definicja kondensator

ELEKTRYKA
Zeszyt 1 (217)
2011
Rok LVII
Maciej WŁODARCZYK, Andrzej ZAWADZKI
Katedra Elektrotechniki i Systemów Pomiarowych, Politechnika Świętokrzyska w Kielcach
OBWODY RLC W ASPEKCIE POCHODNYCH NIECAŁKOWITYCH
RZĘDÓW DODATNICH
Streszczenie. Obecnie duże zainteresowanie wzbudzają tzw. superkondensatory, dla
których klasyczne charakterystyki nie są dokładne. Próbuje się więc do opisu
charakterystyk wykorzystać pochodne ułamkowego rzędu. W pracy przedstawiono
analizę obwodów RLC w stanie nieustalonym przy zastosowaniu pochodnych
ułamkowego rzędu. Założono, że zależności między prądami a napięciami zarówno
w cewce, jak i kondensatorze są opisane pochodnymi ułamkowego rzędu. Podano ogólne
rozwiązania takiego obwodu, a dla wybranych rzędów pochodnych i parametrów
przedstawiono uzyskane wyniki na wykresach.
Słowa kluczowe: stan nieustalony, równanie różniczkowe niecałkowitego rzędu, obwody RLC
RLC CIRCUITS IN ASPECT OF POSITIVE FRACTIONAL DERIVATIVES
Summary. At present, the so-called supercapacitors, classic characteristics of which
are not precise, arouse high interest. To describe their characteristics ones tray to use
fractional derivatives that model a supercapacitor as a system built with RLC elements.
In the paper, the analysis of such circuits in transient state is presented. There is assumed,
that dependencies between currents and voltages in a coil as well as in a capacitor are
described with fractional derivatives. There are announced general solutions of such a
circuit For selected degrees of derivatives obtained results are presented in diagrams,.
Keywords: stan nieustalony, równanie różniczkowe niecałkowitego rzędu, obwody RLC
1. WPROWADZENIE
Jak wiadomo, analizę obwodów RLC w stanie nieustalonym przeprowadza się
rozwiązując zwyczajne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
Powstaje ono w związku z różniczkowymi zależnościami pomiędzy napięciem i prądem na
cewce i kondensatorze. Obecnie duże zainteresowanie wzbudzają tzw. superkondensatory
o bardzo dużych pojemnościach, dla których klasyczne charakterystyki nie są dokładne
i próbuje się tu zastosować pochodne ułamkowego rzędu [6].
76
M. Włodarczyk, A. Zawadzki
Przy założeniu że zależności między prądami a napięciami zarówno w cewce, jak
i kondensatorze są opisane przez pochodne niecałkowitego rzędu, to dla takiego obwodu
szeregowego RLC, zasilanego napięciem e(t), można napisać równania:
LD α i  Ri  u  et 

i  CD u

α
(1)
gdzie: i – prąd w obwodzie, u – napięcie na kondensatorze, D α – ogólny symbol pochodnej
rzędu α.
Sprowadzając je do jednego równania rzędu 2α, uzyskano:
LCD
2α
u  CRD u  u  et 
α
(2)
Dla funkcji ciągłych istnieją dwie definicje pochodnych niecałkowitego rzędu [1,2,3]:
 definicja Riemanna – Liouville’a (R-L):
1
dk t
k    1 f  d
D f t  
 t   
a t
k    dt k a
(3)

gdzie: k  1    k ,  x    e t t x 1 dt – funkcja gamma
0
 definicja Caputo (C):

t
1
f n  
C D f t  
d

a t
  n  a t     1  n
(4)
gdzie: n  1    n .
Stosując przekształcenie Laplace’a dla pochodnych zdefiniowanych wg Riemanna –
Liouville’a, otrzymuje się [3,5]:
j 1
L  0 Dt f t   s F s    s k 0 Dt  k  1 f 0


k 0
(5)
gdzie: j  1    j  N .
Natomiast dla pochodnych zdefiniowanych wg Caputo [3,5]:
 f t   s F s   n s  k  1 f k  0 
LC
D

 0 t

k 0
(6)
gdzie: n  1    n  N .
Po porównaniu związków (5) i (6) nasuwa się wniosek, że wygodniej jest stosować
definicję Caputo, ponieważ w tym wypadku przy określaniu przekształcenia Laplace’a
Obwody RLC w aspekcie…
77
występują pochodne całkowitego rzędu dla warunków początkowych – co ma łatwą
interpretację fizyczną. Stosowanie definicji Riemanna – Liouville’a napotyka na pewne
trudności, ponieważ występują tu pochodne niecałkowitego rzędu dla warunków
początkowych, których interpretacja fizyczna jest niewyjaśniona. Przy zerowych warunkach
początkowych wybór definicji nie ma znaczenia.
Zatem, stosując przekształcenie przekształcenia Laplace’a do równania (2) dla zerowych
warunków początkowych i źródła napięcia stałego, otrzymuje się:
LCs 2 U s   RCs  U s   U s  
E
s
(7)
skąd:
U s  
E
1
1 
LCs  2 R 
 s 
s

L
LC 

(8)
Przeprowadzając rozkład na ułamki proste:
1
A
B


1   s  x   s   x 
 2 R 
 s 
s
 
1  
2 
L
LC  

gdzie:
R
x1,2  
 
2L
, 
R2
1

2
LC
4L
i obliczając współczynniki A i B: A 
1
x1  x 2
,
B
1
x 2  x1
otrzymuje się ostatecznie transformatę Laplace’a napięcia na kondensatorze w postaci:




1
1
U ( s) 



2 LC   s s   x  s s  x  
2
1 

 
E
(9)
Aby otrzymać napięcie na kondensatorze w funkcji czasu, należy dokonać odwrotnego
przekształcenia Laplace’a do wyrażenia (9).





  1
  1

E
1
1
u t  
L 

L 


2 LC  
 s  s  x  
 s s  x  
2
1  
 
 

(10)
Opierając się na związku [1, 2, 3, 5]:




r

 
L 1 
  rt E ,   1  t 



 s s    

 

k
u
gdzie: E
– funkcja Mittag-Lefflera.
 ,  u    k   
k 0
(11)
78
M. Włodarczyk, A. Zawadzki
Otrzymano napięcie na kondensatorze w postaci:
u t  


E t    x2k  x1k t k 


2 LC  k 0 k    1
(12)
Aby wyznaczyć prąd w rozpatrywanym obwodzie, opierając się na drugim równaniu układu
(1), należy obliczyć pochodną ułamkową napięcia u(t). Najwygodniej jest uczynić to dla
transformaty napięcia – (8). I tak, przy zerowym warunku początkowym [2,5] otrzymano:
I s  
E
s
1 
Ls  2 R 
s  s 

L
LC 

(13)
Do wyznaczenia transformaty odwrotnej również i tu przeprowadzono rozkład na ułamki
proste:
 2
s

otrzymując: A 
x1
,
x1  x 2
B
s
A
B
 
 
R
1  s  x1
s  x2
 s 

L
LC 

 

x2
.
x 2  x1
A zatem transformata Laplace’a prądu w obwodzie uzyskuje postać:
I s  
a w funkcji czasu:
it  


E
x1
x
 2



Lx1  x2   s s  x1 s s  x2 

 
 1 
 1 
E
x1
x
   2
  

Lx1  x2    s s  x1 
 s s  x2


(14)






co ostatecznie dało:

 k
t x1k 1  x2k 1
E t
it  

L x1  x2  k 0 k    1

(15)
Obliczając napięcie na cewce i mając na uwadze poczynione wcześniej założenia,
otrzymano kolejno:
U L s   s  LI s 
U L s  
E
s 2
s  2 R 
1 
s  s 

L
LC 

(16)
(17)
Obwody RLC w aspekcie…
79
Napięcie na cewce w funkcji czasu jest odwrotną transformatą Laplace’a wyrażenia (17).
Aby dokonać rozkładu na ułamki proste, należy najpierw podzielić przez siebie wielomiany
licznika i mianownika w wyrażeniu (17):
s 2
RCs  1
 1
1 
R
1 
 2 R 

 s 
LC  s 2  s  
s


L
LC 
L
LC 


i zastosować rozkład na ułamki proste reszty z dzielenia:
RCs  1
A
B


1   s  x   s   x 
 2 R 
 s 
s
 
1  
2 
L
LC  

x RC  1
 x RC  1
2
Współczynniki A i B są w tym wypadku równe: A  1
; B
x x
1
2
x x
1
2
więc transformata napięcia na cewce otrzymuje postać:
U
s   E 
L
s






E x RC  1
E x RC  1
1
1
1
2

LC x  x s s  x  LC x  x s s  x 
1
2 
1 2 
1 
2 




(18)
Zatem, napięcie na cewce w funkcji czasu przedstawia zależność (19).
 t
E t
u L t   E 

LC x  x k  0
1 2






k  x RC  1 x k  x RC  1 x k 
2
1
1 
 2
k    1
(19)
Napięcie na kondensatorze, prąd i napięcie na cewce w obwodzie RLC niecałkowitego rzędu
wyrażają związki (12), (15) i (19).
2. EKSPERYMENTY NUMERYCZNE
Realizacja numeryczna postawionego zagadnienia nie jest prosta, ponieważ w związkach
(12), (15) i (19) występują szeregi funkcyjne nieskończone, które są na ogół rozbieżne, mimo
to można otrzymać wartości funkcji przedstawionych przez te szeregi, biorąc sumę
odpowiedniej liczby wyrazów tego szeregu – jest to tzw. zbieżność asymptotyczna [4].
W pracy [2] zamieszczono uwagę, że funkcję Mittag-Lefflera można traktować jako
uogólnienie funkcji y = exp(-t/) tylko przy założeniu, że - s- <1, a więc dla małych
wartości czasu i dla odpowiednich stałych czasowych, które wynikają z parametrów R, L i C.
80
M. Włodarczyk, A. Zawadzki
W celu wizualizacji przebiegów napięć i prądu w środowisku MATLAB napisano
odpowiedni program, który dla podanych parametrów obwodu i wybranych rzędów
pochodnych oblicza wartości funkcji i wykreśla ich przebiegi. Na każdym wykresie jest
przedstawiony, dla porównania, przebieg funkcji uzyskany z klasycznego rozwiązania (=1)
oraz przebiegi dla trzech wybranych rzędów.
W pracy przeanalizowano dwa przypadki stanu nieustalonego obwodu RLC:
aperiodyczny i oscylacyjny. W dalszej części zostaną przedstawione wyniki analiz stanu
nieustalonego obwodu RLC rzędu  w postaci wykresów przebiegów prądu i napięć na
poszczególnych elementach.
2.1. Przypadek aperiodyczny
Dla przypadku aperiodycznego przyjęto następujące wartości parametrów: R=0,3 Ω,
L=0,1 H, C=10F. I tak rysunki 1, 2 i 3 przedstawiają kolejno napięcie na kondensatorze, prąd
w obwodzie i napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7, natomiast rysunki 4, 5 i 6 dla
α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3.
1
0.9
0.8
0.7
u [V]
0.6
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
0.5
0.4
1
0.9
0.8
0.7
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
t [s]
5
6
7
8
Rys. 1. Napięcie na kondensatorze dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek aperiodyczny)
Fig. 1. Capacitor voltage for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (aperiodic case)
Obwody RLC w aspekcie…
81
2.5
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
2
1
0.9
0.8
0.7
i [A]
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
t [s]
5
6
7
8
Rys. 2. Prąd w obwodzie dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek aperiodyczny)
Fig. 2. Current in the circuit for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (aperiodic case)
1.2
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
1
1
0.9
0.8
0.7
0.8
uL [V]
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
Rys. 3. Napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek aperiodyczny)
Fig. 3. Coil voltage for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (aperiodic case)
5
82
M. Włodarczyk, A. Zawadzki
1.4
1.2
1
u [V]
0.8
0.6
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
t [s]
6
7
8
1
1.1
1.2
1.3
9
10
Rys. 4. Napięcie na kondensatorze dla rzędów α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (przypadek aperiodyczny)
Fig. 4. Capacitor voltage for orders α = 1; 1,1 ; 1,2 and 1,3 (aperiodic case)
3.5
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
3
2.5
1
1.1
1.2
1.3
i [A]
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
t [s]
6
7
8
9
Rys. 5. Prąd w obwodzie dla rzędów α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (przypadek aperiodyczny)
Fig. 5. Current in the circuit for orders α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (aperiodic case)
10
Obwody RLC w aspekcie…
83
1
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
0.8
1
1.2
1.3
1.4
0.6
uL [V]
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
5
Rys. 6. Napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 1,2 ; 1,3 i 1,4 (przypadek aperiodyczny)
Fig. 6. Coil voltage for orders α = 1; 1,2 ; 1,3 and 1,4 (aperiodic case)
Analizując te wykresy w porównaniu z rozwiązaniem klasycznym (α = 1), można
zauważyć, że dla rzędów mniejszych od 1 napięcia na kondensatorze: w pierwszej fazie
szybciej rosną, ale później wolniej rosną do napięcia ustalonego (rys. 1). Prąd w obwodzie
również początkowo szybciej narasta, ale osiąga mniejsze wartości maksymalne i wolniej
opada do zera (rys. 2). Napięcia na cewce w pierwszej fazie opadają szybciej, ale później
przebiegi są bardziej spłaszczone, tak że coraz dłużej są utrzymywane wartości dodatnie
(rys. 3). Dla rzędów większych od 1 napięcie na kondensatorze wolniej rośnie, ale później
osiąga większe wartości niż ustalone, aby z kolei opaść do wartości ustalonej (można
zaobserwować tu swojego rodzaju „przesterowanie”) (rys. 4). Podobne zjawisko występuje
dla wartości prądu, które osiągają nawet wartości ujemne, by potem zbliżać się do zera
(rys. 5). Napięcie na cewce szybciej opada i również osiąga minimum dla ujemnych wartości,
aby później zbliżyć się do zera – wartości ustalonej (rys. 6).
2.2. Przypadek oscylacyjny
Dla przypadku oscylacyjnego przyjęto następujące wartości parametrów: R=0,3 Ω,
L=0,1 H, C=1F. I tu podobnie przedstawiono w porównaniu z klasycznymi rozwiązaniami:
napięcie na kondensatorze, prąd w obwodzie i napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8
i 0,7 – rysunki 7, 8 i 9, natomiast dla α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 – rysunki 10, 11 i 12.
84
M. Włodarczyk, A. Zawadzki
1.4
1.2
1
u [V]
0.8
0.6
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
1
0.9
0.8
0.7
4.5
5
i [A]
Rys. 7. Napięcie na kondensatorze dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek oscylacyjny)
Fig. 7. Capacitor voltage for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (oscillatory case)
2
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
1.5
1
0.9
0.8
0.7
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
Rys. 8. Prąd w obwodzie dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek oscylacyjny)
Fig. 8. Current in the circuit for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (oscillatory case)
5
Obwody RLC w aspekcie…
85
1
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
0.8
1
0.9
0.8
0.7
0.6
uL [V]
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
5
Rys. 9. Napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 0,9; 0,8 i 0,7 (przypadek oscylacyjny)
Fig. 9. Coil voltage for orders α = 1; 0,9; 0,8 and 0,7 (oscillatory case)
2
1.8
1.6
1.4
u [V]
1.2
1
0.8
0.6
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
1
1.1
1.2
1.3
4.5
5
Rys. 10. Napięcie na kondensatorze dla rzędów α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (przypadek oscylacyjny)
Fig. 10. Capacitor voltage for orders α = 1; 1,1 ; 1,2 and 1,3 (oscillatory case)
M. Włodarczyk, A. Zawadzki
i [A]
86
3
2
1
0
-1
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
-2
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
1
1.1
1.2
1.3
4
4.5
5
Rys. 11. Prąd w obwodzie dla rzędów α = 1; 1,1 ; 1,2 i 1,3 (przypadek oscylacyjny)
Fig. 11. Current in the circuit for orders α = 1; 1,1 ; 1,2 and 1,3 (oscillatory case)
2
alfa =
alfa =
alfa =
alfa =
1.5
1
1
1.2
1.3
1.4
uL [V]
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
Rys. 12. Napięcie na cewce dla rzędów α = 1; 1,2 ; 1,3 i 1,4 (przypadek oscylacyjny)
Fig. 12. Coil voltage for orders α = 1; 1,2 ; 1,3 and 1,4 (oscillatory case)
5
Obwody RLC w aspekcie…
87
Analizując otrzymane wykresy dla przypadku oscylacyjnego w porównaniu
z rozwiązaniem klasycznym (α = 1), można zauważyć, że generalnie rzędy mniejsze od
1 powodują stłumienie oscylacji napięcia na kondensatorze, prądu w obwodzie, jak również
napięcia na cewce tym silniej, im mniejszy jest rząd α (rys. 7, 8 i 9). Natomiast rzędy większe
od 1 powodują zwiększenia amplitudy oscylacji wraz ze zwiększaniem się rzędu dla
wszystkich rozpatrywanych przebiegów (rys. 10, 11 i 12). Zatem, rzędy ułamkowe
ograniczają własności oscylacyjne przebiegów, natomiast rzędy większe od jedności
własności te potęgują, co wiąże się bezpośrednio z czasem osiągania wartości ustalonych.
3. WNIOSKI
W pracy przedstawiono rozwiązanie obwodu RLC rzędu 2α w stanie nieustalonym
z wymuszeniem stałym – a więc tym samym rozwiązano równanie różniczkowe o stałych
współczynnikach, niejednorodne o stałej prawej stronie, rzędu 2α, gdzie α jest liczbą
niecałkowitą (w ogólnym przypadku może być dowolną liczbą rzeczywistą). Do rozwiązania
zastosowano przekształcenie Laplace’a. Uzyskane przebiegi napięć i prądów są intuicyjnie
zgodne – zwiększając rzędy ułamkowe do jedności, przebiegi dążą do rozwiązań klasycznych
– zmniejszając rzędy niecałkowite (1,3 – 1,1) do jedności, również dążą do rozwiązań
klasycznych, ale „od drugiej strony”. Można więc stwierdzić, że rzędy ułamkowe przesuwają
własności rozwiązań charakterystycznych dla przebiegów oscylacyjnych w kierunku
aperiodycznych, natomiast rzędy większe od jedności – w kierunku własności oscylacyjnych.
Jakkolwiek kondensatorem spełniającym niecałkowitą zależność różniczkową między prądem
a napięciem, dla określonej wartości rzędu α, mógłby być „superkondensator”, tak cewka
o takich właściwościach jeszcze nie została skonstruowana.
BIBLIOGRAFIA
1. Kaczorek T.: Fractional positive linear system and electrical circuits. „Przegląd
Elektrotechniczny” 2008, Nr 9, s. 135-1412.
2. Kosztołowicz T.: Zastosowanie równań różniczkowych z pochodnymi ułamkowymi do
opisu subdyfuzji. Wydawnictwo Uniwersytetu Humanistyczno – Przyrodniczego Jana
Kochanowskiego, Kielce 2008.
3. Podlubny I.: Fractional Differential Equations. Academic Press, 1999.
4. Ryżyk I.M., Gradsztejn I.S.: Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów. PWN, Warszawa
1964.
88
M. Włodarczyk, A. Zawadzki
5. Sierociuk D.: Estymacja i sterowanie dyskretnych układów dynamicznych ułamkowego
rzędu opisanych w przestrzeni stanu. Rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska,
Warszawa 2007.
6. Zawadzki A., Włodarczyk M.: Modelowanie procesów ładowania i rozładowania
superkondensatora. „Pomiary, Automatyka, Kontrola“ 210, Vol. 56, Nr 12, s. 1413-1415.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Marian Pasko
Wpłynęło do Redakcji dnia 17 marca 2011 r.
Abstract
At present, the so-called supercapacitors, classic characteristics of which are not precise,
arouse high interest. To describe their characteristics ones tray to use fractional derivatives
that model a supercapacitor as a system built with RLC elements. In the paper, the analysis of
such circuits in transient state is presented. There is assumed, that dependencies between
currents and voltages in a coil as well as in a capacitor are described with fractional
derivatives. There are announced general solutions of such a circuit – i.e. heterogenic
differential equation with constant coefficients, with constant right side, order 2α, where α is
non-integer number (in general case it can be any real number) was solved. Laplace
transformation was used for the solution. For selected degrees of derivatives (α = 0,7 – 0,9
i 1,4 – 1,1), obtained results are presented in diagrams, where, for the comparison purposes,
solutions of classic RLC circuit (with α = 1) are shown. Numerical realization of the problem
requires calculation of infinite functional series. In order to visualise courses of voltages and
currents in the circuit a program in Matlab environment was elaborated, which for assumed
circuit parameters and selected orders of derivatives calculates values of functions and draws
their courses. Each diagram presents, for the comparison, the function course obtained from
classic solution (α = 1) and courses for three selected orders.
In the paper two causes of transient state for RLC circuit: aperiodic and oscillatory were
analyzed. For aperiodic case following values of parameters were set: R=0,3 Ω, L=0,1 H,
C=10 F and for oscillatory one as follow: R=0,3 Ω, L=0,1 H, C=1 F.
Obtained courses of voltages on the capacitor and the coil and current in the circuit are
intuitionally compatible – increasing fractional orders (α = 0,7 – 0,9) or decreasing noninteger orders (α = 1,4 – 1,1) to one leads to classic solutions. Recapitulating, it can be stated,
that fractional orders shift properties of characteristic solutions for oscillatory courses towards
aperiodic, while orders bigger than one – towards oscillatory properties.