Ruch drgający

Ruch harmoniczny. Przemiany energii w ruchu harmonicznym.
Zazwyczaj kiedy obserwujemy rzeczywisty ruch drgający zauważamy, że po pewnym czasie gaśnie.
Odpowiedzialne są za to opory ruchu.
Gdyby udało się nam zlikwidować wszelkie przyczyny oporów, wówczas otrzymali byśmy drgania
zwane harmonicznymi. Ciało, które wykonuje ruchy harmoniczne nazywamy oscylatorem harmonicznym.
Załóżmy, że mamy pewne ciało przymocowane do sprężyny, które wykonuje drgania. Nasz układ ciało-sprężyna
pracuje w płaszczyźnie poziomej, co pozwala nie brać pod uwagę zmian energii potencjalnej w polu
grawitacyjnym (ponieważ zmiany takie nie zachodzą, gdy wszystko dzieje się na tej samej wysokości).
Dodatkowo ciało porusza się po idealnie gładkiej powierzchni czyli bez tarcia. Powoduje to, że nie ma strat
energii w postaci wydzielania się ciepła, czyli nasz układ nie wymienia energii z otoczeniem i wykonuje drgania
harmoniczne.
Zanim układ zacznie drgać musimy go wychylić z położenia równowagi. Do tego celu przykładamy siłę
zewnętrzną i ściskamy lub rozciągamy sprężynę. Zgodnie z III zasadą dynamiki jeśli ciało, poprzez siłę
zewnętrzną , działa w kierunku poziomym na sprężynę, to sprężyna działa na ciało siłą swojej sprężystości
również w kierunku poziomym ale z przeciwnym zwrotem. Obie siły są takie same co do wartości.
Dodatkowo, rozciągając sprężynę dokonujemy tego używając coraz większej siły. Możemy zapisać, że wartość
siły zewnętrznej jest proporcjonalna do wydłużenia bądź ściśnięcia:
. To samo z racji równości tyczy
się również siły sprężystości:
. (bezwzględna wartość pojawia się dlatego, że wychylenie z położenia
równowagi możemy dokonać w dodatnim lub ujemnym kierunku osi).
Prędkość ciała w ruchu drgającym nie zmienia się jednostajnie.
Przemiany energii w ruchu harmonicznym
Pole powierzchni zakreślonej pod wykresem jest równe wartości wykonanej pracy.
Znaczy to, że z interpretacji wykresu możemy zapisać wzór na pracę wykonaną
przez siłę zewnętrzną:
Siłę zewnętrzną możemy wyrazić znanym nam wzorem
. Po podstawieniu do ostatniej równości na
pracę otrzymujemy:
Energia kinetyczna jest związana z prędkością ciała (rozpędzone ciało może zgnieść lub rozciągnąć sprężynę) a
potencjalna sprężystości z pewnym stanem ciała wskazującym na gotowość wykonania pracy (na przykład z
gotowością do rozpędzenia ciała). W przypadku gdy nasz układ rozciągniemy lub ściśniemy wychylając go z
położenia równowagi o |x|, wówczas poprzez wykonanie pracy przez siłę zewnętrzną gromadzimy w nim energię
potencjalną sprężystości:
Jeśli przy pomocy siły zewnętrznej wychylimy ciało zamocowane do sprężyny na odległość równą amplitudzie
A, z jaką układ będzie miał drgać, to wykonana praca będzie równa całkowitej energii mechanicznej układu
czyli:
Nasz układ, czyli oscylator harmoniczny wykonując drgania, zgodnie z zasadą zachowania energii przekształca
cyklicznie energię potencjalną w kinetyczną i z powrotem w potencjalną. Przekształca w taki sposób, że
całkowita energia układu nie ulega zmianie. Znaczy to, że energię kinetyczną możemy wyznaczyć jako różnicę
między całkowitą energią mechaniczną a energią potencjalna sprężystości co możemy zapisać w postaci
równania:
Czyli po wystawieniu odpowiednich wielkości w prawej stronie równania przed nawias otrzymujemy:
Przyglądając się ostatniemu równaniu widzimy wyraźnie, że gdy ciało przechodzi przez położenie równowagi
(gdzie x = 0) jego energia kinetyczna wynosi
, potencjalna sprężystości musi być równa zero.