Warunek (4) - 17.12.2015r.

Dowód warunku (4)
Niech For będzie zbiorem formuł rozpatrywanego przez nas języka, zdefiniowanym w sposób
standardowy, zaś W zbiorem światów możliwych. Funkcję wartościowania definiujemy tak jak w
przypadku υ-interpretacji dla funktorów Boolowskich, zaś dla formuł zbudowanych z funktora >
za pomocą funkcji fA oraz [A], dla dowolnej A ∈ For, co zostanie określone poniżej. Przyjmijmy,
że S x = {S0x , S1x , . . . , Snx } (n ∈ N), przy czym x ∈ S0x ⊆ S1x ⊆ . . . ⊆ Snx = W . Zacznijmy od określenia
funkcji [].
Definicja 1. []∶ For Ð→ ℘(W ) jest funkcją taką, że dla dowolnej A ∈ For kładziemy:
[A] = {x ∈ W ∶ v(A, x) = 1}
Przejdźmy do określenia rodziny funkcji fA , dla dowolnej A ∈ For, która ma przypisywać
dowolnemu światowi zbiór światów równych mu ceteris paribus z tą różnicą, że w światach tych
formuła A ma być prawdziwa.
Definicja 2. Niech A będzie dowolną formułą. Wówczas fA ∶ W Ð→ ℘(W ) jest funkcją taką,
że dla dowolnego x ∈ W kładziemy:
⎧
⎪
o ile [A] = ∅
⎪ ∅,
fA (x) = ⎨
x
x
x
⎪
⎪
⎩ ⋂{Si ∈ S ∶ Si ∩ [A] ≠ ∅} ∩ [A], o ile [A] ≠ ∅
Warunek prawdziwości dla A > B, dla dowolnych A, B ∈ For oraz dowolnej x ∈ W jest
określony w następujący sposób:
v(A > B, x) = 1 ⇐⇒ fA (x) ⊆ [B]
(v >)
Przypomnijmy, że warunek (4) miał następującą postać, dla dowolnego x ∈ W oraz dowolnych A, B ∈ For:
(fA (x) ⊆ [B] & fB (x) ⊆ [A]) Ô⇒ fA (x) = fB (x)
(4)
Dla dowodu (4) posłużymy się następującym warunkiem, które nałożyliśmy na interpretację
wyznaczającą logikę C + . Dla dowolnych A ∈ For oraz x ∈ W :
[A] ≠ ∅ Ô⇒ fA (x) ≠ ∅
Teraz możemy przejść do dowodu warunku (4).
1
(3)
Dowód. Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy, że:
fA (x) ⊆ [B]
(†)
fB (x) ⊆ [A]
(‡)
fA (x) ≠ fB (x).
(d.z.n.w.)
Wówczas istnieje y ∈ W taki, że zachodzi co najmniej jeden z dwóch następujących przypadków:
y ∈ fA (x) oraz y ∉ fB (x)
(a)
y ∉ fA (x) oraz y ∈ fB (x).
(b)
Niech naszym y będzie y0 . Powinniśmy rozpatrzyć obydwa przypadki, lecz rozpatrzymy tylko
jeden z nich, gdyż drugi rozpatruje się analogicznie. Załóżmy, że zachodzi (a), wówczas:
y0 ∈ fA (x) oraz y0 ∉ fB (x).
(a′ )
y0 ∈ fA (x).
(a′′ )
Na mocy (a′ ):
A stąd fA (x) ≠ ∅, zaś na mocy definicji 2:
fA (x) = Skx ∩ [A],
(deffA )
gdzie Skx jest najmniejszym zbiorem, którego przekrój z [A] jest niepusty, czyli:
Skx = ⋂{Six ∈ S x ∶ Six ∩ [A] ≠ ∅}.
Ponadto, na mocy (†):
y0 ∈ [B],
(⋆)
czyli [B] ≠ ∅. A zatem na mocy definicji 2:
fB (x) = Slx ∩ [B],
gdzie Slx jest najmniejszym zbiorem, którego przekrój z [B] jest niepusty, czyli:
Slx = ⋂{Six ∈ S x ∶ Six ∩ [B] ≠ ∅}.
Ze względu na to, że dla dowolnych Six , Sjx ∈ S x :
Six ⊆ Sjx lub Sjx ⊆ Six ,
mamy:
Sk ⊆ Sl lub Sl ⊆ Sk .
W przypadku, gdy Sk ⊆ Sl , na mocy (a′′ ) oraz (deffA ):
y0 ∈ Sl ,
2
(deffB )
zaś na mocy (⋆) oraz (deffB ):
y0 ∈ fB (w).
A jest to wykluczone na mocy (a′ ). Zatem:
Sl ⊆ Sk .
(⋆⋆)
Sl ∩ [A] = ∅.
(∗)
Zauważmy, że:
Istotnie, Sk jest najmniejszym zbiorem, którego przecięcie z [A] jest niepuste. A zatem na mocy
(⋆⋆), gdyby było tak, że:
Sl ∩ [A] ≠ ∅,
to Sl byłoby najmniejszym zbiorem, którego przecięcie z [A] jest niepuste.
Rozpatrzmy teraz y1 takie, że:
y1 ∈ fB (w).
Wówczas na mocy (deffB ):
y1 ∈ [B] oraz y1 ∈ Sl .
A na mocy (‡):
y1 ∈ [A].
A zatem:
Sl ∩ [A] ≠ ∅.
Na mocy (∗) oraz (∗∗) uzyskujemy sprzeczność.
3
(∗∗)
◻