WYKŁAD VI i VII

WYKŁAD VI iVII
VI.4. Plastyczność i wytrzymałość ośrodka porowatego rozdrobnionego.
IV.4.1 Plastyczność i wytrzymałość jako cechy reologiczne ośrodka gruntowego.
Poprzednio omówione zostały dwie cechy modeli reologicznych mających swoje zastosowanie
w modelowaniu procesów odniesionych do ośrodka gruntowego: sprężystość i lepkość. Obydwie
cechy opisują zachowanie się ciała stałego lub cieczy, nie nakładając na nie żadnych ograniczeń.
Pojęcie plastyczności wiąże się z wprowadzenie ograniczenia na cechę sprężystości ośrodka.
Zgodnie z pracą [Kisiela i innych, 1982] można wyobrazić sobie ciało nieograniczenie lepkie, tzn.
takie, którego prędkość odkształcenia zależy w określony sposób od wartości obciążenia, która to
wartość może być dowolna. Nie można na pewno wyobrazić sobie ciała posiadającego
nieograniczoną sprężystość tzn. takiego, którego odkształcenia są odwracalne pod działaniem
każdego obciążenia. Wg. Kisiela [Kisiel i inni, 1966], pojęcie plastyczności można określić w sposób
następujący:
„ Jeżeli ciało zachowuje się inaczej w jednym przedziale obciążeń niż w innym, sąsiednim,
mówimy, że pomiędzy tymi przedziałami przebiega granica plastyczności. Zarówno przed, jak i
po przekroczeniu granicy plastyczności zachowanie się ciała pod obciążeniem opisywane jest
zespołami cech sprężystych i lepkich. Jednakże przed przekroczeniem granicy plastyczności
zespół cech sprężysto-lepkich opisujący rozważane ciało jest inny niż zespół opisujący to
samo ciało po przekroczeniu granicy plastyczności.”
Zgodnie z definicją [Kisiela i innych, 1966], ośrodek gruntowy może posiadać kilka granic
sprężystości. [Tan, 1954] proponował dla niektórych typów iłów aż trzy granice plastyczności.
Jednakże każde ciało poddane działaniu nadmiernych dla niego obciążeń ulega zniszczeniu, rozpada
się na oddzielne, niezłączone ze sobą części. Istnieje więc granica, zwana granicą wytrzymałości
materiału, której nie można przekroczyć, aby prowadzone przez nas rozważania dotyczyły tego
samego ciała.
Podsumowując można stwierdzić, że istnieją dwie cechy reologiczne materiału, które opisują
zachowanie się tego ciała pod działaniem szeroko rozumianego obciążenia: sprężystość i lepkość.
Istnieją dwie inne cechy ograniczające stosowanie dwóch cech poprzednich: granica plastyczności i
granica wytrzymałości. Granica plastyczności bywa pojmowana nieraz umownie, gdy zmiana
własności materiału nie odbywa się skokowo, lecz stopniowo [Gryczmański, 1995]. Wg. [Olszaka i
innych, 1965, 1966 ], [Reinera, 1958, 1960a, 1960b] i [Kisiela, 1966, 1967, 1969, 1980 ], granice
plastyczności należy traktować jako granicę, a nie cechę reologiczną. Traktując granicę plastyczności
jako granicę, stan uplastycznienia traktować będziemy jako stan reologiczny po przekroczeniu tej
granicy plastyczności. Inaczej ma się sprawa z granicą wytrzymałości. Otóż przekroczenie tej granicy
powoduje sytuację, w której nie mamy już do czynienia z tym samym ciałem, jakie poprzednio
modelowaliśmy.
W technice rozróżniamy wytrzymałość materiału i wytrzymałość konstrukcji. Wytrzymałość materiału
to obciążenie w określony sposób przyłożone do próbki, tj. bryły o określonych kształtach i wymiarach,
które rejestrujemy w momencie zniszczeniapróbki. Natomiast wytrzymałość konstrukcji jest
obciążeniem, pod wpływem którego ulegają zniszczeniu pewne elementy konstrukcji, co uniemożliwia
jej dalsze wykorzystanie. W przypadku typowych materiałów budowlanych, jak na przykład stal,
drewno, beton, tworzywa sztuczne z punktu widzenia wytrzymałościmamy na myśli określony
przypadek wytrzymałościowy, dla którego ową wytrzymałość określamy. Mamy więc wytrzymałość na
ściskanie, rozciąganie, zginanie, ścinanie, skręcanie.
W mechanice gruntów przyjmowano, że mamy czynienia tylko z jednym przypadkiem
wytrzymałościowym – wytrzymałością na ścinanie.
W laboratorium zjawisko ścinania gruntu możemy zaobserwować w aparacie bezpośredniego
ścinania lub w aparacie trójosiowego ściskania. W tym drugim możemy obserwować proces
odkształcenie – naprężenia. Obserwując proces odkształcania się próbki pod wpływem wzrastającego
obciążenia pionowego możemy stwierdzić, że próbki niektórych gruntów ulegają przy pewnej wielkości
obciążenia zniszczeniu i rozpadają się na dwie części. W innych próbkach nie obserwujemy rozpadu
próbki. Próbka przyjmuje kształt beczki, na powierzchniktórej czasem, choć nie zawsze, można
zaobserwować rysy sugerujące proces ścięcia próbki. W obydwu przypadkach mamy do czynienia w
fazie końcowej doświadczenia z przekroczeniem granicy wytrzymałości gruntu, co zgodne jest z
definicją Reiner’a [] pojęcia wytrzymałości:
„wytrzymałość jest to zdolność materiału
nieograniczonym odkształceniom”.
do
przeciwstawiania się zniszczeniu
lub
W miejsce pojęcia „wytrzymałość” używa się w mechanice gruntów innych pojęć: nośność w
przypadku zagadnień dotyczących traktowania gruntu jako podłoża budowlanego lub stateczność w
przypadku skarp lub nasypów.
Nie można w pełni znaleźć analogii pomiędzy utratą stateczności lub nośności w gruntach
(Kisiel []) a zniszczeniem elementu lub całej konstrukcji. Konstrukcja po zniszczeniu nie może pełnić
swoich poprzednich funkcji. Jest bezużyteczna. W gruncie jest inaczej - w obszarze uplastycznienia
powstaje nowa struktura szkieletu gruntowego. Tworzy się nowy materiał, ale zdolny do pracy i to
zgodnie ze swoim przeznaczeniem. Nawet rozdzielenie się skarpy podczas osuwisku, niszcząc kształt
pierwotny skarpy, powoduje utworzenie nowego kształtu, który pełni swoją rolę w zmienionych
warunkach.
Kisiel, w swojej pracy [Kisiel, 1967], zwraca uwagą na umowność pojęcia plastyczności w mechanice,
a w szczególności w mechanice gruntów. Trudności w określeniu przejścia do stanu plastycznego
gruntu wynikają między innymi z faktu, że na odkształcenia postaciowe gruntu wpływa konsolidacja
gruntu i lepkość szkieletu gruntowego. Wpływ tych zjawisk dotyczących szkieletu ma większe
znaczenie w przypadku gruntów spoistych niż w przypadku gruntów sypkich. Obydwa zjawiska: lepkie
płynięcie szkieletu i konsolidacja, jak pokazano to w poprzednim rozdziale, są procesami
nieodwracalnymi. Obydwa procesy zachodzą przed osiągnięciem przez grunt stanu uplastycznienia i
podczas osiągnięcia tego stanu. Nie można, więc jak to się czyni w odniesieni do innych materiałów,
oprzeć się tylko na definicji nieodwracalności zjawiska i funkcji dyssypacji. Stad wynika konieczność
innego potraktowania tego zjawiska w gruntach. Stąd] wynika również wprowadzone przez
[Sokołowskiego, 1958] i [Kravtchenkę, Sibille’a, 1962,1964], [Dembickiego, 1964,1966] w mechanice
gruntów pojęcie stanu granicznego.
Pojęcie stanu granicznego najlepiej wyjaśnić, korzystając z konstrukcji kół Mohr’a dla
naprężeń. Na rysunku 4.26 przedstawiono obwiednię kół granicznych Mohr’a.
Rys 4.26. Obwiednia kół granicznych Mohra.
Poszczególne koła Mohr’a przedstawiają kolejne stany, przy których następuje ścięcie próbki
gruntu. Obwiednia tych kół obrazuje stany naprężeń granicznych, jakie mogą występować w badanym
gruncie.
Zasadniczym czynnikiem charakteryzującym stan graniczny jest graniczny opór ścinania.
Opór ścinania zależy w gruntach od wielu czynników. W swojej pracy [Taylor, 1948],sklasyfikował i
omówił szczegółowo wiele z tych czynników. Niektóre z tych czynników maja istotny wpływ na opór
ścinania tylko gruntów spoistych, inne mają znaczenie zarówno w przypadku gruntów spoistych,jak i
sypkich.
Poniżej omówimy w skrócie podstawowe czynniki wpływające na opór ścinania gruntów.
Czynniki geologiczne.
Ta grupa czynników ma znaczenie przede wszystkim w odniesieniu do gruntów spoistych. Do
czynników tych zaliczamy:
Skład mineralny
Historia powstania pokładu (warstwy)
Warunki ruchu wód podziemnych
Historia obciążenia
Procesy cementacji
Jedynie warunki ruchu wód podziemnych mają istotny wpływ na stan graniczny zarówno w
gruntach spoistych, jak i sypkich, chociaż mechanizm wpływu jest w obydwu przypadkach odmienny.
W gruntach sypkich na stan graniczny wpływa przede wszystkim ciśnienie spływowe zależne od
gradientu wysokości hydrauliczne przepływu. W gruntach spoistych znaczenie ma przede wszystkim
wartość ciśnienia porowego oraz pośredni wpływ wód związanych z powierzchnią graniczna cząstek i
panującego w nim stanu naprężenia wywołanego zarówno działaniem pola grawitacyjnego i
obciążenia
zewnętrznego,
jak
również
pola
elektrycznego,
wywołanego
działaniem
niezrównoważonego ładunku elektrycznego cząstek gruntu spoistego.
Wpływ historii geologiczno-inżynierskiej jest ostatnio tematem wielu publikacji np. [Stróżyk,
Izbickiego, 2003 ] , [Izbickiego i innych, 1976, 1995, 2003], [Jamiołkowskiego i innych, 1985],
[Kotowskiego, 1998]. Szczególnie istotnym czynnikiem wynikającym z historii geologicznej jest proces
prekonsolidacji gruntów spoistych biorących się z faktu, ze w przeszłości poddane były większym
naprężeniom efektywnym niż obecnie, np. na terenie Polski wywołanym działaniem lądolodów
plejstoceńskich. Do innych czynników należą procesy wietrzenia i erozji gruntu.
Na własności gruntu w zakresie obszaru stanu granicznego mają procesy cementacji gruntu
wynikające z wytrącania się soli z wysoko zmineralizowanej wody gruntowej. Zagadnieniem tym
zajmowało się wielu badaczy, między innymi [Choma-Moryl, 1992], która badała wpływ tego czynnika
na przykładzie iłów poznańskich.
Czynniki fizyczne.
Czynniki fizyczne określane są przyjętymi w mechanice gruntów cechami gruntu:
gęstość objętościowa,
gęstość właściwa,
porowatość,
granica plastyczności,
granica płynności,
stopień plastyczności,
wskaźnik plastyczności,
wilgotność naturalna,
stopień wilgotności,
zawartość powietrza,
wodoprzepuszczalność.
Nie wszystkie czynniki fizyczne mają istotny wpływ na stan graniczny. Niektóre z nich praktycznie nie
wywierają bezpośredniego wpływu. Niektóre z nich są funkcjami innych. Szczegółowo można
zapoznać się z nimi i sposobami ich określania w laboratorium w podręcznikach dotyczących
Mechaniki Gruntów.
Czynniki mechaniczne.
Do istotniejszych czynników mechanicznych należą:
naprężenie efektywne,
naprężenie neutralne,
prędkość odkształcenia,
maksymalne naprężenie styczne,
ciśnienie spływowe,
parametry efektywne modeli reologicznych gruntu.
Powyższe czynniki omówione zostaną szczegółowo podczas formułowania modeli matematycznych
opisujących stan graniczny gruntu. Wszystkie z wymienionych czynników są funkcjami zmiennych
przestrzennych i czasu. Wywierają one istotny wpływ na opór ścinania gruntu.
Czynniki geometryczne.
Czynniki geometryczne maja bardzo istotny wpływ na opór ścinania gruntu. Do najistotniejszych
zaliczamy:
wielkość cząstek,
kształt cząstek,
struktura szkieletu gruntowego,
porowatość.
Szczególnie istotneznaczenie na wielkość oporu ścinania ma kształt cząstek gruntu. W gruntach
sypkich ma ono wpływ na zaklinowywanie się poszczególnych ziaren gruntu i zwiększanie przez to
oporu ścinania. W gruntach spoistych oprócz kształtu bardzo istotną rolę odgrywa wzajemne ułożenie
ziaren względem siebie. Przebudowa struktury gruntów spoistych, jej przebieg w zależności od
procesu obciążenia jest dominującym czynnikiem określającym opór ścinania gruntów spoistych.
IV.4.2. Przebieg procesu ścinania gruntu.
Szkielet gruntowy składa się ze stykających się ze sobą ziaren i cząstek szkieletu ośrodka
gruntowego. Istniejący przestrzenny układ ziaren tworzy określoną strukturę.
W przypadku gruntów sypkich schemat funkcjonowania konstrukcji, w której siły
przekazywane są z ziarna na ziarno poprzez styki ciało stałe – ciało stałe, dobrze opisuje układ
statyczny zagadnienia. Ponieważ powierzchnia styku ziaren jest znacznie mniejsza od przeciętnego
wymiaru charakterystycznego dla ziaren można stwierdzić, że naprężenia występujące na tych
powierzchniach są znacznie większe od naprężeń średnich wewnątrz ziarna. Siły przekazywane z
ziarna na ziarno zazwyczaj nie są normalne do powierzchni, więc istnieje naturalna podatność
poślizgu jednego ziarna po powierzchni drugiego, gdy przekroczona jest siła oporu tarcia statycznego.
Po przekroczeniu wartości granicznej tarcia statycznego następuje więc zniszczenie styku i układ
statyczny zamienia się na kinetyczny. Układ przed przekroczeniem sił tarcia możemy nazwać układem
i więzach stykowych. Można by przyjąć, że utrata jednej więzi jest początkiem procesu ścinania.
Jednakże proces ten może się zatrzymać, jeżeli pozostałe styki lub styki pozostałe wraz z powstałymi
nowymi stykami po przemieszczeniu ziarna mogą zmobilizować wystarczającą siłę oporu na
przemieszczenia i proces zostaje zatrzymany. Przyłożenie dodatkowego obciążenia lub zmiana sił
działających na ziarna na skutek procesu filtracji cieczy (zmiana ciśnienia porowego i ciśnienia
spływowego filtracji) może prowadzić do całkowitego zniszczenia istniejącej poprzednio struktury,
jeżeli sumaryczne siły oporu tarcia pomiędzy ziarnami nie mogą zrównoważyć składowych stycznych
do płaszczyzny styków sił wynikających z rozkładu sił wewnątrz ośrodka gruntowego. Taki schemat
procesu ścinania zakłada, że proces ścinania jest wynikiem przekroczenia sił tarcia na stykach ziaren,
natomiast ziarna są niezniszczalne. Zniszczeniu ulegają jedynie więzi między nimi. Dla ograniczonego
zakresu stanu naprężenia takie założenie jest bliskie prawdy. W przypadku, gdy wielkość obciążeń
jest duża i naprężenia przenoszone przez ziarna są bliskie wytrzymałości na ścinanie materiału ziaren,
proces ścinania polega na niszczeniu również samych ziaren w strefie ścinania gruntu.
W gruntach spoistych składających się z cząstek o wymiarach rzędu mikronów proces
ścinania jest bardziej skomplikowany. Liczne zdjęcia uzyskane przez różnych badaczy w mikroskopie
elektronowym (np. [Grim, 1953], [Paszyc- Stępkowska, 1964, 1966], [Emmrich, 1984], [Mitchell, 1964])
wskazują, że kształt blaszki iłów najczęściej zbliżony jest do graniastosłupa o wysokości h znacznie
mniejszej od wymiarów podstawy d, mającej kształt sześciokąta wypukłego nieregularnego. Grim []
podaje następujące wielkości charakterystyczne graniastosłupa:
Kaolinit
Illit
Motmorylonit
d=0,3 do 4,0
d=0,1 do 0,3
d=0,1 do 0,3
µm , h=0,05 µm ,
µm , h=0,003 µm ,
µm , h=0,001 µm .
Mitchell w swojej prac [Mitchell, 1976] twierdzi, że liczba cząstek iłu w 1g „suchej masy” wynosi od 4,5
13
14.
-23 3
Średnia objętość jednej cząstki wynosi 2 10 m ,stąd liczba cząstek w 1g masy
10 do5,5 10
14
wynosi około n=2 10 cząstek iłu.
Na proces ścinania oprócz istotnych czynników geometrycznych gruntu, jak konfiguracja szkieletu,
kształt cząstek i charakter kontaktów pomiędzy cząstkami ma wpływ rozkład ładunków elektrycznych
na powierzchni cząstki, stała dielektryczna wody, skład chemiczny wody. W przypadku tego typu
gruntów szkielet składa się z płytek tworzących w przestrzeni strukturę przypominającą budowę
domku z kart lub układu talii kart, jeżeli grupy cząstek sklejają się wzdłuż płaszczyzn płytek, tworząc
klastry (np. w kaolinicie) rys 4.27
Rys. 4.27. Przykładowy układ cząstek gruntu spoistego (wg.[Kisiela i innych, 1982]).
Wg [Paszyc-Stępkowskiej, 1964] klastry kaolinitu mogą tworzyć większe agregaty mające rozmiar
cząstek pyłu. Często struktura taka wykazuje cechy anizotropowości rys4.28
Rys. 4.28. Układ talii kart – przykładowy model klastrowy cząstek kaolinitu (wg [Kisiela, 1982]).
Woda wypełniająca przestrzenie pomiędzy płytkami zawiera jony swobodne i wymienne.
Własności wody są odmienne w zależności od odległości od powierzchni ziaren oraz zależą od
wzajemnego ustawienia cząstek od siebie. Na wytrzymałość gruntu spoistego mają istotny wpływ trzy
wskaźniki struktury iłu: wskaźnik porowatości, stopień orientacji cząstek oraz charakter kontaktów
cząstek gruntu. Według Kisiela [Kisiel i inni, 1982] stopień orientacji cząstek wyraża się wzorem:
gr =
wc − wcn
,
wc
(0.1)
wc oznacza granicę skurczalności gruntu (wilgotność, przy której podczas suszenia ustają
zmiany objętości) , a wcn określa granicę skurczalności dla rzeczywistego układu cząstek gruntu. W
gdzie
przypadku najbardziej uporządkowanej struktury gr =1 (struktura stykających się większymi
powierzchniami cząstek gruntu, a w przypadku najbardziej nieuporządkowanej gr = 0. Widać więc, że
im bardziej wzrasta od 0 do 1 stopień orientacji, tym bardziej mamy do czynienia ze strukturą
anizotropową ośrodka.
Istotnym parametrem charakteryzującym orientację cząstek jest również kierunek orientacji
cząstek. Dla jednoznacznego określenia kierunku orientacji wystarczy znajomość kątów, jakie
normalna do płaszczyzny tego elementu tworzy z ustalonymi w przestrzeni ortogonalnymi wzajemnie
współrzędnymi w kartezjańskim układzie współrzędnych, znajomość trzech kątów φ1 , φ2 , φ3 .
Wskaźnikiem orientacji układu n-elementów względem obranego układu współrzędnych
xi gdzie
i=1,2,3, jest wyrażenie:
mr =
1 n
cos 2 φ1i + cos 2 φ2i + cos 3 φ3i ) .
(
∑
2 1
(0.2)
Kierunek orientacji ma istotne znaczenie w relacji z kierunkiem działania obciążenia. W
zależności od tej relacji zależy podatność struktury na odkształcenia.
Rozróżniać będziemy dwa rodzaje kontaktów między płytkami gruntu spoistego: styk
bezpośredni płytek i styk polegający na tym, że pomiędzy płytkami znajduję się warstewka wody
adsorbowanej, ściśle związana z powierzchnią graniczną płytki [rys4.28]. Woda ta ma pewne cechy
ciała stałego i posiada odmienne własności fizyczne w porównaniu z wodą zwykłą. W każdym z tych
przypadków mamy odmienny charakter oporu przeciwko przesunięciu płytek względem siebie. W
przypadku kontaktu bezpośredniego płytek będziemy oznaczać ten kontakt jako kontakt M-M (minerał
– minerał) i wystapi wówczas opór tarcia statycznego. W drugim przypadku kontakt będziemy
oznaczać M-W (woda – minerał) i charakter oporu przeciw przesunięciu jest oporem lepkim.
Rys.4.29. Styki płytek gruntu spoistego a) typ W-M, b) typ M-M(wg. [Kisiela i innych, 1982]).
Wzajemnym oddziaływaniem cząstek gruntu spoistego zajmował się [Houwink, 1958] , który wykazał,
że efekt wzajemnego oddziaływania na siebie dwóch cząstek w strefie wód związanych z graniczną
powierzchnią cząstek można przedstawić w postaci jednej z dwóch krzywych zobrazowanych rys.
4.30okreslajacym wartość energii wewnętrznej układu jako funkcji wzajemnego położenia płytek.
Rys.4.30. Rozkład energii wewnętrznej układu płytek minerałów gruntu spoistego w zależności
od odległości między nimi a) przypadek dwóch położeń równowagi, b) przypadek jednego
położenia równowagi (wg.[Kisiela i innych, 1982]).
Z wykresów tych wynika, że najbardziej stateczne położenie płytek występuje w punkcie M,
który odpowiada stykowi M-M, a mniej stateczne w przypadku styku W-M który odpowiada punktowi N
na wykresach. Przejście ze stanu określanego punktem N do stanu M wymaga przyłożenia do cząstki
dodatkowego obciążenia zewnętrznego, koniecznego do pokonania bariery potencjału między
punktem M i N, który wielkość określa punkt P. Liczba kontaktów typu M-M może ulegać zmniejszeniu,
gdy wzrasta wielkość ciśnienia porowego wody. Zagadnieniem tym zajmowało się wielu badaczy i
problem ilości styków oraz ich rodzaju jest w dalszym ciągu tematem licznych publikacji. Zgodnie z
pracą Kisiela [Kisiel i inni , 1982], prawdopodobieństwo przejścia cząstek z położenia N do M przy
wykorzystaniu prawa Boltzmana wynosi:
 ∆U1 − α1 p 
PNp→ M = C ' exp  −
,
kT


’
-16
(0.3)
0
gdzie: C – stała, k = 1,38 10 erg/ K- stała Boltzmana, T- temperatura bezwzględna w stopniach
Kelwina, natomiast ∆U maksymalna wartość stanu energetycznego cząstek wg rys.4.29.
Barierę energetyczną, jaką musi osiągnąć energia wewnętrzna układu, aby cząstki minerału przeszły
od stanu N do M, wynosi:
∆U = ∆U1 − α1 p ,
gdzie
(0.4)
∆U1 i α1 p jak na rys.4.30.
Prawdopodobieństwo przejścia odwrotnego wynosi:
 ∆U1 + α1 p 
PMp → N = C '  −
.
kT


(0.5)
Oznaczając przez n ogólną liczbę kontaktów między cząstkami w jednostce objętości gruntu
spoistego, a przez n M liczbę kontaktów typu M-M dla stanu równowagi pod obciążeniem p, możemy
zapisać:
−1
 ∆U 0 + (α1 + β ) p  
nM 
= 1 + exp  −
 .
n 
kT

 
(0.6)
Zgodnie z pracą Kisiela [] możliwe wszelkie układy kontaktów są jednakowo prawdopodobne, więc:
średnia wartość p musi zależeć od każdej składowej naprężenia efektywnego
σ ijef
niezależnie od jego kierunku;
składowe styczne
σ ijef gdy j ≠ i
nie wpływają na średnią wartość p, gdyż, jeśli wskutek ich
działania siła w pewnym punkcie maleje, to zawsze istnieje taki kontakt, w którym siła ta
rośnie. Można, więc zapisać:
p=
1
ef
ef
.
(σ 11 + σ 22 + σ 33 ) = σ 0ef = σ OKT
3
(0.7)
Korzystając z powyższego wzoru (0.7) i zależności (0.4), możemy zapisać:
−1
nM
= 1 + C exp ( − Dσ 0ef )  ,
n
(0.8)
gdzie:
α1 + β
 ∆U 0 
C = exp  −
, i D =
kT
 kT 
Wielkość
σ 0ef
.
(0.9)
naprężenia efektywnego jest obciążeniem prekonsolidującym, które działało na grunt
spoisty w ciągu ubiegłej historii.
Powyższe rozważania pokazują, jak skomplikowana jest materia dotycząca fizyki procesów
zachodzących w ośrodkach rozdrobnionych, a szczególnie w przypadku ośrodków spoistych.
Do dzisiaj nie ma precyzyjnej teorii, która w oparciu o mechanizmy w skali cząstek mogłaby
określić relacje pomiędzy zmianami struktury tego ośrodka, a definiowanymi przez nas procesami.
Omawiając proces konsolidacji gruntu zakładaliśmy, że ośrodek jest ciałem ciągłym, zdając sobie
sprawę z tego, że przemieszczenia objętościowe i postaciowe ośrodka rozdrobnionego mogą wiązać
się z lokalnąutratą więzi pomiędzy cząstkami lub ziarnami rozpatrywanego ośrodka. Na to, że taki jest
rzeczywisty przebieg procesu konsolidacji, wskazuje fakt, że proces ten jest procesem
nieodwracalnym. Grunt po zdjęciu obciążenia nie wraca bowiem do swojej poprzedniej postaci,
następuje więc trwała zmiana struktury ośrodka. Jedynie w małym przedziale obciążeń możemy
mówić o odwracalności procesu. Jeżeli więc akceptujemy zmienność struktury przed powstaniem
stanu granicznego, powstaje problem, jak zdefiniować stan graniczny w gruncie. Naszym zdaniem,
moment taki następuje wtedy, gdy lokalne zmiany struktury powodują zmiany struktury w obszarze
makroskopowym i przejście z jednego stanu równowagi ośrodka o określonej strukturze nie powoduje
powstania nowej struktury, która potrafiłaby przenieść przyłożone do ośrodka obciążenie i ośrodek
zaczyna się rozwarstwiać, a poszczególne jego elementy znajdują się w stanie ruchu. Obserwacje
laboratoryjne pokazują, że procesowi przemieszczania się odłamów ośrodka po sobie towarzyszą
opory lepkie.
Ścinanie gruntu spoistego powoduje zmianę wszystkich czynników geometrycznych:
wskaźnika porowatości, stopnia orientacji cząstek gruntu g r i charakter kontaktów nM / n . W procesie
tym następuje bardziej równoległe ułożenie płytek, a więc wzrost stopnia orientacji g r oraz zmienia się
liczba kontaktów typu M-M i W-M. Znając liczby kontaktów M-M, które charakteryzują się oporem
tarcia statycznego oraz liczbę kontaktów W-M odpowiedzialnych za opór lepki, można określić
całkowity opór ścinania gruntu spoistego. Korzystając z pracy [Bowden’a i Tabora, 1954], można
określić za [Crawfordem, 1959, 1961] opór ścinania zależny od liczby kontaktów M-M na powierzchni
ścinania A w postaci:

τ s = asτ n =  nMA

pi
σn
+
σ 
A
τ n = F ( nM pi + σ ) ,
σn 
(0.10)
gdzie:
n MA - liczba kontaktów M-M na powierzchni ścięcia A,
n A - liczba wszystkich kontaktów na powierzchni ścięcia A,
p i - średnia statystyczna sił normalnych do powierzchni kontaktów M-M,
τ n - graniczny opór ścinania na płaszczyźnie ścięcia,
σ n - naprężenie ściskające w płaszczyźnie ścięcia,
τ
F = n - współczynnik tarcia statycznego minerałów,
σn
σ - naprężenie efektywne równe σ iief .
Przyjmując, że
nMA nM
=
nA
n
(0.11)
oraz korzystając ze związku (0.10) wzór na opór ścinania można zapisać w postaci:

τ s = F σ +

gdzie

E
,
1 + C exp ( − Dσ 0ef ) 
(0.12)
E = npi , pozostałe oznaczenia jak we wzorze (0.10).
Opór tarcia w kontaktach typu M-M zależy od wielkości naprężeń pochodzących od
obciążenia zewnętrznego i naprężeń wynikających z przyciągania się cząstek w pozycji równowagi M
(jak pokazano to na wykresie 4.29) i na tyle dużych, że wystarczających do pokonania bariery
potencjału w polu elektrycznym. Ta druga składowa oporu ścinania odpowiada pojęciu spójności
gruntu.
Na podstawie prac [Crawford’a, 1959, 1961] można stwierdzić, że tylko szybkie ścinanie
pozwala zachować strukturę gruntu taką, jaka była przed ścinaniem. Przy wolnym ścinaniu odgrywa
ważną rolę proces konsolidacji iłu powiązany jak wiemy, z filtracją wody wolnej i w procesach tych
następuje powolna przebudowa struktury gruntu spoistego. Zagadnieniu temu poświęcone są również
prace [Bjerruma i Simonsa, 1960], [Parry’ego, 1965].
Proces ścinania próbek obserwowany był w wielu laboratoriach mechaniki gruntów spoistych i
sypkich. W przypadku gruntów spoistych badania prowadzono najczęściej w aparatach trójosiowego
ściskania. Powstało wiele teorii pozwalających na opis zjawiska i określenie jego granicznych stanów.
Na podstawie niektórych prac doświadczalnych (np. [Dmitruka i Suchnickiej, 1966] oraz pracy
[Reinera,1958]) można dojść do definicji dwóch oporów ścinania: doraźnego oporu ścinania oraz
trwałej wytrzymałości na ścinanie. Uważa się, że opór ścinania jest nieliniową funkcją czasu, a w
przypadku obciążeń dynamicznych zależy od liczby n-cykli periodycznego obciążenia w postaci
powtarzającego się impulsu lub harmonicznie zmiennego obciążenia (np. fundament pod maszyną),co
dla przykładu przedstawioną na rys 4.31.
Rys.4.31. Zależność oporu ścinania od czasu działania obciążenia (wg Kisiela []).
Funkcja wiążąca opór ścinania od prędkości wzrostu obciążenia może być według Kisiela
[Kisiel i inni, 1969] określona tylko na drodze doświadczalnej. Z prac eksperymentalnych wynika, że
gdy struktura gruntu jest ustabilizowana, co ma miejsce w przypadku piasków zagęszczonych lub
przekonsolidowanych gruntów spoistych, uzyskuje się opór ścinania największy w przypadku dużej
prędkości obciążenia. W przypadku, gdy obciążenie przykładane jest wolno, to uruchamia się proces
niszczenia pierwszych więzi w procesie konsolidacji, co wpływa na osłabienie struktury gruntu, a w
efekcie na zdolność tworzenia oporu ścinania. Można więc powiedzieć, że w takim przypadku
będziemy mieli do czynienia z powolnym zmniejszaniem się oporu ścinania w czasie. Ze zjawiskiem
odwrotnym mamy do czynienia w przypadku gruntów nieustabilizowanych, jak np. niezagęszczone lub
średnio zagęszczone piaski lub grunty spoiste niecałkowicie lub normalnie skonsolidowane. W takim
przypadku proces konsolidacji gruntu może prowadzić do stabilizacji struktury, a w efekcie
obserwujemy wzrost w czasie oporu ścinania.
IV.4.3. Modele matematyczne stanu granicznego.
Modele matematyczne opisujące stany równowagi granicznej gruntów i skał zostały
szczegółowo omówione w wielu publikacjach, że wymienię pracę pod redakcją Kisiela [Kisiel i inni,
1982], [Szczepańskiego, 1974], [Sawczuka, Izbickiego, 1984], [Sawickiego A., 1994], [Coussy’ego,
1995], [Łydżby, 2002], [Lysika, 1968, 1969] ,[Dembickiego, 1964a, 1964b, 1964c, 1965, 1966, 1971,
1981a, 1981b], [Gryczmańskiego, 1983, 1995]. W niniejszej monografii ograniczymy się do
najczęściej stosowanych w praktyce inżynierskiej, uwzględniająych wpływ płynu ( cieczy lub gazu)
wypełniającego pory ośrodka gruntowego i jego filtracji przez strukturę utworzoną przez ziarna lub
cząstki minerałów na wartości obciążenia granicznego. W modelach tych nie uzyskujemy oceny
wartości odkształceń ośrodka w stanie granicznym. Pojęcie stanu granicznego odnosić będziemy do
wyidealizowanego materiału, dla którego pomijane są efekty lepko – sprężyste rzeczywistego
materiału tworzącego grunt lub skałę. Zakładamy, że modelowany przez nas ośrodek może płynąć
plastycznie w sposób nieograniczony.
W większości zagadnień związanych z powstaniem w gruncie lub skale granicznego stanu
równowagi uwzględnienie rzeczywistej zależności naprężenie odkształcenie jest pod względem
matematycznym skomplikowane.
Z tego względu wprowadzono zastępczy model wytrzymałościowy gruntu, lub skały określany
jako model ciała sztywno-plastycznego. W modelu tym całkowicie pomija się odkształcenia lepkosprężyste ośrodka. Przy wprowadzeniu takiego modelu grunt w przypadku ścinania przy naprężeniach
mniejszych od pewnej granicznej wartości τ gr zachowuje się jak ciało sztywne, nie wykazując
żadnych odkształceń. Po osiągnięciu wartości granicznej
τ gr
następuje ciągły wzrost odkształcenia
przy stałym naprężeniu. Z chwilą zdjęcia obciążenia, całkowite odkształcenie, jakiego doznał grunt od
chwili odciążenia pozostaje w nim jako odkształcenie trwałe.
W reologii gruntów istnieje szereg modeli uwzględniających odkształcenia lepko-sprężyste ośrodka
gruntowego lub skały oraz efekty wzmocnienia lub osłabienia. Możemy wyliczyć kilka z nich:
a) model materiału sprężysto – plastycznego,
b) modele lepko-sprężysto-plastyczne,
c) modele ciała nieliniowo sprężystego (dla procesów, w których nie występuje odciążenie),
d) modele ciała sprężysto- plastycznego ze wzmocnieniem lub osłabieniem.
IV.4.3.1. Model Coulomba – Mohra.
Dla określenia granicznego oporu stosowany był w początkowym okresie mechaniki gruntów warunek
wytrzymałościowy [Coulomb’a, 1773] wyrażone wg [Kisiela i innych, 1969, 1982] i [Szczepańskiego,
1974] liniową zależnością w postaci:
τ gr = −σ n tgφ + c ,
(0.13)
gdzie:
τ gr - graniczny opór ścinania,
σ n - naprężenie normalne panujące w płaszczyźnie ścięcia (ujemne przy ściskaniu),
φ - kat tarcia wewnętrznego,
c - kohezja (spójność).
Kąt tarcia i spójność są stałymi materiałowymi. Ich graficzną prezentację będącą interpretacją
równania przedstawiono na rys. 4.32
Przyjmując założenie, że związek Coulomb’a wynika przede wszystkim z procesu tarcia, a
doświadczenia wykazują, że prawo tarcia jest nieliniowe [Jaeger, Cook, 1969] proponuje dla małych
wielkości naprężeń normalnych do powierzchni poślizgu przyjmować liniowe prawo Coulomb’a,
natomiast dla dużych wartości tych naprężeń prawo nieliniowe w postaci:
τ gr = − µσ nm + c
,
(0.14)
gdzie m zawiera się w przedziale 2 / 3 ≤
µ ≤1.
Rys. 4.32. Wizualizacja prawa Coulomb’a.
Rozwój badań teoretycznych i doświadczalnych prowadzonych przez [Hvorsleva, 1937]]doprowadził
do innej postaci prawa Coulomba uwzględniającego ciśnienie porowe w przestrzeniach pomiędzy
cząstkami lub ziarnami gruntu, nazywanego za Kisielem prawem Coulomba – Hvorslev’a:
τ gr = − (σ n + σ ) tgφ + c ,
(0.15)
gdzie σ oznacza naprężenie w cieczy wynikające z oddziaływania cieczy na szkielet ośrodka
gruntowego.
Oznaczając przez
σ nef = σ n + σ
naprężenie efektywne normalne na powierzchni poślizgu równanie
Coulomb’a – Hvorsllev’a możemy zapisać w postaci:
τ gr = −σ nef tgφ + c .
(0.16)
Wpływ ciśnienia porowego na odkształcalność skał była tematem wielu publikacji, między innymi
przez [Bishopa, 1959, 1961], [Bishop i inni , 1960], [Hansena, Gibsona, 1949], [Skemptona, 1961],
[Jaegera, 1969]. Przykładowo badania [Jaeger’a, 1969] przeprowadzone na wapieniach, dotyczące
wpływu wody na deformację próbek i na maksymalne ciśnienie przenoszone przez nie w stanie
jednoosiowego ściskania dobrze obrazuje rys. 4.33.
Rys. 4.33. Wpływ naprężenia w cieczy wypełniającej pory na proces naprężenie odkształcenie
próbek wapiennych wg Jaeger’a (wg [Kisiela i innych 1969]).
W przypadku gruntów wzrost naprężenia w cieczy σ może doprowadzić do wzrostu objętości gruntu,
a nawet do upłynnienia gruntu. Przeciętne wartości kątów tarcia wewnętrznego φ dla różnych
gruntów zależą od ich zagęszczenia, natomiast wartości kohezji c zależą od wilgotności gruntu i od
stopnie prekonsolidacji gruntu.
Wpływ zagęszczenia gruntu na wielkość oporów tarcia wewnętrznego przedstawił Kisiel w pracy,
[Kisiel i inni, 1969 ] co pokazuje rys. 4.34.
Rys. 4.34. Zależność oporu tarcia wewnętrznego od przemieszczenia w przypadku gruntu mało
zagęszczonego (kółka zaczernione) i gruntu zagęszczonego (kółka niezaczernione) (wg.
[Kisiela i innych, 1982]).
Zależność kohezji od wilgotności gruntu jest wg [Bjerruma, Simonsa
[Wiłunem,Starzewskim, 1972] ) liniowa, co przedstawiono na rys. 4.35
1960](podajemy za
Rys. 4.35. Zależność spójności od wilgotności gruntów spoistychwg [Wiłuna, Starzewskiego,
1972].
Jak widać, wpływ fazy ciekłej lub gazowej na proces ścinania w gruntach objawia się w dwóch
niezależnych płaszczyznach: bezpośredniego oddziaływania cieczy na proces odkształcenie –
naprężenie poprzez działanie ciśnienia w porach ośrodka i sił unoszenia filtracji oraz ma istotny wpływ
na parametry wytrzymałościowe w gruncie.
Warunek Mohra
Warunek ten wynika bezpośrednio z analizy granicznych kół Mohra. Otóż zakłada się, że stan
graniczny ośrodka rozdrobnionego lub zniszczenie porowatych materiałów skalnych określa równanie
obwiedni kół Mohra i jest zależne od wielkości maksymalnego i minimalnego naprężenia głównego.
Może być, zgodnie z pracą Kisiela i innych [], określone zależnością:
p = F ( q ) lub
F ( p, q ) = 0 ,
(0.17)
gdzie
p=−
1
(σ 1 + σ 3 )
2
oraz q =
1
(σ 1 − σ 3 )
2
lub po uwzględnieniu naprężenia w cieczy
p=−
1
(σ 1 + σ 3 ) − σ
2
przy czym
oraz
q=
Warunek ten w przypadku liniowej funkcji
lub
σ:
1
(σ 1 − σ 3 ) ,(0.19)
2
σ1 > σ 2 > σ 3 .
q − p sin φ − c cos φ = 0
(0.18)
F ( q ) ma następującą postać:
(0.20)
1
1
(σ 1 − σ 3 ) + (σ 1 + σ 3 ) sin φ − c cos φ = 0
2
2
(0.21)
lub przy założeniu działania naprężeń efektywnych :
1
1
(σ 1 − σ 3 ) + [(σ 1 + σ 3 ) + σ ]sin φ − c cos φ = 0 .
2
2
(0.22)
Przechodząc do konstrukcji liniowej obwiedni kół Mohra rys. 4.36 widzimy, że równanie prostej
stanowiącej liniowe obwiednie kół Mohra wyraża się związkiem (0.20).
Rys. 4.36. Warunek Coulomba – Mohra.
IV.4.3.2. Inne warunki stanu granicznego.
Liniowy warunek Coulomb’a zarówno dla przypadku ośrodków nawodnionych, jak również
ośrodków „suchych” nie jest jedyną propozycję warunku stanu granicznego w mechanice, chociaż w
mechanice gruntów i skał jest najczęściej stosowany do rozwiązania konkretnych zagadnień
inżynierskich.
Przechodząc do szczególnych przypadków nieliniowego warunku Mohra, można wyrazić
równanie opisujące obwiednię kół w sposób następujący:
σ ef = a − bτ n ,
n
gdzie 1 ≤
(0.23)
≤ 2 , a - określa wytrzymałość na rozciąganie hydrostatyczne, natomiast wielkość n a / b
ef
jest wartością naprężeń ścinających, gdy σ = 0 . Szczególnym przypadkiem jest paraboliczny
warunek stanu granicznego, który wg prac [Jaegera, Cooka, 1969], i [Parate, 1969], dobrze
odwzorowuje wyniki doświadczeń dla gruntów i skał pod działaniem dużych naprężeń.
Interesująca propozycję warunku stanu granicznego wprowadził Stroganov, który opublikował szereg
prac doświadczalnych i teoretycznych [Stroganov, 1958, 1961, 1965, 1967] w zakresie stanów
granicznych gruntów.
Stroganov [Strogonov, 1967] uważa, że zachowanie się gruntu w stanie plastycznym opisuje układ
niezmienniczych związków fizycznych:
G pl
σ0
τ
=
σ0
∗
tg Ψ +
tg Ψ
G pl
σ0
γ ∗,
γ∗
σ 0 = λγ 0 ,
(0.24)
γ 0 d = − χγ ,
∗
gdzie
(σ
3
1
τ okt =
2
2
τ∗ =
2
− σ 22 ) + (σ 22 − σ 33 ) + (σ 33 − σ 11 ) + 6 (σ 122 + σ 23
+ σ 312 ) ,
2
11
2
2
(0.25)
τ okt naprężenie styczne do powierzchni oktaedrycznej w układzie głównych osi naprężeń
oraz
γ∗ =
=
1
(1 +ν )
t
k
o
γ
3
γ okt =
2 2 (1 + ν )
(γ 11 − γ 22 ) + (γ 22 − γ 33 ) + (γ 33 − γ 11 )
2
2
2
2
3
+ ( γ 122 + γ 232 + γ 312 ) ,
2
(0.26)
odkształcenie oktaedryczne w układzie głównych osi odkształceń (zakłada się przy
tym, że układ głównych osi odkształceń pokrywa się z układem głównych osi
naprężeń),
i γ ij składowe naprężenia i odkształcenia w dowolnym układzie kartezjańskim,
σ ij
σ0 i γ0
γ 0d
χ
ν
λ
naprężenie i odkształcenie średnie,
odkształcenie wywołane ściśliwością szkieletu,
G pl
współczynnik dylatacji,
współczynnik Poissonna,
współczynnik doświadczalny Straganowa,
początkowy moduł plastyczności,
tgΨ
współczynnik tarcia wewnętrznego na płaszczyźnie oktaedrycznej.
W przypadku ciała sztywno – plastycznego G pl / σ 0 → ∞ warunek Stroganova przechodzi w
warunek Hubera-Schleichera [Kisiel i inni, 1982]. Z badań Stroganova. wynika, że piaski spełniają z
dużą dokładnością warunek Hubera-Schleichera wyrażony związkiem:
τ ∗ = (σ 0 + pn ) tgψ
.
(0.27)
i
Różnica pomiędzy powyższym warunkiem stanu granicznego a warunkiem Coulomb’a – Mohr’a.
polega na tym, że warunek ten jest niezmienniczy, więc nie zależy od stanu naprężenia. Inaczej ma
się sprawa z warunkiem Coulomb’a - Mohr’a. Porównując obydwa warunki, możemy znaleźć
zależność pomiędzy kątem ψ ϕ dla różnych przypadków stanu naprężenia:
dla przypadku osiowego ściskania:
tgψ =
2 sin ϕ
;
3 1 − sin ϕ
dla prostego ścinania:
(0.28)
tgψ = sin ϕ ;
(0.29)
dla przypadku osiowego rozciągania
tgψ =
2 sin ϕ
.
3 1 + sin ϕ
(0.30)
Powyższe formuły pozwalają określić zależność kąta tarcia wewnętrznego od stanu naprężenia ( ψ
nie zależy od stanu naprężenia) – co zobrazowano na rys. 4.37
Rys. 4.37. Związek pomiędzy ψ i kątem tarcia wewnętrznego wg. Stroganowa (f – kąt tarcia
wewnętrznego ϕ , arctgpsi - arctg(ψ )).
a- ściskanie osiowe, b- proste ścinanie, c- rozciąganie
Do innych znanych w literaturze warunków należy wymienić: warunek Misesa- Schleichera, warunek
Treski uogólniony później przez Druckera;są one opisane szczegółowo w pracach [Izbickiego, 1976],
[Kisiela i inni, 1982], [Mroza, Drescher’a, 1972], [Sawczuka, Izbickiego, 1984].
Do propozycji często cytowanych w literaturze, choć nieznajdujących do dzisiaj szerszego
zastosowania w praktyce inżynierskiej, zaliczyć można warunek Misesa –Schleichera, który
uwzględniając
definicje
niezmienników
stanu
naprężenia
{wzory
od
Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. do Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.},
można zapisać w postaci:
(I )
'
2
n
2
1
+ α I1 − k = 0 ,
3
(0.31)
gdzie
I 2' =
1
2
2
2
σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )  (0.32)
(

6
n
oraz α , k , n są stałymi dodatnimi, przy czym 1 ≤ ≤ 2 .
Graficznie powierzchnia graniczna jest paraboloidą obrotową n-tego stopnia o wierzchołku w punkcie
k
. W pracy [Kisiela i innych, 1982] Izbicki pokazał, że istnieje przejście graniczne,
c
α
dla przypadku płaskiego stanu odkształcenia , przy powiązaniu stałych
:
wewnętrznego ϕ i spójnością
α
k
σ1 = σ 2 = σ 3 =
i
z kątem tarcia
k
c=
(1 − 12α 2 )
, sin ϕ =
3
(1 − 3α 2 )
(0.33)
n = 1 , do warunku Coulomba. Podobnie dla n = 2 uzyskuje się warunek paraboliczny.
W niniejszej monografii nie będziemy zajmować się szczegółowo złożonymi warunkami
plastyczności odsyłając zainteresowanych do bogatej literatury w tym zakresie, ograniczając się w
większości zagadnień do liniowego warunku Coulomba Mohra i wpływu fazy ciekłej lub gazowej na
proces uplastycznienia lub utraty wytrzymałości gruntów lub skał.
oraz dla
IV.4.4. Sformułowanie zagadnienia stanu granicznego.
IV.4.4.1. Statyka stanu granicznego.
Po raz pierwszy zagadnieniem sformułowania równań stanu granicznego zajął się [Kötter, 1888] dla
przypadku zagadnienia płaskiego ośrodka sypkiego.
Obejmuje ono:
równania równowagi w przypadku płaskiego stanu odkształcenia:
∂σ 11 ∂σ 12
+
+ ρ1 = 0,
∂x1
∂x2
(0.34)
∂σ 12 ∂σ 22
+
+ ρ 2 = 0,
∂x1
∂x2
gdzie
ρ1 i ρ 2
są składowymi sił masowych
warunek stanu granicznego Coulomba który dla przypadku braku spójności ma
postać:
τ gr = −σ n tgϕ .
(0.35)
Brak spójności nie ma istotnego wpływu na ogólność przeprowadzonych poniżej przekształceń, gdyż
w każdym momencie możemy uogólnić rozważania wprowadzając pojęcie „wstępnego sprężenia
ośrodka” wyrażonego wzorem:
pn = c ctgϕ ,
(0.36)
więc warunek Coulomb’a można wyrazić wzorem:
τ gr = − (σ n + pn ) tgϕ .
(0.37)
W ogólnym przypadku warunek (0.37) może mieć postać zależności:
τ gr = g (σ n ) .
(0.38)
Wprowadzając wielkości bezwymiarowe naprężeń:·
⌢
τ =
τ gr
⌢ σ
⌢ p
; σ = n; p= n
σa
σa
σa
.
Warunek stanu granicznego można przedstawić w postaci:
(0.39)
τ = g (σ ) ,
⌢
⌢
(0.40)
gdzie w przypadku warunku granicznego Coulomba mamy:
⌢
⌢
g (σ ) = −σ tgϕ
(0.41)
lub z uwzględnieniem kohezji:
⌢
⌢ ⌢
g (σ ) = − (σ + p ) tgϕ .
(0.42)
1
s
s
Zgodnie z pracą [Kisiela i innych, 1982] położenie linii, wzdłuż których następuje poślizg (linii poślizgu)
jest określone zależnościami kątowymi względem naprężeń głównych i zależy od wielkości kąta tarcia
wewnętrznego. Wprowadźmy kąt ψ pomiędzy kierunkiem naprężenia głównego σ 1 a liniami poślizgu
i
. Zgodnie z oznaczeniami rys. 4.38 możemy kąt ψ wyrazić przy pomocy kąta tarcia
2
wewnętrznego
ϕ wzorem:
Rys. 4.38. Oznaczenie kierunków linii poślizgu w stanie granicznym(wg. [Kisiel i inni, 1982]).
ψ=
π
4
−
ϕ
2
.
(0.43)
g
W przypadku gruntu idealnie spoistego, kąt tarcia wewnętrznego równa się zero i 2ψ = π / 2 .
Jak widać kąt tarcia wewnętrznego, a zatem i kąt pomiędzy liniami poślizgu 2ψ zależy od funkcji
(σ ) w dowolnym punkcie obszaru i można go obliczyć ze wzoru:
⌢
dg (σ )
⌢
tg (ϕ ) =
⌢ = g ' (σ ) .
dσ
(0.44)
Na podstawie wzoru (0.44) i korzystając z zależności trygonometrycznych dla liniowego prawa
Coulomba można zapisać:
sin ϕ =
g'
1+ g '
2
; cos ϕ =
1
1 + g '2
.
Na podstawie wzorów Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. i
Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. możemy zapisać:
(0.45)
⌢
σ aσ =
(σ 1 + σ 2 ) − (σ 1 − σ 2 ) sin ϕ ,
2
⌢ (σ − σ )
σ aτ = 1 2 cos ϕ .
2
2
(0.46)
A następnie związki pomiędzy naprężeniami głównymi
σ iτ
σ1 i σ 2
oraz naprężeniami σ 11 ,
σ 22 i σ 12
,
możemy dla przypadku płaskiego stanu naprężenia zapisać je w postaci:
1
1
(σ 11 + σ 22 ) +
2
2
1
1
σ 2 = (σ 11 + σ 22 ) −
2
2
σ1 =
(σ 11 − σ 22 )
2
(σ 11 − σ 22 )
+ 4σ 122
(0.47)
2
+ 4σ
2
12
Podstawiając związki (0.47) do (0.46) dostajemy:
2
1
1
(σ 11 + σ 22 ) − sin ϕ (σ 11 − σ 22 ) + 4σ 122 ,
2
2
2
⌢ 1
σ aτ = cos ϕ (σ 11 − σ 22 ) + 4σ 122 .
2
⌢
σ aσ =
(0.48)
Równania stanu granicznego sprowadzają się do układu równań :
∂σ 11 ∂σ 12
+
+ γ 01 = 0
∂x1
∂x2
∂σ 12 ∂σ 22
+
+ γ 02 = 0
∂x1
∂x2
(σ 11 − σ 22 )
gdzie
2
+ 4σ 122 =
γ 01 i γ 02
(0.49)
4σ a 2  σ 11 + σ 22 sin ϕ
−
g 
cos 2 ϕ
2σ a
 2σ a
(σ 11 − σ 22 )
2

+ 4σ 122 

oznaczają składowe ciężaru objętościowego szkieletu z uwzględnieniem wyporu wody
Korzystając z zależności geometrycznych dla linii poślizgu można wyrazić bezwymiarowe naprężenia
σ 11 , σ 22 i σ 12 w zależności od naprężenia σ oraz kąta β nachylenia naprężenia σ 1 do osi x1
w postaci:
σ 11 ⌢ g (σ )
=σ +
[tgϕ + cos 2β ]
σa
cos ϕ
⌢
σ 22 ⌢ g (σ )
=σ +
[tgϕ − cos 2β ]
σa
cos ϕ
⌢
(0.50)
σ 12 g (σ )
=
sin 2β
σ a cos ϕ
⌢
Uwzględniając związki (0.40) w zależnościach (0.45) można je zapisać w postaci:
σ 11 ⌢
⌢
⌣
⌢
= σ + g (σ )  g ' (σ ) + cos 2 β 1 + g '2 (σ ) 


σa
σ 22 ⌢
⌢
⌢
⌢
= σ + g (σ )  g ' (σ ) − cos 2 β 1 + g '2 (σ )  (0.51)


σa
σ 12
⌢
⌢
= g (σ ) 1 + g '2 (σ ) sin 2 β
σa
g
Biorąc pod uwagę, że dla liniowego równania stanu granicznego
⌢
'' (σ ) = 0 równania równowagi
nazywane równaniami Köttera można przedstawić zgodnie z pracą [Kisiela i innych, 1982] w postaci:
⌢
⌢
∂σ
∂σ
(1 + sin ϕ cos 2β ) + sin ϕ sin 2β +
∂x1
∂x2
 ∂β
 γ
∂β
⌢ ⌢
−2 (σ + p ) sin ϕ 
sin 2 β −
cos 2 β  + 01 cos 2 ϕ = 0
∂x2
 ∂x1
 σa
⌢
⌢
∂σ
∂σ
sin ϕ sin 2 β +
(1 − sin ϕ cos 2β ) +
∂x1
∂x2
(0.52)
 ∂β
 γ
∂β
⌢ ⌢
+2 (σ + p ) sin ϕ 
cos 2 β +
sin 2 β  + 02 cos 2 ϕ = 0
∂x2
 ∂x1
 σa
Równania Köttera można przedstawić w innej postaci stosując podstawienia:
η = χ − β; ξ = χ + β
(0.53)
oraz
⌢ ⌢
1
σ∗
σ+p
∗
χ = ctgϕ ln ; σ =
σa
2
σa
cos 2 ϕ
(0.54)
wyprowadzone przez [Sokołowskiego, 1958] w przypadku liniowego warunku stanu granicznego
(0.21) w postaci:
∂η
∂η cos ϕ γ 02 cos ( β +ψ ) − γ 01 sin ( β +ψ ) 
+ tg ( β −ψ )
=
= F1
∂x1
∂x2
2 g (σ ) cos ( β −ψ )
∂ξ
∂ξ cos ϕ γ 01 sin ( β −ψ ) − γ 02 cos ( β −ψ ) 
+ tg ( β −ψ )
=
= F2
∂x1
∂x2
2 g (σ ) cos ( β +ψ )
(0.55)
W przypadku, gdy pole sił objętościowych F jest polem potencjalnym wynikającym z działanie siły
grawitacji i sił unoszenia filtracji cieczy przez pory ośrodka układ równań stanu granicznego ma postać
następującą:


1 ∂σ 
1 ∂σ 
 
cos ϕ  γ 01 +
sin ( β +ψ ) − γ 02 +
cos ( β +ψ ) 


f ∂x1 
f ∂x2 
∂η
∂η

 

+ tg ( β −ψ )
=
⌢
2 g (σ ) cos ( β −ψ )
∂x1
∂x2
 


1 ∂σ 
1 ∂σ 
cos ϕ  − γ 01 +
sin ( β −ψ ) + γ 02 +
cos ( β −ψ ) 


f ∂x1 
f ∂x1 
∂ξ
∂ξ
 


+ tg ( β −ψ )
=
⌢
∂x1
∂x2
2 g (σ ) cos ( β +ψ )
gdzie
σ = − pf
(0.56)
jest naprężeniem w cieczy wypełniającej pory, a p oznacza ciśnienie porowe.
Powyższy układ równań równowagi obszaru w przypadku statyki stanu granicznego uzupełnia
równanie przepływu filtracyjnego, które wg. pracy [Stilger – Szydło, 2005] dla przypadku przepływu
ustalonego sprowadza się do postaci:
∇ 2σ = 0
(0.57)
Moim zdaniem postać równania przepływu jest nieco bardziej złożona i jest sprzężona z
układem równań (0.56). Uwzględniając wyniki poprzednich rozważań z zakresu modelu
Biota-Darcy’ego równanie przepływu filtracyjnego powinno mieć postać:
⌢
C 2
1
H ɺ ∂g (σ )
∇ σ + σɺ = λ
f
R
R
∂σ ii
(0.58)
gdzie C,R,H to stałe modelu Biota-Darcy’ego, λɺ współczynnik prawa płynięcia
plastycznego.
IV.4.4.2. Kinematyka stanu granicznego.
Rozważmy podobnie jak w przypadku statyki stanu granicznego model sztywno plastyczny ciała
„suchego”. Kinematyka stanu granicznego określa związek fizyczny wiążący tensor naprężenia σ ij z
tensorem prędkości odkształcenia εɺij :
εɺij = λɺ
∂G (σ ij )
(0.59)
∂σ ij
gdzie:
1  ∂vi ∂v j 
+

2  ∂x j ∂xi 
εɺij = 

λɺ
vi
(0.60)
oznacza dodatnią stałą
oznacza składowe prędkości przemieszczenia
G (σ ij ) to potencjał plastyczności opisany równaniem:
c
G
j
i
(σ ) = ( σ
1
− σ 2 ) + (σ 1 + σ 2 ) sinψ − cosψ (0.61)
Jeżeli ψ = ϕ wówczas G
(σ ) = F (σ ) i równanie (0.60) odpowiada stowarzyszonemu z
ij
ij
warunkiem plastyczności prawu płynięcia. Gdy ψ < ϕ równanie (0.60) jest niestowarzyszonym
prawem płynięcia plastycznego, a ψ jest katem dylatacji, określającym zmiany objętościowe ośrodka.
Korzystając z prac [Stilger – Szydło, 2005] i[Izbickiego i Mroza, 1976] przedstawimy w skrócie metodę
rozwiązania zagadnień płynięcia plastycznego ciała sztywno plastycznego metodą charakterystyk.
Metoda ta zalicza się do metod ścisłych rozwiązywania zadań nośności granicznej. Szczegółowy opis
metody z przykładami obliczeń konkretnych zagadnień znajdzie czytelnik w pracy [Kisiel i inni, 1982].
W ogólnym przestrzennym quasi-statycznym zagadnieniu nośności granicznej, aby rozwiązać problem
nośności granicznej dysponujemy:
1. Równaniami równowagi
σ ij , j + γ 0i = 0
(0.62)
2. Warunkiem granicznym Mohra
p = F (q)
(0.63)
gdzie
1
1
(σ 1 + σ 3 ) oraz q = (σ 1 − σ 3 )
2
2
przy czym σ 1 > σ 2 > σ 3 .
p=−
Warunek ten w przypadku liniowej funkcji
(0.64)
f ( q ) ma następującą postać:
q − p sin ϕ − c cos ϕ = 0
(0.65)
lub
1
1
(σ 1 − σ 3 ) + (σ 1 + σ 3 ) sin ϕ − c cos ϕ = 0
2
2
(0.66)
3. Stowarzyszonym lub niestowarzyszonym prawem płynięcia
εɺij = λ
∂G (σ ij )
(0.67)
∂σ ij
gdzie:
1  ∂vi ∂v j 
+

2  ∂x j ∂xi 
εɺij = 

W przypadku stowarzyszonego prawa płynięcia G
(0.68)
(σ ) = F (σ ) .
ij
ij
Podsumujmy, dysponujemy:
• trzema równaniami równowagi,
• równaniem stanu granicznego,
• sześcioma równaniami płynięcia plastycznego,
• sześcioma równaniami określającymi związki geometryczne.
W sumie mamy do dyspozycji 16 równań. Podliczmy niewiadome:
• sześć niezależnych składowych stanu naprężenia,
• sześć niezależnych składowych prędkości stanu odkształcenia,
• trzy składowe prędkości przemieszczenia,
•
stała
λ.
Z podsumowania jasno wynika, że zagadnienie jest statycznie wyznaczalne, gdyż ilość równań (16)
jest identyczna z ilością niewiadomych. Możemy łatwo zredukować liczbę niewiadomych i równań
poprze podstawienie związków geometrycznych (0.68) do prawa płynięcia (0.67).
Powyższy układ równań opisuje proces równowagi kinetycznej stanu granicznego bez uwzględnienia
ciśnienia porowego cieczy i sił oporu filtracyjnego. W przypadku uwzględnienia naprężenia w cieczy
σ powyższy układ równań ma dodatkową niewiadomą, musi, więc być uzupełniony o dodatkowe
równanie. Poprzednie rozważania prowadzą do wniosku, że równaniem tym jest równanie przepływu
cieczy przez ośrodek porowaty.
W ogólnym przypadku zagadnienie nośności granicznej w przypadku procesu quasi - statycznego (z
pominięciem sił bezwładności), ale z uwzględnieniem sił masowych filtracji cieczy przez ośrodek
porowaty sprowadza się do następującego układu równań:
1. Równaniami równowagi
(σ
ij
+ σδ ij ) , j +γ 0 i = 0 ;
(0.69)
2. Warunkiem granicznym Mohra
p = F (q) ,
(0.70)
gdzie
1
(σ 1 + σ 3 )− σ oraz
2
przy czym σ 1 > σ 2 > σ 3 .
p=−
q=
1
(σ 1 − σ 3 ) ,(0.71)
2
Warunek ten w przypadku liniowej funkcji
f ( q ) ma następującą postać:
q − p sin ϕ − c cos ϕ = 0
(0.72)
lub
1
1
(σ 1 − σ 3 ) + [(σ 1 + σ 3 ) + σ ]sin ϕ − c cos ϕ = 0 ;
2
2
(0.73)
3. Stowarzyszonym lub niestowarzyszonym prawem płynięcia:
εɺij = λɺ
∂G (σ ij )
∂σ ij
,
(0.74)
gdzie:
1  ∂vi ∂v j 
+
;
2  ∂x j ∂xi 
εɺij = 

(0.75)
4. Równaniem przepływu cieczy przez ośrodek porowaty w przypadku przepływu laminarnego:
C 2
1
H
∇ σ + σɺ = εɺ ,
f
R
R
gdzie R,H stałe Biota, a
(0.76)
εɺ = εɺii
Układy równań ((0.62) do (0.68)) oraz ((0.69) do (0.76)) opisują przypadki zagadnienia
trójwymiarowego którego rozwiązanie nastręcza istotne trudności rozwiązania. W literaturze znane są
natomiast liczne rozwiązania dotyczące płaskiego stanu odkształcenia i zagadnień osiowo
symetrycznych.
IV.4.4.3. Twierdzenia nośności granicznej.
Twierdzenia dotyczące nośności granicznej i ich dowody zostały przedstawione przez Izbickiego w
pracy [Kisiela i inni, 1982] . Do przeprowadzenia dowodów zostały przyjęte dwa założenia:
a) Powierzchnia graniczna (plastyczności) jest wypukła
b) Wektor prędkości odkształceń plastycznych jest normalny do tej powierzchni
Obydwa założenia można przedstawić dla przypadku gładkiej powierzchni plastyczności rys. 4.39 a i
powierzchni osobliwej złożoną z kilku powierzchni analitycznych przecinających Się wzdłuż krawędzi i
naroży rys.4.39b
Rys. 4.39. Powierzchnie plastyczności a) gładka i b) osobliwa ( wg [Kisiel i inni ,1982]).
Zgodnie z pracą [Kisiel i inni ,1982] warunek wypukłości i normalności można przedstawić w
przypadku gładkiej powierzchni plastyczności w postaci:
(σ
ij
 ∂f (σ ij ) 
− σ ij∗ ) 
≥0
 ∂σ ij 
(0.77)
lub w przypadku, gdy powierzchnia plastyczności jest powierzchnią osobliwą:
(σ
 k
∂f σ 
∗
ɺ α ( ij )  ≥ 0, λɺ > 0, λɺ > 0…, λɺ > 0
−

σ
λ
)
∑ α ∂σ 
ij
ij
1
2
k
 α =1
ij

(0.78)
Mając na uwadze powyższe założenia, można wykazać słuszność następujących twierdzeń:
Każde pole statyczne dopuszczalne
σ
j
si
TWIERDZENIE I.
, spełniające warunki równowagi wewnętrznej i
nienaruszające warunku plastyczności w obszarze ciała, dostarcza dolnej oceny obciążenia
granicznego.
oraz
TWIERDZENIE II.
Każde pole kinematycznie dopuszczalne, spełniające warunki podparcia na brzegu i warunek
dodatniej mocy obciążeń brzegowych wyznacza kinematyczny mnożnik obciążenia będący
górną oceną obciążenia granicznego.
W prowadzając współczynnik
υg
określający ocenę stanu granicznego można na podstawie
powyższych twierdzeń sformułować nierówność:
υk ≤ υg ≤ υs
gdzie
υk
(0.79)
określa ocenę kinematyczną stanu granicznego, a
υs
ocenę statyczną stanu granicznego.
IV.4.5. Blokowe metody inżynierskie określania stateczności skarp w mechanice
gruntów.
Liczne metody obliczeń przybliżonych stosowanych w praktyce inżynierskiej, zakładające stan
graniczny na pewnych przyjętych powierzchniach poślizgu, prowadzi do oceny stateczności zboczy
mieszczących się w zakresie oszacowania górnego i dolnego współczynnika stateczności lub
obciążenia granicznego. Ocena stateczności opiera się w tych metodach (różniących się sposobem
przyjmowania kształtu powierzchni poślizgu) na spełnieniu warunku równowago sił wzdłuż powierzchni
poślizgu bryły osuwającego się gruntu lub skały [Stilger-Szydło, 2005], [Kisiel i inni, 1969,
1982],[Wiłun, 2000]. Powierzchnie poślizgu przyjmowane są w przekroju w postaci wycinka koła,
spirali logarytmicznych, cykloidy, prostych łamanych. Przyjęcie określonego kształtu linii poślizgu
uwarunkowane jest często budową geologiczną obszaru zbocza lub skarpy.
W metodach tych najczęściej stosuje się podział bryły podlegającej osunięciu na bloki, co e przekroju
reprezentuję paski, analizując równowagę sił zsuwających i utrzymujących poszczególne bloki. Siłami
zsuwającymi są siły czynne, wustepujące w płaszczyźnie poślizgu takie jak: ciężar gruntu, ciśnienie
spływowe filtracji, obciążenie gruntu. Siły utrzymując to: siły tarcia wewnętrznego, kohezja, czyli or
wynikający ze spójności gruntu oraz siły z elementów zabezpieczających skarpy jak np. ściany
oporowe, ścianki szczelne, pale, geosyntetyki.
Z założenia przyjmuje się:
hipotezę Coulomba-Mohra,
płaski stan naprężenia i odkształcenia,
brak efektów lepkich,
jednakowe przemieszczenia wzdłuż powierzchni poślizgu.
Określany wskaźnik stateczności F dla zbocza lub skarpy oblicza się jako stosunek momentu
utrzymującego M u z wiązanego z wytrzymałością na ścinanie gruntu lub skały do momentu
wywracającego
M w (związanego z obciążeniem). Stosując metody numeryczne możemy poszukiwać
stosunku tych dwóch wartości dla dużej ilości przyjętych powierzchni poślizgu poszukując wartości
najmniejszej Fmin . Zbocze, lub skarpę uważa się za stateczne, jeśli obliczone tą metodą Fmin :
Fmin ≤ Fdop ,
(0.80)
gdzie Fdop oznacza wielkość dopuszczalną wskaźnika stateczności i określona jest odpowiednimi
normami technicznymi dla różnego rodzaju konstrukcji geoinżynierskich.
Najczęściej stosowanymi metodami jest metoda Felleniusa i metoda Bishopa dla przypadku
przyjmowania walcowego kształtu powierzchni poślizgu oraz metoda Janbu dla dowolnego kształtu
powierzchni poślizgu.
IV.4.5.1. Metoda Felleniusa dla przepadku warstwy przepuszczalnej z uwzględnieniem
filtracji cieczy.
Potencjał sił masowych.
Rozważmy punkt m o współrzędnych (x,y) znajdujący się w obszarze filtracji – rys. 4.40
Rys. 4.40. Składowe sił unoszenia.
Przez punkt m przechodzi linia prądu oznaczona strzałką określającą kierunek przepływu
cieczy. W punkcie m wysokość hydrauliczna wynosi H, a w punkcie n odległym o odcinek
nieskończenie mały dl wzdłuż linii prądu występuje strata wysokości hydraulicznej dH.
Gradient hydrauliczny na drodze mn wyniesie:
i =−
dH
dl
Oznaczmy
(0.81)
ps
wielkość ciśnienia spływowego filtracji, styczną do linii prądu, która w punkcie m (rys. 4.38) równa
się:
ps = − ρ gi
(0.82)
Niech
psx i psy będą rzutami siły masowej ps na osie x i y.
Niech
ρos (1 − f )
oznacza wartość bezwzględną siły masowej reprezentującej ciężar objętościowy
szkieletu gruntowego z uwzględnieniem wyporu równą, co do wartości:
ρos = ( ρ s − ρ )
Wypadkową siłą masową
(0.83)
S otrzymaną z dodawania wektora ps i siły masowej ciężaru własnego
ośrodka wyrazić możemy przy pomocy współrzędnych:
S x = psx
, S y = psy − ∆∗
(0.84)
gdzie
∆∗ = (1 − f ) ρos
Składowe sił unoszenia filtracji można wyrazić wzorami:
psx = ρ g
psy = ρ g
vx
k
vy
(0.85)
k
Wiedząc, że składowe wektora prędkości wyrażają się przy pomocy składowych gradientu spadku
hydraulicznego H:
Sx = −ρ g
∂H
∂x
, S y = −ρ g
∂H
− ∆∗
∂y
(0.86)
Pokazaliśmy poprzednio, ze pole przepływu filtracyjnego jest polem potencjalnym; wiemy również, że
pole grawitacyjne jest również polem potencjalnym. Możemy a priori założyć, więc, że suma tych
dwóch pól jest również polem potencjalnym. Przyjmijmy, że ℜ jest potencjałem tego pola, więc
powinny być spełnione związki:
Sx =
∂ℜ
∂x
, Sy =
∂ℜ
∂y
(0.87)
Z pierwszego ze związków (1.86) możemy policzyć:
ℜ = ∫ S x dx + C ( y )
gdzie
(0.88)
C ( y ) jest to nieznana funkcja od y.
Korzystając z pierwszego ze wzorów (0.86) otrzymujemy:
ℜ = −∫ ρ g
∂H
dx + C ( y )
∂x
(0.89)
Co pozwala zapisać:
ℜ = − ρ gH + C ( y )
(0.90)
Zróżniczkujmy powyższe wyrażenia po ∂y :
∂ℜ
∂H ∂C ( y )
= −ρ g
+
∂y
∂y
∂y
Ponieważ
(0.91)
∂ℜ
= S y więc dostajemy:
∂y
dC ( y )
= −∆∗
dy
(0.92)
Co prowadzi do związku:
C ( y ) = −∆∗ y + ℜ0
(0.93)
Podstawiając wzór (0.93) do wzoru (0.90) dostajemy postać jawną potencjału:
ℜ = − ( ρ gH + ∆ ∗ y ) + ℜ 0
gdzie
(0.94)
ℜ 0 jest dowolną stałą.
Można pokazać, że wyprowadzona postać potencjału (0.94) jest taka sama w przypadku zagadnienia
przestrzennego
Powierzchnie ekwipotencjalne pola sił masowych można określić z równania:
ℜ0 − ℜ = ∆ ∗ y + ρ gH = const
(0.95)
W szczególności niech linia ekwipotencjalna Φ = −kH = const przechodzi przez punkt m obszaru
filtracji – rys. 4.38. W punkcie przecięcia linii Φ = const znamy położenie punktu m, możemy, więc
ℜ przyjmując oczywiście w dowolny sposób wartość ℜ 0 . Znając
powierzchnie ekwipotencjalne pola skalarnego ℜ możemy w określić wektor, który jest normalny do
tych powierzchni ekwipotencjalnych.. Wartość bezwzględna tego wektora jest równa −∂ℜ / ∂n , gdzie
n jest normalną do powierzchni ekwipotencjalnej.
obliczyć dla tego punktu wartość
Przykład liczbowy.
Przyjmijmy dla uproszczenia wartości
postaci:
∆ ∗ = 1 i ρ g = 1 . Wówczas równanie(0.95) można zapisać w
ℜ0 − ℜ = y + H
(0.96)
Rozważmy zadanie przedstawione schematycznie na rys. 4. 41 przyjmując zarazem, ze poziom
odniesienia znajduje się na warstwie nieprzepuszczalnej.
Rys. 4.41. Schemat zadania.
H 0 oznacza poziom wody w zbiorniku, N – punkt, w którym poziom wody styka się ze zboczem
skarpy AD. W punkcie N zgodnie ze wzorem (0.96) funkcja ℜ ma wartość:
Niech
ℜ0 − ℜ = 2H 0
(0.97)
ℜ0 = 2H 0 otrzymujemy w punkcie N potencjał ℜ równy zeru.
W innych punktach obszaru filtracji potencjał ℜ ma wartość:
Przyjmując wartość stałą
ℜ = 2H 0 − ( y + H )
(0.98)
Wzdłuż zbocza ND wysokość hydrauliczna jest równa
H 0 . Obierając punkty N1 , N 2 , N 3 , N 4 na
y = 3H 0 4, y = H 0 2 , y = H 0 4, y = 0 dostaniemy:
H
H
3H 0
, ℜ ( N4 ) = H0
ℜ ( N1 ) = 0 , ℜ ( N 2 ) = 0 , ℜ ( N 3 ) =
4
2
4
wysokości
Przedłużając myślowo zbocze ND w dół możemy przyjąć kolejno punkty N 5 , N 6 , … będące punktami
wyjściowymi linii ekwipotencjalnych:
ℜ ( N5 ) =
5H 0
3H 0
7H0
, ℜ ( N6 ) =
, ℜ ( N7 ) =
,⋯
4
2
4
Na krzywej zwierciadła swobodnego NK możemy znaleźć punkty odpowiadające liniom
ekwipotencjalnym
ℜ ( N1 ) , ℜ ( N 2 ) , ℜ ( N3 ) , …ℜ ( N 7 ) .
zwierciadła swobodnego. Ponieważ wzdłuż krzywej zwierciadła swobodnego
zapisać:
=
H
y
Oznaczmy P1 , P2 , P3 , … , P7 punkty odpowiadające odpowiednim liniom ekwipotencjalnym na krzywej
, możemy
ℜ = 2 ( H0 − y )
(0.99)
Dla poszczególnych punktów współrzędne y równają się:
y = H0 −
ℜ
2
Co w rozpatrywanym przypadku daje rzędne równe:
7 H 0 6H 0 5H 0 4H 0
H
,
,
,
, …, 0
8
8
8
8
8
Przeprowadźmy analizę przebiegu funkcji
dx. Dostajemy:
ℜ = const . Zróżniczkujmy w tym celu równanie (0.98) po
dy
dH
=−
dx
dx
(0.100)
Dla dodatniego przyrostu dx mamy ujemny przyrost dH gdyż jak to wynika z rys. 4.39 przepływ
odbywa się w kierunku zgodnym z kierunkiem dodatnim x.
Widać stąd, że dy dx jest dla krzywej ℜ = const dodatnie, krzywa ekwipotencjalna jest, więc
N
monotonicznie rosnąca. Jak możemy to zaobserwować na rys. 4.39 wartości dy dx w punktach
wyjścia położonych bliżej warstwy nieprzepuszczalnej są bliższe wartości równej zero. Jak wiadomo
wzdłuż ND wysokość hydrauliczna jest równa H = H 0 . Krzywa ekwipotencjalna H 0 − dH wychodzi
'
z punktu
położonego nieskończenie blisko punktu N i jest normalna do zwierciadła swobodnego w
N’ oraz normalna w punkcie D’ do DC – rys. 4.42. Przebieg krzywych ND i N’D’ wskazuje na ciągły
wzrost dx, gdy przemieszczamy się w kierunku podłoża nieprzepuszczalnego przy stałym DH.
Stąd wynika prawie poziomy przebieg krzywych
ℜ=
ℜ.
w pobliżu punktów wyjścia
Ni
t
s
n
o
c
Rys. 4.42.Linie ekwipotencjalne pola
.
Rozpatrzmy następnie punkt P na powierzchni zwierciadła swobodnego – rys. 4.43.
Rys. 4.43. Zależności trygonometryczne dla powierzchni ekwipotencjalnych.
Jeżeli przez θ oznaczymy kąt nachylenia zwierciadła swobodnego to spadek hydrauliczny w tym
punkcie możemy wyrazić wzorem:
i =−
dH
= sin θ
dl
(0.101)
Siła unoszenia filtracji ma, więc przy przyjętych założeniach wartość bezwzględną
styczna do powierzchni swobodnej. Sumując wektorowo siłę masową
ps = sin θ i jest
ps z siłą masową ciężaru
∗
własnego ośrodka filtrującego z uwzględnieniem wyporu ∆ otrzymujemy siłę S nachyloną pod
kątem β do pionu. Kąt β jest również kątem, jaki tworzy linia ℜ = const z poziomem, ponieważ siła
S jest prostopadła do linii ekwipotencjalnych ℜ = const . Z zależności trygonometrycznych dla
∆PDE otrzymujemy:
S = 1 + 3sin 2 θ
(0.102)
oraz
tg β =
tgθ
1 + 2tg 2θ
(0.103)
i
g
t
S
Poniżej w tabeli 4.1 przedstawiono kilka wartości bezwzględnej siły
β
dla 0 ≤ θ ≤ 30
S
g
t
Tabela 4.1
θ
3
W stopniach
0
5
10
15
20
25
30
G/cm
1,00
1,01
1,044
1,095
1,16
1,24
1,32
0
β
bezwymiarowa
0
0,085
0,166
0,234
0,277
0,326
0346
Jak widać mając ściśle określoną funkcję potencjału prędkości Φ i odpowiadające temu potencjałowi
linie ekwipotencjalne potrafimy precyzyjnie określić powierzchnie ekwipotencjalne ℜ = const . Wg
[Czugajewa, 1970] linie ekwipotencjalne ℜ = const można bez popełniania dużego błędu zastąpić
prostymi równoległymi nachylonymi pod katem β do poziomu, takimi, że ich wzajemna odległość jest
równa e. Przyjmując powyższe założenia [Czugajew, 1970] zastępujemy krzywą zwierciadła
swobodnego prostą NK nachyloną pod katem θ do poziomu. Następnie określamy punkty, dla
których wartość
ℜ ( Pi ) = iH 0 4 . Obliczamy następnie kąt β ze wzoru (0.103) i wykreślamy pod tym
katem proste ekwipotencjalne
ℜ ( Pi ) - rys. 4.44.
S
Rys. 4.44. Obliczenie stateczności skarpy z filtracją.
Można przyznać, że w przypadku, gdy powierzchnia swobodna jest słabo zakrzywiona o niewielkim
kacie nachylenia metoda Czugajewa jest bardzo praktyczna i nie prowadzi do znacznych błędów. Na
podstawie powyższych rozważań możemy określić wartość bezwzględną siły
przypadku jednakowa dla wszystkich linii ekwipotencjalnych równa:
S =
i ma jednakowy kierunek.
Obliczenia metodą Felleniusa
H0
4e
, która jest w tym
Niech łuk AC na rys. 4.44 ośrodku O jest jedną z możliwych linii reprezentujących powierzchnię
poślizgu. Rozważmy pasek pionowy o szerokości
λ1
. W przecięciu paska z przyjętą linią poślizgu
dostajemy odcinek łuku, który stanowi podstawę paska prostopadłego do linii ℜ = const .
Aby określić siły działające na powierzchnię poślizgu, będziemy uwzględniali dwa paski:
jeden pasek szerokości λ1 i wysokości χ1 ograniczony od góry powierzchnią terenu i od dołu
zwierciadłem swobodnym wód gruntowych NK. Dla tego paska dostajemy silę pionową
reprezentującą ciężar gruntu : P1 = λ1 χ1 ρ o g gdzie
s
w strefie aeracji
drugi pasek o szerokości
λ2
i wysokości
χ2
ρ 0s g jest ciężarem objętościowym gruntu
ograniczony jest od góry zwierciadłem wód
swobodnych NK a od dłu powierzchnią poślizgu. Jest on nachylony pod kątem β do pionu.
Siła masowa reprezentująca współdziałanie siły unoszenia filtracji i siły ciężkości gruntu z
uwzględnieniem wyporu wyraża się wzorem: P2 = λ2 χ 2 S .
Sumując wektorowo siłę
P1 i P2 dostajemy wypadkową R działającą na powierzchnię poślizgu.
Rozkładając następnie dla i-tego paska siłę
Ri na składowa normalną N i i styczną Ti do linii
poślizgu, obliczamy następnie wskaźnik stateczności ze wzoru Felleniusa:
F=
tgϕ ∑ N i + cL
i
∑T
.
(0.104)
i
i
Przedstawiona powyżej metoda jest jedną z wielu metod „paskowych” omawianych w literaturze
[Stilger-Szydło, 2005], [Kisiel i inni, 1969, 1982],[Wiłun, 2000]. Powszechnie stosowane
programy komputerowe jak np. Z-Soil, Slide 2D, poszukują minimalnej wartości współczynnika
stateczności, analizując po kilkanaście tysięcy potencjalnych powierzchni poślizgu, w zakresie
przyjętej siatki punktów obrotu.
IV.4.5.2 Metoda blokowa Bishopa.
Metoda Bishopa jest modyfikacją metody Felleniusa, polegającą na innym określeniu sił działających
na linii poślizgu paska oraz na uwzględnieniu sił działających na ścianach bocznych bloków rys. 4.45.
Rys. 4.45. Założenia metody Bishopa.
Siłę styczną do linii poślizgu dla i tego bloku obliczamy ze wzoru:
Ti =
(
)
1
Ni tgϕ + cli ti ,
F
(0.105)
gdzie
si wersor styczny do linii poślizgu dla i-tego bloku.
Przyjmując identyczne oznaczenia jak w wyżej opisanej metodzie Felleniusa siłę normalną dla
pojkedyńczego bloku dostajemy z rzutu sił na kierunek pionowy:
cli sin α i
ti
F
.
tgϕ sin α i
cos α i +
F
Si cos β + X i − X i +1 −
Ni =
(0.106)
Korzystając z definicji współczynnika bezpieczeństwa (wskaźnika stateczności) (0.104) możemy
zapisać:
∑
Si cos β + X i − X i +1 −
F=
cli sin α i
F
mi
∑ S sin α cos β
i
,
(0.107)
i
gdzie
mi = cos α i +
tgϕ sin α i
.
F
(0.108)
Można wykazać, że uwzględnianie poziomych sił składowych działających na bokach bloków nie
wpływa znacząco na wielkość wskaźnika stateczności. Z tego względu siły te są w obliczeniach często
pomijane, a metoda nosi wówczas nazwę uproszczonej metody Bishopa.
Równanie (0.106) ma charakter równania uwikłanego i rozwiązuje się go metodą iteracyjną. W
pierwszym kroku iteracji zakłada się, że F1 = 1 . Oblicza się ze wzoru (0.107) nową wartość F2 .
Obliczenia prowadzi się do momentu, gdy
Fn − Fn +1 ≤ ξ , gdzie ξ jest założonym dopuszczalnym
błędem oznaczania F .
IV.5. Wytrzymałość porowatych i spękanych ośrodków ciągłych.
Mówiąc o materiałach porowatych i spękanych ciągłych mamy najczęściej na myśli skały, a
dziedzinę wiedzy zajmującą się zachowaniem tych materiałów mechaniką skał. Wiedza dotycząca
tego typu materiału daje się stosować w innego rodzaju materiałach na przykład materiałach
budowlanych jak beton, cegła, drewno lub materiałach biologicznych jak np. kości.
W przeciwieństwie do gruntów lub innych materiałów rozdrobnionych skały wykazują
wytrzymałość nie tylko na ścinanie, ale na ściskanie, rozciąganie (rozrywanie), skręcanie.
Szczegółowy opis metod badawczych prowadzących do określenia parametrów wytrzymałościowych
skał czytelnik znajdzie w licznych publikacjach: [Kisiel i inni,1982], [Houpert, 1970], [Hoshino, Koide,
1970], [Nadai, 1963], [Vyalow, 1970], [Saginov, 1970], [Weibull, 1939].
Prace doświadczalne pokazują, że podobnie jak w przypadku ooosrodków rozdrobnionych
obserwujemy proces pełzania skał, co świadczy o tym, ze w odniesieniu do skał możemy stosować
modele reologiczne zawierające cechy lepkie ośrodka skalnego. Istotny wpływ na parametry
wytrzymałościowe skał ma ciśnienie cieczy lub gazu wypełniającego pory lub szczeliny w materiale
skalnym. Wzrost ciśnienia płynu wpływa na znaczne obniżenie granicy wytrzymałości skał.
IV.5.1. Filtracja płynów przez szczeliny ośrodka skalnego.
Podobnie jak w ośrodkach gruntowych przepływ przez szczeliny występujące w skałach przepływ
cieczy lub gazu może mieć charakter laminarny lub burzliwy. Pierwszy przypadek zachodzi, gdy
gradient spadku hydraulicznego jest niewielki i przepływ można traktować jako przepływ
„uwarstwiony”. W drugim przypadku mamy do czynienia z dużymi relatywnie prędkościami filtracji. W
niektórych skałach możemy mówić o filtracji zachodzącej zarówno w szczelinach jak i porach
materiału skalnego. Istnieje jednakże duża różnica pomiędzy skalą szczelin i por materiału skalnego i
obydwa procesy powinny być rozpatrywane oddzielnie. Teorią przepływu w takich ośrodkach
zajmowała się P.Royer [Royer, 1992,1994].
W przypadku przepływu laminarnego przez szczeliny ośrodka skalnego obowiązuje prawo Darcy’ego:
ɶ
v = − kgradH
(0.109)
gdzie kɶ jest tensorem przepuszczalności Darcy’ego.
W szczególnych przypadkach, gdy możemy traktować skałę jako materiał izotropowych tensor
przepuszczalności możemy wyrazić przy pomocy uśrednionej wartości współczynnika
przepuszczalności, który dla skał wyraża się wzorem:
k=
κ gd 2
12η
(0.110)
przy czym κ jest stopniem spękania górotworu, g oznacza przyspieszenie ziemskie, d jest średnią
rozwartością szczelin, a η określa lepkość kinetyczną cieczy lub gazu filtrującego.
Stopień spękania górotworu zależy od rodzaju nieciągłości struktury skał (pory, spękania, rysy).
Stosuje się w geologii następującą klasyfikację tych nieciągłości:
uskoki i megaspekania o wielometrowej rozciągłości
makrospekania – szczeliny szersze niż 0,1 mm, ale o rozciągłości mierzonej często w metrach
mikrospękania – szczeliny o szerokości mniejszej niż 0,1 mm
mikrorysy o szerokości mniejszej niż 0,001 mm
Stopień spękania określa liczbę nieciągłości na 1m długości normalnej do płaszczyzna spękań. Jeśli
spękania występują w kilku płaszczyznach, wówczas dal każdej z nich określa się stopień spękania.
Chociaż liczba spękań w masywie jest wielkością losową to istnieją pewne reguły pozwalające na
określenie ich wielkości. Z badań wynika, że liczba spękań maleje z głębokością górotworu. Można
również zauważyć, że w okolicy wyrobiska rośnie stopień spękania górotworu.
W przypadku megaspekań i makrospekań współczynnik przepuszczalności zależy od współczynnika
filtracji materiału rozdrobnionego wypełniające go szczeliny. Zazwyczaj przepuszczalność skały
oblicza się wzorem:
k = κkp
(0.111)
gdzie k p jest współczynnikiem filtracji ośrodka rozdrobnionego wypełniającego szczeliny.
W przypadku ruchu turbulentnego przez szczeliny ośrodka skalnego najczęściej stosuje się równanie
Chezy – Krasnopolskiego w postaci:
vi = κ dgI i
przy czym
(0.112)
vi oznacza składową prędkości w kierunku xi a I i składową spadku hydraulicznego.
Przepuszczalność i porowatość różnych skał można za pracą [Farmera przedstawić w tabeli 4....
e
kg o
d
e
Tabela 4.1 Przepuszczalność i porowatość skał
Skała
[
Gabro
1
Granit grobnoziarnisty
1
−7
2
−7
2
−5
5
f
0, 01
0, 03
−5
< 0, 005
−5
< 0, 005
−3
o
d
1
e
o
d
e
Doleryt
5
−3
e
o
d
e
1
−5
]
e
o
d
e
Bazalt
η
o
d
Nazwa
0, 01
0, 03
1
Piaskowiec
2
Wapień
2
−5
−5
0, 002
5
−3
0, 02
3
−3
0, 04
3
−3
0, 01
5
−7
−5
−3
−4
o o o o o
d d d d d
Marmur
2
e
o
d
e
1
0, 01
e
o
d
e
Kwarcyt
−3
e
o
d
e
1
e
o
d
e
e
o
d
e
Granit
0, 04
0, 006
0, 04
0, 20
0, 03
IV.5.2. Skała jako ciało kruche.
Obserwując doświadczenia wytrzymałościowe wykonane na skałach łatwo stwierdzić, że przenoszą
one znaczne naprężenia ściskające, natomiast ulegają zniszczeniu przy znacznie mniejszych
naprężeniach rozciągających w płaszczyźnie normalnej do tych naprężeń. Tego typu ciała nazywamy
ciałami kruchymi. Dla porównanie podamy wytrzymałości na ściskanie Rc i rozciąganie Rr dla
różnych skał za [Jaegerem, 1969] dla kilku skał:
Granit
Marmur
Wapień
Piaskowiec
[MPa]
140
100
90
70
Rr
Skała
Rc
Tabela 4.2 Wytrzymałość na sciskanie i rozciaganie skał.
[MPa]
4
6
4
2
Jak podaje [Dragon, 1976] przyczyną dużej róznicypomiedzy wytrzymałością na ściskanie i
rozciąganie są istniejące w skałach mikrospękania, które przy ściskaniu zaciskają się, natomiast przy
rozciąganiu rozwierają, co powoduje, że skała nie oddziaływuje całym przekrojem prostopadłym do
siły rozciągającej.
Jako materiały kruche skały rzadko cechuje zdolność do płynięcia plastycznego. Według Kisiela [Kisiel
i inni, 1982] cecha uplastycznienia skał występuje w skałach zalęgających głęboko pod powierzchnią
terenu ze względu na znaczne wielkości ciśnienia bytowego. W badaniach w laboratorium mamy do
czynienia z próbkami, które zostały odciążone i nie pracują w warunkach obciążenia bytowego.
Występowanie mikrospekań skał uzasadnia według niektórych badaczy stosowanie
Coulombowskiego modelu stanu granicznego uzasadniając przyjęcie takiego modelu faktem, że
ośrodek skalny, z mikrospękaniami jest nieciągły i na stykach poszczególnych bloków skalnych
występuje suche tarcie.
Dyskusyjna jest również interpretacja wyników próbek skalnych poddanych ściskaniu. Jeśli bowiem
skała poddana jest działaniu ciśnienia hydrostatycznego to praktycznie uzyskiwana wytrzymałość na
ściskanie jest nieograniczona. Jeśli natomiast poddajemy ściskaniu próbkę walcową, lub
prostopadłościenną to efekt uzyskania wytrzymałości próbki na ściskanie może wynikać ze
zniszczenia pewnych elementów próbki, które pracują w tym doświadczeniu na rozcziaganie, albo
elementów, które pracują na ścinanie. W rezultacie uzyskujemy wytrzymałość na ściskanie, które w
zasadzie jest złożeniem wytrzymałości dwóch innych procesów (rozciągania i ścinania).
IV.5.3. Wpływ płynu na zniszczenie skały.
Ciecz lub gaz wypełnia pory skały i puste miejsca jak szczeliny, kawerny, mikrospękania. Wielkość
ciśnieniaprzenoszonego przez płyn może osiągać znaczne wielkości zbliżone do naprężenie
przenoszonych przez fazę stałą skały. Wpływem tego ciśnienia na wytrzymałość na ściskanie badał
na próbkach wapiennych Jaeger. Wykazał on, że wraz ze wzrostem ciśnienia wody w porach próbek
ich wytrzymałość na ściskanie znacznie malała. Zachodzi pytanie, czy ciśnienie płynu w porach może
spowodować zniszczenie próbek. Otóż zjawisko takie rzeczywiście zachodzi i zostało wykorzystane w
praktyce inżynierskiej przy tzw. niszczeniu hydraulicznym skały. Proces ten opisał Jaeger w pracy
[Jaeger, 1969]. Gdy do otworu wywierconego w skale pompowany jest płyn pod ciśnieniem na
obwodzie otworu wytwarzają się ciągnienia. Gdy przekroczą one wytrzymałość skały na rozerwanie
Rr , nastąpi jej zniszczeniena ściankach otworu i otwór się powiększy. Wystarczy, że na powierzchni
otworu ciśnienie wzrośnie do ciśnienia bytowego, a szczeliny na powierzchni otworzą się.
Powtarzając za Jaegerem załóżmy, że naprężenie pionowe
pokładzie skalnym, a ciśnienia poziome wynoszą
σ1
jest naprężeniem głównym w
σ 2 = σ 3 . Możliwe są wówczas dwie możliwości:
1. Powstają spękania poziome, gdy:
σ > σ 1 + Rr
(0.113)
I wówczas powstaną spękania poziome skały;
2. Ciśnienie obwodowe wokół ścianek otworu wynosi:
σ α = σ 1 + σ 2 − σ − 2 (σ 1 − σ 2 ) cos 2α
(0.114)
Ma ekstremalne wartości:
max σ α = 3σ 1 − σ 2 − σ ,gdy α =
π
2
min σ α = 3σ 2 − σ 1 − σ , gdy α = 0
Jeśli zatem
σ > 3σ 2 − σ 1 + Rr
(0.115)
nastąpi zniszczenie skały wokół otworu.
Zjawisko to jest wykorzystywane w praktyce wydobywania ropy naftowej i gazu ziemnego do
zwiększenia wydatku przepływającej ropy lub gazu do odwiertu.
W swoim rozumowaniu Jaeger uwzględnił w naprężeniach działających na otwór jedynie
wielkość ciśnienia cieczy lub gazu na otwór wiertniczy. Pominął natomiast działanie ciśnienia
spływowego wynikającego z filtracji cieczy lub gazu do wewnątrz otworu, gdy ośrodek jest
przepuszczalny, a taka sytuacja zachodzi, gdy mamy do czynienia z warstwami roponośnymi lub
gazonośnymi.
Wielkość ciśnienia spływowego wynosi w takim przypadku:
pr = ρ p g
vr
k
(0.116)
gdzie pr oznacza ciśnienie spływowe w kierunku normalnym do powierzchni otworu,
ρ p określa
gęstość płynu wciskanego do ośrodka, a vr oznacza prędkość filtracji płynu równą co do wartości:
vr = −
k ∂p
kf ∂σ
=
ρ p g ∂r ρ p g ∂r
(0.117)
Uwzględniając ciśnienie spływowe w równaniu (0.113) dostajemy dla pierwszego przypadku związek:
σ+f
∂σ
> σ 1 + Rr
∂r
(0.118)
Qp
Powyższy warunek możemy zapisać inaczej, jeżeli znamy wydatek płynu, jaki wnika do ośrodka
skalistego
. Wówczas warunek na utworzenie się spękań poziomych ma postać:
σ > σ 1 + Rr −
gdzie
Qp g
2π rh0 k
,
(0.119)
2π rh0 określa powierzchnię boczną otworu.
Analogicznie warunek na zniszczenie będzie miał postać:
σ+f
∂σ
> 3σ 2 − σ 1 + Rr
∂r
(0.120)
lub, gdy znamy wydatek Q p doprowadzany do otworu wiertniczego:
σ > 3σ 2 − σ 1 + Rr −
Qp g
2π rh0 k
.
(0.121)
Przedstawiony powyżej przykład hydraulicznego zniszczenia skały można zaobserwować w wielu
zachodzących w praktyce inżynierskiej przypadkach. Jednym ze zjawisk posiadających analogiczny
mechanizm zniszczenia jest wyrzut gazów w kopalniach węgla do wyrobisk górniczych. Mechanizm
ten wynika z działania dwóch przyczyn:
1. proces reologicznego odprężania węgla w obszarze wyrobiska, które w początkowej fazie
prowadzi do poszerzania się mikrospękań, a rezultacie dążąc do zniszczenia w określonej
strefie skały;
2. proces poszerzania mikrospękań prowadzi do wzrostu współczynnika filtracji gazu
uwięzionego w porach i mikrospękaniach węgla i jego filtracji do wyrobiska. Przyczyną jest
oczywiście gradient ciśnienia wynikający z wysokiego ciśnienia gazu uwięzionego w węglu w
porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym w wyrobisku. Wzrasta wiec nieustalony przepływ
filtracyjny gazu, przy czym w stosunkowo długim czasie ze względu na mała wielkość
współczynnika filtracji gradient ciśnienia I g jest bardzo duży w bezpośrednim pobliżu
wyrobiska;
3. występujące naprężenia rozciągające będące wynikiem odprężenia węgla mogą spowodować
zniszczenie jego struktury na skutek panującego ciśnienia spływowego i gwałtowny „wybuch
gazów”, co prowadzi do poważnych konsekwencji w kopalni.
Innym przykładem może być zjawisko odpryskiwania części konstrukcji betonowych w obiektach
gdzie wydarzył się pożar. Duży gradient temperatury, oprócz innych działań niszczących konstrukcję
(np. rozszerzanie się stali zbrojeniowej powodujące naprężenia rozciągające w betonie, rozszerzanie
się por w betonie) powoduje wzrost ciśnienia gazu w porach betonu oraz znaczny wzrost przepływu
filtracyjnego gazu przez beton. Może to przy współdziałaniu z naprężeniami rozciągającymi w
elementach konstrukcji wywoływać obserwowane zjawisko odpryskiwania betonu.
IV.6. Stateczność filtracyjna ośrodka porowatego rozdrobnionego.
Lepka ciecz przepływająca przez grunt lub inny ośrodek porowaty rozdrobniony wywiera jak to już
omawiano powyżej określoną siłę na cząstki szkieletu tego ośrodka. W wyniku działania tej siły zwanej
siłą unoszenia mogą w gruncie zachodzić następujące procesy:
sufozja gruntu – proces polegający na porywaniu i wynoszeniu przez ciecz pojedynczych
najdrobniejszych cząstek gruntu z pomiędzy cząstek większych; często efektem widocznym
na powierzchni gruntu jest charakterystyczna zmiana koloru gruntu,
kolmatacja gruntu – proces gromadzenia się na skutek zatrzymywania się i odkładania
najdrobniejszych cząstek gruntu w pewnym obszarze poruszających się uprzednio na skutek
procesu sufozji,
upłynnienie gruntu – proces przejścia gruntu ze stanu ciała stałego w ciecz lub gaz na skutek
utraty kontaktu pomiędzy poszczególnymi ziarnami gruntu, czemu towarzyszy proces
gwałtownego wyparcia gruntu (zjawisko kurzawkowe, lub efekt ruchomych piasków
pustynnych).
Wymienione wyżej procesy nazywane są niekiedy deformacjami filtracyjnymi lub obserwowany proces
upłynnienia i wyporu gruntu nazywany jest procesem utraty stateczności filtracyjnej gruntu. W
warunkach naturalnych zjawiska te występują rzadko i z niewielkim nasileniem, natomiast, gdy
warunki przepływu zostają zaburzone, lub mają charakter dynamiczny stanowią one istotne
niebezpieczeństwo stateczności konstrukcji hydrotechnicznych i innych budowli. Sufozja i upłynnienie
gruntu były często przyczyną wielkich katastrof budowlanych np. zniszczenie zapór wodnych, wdarcie
się kurzawki do wykopów, lub kopalni głębinowych, utrata stateczności skarp, budynków.
Występowanie tzw. gruntów kurzawkowych stwarza duże problemy przy głębieniu szybów, zakładaniu
instalacji na większych głębokościach, a nawet przy wykonywaniu niegłębokich wykopów. Zjawisko
kolmatacji może się okazać bardzo niekorzystne w obszarze ujęć wód podziemnych, których
wykonanie kosztowała znaczne nakłady środków finansowych. Tak jak to będziemy starali się
pokazać w dalszej części podrozdziału problem deformacji filtracyjnych i towarzysząca tym
deformacjom utrata stateczności występuje również w ośrodkach skalnych. Proces wyrzutu gazów w
kopalniach węgla i towarzyszący temu zjawisku proces zniszczenia lokalnego struktury węgla można
tłumaczyć w podobny sposób jak proces upłynnienia i wyporu gruntu. Są to, więc procesy bardzo
ważne z inżynierskiego punktu widzenia. Mechanizm i warunki ich powstawania zostaną omówione
poniżej.
IV.6.1 Sufozja i kolmatacja gruntu.
Sufozja i kolmatacja gruntu jako wynik procesu przemieszczania się drobnych cząstek gruntu w
przestrzeni por utworzonych przez większe cząstki są procesami ze sobą związanymi.
Istnieje kilka kryteriów określających warunki zachodzenia procesu sufozji. W ogólnym przypadku są
to te same warunki, jakie możemy odnieść do przemieszczania się cząstek gruntu w ogólności, jak
również warunki, w których zachodzi proces kolmatacji gruntu.
Wg [Istominy, 1957] przy filtracji w kierunku przeciwnym do działania sił grawitacji, sufozja jest
możliwa, gdy spełniony jest jeden z podanych poniżej warunków:
Warunek I.
Współczynnik filtracji jest większy od wartości 0,0002m/sek.
Warunek ten wynika z faktu, że siły międzycząsteczkowe silnie maleją wraz ze wzrostem średnicy
zastępczej ziaren gruntu i tak dla rozdzielenia dwóch ziaren kwarcu o średnicy zastępczej:
d = 0, 001mm potrzebne jest naprężenie 1428G/cm2
d = 0, 01mm naprężenie około 143G/cm2
d = 0,1mm naprężenie około 14G/cm2
Warunek II.
Wskaźnik niejednorodności uziarnienia
u=
d 60
d10
powinien znajdować się w przedziale 10 do 20.
Warunek ten musi być oczywiście spełniony, aby cząstki mniejsze mogły poruszać się w przestrzeni
por cząstek większych.
Warunek III.
Musi zostać przekroczony spadek krytyczny, dla sufozji – rys. 4.46