twierdzenia o stycznych do okręgu
Transkrypt
twierdzenia o stycznych do okręgu
T WIERDZENIA O STYCZNYCH DO OKRĘGU Definicja Styczna do okręgu jest to prosta posiadająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Można mówić o stycznych do innych krzywych, ale definicja takich stycznych jest dużo trudniejsza. Twierdzenie 1 Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia wychodzącego z punktu styczności. Dowód Wynika to z symetrii osiowej figury złożonej z okręgu i stycznej do niego. Niech k będzie prostą styczną do okręgu w punkcie P, a l prostą prostopadłą do k i przechodząca przez środek okręgu. Symetria względem l przeprowadza okrąg na siebie, a prostą k też na siebie. Stąd wynika, że punkt wspólny prostej k i okręgu przechodzi na punkt wspólny prostej k i okręgu, a ponieważ P jest jedynym punktem wspólnym prostej k z okręgiem, więc jest on punktem stałym symetrii. Zatem P leży on na osi symetrii, co oznacza, że prosta l przechodzi przez punkt styczności. W konsekwencji promień wychodzący z punktu styczności jest zawarty w l, co kończy dowód. Twierdzenie 2 Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do okręgu z danego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe. 1 PA = PB Dowód Trójkąty POA i POB są prostokątne. Półprosta PO jest dwusieczną kąta <APB , bo okrąg jest wpisany w kąt), zatem ∠APO = ∠BPO . Oznacza to (suma kątów w trójkącie), że również ∠POA = ∠POB . Ponadto AO = BO = r . Z cechy kbk wynika, że rozważane trójkąty są przystające, a to oznacza, że PA = PB Twierdzenie 3 Kąt DAB między styczną do okręgu DA a cięciwą AB poprowadzoną do punktu styczności (A) jest równy kątowi trójkąta wpisanego w okrąg, którego jednym z boków jest cięciwa AB, a wierzchołek C leży po przeciwnej stronie prostej AB niż punkt D. Dowód 2 Z tego, że promień jest prostopadły do stycznej wynika, że ∠BAO = 90° − α Trójkąt BAO jest równoramienny, więc ∠AOB = 90° − α Zatem kąt ∠AOB = 180° − 2(90° − α ) = 180° − 180° + 2α = 2α Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika z kolei, że ∠ACB = α . A to właśnie trzeba było udowodnić. Więcej na stronie http://www.traugutt.edu.pl/ 3