku którego otrzymujemy dwa odcinki takie, że stosunek długości krótszego z nich do długości dłuższego jest równy stosunkowi długości dłuższego odcinka do długości wyjściowego odcinka, nazywamy złotym podziałem odcinka. a) Odcinek podzielono na dwa odcinki o długościach 2√5 i 5 − √5. Rozstrzygnij, czy dokonano złotego podziału odcinka . b) Dokonano złotego podziału odcinka o długości 2. Oblicz długości odcinków, na jakie podzielono dany odcinek. http://www.zadania.info/d18/2618745 131. Prosta T równoległa do boku trójkąta przecina boki oraz odpowiednio w punktach i (rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta wynosi 4 cm2, zaś pole trapezu | jest równe 8 cm2. Wykaż, że | | U| = √3 − 1. http://www.zadania.info/d18/2657299 132. Prosta T równoległa do boku Wiadomo, że pole trójkąta trójkąta przecina boki 2 wynosi 2 cm , zaś pole trapezu oraz odpowiednio w punktach 2 jest równe 8 cm . Wykaż, że | | | U| i (rysunek). = √5 − 1. http://www.zadania.info/d18/2812121 133. Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma miarę 30°. Uzasadnij, że pole trójkąta jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku równym podstawie trójkąta . http://www.zadania.info/d18/2672743 134. Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi V √2 . + Wyznacz miarę kąta ostrego rombu. http://www.zadania.info/d18/2688091 135. Oblicz pole wycinka koła o środku w punkcie wynosi 2√2, a kąt ostry rombu ma miarę 45°. (zacieniowany obszar) jeśli pole rombu http://www.zadania.info/d18/2697738 136. W kole o środku % poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt ściach 11 i 29. Odcinek % ma długość 15. Oblicz promień tego koła. dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długo- http://www.zadania.info/d18/2745640 137. Trójkąt prostokątny ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych. http://www.zadania.info/d18/2811896 138. Punkty #, , #/ , #2 , … , #/2 , #/3 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt punktem przecięcia cięciw #,, #// i #, #,X. Udowodnij, że |∢#,X #,, | = 60°. jest http://www.zadania.info/d18/2816233 139. Długości boków równoległoboku są równe 6 i 10, a jego pole wynosi 36. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/2835850 140. Dany jest równoległobok, którego obwód jest równy 50 cm. Stosunek długości jego wysokości wynosi 2:3, a stosunek miar jego kątów wewnętrznych jest równy 1:2. Oblicz długości boków i wysokości tego równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/2895060 141. Wykaż, że jeżeli każda przekątna czworokąta dzieli go na trójkąty o równych polach to czworokąt ten jest równoległobokiem. http://www.zadania.info/d18/2926623 H I przekątne 142. W trapezie ∥ i przecinają się w punkcie " takim, że | "|: |" | = 5: 1. Pole ∆ " jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu jest równe 72. http://www.zadania.info/d18/2978355 H I przekątne 143. W trapezie ∥ i przecinają się w punkcie " takim, że | "|: |" | = 4: 1. Pole ∆ " jest równe 2. Uzasadnij, że pole trapezu jest równe 50. http://www.zadania.info/d18/793467 144. Na trójkącie równobocznym opisano drugi trójkąt równoboczny tak, że wierzchołki pierwszego trójkąta leżą na bokach drugiego. Boki obydwu trójkątów tworzą kąty 30°. Jakim procentem pola małego trójkąta jest pole dużego trójkąta? http://www.zadania.info/d18/3000931 145. W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia i tworzy z dłuższą podstawą zu kąt o mierze 30°. Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej wynosi 12√3. trape- http://www.zadania.info/d18/3010094 146. W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia. Kąt ostry trapezu ma miarę 60°. Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej wynosi 16√3. http://www.zadania.info/d18/1591084 147. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 20√3. Pole trójkąta jest równe 100√3. Oblicz obwód tego trójkąta i miarę kąta przy podstawie. http://www.zadania.info/d18/3054663 148. Oblicz sumę długości boków i pole trójkąta prostokątnego, w którym jedna z przyprostokątnych jest równa 10 cm, a druga jest o 2 cm krótsza od przeciwprostokątnej. http://www.zadania.info/d18/3081442 149. Środek % okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym , o ramionach i , leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego ∢ % jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego ∢% . http://www.zadania.info/d18/3170525 150. Na środkowej trójkąta wybrano punkt . Wykaż, że trójkąty i mają równe pola. http://www.zadania.info/d18/3177175 151. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość 3 dm, a długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wynosi 1 dm. Oblicz obwód tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/3224659 152. Oblicz sumę tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc że stosunek pola tego trójkąta do pola kwadra, tu, którego bokiem jest przeciwprostokątna danego trójkąta wynosi X. http://www.zadania.info/d18/3226720 153. Stosunek pola trójkąta prostokątnego do pola kwadratu, zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta jest równy , . + Oblicz sumę tangensów kątów ostrych tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/3760185 154. W okrąg o środku % wpisany jest trójkąt równoramienny o kącie między ramionami i równym 40°. Przez wierzchołek i środek okręgu % poprowadzono prostą, która przecięła bok trójkąta w punkcie . Wyznacz miarę kąta . http://www.zadania.info/d18/3257521 155. Przekątne podzieliły czworokąt na 4 trójkąty. Korzystając z podanych pól trzech z tych trójkątów, wyznacz pole trójkąta %. http://www.zadania.info/d18/3269791 156. W trójkąt równoboczny Udowodnij, że trójkąt wpisano trójkąt jest równoboczny. (patrz rysunek), tak że | |=| |=| |. http://www.zadania.info/d18/3315086 157. W kwadracie połączono odcinkiem środki przeciwległych boków. Wiedząc, że przekątne tak utworzonych prostokątów dzielą się na odcinki długości 1, oblicz pole wyjściowego kwadratu. http://www.zadania.info/d18/3414641 158. Różnica promieni dwóch okręgów współśrodkowych jest równa 3. W okręgu o większym promieniu poprowadzono cięciwę styczną do drugiego okręgu. Cięciwa ta ma długość 10. Oblicz długość promieni tych okręgów. http://www.zadania.info/d18/3418127 159. Proste zawierające ramiona i trapezu przecinają się w punkcie %. Dane są: | obwód trójkąta % równy √18. Oblicz obwód trójkąta % . | = 6, | | = 2 oraz http://www.zadania.info/d18/3452825 160. Oblicz wysokość i przekątną trapezu równoramiennego o podstawach 21 cm i 11 cm oraz ramieniu równym 13 cm. http://www.zadania.info/d18/3468736 161. Dany jest trójkąt ostrokątny równoramienny , w którym bok jest równy . Odcinek jest wysokością tego trójkąta, oraz odcinek jest wysokością tego trójkąta. Udowodnij, że kąt jest równy kątowi . http://www.zadania.info/d18/3503552 162. W kwadrat o boku długości 24 wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka łączącego wierzchołek ze środkiem boku . http://www.zadania.info/d18/3508721 ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 40. Wiedząc, że tangens 163. W trapezie równoramiennym kąta ostrego w trapezie 2 jest równy 3, oblicz długości jego podstaw. http://www.zadania.info/d18/3547991 164. W trapezie równoramiennym ramię ma długość 13. Obwód tego trapezu jest równy 52. Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trapezie jest równy ,/ , - oblicz długości jego podstaw. http://www.zadania.info/d18/6776289 165. W trójkąt , w którym |∢ | = ( oraz |∢ punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami | = O, wpisano okrąg. Punkty , i . Wykaż, że |∢' , , ' są |= Z?[ . / http://www.zadania.info/d18/3559487 166. Wykazać, że odcinki łączące kolejne środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku tworzą także kwadrat. http://www.zadania.info/d18/3598115 167. Długość boku rombu jest równa 4, a długości jego przekątnych są równe \, i \/ . Oblicz miarę kąta ostrego rombu jeżeli wiadomo, że 4 = ]\, \/ . http://www.zadania.info/d18/3605721 168. Długość boku rombu rombu. jest średnią geometryczną długości jego przekątnych. Oblicz miarę kąta ostrego tego http://www.zadania.info/d18/4948620 169. Z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku 2 zakreślono okręgi o promieniu 2. Oblicz pole „soczewki” wyznaczonej przez te okręgi. http://www.zadania.info/d18/3612675 170. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z jego wierzchołków leży na przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było możliwie największe. http://www.zadania.info/d18/3626376 171. Korzystając z danych przedstawionych na rysunku oblicz wartość wyrażenia ; ^ ?=^ ?;> _<H;?_I^ . ; ^ <=^?2;> =<_ ^ http://www.zadania.info/d18/3664731 172. W równoległoboku, który nie jest prostokątem, krótsza przekątna dzieli go na dwa równoramienne trójkąty prostokątne. Krótszy bok równoległoboku ma długość 8. Oblicz pole tego równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/3698597 173. Okręgi `, i `/ są styczne zewnętrznie oraz oba są styczne wewnętrznie do okręgu `2 . Środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, a cięciwa okręgu `2 jest wspólną styczną okręgów `, i `/ . Oblicz długość odcinka jeżeli promienie okręgów `, i `/ są odpowiednio równe C, i C/ . http://www.zadania.info/d18/3730003 174. Trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny mają ten sam obwód długości 10cm. Oblicz pole każdej z tych figur. Która z nich ma największe pole, a która najmniejsze? http://www.zadania.info/d18/3784347 175. W trapezie mamy ∥ oraz | | > | |. Punkt " jest środkiem ramienia wspólnym prostych i " . Udowodnij, że pole trójkąta "% jest równe polu trójkąta " , a punkt % jest punktem . http://www.zadania.info/d18/3819914 176. W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa równy , . X / √2 . 2 Wykaż, że iloczyn sinusów tych kątów jest http://www.zadania.info/d18/3833924 177. W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa - 2 . / Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest równy +. http://www.zadania.info/d18/3833924 178. Liczby 6, 10, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz J. http://www.zadania.info/d18/3840236 179. W okręgu narysowano dwie średnice i . Udowodnij, że czworokąt jest prostokątem. http://www.zadania.info/d18/3840615 180. Obwód prostokąta wynosi 60 cm. Jeśli krótszy bok prostokąta zwiększymy o 3 cm, a dłuższy skrócimy o 3 cm, otrzymamy kwadrat. Wyznacz kąt pomiędzy przekątną, a dłuższym bokiem prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 1°. http://www.zadania.info/d18/3889814 181. Obwód prostokąta wynosi 32 cm. Jeśli krótszy bok prostokąta zwiększymy o 3 cm, a dłuższy skrócimy o 3 cm, otrzymamy kwadrat. Wyznacz kąt pomiędzy przekątną, a dłuższym bokiem prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 1°. http://www.zadania.info/d18/7323424 182. W trójkącie poprowadzono odcinki środkami odpowiednio odcinków , i jest równe 2. , i w ten sposób, że punkty , i są . Oblicz pole trójkąta jeżeli pole trójkąta http://www.zadania.info/d18/3934640 183. Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość 4. Oblicz długość wysokości poprowadzonej do podstawy. http://www.zadania.info/d18/3986298 184. W trójkącie miara kąta jest dwa razy większa od miary kąta . Dwusieczna kąta na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta . dzieli trójkąt http://www.zadania.info/d18/3995843 185. Dany jest trójkąt prostokątny opisanego na tym trójkącie. o przeciwprostokątnej I = 0,3 i | , taki że sinH∢ | = 7. Oblicz pole koła http://www.zadania.info/d18/4023675 186. Na rysunku okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie . Wykaż, że jeśli | | = | |, to długość odcinka jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie . http://www.zadania.info/d18/4030677 187. W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa / √2 . 2 Oblicz iloczyn sinusów tych ką- tów. http://www.zadania.info/d18/4039750 188. Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym wynosi 2√. - Oblicz iloczyn sinusów tych kątów. http://www.zadania.info/d18/1226812 189. Wykaż, że w trapezie prostokątnym różnica kwadratów długości przekątnych równa jest różnicy kwadratów długości podstaw. http://www.zadania.info/d18/4067936 190. Na kwadracie opisano okrąg o promieniu C = 3 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury. http://www.zadania.info/d18/4070779 191. Na kwadracie opisano okrąg o promieniu C = 5 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury. http://www.zadania.info/d18/2803179 192. Niech a, będzie trójkątem równobocznym o boku długości 4. Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne a/ , a2 , a3 , … takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól trójkątów a, , a/ , … , aX . http://www.zadania.info/d18/4108470 193. Wierzchołek trójkąta ostrokątnego połączono odcinkiem ze środkiem " okręgu opisanego. Z wierzchołka | = |∢" |. poprowadzono wysokość . Wykaż, że |∢ http://www.zadania.info/d18/4246560 194. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta powstałego wskutek połączenia odcinkiem wierzchołka kwadratu ze środkiem przeciwległego boku. http://www.zadania.info/d18/4256113 195. Trójkąt o bokach 6, 8 i 10 jest podobny do trójkąta o obwodzie 216. Oblicz długości boków drugiego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/4302516 196. Trójkąt o bokach 12, 9 i 15 jest podobny do trójkąta o obwodzie 108. Oblicz długości boków drugiego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/3743527 197. W trapezie gość podstawy ramię . i podstawa mają długość 4, a ramię i przekątna mają długość 6. Oblicz dłu- http://www.zadania.info/d18/4414685 198. W kole poprowadzono cięciwę i średnicę. Cięciwa dzieli średnicę na odcinki o długościach 2 oraz 10 i tworzy z nią kąt o mierze 30°. Oblicz odległość środka okręgu od cięciwy. http://www.zadania.info/d18/4483687 199. Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te dzielą przekątną na trzy części. Każda z nich jest odcinkiem o długości 4 cm. Oblicz pole tego prostokąta. http://www.zadania.info/d18/4492618 200. Kąt wpisany w koło ma miarę 45° i jest oparty na łuku długości 3 . Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez ten sam łuk. http://www.zadania.info/d18/4513362 201. Punkty , domo, że należą do jednego ramienia kąta o wierzchołku ", a punkty , ∥ . Wyznacz | |, jeśli wiadomo, że | "| = 4, | | = 5, | http://www.zadania.info/d18/4529519 należą do jego drugiego ramienia i wia| = 12. 202. Na trójkącie o bokach długości √7, √8, √15 opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. http://www.zadania.info/d18/4531573 203. Z punktu # poprowadzono styczną do okręgu o środku " w punkcie oraz sieczną, która ma z | = 85°. tym okręgiem dwa punkty wspólne oraz . Wiadomo, że |∢# | = 55° oraz |∢ Oblicz miary kątów trójkąta # . http://www.zadania.info/d18/4590175 204. Dany jest trapez o podstawach |% | |% | każ, że: ∙ = |% | ∙ |% |. i . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie %. Wy- http://www.zadania.info/d18/4613340 205. Na dwusiecznej trójkąta , w którym | jest większe od pola trójkąta . |>| | wybrano punkt . Wykaż, że pole trójkąta http://www.zadania.info/d18/4616906 206. Na bokach Uzasadnij, że | , i kwadratu | + | '| = | wybrano punkty , , ' w ten sposób, że ∥ i '∥ . |. http://www.zadania.info/d18/4689584 207. Wiedząc, że punkt jest środkiem odcinka wykaż, że | | = | |. , a punkt jest środkiem odcinka oraz | |=| |, http://www.zadania.info/d18/4708666 208. Na rysunku przedstawiono trapez i trójkąt Uzasadnij, że pole trapezu i pole trójkąta . Punkt są równe. leży w połowie odcinka . http://www.zadania.info/d18/4746805 209. Na rysunku przedstawiono dwa koła o promieniu C = 2 takie, że środek każdego z kół leży na brzegu drugiego koła. Oblicz pole powierzchni zacieniowanej części tej figury. http://www.zadania.info/d18/4751832 210. Dwa styczne zewnętrznie okręgi o środkach i , , nie są współliniowe. Oblicz obwód trójkąta są styczne wewnętrznie do okręgu `H , 4I, przy czym punkty . http://www.zadania.info/d18/4785494 211. Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny i w punktach i . Proste i o bokach długości | | = 8, | | = 6, | | = 10 jest styczny do boków przecinają się punkcie . Oblicz pole trójkąta . http://www.zadania.info/d18/4787693 212. Przekątne czworokąta są prostopadłe. a) Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe. b) Wykaż, że jeżeli długości jego boków , , , są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem. http://www.zadania.info/d18/4805390 213. Trójkąty równoboczne i są położone tak, jak na rysunku obok. Wykaż, że | |=| |. http://www.zadania.info/d18/4823413 214. Kwadrat , ma bok długości 4. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty / , 2 , 3 , … takie, że kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek). Wyznacz pole kwadratu ,/ . http://www.zadania.info/d18/4827954 215. W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę (. Oblicz sin ( ∙ cos (. http://www.zadania.info/d18/4835923 216. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości | | = 6, | W = sin ( + cos (, gdzie ( jest najmniejszym kątem ostrym tego trójkąta. | = 2. Wyznacz wartość wyrażenia http://www.zadania.info/d18/8002677 217. W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 3 i 5, a jeden z kątów ostrych ma miarę (. Oblicz sin ( ∙ cos (. http://www.zadania.info/d18/6128770 218. Na okręgu o promieniu 5 opisano deltoid o obwodzie 60. Oblicz pole deltoidu. http://www.zadania.info/d18/4883249 H|∢ | = 90°, | | < | |I poprowadzono prostą przechodzącą przez wierzchołek 219. W trójkącie prostokątnym trójkąta która przecina przeciwprostokątną w punkcie , takim, że | |: | | = 2: 1. Oblicz długość przeciwpro| = 30°. stokątnej jeśli | | = √3 i |∢ http://www.zadania.info/d18/4885880 220. W trójkącie mamy dane |∢ | = 20° oraz |∢ | = 60°. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz miary kątów: ∢ % , ∢ % i ∢ % . http://www.zadania.info/d18/4894656 221. Wyznacz długości boków oraz miary kątów trójkąta prostokątnego jeżeli 5 = 12, ( = 60°. http://www.zadania.info/d18/4915025 222. Wyznacz długości boków oraz miary kątów trójkąta prostokątnego jeżeli 4 = 40, ( = 30°. http://www.zadania.info/d18/5704455 223. W trapezie równoramiennym punkty i są odpowiednio środkami ramion i . Przekątna przecina odcinek w punkcie #. Wiedząc, że | #| = 1 cm, |# | = 5 cm oraz wysokość trapezu jest równa 3 cm, oblicz długość boków trapezu. http://www.zadania.info/d18/4930522 224. W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów kąt # jest rozwarty. i . Dwusieczne te przecinają się w punkcie #. Uzasadnij, że http://www.zadania.info/d18/4964484 225. W trójkącie ostrokątnym że kąt jest rozwarty. proste i zawierają wysokości poprowadzone z wierzchołków i . Uzasadnij, http://www.zadania.info/d18/385995 226. Dany jest trójkąt . Odcinek jest wysokością tego trójkąta, punkt jest środkiem boku (tak jak na rysunku) i | | = | |. Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny. http://www.zadania.info/d18/4979382 227. W trapezie połączono środek ' ramienia trapezu wstałego trójkąta ' jest równe połowie pola trapezu z końcami drugiego ramienia . . Wykaż, że pole po- http://www.zadania.info/d18/4984299 228. Różnica między polem koła opisanego na kwadracie a polem koła wpisanego w kwadrat jest równa 4 . Oblicz pole kwadratu. http://www.zadania.info/d18/5079808 229. Oblicz pole kwadratu wiedząc, że różnica pól kół opisanego i wpisanego w ten kwadrat jest równa . http://www.zadania.info/d18/3134178 230. Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi 3:8, a środkowa poprowadzona do dłuższej przyprostokątnej ma długość 15. a) Oblicz długość przyprostokątnych trójkąta. b) Oblicz odległość środka ciężkości trójkąta od dłuższej przyprostokątnej. http://www.zadania.info/d18/5093488 231. W trapezie równoramiennym , wysokość ma długość 6 cm. Punkt cinki. Wiedząc, że | | = 8 cm, oblicz pole trapezu . dzieli dłuższą podstawę na dwa od- http://www.zadania.info/d18/5095318 232. Dwusieczne kątów wewnętrznych trapezu przecinają się w punktach / / / (patrz rysunek). Wykaż, że |'D| − | | = |' | − | D|/. , , ', D http://www.zadania.info/d18/5109257 233. Jeden kąt ostry trójkąta prostokątnego ma miarę (. Wyznacz długości boków tego trójkąta wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość ℎ. http://www.zadania.info/d18/5137827 | = |∢ 234. Trójkąty i są prostokątne oraz |∢ jednej prostej. Punkty , i ' są środkami odcinków Wykaż, że kąt ∢ ' jest prosty. |. Punkty , i leżą na , i (zobacz rysunek). http://www.zadania.info/d18/5137827 235. Trójkąty i są równoramienne i prostokątne. Punkty , , leżą na jednej prostej, a punkty , , ' są środkami odcinków , , (zobacz rysunek). Wykaż, że |' | = |' |. http://www.zadania.info/d18/8884005 236. Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 9 cm2. Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie. http://www.zadania.info/d18/5152824 237. Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 6 cm2. Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie. http://www.zadania.info/d18/7897184 238. W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia (zobacz rysunek). Podstawy trapezu mają długość: | | = 8 cm i | | = 4 cm. Oblicz pole oraz miary kątów trapezu. http://www.zadania.info/d18/5181853 239. W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia (zobacz rysunek). Podstawy trapezu mają długość: | | = 12 cm i | | = 6 cm. Oblicz pole oraz miary kątów trapezu. http://www.zadania.info/d18/8339038 240. Dany jest prostokąt trzy odcinki , , . Z wierzchołków i poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej , każdy długości 4. Oblicz długość boków prostokąta. dzielące ją na http://www.zadania.info/d18/5187684 241. Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że suma pól kół o średnicach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa polu koła o średnicy równej przeciwprostokątnej. http://www.zadania.info/d18/5265322 242. Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych. http://www.zadania.info/d18/2750784 243. Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku " i średnicach odpowiednio i (punkty , , , , " są współliniowe). Punkt # leży na wewnętrznym półokręgu, punkt e leży na zewnętrznym półokręgu, punkty ", #, e są współliniowe. Udowodnij, że |∢ # | + |∢ e | = 180°. http://www.zadania.info/d18/5266395 244. W trójkącie ostrokątnym bok ma długość 18 cm, a wysokość jest równa 15 cm. Punkt dzieli bok tak, że | |: | | = 1: 2. Przez punkt # leżący na odcinku poprowadzono prostą równoległą do prostej , odcinając od trójkąta trójkąt, którego pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta . Oblicz długość odcinka # . http://www.zadania.info/d18/5287176 245. Promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym 60° ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka. http://www.zadania.info/d18/5297788 246. Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty i . Odcinek przecina przyprostokątną w punkcie , a odcinek przecina przyprostokątną w punkcie (zobacz rysunek). Udowodnij, że | | = | |. http://www.zadania.info/d18/5321763 247. W trójkącie równobocznym o boku długości 4 i wysokości ℎ obrano punkt #, z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa długości ℎ. http://www.zadania.info/d18/5375713 248. Udowodnij, że jeżeli " jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty , , , to O = 90° + (. http://www.zadania.info/d18/5385644 249. Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kąta są równe 8 i 12. Okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion kąta. Oblicz długości ich promieni. http://www.zadania.info/d18/5388387 250. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, wiedząc, że bok ten jest o 2 cm dłuższy od wysokości tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/5425749 251. Kwadratowe szklane płytki o boku długości 1 cm, połączone w jednym wierzchołku, rozsunęły się tak, że boki wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ze sobą kąt 60°. Oblicz pole części wspólnej płytek. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 cm2. http://www.zadania.info/d18/5432624 252. Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 10 cm i 6 cm oraz przekątnej o długości 9 cm. http://www.zadania.info/d18/5441549 253. Wyznacz miary kątów trójkąta : http://www.zadania.info/d18/5474781 254. Wyznacz miary kątów trójkąta : http://www.zadania.info/d18/8039857 Zad. 253. Zad. 254. Zad. 255. 255. Dany jest okrąg o środku w punkcie ". Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a środek " tego okręgu leży na odcinku ' (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt ' ma miarę 31°. http://www.zadania.info/d18/5482345 256. Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 1 cm krótsza od boku tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/5505720 257. Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 2 cm krótsza od boku tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/8923437 258. W trójkącie prostokątnym iloczyn sinusa jednego z kątów ostrych i tangensa drugiego kąta ostrego jest równy , . / Ob- licz miary kątów ostrych tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/5582012 259. Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa 1. Oblicz długość przekątnej kwadratu. http://www.zadania.info/d18/5596535 260. Przekątna kwadratu jest o 1 dłuższa od jego boku. Oblicz pole i obwód tego kwadratu. http://www.zadania.info/d18/2332721 261. Proste | i | = 3 oraz | oraz i są równoległe. Oblicz długość odcinka | = 4. , jeżeli | , |=2 , / http://www.zadania.info/d18/5602289 262. Oblicz długości przekątnych sześciokąta foremnego o boku 1. http://www.zadania.info/d18/5604002 263. Punkt jest środkiem boku | | = 2| |. http://www.zadania.info/d18/5613352 równoległoboku , a odcinek przecina przekątną w punkcie . Wykaż, że 264. Zadanie dotyczy trójkąta. a) Uzasadnij, że jeśli długości boków trójkąta są równe: f/ − g / , 2fg i f/ + g / , gdzie f i g są liczbami dodatnimi takimi, że f > g, to trójkąt ten jest prostokątny. b) Wyznacz wszystkie naturalne wartości f i g, dla których najkrótszy bok otrzymanego trójkąta ma długość 13. http://www.zadania.info/d18/5616926 265. Udowodnij, że jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków, to trójkąt ten jest prostokątny. http://www.zadania.info/d18/5627720 266. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego dzieli przeciwprostokątna na odcinki o długościach 1 i 2. Oblicz długości boków tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/5639047 267. Wysokości równoległoboku mają długości 2 i 4. Oblicz pole równoległoboku wiedząc, że jego obwód wynosi 30. http://www.zadania.info/d18/5639110 268. Na okręgu o promieniu 9 opisano trójkąt równoramienny o kącie równym 120°. Oblicz długości boków trójkąta. http://www.zadania.info/d18/5643459 269. W trapezie siecznej kąta , w którym . Wykaż, że | ∥ oraz | | = | |. |>| |, przekątna zawiera się w dwu- http://www.zadania.info/d18/5660421 270. Dany jest trójkąt o przyprostokątnych 12 i 5. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. http://www.zadania.info/d18/5662497 271. Dany jest trójkąt o przyprostokątnych 24 i 7. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. http://www.zadania.info/d18/8273291 272. Trójkąt kątną jest prostokątny. Punkt oraz | |= , | 2 jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprosto- | (patrz rysunek). Wykaż, że |∢ | = 30°. http://www.zadania.info/d18/5667295 273. Punkt # leży wewnątrz prostokąta # i # . . Wykaż, że suma pól trójkątów # i # jest równa sumie pól trójkątów http://www.zadania.info/d18/5678208 274. Oblicz kąt ostry rombu, wiedząc, że jego pole jest równe 24√2, a promień okręgu w niego wpisanego równy √6. http://www.zadania.info/d18/5720898 275. Na bokach , i rombu wybrano punkty , i ' w ten sposób, że '∥ . Uzasadnij, że pole czworokąta ' stanowi połowę pola rombu. ∥ i http://www.zadania.info/d18/5766276 i h są równoległe do boku 276. Odcinki ległe do boku . Uzasadnij, że jeżeli |Ui| |ij| trójkąta = |Uk| , |k | to | , a odcinki i |/ = | |. |∙| są równo- http://www.zadania.info/d18/5775293 277. Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki). http://www.zadania.info/d18/5788829 278. W okrąg o promieniu 6 cm wpisano w sposób symetryczny cztery przystające okręgi. Oblicz ich promień. http://www.zadania.info/d18/5818735 279. Oblicz miarę kąta: a) pięciokąta foremnego; b) sześciokąta foremnego; c) dziewięciokąta foremnego. http://www.zadania.info/d18/5826377 Zad. 280. Zad. 282. Zad. 281. Zad. 283. 280. Punkt leży na boku trójkąta równoramiennego , w którym | | = | |. Odcinek dzieli trójkąt dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że | | = | | = | |. Oblicz miary kątów trójkąta . na http://www.zadania.info/d18/5844773 281. Punkty . i są środkami boków i deltoidu . Pole trójkąta jest równe 3. Oblicz pole deltoidu http://www.zadania.info/d18/5850539 282. W trójkącie dwusieczna kąta przecina bok w punkcie '. Przez punkt ' prowadzimy prostą równoległą do , przecinającą bok w punkcie D (rys.). Udowodnij, że |'D| = | D|. http://www.zadania.info/d18/5868497 283. W trójkącie dwusieczna kąta przecina bok w punkcie #. Przez punkt # prowadzimy prostą równoległą do , przecinającą bok w punkcie $ (rys.). Udowodnij, że |#$| = | $|. http://www.zadania.info/d18/8590575 284. W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/5907437 285. W trapezie prostokątnym krótsza przekątna ma długość ramienia trapezu i dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/9237691 286. Przekątne trapezu o podstawach długości 1 i 2 są prostopadłe. Oblicz sumę kwadratów długości przekątnych trapezu. http://www.zadania.info/d18/5911147 287. W trójkącie prostokątnym . Udowodnij, że 3 H| - jest kątem prostym, poprowadzono środkowe , w którym kąt przy wierzchołku |/ + | |/ I = | i |/ . http://www.zadania.info/d18/5934841 288. Liczby 6, 10, J są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz J. http://www.zadania.info/d18/5946733 289. W prostokącie przekątna o długości 1,53 cm tworzy z dłuższym bokiem kąt o mierze 19°. Oblicz z dokładnością do 0,1 cm2 pole prostokąta. http://www.zadania.info/d18/5960257 290. Bok kwadratu . Odcinki i Wykaż, że | | | U| = zawiera się w przekątnej kwadratu przecinają się w punkcie , a odcinki , a punkt należy do odcinka przecinają się w punkcie . i |k | . | l| http://www.zadania.info/d18/5974568 291. Bok kwadratu . Odcinki i zawiera się w przekątnej kwadratu przecinają się w punkcie . Wykaż, że | , a punkt |=| należy do odcinka |. Zad. 290 i Zad. 291. http://www.zadania.info/d18/671636 292. W trójkącie dane są długości boków | | = 20 cm, | |=| | = 26 cm. Wyznacz długość środkowej . http://www.zadania.info/d18/6881094 293. Wiedząc, że boki trójkąta prostokątnego mają długości: 20, 15, 25, wyznacz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. http://www.zadania.info/d18/6887150 294. Boki trójkąta prostokątnego mają długości 10, 24, 26. Oblicz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. http://www.zadania.info/d18/631728 295. Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoramienne i w ten sposób, że | | = | |, | | = | | oraz punkty , , leżą na jednej prostej. Wykaż, że proste i są równoległe. http://www.zadania.info/d18/6889961 296. Dwa trójkąty równoboczne mają wspólny środek i boki równoległe. Pole jednego jest 2 razy większe od pola drugiego, a boki mniejszego trójkąta mają długość 1. Jaka jest odległość między równoległymi bokami? http://www.zadania.info/d18/6938987 297. Stosunek długości boków trapezu równoramiennego wynosi 17:13:7:13. Oblicz obwód trapezu wiedząc, że jego pole jest równe 36. http://www.zadania.info/d18/6941273 298. Oblicz pole równoległoboku o bokach 7 cm i 12 cm, w którym dwa sąsiednie kąty różnią się o 60°. http://www.zadania.info/d18/6350645 299. W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ramię ma długość 61, a wysokość poprowadzona do ramienia ma długość 11. Oblicz długość podstawy tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/6379809 300. Wiedząc, że punkt " jest środkiem okręgu, oblicz miarę kąta α. http://www.zadania.info/d18/6982953 301. O ile centymetrów należy przedłużyć długość i szerokość prostokąta o wymiarach 8 cm na 5 cm aby jego pole zwiększyło się o 30 cm2? http://www.zadania.info/d18/7021250 | = 60°. Poprowadzono prostą równoległą do przeciwpro302. W trójkącie prostokątnym dane są | | = 12, |∢ stokątnej dzielącą bok w stosunku 5: 1, licząc od wierzchołka . Prosta ta przecina bok w punkcie ', a bok w punkcie D. Oblicz pole trapezu D'. http://www.zadania.info/d18/7028820 303. Uzasadnij, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu na nim opisanego. http://www.zadania.info/d18/7049834 304. Na okręgu o środku % wybrano punkty , , , w ten sposób, że prosta zawiera punkt %, a proste i przecinają się w punkcie . Punkt ' jest punktem wspólnym prostych i . Wykaż, że proste ' i są prostopadłe. http://www.zadania.info/d18/7065210 305. Udowodnij, że w trójkącie równoramiennym wysokości poprowadzone do równych boków są równej długości. http://www.zadania.info/d18/7068067 306. Na trapezie równoramiennym o podstawach 2 i 6 opisano okrąg. Oblicz pole trapezu, jeśli dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu. http://www.zadania.info/d18/7092986 307. Odpowiadające sobie przekątne dwóch wielokątów podobnych mają się jak 3:4, a pola tych wielokątów różnią się o 28 cm2. Oblicz pola tych wielokątów. http://www.zadania.info/d18/7115909 , 2 308. W trapezie prostokątnym różnica długości podstaw jest równa 4,5 cm, a tangens kąta ostrego wynosi 1 . Oblicz różnicę długości ramion tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/7167095 309. Oblicz długość boku rombu wiedząc, że prosta poprowadzona przez jeden z jego wierzchołków odcina na przedłużeniach dwóch jego boków odcinki o długościach 4 i 9. http://www.zadania.info/d18/7190600 310. Na rysunku przedstawiono równoległobok . Uzasadnij, że pole równoległoboku i trójkąt . Punkt leży na odcinku jest dwa razy większe od pola trójkąta . http://www.zadania.info/d18/7211547 311. Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 10. Miara kąta ostrego leżącego naprzeciw tej przyprostokątnej wynosi 30°. Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie. http://www.zadania.info/d18/7247147 312. Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 12. Miara kąta ostrego leżącego przy tej przyprostokątnej wynosi 60°. Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie. http://www.zadania.info/d18/2256965 313. W równoległoboku o obwodzie równym 144, wysokości ℎ, i ℎ/ spełniają warunek mn m> 2 = -. Oblicz długości boków te- go równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/7250531 314. W równoległoboku o obwodzie równym 96 cm stosunek wysokości jest równy 5:7. Oblicz długości boków tego równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/1685217 315. Na okręgu wybrano takich pięć różnych punktów: , , , / , 2 , Udowodnij, że punkty , , / , 2 , 3 są wierzchołkami kwadratu. 3, że |∢ , /| = |∢ 2| / = |∢ 2 3| = 45°. http://www.zadania.info/d18/7281425 316. Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku długości 2. http://www.zadania.info/d18/7304694 317. Odcinek łączący środki dwóch dłuższych boków prostokąta dzieli go na dwa kwadraty i przekątna prostokąta jest o 3 dłuższa od przekątnej kwadratu. Oblicz pole prostokąta . http://www.zadania.info/d18/7342590 318. W deltoidzie dane są | | = 2, | | = 2]2 − √3, |∢ (zobacz rysunek). Oblicz pole tego deltoidu. | = 30°, |∢ | = 135° http://www.zadania.info/d18/7365765 319. W okrąg o promieniu 13 wpisano rozwartokątny trójkąt równoramienny o podstawie 10. Oblicz pole tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/7373884 320. Punkty i leżą na okręgu o środku " i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku. http://www.zadania.info/d18/7441744 321. Punkty i leżą na okręgu o środku " i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 13:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku. Zad. 320. Zad. 321. http://www.zadania.info/d18/6649175 322. W trapezie prostokątnym dłuższe ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 30. Wiedząc, że tan3 gens kąta ostrego w trapezie jest równy 2, oblicz długości jego podstaw. http://www.zadania.info/d18/7449775 323. Dany jest równoległobok że | |= , | / . Na przedłużeniu przekątnej wybrano punkt | (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku cztery razy większe od pola trójkąta tak, jest . http://www.zadania.info/d18/7480528 324. Na przekątnej że trójkąty równoległoboku i mają równe pola. wybrano punkt (zobacz rysunek). Uzasadnij, http://www.zadania.info/d18/8966475 325. Dany jest czworokąt , w którym Wykaż, że kąt jest prosty. ∥ . Na boku wybrano taki punkt , że | |=| http://www.zadania.info/d18/7535531 326. W równoległoboku środek # boku połączono odcinkami z wierzchołkami i . Wiadomo, że | #| = 12 cm i | #| = 5 cm oraz | | = 2| |. Oblicz obwód równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/7553290 |i| |=| |. 327. Obwód rombu wynosi 18 cm, a jego pole 18 cm2. Oblicz wysokość tego rombu. http://www.zadania.info/d18/7569771 328. Cięciwa okręgu tworzy kąt 70° z promieniem przechodzącym przez jej koniec. Oblicz obydwa kąty środkowe wyznaczone przez tę cięciwę. http://www.zadania.info/d18/7590080 329. Cięciwa okręgu tworzy kąt 65° z promieniem przechodzącym przez jej koniec. Oblicz obydwa kąty środkowe wyznaczone przez tę cięciwę. http://www.zadania.info/d18/4052250 330. Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych jest równy 4, a suma ich obwodów 12. Wyznacz obwód każdego z trójkątów. http://www.zadania.info/d18/7613109 331. W trójkącie prostokątnym punkt ' leży na przeciwprostokątnej . Z punktu ' poprowadzono odcinki ' i ' prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych i (rysunek). Udowodnij, że | o| |lo| +| | | U| = 1. http://www.zadania.info/d18/7622380 332. Drut o długości 28 cm należy podzielić na dwie części i z jednej zrobić kwadratową ramkę, a z drugiej ramkę prostokątną, której jeden bok jest trzy razy dłuższy od drugiego. Jak należy podzielić drut, jeżeli chcemy, aby suma pól otrzymanego kwadratu i prostokąta była najmniejsza? http://www.zadania.info/d18/7679450 333. Jeżeli skrócimy dłuższą przekątną rombu przy każdym wierzchołku o 4 cm, zaś przedłużymy krótszą przekątną o 1 cm, to otrzymamy kwadrat. Pole otrzymanego kwadratu jest o 10cm2 mniejsze od pola rombu. Oblicz pole rombu i pole kwadratu. http://www.zadania.info/d18/7753597 334. Ramię trapezu równoramiennego ma długość 12 cm. Kąt ostry tego trapezu ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt rozwarty, a przekątna trapezu jest prostopadła do ramienia. Oblicz pole trapezu. http://www.zadania.info/d18/7759540 335. Ramię trapezu równoramiennego ma długość 18 cm. Kąt rozwarty tego trapezu ma miarę dwa razy większą niż kąt ostry, a przekątna trapezu jest prostopadła do ramienia. Oblicz pole trapezu. http://www.zadania.info/d18/5830880 336. W okręgu o promieniu długości C kreślimy średnicę łuk ? oraz taką cięciwę , że | | = C. Jaką częścią okręgu jest http://www.zadania.info/d18/7761966 337. Trójkąt prostokątny ma boki długości: 2@ + 2; 2@ + 3; @. Wyznacz @ oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. http://www.zadania.info/d18/7771130 338. Dane są dwa boki trójkąta: 4 = √75, 5 = √27. Jaką długość może przyjmować trzeci bok trójkąta? http://www.zadania.info/d18/7792830 339. Trapez, w którym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, podzielono odcinkiem łączącym środki ramion trapezu na dwa czworokąty. Oblicz stosunek pól otrzymanych czworokątów. http://www.zadania.info/d18/7818635 340. Przekątne prostokąta mają długość 20 cm i przecinają się pod kątem 60°. Oblicz obwód tego prostokąta. http://www.zadania.info/d18/7857888 341. Pole trójkąta równoramiennego jest równe 25. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt wiedząc, że ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy. http://www.zadania.info/d18/7860282 342. Oblicz pole czworokąta wypukłego , w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: |∢ | = 90°, |∢ | = 75°, |∢ | = 60°, |∢ | = 135°, a boki i mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy. http://www.zadania.info/d18/7873550 343. W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów. http://www.zadania.info/d18/7902218 344. Trójkąt podzielono odcinkami , , na 5 trójkątów, przy czym | jąc z podanych pól trzech z tych trójkątów, wyznacz pole trójkąta . |: | | = 2: 1. Korzysta- http://www.zadania.info/d18/7912169 345. Przez środek przyprostokątnej trójkąta prostokątnego padłą do przeciwprostokątnej . Prosta ta przecina proste ' i D. Wykaż, że |o | | p| poprowadzono prostą prostoi odpowiednio w punktach | U|> . |> =| http://www.zadania.info/d18/7950675 346. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 4 i 5, gdzie 4 > 5. Z wierzchołka kąta rozwartego trapezu poprowadzono wysokość. Uzasadnij, że wysokość ta dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach http://www.zadania.info/d18/8083331 ;<= / i ;?= . / 347. Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu tak, że odcinki jednej z nich mają długości 8 i 6, a odcinki drugiej pozostają w stosunku 2:3. Podaj długości odcinków drugiej cięciwy. http://www.zadania.info/d18/8091316 348. Bok rombu ma długość 13 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 24 cm. Oblicz długość drugiej przekątnej. http://www.zadania.info/d18/8112746 349. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na trapezie równoramiennym . Kąt % jest dwa razy większy od kąta %, a kąt % jest dwa razy większy od kąta %. Oblicz kąty trapezu . http://www.zadania.info/d18/8131206 350. Oblicz pole prostokąta, którego przekątna ma długość 7 cm, a jeden z boków ma długość 3√2 cm. http://www.zadania.info/d18/8137920 351. Na boku kwadratu obrano punkt tak, że | cinek w punkcie #. Uzasadnij, że pole trójkąta #. | = | |. Przekątna kwadratu przecina od# jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta http://www.zadania.info/d18/8160394 352. Wykaż, że jeżeli pole trójkąta prostokątnego jest równe %, to długość jego przeciwprostokątnej jest nie mniejsza niż 2√%. http://www.zadania.info/d18/8174573 H|∢ | = 90°I, jeżeli tgH∢ I = 2 i | 353. Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego | = 6. http://www.zadania.info/d18/8232061 354. Na rysunku przedstawiono prostokąt na połowy. Uzasadnij, że pole prostokąta i trójkąt . Punkty i dzielą odcinki jest równe polu trójkąta . i http://www.zadania.info/d18/8261405 355. W okrąg wpisano trójkąt , w którym |∢ | = 50° i |∢ | = 70°. Przez wierzchołek kąta poprowadzono styczną do okręgu, przecinającą przedłużenie boku w punkcie . Oblicz miary kątów trójkąta . http://www.zadania.info/d18/8287402 356. Ramiona trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10. Odcinek łączący środki ramion ma długość 10. Oblicz długości podstaw trapezu. http://www.zadania.info/d18/8327579 357. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego, w którym długość przyprostokątnej wynosi 12 cm, a kąt do niej przyległy ma miarę 40°. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 cm. http://www.zadania.info/d18/8327984 358. Oblicz miarę kąta α jaki tworzą przekątne i sześciokąta foremnego. http://www.zadania.info/d18/8343106 359. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę 45°, a długość przeciwprostokątnej jest równa 4. http://www.zadania.info/d18/8351873 360. Podstawa trójkąta równoramiennego ma miarę 4 cm, a kąt przy niej 30°. Oblicz pole i obwód trójkąta. http://www.zadania.info/d18/8378304 361. W trójkąt równoramienny o podstawie 12 cm i wysokości 8 cm wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. http://www.zadania.info/d18/8395288 362. W trójkąt równoramienny o podstawie 24 cm i wysokości 5 cm wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. http://www.zadania.info/d18/5531905 363. Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli trapez na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Znajdź pole tego trapezu wiedząc, że ramię prostopadłe do podstaw ma długość 2. http://www.zadania.info/d18/8401143 364. W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz pole tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/8534376 365. Z punktu leżącego na okręgu poprowadzono średnicę poprowadzono styczną do okręgu przecinającą prostą . i cięciwę , które tworzą kąt o mierze 20°. Przez punkt w punkcie . Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta http://www.zadania.info/d18/8450741 366. Dwa prostokąty podobne mają obwody równe odpowiednio 21 cm i 7 cm, a pole większego wynosi 6 cm2. Oblicz pole mniejszego prostokąta. http://www.zadania.info/d18/8470327 367. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 70 i 30, kąt ostry trapezu ma miarę 22°. Oblicz pole trapezu, przyjmując, że tg 22° = 0,404. http://www.zadania.info/d18/8497686 368. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/3830218 369. Stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb wynosi 8: . Oblicz miarę kąta ostrego rombu. http://www.zadania.info/d18/8521520 370. Przez punkt styczności dwóch okręgów poprowadzono sieczną. Udowodnij, że wypukłe kąty środkowe oparte na łukach wyznaczonych przez tę sieczną na okręgach mają równe miary. http://www.zadania.info/d18/8544533 371. W prostokącie punkt # jest środkiem boku , a punkt e jest środkiem boku że pole trójkąta #e jest równe sumie pól trójkątów e oraz # e. . Wykaż, http://www.zadania.info/d18/8561900 372. Dany jest prostokąt , w którym | | = 8, | | = 6. Na boku ' (patrz rysunek). Oblicz obwód trójkąta '. zbudowano trójkąt równoboczny http://www.zadania.info/d18/8583428 373. Punkt # jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta . Przez punkt # poprowadzono prostą równoległą do boku , która przecięła prostą w punkcie ' i prostą w punkcie D. |'D| | | a) Wykaż, że = '| + D|. b) Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta 'D jest równy 15 cm, a długość odcinka wynosi 10 cm, oblicz obwód trójkąta . http://www.zadania.info/d18/8651781 374. Wysokość trójkąta tworzy z bokami ży do odcinka . a) Narysuj trójkąt i jego wysokość ; b) Wyznacz miary kątów trójkąta . kąty o miarach równych odpowiednio 20° i 60°. Punkt i nale- http://www.zadania.info/d18/8659883 375. Stosunek pól dwóch wielokątów podobnych wynosi 196: 289. Znajdź stosunek obwodów tych wielokątów. http://www.zadania.info/d18/8705672 376. W trójkącie równoramiennym dane są | | = | | = 6 i |∢ wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka na bok . | = 30° (zobacz rysunek). Oblicz http://www.zadania.info/d18/8747427 377. W trójkącie równoramiennym kość dane są | trójkąta opuszczoną z wierzchołka |=| na bok 2 | = 12 i sin ( = (zobacz rysunek). Oblicz wyso3 . http://www.zadania.info/d18/9640416 378. Podstawą trójkąta równoramiennego , są punktami przecięcia ramion kąta jest równa 20°. jest średnica okręgu, którego środkiem jest punkt ". Punkty , trójkąta z okręgiem. Miara kąta " jest równa 140°. Wykaż, że miara http://www.zadania.info/d18/5978210 379. Pole równoległoboku jest równe 24. Stosunek jego wysokości jest równy 3: 4. Długości boków wyrażają się liczbami naturalnymi, a długość każdej z wysokości jest mniejsza od 5 i większa od 2. Oblicz długości boków równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/5982399 380. W kąt o mierze 60° wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość 1. Oblicz długość promienia drugiego okręgu. http://www.zadania.info/d18/6002085 381. Okrąg dopisany do boku trójkąta to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków i . Wykaż, że jeżeli ' jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku to długość odcinka ' jest równa połowie obwodu trójkąta . http://www.zadania.info/d18/6013926 382. Wyznacz pole narysowanego prostokąta, jeżeli | | = 5q + ,. / http://www.zadania.info/d18/6023825 383. Przekątne rombu mają długość 8 cm i 13 cm. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są środki boków romb. http://www.zadania.info/d18/6082140 384. Podstawy trapezu mają długości 6 i 2, a wysokość ma długość 4. Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od prostych zawierających jego podstawy. http://www.zadania.info/d18/6104534 385. W kwadrat wpisano drugi kwadrat, którego wierzchołki leżą na bokach pierwszego i boki tworzą z bokami pierwszego kwadratu kąty o miarach 30°. Jaką częścią pola dużego kwadratu jest pole małego kwadratu? http://www.zadania.info/d18/6123191 386. W równoległoboku wpisano dwa przystające okręgi styczne zewnętrznie do siebie (patrz rysunek). Wykaż, że średnica każdego z tych okręgów jest równa różnicy długości dłuższego i krótszego boku tego równoległoboku. http://www.zadania.info/d18/6136387 387. Liczby 1, 3, 4 są długościami boków trójkąta. Wyznacz liczbę 4, wiedząc, że jest to liczba naturalna. http://www.zadania.info/d18/6152068 388. Na trójkącie o bokach długości 15, 20, 25 opisano okrąg. Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej do środka najdłuższego boku. http://www.zadania.info/d18/6162865 389. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 19. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to ta odległość wynosiłaby 5. Wyznacz długości promieni tych okręgów. http://www.zadania.info/d18/6187843 390. Pola dwóch kwadratów różnią się o 39 cm2. Przekątna jednego z nich jest dłuższa o 3√2 cm od przekątnej drugiego. Oblicz długość boku każdego kwadratu. http://www.zadania.info/d18/6188139 391. W kwadrat o boku 2 wpisano drugi kwadrat w ten sposób, że bok wpisanego kwadratu tworzy z bokiem danego kąt 30°. Oblicz długość krótszego z odcinków łączących wierzchołki tych kwadratów. http://www.zadania.info/d18/6192524 392. Punkt jest środkiem boku pole równoległoboku. równoległoboku . Pole trójkąta jest równe 2. Oblicz http://www.zadania.info/d18/6227592 393. Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 4 − 2√2, 8 − √2, √42 jest trójkątem prostokątnym. http://www.zadania.info/d18/6261966 394. Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 6 − 3√2, √35, 9 − 2√2 jest trójkątem prostokątnym. http://www.zadania.info/d18/9596633 395. Ile jest trójkątów o obwodzie równym 19, w których długości boków wyrażone są liczbami całkowitymi. Wymień je. http://www.zadania.info/d18/6291755 396. Punkty trójkąta i dzielą bok trójkąta na trzy równe części (zobacz rysunek). Wykaż, że pole jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta . http://www.zadania.info/d18/6301750 397. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta. http://www.zadania.info/d18/6316443 , 398. Bok rombu ma długość 6, a sinus kąta ostrego tego rombu jest równy 2. Oblicz pole rombu. http://www.zadania.info/d18/6330353 399. Wykaż, że środki boków rombu są wierzchołkami prostokąta. http://www.zadania.info/d18/6339978 400. Oblicz pole równoległoboku o bokach 7 cm i 12 cm, w którym dwa sąsiednie kąty różnią się o 60°. http://www.zadania.info/d18/6350645 401. W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ramię ma długość 61, a wysokość poprowadzona do ramienia ma długość 11. Oblicz długość podstawy tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/6379809 402. Na okręgu o promieniu C wybrano punkty ' i D w ten sposób, że proste ' i D są styczne do okręgu. Punkt jest punktem wspólnym odcinka 'D i prostej łączącej punkt ze środkiem % tego okręgu. Wykaż, że |% | ∙ |% | = C / . http://www.zadania.info/d18/6385719 403. W trapezie równoramiennym przekątna ma długość \ i tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze α. Wykaż, że pole tego trapezu jest równe \/ sin ( cos (. http://www.zadania.info/d18/6452379 404. Oblicz wysokość trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 12 cm i 9 cm, która jest poprowadzona do przeciwprostokątnej. http://www.zadania.info/d18/6468931 405. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 12 i 5. Wyznacz długość najkrótszej wysokości tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/450240 406. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 6 i 8. Wyznacz długość najkrótszej wysokości tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/7934046 407. Przekątne rombu , o kącie ostrym przy wierzchołku , mają długości 6cm i 8cm. a) Oblicz cosinus kąta . b) Wyznacz promień okręgu wpisanego w romb. http://www.zadania.info/d18/6506933 408. Na rysunku oznaczono kąty oraz podano długości boków trójkąta prostokątnego. Oblicz, które z wyrażeń ma większą wartość: tg ( ∙ ]1 − cos / O + sin ( czy tg O ∙ √1 − cos/ ( + sin O. http://www.zadania.info/d18/6526250 409. W trapezie podstawa jest 3 razy dłuższa od podstawy . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie , a proste zawierające ramiona i przecinają się w punkcie . Oblicz stosunek pola czworokąta do pola trapezu . http://www.zadania.info/d18/6539130 410. Wysokość trójkąta ma długość 6cm i dzieli bok a) Oblicz tangens i cosinus kąta ∢ ; b) Znajdź miarę kąta ∢ . http://www.zadania.info/d18/6541351 na odcinki o długościach | |=8i| | = 2√3. 411. Wykaż, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie tego boku. http://www.zadania.info/d18/6587450 412. Dwusieczne kątów kątów czworokąta i trójkąta przecinają okrąg opisany na nim odpowiednio w punktach wiedząc, że |∢ | = 60° i |∢ | = 40°. i . Oblicz miary http://www.zadania.info/d18/6608228 413. W romb o boku równym 8 i kącie ostrym równym 30° wpisano koło, a następnie w to koło wpisano kwadrat. Wyznacz stosunek pola rombu do pola kwadratu. http://www.zadania.info/d18/6742609 414. Na boku trójkąta pól trójkątów i wybrano punkt , a na odcinku wybrano punkt . Wykaż, że stosunek jest równy stosunkowi pól trójkątów i . http://www.zadania.info/d18/6785158 415. Liczbę przekątnych wielokąta o E bokach można obliczyć z wzoru GHG<2I , / gdzie E ≥ 3, E ∈ D. Ile boków ma wielo- kąt, który ma 35 przekątnych? http://www.zadania.info/d18/6793781 416. Przez środek przyprostokątnej trójkąta prostokątnego padłą do przeciwprostokątnej . Prosta ta przecina proste / i D. Wykaż, że | | = 4 ∙ | D| ∙ | '|. poprowadzono prostą prostoodpowiednio w punktach ' i http://www.zadania.info/d18/6815445 417. Przez środek przyprostokątnej trójkąta prostokątnego padłą do przeciwprostokątnej . Prosta ta przecina proste ' i D. Wykaż, że skala podobieństwa trójkątów i poprowadzono prostą prostoodpowiednio w punktach i D' jest równa / stu Z . ,?stu> Z http://www.zadania.info/d18/6776401 418. W trójkąt prostokątny , w którym | | = 26, | | = 24, | | = 10, wpisujemy prostokąt , tak, że punkt należy do boku , punkt należy do boku i punkt należy do boku . Oblicz wymiary prostokąta o największym polu. http://www.zadania.info/d18/6820951 419. Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 5 i 9 oraz cosinus kąta ostrego jest równy /√,2 . ,2 Oblicz pole trapezu. http://www.zadania.info/d18/6861186 420. Ratownicy mający do dyspozycji linę o długości 80 metrów mają wytyczyć przy brzegu plaży kąpielisko w kształcie prostokąta (wzdłuż brzegu nie będzie liny). Jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko, jeżeli wczasowicze chcą, aby miało ono jak największą powierzchnię? Należy przyjąć, że brzeg plaży tworzy linię prostą. http://www.zadania.info/d18/8762368 421. Jedna z przekątnych rombu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wyznacz stosunek obwodu rombu do sumy jego przekątnych. http://www.zadania.info/d18/8763443 422. Na bokach trójkąta równobocznego , , . Udowodnij, że trójkąt (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty jest równoboczny. http://www.zadania.info/d18/8866830 423. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie #. Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach i ( ≠ ). Wykaż, że kąt ∢ # jest prosty. http://www.zadania.info/d18/8898720 424. W prostokącie połączono wierzchołki i ze środkiem boku ma miarę 120°. Wiedząc, że | | = 6, oblicz obwód prostokąta . i otrzymano trójkąt, którego jeden z kątów http://www.zadania.info/d18/8905110 425. Okręgi "H , 1I, "H , 2I, "H , eI są parami styczne zewnętrznie. Oblicz e, jeśli |∢ | = 90°. http://www.zadania.info/d18/8924810 426. Punkt % jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ostrokątnego |∢ | = 45°. . Wykaż, że jeżeli | %| = | |, to http://www.zadania.info/d18/8946077 427. Uzasadnij, że trójkąty prostokątne i są podobne. i są podobne. http://www.zadania.info/d18/8952880 428. Uzasadnij, że trójkąty prostokątne Zad. 427. Zad. 428. http://www.zadania.info/d18/9044241 429. Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokątny. http://www.zadania.info/d18/8995583 430. Punkt # jest punktem przecięcia wysokości trójkąta równobocznego. Jakie pole ma ten trójkąt, jeśli odcinek łączący punkt # z wierzchołkiem trójkąta ma długość 2√3? http://www.zadania.info/d18/9054386 431. Punkt # jest punktem przecięcia wysokości trójkąta równobocznego. Jaki obwód ma ten trójkąt jeśli odległość punktu # od jego boków jest równa 5√2? http://www.zadania.info/d18/6102183 432. Połączono ramiona trapezu odcinkiem równoległym do podstaw i dzielącym je w stosunku 2:3 licząc od krótszej podstawy. Oblicz długość tego odcinka, jeśli wiesz, że podstawy trapezu mają długości 4 i 5, gdzie 4 > 5. http://www.zadania.info/d18/9062452 433. Dany jest trójkąt prostokątny , w którym |∢ | = 90°. W trójkącie tym poprowadzono wysokość . Wykaż, że | | = C + C, + C/ , gdzie C, C, , C/ są odpowiednio długościami promieni okręgów wpisanych w trójkąty , i . http://www.zadania.info/d18/9086738 434. Prostokąt jest wpisany w okrąg o promieniu 10, a jego dłuższe boki są styczne do okręgu o promieniu 3. Oblicz pole tego prostokąta. http://www.zadania.info/d18/9151477 435. Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego wiedząc, że długości przyprostokątnych różnią się o 9 cm, a jego pole jest równe 68 cm2. http://www.zadania.info/d18/9200203 436. Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60 cm2. Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/3479774 437. Pole trójkąta prostokątnego jest równe 84 cm2. Jedna przyprostokątna jest o 17 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/8707584 tak, by |∢ |. 438. Na boku trójkąta wybrano punkt sieczną kąta . Udowodnij, że | | = | | = |∢ |. Odcinek jest dwu- http://www.zadania.info/d18/9203003 439. Oblicz sumę długości przekątnych rombu wiedząc, że suma ich kwadratów jest równa 313 a pole rombu jest równe 78. http://www.zadania.info/d18/9216222 440. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy kąt zawarty między środkową, a wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego. http://www.zadania.info/d18/9233754 441. Średnica i cięciwa 'D okręgu przecinają się w punkcie . Kąt ' ' ma miarę 48°. Wyznacz miarę kąta 'D. ma miarę 78°, a kąt środkowy oparty na łuku http://www.zadania.info/d18/9276365 442. Oblicz pole trójkąta równoramiennego , w którym | | = 24 i | |=| | = 13. http://www.zadania.info/d18/9297716 , 443. Prostokąt ′ ′ ′ ′ jest podobny do prostokąta szy bok prostokąta w skali 1 2. Pole prostokąta ′ ′ ′ ′ jest równe 144 cm2. Krót- ma długość 6 cm. Oblicz długości pozostałych boków tych prostokątów. http://www.zadania.info/d18/9298444 444. Podstawy trapezu równoramiennego o polu 40 mają długości 6 i 14. Oblicz długość ramienia tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/9299435 445. W równoległoboku prostokątny. , w którym | | = 2| | punkt ' jest środkiem boku . Wykaż, że trójkąt ' jest http://www.zadania.info/d18/9300558 X9 446. W trójkącie prostokątnym na rysunku cos ( = X,. Wiedząc, że dłuższa przyprostokątna jest o 2 cm krótsza od przeciwprostokątnej, wyznacz długości boków 4, 5, J. http://www.zadania.info/d18/9303635 447. Na przeciwległych bokach równoległoboku wodnij, że proste i są równoległe. zbudowano kwadraty i . Udo- http://www.zadania.info/d18/9327053 448. Podstawy trapezu mają długości 4 i 8. Kąty, jakie tworzą ramiona z dłuższą podstawą, mają miary 30° i 45°. Oblicz pole trapezu. http://www.zadania.info/d18/9359292 449. W trapezie, którego podstawy mają długości 10 cm i 4 cm, miary kątów przy dłuższej podstawie wynoszą 45° i 30°. Oblicz pole tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/3253941 450. W trapezie, którego podstawy mają długości 12 cm i 6 cm, miary kątów przy dłuższej podstawie wynoszą 45° i 30°. Oblicz pole tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/298474 451. W kwadrat o boku długości 17 wpisano kwadrat , jak pokazano na rysunku. Wiedząc, że przekątna kwadratu ma długość 13√2 oblicz tangens kąta ( zaznaczonego na rysunku. http://www.zadania.info/d18/9381165 452. Ostrokątny trójkąt równoramienny miarę 40°. Oblicz miarę kąta . o podstawie jest wpisany w okrąg o środku %, przy czym kąt % ma http://www.zadania.info/d18/9411876 H| | = | |I o długości podstawy | 453. W trójkąt równoramienny kwadrat o boku długości 5 cm. Oblicz pole trójkąta . | = 12 cm wpisano http://www.zadania.info/d18/9433149 H| | = | |I o długości podstawy | 454. W trójkąt równoramienny kwadrat o boku długości 6 cm. Oblicz pole trójkąta . | = 14 cm wpisano http://www.zadania.info/d18/5761713 455. Jaką wysokość ma romb, jeżeli wiadomo, że jego przekątne mają długości 12 i 16 centymetrów? http://www.zadania.info/d18/9444846 456. Jaką wysokość ma romb, jeżeli wiadomo, że jego przekątne mają długości 16 i 30? http://www.zadania.info/d18/3213290 457. Dany jest trójkąt , w którym |∢ | = O, a kąt zewnętrzny przy wierzchołku α. Wykaż, że jeśli ( = 2O, to trójkąt jest równoramienny. ma miarę http://www.zadania.info/d18/9471447 H I przekątne 458. W trapezie ∥ i trójkąta # jest równe polu trójkąta # . przecinają się w punkcie #. Wykaż, że pole http://www.zadania.info/d18/9472222 459. Uzasadnij, że jeżeli | | ∙ | | = | |/. jest wysokością trójkąta prostokątnego , w którym |∢ | = 90°, to http://www.zadania.info/d18/9497255 460. Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku. Wykaż, że punkty , , są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. http://www.zadania.info/d18/9500900 461. Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła. http://www.zadania.info/d18/9624248 462. Czworokąty i #$e są kwadratami. Udowodnij, że | #| = | e|. http://www.zadania.info/d18/9636315 463. Przez punkty i okręgu poprowadzono styczne, które przecięły się w punkcie . Wykaż, że jeże| = 120°, to cięciwa li |∢ ma długość równą długości promienia okręgu. http://www.zadania.info/d18/9653108 464. W trapezie podstawy i oraz ramię mają długości odpowiednio 15 cm, 12 cm i 6 cm. O ile centymetrów należy przedłużyć ramię , by przecięło się z przedłużeniem ramienia ? http://www.zadania.info/d18/9695279 465. Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 50√2. Oblicz wysokość tego rombu. http://www.zadania.info/d18/9708961 466. Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 30°, a jego pole jest równe 18. Oblicz wysokość tego rombu. http://www.zadania.info/d18/236975 467. Oblicz wysokość trapezu o podstawach długości 18 i 14 oraz ramionach długości 3. http://www.zadania.info/d18/9710035 468. Uzasadnij, że jeżeli dwie dwusieczne trójkąta przecinają się pod kątem 45° to trójkąt jest prostokątny. http://www.zadania.info/d18/9721850 469. Punkt # jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ny. oraz |∢ # | = 135°. Wykaż, że trójkąt jest prostokąt- http://www.zadania.info/d18/7156705 | = 60° poprowadzono 470. W równoległoboku , w którym | | = 6, | | = 5, |∢ wysokości i na boki i . a) Wykonaj odpowiedni rysunek i oblicz długości odcinków i . b) Oblicz pole trójkąta . Zad.471. http://www.zadania.info/d18/9737560 471. Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia: tg / O − 5 sin O ∙ ctg ( + √1 − cos/ (. http://www.zadania.info/d18/9738905 472. W danym okręgu o środku " poprowadzono cięciwy 'D i , które przecięły się w punkcie . a) Wykaż, że trójkąty ' i D są podobne. b) Wiedząc, że |'D| = 30 cm, |' |: | D| = 3: 2 oraz | |: | | = 3: 8, oblicz długość cięciwy http://www.zadania.info/d18/9746893 473. Niech #, będzie prostokątem o bokach długości 3 i 8. Obok tego prostokąta rysujemy kolejne prostokąty #/ , #2 , #3 , … w ten sposób, że każdy z boków kolejnego prostokąta jest o 2 dłuższy od odpowiadających boków poprzedniego prostokąta. Wyznacz liczbę E, dla której obwód prostokąta #G jest równy 246. http://www.zadania.info/d18/9755507 . 474. Dane są prostokąty: o bokach 4 i 5 oraz o bokach J i \. Długość boku J to 90% długości boku 4. Długość boku \ to 120% długości boku 5. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach 4 i 5 stanowi pole prostokąta o bokach J i \. http://www.zadania.info/d18/9768148 | = 90° i |∢ | = 30°, wybrano na przypro475. W trójkącie prostokątnym , w którym |∢ |∢ | stokątnej punkt tak, że = 45°. Oblicz stosunek długości odcinków i . http://www.zadania.info/d18/9784365 476. Uzasadnij, że kąt ostry między dwusiecznymi kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równy 45°. http://www.zadania.info/d18/9816472 477. Kąt trójkąta prostokątnego ma miarę 30°. Pole kwadratu (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta . , wpisanego w ten trójkąt http://www.zadania.info/d18/9868456 478. W trójkąt równoramienny o ramieniu 10 i podstawie 12 wpisano prostokąt o stosunku boków 1:4 w ten sposób, ze krótszy bok jest zawarty w podstawie trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta. http://www.zadania.info/d18/9873836 Zad.477. 479. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/9875977 480. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 2 cm i od drugiej przyprostokątnej o 9 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. http://www.zadania.info/d18/8459968 481. Koło , ma promień długości C. Wewnątrz tego koła rysujemy kolejno koła / , 2 , 3 , … takie, że kolejne koło ma średnicę równą promieniowi poprzedniego koła. Wyznacz pole koła ,9 . http://www.zadania.info/d18/9882099 482. Trójkąt przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty , , D są współliniowe. Na boku wybrano punkt ' tak, że | '| = | D|. Wykaż, że | '| = |'D|. http://www.zadania.info/d18/9900662 483. W sześciokącie foremnym połączono środki sąsiednich boków otrzymując ponownie sześciokąt foremny. Oblicz stosunek pól: otrzymanego i wyjściowego sześciokąta. http://www.zadania.info/d18/9924155 484. Odcinki i są trójkąty: a) i ; b) %i %; c) i . są wysokościami trójkąta ostrokątnego , a punkt % punktem ich przecięcia. Wykaż, że podobne http://www.zadania.info/d18/9932896 485. Odcinki i punkty , , , są wysokościami trójkąta ostrokątnego leżą na jednym okręgu. , a punkt jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że http://www.zadania.info/d18/9934138 486. W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i ramię mają taką samą długość. Przekątna trapezu tworzy z jednym z ramion kąt prosty. Oblicz miary kątów tego trapezu. http://www.zadania.info/d18/9988359