wielokąty mozaiki wielościany wielościany foremne bryły platońskie

Transkrypt

© MINILAND, S.A. 2004
2 WIELOKĄTY
4 MOZAIKI
6 WIELOŚCIANY
7 WIELOŚCIANY FOREMNE
BRYŁY PLATOŃSKIE
9 WIELOŚCIANY PÓŁFOREMNE
14 GRANIASTOSŁUPY
16 ANTYGRANIASTOSŁUPY
17 OSTOSŁUPY
22 WIELOŚCIANY GWIAŹDZISTE
23 DELTOŚCIANY
23 RÓŻNE KONSTRUKCJE
MINILAND, S.A.
Parque Industrial La Marjal C/ La Patronal s/nº
03430 ONIL - ALICANTE - ESPAÑA
Call center: +34 96 655 77 75 e-mail: [email protected]
www.miniland.es
©
MINILAND, S.A., 2004
WSTĘP
Geometria jest działem matematyki. Zajmuje się przestrzenią, płaszczyznami i obiektami w nich
zawartymi, pomiarem i związkami, jakie między nimi zachodzą. Jednym z zadań geometrii jest
klasyfikacja istniejących figur ze względu na ich wymiary, kąty, właściwości, podobieństwa i
różnice. Jest to jeden z najciekawszych działów matematyki, gdyż bada otaczające nas i używane
na co dzień przedmioty. Dzięki geometrii można je poznać, zmierzyć i nazwać.
WIELOKĄTY
Wielokąt jest obszarem powierzchni dwuwymiarowej (ma tylko dwa wymiary – długość i
szerokość), ograniczonej zamkniętą linią łamaną.
otwarta linia wielokątna
zamknięta linia wielokątna
Każdy odcinek, który tworzy wielokąt nazywa się bokiem wielokąta. W punkcie zwanym
wierzchołkiem spotykają się dwa boki, pomiędzy którymi powstaje kąt. W zależności od miary
kątów (większej lub mniejszej niż 180ş), wielokąt będzie wypukły (wszystkie kąty są mniejsze niż
180ş) lub wklęsły (przynajmniej jeden kąt jest większy niż 180ş)
wklęsły
wypukły
(Jeśli potrzeba, podaj przykłady)
Najmniejszą liczbą boków, które utworzą wielokąt jest oczywiście trzy.
Podział wielokątów
Nazwa wielokąta odzwierciedla liczbę jego boków. I tak, jeśli wielokąt ma trzy boki, nazwiemy go trójkątem,
cztery – czworokątem, pięć – pięciokątem, sześć – sześciokątem, i tak dalej.
trójkątem
czworokątem
pięciokątem
sześciokątem
(Jeśli potrzeba, podaj przykłady)
Trójkąty dalej dzieli się w zależności od długości ich boków. Jeśli wszystkie boki są równej długości,
taki trójkąt nazywa się równobocznym, gdy dwa boki są równe – równoramiennym, a gdy każdy bok jest
inny – nierównobocznym.
nierównobocznym.
równobocznym,
równoramiennym
2
Istnieje jeszcze jeden podział trójkątów w zależności od miary ich kątów. Jeżeli wszystkie trzy kąty są
ostre (mniejsze niż 90ş), trójkąt nazwiemy ostrokątnym, jeśli jeden z kątów będzie rozwarty (większy niż
90ş) – rozwartokątnym, a gdy trójkąt posiada kąt prosty (90ş) – prostokątnym.
rozwartokątnym
ostrokątnym
prostokątnym
Czworokąty klasyfikuje się zgodnie z położeniem boków. Jeżeli obie pary boków są równoległe
otrzymamy równoległobok; dwa boki są równoległe – trapez; wszystkie boki nie są parami równoległe –
trapezoid. Równoległobok o czterech kątach prostych jest prostokątem. Gdy wszystkie boki są równe i
parami równoległe, otrzymamy szczególny rodzaj prostokąta – kwadrat.
trapezoid
trapez
równoległobok
prostokątem
kwadrat.
Gdy wielokąt ma boki równe i jest ich więcej niż pięć, mówimy o wielokącie foremnym. Na przykład
ośmiokąt foremny jest figurą o ośmiu bokach równej długości.
Elementy konstrukcyjne
A teraz kolej na zbudowanie omówionych wielokątów.
trójkąt równoboczny
prostokąt
trójkąt równoramienny
kwadrat
trójkąt prostokątny lub równoramienny
pięciokąt foremny
sześciokąt foremny
Dzięki specjalnym połączeniom elementy zestawu pasują do siebie jak kawałki puzzli. Budując figury,
należy kierować się długością boków elementów. Elementy o krótkich bokach będą wykorzystane w
większości figur. Te z dłuższymi bokami zastosujesz w prostokątach, z równymi w trójkątach
równoramiennych, a o różnej długości w trójkątach prostokątnych.
Gdy rozpoznajesz już wszystkie kolorowe elementy, zacznij je na próbę dowolnie ze sobą łączyć. W ten
sposób dojdziesz do wprawy zanim rozpoczniesz konstruowanie właściwych wielokątów.
3
MOZAIKI
Mozaika jest dekoracją w postaci ornamentu, pokrywającego powierzchnię. W geometrii, oczywiście,
będą to figury geometryczne Mozaiki mogą być kombinacją różnych wielokątów, które się ze sobą
stykają i nie mogą na siebie zachodzić.
mozaiki
mozaiki
W naszym otoczeniu możemy znaleźć przykłady mozaiki we wzorach parkietu, dywanów, tapet. Mozaiki są
ciekawym zjawiskiem nie tylko dla zainteresowanych wzornictwem i projektowaniem, ale też dla
miłośników matematyki, którzy w kształtach wielu przedmiotów dostrzegą figury geometryczne.
Powierzchnia jest płaszczyzną nieograniczoną i pozbawioną krawędzi. Jednak ty będziesz pracował na
arkuszu papieru czy stole, którego powierzchnię ograniczają krawędzie. Komponuj swój wzór tak długo, jak
to możliwe.
Mozaiki regularne
Tak nazywają się mozaiki tworzone z wielokątów foremnych jednego rodzaju.
Zacznij eksperymentować, a zobaczysz, jakie potrafisz stworzyć mozaiki z elementów tego zestawu.
Które z wielościanów foremnych pozwalają na pokrycie całej płaszczyzny mozaiką?
Zauważysz, że jedynymi wielokątami foremnymi, którymi pokryjesz całą płaszczyznę są trójkąty
równoboczne, kwadraty, sześciokąty, prostokąty, trójkąty prostokątne i równoramienne.
prostokąt
kwadrat
trójkąt równoboczny
trójkąt równoramienny
4
trójkąt prostokątny lub równoramienny
sześciokąt foremny
Mozaiki nieregularne
Mozaika ułożona z więcej niż jednego rodzaju wielokątów foremnych nazywa się mozaiką nieregularną.
Należy jednak rozważać tylko takie mozaiki, które będą w całości skomponowane z niezachodzących na
siebie figur. Takie mozaiki muszą spełniać dwa warunki:
a) W każdym wierzchołku schodzą się takie same wielokąty, w tej samej kolejności.
c) Boki wielokątów muszą być równej długości.
Przykładowe zdjęcie 3
5
Inne mozaiki
Istnieje wiele rodzajów mozaik. Tworzą je różne rodzaje wielokątów foremnych w taki sposób, że we
wszystkich wierzchołkach spotykają się takie same wielokąty w tym samym porządku. Inne mozaiki są
stworzone z wielokątów nieforemnych.
Zacznij eksperymentować i ułóż niezwykłą kompozycję.
WIELOŚCIANY
Wielościan jest zamkniętą bryłą przestrzenną – trójwymiarową (ma długość, szerokość i wysokość),
którą tworzą stykające się bokami wielokąty.
Wielokąty, tworzące wielościan, nazywają się ścianami bocznymi. Ich boki to krawędzie, a punkt, w
którym zbiegają się trzy lub więcej ściany (tworząc kąt) nazywa się wierzchołkiem.
ścianami bocznymi.
wierzchołkiem.
krawędzie
W zależności od miary kątów, wielościan może być wypukły lub wklęsły. Wielościan jest wypukły, jeśli
odcinek poprowadzony pomiędzy jego dowolnymi punktami w całości się w nim zawiera. Jeżeli taki
odcinek wyjdzie poza bryłę, wielościan nazwiemy wówczas wklęsłym.
wypukły
wklęsłym.
6
Twierdzenie Eulera
Wszystkie wielościany wypukłe spełniają warunek, określany jako twierdzenie Eulera: „We wszystkich
wielościanach wypukłych, liczba ścian (S) plus liczba wierzchołków (W) równa się liczbie krawędzi (K)
plus dwa". Twierdzenie można przedstawić jako równanie:
S+W=K+2
Budując wielościany foremne z elementów tego zestawu przekonasz się o prawdziwości tego
twierdzenia. Liczba wielokątów potrzebnych do zbudowania najmniejszego wielościanu wynosi cztery,
otrzymamy wtedy czworościan, gdy ścian jest sześć –sześciościan, osiem – ośmiościan, dziesięć
dziesięciościan, itd.
Jeżeli ściany wielościanu są równe, nazwiemy go wielościanem foremnym. Istnieje tylko pięć
wielościanów foremnych (inna ich nazwa to bryły platońskie). Omawiane są na dalszych stronach.
WIELOŚCIANY FOREMNE (BRYŁY PLATOŃSKIE)
Grecki filozof z IV w. p.n.e. Platon odkrył, że można zbudować tylko pięć wielościanów foremnych, które na
jego część nazwano bryłami platońskimi. Są to: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i
dwudziestościan. Do zbudowania każdego z nich potrzebny jest tylko jeden rodzaj wielokąta. Więc w
czworościanie, ośmiościanie i dwudziestościanie zauważymy trójkąty równoboczne; w sześcianie kwadraty, a
w dwunastościanie pięciokąty foremne.
czworościan
sześcian
ośmiościan
dwunastościan
dwudziestościan
Cechy brył platońskich:
1 wszystkie ściany są wielokątami wypukłymi foremnymi, wszystkie ściany i kąty są równe
2 są wielościanami wypukłymi, czyli odcinek poprowadzony pomiędzy dwoma dowolnymi
punktami wielościanu, w całości się w nim zawiera
3 żaden kąt nie jest większy niż 1800
4 całkowicie foremne, czyli patrząc na którykolwiek wierzchołek, bryła wygląda tak samo
5 zgodne z twierdzeniem Eulera.
CZWOROŚCIAN FOREMNY
ściany są trójkątami równobocznymi·
·liczba ścian: 4
·liczba wierzchołków: 4
·liczba krawędzi: 6
·zgodność z twierdzeniem Eulera: 4 + 4 = 6 + 2
·Potrzebne elementy: 4
siatka wielościanu:
SZEŚCIAN
ściany są kwadratami·liczba ścian: 6
7
OŚMIOŚCIAN FOREMNY
·liczba ścian: 8
ściany są trójkątami równobocznymi
DWUNASTOŚCIAN FOREMNY
ściany są pięciokątami foremnymi
·liczba ścian: 12
DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY
·liczba ścian: 20
ściany są trójkątami równobocznymi
*Wielościany dualne są parami bryłami, w których liczba ścian jednego wielościanu jest równa liczbie wierzchołków
drugiego. Zgodnie z twierdzeniem Eulera muszą mieć taką samą liczbę krawędzi. Istnieją, więc następujące pary:
czworościan – czworościan (czworościan jest dualny sam dla siebie), sześcian – ośmiościan, ośmiościan – sześcian,
dwunastościan – dwudziestościan, dwudziestościan – dwunastościan.
6 ścianami bocznymi.
6 wierzchołkiem.
12 krawędzie
12 krawędzie
Budowanie wielościanów rozpocznij od łączenia wyżej wymienionych elementów w płaską
powierzchnię. Inną metodą jest łączenie elementów jeden po drugim, aż powstanie bryła.
Wykorzystuj elementy w wielu kolorach, a otrzymasz bryły atrakcyjne dla oka. Zamień każdy z
kwadratów sześcianu na dwa trójkąty prostokątne – efekt będzie jeszcze większy jeśli kolory dobierzesz
według własnych upodobań.
8
WIELOŚCIANY PÓŁFOREMNE
Wielościan jest półforemny jeśli jego ściany są dwoma lub więcej rodzajami wielokątów foremnych, a w
każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian. Liczba wielościanów półforemnych jest
nieskończona. Można jednak wśród nich wyróżnić następujące grupy:
a) graniastosłupy prawidłowe – ściany boczne są kwadratami lub prostokątami, podstawy są równymi,
. równoległymi wielokątami foremnymi
b) antygraniastosłupy – ściany boczne są trójkątami równobocznymi lub równoramiennymi, obie
podstawy są równoległymi, foremnymi wielokątami, skręconymi względem siebie
c) wielościany gwiaździste – powstaną, gdy każdą ścianę o kształcie wielościanu foremnego zastąpimy
ostrosłupem (bez podstawy); liczba ścian jest taka jak liczba boków wielokąta, który zastąpiły
d) wielościany archimedesowe – powstaną, gdy zetnie się wierzchołki wielościanów foremnych.
Będziesz budował wielościany półforemne o określonej liczbie elementów.
Ścięcie
Ścięcie jest czynnością, podczas której odcina się narożniki wielościanów foremnych. W ten sposób
powstaną wielościany o ścianach foremnych. Każdy wierzchołek wielościanu zamienia się w wielokąt
foremny o równej liczbie boków, które spotykają się we wspólnym wierzchołku.
Otrzymane wielościany są różnorodne. Ich kształt zależy od tego, czy płaszczyzna, która je przecięła
przechodzi w połowie długości krawędzi (typ 1), czy w innym punkcie krawędzi (typ 2).
typ 1
typ 2
WIELOŚCIANY ARCHIMEDESOWE
Wielościany archimedesowe są wielościanami półforemnymi. Ich ściany są wielokątami foremnymi, w
każdym wierzchołku zbiega się równa liczba ścian. Ściany jednak nie są takie same. Nazwę zawdzięczają
Archimedesowi, który je odkrył.
Wielościany te stosuje się jako ornament dekoracyjny, np. taki kształt miewają klosze ulicznych latarni.
Takim wielościanem jest piłka nożna, którą tworzy 20 trójkątów, 30 kwadratów i 12 pięciokątów. Bryłę, jaką
jest piłka nożna, nazywa się dwunasto-dwudziestościanem rombowym małym.
Rozróżnia się trzynaście wielościanów archimedesowych. Cztery spośród nich tworzą ośmiokąty i
dziesięciokąty. Ten zestaw nie zawiera elementów potrzebnych do ich budowy. W związku z tym nie
podajemy dalszych szczegółów.
CZWOROŚCIAN ŚCIĘTY
DWUDZIESTO-DWUNASTOŚCIAN
SZEŚCIO-OŚMIOŚCIAN
DWUNASTOŚCIAN PRZYCIĘTY
SZEŚCIAN PRZYCIĘTY
OŚMIOŚCIAN ŚCIĘTY
SZEŚCIO-OŚMIOŚCIAN ROMBOWY MAŁY
DWUNASTO-DWUDZIESTOŚCIAN ROMBOWY MAŁY
(Zdjęcia wszystkich. Można załączyć zdjęcia tych, które można i, których nie można zbudować)
9
Dwunastościan ścięty
Dwudziesto- dwunastościan ścięty
Sześcian ścięty
Sześcio-ośmiościan ścięty
PODZIAŁ
a) Wielościany archimedesowe powstałe w wyniku ścięcia brył platońskich zgodnie z typem 1.
Ścięcie jest połowie długości krawędzi łączącej dwa wierzchołki.
SZEŚCIO-OŚMIOŚCIAN
Powstał w wyniku ścięcia typu 1 sześcianu lub ośmiościanu. Jeżeli zetnie się sześcian, zamiast
wierzchołków uzyska się trójkąty, a ściany będą kwadratami. Jeżeli przytnie się ośmiościan,
wierzchołki zamienią się w kwadraty, a ściany w trójkąty.
·liczba ścian: 14
·Potrzebne elementy: 6 kwadratów i 8 trójkątów równobocznych
Powstał w wyniku ścięcia typu 1 dwunastościanu lub dwudziestościanu foremnego. Jeżeli zetnie się
dwunastościan, każdy wierzchołek zamieni się w trójkąt, a ściany w pięciokąty. Jeśli zetnie się
dwudziestościan, każdy wierzchołek zamieni się w pięciokąt, a ściany w trójkąty.
·liczba ścian: 32
·Potrzebne elementy: 20 trójkątów równobocznych i 12 pięciokątów
·liczba wierzchołków: 30 ·liczba krawędzi: 60
Nie opisaliśmy przycinania czworościanu, ponieważ uzyskalibyśmy ośmiościan, który jest przecież bryłą
platońską.
b) Wielościany archimedesowe uzyska się przez ścięcie bryły platońskiej zgodnie z typem 2. Ścięcie
nie przechodzi przez połowę długości krawędzi łączącej dwa wierzchołki.
10
CZWOROŚCIAN ŚCIĘTY
Powstał w wyniku ścięcia typu 2 czworościanu foremnego. Każdy wierzchołek zamieni się w
trójkąt, a ściany w sześciokąty.
Potrzebne elementy: 4 sześciokąty i 4 trójkąty równoboczne
·liczba ścian: 8
·siatka wielościanu:
OŚMIOŚCIAN ŚCIĘTY
Powstał w wyniku ścięcia typu 2 ośmiościanu foremnego. Każdy wierzchołek zamieni się w kwadrat, a
ściany staną się sześciokątami foremnymi.
·liczba ścian: 14
· liczba wierzchołków: 24
Potrzebne elementy: 8 sześciokątów i 6 kwadratów
Powstał w wyniku ścięcia typu 1 dwunastościanu lub dwudziestościanu foremnego. Jeżeli zetnie się
dwunastościan, każdy wierzchołek zamieni się w trójkąt, a ściany w pięciokąty. Jeśli zetnie się
dwudziestościan, każdy wierzchołek zamieni się w pięciokąt, a ściany w trójkąty.
·liczba ścian: 32
·Potrzebne elementy: 20 trójkątów równobocznych i 12 pięciokątów
·liczba krawędzi: 60 ·zgodność z twierdzeniem Eulera: 32 + 30 = 60 + 2
Nie opisaliśmy przycinania czworościanu, ponieważ uzyskalibyśmy ośmiościan, który jest przecież bryłą
platońską.
11
c) Rombościany
SZEŚCIO-OŚMIOŚCIAN ROMBOWY MAŁY
Ten wielościan powstał w wyniku ścięcia sześciościanu w specjalny sposób oraz dodatkowych
przekształceń. Tworzą go kwadraty i trójkąty.
Potrzebne elementy: 18 kwadraty i 8 trójkątów równobocznych
·liczba ścian: 26
·liczba wierzchołków: 24 ·liczba krawędzi: 48 ·zgodność z twierdzeniem Eulera: 26 + 24 = 48 + 2
Dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki powstaje dzięki jeszcze innemu przekształceniu
sześcianu. Zestaw nie zawiera elementów potrzebnych do jego budowy.
DWUNASTO-DWUDZIESTOŚCIAN ROMBOWY MAŁY
Ten wielościan powstał w wyniku specjalnego ścięcia dwudziestościanu oraz dodatkowych
przekształceń. Tworzą go pięciokąty, kwadraty i trójkąty.
·liczba ścian: 62
Potrzebne elementy: 12 pięciokątów, 30 kwadratów i 20 trójkątów równobocznych
Dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki powstanie, gdy jeszcze inaczej przekształci się
dwudziestościan. Tworzą go kwadraty, sześciokąty i dziesięciokąty, które nie znajdują się w tym zestawie.
12
a) Bryły przycięte
SZEŚCIAN PRZYCIĘTY
Tworzą go kwadraty i trójkąty. Jego powierzchnie nie są symetryczne, ale ma oś obrotu.
·liczba ścian: 38
Potrzebne elementy: 6 kwadratów i 32 trójkąty równoboczne
DWUNASTOŚCIAN PRZYCIĘTY
Tworzą go pięciokąty i trójkąty. Jego powierzchnie nie są symetryczne, ale ma oś obrotu.
·liczba ścian: 92
Potrzebne elementy: 12 pięciokątów i 80 trójkątów równobocznych
13
GRANIASTOSŁUPY
Szczególnym rodzajem wielościanów są równoległościany. Ich główną cechą są dwie równe podstawy
położone na równoległych płaszczyznach (stąd ich nazwa), które mogą być dowolnym wielokątem.
Pozostałe ściany boczne są równoległobokami. Jeżeli podstawy są położone jedna nad drugą, wówczas
ściany będą miały kształt prostokątów lub kwadratów. Takie bryły nazywają się graniastosłupami lub
graniastosłupami prostymi. Dalej, jeżeli wszystkie ściany graniastosłupa są wielokątami foremnymi,
będzie on graniastosłupem prawidłowym, należącym do nieskończonej serii wielościanów półforemnych.
Graniastosłupy są najlepiej nam znanymi figurami przestrzennymi. Taki właśnie kształt mają budynki,
pudełka (np. na buty), kartony (np. na soki), itd. Graniastosłupy są nie tylko dziełem człowieka, ale również
spotykamy je w przyrodzie: kryształy niektórych minerałów, komórki warzyw, muszle wielu gatunków
mięczaków, oczy owadów i wiele innych.
Nazwy graniastosłupów wiążą się z liczbą boków wielokąta w podstawie. Jeśli jest to kwadrat, mówimy o
graniastosłupie czworokątnym. Jeżeli wielokąt w podstawie jest foremny (wszystkie boki są równe),
otrzymamy graniastosłup prawidłowy.
Z elementów tego zestawu można zbudować następujące graniastosłupy:
GRANIASTOSŁUPY TRÓJKĄTNE:
1) podstawy: trójkąty równoboczne
ściany boczne: kwadraty lub prostokąty
Potrzebne elementy: 2 trójkąty równoboczne i 3 kwadraty lub 3 prostokąty
2) podstawy: trójkąty równoramienne
ściany boczne: kwadraty i dwa prostokąty
Potrzebne elementy: 2 trójkąty równoramienne, 1 kwadrat i 2 prostokąty
3) podstawy: trójkąty prostokątne
ściany boczne: dwa kwadraty i jeden prostokąt
Potrzebne elementy: 2 trójkąty prostokątne, 2 kwadraty i 1 prostokąt
14
GRANIASTOSŁUPY CZWOROKĄTNE:
1) podstawy: kwadraty
·ściany boczne: kwadraty lub prostokąty
·Potrzebne elementy: 6 kwadratów lub 2 kwadraty i 4 prostokąty
2) podstawy: romby utworzone z dwóch trójkątów równobocznych
·Potrzebne elementy: 4 trójkąty równoboczne i 4 kwadraty lub 4 prostokąty
GRANIASTOSŁUPY PIĘCIOKĄTNE:
1) podstawy: pięciokąty
·Potrzebne elementy: 2 pięciokąty i 5 kwadratów lub 5 prostokątów
GRANIASTOSŁUPY SZEŚCIOKĄTNE:
1) podstawy: sześciokąty
·Potrzebne elementy: 2 sześciokąty i 6 kwadratów lub 6 prostokątów
Cechy graniastosłupów:
·
wszystkie ściany są wielokątami wypukłymi
·
są wielościanami wypukłymi
·
kąty nie są większe niż 180ş
·
zgodne z twierdzeniem Eulera: S + W = K + 2
Zauważ, że łącząc dwa kwadraty, powstanie prostokąt. Możesz połączyć kwadrat i prostokąt lub dwa
prostokąty. W ten sposób zbudujesz o wiele więcej graniastosłupów – podstawy mogą być większe,
podobnie ściany boczne, jeśli połączysz dwie lub więcej figury. Graniastosłupy będą też wyższe.
15
ANTYGRANIASTOSŁUPY
Wyobraźmy sobie, że boki kwadratowych lub prostokątnych ścian graniastosłupa są elastyczne lub
że można je zmienić obracając jeden wielokąt podstawy w jedną stronę, a drugi wielokąt w drugą
stronę. Otrzymalibyśmy wielościan zwany antygraniastosłupem. Innymi słowy, jest to graniastosłup
o równych podstawach, jedna nad drugą (inaczej ustawionych), ze ścianami które są trójkątami.
Jeżeli ściany pierwotnego graniastosłupa były kwadratami, w nowym staną się trójkątami
równobocznymi; jeżeli były prostokątami – zamienią się w trójkąty równoramienne.
Antygraniastosłupy o ścianach będącymi wielokątami foremnymi są wielościanami półforemnymi.
ANTYGRANIASTOSŁUPY TRÓJKĄTNE:
1) podstawy: trójkąty równoboczne
ściany boczne: trójkąty równoboczne lub równoramienne
siatka wielościanu
Potrzebne elementy:
2 trójkąty równoboczne i 6
trójkątów równobocznych
lub 6 trójkątów równoramiennych
i 6 trójkątów równobocznych
lub 6 trójkątów równoramiennych
ANTYGRANIASTOSŁUPY CZWOROKĄTNE:
1) podstawy: kwadraty
siatka wielościanu
Potrzebne elementy:
2 kwadraty i 8 trójkątów
równobocznych lub 8
trójkątów równoramiennych
ANTYGRANIASTOSŁUPY PIĘCIOKĄTNE:
1) podstawy: pięciokąty
Potrzebne elementy:
2 pięciokąty i 10 trójkątów
trójkątów
równoramiennych
ANTYGRANIASTOSŁUPY SZEŚCIOKĄTNE:
1) podstawy: sześciokąty
Potrzebne elementy:
2 sześciokąty i 12 trójkątów
trójkątów równoramiennych
siatka wielościanu
16
siatka wielościanu
OSTROSŁUPY
Z pewnością słyszałeś o piramidach starożytnego Egiptu. Pełniły funkcję grobowców faraonów. Otaczają je tak
liczne tajemnice, że zainteresowanie wokół nich nie gaśnie od wieków. Składa się z podstawy, przyjmującej
kształt kwadratu, oraz trójkątnych ścian. Wierzchołki wszystkich czterech ścian spotykają się w wierzchołku.
Piramida jest jedną z brył zaliczanych do ostrosłupów i określa się ją jako ostrosłup foremny czworokątny o
podstawie kwadratu. Nazwa ostrosłupa ma związek z liczbą ścian wielokąta w podstawie. Jeżeli podstawą
ostrosłupa jest kwadrat, nazwiemy go czworokątnym. Poza tym, jeśli wielokąt w podstawie jest foremny
(wszystkie boki są równe), ostrosłup również będzie foremny. Jeżeli wszystkie ściany ostrosłupa są wielokątami
foremnymi, bryłę nazwiemy ostrosłupem półforemnym
Wierzchołek ostrosłupa to punkt powyżej podstawy, w którym spotykają się wszystkie ściany. Jeśli od
wierzchołka poprowadzisz linię prostopadłą do podstawy, uzyskasz odcinek zwany wysokością ostrosłupa.
Jeżeli wysokość przechodzi przez środek wielokąta tworzącego podstawę, ostrosłup będzie prosty. Jeśli nie,
ostrosłup będzie wyglądał na krzywy.
Z elementów tego zestawu można zbudować następujące ostrosłupy:
OSTROSŁUPY TRÓJKĄTNE:
1) podstawa: trójkąt równoboczny
Potrzebne elementy:
1 trójkąt równoboczny i 3 trójkąty równobocznych lub 3 trójkąty równoramienne
2) podstawa: trójkąt prostokątny
ściany boczne: dwa trójkąty
równobocznych lub jeden prostokąt
Potrzebne elementy:
2 trójkąty prostokątne i 2 trójkąty równoboczne $$$
3) podstawa: trójkąt równoramienny
ściany boczne: trójkąty równoramienne
Potrzebne elementy: 4 trójkąty równoramienne
17
4) podstawa: trójkąt równoramienny
ściany boczne: trójkąt równoboczny i dwa prostokąty
Potrzebne elementy: 1 trójkąt równoramienny, 2 trójkąty prostokątne i 1 trójkąt równoboczny
OSTROSŁUPY CZWOROKĄTNE
1) podstawa: kwadrat
siatki wielościanów:
Potrzebne elementy:
1 kwadrat i 4 trójkąty równoboczne lub 4 trójkąty równoramienne $$$
2) podstawa: kwadrat
ściany boczne: trójkąt równoboczny i równoramienny, trójkąty prostokątne
Potrzebne elementy:
1 kwadrat i 1 trójkąt równoboczny, 1 trójkąt równoramienny i 2 trójkąty prostokątne
3) podstawa: prostokąt
ściany boczne: trójkąty prostokątne i równoboczne
Potrzebne elementy: 1 prostokąt, 2 trójkąty równoboczne i 2 trójkąty prostokątne
18
4) podstawa: prostokąt
Potrzebne elementy: 1 prostokąt i 3 trójkąty równoramienne i 1 trójkąt równoboczny
OSTROSŁUPY PIĘCIOKĄTNE:
1) podstawa: pięciokąt
Potrzebne elementy: 1 pięciokąt i 5 trójkątów równoramiennych
OSTROSŁUPY SZEŚCIOKĄTNE:
1) podstawa: sześciokąt
Potrzebne elementy: 1 sześciokąt i 6 trójkątów równoramiennych
Nie można zbudować ostrosłupa pięciokątnego i sześciokątnego z trójkątów równobocznych
Cechy ostrosłupów:
·
wszystkie ściany są wypukłe
·
są wielościanami wypukłymi
·
kąty nie przekraczają 180ş
·
zgodne z twierdzeniem Eulera: S + W = K + 2
19
DWUPIRAMIDY
Jeżeli połączymy podstawami (uprzednio usuniętymi) dwa ostrosłupy o identycznych podstawach,
otrzymamy bryłę o nazwie dwupiramida. Jeżeli podstawy są trójkątami, nazwiemy ją dwupiramidą
trójkątną, jeśli kwadratami – kwadratowe, itd.
Z elementów tego zestawu można zbudować następujące dwupiramidy:
DWUPIRAMIDY TRÓJKĄTNE:
dwa ostrosłupy trójkątne zbudowane z trójkątów równobocznych
6 trójkątów równobocznych
ostrosłup zbudowany z trójkątów równobocznych i inny ostrosłup zbudowany z trójkątów
równoramiennych
3 trójkąty równoboczne i 3 trójkąty równoramienne
dwa ostrosłupy zbudowane z trójkątów równoramiennych
6 trójkątów równoramiennych
DWUPIRAMIDY KWADRATOWE:
dwa ostrosłupy czworokątne zbudowane z trójkątów równobocznych
ostrosłup zbudowany z trójkątów równoramiennych i ostrosłup zbudowany z trójkątów
równobocznych 4 trójkąty równoboczne i 4 trójkąty równoramienne
20
·
DWUPIRAMIDY PIĘCIOKĄTNE:
·
dwa ostrosłupy pięciokątne zbudowane z trójkątów równobocznych
·
ostrosłup zbudowany z trójkątów równobocznych i ostrosłup zbudowany z trójkątów
równoramiennych
5 trójkątów równobocznych i 5 trójkątów równoramiennych
·
DWUPIRAMIDA SZEŚCIOKĄTNA:
1dwa ostrosłupy sześciokątne zbudowane z trójkątów równoramiennych
21
WIELOŚCIANY GWIAŹDZISTE
Jeśli do każdej ze ścian czworościanu foremnego „dokleimy" ostrosłup trójkątny, powstanie gwiazda o
czterech wierzchołkach – czworościan gwiaździsty. Tak samo można „doklejać" ostrosłupy do czterech
pozostałych wielościanów foremnych, uzyskując bryły o wyjątkowej urodzie: sześcian gwiaździsty,
ośmiościan gwiaździsty, dwunastościan gwiaździsty i dwudziestościan gwiaździsty. Aby zbudować takie
wielościany, potrzebne są tylko trójkąty równoboczne lub równoramienne.
Ważną cechą tych wielościanów jest to, że są one wklęsłe. Bryły, które dotychczas konstruowałeś były
wypukłe.
Gwiazdę można również zbudować, dołączając ostrosłupy do ścian wcześniej wspomnianych
wielościanów archimedesowych.
Przykłady:
– z sześcianu ściętego,
otrzymamy sześcian
ścięty gwiaździsty
– z czworościanu ściętego, otrzymamy
czworościan ścięty gwiaździsty (stelacja
wierzchołkowa czworościanu ściętego)
dwunastościan gwiaździsty (12 trójkątów)
sześcian gwiaździsty (24 trójkąty)
ośmiościan gwiaździsty (24 trójkąty)
dwunastościan gwiaździsty (60 trójkątów) m
dwudziestościan gwiaździsty (60 trójkątów)
22
DELTOŚCIANY
Deltościany należą do rodziny wielościanów, które są zbudowane wyłącznie z trójkątów
równobocznych. Ich nazwa pochodzi od greckiej litery delta, która wyglądem przypomina trójkąt.
Istnieje tylko osiem deltościanów wypukłych, niektóre z nich już poznałeś.
CZWOROŚCIAN
FOREMNY (4 trójkąty)
OŚMIOŚCIAN
FOREMNY
(8 trójkątów)
DWUSFENOID
PRZYCIĘTY
(12 trójkątów)
WYDŁUŻONA
DWUPIRAMIDA
KWADRATOWA
SKRĘCONA
(16 trójkątów)
DWUPIRAMIDA TRÓJKĄTNA
(6 trójkątów)
DWUPIRAMIDA PIĘCIOKĄTNA
(10 trójkątów)
POTRÓJNIE POWIĘKSZONY
GRANIASTOSŁUP TRÓJKĄTNY
(14 trójkątów)
DWUDZIESTOŚCIAN
FOREMNY
(20 trójkątów)
RÓŻNE KONSTRUKCJE
Jeżeli z naszą pomocą doszedłeś już do tego etapu w budowaniu wielościanów, poszerzyłeś swoją
wiedzę z geometrii bardziej niż sobie wyobrażasz i wiesz o wiele więcej niż nauczyłbyś się na
tradycyjnej lekcji matematyki w szkole.
Teraz, zasługujesz na to, aby bawić się elementami z tego zestawu w sposób zupełnie dowolny.
Możesz tworzyć budynki, konstrukcje, bryły, i inne. Jednak nie zapomnij o geometrii – możesz
połączyć zdobytą wiedzę z wyśmienitą zabawą.
Życzymy dobrej zabawy i gratulujemy osiągnięć w geometrii!
23

wielokąty mozaiki wielościany wielościany foremne bryły platońskie

Transkrypt

Podobne dokumenty