Podstawy Automatyki…

Transkrypt

Podstawy Automatyki…
Karol Cupiał
Częstochowa styczeń 2012
Kierunek Energetyka
studia stacjonarne
sem. 2
Kierunek Mechanika i BM studia stacjonarne
sem 4
Kierunek Mechatronika
studia stacjonarne
sem. 2
Kierunek Mechanika
studia niestacjonarne sem. 6
30 wE + 30 l+30 c
15 w + 30 l
15 w + 30 l
15 w E + 15 l
Program wykładu
Wiadomości wstępne. Podstawy rachunku operatorowego. Równania różniczkowe członów,
transmitancje operatorowe, charakterystyki czasowe. Transmitancja widmowa,
charakterystyki częstotliwościowe. Połączenia członów szeregowe i równoległe, człony
wielokanałowe. Układy ze sprzężeniem zwrotnym, stabilność układu regulacji z ujemnym
sprzężeniem zwrotnym, kryteria stabilności. Własności dynamiczne podstawowych członów
układu regulacji i metody ich identyfikacji. Regulatory, dobór nastaw regulatora PID.
Nieliniowe układy regulacji, linearyzacja członów nieliniowych.
Warunki zaliczenia przedmiotu
Laboratorium - obligatoryjne: zaliczenie wszystkich ćwiczeń i prac kontrolnych
Wykład
- obligatoryjne: obecność na wykładach + zaliczenie laboratorium
+ nieobowiązkowa praca kontrolna podnosząca ocenę
Egzamin
- pisemny i ustny, na pisemnym można korzystać z dowolnej literatury
Wykaz literatury
1. Gessing R.: Podstawy automatyki. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2001.
2. Kaczorek T., Dzieliński A., Dąbrowski W., Łopatka R.: Podstawy teorii sterowania.
WNT, Warszawa 2009.
3. Mazurek J., Vogt H., Zydanowicz W.: Podstawy automatyki. Oficyna Wydawnicza
PW, Warszawa 2002.
4. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1980.
5. Żelazny M.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1976.
Tekst wykładu jest dostępny na stronie internetowej
Instytutu Maszyn Tłokowych i Techniki Sterowania Politechniki Częstochowskiej:
http://www.imc.pcz.czest.pl/imtits/dydid.html
•
Mechatronika
->
Podstawy automatyki i teorii sterowania
1
Spis treści
Wstęp 4
1. Wiadomości podstawowe 6
1.1. Klasyfikacja układów regulacji 6
1.2. Wybrane przykłady układów regulacji
8
1.3. Opis matematyczny dynamiki członów
15
2. Wybrane zagadnienia z podstaw rachunku operatorowego 19
2.1 Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych 19
2.2. Przekształcenie całkowe Laplace 20
2.3. Podstawowe własności transformat Laplace 21
2.4. Transformacja prosta i odwrotna w programie Mathematica 7.0 28
3. Analiza dynamiki liniowych układów dyskretnych 31
3.1. Charakterystyki czasowe 31
3.2. Transmitancja operatorowa członu jednokanałowego 33
3.2.1. Metoda operatorowa analizy charakterystyk czasowych 35
3.2.2. Czas zanikania procesów przejściowych 46
3.3. Charakterystyki częstotliwościowe 57
3.3.1. Transmitancja widmowa 58
4. Transmitancja zastępcza układu członów 74
4.1. Człony połączone szeregowo 74
4.2. Człony połączone równolegle 74
4.3. Człony wielokanałowe 76
4.4. Idealny układ członów ze sprzężeniem zwrotnym 78
4.5. Uchyb regulacji w zakłócanym układzie ze sprzężeniem zwrotnym 81
4.5.1. Przykład analizy układu ze sprzężeniem zwrotnym 85
4.5.2. Wpływ rodzaju sprzężenia zwrotnego na uchyb regulacji 96
4.5.3. Zagadnienia do 1 pracy kontrolnej, przykładowy temat 102
5. Stabilność układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym 103
5.1. Warunek stabilności układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym 103
5.2. Kryterium stabilności Routha – Hurwitza 113
5.3. Kryterium stabilności Nyquista 116
5.3.1. Przykład analizy stabilności i uchybu regulacji 121
5.3.3. Zagadnienia do 2 pracy kontrolnej, przykładowy temat 136
6. Dynamika podstawowych członów układu regulacji 137
6.1. Człony inercyjne 139
6.1.1. Człon inercyjny zerowego rzędu 139
6.1.2. Człon inercyjny pierwszego rzędu 140
6.1.3. Człon inercyjny drugiego i n - tego rzędu 145
6.2. Człon oscylacyjny 157
6.3. Człony całkujące 168
2
6.3.1. Człon całkujący idealny 168
6.3.2. Człon całkujący rzeczywisty 169
6.4. Człony różniczkujące 181
6.4.1. Człon różniczkujący idealny 181
6.4.2. Człon różniczkujący rzeczywisty 183
6.5. Człon opóźniający 195
6.6. Eksperymentalna identyfikacja dynamicznych własności członów 200
6.6.1. Metody identyfikacji 200
6.6.2. Identyfikacja członow statycznych 201
6.6.3. Identyfikacja członów astatycznych 202
7. Regulator PID 202
7.1. Dobór nastaw regulatora PID 236
8. Analiza stabilności układu regulacji z opóźnieniem 239
9. Regulacja dwustanowa 258
9.1 Regulacja dwustanowa obiektu z opóźnieniem 265
3
Wstęp
Automatyka powstała w chwili, gdy bezpośrednia ingerencja człowieka w procesy
techniczne została zastąpiona odpowiednio zbudowanymi urządzeniami specjalistycznymi
działającymi samoczynnie i dzisiaj nazywanymi potocznie regulatorami. Najdawniejszy
znany automat o znanej zasadzie działania został zbudowany w III wieku p.n.e. przez
Ktesibiosa z Aleksandrii i zastosowany do regulacji przepływu wody w bardzo dokładnym i
skomplikowanym zegarze wodnym. Precyzyjne działanie tego zegara zależało od
wytworzenia stałego ciśnienia i prędkości przepływu wody. W tym celu Ktesibios przepuścił
wodę przez regulator przepływu – był to pierwszy w dziejach znany samoczynnie działający
regulator. Szkocki matematyk i wynalazca James Watt w 1788 roku skonstruował pierwszy
technicznie zaawansowany i działający układ automatycznej regulacji prędkości obrotowej
silnika parowego zawierający odśrodkowy przetwornik prędkości obrotowej (zw. regulatorem
Watta), ale na skutek nieznajomości dynamiki układu regulacji i metod jej analizy układ ten
nie zawsze realizował stabilną regulację. Podstawy teoretyczne do analizy stabilności
układów regulacji opracował kanadyjski matematyk Edward Routh i niemiecki matematyk
pochodzenia żydowskiego Adolf Hurwitz, w wyniku badań stateczności rozwiązań równań
algebraicznych sformułowali oni w roku 1895 kryterium pozwalające na podstawie analizy
równania charakterystycznego stwierdzić, czy układ regulacji automatycznej będzie stabilny.
Najważniejsze dla automatyków kryterium oceny granic stabilności układu regulacji
automatycznej oparte na charakterystyce amplitudowo-fazowej układu otwartego zostało
sformułowane dopiero w roku 1932 przez Amerykanina pochodzenia szwedzkiego Harry
Nyquista.
Podstawy teoretyczne automatyki obejmują modelowanie i analizę własności
dynamicznych poszczególnych elementów układu regulacji oraz całych układów
utworzonych z tych elementów. Własności tych elementów są opisane równaniami
algebraicznymi, równaniami różniczkowymi i równaniami całkowymi; równania te mogą być
liniowe i nieliniowe. Do modelowania i analizy układu równań opisujących cały układ
regulacji lub sterowania użyteczne są zaawansowane metody matematyczne, m. in. rachunek
operatorowy ogromnie upraszczający analizę zwyczajnych liniowych równań różniczkowych
i równań całkowych. Głównym celem tej analizy jest taki dobór własności poszczególnych
elementów składowych układu regulacji i taki dobór ich nastaw, by cały układ regulacji był
stabilny i by sygnały przenoszone przez poszczególne elementy układu pozwoliły jak
najlepiej spełnić wymagane kryteria jakości regulacji a w szczególności zminimalizować
uchyb regulacji. Zagadnienia te będą sukcesywnie omawiane w trakcie wykładu.
4
1. Wiadomości podstawowe
1.1. Klasyfikacja układów regulacji
Konstrukcja i działanie układów automatycznie działających są w dużym stopniu
zróżnicowane, układy te można rozmaicie klasyfikować opierając się na różnych
kryteriach.
Ze względu na funkcjonalność można wyróżnić:
Układy zamknięte z ujemnym sprzężeniem zwrotnym nazywane układami
regulacji;
Układy otwarte bez sprzężenia zwrotnego nazywane układami sterowania.
Rys. 1. Schemat blokowy zamkniętego układu regulacji z ujemnym sprzężeniem
zwrotnym
Rys. 2. Schemat blokowy otwartego układu sterowania
Ze względu na sposób transmisji sygnałów w poszczególnych elementach można
wyróżnić:
Układy ciągłe, w których sygnały analogowe są transmitowane w sposób ciągły;
Układy dyskretne, w których występują quasi ciągłe sygnały dyskretne;
Układy przerywane, w których sygnały transmitowane są w postaci impulsów
występujących okresowo.
5
Ze względu na własności poszczególnych elementów można wyróżnić:
Układy liniowe, w których wszystkie elementy układu są opisane liniowymi
równaniami, w tych układach obowiązuje zasada superpozycji;
Układy nieliniowe, w których co najmniej jeden element jest nieliniowy, w tych
układach zasada superpozycji nie obowiązuje.
Ze względu na liczbę regulowanych wielkości można wyróżnić:
Układy regulacji (sterowania) jednej wielkości;
Układy regulacji (sterowania) wielu wielkości (zazwyczaj kilku).
Ze względu na realizowane zadanie można wyróżnić:
Układy stabilizujące, w których wartość zadana jest stała;
Układy nadążne, w których wartość zadana zmienia się w sposób
nieprzewidywalny;
Układy programowe, w których wartość zadana zmienia się wg znanego
programu;
Układy ekstremalne (optymalne), w których wielkość regulowana ma osiągać
ekstremum (maksimum lub minimum).
Ze względu na możliwość samoczynnego dostosowania się do zmieniających się
warunków można wyróżnić:
Układy adaptacyjne, samoczynnie uwzględniające zmienne zakłócenia i zmienne
warunki zewnętrzne działające na układ;
Układy zwykłe nie mające własności adaptacyjnych.
6
1.2. Wybrane przykłady układów regulacji
Rys. 3. Przykład ilustrujący budowę prostego układu stabilizującego w sposób ciągły poziom
cieczy w zbiorniku i schemat blokowy zamkniętego układu regulacji zawierający główny tor
sygnałów i tor ujemnego sprzężenia zwrotnego
7
Rys. 4. Przykład dwustanowego (nieciągłego) układu regulacji temperatury w zbiorniku wody
podgrzewanej elektrycznie oraz schemat blokowy zamkniętego układu regulacji zawierający
główny tor sygnałów i tor ujemnego sprzężenia zwrotnego
Pierwszy technicznie zaawansowany układ regulacji automatycznej opracował i
zastosował w praktyce szkocki matematyk i wynalazca James Watt. (19 01 1736 - 19 08
1819) ur. w szkockim mieście portowym Greenock. Ze względu na zły stan zdrowia nie
uczęszczał do szkół, jakkolwiek wykazywał uzdolnienia w kierunku naprawy i budowy
urządzeń. Dzięki tym umiejętnościom podejmuje w roku 1754 prace na uniwersytecie w
Glasgow gdzie zdobywa wykształcenie i rozwija swoje umiejętności. 1763 - pierwsze
ulepszenia silnika parowego Newcomena, 1782 - zakończenie budowy parowego silnika
dwustronnego działania - był to pierwszy przemysłowy silnik parowy, 1788 - skonstruowanie
odśrodkowego regulatora prędkości obrotowej (zw. regulatorem Watta) dla silnika parowego.
Takie układy regulacji budowane na podstawie intuicji technicznej nie popartej analizą
dynamiki całego układu regulacji nie zawsze działały prawidłowo, czasem występowały w
tych układach niestabilności generujące nie przewidziane oscylacje prędkości obrotowej.
8
Rys. 5. Przykład ilustrujący budowę maszyny parowej wyposażonej w odśrodkowy regulator
prędkości obrotowej i schemat blokowy zamkniętego układu regulacji zawierający główny tor
sygnałów i tor ujemnego sprzężenia zwrotnego
9
Rys. 6. Wybrane układy sterowania i automatycznej regulacji przemysłowego silnika
gazowego napędzającego generator prądotwórczy oraz uproszczone schematy blokowe:
• zamkniętego układu regulacji składu mieszanki palnej (z ujemnym sprzężeniem
zwrotnym)
• otwartego układu sterowania kątem wyprzedzenia zapłonu
10
Rys.7 . Manualna regulacja obiektu wieloparametrowego, w którym sygnały są dostatecznie
wolnozmienne
Rys.8 . Wspomagana komputerem manualna regulacja obiektu wieloparametrowego, w
którym sygnały są dostatecznie wolnozmienne
11
Rys.9 .Automatyczna regulacja autonomiczna obiektu wieloparametrowego
Rys.10 . Automatyczna regulacja nieautonomiczna obiektu wieloparametrowego
12
Rys.11 .Skomputeryzowany układ regulacji obiektu wieloparametrowego realizujący
różnorodne złożone algorytmy regulacji
13
1.3. Opis matematyczny dynamiki członów
Opis matematyczny dynamiki dowolnego dyskretnego członu: mechanicznego,
hydraulicznego, pneumatycznego lub elektrycznego wchodzącego w skład obwodu układu
regulacji najczęściej jest wyrażony zwyczajnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu.
Proces tworzenia opisu matematycznego członu mechanicznego zostanie zilustrowany na
przykładzie uproszczonego modelu jednoosiowej przyczepy pokonującej ze stałą prędkością
próg o znanym profilu pionowym. Dyskretny model przyczepy został sporządzony przy
założeniu, że jest to człon inercyjny drugiego rzędu o jednym stopniu swobody, na który
działają zmienne pionowe siły wymuszające i w którym nieustalone przemieszczenia
występują tylko w kierunku pionowym. Założono, że zawieszenie zawiera liniowy element
sprężysty ( odkształcenie wprost proporcjonalne do siły) i równolegle z nim połączony
wiskotyczny element tłumiący drgania (siła tłumiąca wprost proporcjonalna do prędkości).
Rys. 12. Dyskretny model pojazdu jednoosiowego pokonującego próg o znanym profilu opisanym funkcją
czasu
Na skutek przemieszczenia punktowego koła spowodowanego wjechaniem przyczepy
ze stałą prędkością na próg o znanym profilu opisanym funkcją czasu element podatny
łączący koło z masą odkształca się i przenosi zmienną składową siły z podłoża na masę
pojazdu, tłok elementu tłumiącego przemieszcza się w cylindrze i wytwarza zmienną siłę
oporu, która także przenosi się z podłoża na masę pojazdu. Z drugiej zasady dynamiki
Newtona wynika, że w ruchu postępowym siła bezwładności masy jest równa sumie
wszystkich sił zewnętrznych działających na tę masę w kierunku przyjętym za dodatni
kierunek jej ruchu, tj. w górę.
m∗
d2y
dt 2
=
∑ R zewn
= b∗(
df dy
− ) + c ∗ ( f − y)
dt dt
Kolejne człony tak otrzymanego liniowego równania różniczkowego licząc od lewej strony
równania wyrażają:
14
m∗
d2y
dt 2
- siłę bezwładności masy pojazdu,
siła ta jest iloczynem masy i przyspieszenia pionowego działającego na tę masę,
b∗(
df dy
− ) - siłę wiskotycznego tłumienia tłumika drgań łączącego masę z podłożem,
dt dt
siła ta jest iloczynem stałej tłumienia tłumika drgań i różnicy prędkości obydwóch
końców tłumika,
c ∗ ( f − y)
- siłę odkształcenia sprężystego sprężyny łączącej masę z podłożem,
siła ta jest iloczynem stałej sprężystości sprężyny i różnicy przemieszczeń obydwóch
końców sprężyny.
Równanie sumy sił po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę
m∗
d2y
dt 2
+ b∗(
dy df
− ) + c∗(y − f ) = 0
dt dt
można przekształcić do klasycznej postaci zwyczajnego liniowego niejednorodnego równania
różniczkowego drugiego rzędu
m∗
d2y
dt 2
+b∗
dy
+c∗ y
dt
= b∗
df
+c∗ f
dt
w której poszukiwane przebiegi pionowego wychylenia, prędkości i przyspieszenia masy
pojazdu występują na lewej stronie a zadane (i znane) przebiegi pionowych przemieszczeń
punktowego koła przemieszczającego się ze stałą prędkością po podłożu o znanym profilu
występują na prawej stronie. Równanie to w automatyce często przedstawia się w takiej
postaci, w której współczynnik występujący przy wyrazie wolnym lewej strony równania jest
równy 1. W tym celu równanie różniczkowe dzieli się stronami przez stała c
m d 2 y b dy
b df
∗
+ ∗ +y =
∗ +f
c dt 2 c dt
c dt
2
i wartości tak otrzymanych nowych stałych m / c = T2 i b / c = T1 nazywa się stałymi
czasowymi, ponieważ mają one wymiar jednostki czasu.
2
dy
2 d y
T2 ∗
+ T1 ∗ + y
2
dt
dt
= T1 ∗
df
+f
dt
Jeżeli znany jest przebieg zmian wysokości progu w funkcji czasu f (t ) i warunki
początkowe, to otrzymane równanie różniczkowe można rozwiązać różnymi metodami
analitycznymi.
15
Gdyby w opisie matematycznym modelu uwzględnić, że siła tłumiąca jest
proporcjonalna np. do drugiej potęgi prędkości (a to jest bliższe rzeczywistości)
m∗
d2y
dt 2
+ b∗(
dy df 2
− ) + c ∗(y − f ) = 0
dt dt
to po uporządkowaniu wyrazów otrzymuje się równanie różniczkowe nieliniowe
d2y
2
2
dy df
 dy 
 df 
m∗
+ b∗  − 2∗b∗ ∗ + c ∗ y = b∗  + c ∗ f
dt dt
 dt 
 dt 
dt 2
w którym na lewej stronie występują dwa człony nieliniowe i na prawej stronie jeden człon
nieliniowy. Ścisłe rozwiązanie analityczne równania nieliniowego można uzyskać tylko w
nielicznych szczególnych przypadkach, zazwyczaj równania nieliniowe rozwiązuje się w
sposób przybliżony przez ich linearyzację polegającą na zastąpieniu członów nieliniowych
równoważnymi członami liniowymi.
Opis matematyczny przebiegu prądu w szeregowym obwodzie elektrycznym RLC
zawierającym szeregowo połączone: indukcyjność L, rezystancję R i pojemność C
Rys. 13. Obwód elektryczny zawierający szeregowo połączone: indukcyjność L, rezystancję
R i pojemność C
można łatwo sporządzić posługując się 2 prawem Kirchhoffa (suma sił elektromotorycznych
w oczku = sumie spadków napięcia)
di
1t
L ∗ + R ∗ i + ∫ i ∗ dt
dt
C0
= E (t )
Jeżeli do tak otrzymanego równania różniczkowo-całkowego wprowadzi się pojęcie ładunku
elektrycznego
q =
di
dt
16
to opis matematyczny tego obwodu można wyrazić liniowym równaniem różniczkowym
drugiego rzędu
L∗
d 2q
dt 2
+ R∗
dq 1
+ ∗ q = E(t )
dt C
2
które po wprowadzeniu stałych czasowych T2 = L ∗ C i T1 = RC można zapisać w
postaci
T22 ∗
d 2q
dt 2
+ T1 ∗
dq
+ q = C ∗ E (t )
dt
której lewa strona jest identyczna z postacią lewej strony równania różniczkowego
opisującego układ mechaniczny.
Opis matematyczny przebiegu prądu w szeregowo - równoległym obwodzie
elektrycznym RLC zawierającym rezystancję szeregowo połączoną z oczkiem utworzonym z
indukcyjności L i pojemności C
Rys. 14. Szeregowo-równoległy obwód elektryczny zawierający rezystancję szeregowo
połączoną z oczkiem utworzonym z indukcyjności L i pojemności C
można sporządzić posługując się 1 prawem Kirchhoffa (suma prądów dopływających do
węzła = sumie prądów wypływających z węzła) i 2 prawem Kirchhoffa (suma sił
elektromotorycznych w oczku = sumie spadków napięcia)
di
L ∗ 1 + R ∗ (i1 + i2 ) = E(t )
dt
1t
R ∗ (i1 + i2 ) + ∫ i2 ∗ dt = E(t )
C0
17
Tak otrzymany układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi i1 oraz i2 zawierający jedno
niejednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu i jedno niejednorodne równanie
całkowe można stosunkowo łatwo rozwiązać przy pomocy rachunku operatorowego
natomiast rozwiązanie metodami klasycznego podstawiania byłoby o wiele bardziej
pracochłonne.
2. Wybrane zagadnienia z podstaw rachunku operatorowego
2.1. Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych
Rachunek operatorowy oparty na przekształceniach całkowych polega na transformacji
równania różniczkowego z dziedziny funkcji czasu f (t ) (dziedzina oryginałów) do dziedziny
funkcji zmiennej zespolonej F (s ) (dziedzina transformat). W wyniku stosunkowo prostej
operacji transformacji równania różniczkowego przeprowadzanej przy pomocy tablicy
transformat wykorzystywanej w sposób podobny do słownika obcojęzycznego otrzymuje się
równanie algebraiczne, z którego metodami algebraicznymi można obliczyć transmitancję
układu opisanego równaniem różniczkowym pozwalającą łatwo obliczyć m. in.
charakterystyki częstotliwościowe układu. Z równania transmitancji można również łatwo
obliczyć wartości graniczne rozwiązania w dziedzinie funkcji czasu ( dla t = 0 oraz dla t
= ∞ ). Jeżeli jest konieczna znajomość analitycznej postaci rozwiązania równania
różniczkowego w dziedzinie funkcji czasu to najpierw oblicza się poszukiwaną transformatę
rozwiązania równania różniczkowego i potem przeprowadza się dość pracochłonną operację
znajdowania odwrotnej transformacji tej transformaty. Znajomość tego rozwiązania jest
konieczna m. in. do obliczenia przebiegu charakterystyk czasowych układu.
Tok postępowania w czasie rozwiązywania równań różniczkowych opisujących
dynamikę układu zilustrowano na rysunku. Tor prosty górny (od równania w prawo do
rozwiązania) ilustruje działania wykonywane w czasie rozwiązywania równania
różniczkowego klasyczną metodą podstawiania natomiast tor dolny z pętlą ilustruje
wykorzystanie do tego celu rachunku operatorowego. W przypadku równań różniczkowych
wyższego rzędu, a w szczególności w przypadku układu opisanego rozbudowanymi układami
równań różniczkowych zwyczajnych rachunek operatorowy pozwala znacznie uprościć
obliczenia i znacząco zmniejszyć nakład czasu niezbędnego do uzyskania rozwiązania.
18
Rys. 15. Ilustracja
graficzna toku
postępowania w
czasie analizy
równań
różniczkowych
zwyczajnych
klasyczną metodą
podstawiania (tor
górny) i metodą
operatorową (tor
dolny)
Bloki nie zacieniowane oznaczają operacje wykonywane w dziedzinie funkcji czasu.
Bloki zacieniowane oznaczają operacje wykonywane w dziedzinie transformat.
2.2. Przekształcenie całkowe Laplace
W rachunku operatorowym wykorzystuje się różne przekształcenia całkowe do transformacji
prostej różnych funkcji z dziedziny funkcji czasu do dziedziny funkcji zmiennej zespolonej,
do tego celu wykorzystuje się m.in. równanie jednostronnej prostej transformacji Laplace
F( s )
=
L{ f (t ) } =
∞
∫ f (t ) ∗ e
− s ∗ t dt
0
w którym operator
s = δ
+
j ∗ω
mający wymiar [1 / sec] zapisywany skrótowo jako [1 / s ] jest liczbą zespoloną mającą
cześć rzeczywistą δ i część urojoną ω . Symbol j = − 1 oznacza liczbę urojoną.
Aby obliczenie transformaty było możliwe funkcja czasu musi spełniać następujące warunki:
•
•
Musi być ciągła w całym obszarze jej zmienności,
Musi mieć pierwszą pochodną w każdym skończonym przedziale
•
Całka
∞
∫
f (t ) ∗ e − st dt musi być zbieżna.
0
19
Warunki te dla powszechnie używanych funkcji czasu są spełnione. Posługując się
równaniem transformacji prostej można obliczyć transformaty dla różnych funkcji czasu i
zestawić je w postaci tablicy nazywanej tablicą transformat. W praktyce obliczanie
transformaty funkcji czasu sprowadza się do znalezienia w tablicy transformat funkcji czasu i
odpowiadającej jej transformaty.
Powrót z dziedziny funkcji zmiennej zespolonej do dziedziny funkcji czasu nazywa się
transformacją odwrotną i jest bardziej kłopotliwy niż transformacja prosta. W praktyce
transformację odwrotną przeprowadza się wykorzystując do tego celu tablicę transformat
sporządzoną w wyniku przeprowadzenia transformacji prostej. Aby to można było uczynić
konieczne jest zazwyczaj przeprowadzenie dość pracochłonnych przekształceń
algebraicznych mających na celu rozłożenie złożonego wyrażenia transformaty wynikowej na
sumę takich wyrażeń prostych, dla których można znaleźć odpowiedniki w tablicy
transformat. Do przeprowadzania odwrotnej transformacji transformat o różnym stopniu
złożoności można z powodzeniem wykorzystać różne programy komputerowe, np.
Mathematica 7.0.
2.3. Podstawowe własności transformat Laplace
•
Transformata sumy funkcji czasu f (t )
L{ f1(t ) + f 2(t ) } =
•
F1( s ) + F2( s )
Transformata funkcji czasu f (t ) mnożonej przez stałą a
L{a ∗ f (t ) } = a ∗ F( s )
•
Transformata pierwszej pochodnej funkcji f (t )
L{ f ('t ) } = s ∗ F( s ) − f (0)
•
Transformata drugiej pochodnej funkcji f (t )
L{ f ('t' ) } =
•
s 2 ∗ F( s ) − s ∗ f (0) − f ('0)
Transformata n-tej pochodnej funkcji f (t )
L{ f (nt) } =
s n ∗ F( s ) − s n −1 ∗ f (0) − s n − 2 ∗ f ('0) − L − f (n0−) 1
20
•
Transformata n-tej pochodnej funkcji f (t ) dla zerowych warunków początkowych
L{ f (nt) } =
•
Transformata całki oznaczonej w granicach całkowania od 0 do t
t
L{∫ f (t ) ∗ dt} =
0
•
1
∗ F( s )
s
Transformata całki nieoznaczonej ze stałą całkowania C
L{∫ f (t ) ∗ dt} =
•
s n ∗ F( s )
1
∗ ( F( s ) + C )
s
Transformata funkcji f (t ) z współczynnikiem a skali czasu
L{ f 1 } = a ∗ F( s∗a )
( ∗t )
a
•
Transformata funkcji f (t ) przesuniętej (opóźnionej) w dziedzinie czasu o czas T
L{ f (t −T ) } = e −T ∗s ∗ F( s )
•
Transformata funkcji f (t ) przesuniętej w dziedzinie zmiennej zespolonej o a
L{e − a∗t ∗ f (t ) } =
•
F( s + a )
Transformata splotu ∗ funkcji może być wykorzystana do przeprowadzenia
odwrotnej transformacji iloczynu dwu transformat H (s ) i X (s ) , jeżeli funkcje czasu
h(t ) i x(t ) odpowiadające poszczególnym transformatom są znane
L{h(t ) ∗ x(t ) } =
•
τ =t
L{ ∫ h(τ ) ∗ x(t −τ ) ∗ dτ } =
τ =0
H ( s) ∗ X ( s)
Twierdzenie graniczne o wartości początkowej funkcji f (t ) pozwala obliczyć
wartość początkową funkcji (jeżeli granica tej funkcji istnieje) bezpośrednio z jej
transformaty
21
f ( 0)
•
=
lim f (t )
t →0
=
lim s ∗ F( s )
s →∞
Twierdzenie graniczne o wartości końcowej funkcji f (t ) pozwala obliczyć wartość
końcową funkcji ( jeżeli granica tej funkcji istnieje) bezpośrednio z jej transformaty
f (∞ )
=
lim f (t )
t →∞
=
lim s ∗ F( s )
s →0
22
Tablica. 1. Transformaty niektórych funkcji czasu
=
Funkcja czasu f ( t )
L−1{F( s ) _ }
1(t )
1s
δ (t )
1
k ∗ δ (t )
k
Skok jednostkowy
Impuls szpilkowy Diraca
Impuls prostokątny o polu k
Transformata Laplace F( s ) = L{ f (t )}
Stała wolnostojąca
T
Czas wolnostojący
t
t
Czas wolnostojący
T s
1 s2
2
tn
Czas do potęgi n –tej
2
s3
n!
s n +1
t
1 −T
∗e
T
1
T ∗s +1
Człon inercyjny rzędu 1
e − a ∗t
t ∗ e − a ∗t
1
s+a
1
t n −1
Człon inercyjny rzędu n
∗ e − a∗t
( n − 1)!
t
−
1− e T
sin ω ∗ t
cos ω ∗ t
e − a∗t ∗ sin ω ∗ t
e − a∗t ∗ cos ω ∗ t
t
1 −ξ ∗T
t
∗ ∗e
∗ sin( 1 − ξ 2 ∗ )
T
1−ξ 2 T
1
( s + a )2
1
(s + a) n
1
s ∗ (T ∗ s + 1)
ω
s2 + ω 2
s
s2 + ω 2
ω
( s + a )2 + ω 2
s+a
( s + a )2 + ω 2
1
T 2 ∗ s 2 + 2 ∗ξ ∗ T ∗ s + 1
23
Przykład 1
Człon dynamiczny zawierający obwód elektryczny złożony z indukcyjności L = 2 H
szeregowo połączonej z rezystancją R = 8 Ω jest opisany niejednorodnym równaniem
różniczkowym pierwszego rzędu
L∗
di
+ R∗i = E
dt
W chwili t=0 człon ten został poddany działaniu skokowo zmiennego napięciowego sygnału
wejściowego
E (t ) = 6 [V ] ∗ 1(t )
o przyroście równym 6 V. Warunek początkowy dla stanu tego obwodu w chwili t = 0
wynosi
i (0) = 0.5 A
Sygnałem wyjściowym z tego członu jest przebieg natężenia prądu w obwodzie. Obliczyć
wartość sygnału wyjściowego i(t) dla t = ∞ oraz wyprowadzić równanie przebiegu sygnału
wyjściowego i(t) będące charakterystyką czasową odpowiedzi tego członu na skokową
zmianę napięciowego sygnału wejściowego. Po podstawieniu wartości liczbowych
niejednorodne równanie różniczkowe przybiera postać
2∗
di
+ 8 ∗ i = 6 ∗ 1(t )
dt
z warunkiem początkowym i(0)=-0.5. Równanie to z obszaru funkcji czasu transformuje się
stronami do obszaru zmiennej zespolonej s, operację transformacji prostej oznacza się litera
„L” a wyrażenia transformowane ujmuje się w nawiasy {}.
L{2 ∗
di
+ 8 ∗ i} = L{6 ∗ 1(t )}
dt
Po wykorzystaniu własności liniowości (transformata sumy = sumie transformat) i po
wyłączeniu wartości stałych przed znak L oznaczający operację transformacji
di
2 ∗ L{ } + 8 ∗ L{i} = 6 ∗ L{1(t )}
dt
znajduje się transformaty F(s) odpowiadające funkcjom czasu f(t) występującym w
poszczególnych członach równania
2 ∗ [ s ∗ I ( s ) − i (0)] + 8 ∗ I ( s ) = 6 ∗
1
s
24
i uwzględnia się zadany niezerowy warunek początkowy i(0)=0.5.
2 ∗ [s ∗ I(s) − (−0.5)] + 8 ∗ I(s) = 6 ∗
1
s
Po uporządkowaniu wyrazów otrzymuje się algebraiczne równanie transformat
1
[2 ∗ s + 8] ∗ I(s) = 6 ∗ − 1
s
z którego można łatwo obliczyć transformatę Laplace poszukiwanego równania sygnału
wyjściowego
I(s) =
1
6 ∗ −1
s
=
2∗s + 8
−s+6
s ∗ (2 ∗ s + 8)
Posługując się twierdzeniem dotyczącym granicznej o wartości końcowej
f (∞ )
=
lim f (t )
t →∞
=
lim s ∗ F( s )
s →0
można z równania transformaty bezpośrednio obliczyć wartość końcową (tylko dla t= ∞ )
funkcji czasu
i (∞ ) =
lim s ∗
s →0
−s+6
s ∗ (2 ∗ s + 8)
=
0+6
2∗0+8
= 0.75 A
Dla otrzymania pełnego równania sygnału wyjściowego w dziedzinie funkcji czasu trzeba
przeprowadzić odwrotną transformację już obliczonej transformaty sygnału wyjściowego,
operację odwrotnej transformacji oznacza się symbolem
f (t ) = L−1{F ( s )} .
Aby tę operację można było przeprowadzić przy pomocy tablicy transformat równanie
transformaty występujące w postaci ilorazu dwóch wielomianów (zazwyczaj dość złożone)
trzeba najpierw rozłożyć na sumę takich ułamków prostych, dla których w tablicy transformat
można znaleźć odpowiednie wyrażenia.
Operacja rozkładu ilorazu wielomianów P( s ) i Q( s ) na sumę ułamków prostych
czasem może być dość pracochłonna i może wymagać specjalnych metod rachunkowych.
Jeżeli wielomian Q( s ) stopnia n występujący w mianowniku i mający n pierwiastków nie
ma pierwiastków wielokrotnych to opierając się na twierdzeniu Heaviside’a
P( s )
Q( s)
=
K1
K2
K3
K
K
+
+
L+L i L+L n
s − s1 s − s2 s − s3
s − si
s − sn
25
można obliczyć poszczególne współczynniki Ki mnożąc powyższe równanie przez ( s − si )
i podstawiając s = si . Jeżeli występują pierwiastki wielokrotne, to powyższe równanie
różniczkuje się i potem postępuje się podobnie jak poprzednio.
W analizowanym przykładzie członu zawierającego obwód elektryczny RL
transformata ma nieskomplikowaną postać, ale pomimo to dla tej transformaty brak jest
gotowego odpowiednika w przytoczonej tablicy transformat. Aby takie odpowiedniki znaleźć
wystarczy transformatę sygnału wyjściowego rozłożyć w sposób prosty na sumę dwóch
ułamków
I(s) =
−s+6
s ∗ (2 ∗ s + 8)
= −
1
6
+
2 ∗ s + 8 s ∗ (2 ∗ s + 8)
i poszczególne ułamki przekształcić do takiej postaci, dla której w tablicy transformat
są gotowe odpowiedniki
1
1
3
1
I(s) = − ∗
+ ∗
8 1s +1 4
1

s ∗  ∗ s + 1
4
4

Pamiętając o wyłączaniu stałych przed znak transformacji i o liniowości transformat
(transformata sumy = sumie transformat) przy pomocy tablicy transformat (Tabl. 1.)
=
L−1{F( s ) _ }
Transformata Laplace F( s )
t
1 −T
∗e
T
t
−
1− e T
=
L{ f (t )}
1
T ∗s +1
1
s ∗ (T ∗ s + 1)
można łatwo przeprowadzić odwrotną transformację powyższej transformaty




1
1
i( t ) = L−1{I(s)} = − ∗ L−1 
 +
1
8
 ∗ s + 4
4




3 −1 
1
∗L 

4
 s ∗  1 ∗ s + 1 
  4
 
i otrzymać ostateczną postać poszukiwanego równania przebiegu prądu w dziedzinie funkcji
czasu.
1
3
i( t ) = − ∗ e − 4∗ t + ∗ (1 − e − 4∗ t ) =
2
4
3 5 − 4∗ t
− ∗e
4 4
26
Podstawiając do tego równania t= ∞ można łatwo sprawdzić, że wartość i(t) obliczona z tego
równania dla t= ∞ jest identyczna z wartością otrzymaną z twierdzenia o granicznej wartości
końcowej.
2.4. Transformacja prosta i odwrotna w programie Mathematica 7.0
Niektóre matematyczne programy komputerowe np. Mathematica 7.0 zawierają bardzo
bogate biblioteki transformat prostych i odwrotnych, a to pozwala bardzo łatwo
przeprowadzić transformację prostą nawet dla bardzo złożonych funkcji czasu i transformację
odwrotną dla bardzo złożonych postaci transformat. Programy te pozwalają również uzyskać
wykresy analizowanych funkcji. W programie Mathematica 7.0 operacja znajdowania
prostej lub odwrotnej transformaty Laplace sprowadza się do napisania i wykonania kilku
bardzo prostych instrukcji, instrukcje te muszą być pisane z zachowaniem dokładnej
sekwencji dużych i małych liter w odpowiednich miejscach. Dla uniknięcia kolizji nazw
funkcji wprowadzonych przez użytkownika z nazwami zastrzeżonymi funkcje użytkownika
powinny być pisane małymi literami.
Uwaga !
W starszych wersjach programu Mathematica najpierw należało wczytać pakiet
transformat wykonując w tym celu instrukcję:
<<Calculus`LaplaceTransform`
<Shift> + <Enter>
W nowszych wersjach programu nie jest to konieczne.:
Obliczenie prostej transformaty Laplace Y (s ) dla wyrażenia opisanego równaniem wyr(t)
zawierającego różne funkcje czasu i zapisanego w programie Mathematica 7 jako yt =
wyr(t) realizuje instrukcja
ys = LaplaceTransform[yt, t, s]
<Shift> + <Enter>
w której obliczoną transformatę umownie oznaczono symbolem ys =wyr(s).
Operację przeprowadzenia odwrotnej transformacji równania transformaty Laplace sygnału
wyjściowego Y ( s ) zapisanego w programie Mathematica 7 i oznaczonego umownie
symbolem ys = wyr(s) realizuje instrukcja:
yt = InverseLaplaceTransform[ys, s, t]
<Shift> + <Enter>
Ilustrację graficzną tak otrzymanej funkcji czasu y (t ) oznaczonej umownie symbolem yt
realizuje instrukcja
Plot[yt, {t, tmin, tmax}]
<Shift> + <Enter>
sporządzająca wykres funkcji yt przedziale zmienności czasu t od tmin do tmax.
27
Przykład kompletnego wydruku programu zawierającego opisy poszczególnych
instrukcji i realizującego obliczenia obwodu elektrycznego przeprowadzone w poprzednim
przykładzie pokazano na rysunku
28
29
Rys.16 . Wydruk programu realizującego obliczenia przebiegów sygnałów w obwodzie
elektrycznym RL omówionym w poprzednim przykładzie (instrukcja nr 7 <<PlotLegends`
oraz 3 ostatnie wiersze instrukcji nr 8 Plot są niezbędne tylko wtedy, gdy obok wykresu
ma być pokazana legenda zawierająca opisy linii )
3. Analiza dynamiki liniowych układów dyskretnych
3.1. Charakterystyki czasowe
Charakterystyki czasowe przedstawiają przebieg odpowiedzi układu w dziedzinie funkcji
czasu na sygnał wejściowy zmienny w czasie i mający znany przebieg; np. na sygnał
impulsowy, na sygnał skokowy , na sygnał liniowo narastający lub na dowolny inny sygnał o
znanym przebiegu. Charakterystyki czasowe można sporządzić metodami eksperymentalnymi
na podstawie pomiarów przebiegów sygnału wejściowego x (t ) i sygnału wyjściowego y (t )
zmierzonych na obiekcie rzeczywistym do którego wprowadza się sygnał wejściowy o
znanym przebiegu (najczęściej jest to sygnał skokowo zmienny) lub na podstawie analizy
znanego opisu matematycznego tego obiektu wyrażonego równaniem różniczkowym lub
transmitancją operatorową.
Rys. 17. Przykład skokowo zmiennego sygnału wejściowego x (t ) i sygnału wyjściowego
y (t ) będącego odpowiedzią obiektu na sygnał wejściowy
Charakterystyki czasowe można uzyskać metodami obliczeniowymi rozwiązując analitycznie
równanie różniczkowe opisujące zależność sygnału wyjściowego y (t ) od sygnału
wejściowego x (t ) doprowadzanego do obiektu ale można to zrealizować tyko wtedy, gdy
odpowiednie zależności analityczne są znane. Charakterystykę czasową można obliczyć
posługując się rachunkiem operatorowym lub rozwiązując to równanie metodami
numerycznymi bez poszukiwania analitycznego rozwiązania.
Do sporządzania charakterystyk czasowych można wykorzystywać różne postacie
sygnału wejściowego, najczęściej wykorzystuje się do tego celu następujące sygnały
impulsowe, sygnały skokowe i sygnały liniowo narastające.
Sygnał impulsowy nazywany impulsem szpilkowym lub deltą Diraca δ
30
Rys. 18. Sygnał impulsowy o bardzo krótkim czasie trwania
o powierzchni impulsu k
= k ∗ δ (t )
x( t )
któremu odpowiada transformata Laplace
X ( s)
= k
Sygnał skokowy
Rys. 19. Sygnał skokowo narastający
o przyroście xmax
x( t )
=
xmax ∗ 1(t )
X ( s)
=
xmax ∗
1
s
Sygnał liniowo narastający
31
Rys. 20. Sygnał liniowo narastający
o współczynniku nachylenia C = dy / dt
x( t )
= C ∗t
X ( s)
= C∗
1
s2
Do analizy charakterystyk czasowych można także wykorzystywać inne rodzaje sygnałów
zmiennych w czasie, np. sygnał harmoniczny powstający w chwili t = 0.
Sygnał harmoniczny
Rys.21 . Sygnał harmoniczny powstający w chwili t = 0
o amplitudzie A i o częstości kątowej
ω
x( t )
=
A ∗ sin ω ∗ t
=
A∗
X ( s)
ω
s2 + ω 2
3.2. Transmitancja operatorowa członu jednokanałowego
32
Dla dowolnego członu opisanego równaniem różniczkowym liniowym i mającego wszystkie
warunki początkowe równe zeru (tzw. „zerowe warunki początkowe”) równanie
różniczkowe tego członu
dny
d n −1 y
dy
an ∗
+ L + a1 ∗ + a0 ∗ y
+ an −1 ∗
dt
dt n
dt n −1
=
x (t )
po transformacji Laplace uwzględniającej zerowe warunki początkowe przybiera postać
(an ∗ s n + an −1 ∗ s n −1 + L + a1 ∗ s + a0 ) ∗ Y ( s ) =
X ( s)
z której można obliczyć transmitancję operatorową członu
G( s) =
Y ( s)
X ( s)
=
1
an ∗ s n + an −1 ∗ s n −1 + L + a1 ∗ s + a0
która jest stosunkiem transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału
wejściowego X(s). Transmitancja operatorowa nie zależy od natury fizycznej obiektu, określa
ona jedynie związki analityczne między transformatą sygnału wejściowego X(s) i
transformatą sygnału wyjściowego Y(s). Jeżeli warunki początkowe równania różniczkowego
opisującego własności członu w dziedzinie funkcji czasu są zerowe i człon jest opisany
równaniem różniczkowym liniowym to transmitancja operatorowa nie zależy od rodzaju ani
od przebiegu sygnałów i jest równie kompletnym opisem własności dynamicznych członu jak
równanie różniczkowe jednorodne opisujące własności tego członu w dziedzinie funkcji
czasu.
Mnożąc transmitancję operatorową członu G(s) przez transformatę sygnału
wejściowego X(s) otrzymuję się transformatę sygnału wyjściowego Y(s)
Y ( s) = G ( s) ∗ X (s)
odpowiadającego temu sygnałowi wejściowemu. Matematycznie można zrealizować także
inną operację – dzieląc transformatę sygnału wyjściowego przez transmitancję operatorową
członu można otrzymać transformatę sygnału wejściowego ale taka czynność w rzeczywistym
układzie fizycznym zazwyczaj nie jest możliwa.
Jeżeli mianownik transmitancji operatorowej zostanie przyrównany do zera, to tak
otrzymane równanie algebraiczne
an ∗ s n + an −1 ∗ s n −1 + L + a1 ∗ s + a0
= 0
jest równaniem charakterystycznym równania różniczkowego tego członu. W przypadku
członu opisanego równaniem różniczkowym o statecznym rozwiązaniu charakteryzującym się
tym, że y (t → ∞) = 0 jeżeli na ten człon nie działają żadne siły zewnętrzne wszystkie
pierwiastki równania charakterystycznego muszą być ujemne lub zespolone sprzężone o
ujemnych częściach rzeczywistych. Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego są
rzeczywiste, to odpowiedź układu na skokowy lub impulsowy sygnał wejściowy będzie
przebiegiem aperiodycznym, natomiast jeżeli pierwiastki te będą liczbami zespolonymi
33
sprzężonymi, to odpowiedzią będzie przebieg oscylacyjny. Znajomość pierwiastków
równania charakterystycznego jest przydatna m. in. w czasie analizy stabilności układów ze
sprzężeniem zwrotnym.
Przykład
Obwód elektryczny utworzony z 3 szeregowo połączonych elementów:
cewki o indukcyjności L = 0.3 H ,
rezystancji R = 60 Ω i
kondensatora o pojemności C = 0.15 µF
jest podłączony do źródła prądu o sile elektromotorycznej E (t ) V . W chwili t = 0 w tym
obwodzie już płynie prąd, i 0 = 1.2 A . Na podstawie różniczkowo – całkowego równania
tego obwodu
di
1 t
L ∗ + R ∗ i + ∗ ∫ i ∗ dt
dt
C 0
= E( t )
obliczyć:
• równanie transformaty natężenia prądu płynącego w obwodzie I ( s ) po skokowej
zmianie siły elektromotorycznej od 0 do 12 V dla niezerowych warunków
•
początkowych i0 = 1.2 A ,
równanie transformaty natężenia prądu płynącego w obwodzie I ( s ) po skokowej
zmianie siły elektromotorycznej od 0 do 12 V dla zerowych warunków
•
•
•
•
•
początkowych i0 = 0 A ,
równanie transmitancji operatorowej dla niezerowych warunków początkowych,
równanie transmitancji operatorowej dla zerowych warunków początkowych,
wartość natężenia prądu w obwodzie dla t → ∞ dla obydwóch wariantów warunków
początkowych,
przy pomocy programu Mathematica przeprowadzić odwrotną transformację
obliczonej transformaty natężenia prądu dla obydwóch wariantów warunków
początkowych,
przebiegi zmian natężenia prądu w obwodzie zilustrować graficznie w funkcji czasu
dla obydwóch wariantów warunków początkowych wykorzystując do tego celu
instrukcję Plot programu Mathematica.
3.2.1. Metoda operatorowa analizy charakterystyk czasowych
Metoda operatorowa jest narzędziem matematycznym bardzo przydatnym do analizy
czasowych charakterystyk różnych członów ale może być praktycznie wykorzystana tylko
wtedy, gdy oprócz transmitancji układu znana jest także transformata sygnału wejściowego
lub gdy znane są transformaty poszczególnych funkcji tworzących złożony sygnał wejściowy.
Sporządzanie opisu matematycznego, obliczenia transmitancji i sporządzanie
charakterystyk czasowych dla różnych postaci sygnału wejściowego z wykorzystaniem
rachunku operatorowego zostanie zilustrowane na przykładzie analizy dynamiki członu
34
inercyjnego drugiego rzędu wykorzystanego do modelowania drgań różnych obiektów
mechanicznych m. in do modelowania drgań pionowych przetwornika drgań mechanicznych
zawierającego masę bezwładną połączoną z drgającym podłożem za pośrednictwem
liniowego elementu sprężystego i wiskotycznego elementu tłumiącego.
Rys. 22. Dyskretny model przetwornika drgań z masą sejsmiczną posadowionego na podłożu
wykonującym drgania o różnej postaci zainicjowane w chwili t = 0 (impuls szpilkowy, skok jednostkowy,
przebieg liniowo narastający, przebieg harmoniczny)
Na skutek pionowego przemieszczenia drgającego podłoża elementy podatne
odkształcają się i przenoszą zmienną siłę z podłoża na masę sejsmiczną, elementy tłumiące
też wytwarzają zmienną siłę oporu, która także przenosi się z podłoża na masę sejsmiczną. Z
drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że w ruchu postępowym siła bezwładności masy
jest równa sumie wszystkich sił zewnętrznych działających na tę masę w kierunku przyjętym
za dodatni kierunek jej ruchu, tj w górę.
m∗
d2y
dt 2
=
∑ Rzewn
= b∗(
dx dy
− ) + c ∗ ( x − y)
dt dt
Tak uzyskane równanie różniczkowe uwzględnia wszystkie pionowe siły zmieniające się w
funkcji czasu natomiast nie uwzględnia stałej siły ciężkości nie mającej wpływu na drgania
układu jeżeli elementy sprężyste i tłumiące nie tracą kontaktu z masą ani z podłożem. Kolejne
człony licząc od lewej strony równania wyrażają:
x =
f (t )
y
m∗
- znana funkcja czasu opisująca pionowe przemieszczenie podłoża,
- nieznane pionowe przemieszczenie masy sejsmicznej,
d2y
dt 2
- siłę bezwładności masy sejsmicznej,
siła ta jest iloczynem masy i przyspieszenia pionowego działającego na tę masę,
b∗(
dx dy
− ) - siłę wiskotycznego tłumienia zastępczego tłumika drgań łączącego masę z
dt dt
podłożem,
siła ta jest iloczynem zastępczej stałej tłumienia tłumików drgań i różnicy prędkości
obydwóch końców tłumika,
35
c ∗ ( x − y)
- siłę odkształcenia zastępczego elementu sprężystego łączącego masę z
podłożem,
siła ta jest iloczynem zastępczej stałej sprężystości sprężyny i różnicy przemieszczeń
obydwóch końców sprężyny.
Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę otrzymuje się zwyczajne równanie
różniczkowe drugiego rzędu
m∗
d2y
dt 2
+ b∗(
dy dx
− ) + c ∗ ( y − x) = 0
dt dt
które można przekształcić do postaci, w której poszukiwane funkcje pionowego wychylenia
masy sejsmicznej (wychylenie, pierwsza i druga pochodna wychylenia) będące funkcjami
sygnału wyjściowego występują na lewej stronie a zadane funkcje czasu wymuszające
pionowe drgania podłoża i będące zmiennym sygnałem wejściowym f (t ) występują na
prawej stronie równania
m∗
d2y
dt 2
+b∗
dy
+c∗ y =
dt
f (t ) = b ∗
dx
+c∗x
dt
Dla uproszczenia zapisu równanie różniczkowe dzieli się stronami przez stałą sprężystości c
m d 2 y b dy
b dx
∗
+ ∗ +y =
∗ +x
c dt 2 c dt
c dt
i wprowadza się do niego symbol częstości nie tłumionych drgań własnych układu
stałej czasowej T2 = 1 / ω0
ω0
=
c
m
=
ω0 lub
1
T2
oraz symbol bezwymiarowego stopnia tłumienia drgań.
D =
b
bkryt
=
b
2∗ m∗c
=
b
2 ∗ m ∗ ω0
=
b ∗ ωo
2 ∗ m ∗ ω02
=
b ∗ ωo
2∗c
lub stałej czasowej T1 = b / c .
b
c
= 2∗D∗
1
ω0
= T1
36
Po uwzględnieniu tych symboli zapis równania różniczkowego przybiera inną, w pełni
równoważną, postać często stosowaną do opisu układów mechanicznych
1
ω02
∗
d2y
dt 2
+ 2∗
D
ω0
∗
dy
D dx
+ y = 2∗
∗ +x
dt
ω0 dt
lub jeszcze inną postać chętnie stosowaną w automatyce i elektronice.
T22 ∗
d2y
dt 2
+ T1 ∗
dy
dx
+ y = T1 ∗ + x
dt
dt
W tak otrzymanym zapisie równań różniczkowych kompletne własności dynamiczne tego
przetwornika drgań opisują tylko dwie wielkości niezależne od rodzaju sygnałów
wejściowych i wyjściowych:
częstość kątowa nie tłumionych drgań własnych ω0 lub stała czasowa T2
stopień tłumienia drgań D
lub stała czasowa T1 .
Po transformacji tych dwóch równań do obszaru zmiennej zespolonej przy założeniu
zerowych warunków początkowych otrzymuje się odpowiednie równania transformat
 1



D
D

∗ s2 + 2 ∗
∗ s + 1 ∗ Y ( s ) =  2 ∗
∗ s + 1 ∗ X ( s )
ω2

ω0
 ω0

 0

(T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1)∗ Y (s)
=
(T1 ∗ s + 1) ∗ X (s )
z których można obliczyć ogólne równanie transmitancji operatorowej dla wychylenia masy
przetwornika drgań z masą sejsmiczną.
G( s )
=
Y( s )
X (s)
1+ 2∗ D ∗
=
1
ω0
∗s
2
 1 
1

 ∗ s 2 + 2 ∗ D ∗
∗ s +1
ω0
 ω0 
=
1 + T1 ∗ s
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
Przyrównując do zera wyrażenie występujące w mianowniku transmitancji operatorowej
otrzymuje się równanie charakterystyczne równania różniczkowego
1
ω02
∗ s2 + 2 ∗
D
ω0
∗ s +1 = 0
które w zależności od wartości stopnia tłumienia D ma dwa pierwiastki zespolone
sprzężone lub dwa pierwiastki rzeczywiste
37
2

D
1
 − 4 ∗
− 2∗
±  2 ∗
ω0
ω02
 ω0 
1
2∗
D
s1,2
=
ω02
− 2∗
=
D
ω0
± 2∗
2∗
1
ω0
∗ D2 − 1
1
ω02
= ω0 ∗  − D ± D 2 − 1 


Obydwa pierwiastki równania charakterystycznego mają wartości rzeczywiste gdy
D2 − 1 > 0
lub zespolone sprzężone
s1,2
= ω0 ∗  − D ± j ∗ 1 − D 2 


gdy
D2 − 1 < 0
Można wykazać, że w przypadku pierwiastków rzeczywistych odpowiedź układu na
skokowy (lub impulsowy) sygnał wejściowy będzie przebiegiem aperiodycznym, natomiast
w przypadku pierwiastków zespolonych sprzężonych sygnał wyjściowy będzie przebiegiem
oscylacyjnym.
Znając transmitancję operatorową dowolnego obiektu np. przetwornika drgań z masą
sejsmiczną G(s ) i transformatę sygnału wejściowego wchodzącego do tego obiektu (np.
pionowego przemieszczenia podłoża) X (s ) można łatwo obliczyć transformatę sygnału
wyjściowego (np. wychylenia masy) Y ( s ) z równania
1+ 2∗ D ∗
Y( s )
= G( s ) ∗ X ( s )
=
2
1
ω0
∗s
 1 
1

 ∗ s 2 + 2 ∗ D ∗
∗ s +1
ω
ω
0
 0
∗ X ( s)
38
lub z innej postaci równania tego samego obiektu
Y( s )
= G( s ) ∗ X ( s )
=
1 + T1 ∗ s
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
∗ X ( s)
Wszystkie obliczenia niezbędne do sporządzenia charakterystyki czasowej przebiegu
sygnału wyjściowego y (t ) będącego odpowiedzią członu o znanym równaniu
n ... .. .
różniczkowym f ( y ,.. y , y, y, y ) = x (t ) na zadziałanie znanego sygnału wejściowego
x(t ) można sporządzić posługując się plikiem instrukcji programu Mathematica 7
realizujących kolejno następujące operacje:
obliczenie transformaty Laplace równania różniczkowego,
obliczenie transmitancji operatorowej G (s ) członu,
obliczenie trasformaty Laplace sygnału wejściowego X (s ) ,
obliczenie transformaty sygnału wyjściowego Y (s ) ,
obliczenie równania odpowiedzi członu w dziedzinie funkcji czasu y (t ) przez
przeprowadzenie odwrotnej transformacji Laplace dla transformaty sygnału
wyjściowego Y (s ) ,
sporządzenie wykresu funkcji y (t ) w przedziale czasu od t min do
Poniżej pokazano uproszczony zapis odpowiednich instrukcji, w którym wszystkie nazwy
funkcji wprowadzone przez użytkownika zapisano małymi literami dla uniknięcia kolizji z
nazwami wewnętrznych funkcji programu Mathematica 7 zaczynających się dużą literą.
ys = LaplaceTransform[ ft , t , s ] (* transformacja Laplace rownania rozniczkowego *)
gs = ys / xs (∗ obliczenie transmi tan cji operatorowej ∗)
xs = LaplaceTransform[ xt , t , s ] (* transformacja Laplace sygnalu wejsciowego *)
ys = gs ∗ xs (* obliczenie transformaty sygnalu wyjsciowego ∗)
yt = InverseLaplaceTransform[ ys, s, t ] (∗ odwrotna transformacja Laplace ∗)
rysnrx = Plot[ yt , t , t min, t max] (∗ rysowanie wykresu yt (t ) we wspolrzednych lin − lin ∗)
Pełny zapis kompletnych instrukcji programu realizującego obliczenia i obrazującego ich
wyniki zilustrowano na rysunkach 17 -21.
Z ogólnego równania różniczkowego uwzględniającego wszystkie zmienne siły
zewnętrzne działające na masę sejsmiczną
m∗
d2y
dt 2
=
∑ Rzewn
= b∗(
dx dy
− ) + c ∗ ( x − y)
dt dt
wynika, że zmienna składowa sumy sił zewnętrznych jest równa sile bezwładności i jest
równocześnie zmienną składową siły przenoszonej na podłoże. Wypadkowa siła przenoszona
na podłoże jest sumą stałej siły ciężkości i sumy sił zmiennych równej sile bezwładności.
39
Rsum
= m ∗ g + ∑ R zewn
= m∗g + m∗
d2y
dt 2
> 0
Jeżeli wypadkowa siła ma wartość dodatnią, to nie zachodzi obawa zaniku nacisku masy na
podłoże i oderwania się elementów od podłoża, ujemna wartość tej siły oznacza, że elementy
te mogą chwilowo tracić kontakt z podłożem lub z masą sejsmiczną jeżeli z masą i z
podłożem nie są trwale połączone. Z powyższego równania wynika, że warunek braku
oderwania przetwornika od podłoża jest spełniony, gdy
g+
d2y
dt
2
> 0
suma przyspieszenia ziemskiego i maksymalnej wartości zmiennej składowej ujemnego
przyspieszenia działającego na masę sejsmiczną jest większa od zera. Po transformacji
równania sił do obszaru zmiennej zespolonej z uwzględnieniem, że wartość iloczynu
m ∗ g = const występuje w równaniu jako wolnostojąca stała można obliczyć transformatę
Laplace
Rsum( s )
=
m∗g
+ m ∗ Y( s ) ∗ s 2
s
sumarycznej siły nacisku przetwornika na podłoże.
Charakterystyki czasowe członu inercyjnego drugiego rzędu opisanego powyższymi
równaniami i poddanemu działaniu sygnałów wejściowych o przebiegach zilustrowanych na
Rys. 23 obliczono przy pomocy programu Mathematica 7 i pokazano je na kolejnych
rysunkach.
40
Rys. 24. Wydruk początkowego fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego
obliczenia transmitancji operatorowej przetwornika drgań z masą sejsmiczną modelowanego
obiektem inercyjnym drugiego rzędu o częstotliwości nie tłumionych drgań własnych
f 0 = 120.5 Hz i o stopniu wiskotycznego tłumienia D = 0.2
41
Rys. 25. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego obliczenia i wykres
charakterystyki czasowej odpowiedzi ww modelu przetwornika drgań na impulsowy sygnał
wejściowy o powierzchni impulsu 0.0004 m ∗ s
42
charakterystyki czasowej odpowiedzi ww modelu przetwornika drgań na skokowy sygnał
wejściowy o przyroście wysokości ∆x = 0.05 m
43
charakterystyki czasowej odpowiedzi ww modelu przetwornika drgań na liniowo narastający
sygnał wejściowy o nachyleniu c = 2.5 m / s
44
charakterystyki czasowej odpowiedzi ww modelu przetwornika drgań zainicjowanej w chwili
t = 0 sygnałem harmonicznym o amplitudzie 0.025 m i o częstotliwości f pięciokrotnie
większej od częstotliwości nie tłumionych drgań własnych przetwornika wynoszącej
f 0 = 120.5 Hz
3.2.2. Czas zanikania procesów przejściowych
45
Na wykresach przebiegów odpowiedzi modelu przetwornika drgań z masą sejsmiczną
na różne postacie sygnału wejściowego występują dwa wyraźnie różniące się stany sygnału
wyjściowego:
1. Stan przejściowy, występujący od chwili początku zadziałania na przetwornik sygnału
wejściowego i trwający w czasie nie przekraczającym kilku okresów nie tłumionych
drgań własnych przetwornika.
2. Stan stacjonarny, występujący po zaniknięciu ww procesów przejściowych.
W równaniach wszystkich analizowanych odpowiedzi występują wyrażenia opisujące stan
przejściowy i stan ustalony tej odpowiedzi. Wyrażenia określające stany przejściowe są
mnożone przez człon zawierający iloczyn
e ( −151.425 − 741.827∗i)∗ t
= e −151.425∗ t ∗ e − i∗741.827 ∗ t
rzeczywistego wyrazu zanikającego ( dążącą do zera dla czasu t dążącego do
nieskończoności)
e − D ∗ω 0 ∗t
=
e − 151 . 425 ∗ t
i wyrazu urojonego
e − i ∗741.827∗t
= cos(741.827 ∗ t ) − i ∗ sin(741.827 ∗ t )
który zgodnie z wzorami Eulera
e ± j ∗ϕ = cosϕ ± j ∗ sin ϕ
znanymi z analizy matematycznej przedstawia przebiegi oscylacyjne o stałej amplitudzie.
Potwierdza to rozwiązanie uzyskane w wyniku odwrotnej transformacji ogólnej postaci
równania odpowiedzi obiektu inercyjnego drugiego rzędu na harmoniczny sygnał wejściowy
o częstości kątowej ω i o amplitudzie A przeprowadzonej instrukcją programu Mathematica
7
Wszystkie wyrażenia występujące w drugim i trzecim wierszu tak otrzymanego i
przekształconego rozwiązania
46
opisują procesy przejściowe ponieważ są mnożone współczynnik występujący w pierwszym
− D ∗ω 0 ∗t
wierszu i zawierający zanikający człon e
natomiast stan ustalony sygnału
wyjściowego opisują wyrażenia występujące w czwartym wierszu.
Jeżeli w wyrazie zanikającym uwzględni się związek częstości nietłumionych drgań
własnych ω0 z częstotliwością f 0 i okresem T0 tych drgań
ω0
= 2 ∗ π ∗ f0
=
2 ∗π
T0
to zanikający człon wykładniczy
e − D ∗ω0 ∗t = e
− 2∗π ∗ D ∗
t
T0
można uzależnić od wartości bezwymiarowego stopnia tłumienia D i od stosunku czasu t do
okresu nie tłumionych drgań własnych T0 przetwornika. Dla t / T0 → ∞ wartość tego
członu dąży do zera i wtedy wartość wszystkich wyrażeń mnożonych przez ten człon też dąży
do zera a to oznacza że wtedy w sygnale wyjściowym zanikają procesy przejściowe.
Zanikanie procesów przejściowych
0,8
0,7
e**D*omega*t
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
D*omega*t
Rys. 29. Przebieg zanikania procesów przejściowych
Tablica 2. wartości członu eksponencjalnego
47
2 ∗π ∗ D ∗
− 2∗π ∗ D ∗
e
t
T0
t
T0
=
=
1
2
3
4
5
6
0,368
0,135
0,05
0,018
0,007
0,0025
Z powyższego rysunku i z tablicy wynika, że wartość członu ekspotencjalnego wyrażającego
wpływ procesów przejściowych zmniejsza się poniżej 2% jeżeli wartość wykładnika potęgi
D ∗ ω0 ∗ t
= 2∗π ∗ D ∗
t
T0
〉
4
a to oznacza, że z dostateczną dla praktyki dokładnością można przyjąć, iż zanik procesu
przejściowego nastąpi gdy
t
T0
≥
2
π ∗D
Przebieg procesów przejściowych zilustrowany na rysunku dla różnych wartości
bezwymiarowego stopnia tłumienia D
48
Rys. 30. Przebiegi zaniku procesów przejściowych w przetworniku drgań z masą sejsmiczną
dla różnych wartości stopnia tłumienia D = 0.1(linia zielona), D = 0.15 (linia brązowa),
D = 0.5 (linia niebieska) i D = 1 (linia czerwona) w zależności od stosunku czasu t do
okresu nie tłumionych drgań własnych T0 przetwornika
wskazuje, że czas zanikania procesów przejściowych zależy w dużym stopniu od wartości
bezwymiarowego stopnia tłumienia D i od okresu nie tłumionych drgań własnych T0
modelowanego obiektu natomiast nie zależy od częstotliwości sygnału wejściowego. Dla
krytycznej wartości stopnia tłumienia D = 1.0 proces przejściowy zanika gdy t / T0 > 0.64 ,
dla D = 0.5 - gdy t / T0 > 1.3 natomiast w przypadku niewielkiego tłumienia
odpowiadającego D = 0.1 zanik procesu przejściowego następuje dopiero gdy t / T0 > 6.4
tzn. po upływie czasu równego 6.4 okresom nie tłumionych drgań własnych przetwornika.
Dla analizowanego przetwornika drgań o okresie nie tłumionych drgań własnych
T0 = 0.0083 s i o stopniu tłumienia D = 0.2 dostateczny zanik procesów przejściowych
nastąpi gdy t / T0 ≥ 3.2 tzn po upływie czasu t = 3.2 ∗ 0.0083 = 0.0264 s licząc od
chwili zadziałania sygnału wejściowego na przetwornik drgań modelowany członem
inercyjnym drugiego rzędu.
Rys. 31. Stan przejściowy i stan ustalony sygnału wyjściowego w przypadku gdy
częstotliwość sygnału wejściowego f jest równa 20 % częstotliwości nie tłumionych drgań
własnych przetwornika drgań z masą sejsmiczną wynoszącej f 0 = 120,5 Hz
49
częstotliwość sygnału wejściowego f jest równa 75 % częstotliwości nie tłumionych drgań
własnych przetwornika drgań z masą sejsmiczną wynoszącej f 0 = 120,5 Hz
częstotliwość sygnału wejściowego f jest równa 125 % częstotliwości nie tłumionych
drgań własnych przetwornika drgań z masą sejsmiczną wynoszącej f 0 = 120,5 Hz
50
częstotliwość sygnału wejściowego f jest równa 500 % częstotliwości nie tłumionych
drgań własnych przetwornika drgań z masą sejsmiczną wynoszącej f 0 = 120,5 Hz
Analiza dynamiki członu inercyjnego drugiego rzędu wykorzystanego do modelowania
dynamiki obiektu będącego przetwornikiem drgań z masą sejsmiczną wykazała, że
charakterystyka czasowa przebiegu sygnału wyjściowego y (t ) będącego odpowiedzią
obiektu na dowolny sygnał wejściowy x (t ) działający na obiekt od chwili t = 0 zawiera:
przebieg przejściowy spowodowany stanami przejściowymi występującymi w
obiekcie bezpośrednio po zadziałaniu sygnału wejściowego zmieniającego pierwotny
stan obiektu,
przebieg ustalony odpowiadający ustalonej części przebiegu sygnału wejściowego i
występujący dopiero po zaniknięciu stanów przejściowych w obiekcie.
W przypadku zadziałania na obiekt harmonicznego sygnału wejściowego
x = A ∗ sin(ω ∗ t )
przebieg przejściowej części sygnału wyjściowego jest opisany funkcjami złożonymi z sum i
iloczynów funkcji harmonicznych i funkcji ekspotencjalnych, natomiast ustalona część
sygnału wyjściowego jest opisana funkcją harmoniczną
y = B ∗ sin(ω ∗ t ± γ )
o niezmienionej częstości kątowej ω ale zazwyczaj ma ona inną amplitudę i jest fazowo
przesunięta (opóźniona) o pewien kąt γ w stosunku do sygnału wejściowego. Z analizy
ustalonej części przebiegów sygnałów wejściowych i wyjściowych zilustrowanych na
rysunkach 24 – 27 wynikają następujące wnioski:
51
Jeżeli częstotliwość sygnału wejściowego f jest znacznie mniejsza od
częstotliwości nie tłumionych drgań własnych obiektu (rys. 30 - f / f 0 = 0.2 ), to
amplituda ustalonej części sygnału wyjściowego nie różni się w istotnym stopniu od
amplitudy sygnału wejściowego, wzajemne przesunięcie fazowe obydwóch
sygnałów nie występuje;
Jeżeli częstotliwość sygnału wejściowego f mieści się w zakresie okołorezonansowym obiektu tj. jest zbliżona do częstotliwości nie tłumionych drgań
własnych obiektu (rys. 31 - f / f 0 = 0.75 i rys 26 - f / f 0 = 1.25 ), to amplituda
ustalonej części sygnału wyjściowego jest znacząco większa od amplitudy sygnału
wejściowego i występuje zauważalne opóźnienie fazowe sygnału wyjściowego w
stosunku do sygnału wejściowego, w zakresie częstotliwości f > f 0 opóźnienie to
jest znacznie większe od opóźnienia występującego w zakresie
częstotliwości f < f 0 ;
Jeżeli częstotliwość sygnału wejściowego f jest znacznie większa od częstotliwości
nie tłumionych drgań własnych obiektu (rys. 29 - f / f 0 = 5.0 ), to amplituda
ustalonej części sygnału wyjściowego jest znacząco mniejsza od amplitudy sygnału
wejściowego, występuje znaczne opóźnienie fazowe sygnału wyjściowego w
stosunku do sygnału wejściowego.
Charakterystyki czasowe uzyskane w wyniku analizy ustalonej części przebiegów sygnałów
harmonicznych dają dobre wyniki tylko dla jednej analizowanej częstotliwości sygnału
wejściowego dlatego do analizy takich sygnałów bardziej przydatne są charakterystyki
częstotliwościowe obrazujące wyniki obliczeń w szerokim zakresie częstotliwości sygnałów.
Program Mathematica daje możliwość analizy charakterystyk czasowych obiektu, do
którego doprowadzony jest sygnal wejściowy złożony z kilku sygnałów impulsowych kolejno
po sobie następujących w pewnych odstępach czasu. Do przygotowania opisu
matematycznego takiego sygnału wejściowego w dziedzinie funkcji czasu służy instrukcja
zawierająca zapisy funkcji czasu:
impulsu szpilkowego (c1*DiracDelta[t-t1] )
opóźnionego o czas t1
skoku jednostkowego (c2*HevisideTheta[t-t2]) opóźnionego o czas t2
Czasy opóźnienia (t1 i t2) są liczone od chwili t=0 odpowiadającej początkowi obliczeń,
obydwie funkcje są mnożone przez odpowiednie stałe (c1 i c2). Przykład wydruku takiej
instrukcji (In[14]) opisującej funkcję czasu x5t zawierającą dwa kolejno po sobie
następujące impulsy szpilkowe (dodatni i ujemny) o polu pimp i dwa kolejno po sobie
następujące skoki jednostkowe (dodatni i ujemny) o przyroście asko opóźnione o n – tą
wielokrotność czasu td oraz przykład instrukcji (In[15]) realizującej transformację funkcji
czasu do dziedziny zmiennej zespolonej zawiera poniższy fragment wydruku programu.
Pełny wydruk programu zawierającego obliczenia i wykres charakterystyki czasowej
odpowiedzi członu inercyjnego 2 rzedu na taki złożony sygnał wejściowy zamieszczono
poniżej.
52
Rys. 35. Wydruk programu Mathematica obliczającego sygnał wyjściowy odpowiedzi członu
inercyjnego drugiego rzędu (przetwornika drgań) na sygnał wejściowy zawierający ciąg
sygnałów impulsowych przesuniętych w czasie (+impuls, -impuls, +skok, -skok) wraz z
najprostszą postacią instrukcji Plot obrazującej przebieg dwu funkcji: sygnału wejściowego
x 5t i sygnału wyjściowego y5t
53
Rys. 36. Rozszerzona instrukcja Plot (bez legendy) i wykres zobrazowany tą instrukcją
54
Rys. 37. Instrukcja wczytująca pakiet opisu legendy i rozszerzona instrukcja Plot, w której 3
ostatniewiersze tworzą legendę wykresu zobrazowanego tą instrukcją
Przykład
Obwód elektryczny utworzony z 3 szeregowo połączonych elementów:
cewki o indukcyjności L = 0.3 H ,
rezystancji R = 60 Ω i
kondensatora o pojemności C = 0.15 µF
jest podłączony do źródła prądu o sile elektromotorycznej E (t ) V . W chwili t = 0 w tym
obwodzie nie płynie żaden prąd, i 0 = 0 A . Na podstawie różniczkowo – całkowego
równania tego obwodu
55
di
1 t
L ∗ + R ∗ i + ∗ ∫ i ∗ dt
dt
C 0
= E( t )
obliczyć:
• równanie transformaty natężenia prądu I(s) płynącego w obwodzie po podłączeniu
•
•
do źródła prądu o sile elektromotorycznej E ( t ) ,
równanie transmitancji operatorowej G (s) = I(s) / E (s) dla zerowych warunków
początkowych obwodu,
równanie sygnału wejściowego złożonego 1 skokowego przyrostu napięcia o 6V i 1
impulsowego przyrostu napięcia o polu impulsu = 2.5 V ∗ sec opóźnionego o
1.5 sec w stosunku do sygnału skokowego,
•
•
•
•
przy pomocy programu Mathematica przeprowadzić transformację Laplace sygnału
wejściowego,
obliczyć transformatę sygnału wyjściowego (przebiegu prądu w obwodzie)
przy pomocy programu Mathematica przeprowadzić odwrotną transformację
obliczonej transformaty natężenia prądu ,
przebiegi zmian natężenia prądu w obwodzie zilustrować graficznie w funkcji czasu
dyrektywą Plot
3.3. Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe odnoszą się tylko do ustalonych stanów obiektu
poddanego działaniu harmonicznych sygnałów wejściowych. Charakterystyki te zawierają
ważne informacje o wpływie częstotliwości sygnału wejściowego na współczynnik
wzmocnienia wyrażony stosunkiem amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału
wejściowego oraz o wpływie tej częstotliwości na kąt przesunięcia fazowego sygnału
wyjściowego w stosunku do sygnału wejściowego.
56
Rys. 38. Transmisja sygnałów zawierających składową harmoniczną przez człon liniowy
obrazująca stosunek amplitud składowej harmonicznej sygnału wyjściowego Y max do
amplitudy sygnału wejściowego X max oraz kąt opóźnienia fazowego γ sygnału
wyjściowego w stosunku do sygnału wejściowego
Znajomość charakterystyk częstotliwościowych poszczególnych członów układu regulacji jest
bardzo istotna ponieważ charakterystyki te są podstawą oceny dynamiki tych członów i
stabilności całego układu regulacji. Charakterystyki częstotliwościowe nie zawierają żadnych
informacji o procesach przejściowych i dlatego do bezpośredniej oceny takich procesów nie
są przydatne. Charakterystyki częstotliwościowe można sporządzić na podstawie pomiarów
przebiegów sygnału wejściowego x (t ) i sygnału wyjściowego y (t ) przeprowadzonych na
obiekcie rzeczywistym do którego wprowadza się harmoniczny sygnał wejściowy
x(t ) = X max∗ sin(ω ∗ t )
o bardzo wolno zmieniającej się częstości kątowej ω lub na podstawie analizy znanego
opisu matematycznego tego obiektu wyrażonego transmitancją operatorową przetworzoną do
postaci transmitancji widmowej.
3.3.1. Transmitancja widmowa
57
Do analizy dynamiki obiektu poddanego działaniu harmonicznych sygnałów
wejściowych najodpowiedniejsze jest poddanie równania różniczkowego transformacji
Fouriera pozwalającej uzyskać transmitancję widmową obiektu. Transmitancja widmowa jest
bardzo przydatna do sporządzania charakterystyk częstotliwościowych ilustrujących
własności dynamiczne różnych układów poddanych działaniu ustalonych sygnałów
harmonicznych (o niezmiennej amplitudzie i częstotliwości) i do tego celu jest chętnie
stosowana, zwłaszcza w elektronice i automatyce. Transmitancja widmowa nie zawiera
informacji o stanach przejściowych obiektu i o stałych składowych sygnału wejściowego xm
i sygnału wyjściowego y m .
W praktyce do otrzymania transmitancji widmowej wykorzystuje się jej bliski
związek z transmitancją operatorową ponieważ równanie transmitancji widmowej jest
identyczne z urojoną częścią równania transmitancji operatorowej. W celu otrzymania
równania transmitancji widmowej przekształca się równanie transmitancji operatorowej
przyjmując, że część rzeczywista δ zespolonego operatora s = δ + j ∗ ω jest równa
zeru a to w praktyce oznacza zastąpienie operatora s operatorem j ∗ ω , w którym
symbol j oznacza liczbę urojoną
j = −1.
G ( j ω ) = G ( s ) s = jω
Jest to spostrzeżenie mające istotne znaczenie praktyczne ponieważ pozwala ono bardzo
łatwo wyprowadzić równanie transmitancji widmowej gdy znana jest transmitancja
operatorowa układu.
Transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną wyrażającą stosunek zespolonej
amplitudy harmonicznego sygnału wyjściowego do zespolonej amplitudy sygnału
wejściowego
Rys. 39. Ilustracja graficzna
transmitancji widmowej na płaszczyźnie
liczb zespolonych
Moduł transmitancji widmowej
G ( jω )
=
Re[G ( jω )]2 + Im[G ( jω )]2
=
Y max
X max
58
wyraża rzeczywisty współczynnik wzmocnienia sygnałów harmonicznych w obiekcie i jest
stosunkiem rzeczywistej amplitudy harmonicznego sygnału wyjściowego Y max do
rzeczywistej amplitudy harmonicznego sygnału wejściowego X max . Moduł transmitancji
widmowej zazwyczaj jest funkcją częstości kątowej ω sygnału wejściowego
Argument transmitancji
γ (ω ) = arc tg
Im[G ( jω )]
= ϕ (Y max) − ϕ ( X max)
Re[G ( jω )]
Wyraża kąt przesunięcia fazowego γ harmonicznego sygnału wyjściowego y (t ) w
stosunku do harmonicznego sygnału wejściowego x (t ) , argument transmitancji widmowej
też zazwyczaj jest funkcją częstości kątowej ω sygnału wejściowego.
Charakterystyki częstotliwościowe analizowanego obiektu są graficznym obrazem
transmitancji widmowej sporządzonym dla harmonicznych sygnałów wejściowych o różnych
wartościach częstości kątowej lub częstotliwości tego sygnału. Charakterystyki
częstotliwościowe przedstawiają zależność modułu transmitancji widmowej (współczynnika
wzmocnienia, stosunku amplitud) i kąta przesunięcia fazowego (opóźnienia fazowego) dla
sygnałów harmonicznych w zależności od częstości kątowej ω [rad/s] lub częstotliwości f
[cykl/s] sygnału wejściowego. W elektronice i automatyce powszechne zastosowanie znajdują
charakterystyki częstotliwościowe amplitudowo fazowe wykreślane na płaszczyźnie liczb
zespolonych o współrzędnych ( Im, Re ) lub na płaszczyźnie o współrzędnych moduł
transmitancji widmowej G ( jω ) , kąt przesunięcia fazowego γ . W mechanice chętniej jest
używany układ dwu oddzielnych charakterystyk złożony z charakterystyki amplitudowej
wykreślonej na płaszczyźnie o w współrzędnych moduł transmitancji widmowej G ( jω )
oraz częstotliwość f (lub odpowiadająca jej częstość kątowa ω ) oraz z charakterystyki
fazowej wykreślonej na płaszczyźnie o współrzędnych kąt przesunięcia fazowego γ oraz
częstotliwość f (lub odpowiadająca jej częstość kątowa ω ).
Równanie transmitancji widmowej jest liczbą zespoloną powstałą przez przeksztalcenie
ilorazu dwóch wielomianów, w każdym z tych wielomianów zazwyczaj występują wyrazy
rzeczywiste Re zależne od częstości kątowej sygnału ω i wyrazy urojone Im również
zależne od częstości kątowej sygnału. W trakcie obliczania transmitancji widmowej wykonuję
się podstawowe działania algebraiczne na liczbach zespolonych zgodnie z podstawowymi
zasadami działań algebraicznych na tych liczbach.
Dodawanie i odejmowanie dwu liczb zespolonych
G ( jω ) = G1( jω ) + G 2( jω ) =
{Re 1(ω ) +
j ∗ Im 1(ω )} + {Re 2(ω ) + j ∗ Im 2(ω )}
najwygodniej jest wykonywać na liczbach zespolonych podanych w postaci algebraicznej
ponieważ sumowanie liczb zespolonych polega na oddzielnym sumowaniu ich części
rzeczywistych i na oddzielnym sumowaniu ich części urojonych.
Im[(G (ω )] = Im[G1(ω )] + Im[G 2(ω )]
Re[(G (ω )] = Re[G1(ω )] + Re[G 2(ω )]
59
Natomiast mnożenie i dzielenie liczb zespolonych najwygodniej jest wykonywać na liczbach
zespolonych podanych w postaci wektorowej. W przypadku mnożenia dwu liczb zespolonych
G ( jω ) = G1( jω ) ∗ G 2( jω )
moduł ich iloczynu jest równy iloczynowi modułów poszczególnych liczb a kąt fazowy jest
sumą kątów fazowych poszczególnych liczb.
G ( jω )
=
G1( jω ) ∗ G 2( jω )
γ (ω ) = γ 1(ω ) + γ 2(ω )
W przypadku dzielenia dwu liczb zespolonych
G ( jω ) =
G1( jω )
G 2( jω )
moduł ich ilorazu jest równy ilorazowi modułów poszczególnych liczb a kąt fazowy jest
różnicą kąta fazowego dzielnej i kąta fazowego dzielnika.
G ( jω )
=
G1( jω )
G 2( jω )
γ (ω ) = γ 1(ω ) − γ 2(ω )
W wyniku przekształceń równanie transmitancji widmowej można doprowadzić do postaci
Re1(ω ) + j ∗ Im1(ω )
Re 2(ω ) + j ∗ Im 2(ω )
G ( jω ) = Re(ω ) + j ∗ Im(ω ) =
w której występuje iloraz dwu liczb zespolonych i z tej postaci można obliczyć moduł
transmitancji widmowej.
G ( jω )
=
Y max
X max
=
Re(ω ) + Im(ω )
2
2
=
Re1(ω ) 2 + Im1(ω ) 2
Re 2(ω ) 2 + Im 2(ω ) 2
oraz kąt przesunięcia fazowego
γ (ω ) = arc tg
Im(ω )
Re(ω )
= arc tg
Im1(ω )
Im 2(ω )
− arc tg
Re1(ω )
Re 2(ω )
sygnału wyjściowego y (t ) w stosunku do sygnału wejściowego x (t ) .
60
W przypadku sporządzania charakterystyki amplitudowo – fazowej przedstawiającej
graficzny obraz transmitancji widmowej na płaszczyźnie liczb zespolonych celowe jest
doprowadzenie równania transmitancji widmowej do postaci jednej liczby zespolonej
zapisanej w postaci algebraicznej. W tym celu licznik i mianownik ilorazu dwu liczb
zespolonych wyrażającego transmitancję widmową mnoży się przez liczbę zespoloną
sprzężoną z liczbą zespoloną występującą w mianowniku.
G1( jω )
Re1(ω ) + j ∗ Im1(ω )
=
=
G 2( jω )
Re 2(ω ) + j ∗ Im 2(ω )
Re1(ω ) + j ∗ Im1(ω ) Re 2(ω ) − j ∗ Im 2(ω )
∗
=
Re 2(ω ) + j ∗ Im 2(ω ) Re 2(ω ) − j ∗ Im 2(ω )
Re1(ω ) ∗ Re 2(ω ) + Im1(ω ) ∗ Im 2(ω ) + j ∗ (− Re1(ω ) ∗ Im 2(ω ) + Re 2(ω ) ∗ Im1(ω ) )
G ( jω ) =
=
=
=
(Re 2(ω ) )2 + (Im 2(ω ) )2
Re1(ω ) ∗ Re 2(ω ) + Im1(ω ) ∗ Im 2(ω )
(Re 2(ω ))2 + (Im 2(ω ))2
+ j∗
Re 2(ω ) ∗ Im1(ω ) − Re1(ω ) ∗ Im 2(ω )
(Re 2(ω ))2 + (Im 2(ω ))2
Zaawansowane programy matematyczne np. Mathematica 7, w ograniczonym zakresie
także arkusz kalkulacyjny Excel i inne programy zawierają procedury realizujące ww
działania algebraiczne na liczbach zespolonych. W programie Mathematica 7 do obliczeń
charakterystyk częstotliwościowych przydatne są m. in. następujące dyrektywy:
ys = LaplaceTransform[ ft , t , s ] (* transformacja Laplace rownania rozniczkowego *)
gs = ys / xs (∗ obliczenie transmi tan cji operatorowej ∗)
s = I ∗ ω (∗ zmiana rodzaju operatora ∗)
gjω = gs (∗ przeksztalcenie transmi tan cji operatorowej w widmowa ∗)
mgjω = Abs[ gjω ] (∗ obliczenie mod ulu transmi tan cji widmowej = wzmocn ∗)
agjω = Arg[ gjω ] (∗ obliczenie arg umentu transmi tan cji widmowej = γ ∗)
rgjω = Re[ gjω ] (∗ obliczenie rzeczywistej czesci transmi tan cji widmowej ∗)
igjω = Im[ gjω ] (∗ obliczenie urojonej czesci transmi tan cji widmowej ∗)
rysnrx = Plot[] (∗ rysowanie wykresu we wspolrzednych lin − lin ∗)
rysnrx = LogLogPlot[] (∗ rysowanie wykresu we wspolrzednych log− log ∗)
rysnrx = LogLinearPlot[] (∗ rysowanie wykresu we wspolrzednych log − lin ∗)
rysnrx = ParametricPlot[] (∗ rysowanie wykresu parametrycznego lin − lin ∗)
Arkusz kalkulacyjny Excel zawiera procedury realizujące działania algebraiczne na liczbach
zespolonych ale nie oblicza transformat Laplace a to znacząco ogranicza jego przydatność do
analizy dynamiki różnych członów i układów metodami operatorowymi ponieważ równania
odpowiednich transmitancji trzeba wyprowadzać metodami rachunkowymi.
Technika sporządzania charakterystyki częstotliwościowej zostanie omówiona na
przykładzie członu inercyjnego drugiego rzędu modelującego przetwornik drgań z masą
sejsmiczną, dla którego równanie transmitancji operatorowej
61
=
G( s )
Y( s )
=
X (s)
1+ 2∗ D ∗
=
1
ω0
∗s
2
 1 
1

 ∗ s 2 + 2 ∗ D ∗
∗ s +1
ω
ω
0
 0
=
1 + T1 ∗ s
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
wyprowadzono i omówiono w poprzednich rozdziałach. Do sporządzenia charakterystyki
częstotliwościowej niezbędna jest znajomość równania transmitancji widmowej, które
otrzymuje się z równania transmitancji operatorowej podstawiając tam tylko część urojoną
zespolonego operatora s, co w praktyce sprowadza się do podstawienia
= δ + j ∗ω
s
j ∗ω
=
δ =0
=
−1 ∗ω
Dla sygnałów harmonicznych równanie transmitancji widmowej wyrażające stosunek
zespolonych amplitud wychyleń jest liczbą zespoloną, która po uporządkowaniu wyrazów
przybiera taką postać
G( j ∗ω )
=
Y( j ∗ω )
X ( j ∗ω )
1+ j ∗ 2∗ D ∗
=
Re L + j ∗ Im L
Re M + j ∗ Im M
= Re + j ∗ Im =
ω
ω0
2
ω 
ω
 + j ∗ 2 ∗ D ∗
1 − 
ω0
 ω0 
=
=
1 + j ∗ T1 ∗ ω
1 − T22 ∗ ω 2 + j ∗ T1 ∗ ω
z której posługując się zasadami działania na liczbach zespolonych można obliczyć moduł
transmitancji widmowej wyrażające stosunek rzeczywistych wartości amplitudy drgań masy
do amplitudy drgań podłoża
G( jω )
=
Y(max)
X (max)
=
Re 2L + Im 2L
Re 2M + Im 2M
=
1 + (T1 ∗ ω )2
(1 − (T2 ∗ ω ) )
2 2
+ (T1 ∗ ω )
= ν
2
nazywany współczynnikiem wzmocnienia amplitudy ν , który dla prostych drgań
harmonicznych jest równocześnie współczynnikiem wzmocnienia amplitudy wychylenia,
amplitudy prędkości i amplitudy przyspieszenia.
Kąt fazowego przesunięcia sygnału wyjściowego (wychylenia masy sejsmicznej) y (t ) w
stosunku do sygnału wejściowego (wychylenia podłoża) x (t ) określa równanie
γ
= arctg
Im L
Im
− arctg M
Re L
Re M
T ∗ω
T1 ∗ ω
= arctg 1
− arctg
1
1 − (T2 ∗ ω )2
62
Można wykazać, że wartość liczbowa współczynnika wzmocnienia amplitud
Y(max)
X (max)
=
ω ∗ Y(max)
ω ∗ X (max)
=
ω 2 ∗ Y(max)
=
ω ∗ X (max)
2
v( y max)
v( x max)
=
a( y max)
a( x max)
jest identyczna dla wychylenia, dla prędkości i dla przyspieszenia jeżeli częstość kątowa
jest niezmienna.
Amplituda harmonicznej siły działającej na masę jest równa amplitudzie siły
bezwładności będącej iloczynem wartości masy m i amplitudy harmonicznego
przyspieszenia a( y max) działającego na tę masę a jak wykazano przyspieszenie to
a( y max)
= ν ∗ a( x max)
=ν
ω
= ν ∗ X max ∗ ω 2
jest iloczynem współczynnika wzmocnienia ν i amplitudy przyspieszenia a(x max)
działającego na podłoże wykonujące drgania o zadanej amplitudzie X max i częstości ω .
Amplituda siły przenoszonej przez element sprężysty i przez tłumik na drgające podłoże
R(max)
= − m ∗ a( y max)
= − m ∗ ω 2 ∗ Y(max)
= m ∗ a( x max) ∗ν
jest równa amplitudzie siły bezwładności działającej na masę i zależy od amplitudy
przyspieszenia podłoża a( x max) oraz od współczynnika wzmocnienia amplitudy ν .
Jeżeli wartość współczynnika wzmocnienia amplitudy wychylenia ν = 1.0 (tak jest gdy
f < f 0 ), to wtedy amplituda siły działającej na masę i przenoszonej przez elementy łączące
tę masę z drgającym podłożem jest wprost proporcjonalna do amplitudy przyspieszenia drgań
działającego na drgające podłoże.
a ( x max)
=
R(max)
m
∗ν
Spostrzeżenie to jest wykorzystywane w przetwornikach drgań mierzących przyspieszenia
ponieważ przetworniki takie mierzą sumaryczną siłę przenoszoną na masę sejsmiczną przez
elementy sprężyste i tłumiące łączące tę masę z drgającym podłożem i na podstawie pomiaru
tej siły pozwalają obliczyć wartość przyspieszenia drgań wykonywanych przez podłoże
Program Mathematica 7 jest wyposażony w procedury realizujące działania na liczbach
zespolonych a to dla znanego równania transmitancji widmowej pozwala łatwo uzyskać
wyniki obliczeń modułu i argumentu tej transmitancji oraz pozwala zilustrować te wyniki w
postaci różnych charakterystyk częstotliwościowych. Do realizacji takich obliczeń konieczne
jest jedynie przetworzenie równania transmitancji operatorowej G ( s ) w celu uzyskania
równania transmitancji widmowej G ( jω ) natomiast dalsze przekształcanie równania
transmitancji widmowej niezbędne do uzyskania równania modułu i argumentu tej
transmitancji zrealizuje sam program. W zapisie Mathematica liczbę urojoną j =
zaleca się oznaczyć symbolem I .
−1
63
Rys. 40. Wydruk początkowego fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego
przekształcenia transmitancji widmowej potrzebne do obliczenia charakterystyk
częstotliwościowych przetwornika drgań z masą sejsmiczną modelowanego obiektem
64
inercyjnym drugiego rzędu o częstotliwości nie tłumionych drgań własnych f 0 = 120.5 Hz
i o stopniu wiskotycznego tłumienia D = 0.2
Rys. 41. Wydruk fragmentu programu Mathematica 7 zawierającego instrukcje graficzne i
wykres charakterystyki częstotliwościowej modułu transmitancji widmowej (współczynnika
wzmocnienia amplitudy sygnału wyjściowego w stosunku do amplitudy harmonicznego
sygnału wejściowego) ww modelu przetwornika drgań
65
wykres charakterystyki częstotliwościowej argumentu transmitancji widmowej (kąta
fazowego przesunięcia (opóźnienia) sygnału wyjściowego w stosunku do sygnału
wejściowego ) ww modelu przetwornika drgań
66
wykres charakterystyki amplitudowo – fazowej ww modelu przetwornika drgań
67
wykres Blacka obrazujący charakterystkę amplitudowo – fazową ww modelu przetwornika
drgań
68
Jeżeli program realizujący działania na liczbach zespolonych nie jest dostępny, to
charakterystyki częstotliwościowe można obliczyć przy pomocy dowolnego kalkulatora, ale
wtedy nakład pracy jest znacznie większy. Przykład takich obliczeń zawartych w tablicy
arkusza kalkulacyjnego EXCEL zilustrowano na poniższym rysunku.
G( j ∗ω )
G ( jω)
=
=
Y( j ∗ω )
X ( j ∗ω )
Y(max)
X (max)
γ = γL − γM
=
=
Re L + j ∗ Im L
Re M + j ∗ Im M
Re 2L + Im 2L
1+ j ∗ 2∗ D ∗
=
ω
ω0
2
ω 
ω
 + j ∗ 2 ∗ D ∗
1 − 
ω0
 ω0 
= ν =
PIERWIASTEK (1 + C^ 2)
PIERWIASTEK (B^ 2 + C^ 2)
Re 2M + Im 2M
Im
Im
= arctg L − arctg M = ATAN (C / 1) − ATAN (C / B)
Re L
Re M
Im = ν ∗ sin γ = D ∗ SIN (H)
Re = ν ∗ cos γ = D ∗ COS (H )
Rys. 45. Wycinek arkusza kalkulacyjnego Excel zawierający fragment tablicy z wynikami obliczeń
charakterystyki częstotliwościowej modułu „ni” i kąta przesunięcia fazowego „gamma (ni)” transmitancji
widmowej przetwornika drgań z masą sejsmiczną dla bardzo małego stopnia tłumienia D = 0.02 w
zależności od stosunku częstotliwości drgań podłoża „f” do częstotliwości drgań własnych masy
sejsmicznej „fo” oraz równania wykorzystane do obliczeń zawartych w tej tablicy
69
Wzmocnienie amplitudowe
100
10
D = 0,02
D = 0,10
D = 0,50
D = 1,00
ni
1
0,1
0,01
Rys. 46. Charakterystyka
amplitudowa przetwornika drgań z
masą sejsmiczną przedstawiająca
stosunek „ni” amplitudy
harmonicznego wychylenia masy
sejsmicznej do amplitudy
wychylenia podłoża wykonującego
drgania harmoniczne w zależności
od stosunku częstotliwości drgań
podłoża „f” do częstotliwości drgań
własnych masy sejsmicznej „fo”
0,001
0,01
0,1
1
10
100
f / fo
Kąt fazowy
0
gama
-45
D = 0,02
D = 0,10
D = 0,50
D = 1,00
-90
-135
Rys. 47. Charakterystyka fazowa
przetwornika drgań z masą
sejsmiczną przedstawiająca
zależność kąta „gamma”
przesunięcia fazowego
sejsmicznej w stosunku do
drgania harmoniczne w zależności
od stosunku częstotliwości drgań
podłoża „f” do częstotliwości drgań
własnych masy sejsmicznej „fo”
-180
0,01
0,1
1
10
100
f / fo
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
5
Im (ni)
0
D = 0,02
D = 0,10
D = 0,50
D = 1,00
-5
-10
-15
amplitudowo – fazowa przetwornika
drgań z masą sejsmiczną
przedstawiająca zależność części
urojonej „Im(ni)”transmitancji
widmowej od części rzeczywistej
„Re(ni)” transmitancji widmowej
przetwornika drgań z masą
sejsmiczną
-20
-25
-15
-10
-5
0
5
10
15
Re (ni)
70
Wykres Blacka
100
10
D = 0,02
D = 0,10
D = 0,50
D = 1,00
ni
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
-225
-180
-135
-90
-45
amplitudowo – fazowa przetwornika
drgań z masą sejsmiczną
sporządzona we współrzędnych
Blacka przedstawiająca zależność
modułu „ni”transmitancji
widmowej od kąta „gamma”
przesunięcia fazowego
sejsmicznej w stosunku do
drgania harmoniczne
0
gamma
Z analizy zależności zilustrowanych na wykresach wynika, że są trzy przedziały wartości
stosunku częstotliwości drgań podłoża do częstotliwości drgań własnych układu złożonego z
masy sejsmicznej i elementów podatnych łączących tę masę z drgającym podłożem, w
każdym z tych przedziałów inne są własności dynamiczne układu.
• W zakresie wartości stosunku częstotliwości drgań podłoża do częstotliwości drgań
własnych układu masa sejsmiczna – element podatny f/fo mniejszych od 0.5 (sztywne
połączenie masy sejsmicznej z podłożem) współczynnik wzmocnienia amplitudy
wychylenia w nieznacznym stopniu zależy od współczynnika tłumienia i jest zbliżony
do 1 oraz amplituda siły bezwładności działającej na masę sejsmiczną i przenoszonej
na podłoże jest wprost proporcjonalna do amplitudy przyspieszenia drgań podłoża a
więc w tym zakresie częstotliwości pomiar tej siły daje możliwość określenia
przyspieszenia drgań podłoża jeżeli znana jest wartość masy sejsmicznej. Kąt
przesunięcia fazowego wychylenia masy w stosunku do wychylenia podłoża nie
zależy w stopniu istotnym ani od współczynnika tłumienia, ani od stosunku
częstotliwości i jest bliski 0.
• W zakresie wartości stosunku częstotliwości drgań podłoża do częstotliwości drgań
własnych układu zawierających się w granicach od 0.5 do 2.5 (około rezonansowe
warunki pracy przetwornika drgań) współczynnik wzmocnienia amplitudy wychylenia
znacząco zależy od wartości współczynnika tłumienia i od stosunku częstotliwości,
jest znacznie większy od 1. Amplituda siły bezwładności działającej na masę
sejsmiczną i przenoszonej na podłoże jest znacznie większa od iloczynu amplitudy
przyspieszenia drgań podłoża i wartości masy sejsmicznej. Kąt przesunięcia fazowego
wychylenia masy w stosunku do wychylenia podłoża w tym zakresie zmienia się w
zależności od stosunku częstotliwości drgań podłoża do częstotliwości drgań własnych
masy sejsmicznej i w zależności od współczynnika tłumienia. W tym zakresie
częstotliwości i przetwornik drgań z masą sejsmiczną nie daje możliwości pomiaru
przyspieszenia drgań podłoża ani wychylenia podłoża i nie powinien być
wykorzystywany do pomiaru drgań.
W zakresie wartości stosunku częstotliwości drgań podłoża do częstotliwości drgań
własnych układu większych od 2.5 (podatne połączenie masy sejsmicznej z podłożem)
współczynnik wzmocnienia amplitudy wychylenia masy asymptotycznie dąży do zera i w
niewielkim stopniu powiększa się w miarę wzrostu od współczynnika tłumienia (to oznacza,
że masa sejsmiczna przestaje drgać) oraz amplituda siły bezwładności działającej na masę
sejsmiczną i przenoszonej na podłoże jest znacznie mniejsza od iloczynu amplitudy
przyspieszenia drgań podłoża i wartości masy sejsmicznej. W tym zakresie częstotliwości
71
przetwornik drgań z masą sejsmiczną nie daje możliwości pomiaru przyspieszenia drgań
podłoża ale masa sejsmiczna tego przetwornika może być wykorzystana jako nieruchomy
układ odniesienia do pomiaru wychylenia drgań. Kąt przesunięcia fazowego wychylenia
masy w stosunku do wychylenia podłoża w tym zakresie zmienia się w zależności od
współczynnika tłumienia i od stosunku częstotliwości drgań podłoża do częstotliwości drgań
własnych masy sejsmicznej, dla stosunku częstotliwości przekraczającego 10 wartość kąta
przesunięcia fazowego stabilizuje się i asymptotycznie dąży do 90 stopni.
Przykład
Transmitancja operatorowa układu zawierającego idealny człon całkujący i człon inercyjny
drugiego rzędu jest opisana równaniem
G (s ) =
(
2.7
)
s ∗ 0.0064 ∗ s 2 + 0.016 ∗ s + 1
Obliczyć równanie transmitancji widmowej i sporządzić następujące charakterystyki
częstotliwościowe:
• Charakterystykę amplitudową modułu transmitancji widmowej { G ( jω) = f (ω) },
•
Charakterystykę fazową argumentu transmitancji widmowej{ γ = f (ω) },
•
Charakterystykę amplitudowo - fazową { G ( jω) = f (Im, Re) },
•
Wykres Blacka { G ( jω) = f ( γ ) }.
72
4. Transmitancja zastępcza układu członów
4.1. Człony połączone szeregowo
W układzie członów połączonych szeregowo sygnał przechodzi kolejno przez wszystkie
człony i w każdym z tych członów jest przekształcany.
Rys. 50. Transmitancja zastępcza dwóch członów połączonych szeregowo
Transformata sygnału wejściowego X1(s) pomnożona przez transmitancję pierwszego członu
G1(s) daje transformatę sygnału wyjściowego Y(s) pierwszego członu
Y(s) = G1(s) ∗ X(s)
i równocześnie jest ona transformatą sygnału wejściowego dla członu drugiego. Mnożąc
transformatę sygnału Y(s) przez transmitancję drugiego członu G2(s) otrzymuje się
transformatę sygnału wyjściowego V(s) z drugiego członu, transformata tego sygnału jest
równocześnie transformatą sygnału wyjściowego z całego układu.
V(s) = G 2(s) ∗ Y (s) = G1(s) ∗ G 2(s) ∗ X (s)
Stosunek transformaty sygnału wyjściowego V(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s)
jest transmitancją zastępczą Gz(s) całego układu.
Gz(s) =
V (s)
X (s)
=
G1(s) ∗ G 2(s) ∗ X(s)
X (s )
= G1(s) ∗ G 2(s)
Stąd wynika, że transmitancja zastępcza jest iloczynem transmitancji obydwóch członów
połączonych szeregowo. W podobny sposób można wykazać, że dla układu zawierającego
dowolną liczbę członów połączonych szeregowo transmitancja zastępcza układu jest
iloczynem transmitancji poszczególnych członów tworzących ten układ.
4.2. Człony połączone równolegle
73
W układzie członów połączonych równolegle ten sam sygnał wejściowy X(s) jest
doprowadzany do wejść obydwóch członów a sygnały wyjściowe z tych członów są ze sobą
sumowane i tworzą sygnał wyjściowy dla całego układu.
Transformata sygnału wyjściowego Y1(s) z pierwszego członu jest iloczynem transmitancji
tego
Rys. 51. Transmitancja zastępcza dwóch członów połączonych równolegle
członu G1(s) i sygnału wejściowego X(s)
Y1(s) = G1(s) ∗ X(s)
Podobnie transformata sygnału wyjściowego Y2(s) z drugiego członu jest iloczynem
transmitancji tego członu G2(s) i sygnału wejściowego X(s)
Y 2(s) = G 2(s) ∗ X(s)
Transformata sygnału wyjściowego Y(s) z całego układu jest sumą transformat sygnałów
wyjściowych z poszczególnych członów
Y(s) = Y1(s) + Y 2(s) = ( G1(s) + G 2(s) ) ∗ X(s)
Stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s)
jest transmitancją zastępczą Gz(s) całego układu.
Gz(s) =
Y (s)
X (s)
=
( G1(s) + G 2(s) ) ∗ X (s)
X (s)
= G1(s) + G 2(s)
Stąd wynika, że transmitancja zastępcza jest sumą transmitancji obydwóch członów
połączonych równolegle. W podobny sposób można wykazać, że dla układu zawierającego
74
dowolną liczbę członów połączonych równolegle transmitancja zastępcza układu jest sumą
transmitancji poszczególnych członów tworzących ten układ.
4.3. Człony wielokanałowe
Człon wielokanałowy ma kilka wejść i kilka wyjść, liczba wejść nie musi być równa
liczbie wyjść. Sygnały wewnątrz członu wielokanałowego przemieszczają się torami różnych
sprzężeń łączących wejścia i wyjścia. Własności poszczególnych torów można opisać
transmitancjami wewnętrznymi G o, i (s) tworzącymi macierz transmitancji obiektu. W
oznaczeniach poszczególnych transmitancji wewnętrznych pierwszy indeks liczbowy o
(Output) oznacza numer wyjścia obiektu wielokanałowego, oznacza on także numer wiersza
w macierzy transmitancji obiektu. Drugi indeks liczbowy i (Input) oznacza numer wejścia do
tego obiektu, oznacza on także numer kolumny w macierzy transmitancji obiektu.
G o = nr wy = nr wiersza , i = nr we = nr kolumny (s)
Transmitancje o jednakowych numerach wejść i wyjść ( i = o ) określają własności
dynamiczne toru głównych sprzężeń natomiast transmitancje o różniących się numerach
wejść i wyjść ( i ≠ o ) odnoszą się do torów skrośnych sprzężeń.
Rys. 52. Przykład członu wielokanałowego ze sprzężeniami głównymi i skrośnymi
Transformaty poszczególnych sygnałów wyjściowych są sumami transformat sygnałów
biegnących tymi torami, które do tych wyjść dochodzą.
Y1(s)
= G11(s) ∗ X1(s) + G12(s) ∗ X 2(s) + G13(s) ∗ X3(s)
Y 2(s) = G 21(s) ∗ X1(s) + G 22(s) ∗ X 2(s) + G 23(s) ∗ X3(s)
75
Dla znanej częstotliwości sygnałów wejściowych poszczególne transmitancje są stałymi
współczynnikami i tworzą wiersze macierzy transmitancji, każdemu wyjściu odpowiada jeden
wiersz macierzy a każdemu wejściu odpowiada jedna kolumna macierzy.
Transformaty sygnałów wejściowych tworzą wektor kolumnowy sygnałów wejściowych.
 Y1(s) 
 G11(s) G12(s) G13(s) 
 X1(s) 
Y 2(s) = G 21(s) G 22(s) G 23(s) ∗ X 2(s)










 X3(s) 
W zapisie wektorowym
Y(s) = G (s) ∗ X(s)
wektor kolumnowy sygnałów wyjściowych Y(s) jest iloczynem macierzy transmitancji
G(s) i wektora kolumnowego sygnałów wejściowych X(s) . Zgodnie z zasadami działania
na wektorach i macierzach:
liczba kolumn macierzy transformat mnożonej przez wektor kolumnowy sygnałów
wejściowych musi być równa liczbie wierszy wektora sygnałów wejściowych,
liczba wierszy wektora sygnałów wyjściowych musi być równa liczbie wierszy
wektora sygnałów wejściowych.
Jeżeli wszystkie wyrazy G o, i (s) o - tego wiersza macierzy transmitancji są równe
zeru, to transformata o - tego sygnału wyjściowego Yo też jest równa zeru.
Transformaty kolejnych sygnałów wyjściowych są sumami iloczynów kolejnych
wyrazów z wiersza nr o macierzy transmitancji i kolejnych wyrazów wektora
kolumnowego sygnałów wejściowych, można je obliczyć z równania
Yo (s) =
m
∑ G o,i (s) ∗ X i (s)
i =1
w którym poszczególne symbole oznaczają :
m liczbę wejść
i numer wejścia = numer kolejny kolumny w macierzy transmitancji,
= numer kolejny wiersza w wektorze sygnałów wejściowych
o
numer wyjścia = numer kolejny wiersza w macierzy transmitancji
= numer kolejny wiersza w wektorze sygnałów wyjściowych
W macierzy transmitancji G(s) transmitancje wewnętrznych torów głównych
sprzężeń G o = k , i = k (s) leżą w głównej przekątnej macierzy, numery ich wierszy i kolumn
są identyczne. Pozostałe transmitancje odpowiadają torom sprzężeń skrośnych. Jeżeli liczba
wejść obiektu jest równa liczbie wyjść z tego obiektu to w macierzy transmitancji liczba
wierszy jest równa liczbie kolumn i taką macierz nazywa się macierzą kwadratową. Jeżeli
transmitancje niezerowe występują tylko w przekątnej głównej to w członie
76
wieloparametrowym występują tylko tory sprzężeń głównych i nie ma tam torów sprzężeń
skrośnych , taki człon nazywa się członem autonomicznym.
4.4. Idealny układ członów ze sprzężeniem zwrotnym
Układ członów ze sprzężeniem zwrotnym zawiera dwa tory transmisji sygnałów i węzeł
sumacyjny:
tor główny zawierający wszystkie człony transmitujące sygnały od węzła
sumacyjnego do wyjścia z układu;
tor sprzężenia zwrotnego zawierający wszystkie człony transmitujące sygnały od
wyjścia z układu spowrotem do węzła sumacyjnego;
węzeł sumacyjny, w którym następuje sumowanie (w zależności od rodzaju
sprzężenia następuje dodawanie lub odejmowanie) sygnału zwrotnego z sygnałem
wejściowym.
Rys. 53. Równoważne schematy blokowe układów ze sprzężeniem zwrotnym o zastępczej
transmitancji operatorowej Gz (s) zawierające:
tor główny o zastępczej transmitancji operatorowej G (s) ,
tor sprzężenia zwrotnego o zastępczej transmitancji operatorowej H (s)
W idealnym układzie ze sprzężeniem zwrotnym nie uwzględnia się sygnałów
zakłócających i wszystkie człony w torze głównym o zastępczej transmitancji operatorowej
G (s) i człony znajdujące się w torze sprzężenia zwrotnego o zastępczej transmitancji
operatorowej H (s) traktuje się jako człony jednokanałowe.
Sygnał wyjściowy Y (s) z toru głównego o transmitancji operatorowej G (s) (będący
sygnałem wyjściowym z całego układu ) jest przetwarzany w członach znajdujących się w
pętli sprzężenia zwrotnego o transmitancji H(s) i potem jako sygnał zwrotny V(s) jest
dodawany lub odejmowany od sygnału wejściowego X(s) doprowadzanego do wejścia
całego układu.
Sprzężenie zwrotne może być dodatnie lub ujemne. W układzie z dodatnim sprzężeniem
zwrotnym sygnał zwrotny V(s) jest dodawany do sygnału wejściowego X(s) ,
E (s) = X(s) + V (s)
77
w układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym sygnał zwrotny V(s) jest odejmowany od
sygnału wejściowego X(s) .
E (s) = X(s) − V (s)
Obydwa układy będą analizowane równocześnie przy założeniu, że w równaniu ogólnym
transformaty sygnału uchybu
E (s) = X(s) ± V (s)
i w pozostałych równaniach znaki górne dotyczą dodatniego sprzężenia zwrotnego a znaki
dolne dotyczą ujemnego sprzężenia zwrotnego.
Przekształcając powyższe równanie uchybu można z niego obliczyć transformatę
sygnału wejściowego
X(s) = E (s) m V(s)
Po uwzględnieniu transformaty sygnału wyjściowego
Y(s) = G (s) ∗ E (s)
można z powyższych równań obliczyć transmitancję operatorową układu ze sprzężeniem
zwrotnym.
Gz(s) =
Y(s)
X(s)
=
G (s) ∗ E(s)
E (s) m V(s)
Po uzależnieniu transformaty sygnału zwrotnego V(s) od uchybu E(s)
V(s) = H(s) ∗ Y (s) = G (s) ∗ H(s) ∗ E (s)
Otrzymuje się ostateczną postać równania zastępczej transmitancji układu z dodatnim lub
ujemnym sprzężeniem zwrotnym
Gz(s) =
Y (s)
X (s)
=
G (s) ∗ E (s)
E (s) m G (s) ∗ H (s) ∗ E (s)
=
G (s)
1 m G (s) ∗ H (s)
Jeżeli do tego równania wprowadzi się pojęcie transmitancji układu otwartego utworzonego
przez szeregowe połączenie wszystkich członów znajdujących się w pętli utworzonej przez
tor główny i tor sprzężenia zwrotnego
Go(s) = G (s) * H(s)
to równanie transmitancji zastępczej układu z dodatnim lub ujemnym sprzężeniem zwrotnym
przybiera postać
78
Gz(s) =
G (s )
1 m Go(s)
w której zgodnie z wcześniej przyjętym założeniem znak górny (-) odnosi się do układu z
dodatnim sprzężeniem zwrotnym a znak dolny (+) odnosi się do układu z ujemnym
sprzężeniem zwrotnym.
Podstawowym kryterium oceny jakości układu regulacji jest przebieg uchybu regulacji a
w szczególności wartość uchybu ustalonego występująca po upływie czasu t → ∞ .
Równanie ogólne transformaty uchybu regulacji po przekształceniu przebiera postać
E (s) = X (s) ± V(s) = X(s) ± G (s) ∗ H(s) ∗ E (s) = X(s) ± Go(s) ∗ E(s)
z której można obliczyć transformatę uchybu regulacji w idealnym układzie ze sprzężeniem
zwrotnym
E (s) =
X(s)
1 m Go(s)
na który poza sygnałem wejściowym (wartością zadaną) nie działają żadne sygnały
zakłócające. Wartość uchybu ustalonego można obliczyć z twierdzenia o wartości końcowej.
=
e t →∞
lim e( t )
t →∞
=
lim s ∗ E(s)
s→0
=
s ∗ X (s)
lim 1 m Go(s)
s →0
W przypadku skokowej zmiany sygnału wejściowego x ( t ) = ∆x ∗1( t ) o transformacie
X (s ) =
∆x
s
wartość uchybu ustalonego
∆x
s
= lim
s → 0 1 m Go(s)
s∗
e t →∞
=
∆x
lim 1 m Go(s)
s→0
zależy głównie od transmitancji operatorowej układu otwartego.
W układzie regulacji z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, w którym transmitancję
układu otwartego zawierającego n członów całkujących o transmitancjipołączonych
szeregowo zapisano w postaci ogólnej jako iloczyn transmitancji n członów całkujących
1 / s n oraz ilorazu wielomianów
Go(s) =
K∗
1
sn
∗
Tl r ∗ s r + Tl r −1 ∗ s r −1 + L + Tl1 ∗ s + 1
Tm m ∗ s m + Tm m −1 ∗ s m −1 + L + Tm1 ∗ s + 1
79
możliwe są następujące przypadki:
n ≥ 1 układ otwarty zawiera co najmniej 1 człon całkujący, jest to układ astatyczny;
n = 0 układ otwarty nie zawiera członow całkujących, jest to układ statyczny
n < 0 układ otwarty zawiera człony różniczkujące.
Uchyb ustalony po skokowej zmianie wartości zadanej o ∆x dla 1 ≤ n
e t →∞ 1 ≤ n
=
∆x
lim
s →0 1 + K ∗ 1 ∗
n
s
=
∆x
K
1+
0
r
Tl r ∗ s + Tl r −1 ∗ s
r −1
=
+ L + Tl1 ∗ s + 1
Tm m ∗ s m + Tm m −1 ∗ s m −1 + L + Tm1 ∗ s + 1
= 0
osiąga wartość równą zeru tylko wtedy, gdy równanie charakterystyczne transmitancji
układu otwartego zawiera co najmniej jeden pierwiastek zerowy a to występuje wtedy,
gdy 1 ≤ n tzn gdy w układzie otwartym jest więcej uczłonów całkujących o
transmitancji 1 /(Ti ∗ s) niż członów różniczkujących o transmitancji Td ∗ s .
Zerową warość uchybu ustalonego spowodowanego skokową zmianą sygnału wejściowego
można osiągnąć tylko w takich układach regulacji, w których w układzie otwartym występuje
co najmniej jeden człon całkujący.
Jeżeli w układzie otwartym nie występuje żaden człon całkujący, to wtedy n = 0 i uchyb
ustalony
e t →∞ 1 ≤ n
=
∆x
lim
s →0
1+ K ∗
1
s
=
∆x
1+ K
0
∗
Tl r ∗ s r + Tl r −1 ∗ s r −1 + L + Tl1 ∗ s + 1
=
Tm m ∗ s m + Tm m −1 ∗ s m −1 + L + Tm1 ∗ s + 1
≠ 0
jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalny do wartości współczynnika wzmocnienia K .
Uchyb ustalony po skokowej zmianie wartości zadanej o ∆x dla n ≤ 0
e t →∞ 1 ≤ n
=
∆x
lim
s →0
1+ K ∗
1
s
= ∆x
≠ 0
n
∗
Tl r ∗ s r + Tl r −1 ∗ s r −1 + L + Tl1 ∗ s + 1
=
Tm m ∗ s m + Tm m −1 ∗ s m −1 + L + Tm1 ∗ s + 1
osiąga wartość równą zeru tylko wtedy, gdy równanie charakterystyczne transmitancji
układu otwartego zawiera co najmniej jeden pierwiastek ujemny a to występuje wtedy,
gdy n < 0 tzn gdy w układzie otwartym jest więcej uczłonów różniczkujących
Td ∗ s niż członów całkujących o transmitancji 1 /(Ti ∗ s) .
80
Zerową warość uchybu ustalonego spowodowanego skokową zmianą sygnału wejściowego
można osiągnąć tylko w takich układach regulacji, w których w układzie otwartym występuje
co najmniej jeden człon całkujący o transmitanvji 1 /(Ti ∗ s) .
W zależności od liczby członów całkujących znajdujących się w układzie otwartym
układy regulacji można podzielić na:
układy statyczne – w których brak jest członów całkujących i wystepuje niezerowy
uchyb ustalony po skokowej zmianie sygnalu wejściowego,
układy astatyczne – w których występują człony całkujące oraz ich liczba jest co
najmniej o 1 większa od liczby członów różniczkujących, uchyb ustalony po skokowej
zmianie sygnału wejściowego dąży do zera.
4.5. Uchyb regulacji w zakłócanym układzie ze sprzężeniem zwrotnym
W zakłócanym układzie ze sprzężeniem zwrotnym zostanie uwzględniony sygnał
zakłócający Z(s) działający na obiekt, w którym własności dynamiczne głównego toru
opisane transmitancją G (s) różnią się od własności dynamicznych toru sygnałów
zakłócających opisanych transmitancją P(s) . W takim ujęciu obiekt regulacji jest
traktowany jako człon wielokanałowy o dwóch wejściach jednym wyjściu.
Rys. 54. Układ ze sprzężeniem zwrotnym zawierający obiekt narażony na działanie zakłóceń
Sygnał wyjściowy Y (s) z obiektu jest sumą sygnału transmitowanego torem głównym o
transmitancji operatorowej G (s) i sygnału transmitowanego torem zakłóceń o transmitancji
operatorowej P(s) . Sumaryczny sygnał wyjściowy (będący także sygnałem wyjściowym z
całego układu ) jest przetwarzany w członach znajdujących się w pętli sprzężenia zwrotnego o
transmitancji H(s) i potem jako sygnał zwrotny V(s) jest dodawany lub odejmowany od
sygnału wejściowego X (s) doprowadzanego do wejścia całego układu.
Sprzężenie zwrotne może być dodatnie lub ujemne. W układzie z dodatnim sprzężeniem
zwrotnym sygnał zwrotny V(s) jest dodawany do sygnału wejściowego X(s) ,
E (s) = X(s) + V (s)
81
w układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym sygnał zwrotny V(s) jest odejmowany od
sygnału wejściowego X(s) .
E (s) = X(s) − V (s)
Obydwa układy będą analizowane równocześnie przy założeniu, że w równaniu ogólnym
transformaty sygnału uchybu
E (s) = X(s) ± V (s)
i w pozostałych równaniach znaki górne dotyczą dodatniego sprzężenia zwrotnego a znaki
dolne dotyczą ujemnego sprzężenia zwrotnego.
Transformata sumarycznego sygnału wyjściowego
Y(s) = G (s) ∗ E (s) + P(s) ∗ Z(s)
uwzględnia sygnał uchybu regulacji E(s) transmitowanego przez wewnętrzny tor obiektu o
transmitancji G (s) charakteryzującej dynamikę tego toru oraz transformatę sygnału
zakłócającego Z(s) transmitowanego przez wewnętrzny tor obiektu o transmitancji P(s)
charakteryzującej wpływ zakłóceń na sygnał wyjściowy. Transformata sygnału zwrotnego
transmitowanego przez tor sprzężenia zwrotnego
V(s) = H(s) ∗ Y (s) = H(s) ∗ [G (s) ∗ E (s) + P(s) ∗ Z(s)]
uwzględnia transmitancję H(s) charakteryzującej dynamikę tego toru. Po uwzględnieniu
równania transformaty uchybu regulacji
E (s) = X (s) ± V(s) = X(s) ± H(s) ∗ [G (s) ∗ E(s) + P(s) ∗ Z(s)]
i przekształceniu otrzymanego równania
[1 m H (s) ∗ G (s)] ∗ E (s) = X (s) ± H(s) ∗ [P(s) ∗ Z(s)]
można obliczyć transformatę uchybu regulacji w układzie ze sprzężeniem zwrotnym
E (s) =
X (s) ± P(s) ∗ H(s) ∗ Z(s)
1 m G (s) ∗ H (s)
Jeżeli do tego równania wprowadzi się pojęcie transmitancji układu otwartego utworzonego
przez szeregowe połączenie wszystkich członów znajdujących się w pętli utworzonej przez
tor główny i tor sprzężenia zwrotnego
Go(s) = G (s) * H(s)
82
to równanie transformaty uchybu regulacji w układzie z dodatnim lub ujemnym sprzężeniem
zwrotnym przybiera ogólną postać uwzględniającą zmianę wartości sygnału wejściowego
(wartości zadanej) zadanej X (s) oraz wpływ sygnału zakłócającego Z(s) .
E (s) =
X (s) ± P(s) ∗ H(s) ∗ Z(s)
1 m Go(s)
W powyższym równaniu zgodnie z wcześniej przyjętym założeniem znaki górne ( ± , m )
odnoszą się do układu z dodatnim sprzężeniem zwrotnym a znaki dolne odnoszą się do
układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym a więc równanie to przybiera następujące postacie:
Dla dodatniego sprzężenia zwrotnego równanie ogólne przybiera postać
E (s ) =
X (s) + P(s) ∗ H(s) ∗ Z(s)
1 − Go(s)
W przypadku zmiany sygnału wejściowego w układzie, na który nie działają sygnały
zaklócające Z(s) = 0 równanie ogólne upraszcza się do postaci
E (s) =
X(s)
1 − Go(s)
Dla ujemnego sprzężenia zwrotnego równanie ogólne przybiera postać
E (s ) =
X(s) − P(s) ∗ H(s) ∗ Z(s)
1 + Go(s)
W przypadku zmiany sygnału wejściowego w układzie, na który nie działają sygnały
zaklócające Z(s) = 0 równanie ogólne upraszcza się do postaci
E (s ) =
X (s )
1 + Go(s)
W szczególnym przypadku stanu układu regulacji z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, w
którym sygnał wejściowy będący wartością zadaną jest niezmienny i równy zeru X(s) = 0
a jedyną przyczyną zakłócającą stan równowagi układu jest sygnał zakłócający z( t ) o
transformacie Z(s) równanie ogólne uchybu regulacji upraszcza się do postaci
E (s) = −
P(s) ∗ H (s) ∗ Z(s)
1 + Go(s)
83
4.5.1. Przykład analizy układu ze sprzężeniem zwrotnym
Przykładowy opis analityczny układu ze sprzężeniem zwrotnym składającego się z
członów umieszczonych w torze głównym i w torze sprzężenia zwrotnego jest w dużym
stopniu uproszczony w celu zachowania przejrzystości opisu ponieważ w wielu członach nie
uwzględniono sił bezwładności i zaniedbano wpływ zakłóceń.
Rys. 55. Schemat układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku i schemat blokowy połączenia
członów tworzących układ zamknięty z dodatnim lub ujemnym sprzężeniem zwrotnym
Tor główny sygnałów
W analizowanym układzie w torze głównym znajduje się człon nastawczy (zawór dozujący
przepływ cieczy) i obiekt regulacji (zbiornik o regulowanym poziomie cieczy).
Człon nastawczy
o
3
Strumień objętości cieczy przepływającej przez zawór dozujący v [ m / sec] jest
zależny tylko od stopnia otwarcia tego zaworu i jest proporcjonalny do wzniosu
84
e [m] wrzeciona zaworu. Chwilową wartość strumienia objętości cieczy może być opisana
równaniem
o
o
v = v max ∗
e
e max
= C∗e
poprawnie opisującym przepływ tylko wtedy, gdy chwilowe przemieszczenie wrzeciona
zaworu e nie przekracza wartości maksymalnej e max określonej konstrukcją zaworu. W
tym zakresie przemieszczeń wrzeciona własności przepływowe zaworu określa tylko stała
C [m 2 / sec] , bezwładność części ruchomych nie jest w tym przypadku uwzględniona. Po
transformacji równania przepływu do dziedziny zmiennej zespolonej
o
V(s) = C ∗ E (s)
można obliczyć transmitancję członu nastawczego
o
G1(s) =
V (s )
E (s)
= C
znajdującego się w głównym torze sygnałów.
Obiekt regulacji
Obiektem regulacji jest otwarty zbiornik cieczy w którym wielkością regulowaną jest
wysokość poziomu cieczy będąca równocześnie sygnałem wyjściowym z obiektu i z całego
układu. Poziom nieściśliwej cieczy w [ m] w zbiorniku zależy od strumienia objętości
o
3
cieczy dopływającej do zbiornika v [ m / sec] i dozowanej przez człon nastawczy, od
2
powierzchni poprzecznego przekroju zbiornika A [m ] i od strumienia objętości cieczy
o
3
wypływającej ze zbiornika z [m / sec] będącego sygnałem zakłócającym. Jeżeli zaniedba
się sygnał zakłócający jako pomijalnie mały w porównaniu z sygnałami występującymi w
torze głównym to przyrost poziomu cieczy w zbiorniku spowodowany samym dopływem
cieczy do zbiornika można opisać równaniem całkowym
w =
1 t  o o 
∗ ∫ v − z  ∗ dt
A 0 

z którego po transformacji Laplace do dziedziny funkcji zmiennej zespolonej
85
W (s) =
o
o

1

∗  V(s) − Z(s) 
A ∗s 

można obliczyć transmitancję części toru głównego przebiegającego przez obiekt regulacji
którym jest zbiornik.
G 2(s) =
W (s)
o
=
V (s )
o



1
Z(s) 
∗ 1 −

o
A ∗s 

 V(s) 
W szczególnym przypadku, gdy sygnał zakłócający jest pomijalnie mały w stosunku do
o o
sygnału transmitowanego torem głównym tzn gdy z << v (taki stan występuje w układzie
regulacji m. in. po skokowej zmianie sygnału wejściowego ) równanie zbiornika upraszcza się
do postaci
w =
1 to
∗ ∫ v∗ dt
A 0
z której po transformacji Laplace do dziedziny funkcji zmiennej zespolonej
W (s) =
o
1
∗ V (s)
A ∗s
można obliczyć uproszczoną transmitancję operatorową zbiornika
G 2(s) =
W (s)
o
V(s)
=
1
A ∗s
=
1 1
∗
A s
na który nie oddziałują zakłócenia. Ostatni człon 1 / s wustępujący w równaniu
transmitancji uwzględnia całkujące działanie zbiornika.
W tym przykładzie sygnałów zakłócających obiekt nie uwzględniono zakładając, że są
one pomijalnie małe w stosunku do sygnału wejściowego.
Transmitancja operatorowa toru głównego
Transmitancja operatorowa całego toru głównego zawierającego człon nastawczy szeregowo
połączony z obiektem regulacji.
G (s ) =
W (s)
E (s)
= G1(s) ∗ G 2(s) = C ∗
1
A ∗s
=
C
A ∗s
jest iloczynem transmitancji poszczególnych członów znajdujących się w tym torze.
86
Tor sprzężenia zwrotnego
W torze sprzężenia zwrotnego znajduje się pływakowy przetwornik (pływak) mierzący sygnał
wyjściowy (poziom cieczy w zbiorniku) i wzmacniacz dźwigniowy przetwarzający
przemieszczenie przetwornika poziomu cieczy na przemieszczenie członu nastawczego.
Przetwornik poziomu cieczy
Opis matematyczny dynamiki pływaka będącego przetwornikiem poziomu cieczy w
zbiorniku sporządza się na podstawie równania bilansu sił pionowych działających na
wytrącony z położenia statycznej równowagi i przemieszczający się pionowo pływak o masie
m ,powierzchni przekroju poprzecznego Ap , pływający w cieczy o gęstości ρ
znajdującej się w polu działania przyspieszenia ziemskiego g .W równaniu sił
sporządzonym na podstawie drugiej zasady dynamiki uwzględnia się niezrównoważoną siłę
wyporu hydrostatycznego i siłę wiskotycznego tłumienia ruchu pływaka.
m∗
d 2u
dt 2
sila bezw
du
dt
sila tlum
= Ap ∗ ( w − u ) ∗ ρ ∗ g − b ∗
sila wyporu
Po rozdzieleniu zmiennych i uporządkowaniu wyrazów
m∗
d 2u
dt 2
+ b∗
du
+ Ap ∗ ρ ∗ g ∗ u = Ap ∗ ρ ∗ g ∗ w
dt
oraz po uwzględnieniu, że wyrażenie będące stosunkiem przyrostu sily wyporu ∆P do
przyrostu zagłębienia pływaka w cieczy ∆u
c =
∆P
∆u
= Ap ∗ ρ ∗ g
może być interpretowane jako stała sprężystości c układu pływak – ciecz równanie sił
można przekształcić do kilku postaci
87
m
d 2u
b
du
∗
+
∗
+u
Ap ∗ ρ ∗ g dt 2 Ap ∗ ρ ∗ g dt
=
=
=
m d 2 u b du
∗
+ ∗
+u
c dt 2 c dt
1
ω02
∗
d 2u
dt 2
+ 2∗
=
D du
∗
+u
ω0 dt
2
du
2 d u
T2 ∗
+ T1 ∗
+u
2
dt
=
=
= w
dt
odpowiadających opisowi członu inercyjnego drugiego rzędu. Po transformacji Laplace
przeprowadzonej przy założeniu zerowych warunkow początkowych układu można obliczyć
transmitancję operatorową układu pływak - ciecz
H1(s) =
U(s)
W (s)
=
1
1
ω02
∗ s2 + 2 ∗
D
∗s +1
ω0
=
1
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
Gdyby zaniedbać wpływ sił bezwładności i siły tłumienia na pływakowy przetwornik
poziomu cieczy w zbiorniku przyjmując ω0 → ∞ lub odpowiednio T2 = 0 oraz T1 = 0
to przemieszczenie pionowe pływaka u [m] byłoby równe przemieszczeniu pionowemu
w [m] poziomu cieczy w zbiorniku i transmitancja operatorowa byłaby opisana równaniem
H1(s) =
U(s)
W (s)
= 1
Wzmacniacz sygnału
Wzmacniacz dźwigniowy znajdujący się w torze sprzężenia zwrotnego przetwarza
przemieszczenie pływaka u [m] na przemieszczenie wrzeciona zaworu q [ m] będącego
członem nastawczym, wzmocnienie tego wzmacniacza wyrażone stosunkiem przemieszczeń
zależy od bezwymiarowego przełożenia r = a / b mechanizmu dźwigniowego. Jeżeli
zaniedba się bezwładność mechanizmu dźwigniowego to z równania bezinercyjnego
wzmacniacza
q =
a
∗u
b
= r∗u
po transformacji Laplace można obliczyć transmitancję operatorową
88
H 2(s) =
Q(s)
U (s )
= r
tego wzmacniacza.
Transmitancja operatorowa toru sprzężenia zwrotnego
Transmitancja operatorowa całego toru sprzężenia zwrotnego zawierającego przetwornik
poziomu cieczy o dynamice odpowiadającej członowi inercyjnemu drugiego rzędu szeregowo
połączony z bezinercyjnym wzmacniaczem dźwigniowym.
H (s ) =
Q (s )
W (s)
= H1(s) ∗ H 2(s) =
r
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
jest iloczynem transmitancji poszczególnych członów znajdujących się w tym torze.
Transmitancja operatorowa układu otwartego
Układ otwarty powstaje przez myślowe rozcięcie pętli utworzonej przez tor główny i tor
sprzężenia zwrotnego, układ ten tworzą wszystkie szeregowo połączone człony znajdujące się
w torze głównym i w torze sprzężenia zwrotnego. Transmitancja operatorowa układu
otwartego
Go(s) =
=
Q(s)
E (s)
= G (s) ∗ H(s) =
C
r
∗
=
A ∗ s T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
 m2 m 
∗
C ∗ r  sec m 
1
1
K
[1]
∗
=
∗
A ∗ s  2 1  T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
s T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
m ∗

sec 

jest iloczynem transmitancji wszystkich członów tworzących pętlę i jest wielkością
bezwymiarową ponieważ operator s występujący w mianowniku tej transmitancji i
reprezentujący działanie całkujące ma wymiar [1 / sec] . Równanie charakterystyczne tej
transmitancji utworzone przez przyrównanie mianownika do zera ma jeden pierwiastek
zerowy ponieważ w pętli znajduje się jeden człon całkujący a to oznacza, że układ regulacji
jest astatyczny. Stały współczynnik K o wymiarze [1 / sec] występujący w równaniu
transmitancji układu otwartego
K =
C∗r
A
uwzględnia całkowite wzmocnienie układu otwartego utworzonego przez szeregowe
połączenie wszystkich członów toru głównego i toru sprzężenia zwrotnego.
89
Rys. 56. Charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego dla układu regulacji z
przetwornikiem poziomu o charakterystyce członu inercyjnego drugiego rzędu
2
2
( c = 20[ m / c], A = 0.8[ m ], f 0 = 0.7[ Hz ], D = 0.2, r = 0.5 ÷ 2 )
90
Węzeł sumacyjny
W węźle sumacyjnym następuje dodawanie (w przypadku dodatniego sprzężenia
zwrotnego) lub odejmowanie (w przypadku ujemnego sprzężenia zwrotnego) przetworzonego
sygnału wyjściowego q (wzmocnionego lub osłabionego w torze sprzężenia zwrotnego) i
sygnału wejściowego x . W wyniku sumowania sygnału wejściowego i sygnału zwrotnego
powstaje sygnał uchybu e , który jest wprowadzany na początek toru głównego o
transmitancji operatorowej G (s) i tam podlega dalszemu przetworzeniu.
Przebiegi sygnałów wyjściowych z układu
Gdyby w analizowanym układzie zastosowano dodatnie sprzężenie zwrotne, to w takim
układzie o transmitancji operatorowej
Gz(s) =
=
W (s)
X (s )
C
∗
A s−
=
G (s)
1 − Go(s)
=
C
A ∗s
K
1
1− ∗
s T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
=
1
K
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
transformatę sygnału wyjściowego będącego odpowiedzią układu na skokową zmianę sygnału
wejściowego o wartość ∆x opisuje równanie ogólne
W (s) = Gz(s) ∗ X(s) =
C
∗
A s−
1
K
∗
∆x
s
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
W rzeczywistym układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym o transmitancji
operatorowej
Gz(s) =
=
W (s)
X (s )
C
∗
A s+
=
G (s)
1 + Go(s)
=
C
A ∗s
K
1
1+ ∗
s T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
=
1
K
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
transformatę sygnału wyjściowego będącego odpowiedzią układu na skokową zmianę sygnału
wejściowego o wartość ∆x opisuje równanie ogólne
91
W (s) = Gz(s) ∗ X(s) =
C
∗
A s+
1
∗
K
∆x
s
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
którego odwrotną transformację do dziedziny funkcji czasu dogodnie jest przeprowadzić przy
pomocy programu Mathematica. Opierając się na twierdzeniu o wartości końcowej można z
równania transformaty sygnału wyjściowego obliczyć wartość przyrostu poziomu cieczy,
który w stabilnym układzie ustali się po czasie t → ∞
w ( t →∞)
=
=
lim es
s →0
lim es
s →0
s ∗ W (s) =
s∗
C
∗
A s+
1
K
∗
∆x
s
=
C ∗ ∆x
A∗K
=
∆x
r
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
Rys. 57. Charakterystyka czasowa stosunku odpowiedzi w idealnego układu ze sprzężeniem
zwrotnym ujemnym lub dodatnim na skokową zmianę sygnału wejściowego o ∆x
92
2
2
( c = 20[ m / c], A = 0.8[ m ], f 0 = 0.7[ Hz ], D = 0.2, r = 0.5 ÷ 2 )
W układzie z dodatnimsprzęzeniem zwrotnym po skokowej zmianie sygnału wejściowego
(wartości zadanej)
sygnał wyjściowy (poziom cieczy) monotonicznie narasta do nieskończoności i nie
osiąga ustabilizowanej wartości.
W układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym wartość wzmocnienia r wzmacniacza
znajdującego się w torze sprzężenia zwrotnego H(s) wywiera istotny wpływ na przebieg
sygnału wyjściowego w .
Jeżeli wzmocnienie toru sprzężenia zwrotnego r ≤ 1 to oscylacje sygnału
wyjściowego stopniowo zanikają i sygnał ten osiąga wartość asymptotyczną w t → ∞
zbliżoną do wartości skokowego przyrostu sygnału wejściowego ∆x ,w miarę
powiększania wartości współczynnika wzmocnienia oscylacje sygnału wyjściowego
wolniej zanikają.
Jeżeli wzmocnienie wzmacniacza jest większe i osiąga wartość r ≥ 2 , to oscylacje
sygnału wyjściowego powiększają się i nie osiągają wartości ustalonej – przy takim
wzmocnieniu analizowany układ staje się niestabilny.
W szczególnym przypadku układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku
zawierającego przetwornik poziomu z bezinercyjnym i nietłumionym pływakiem
( T2 = 0 , T1 = 0 ) równanie ogólne transformaty przemieszczenia poziomu cieczy w
zbiorniku
W (s) = Gz(s) ∗ X(s) =
C
∗
A sm
1
K
∗
∆x
s
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
upraszcza się do postaci
∆x
C
1
∗
∗
A smK s
1
∗ ∆x
 1

s *  m s + 1
 K

C
1
∆x
1
= m
∗
∗ ∆x = m
∗
A∗C∗r / A
r
 1

 1

s *  m s + 1
s *  m s + 1
 K

 K

W (s) =
= m
C
∗
A∗K
którą można bezpośrednio przetransformować do dziedziny funkcji czasu przy pomocy
tablicy transformat (Tabl 1)
=
t
1− e T
−
L−1{F( s ) _ }
=
L{ f (t )}
1
s ∗ (T ∗ s + 1)
93
otrzymując równanie sygnału wyjściowego w dziedzinie funkcji czasu
w (t) = m
(
∆x
∗ 1 − e± K∗t
r
)
= ±
(
)
∆x
∗ e ± K ∗t − 1
r
Górne znaki w powyższym równaniu odnoszą się do dodatniego sprzężenia zwrotnego a
dolne znaki – do ujemnego sprzężenia.
Dla dodatniego sprzężenia zwrotnego otrzymując równanie sygnału wyjściowego w
dziedzinie funkcji czasu
w (t) =
(
)
∆x
∗ eK∗t − 1
r
z którego wynika, że dla t → ∞
w (∞) = ∞
poziom cieczy nie ustabilizuje się i będzie monotonicznie narastał przybierając bardzo duże
wartości, a to oznacza, że taki układ regulacji z dodatnim sprzężeniem zwrotnym nie
nadawałby się do zastosowania w praktyce.
Dla ujemnego sprzężenia zwrotnego otrzymuje się równanie sygnału wyjściowego w
dziedzinie funkcji czasu
w (t) = −
(
)
∆x
∗ e − K∗t − 1
r
z którego wynika, że dla t → ∞ poziom cieczy ustabilizuje się osiągając wartość ustaloną
1
w (∞ ) = ∗ ∆x
r
zależną od wartości skokowego przyrostu sygnału wejściowego ∆x i od wzmocnienia r .
94
Rys. 58. Charakterystyka czasowa stosunku odpowiedzi w idealnego układu ze sprzężeniem
zwrotnym ujemnym lub dodatnim zawierającego bezinercyjny przetwornik poziomu cieczy
na skokową zmianę sygnału wejściowego o ∆x
2
2
( c = 20[ m / c], A = 0.8[ m ], T2 = 0[s], T1 = 0, r = 0.5 ÷ 2 )
Z porównania rys. 57 i 58 wynika, że nadmierne uproszczenie opisu matematycznego
analizowanego układu regulacji przez założenie, że stałe czasowe pływakowego
przetwornika poziomu cieczy w zbiorniku T2 = 0 , T1 = 0 , co jest równoznaczne z
założeniem bezinercyjności pływaka, może prowadzić do uzyskania niewiarygodnych
wyników. W tak uproszczonym układzie dla dowolnych wartości współczynnika
wzmocnienia r nie występują narastające oscylacje poziomu cieczy w zbiorniku i
świadczące o niestabilność układu regulacji a takie oscylacje zostały stwierdzone w układzie
uwzględniającym bezwładność pływaka.
4.5.2. Wpływ rodzaju sprzężenia zwrotnego na uchyb regulacji
Wpływ rodzaju sprzężenia zwrotnego( dodatniego i ujemnego) na jakość procesu
regulacji zostanie zilustrowany na omówionym w rozdziale 4.5.1. przykładzie uproszczonego
układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku wyposażonym w przetwornik poziomu cieczy o
własnościach członu inercyjnego drugiego rzędu, na który zakłócenia zewnętrzne mają
95
pomijalnie mały wpływ i mogą być zaniedbane. Stan równowagi tego zbiornika został
zakłócony przez skokową zmianę sygnału wejściowego x ( t ) (wartości zadanej) o przyrost
∆x a zadaniem układu regulacji jest samoczynne przywrócenie tego stanu przez takie
działanie, które doprowadzi do możliwie szybkiego ustalenia sygnału wyjściowego (poziomu
cieczy w zbiorniku) na nowym poziomie i zminimalizowania ustalonego uchybu regulacji
e( t → ∞ ) .
Po uwzględnieniu równania transmitancji układu otwartego Go(s) wyprowadzonego
w rozdziale 4.5.1. ogólne równanie uchybu występującego w niezakłóconym układzie ze
sprzężeniem zwrotnym przybiera postać
E (s ) =
X (s)
1 m Go(s)
X (s)
=
s ∗ X (s)
K
=
1
K
1m ∗
s T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
sm
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
w której współczynnik wzmocnienia układu otwartego K o wymiarze [1 / sec] jest
wzmocnieniem układu otwartego utworzonego przez szeregowe połączenie wszystkich
członów toru głównego i toru sprzężenia zwrotnego. Sygnał wejściowy (wartość zadana)
x(t ) doprowadzony do tego układu skokowo zmieniono o wartość ∆x [m] .
x ( t ) = ∆x ∗1( t ) [m]
Po uwzględnieniu transformaty sygnału wejściowego
∆x
[ m ∗ s]
s
X(s) =
otrzymuje się równanie transformaty uchybu regulacji
s ∗ X(s)
K
E (s) =
sm
s∗
=
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
sm
∆x
s
K
=
sm
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
∆x
K
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
Odwrotną transformację równania transformaty uchybu do dziedziny funkcji czasu dogodnie
jest przeprowadzić przy pomocy programu Mathematica. Opierając się na twierdzeniu o
wartości końcowej można z równania transformaty uchybu obliczyć wartość uchybu, który w
stabilnym układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym ustali się po czasie t → ∞
e ( t →∞)
=
lim es
s →0
=
s ∗ E (s) =
lim es
s →0
s∗
1
s+
K
∗
∆x
s
=
∆x
K
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
96
Rys. 59. Przebieg zmiany uchybu regulacji w układzie regulacji z dodatnim i w układzie z
ujemnym sprzężeniem zwrotnym dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia
przetwornika poziomu cieczy o własnościach członu inercyjnego drugiego rzędu
2
2
( c = 20[ m / c], A = 0.8[ m ], f 0 = 0.7[ Hz ], D = 0.2, r = 0.5 ÷ 2 )
97
Rys. 60. Przebieg zmiany uchybu regulacji w układzie regulacji z ujemnym sprzężeniem
zwrotnym dla wartości współczynnika wzmocnienia r ≤ 1 przetwornika poziomu cieczy o
własnościach członu inercyjnego drugiego rzędu zapewniających stabilność układu regulacji
2
2
( c = 20[ m / c], A = 0.8[ m ], f 0 = 0.7[ Hz ], D = 0.2, r = 0.5 ÷ 2 )
W układzie z dodatnim sprzęzeniem zwrotnym po skokowej zmianie sygnału wejściowego
(wartości zadanej)
uchyb regulacji poziomu cieczy narasta monotonicznie do nieskończoności i nie
osiąga ustabilizowanej wartości.
W układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym wartość współczynnika wzmocnienia r
wzmacniacza znajdującego się w torze sprzężenia zwrotnego H(s) wywiera istotny wpływ
na przebieg uchybu regulacji e .
Jeżeli wzmocnienie toru sprzężenia zwrotnego nie jest nadmierne r ≤ 1 to
oscylacyjne zmiany uchybu regulacji stopniowo zanikają i po pewnym czasie uchyb
osiąga ustaloną wartość asymptotyczną e t → ∞ zbliżoną do zera, w miarę
powiększania wartości współczynnika wzmocnienia w granicach stabilności układu
oscylacje sygnału wyjściowego wolniej zanikają.
Jeżeli wzmocnienie wzmacniacza jest zbyt duże i w analizowanym przykładzie osiąga
wartość r ≥ 2 , to oscylacje uchybu powiększają się i nie osiągają wartości ustalonej
– przy takim wzmocnieniu analizowany układ staje się niestabilny.
W szczególnym przypadku układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku zawierającego
przetwornik poziomu z bezinercyjnym i nietłumionym pływakiem ( T2 = 0 , T1 = 0 )
równanie ogólne uchybu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku
E(s) =
1
∗ X(s) =
1 m Go(s)
sm
∆x
K
T22 ∗ s 2 + T1 ∗ s + 1
upraszcza się do postaci
E(s) =
∆x
smK
którą można bezpośrednio transformować do dziedziny funkcji czasu wykorzystując do tego
celu tablicę transformat (Tabl 1).
=
L−1{F( s ) _ }
e − a ∗t
=
L{ f (t )}
1
s+a
W tak otrzymanym równaniu uchybu regulacji obowiązującym dla dodatniego i dla ujemnego
sprzężenia zwrotnego
98
e ( t ) = ∆x ∗ e ± K ∗ t
zgodnie z wcześniej przyjętą konwencją znak górny (+) odpowiada dodatniemu sprzężeniu
zwrotnemu a dolny ( – ) odpowiada ujemnemu sprzężeniu.
Dla dodatniego sprzężenia zwrotnego uchyb ustalony
e ( t ) = ∆x ∗ e + K ∗ t
spowodowany zmianą wartości zadanej o ∆x dla czasu t → ∞ dąży do granicy
e( t → ∞ ) =
lim ∆x ∗ e
+ K∗t
t →∞
= ∆x ∗ e + K ∗∞
= ∞
i osiąga bardzo duże wartości. Oznacza to, że dodatnie sprzężenie zwrotne nie spełnia
podstawowych wymogów stawianych układom regulacji ponieważ nie daje możliwości
osiągnięcia pożądanej niewielkiej wartości uchybu regulacji i dlatego nie jest stosowane jako
główne sprzężenie zwrotne. W miarę powiększania wzmocnienia układu otwartego szybkość
narastania uchybu regulacji powiększa się.
Dla ujemnego sprzężenia zwrotnego uchyb ustalony
e ( t ) = ∆x ∗ e − K ∗ t
spowodowany zmianą wartości zadanej o ∆x dla czasu t → ∞ dąży do granicy
e( t → ∞ ) =
lim ∆x ∗ e
t →∞
− K∗t
= ∆x ∗ e − K ∗∞
= 0
i szybko osiąga bardzo małe wartości. Oznacza to, że ujemne sprzężenie zwrotne spełnia
podstawowe wymogi stawiane układom regulacji ponieważ daje możliwość osiągnięcia
niewielkiej wartości uchybu regulacji i dlatego jest powszechnie stosowane w układach
regulacji jako główne sprzężenie zwrotne. Wzrost wartości współczynnika K
charakteryzującego łączne wzmocnienie występujące w torze głównym i w torze sprzężenia
zwrotnego przyczynia się do szybszego zmniejszania się uchybu i zazwyczaj jest korzystny
ale w niektórych przypadkach zbyt duże wzmocnienie może prowadzić do niepożądanej
utraty stabilności układu regulacji.
99
Rys. 61. Przebieg zanikania uchybu w stabilnym układzie regulacji z ujemnym sprzężeniem
zwrotnym zawierającym bezinercyjny przetwornik poziomu cieczy w zbiorniku obliczony dla
różnych wartości łącznego wzmocnienia występującego w torze głównym i w torze
2
2
sprzężenia zwrotnego ( c = 20[ m / c], A = 0.8[ m ], T2 = 0[s], T1 = 0, r = 0.5 ÷ 2 )
Z porównania rys. 59 i 61 wynika, że nadmierne uproszczenie opisu matematycznego
analizowanego układu regulacji przez założenie, że stałe czasowe pływakowego
przetwornika poziomu cieczy w zbiorniku T2 = 0 , T1 = 0 , co jest równoznaczne z
założeniem bezinercyjności pływaka, może prowadzić do uzyskania niewiarygodnych
wyników. W tak uproszczonym układzie dla dowolnych wartości współczynnika
wzmocnienia r nie występują narastające oscylacje uchybu regulacji poziomu cieczy w
zbiorniku świadczące o niestabilność układu regulacji a takie oscylacje zostały stwierdzone
w układzie uwzględniającym bezwładność pływaka.
Przykład
W niezakłócanym układzie regulacji z ujemnym sprzężeniem zwrotnym transmitancja
operatorowa układu otwartego zawierającego idealny człon całkujący szeregowo połączony
z członem inercyjnym drugiego rzędu jest opisana równaniem
100
Go(s) =
(
2.7
)
s ∗ 0.0064 ∗ s 2 + 0.016 ∗ s + 1
Obliczyć wartość uchybu ustalonego spowodowanego:
• Skokową zmianą sygnału wejściowego (wartości zadanej) o przyroście ∆x = 0.03 ,
• Impulsową zmianą sygnału wejściowego (wartości zadanej) o powierzchni impulsu
k = 0.06 ,
• Sporządzić charakterystykę amplitudowo – fazową układu otwartego.
Dla obydwóch ww przypadków obliczyć przebieg zniany uchybu w funkcji czasu i
zilustrować go na odpowiednich wykresach wykorzystując do tego celu program
Mathematica.
4.5.3. Zagadnienia do 1 pracy kontrolnej, przykładowy temat
Układ regulacji z ujemnym sprzężeniem zwrotnym
zawiera obiekt regulacji opisany równaniem różniczkowym…..i regulator opisany równaniem
…….. Zakładając zerowe warunki początkowe układu wyprowadzić równania:
• transmitancji operatorowej układu otwartego,
• transmitancji operatorowej układu zamkniętego,
• uchybu ustalonego po skokowej zmianie sygnału wejściowego o + ∆x ,
• transmitancji widmowej układu otwartego,
• modułu transmitancji widmowej (wzmocnienia) układu otwartego,
• argumentu transmitancji widmowej (kąta fazowego) układu otwartego.
Dla częstotliwości sygnału wejściowego f = ...... [ Hz ] obliczyć równania i wartości
liczbowe:
• modułu transmitancji widmowej (wzmocnienia) układu otwartego,
• argumentu transmitancji widmowej (kąta fazowego) układu otwartego,
• część rzeczywistą transmitancji widmowej,
• część urojoną transmitancji widmowej.
Obliczone wartości liczbowe zilustrować graficznie na płaszczyźnie liczb zespolonych jako
jeden punkt charakterystyki amplitudowo - fazowej.
101

Podstawy Automatyki…

Transkrypt

Podobne dokumenty

SKRZYNKA REPORTERSKA