(1.1) Naszkicować wykres funkcji f1 : R x ↦→ |a x+1 − 2| ∈ R, a > 1

(1.1) Naszkicować wykres funkcji
f1 : R 3 x 7→ |ax+1 − 2| ∈ R, a > 1
1
f2 : R \ {0} 3 x 7→
∈R
x
f3 : R \ {0} 3 x 7→ | ln(2|x|)| ∈ R
1
f4 : R 3 x 7→ 2 sin( x) ∈ R
2
f5 : R 3 x 7→ sin(2x − π) + 3 ∈ R
(1.2) Sprawdzić, że funkcja f : R \ {−1} 3 x 7→ 1−x
∈ R jest injekcją, wyznaczyć zbiór
1+x
wartości f i funkcję odwrotną.
√
(1.3) Sprawdzić, czy funkcja f : A 3 x 7→ 1 − x2 ∈ R jest injekcją dla A = [−1, 1] oraz dla
A = [−1, 0], wyznaczyć zbiór wartości f .
h i
(1.4) Sprawdzić, czy funkcja f : (0, 1) 3 x 7→ x + x1 ∈ R jest injekcją.
(1.5) Niech f : Df → Wf będzie silnie rosnąca/silnie malejąca/nieparzysta. Pokazać, że
f −1 : Wf → Df jest również silnie rosnąca/silnie malejąca/nieparzysta.
(1.6) Dane są rosnące funkcje f, g : R → R. Zbadać monotoniczność funkcji
h1 : R 3 x 7→ f (x) + g(x) ∈ R oraz h2 : R 3 x 7→ f (x) · g(x) ∈ R.
(1.7) Dane są funkcje f, g : R → R. Zbadać monotoniczność złożenia funkcji g ◦ f , gdy
(a) f jest rosnąca, g jest rosnąca,
(b) f jest rosnąca, g jest malejąca,
(c) f jest malejąca, g jest malejąca.√
(1.8) Pokazać, że funkcja f (x) = log5 (x + 1 + x2 ) jest nieparzysta.
(1.9) Rozważamy funkcję f : R → R daną wzorem
(
f (x) =
0 , x∈Q
1 , x∈R\Q
Pokazać, że jest to funkcja okresowa bez okresu podstawowego (wskazówka: pokazać, że
każda liczba wymierna dodatnia jest okresem funkcji f ).
(1.10) Rozważamy funkcję f : R → R daną wzorem



x2
, x­1
x
, x ∈ [0, 1)
f (x) =

 −2x + 1 , x < 0
Wyznaczyć przeciwobraz zbioru ( 21 , 5] przez funkcję f .
1