Model wahań okresowych

Model wahań okresowych
Y – obserwowana cecha
Szereg czasowy: y0 , y1 , . . . , yn−1
Składniki szeregu czasowego:
1. trend: (średnia wartość cechy w czasie) funkcja
trendu f (t)
2. okresowość: (regularne odchylenia wartości cechy od trendu) funkcje wahań okresowych
Si (t), i = 0, 1, . . . , r − 1, r – długość okresu,
Si (t + r) = Si (t)
3. szum: składnik losowy ξt , Eξt = 0, D2 ξt = σ 2
Yt
Yt
.
......... ... .
.
. .. .....
......
.. ..... ... ....... ...... ...
.
.
....... . ...... . .... ...
...
.. ...... ..... ... ..
.
.. . ... ..
...
...
.... .... .... ....... .... ...
....
.
.. ...... ...
..
....... .. ..... .... ..
.
.
.
.
.
.
.
. .
...
......... ..
... .........
.
....
addytywny
t
..
.
........... ... ..
. .
....... .. ...... .....
... ........... ...... .... ....
. .
..
...
... .... ...... ... .. ........
...... ....... .... ........
.... .
.................... ......
.
.
......
.
..
.. ....
.
.
.
.
.
.
.
.
....... ......
...
.
.
......
t
multiplikatywny
W Z P &S 1.1
Model addytywny (A)
Yt = f (t) + Si (t) + ξt ,
t = 0, 1, 2, . . .
przy założeniu
r−1
X
Si (t) = 0
i=0
Model multiplikatywny (M )
Yt = f (t)Si (t) + ξt ,
t = 0, 1, 2, . . .
przy założeniach
r−1
X
Si (t) = r,
Si (t) > 0
i=0
W Z P &S 1.2
Metoda średnich ruchomych
Cel
1. Wyznaczyć długość okresu.
2. Rozpoznać postać funkcji trendu.
Yt
•
Yt
••
•
•....
...
.
.
.
.
.
.
.
• . .... .
•
....
.......... ... •
.
......
.
•
•
.
.
.
•
•
.... .............
•
.. •
.
•
.
.
.
.
.
.
.
.
•
.....
•
... •
•
...
.
.
.....
....•
.•
.... •
•
.
.
.
...
•
t
•
••
•
• ..
.
..............
.
•
.
.
..
•..... .. •
. ........
.... ..•
•
.
.
•..............
•
.
•
..... •
.
.
.
•
.
.
.
.
.
.
.
.
•
..
•
.... .•
•
.....
.
.
.
....
•
....•
..... •
•
.
.
.
...
•
r=2
t
r=3
Yt
••
......
•
• ................•
.
.........
••
....... •
.
.
.
•
.
.
.
..... •
•
•..........
•
•.....•
...... •
.
.
.
....
•...•
•
...... •
•
•
••
t
r=4
W Z P &S 1.3
Średnie ruchome ȳm
r – nieparzyste
1
ȳm = (yi + yi+1 + · · · + yi+r−1 )
r
r−1
m=i+
, i = 0, 1, . . . , n − r + 1
2
r – parzyste
ȳm
1
=
r
1
1
yi + yi+1 + · · · + yi+r−1 + yi+r
2
2
r
m = i + , i = 0, 1, . . . , n − r
2
W Z P &S 1.4
Etapy analizy szeregu czasowego
1. Estymacja funkcji trendu.
2. Estymacja funkcji okresowości.
3. Prognoza.
Estymacja funkcji trendu
• Metoda najmniejszych kwadratów.
• Inne.
Przypadek szczególny: f (t) = β0 + β1 t
βb0 = A
n−1
X
t=0
A=
yt + C
n−1
X
tyt , βb1 = C
t=0
n−1
X
t=0
yt + B
n−1
X
tyt ,
t=0
12
2(2n − 1)
, B=
,
n(n + 1)
n(n + 1)(n − 1)
C=
−6
.
n(n + 1)
W Z P &S 1.5
Estymacja funkcji okresowości
(metoda wskaźników)
fb – oszacowana funkcja trendu,
n−i m = r + 1 ([a] część całkowita liczby a),
• Model addytywny
Surowe wskaźniki okresowości
m−1
m−1
1 X
1 X b
Ssi =
yi+jr −
f (i + jr)
m j=0
m j=0
Oczyszczone wskaźniki okresowości
r−1
Soi
1X
Ssj
= Ssi −
r j=0
W Z P &S 1.6
• Model multiplikatywny
Surowe wskaźniki okresowości
m−1
P
Ssi =
yi+jr
j=0
m−1
P
fb(i + jr)
j=0
Oczyszczone wskaźniki okresowości
Soi = Ssi k
k=
r
r−1
P
j=0
Ssj
W Z P &S 1.7
Prognoza dla chwili n0 ≥ n
• Punktowa
model (A)
ybn0 = fb(n0 ) + Soi
model (M )
ybn0 = fb(n0 )Soi
ybn0 prognozowana wartość szeregu
i = (n0 mod r)
• Przedziałowa
(b
yn0 − S, ybn0 + S)
v
u
u
S=t
(
ybt =
n−1
1 X
(yt − ybt )2
n − 1 t=0
fbt) + So(t mod r)
fb(t)So(t mod r)
dla modelu (A)
dla modelu (M )
W Z P &S 1.8
Przykład. Notowano ilość zleceń wykonanych przez
pewną firmę w kolejnych kwartałach lat 1996−2000:
Lata
1996
1997
1998
1999
2000
I
4
8
14
20
25
Kwartały
II III IV
4 14 18
12 24 25
15 28 30
24 32 33
32 40 42
Oszacować ilość zleceń w trzecim kwartale 2001 roku.
..
..•
......
.
.
.
.
•
..
..
.
..
..
.
....
..
.
..........•
.
.
•
•
.
.
...
.
..
...
..
....
...•
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..
..
•.... ......
... ..
..
..
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
•
......•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
... .....•
...
.
.
.
.
.
... ....
...
.
.
..
...
..
..
.
•.....
.
.
...
.
.
.
...
....
..
....•
...
..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
... .....•
.
.
.... .....
...... .
..
...
•
•
...
.
.
.
...
...
..
... ......•
.
... ......
.
..
•....
.
.
.
..
...
•...........•
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
W Z P &S 1.9
Metoda średnich ruchomych
•
..
....
.
.
.
.
.
.
•
.....
•
.....................................•
.
.
•
.
.
.
•.....................
.....
.....................
.
.
•
•
.
.
•
•
.
......................
.....
.
.
.
.
.
.
•
..... ..........
....
......
•
....
.
.
.
.
.
.
• •
•........... .......................•.
.....
.
.
.
..
•
....
•
• •
r=2
•
...
.
.
.
.
....
.....
•
..•
.
.
.
•
.
.
.
.
.
.
........................
• .......•............ .......................
... •
•
.......
• ...•..
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....................
•
...
.
•
.....
.
.
.
.
.
.
• ...........................•
• •
..........
.
.
.
.
.
.
......
•
•
• •
r=3
• •
• •
.
• ....•........................•
•
• ........................................
•
•
.........
•
•
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
•
• ....................................
•......................... •
• •
...
•
r=4
W Z P &S 1.10
Estymacja funkcji trendu
2(2 · 20 − 1)
A=
= 0.1857
20(20 + 1)
B=
12
= 0.0015
20(20 + 1)(20 − 1)
C=
−6
= −0.0143
20(20 + 1)
19
X
yt = 444,
t=0
19
X
tyt = 5311
t=0
βb0 = A
βb1 = C
19
X
yt + C
19
X
t=0
t=0
19
X
19
X
t=0
yt + B
tyt = 6.586
tyt = 1.644
t=0
fb(t) = 1.644t + 6.586
W Z P &S 1.11
Estymacja funkcji okresowości
Lata
1996
1997
1998
1999
2000
I
6.586
13.160
19.735
26.309
32.884
średnia
dane oryginalne
trend
Kwartały
II
III
8.229
9.873
14.804 16.447
21.378 23.022
27.953 29.596
34.527 36.171
IV
11.517
18.091
24.665
31.240
37.814
I
II
III
IV
14.200 17.400 27.600 29.600
19.735 21.378 23.022 24.665
Surowe wskaźniki okresowości
Ss0 = 14.200 − 19.735 = −5.535
Ss1 = 17.400 − 21.378 = −3.978
Ss2 = 27.600 − 23.022 = 4.578
Ss3 = 29.600 − 24.665 = 4.935
Oczyszczone wskaźniki okresowości
Ponieważ Ss0 + Ss1 + Ss2 + Ss3 = 0,
zatem Soi = Ssi , dla i = 0, 1, 2, 3.
W Z P &S 1.12
Prognoza dla trzeciego kwartału 2001 roku
(n0 = 22)
Prognoza punktowa
ŷ22 = fˆ(22)+So2 = 1.644·22+6.586+4.578 = 47.332
Prognoza przedziałowa
S2 =
1
((4−6.586+5.535)2 +(4−8.229+3.978)2 +· · ·
19
· · · + (42 − 37.814 − 4.935)2 ) = 2.942
47.332 −
√
2.942, 47.332 +
√
2.942 =
= (45.62, 49.05)
Wniosek.
W trzecim kwartale 2001 roku należy spodziewać się
co najmniej 45. zleceń, ale mniej niż 50.
W Z P &S 1.13