9.1. Koło

9. 1. KOŁO
Odcinki w okręgu i kole
Cięciwa okręgu (koła) – odcinek łączący dwa dowolne punkty
okręgu
•S
Średnica okręgu (koła) – odcinek łączący dwa dowolne punkty
okręgu przechodzący przez środek
okręgu (koła)
d
S•
•S
Promień okręgu ( koła) – kaŜdy odcinek łączący środek okręgu
z dowolnym punktem na okręgu.
r
r=
1
d
2
Kąty w okręgu
Kąt środkowy α w okręgu (kole) – kąt, którego wierzchołkiem jest
środek okręgu.
S
α
A
C
kąt środkowy ASB jest oparty na łuku ACB
B
W
β
Kąt wpisany β w okrąg (koło) – kąt , którego wierzchołek leŜy na
okręgu, a ramiona są półprostymi
zawierającymi cięciwy okręgu .
A
B
C
kąt wpisany AWB jest oparty na łuku ACB
Twierdzenia dotyczące kątów środkowych i wpisanych
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe
α
α
α
α
S
Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego
opartego na tym samym łuku
2α
Przykład 9.1.1. KaŜdy rysunek przedstawia okrąg o środku S. Oblicz miary kątów
trójkąta ABC.
α = 55°
Rozwiązanie
Miara kąta CBA jest równa 55°
Miara kąta ACB jest równa 90°
Miara kąta BAC jest równa 35°
Komentarz
Kąt CBA jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku
co kąt α . Zatem na podstawie twierdzenia : Kąty wpisane
oparte na tym samym łuku są równe, kąt CBA jest równy
kątowi α
Kąt ACB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku
co kąt środkowy ASB, który ma miarę 180° . Zatem na
podstawie twierdzenia : Kąt wpisany w okrąg jest równy
połowie kąta środkowego
opartego na tym samym łuku, kąt ACB jest równy połowie
kąta ASB.
Miarę kąta BAC obliczamy korzystając z własności: Suma
kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180° .
Styczna do okręgu
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego
do punktu styczności
·
Przykład 9.1.2. Styczne do okręgu o promieniu 5cm przecinają się pod kątem 80° .
Jaka jest odległość punktu przecięcia stycznych od środka okręgu ?
Wynik podaj z dokładnością do pełnych cm .
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Styczna jest prostopadła do okręgu , zatem
trójkąt ASB jest prostokątny. Kątem prostym
jest kąt SBA.
Dane:
α = 40°
r = 5cm
sin α =
Szukane:
K
r
K
5
K
5
0,6428 = /⋅ K
K
0,6428K = 5 / : 0,6428
sin 40° =
K ≈ 8cm
K obliczamy korzystając z funkcji sinus:
sin α =
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przeciwprostokatna
Z tablic z przybliŜonymi wartościami funkcji
trygonometrycznych odczytujemy przybliŜoną
wartość sin 40° ≈ 0,6428 .
Wynik podajemy z dokładnością do pełnych cm
.
Pole wycinka koła i długość łuku
α
Wzór na pole wycinka koła
P=
Wzór na długość łuku
l=
r
l
α
360°
α
360°
π ⋅r2
2π ⋅ r
Przykład 9.1.3. Punkty A, B leŜą na okręgu o średnicy 10 cm, Odległość między punktami
A i B wynosi 5 cm . Ile jest równa długość łuku AB ?
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane:
2r = 10cm
a = 5cm
r =5
α = 60°
60°
2π ⋅ 5
360°
10π
l=
6
5π
l=
3
l=
Szukane:
l – długość łuku
AB = AS = BS = 5cm , zatem
trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym.
W trójkącie równobocznym kaŜdy kąt ma
miarę 60° .
∩
Obliczamy długość łuku AB korzystając
ze wzoru:
l=
α
360°
2π ⋅ r
Pole i obwód koła
S•
Wzór na pole koła
P = π ⋅r2
Wzór na obwód koła ( długość okręgu)
r
Ob = 2π ⋅ r
Przykład 9.1.4. Ile cali powinna mieć średnica koła roweru, aby na trasie o długości 1 km
koło obróciło się 433 razy.(1cal = 2,54 cm)
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Dane :
Szukane:
s = 1km
2r
o = 433
o – ilość obrotów
s = 1km = 100000cm =
100000
cal = 39370,078cal Zamieniamy km na cale.
2,54
s 39370,078
=
o
433
39370,078
2πr =
433
39370,078
2 ⋅ 3,14 ⋅ r =
/ : 3,14
433
2r ≈ 29
Ob =
Odp. Koło ma średnicę około 29 cali.
Obliczamy obwód koła, które na drodze
s wykonuje o = 433 obroty.
Obliczamy średnicę koła wykorzystując
wzór na obwód koła Ob = 2π ⋅ r i
przyjmując, Ŝe π = 3,14
Przykład 9.1.5. Z materiału w kształcie kwadratu o boku 40 cm wycięto koło o maksymalnej
średnicy. Oblicz pole skrawków, które pozostaną po wycięciu koła.
Wynik zaokrąglij do dwóch cyfr po przecinku.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Jeśli z materiału w kształcie kwadratu
wycięto koło o największej średnicy , to
koło jest wpisane w ten kwadrat.
Dane:
Szukane:
a = 40cm
r=
P
Pole skrawków jest równe róŜnicy pola
kwadratu i pola koła.
Wzory:
P = a2 − π ⋅ r 2
Promień koła jest równy połowie boku
kwadratu.
1
a = 20
2
P ≈ 40 2 − 3,14 ⋅ 20 2 = 344
Obliczamy P przyjmując, Ŝe
Odp. Pole skrawków jest równe około
π = 3,14
344cm 2
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 9.1.1. (3pkt ) Promień okręgu jest równy r. Znajdź kąty α , β , γ .
a)(3pkt.)
b) (3pkt.)
c)(3pkt.)
r
γ
γ
r
S
β
α
α
S
β
β
S
γ
α
r
r
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie wartości kąta α
1
2
Podanie wartości kąta β
1
3
Podanie wartości kąta γ
1
Ćwiczenie 9.1.2. (2pkt ) Dane są dwa okręgi współśrodkowe. Cięciwa większego okręgu
styczna do mniejszego okręgu ma długość 10 cm . Oblicz pole pierścienia
utworzonego przez te okręgi.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
Odpowiedź
Liczba punktów
2
2
Podanie wartości róŜnicy R − r ,
gdzie R – promień większego okręgu,
r – promień mniejszego okręgu.
Podanie pola pierścienia utworzonego przez okręgi
1
1
Ćwiczenie 9.1.3. (3pkt ) Długość średnicy koła jest równa 20 cm . Oblicz , ile obrotów w
ciągu godziny wykona to koło, gdy samochód jedzie z prędkością 70 km/h
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie drogi w cm jaką przejedzie koło w ciągu godziny.
2
Podanie obwodu koła. NaleŜy przyjąć, Ŝe
3
Podanie ilości obrotów wykonanych przez koło w
przybliŜeniu do pełnego obrotu.
π = 3,14 .
1
1
1