Model wahań okresowych
Transkrypt
Model wahań okresowych
Model wahań okresowych Y – obserwowana cecha Szereg czasowy: y0 , y1 , . . . , yn−1 Składniki szeregu czasowego: 1. trend: (średnia wartość cechy w czasie) funkcja trendu f (t) 2. okresowość: (regularne odchylenia wartości cechy od trendu) funkcje wahań okresowych Si (t), i = 0, 1, . . . , r − 1, r – długość okresu, Si (t + r) = Si (t) 3. szum: składnik losowy ξt , Eξt = 0, D2 ξt = σ 2 Yt Yt . ......... ... . . . .. ..... ...... .. ..... ... ....... ...... ... . . ....... . ...... . .... ... ... .. ...... ..... ... .. . .. . ... .. ... ... .... .... .... ....... .... ... .... . .. ...... ... .. ....... .. ..... .... .. . . . . . . . . . ... ......... .. ... ......... . .... addytywny t .. . ........... ... .. . . ....... .. ...... ..... ... ........... ...... .... .... . . .. ... ... .... ...... ... .. ........ ...... ....... .... ........ .... . .................... ...... . . ...... . .. .. .... . . . . . . . . ....... ...... ... . . ...... t multiplikatywny W Z P &S 1.1 Model addytywny (A) Yt = f (t) + Si (t) + ξt , t = 0, 1, 2, . . . przy założeniu r−1 X Si (t) = 0 i=0 Model multiplikatywny (M ) Yt = f (t)Si (t) + ξt , t = 0, 1, 2, . . . przy założeniach r−1 X Si (t) = r, Si (t) > 0 i=0 W Z P &S 1.2 Metoda średnich ruchomych Cel 1. Wyznaczyć długość okresu. 2. Rozpoznać postać funkcji trendu. Yt • Yt •• • •.... ... . . . . . . . • . .... . • .... .......... ... • . ...... . • • . . . • • .... ............. • .. • . • . . . . . . . . • ..... • ... • • ... . . ..... ....• .• .... • • . . . ... • t • •• • • .. . .............. . • . . .. •..... .. • . ........ .... ..• • . . •.............. • . • ..... • . . . • . . . . . . . . • .. • .... .• • ..... . . . .... • ....• ..... • • . . . ... • r=2 t r=3 Yt •• ...... • • ................• . ......... •• ....... • . . . • . . . ..... • • •.......... • •.....• ...... • . . . .... •...• • ...... • • • •• t r=4 W Z P &S 1.3 Średnie ruchome ȳm r – nieparzyste 1 ȳm = (yi + yi+1 + · · · + yi+r−1 ) r r−1 m=i+ , i = 0, 1, . . . , n − r + 1 2 r – parzyste ȳm 1 = r 1 1 yi + yi+1 + · · · + yi+r−1 + yi+r 2 2 r m = i + , i = 0, 1, . . . , n − r 2 W Z P &S 1.4 Etapy analizy szeregu czasowego 1. Estymacja funkcji trendu. 2. Estymacja funkcji okresowości. 3. Prognoza. Estymacja funkcji trendu • Metoda najmniejszych kwadratów. • Inne. Przypadek szczególny: f (t) = β0 + β1 t βb0 = A n−1 X t=0 A= yt + C n−1 X tyt , βb1 = C t=0 n−1 X t=0 yt + B n−1 X tyt , t=0 12 2(2n − 1) , B= , n(n + 1) n(n + 1)(n − 1) C= −6 . n(n + 1) W Z P &S 1.5 Estymacja funkcji okresowości (metoda wskaźników) fb – oszacowana funkcja trendu, n−i m = r + 1 ([a] część całkowita liczby a), • Model addytywny Surowe wskaźniki okresowości m−1 m−1 1 X 1 X b Ssi = yi+jr − f (i + jr) m j=0 m j=0 Oczyszczone wskaźniki okresowości r−1 Soi 1X Ssj = Ssi − r j=0 W Z P &S 1.6 • Model multiplikatywny Surowe wskaźniki okresowości m−1 P Ssi = yi+jr j=0 m−1 P fb(i + jr) j=0 Oczyszczone wskaźniki okresowości Soi = Ssi k k= r r−1 P j=0 Ssj W Z P &S 1.7 Prognoza dla chwili n0 ≥ n • Punktowa model (A) ybn0 = fb(n0 ) + Soi model (M ) ybn0 = fb(n0 )Soi ybn0 prognozowana wartość szeregu i = (n0 mod r) • Przedziałowa (b yn0 − S, ybn0 + S) v u u S=t ( ybt = n−1 1 X (yt − ybt )2 n − 1 t=0 fbt) + So(t mod r) fb(t)So(t mod r) dla modelu (A) dla modelu (M ) W Z P &S 1.8 Przykład. Notowano ilość zleceń wykonanych przez pewną firmę w kolejnych kwartałach lat 1996−2000: Lata 1996 1997 1998 1999 2000 I 4 8 14 20 25 Kwartały II III IV 4 14 18 12 24 25 15 28 30 24 32 33 32 40 42 Oszacować ilość zleceń w trzecim kwartale 2001 roku. .. ..• ...... . . . . • .. .. . .. .. . .... .. . ..........• . . • • . . ... . .. ... .. .... ...• .. . . . . . . . . . . . ... .. .. •.... ...... ... .. .. .. ..... . . . . . . . . ... ... • ......• . . . . . . . . . . . • ... .....• ... . . . . . ... .... ... . . .. ... .. .. . •..... . . ... . . . ... .... .. ....• ... .. ... . . . . . . . . ... .....• . . .... ..... ...... . .. ... • • ... . . . ... ... .. ... ......• . ... ...... . .. •.... . . . .. ... •...........• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 W Z P &S 1.9 Metoda średnich ruchomych • .. .... . . . . . . • ..... • .....................................• . . • . . . •..................... ..... ..................... . . • • . . • • . ...................... ..... . . . . . . • ..... .......... .... ...... • .... . . . . . . • • •........... .......................•. ..... . . . .. • .... • • • r=2 • ... . . . . .... ..... • ..• . . . • . . . . . . ........................ • .......•............ ....................... ... • • ....... • ...•.. ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... • ... . • ..... . . . . . . • ...........................• • • .......... . . . . . . ...... • • • • r=3 • • • • . • ....•........................• • • ........................................ • • ......... • • ............. . . . . . . . . . . . . . . . . ........ • • .................................... •......................... • • • ... • r=4 W Z P &S 1.10 Estymacja funkcji trendu 2(2 · 20 − 1) A= = 0.1857 20(20 + 1) B= 12 = 0.0015 20(20 + 1)(20 − 1) C= −6 = −0.0143 20(20 + 1) 19 X yt = 444, t=0 19 X tyt = 5311 t=0 βb0 = A βb1 = C 19 X yt + C 19 X t=0 t=0 19 X 19 X t=0 yt + B tyt = 6.586 tyt = 1.644 t=0 fb(t) = 1.644t + 6.586 W Z P &S 1.11 Estymacja funkcji okresowości Lata 1996 1997 1998 1999 2000 I 6.586 13.160 19.735 26.309 32.884 średnia dane oryginalne trend Kwartały II III 8.229 9.873 14.804 16.447 21.378 23.022 27.953 29.596 34.527 36.171 IV 11.517 18.091 24.665 31.240 37.814 I II III IV 14.200 17.400 27.600 29.600 19.735 21.378 23.022 24.665 Surowe wskaźniki okresowości Ss0 = 14.200 − 19.735 = −5.535 Ss1 = 17.400 − 21.378 = −3.978 Ss2 = 27.600 − 23.022 = 4.578 Ss3 = 29.600 − 24.665 = 4.935 Oczyszczone wskaźniki okresowości Ponieważ Ss0 + Ss1 + Ss2 + Ss3 = 0, zatem Soi = Ssi , dla i = 0, 1, 2, 3. W Z P &S 1.12 Prognoza dla trzeciego kwartału 2001 roku (n0 = 22) Prognoza punktowa ŷ22 = fˆ(22)+So2 = 1.644·22+6.586+4.578 = 47.332 Prognoza przedziałowa S2 = 1 ((4−6.586+5.535)2 +(4−8.229+3.978)2 +· · · 19 · · · + (42 − 37.814 − 4.935)2 ) = 2.942 47.332 − √ 2.942, 47.332 + √ 2.942 = = (45.62, 49.05) Wniosek. W trzecim kwartale 2001 roku należy spodziewać się co najmniej 45. zleceń, ale mniej niż 50. W Z P &S 1.13