Mechanika płynów
Transkrypt
Mechanika płynów
MECHANIKA PŁYNÓW Materiały pomocnicze do wykładów opracował: prof. nzw. dr hab. inż. Wiesław Grzesikiewicz Warszawa, październik 2011 Mechanika płynów dział mechaniki materialnych ośrodków ciągłych - odkształcalne ciało stałe ciecze - płyny gazy mechanika zajmuje się badaniem ruchu ośrodka oraz działających na niego sil. Badanie ruchu odbywa się w czasoprzestrzeni Galileusza. W mechanice posługujemy się modelami (idealizacją) rzeczywistych ciał materialnych. Podstawowa zasad tej idealizacji polega na pominięciu cząsteczkowej struktury materii i przyjęciu ciągłego rozkładu materii w przestrzeni fizycznej (ciągłe wypełnienie przestrzeni – kontinuum). Metody mechaniki płynów - modelowanie: fizyczne, matematyczne, komputerowe. Modelowanie matematyczne: ustalanie matematycznych formuł, za pomocą których odwzorowuje się (opisuje) związki miedzy wielkościami fizycznymi określającymi rozpatrywany aspekt rzeczywistości; w mechanice płynów są to wielkości fizyczne, za pomocą których określa się procesy akumulowania i rozpraszania energii płynu. Zasady matematycznego opisu ośrodków ciągłych x 3 (z ) t Czasoprzestrzeń Galileusza /układ inercjalny, czas absolutny/ układ współrzędnych prawoskrętny /zwykle prostokątny x 2 (x ) x 1 (y ) x1 x r ≡ x : = x 2 ≡ y ∈ R 3 opis współrzędnych przestrzennych x 3 z znak definicji (t, x ) - opis punktu czasoprzestrzeni (zdarzenia) określa chwilę i miejsce. 2 Wielkości fizyczne Właściwości ośrodka ciągłego są określane w każdym punkcie rozważanego obszaru czasoprzestrzeni, za pomocą funkcji w (t , x ) w – funkcja określająca obserwowaną wielkość fizyczną np.; temperatura, gęstość, prędkość itp. Do opisu wielkości fizycznych używa się różnych funkcji - skalarnej w : R 1 × R 3 → R 1 , w (t , x ) ∈ R 1 - wektorowej w : R 1 × R 3 → R 3 , w (t , x ) ∈ R 3 w 1 (t , x ) w (t , x ) : = w 2 (t , x ) w 3 (t , x ) - trzy funkcje skalarne w i (t , x ) i = 1,2,3 macierzowej w : R 1 × R 3 → R 3× 3 , w (t , x ) ∈ R 3× 3 w11 (t , x ) , w12 (t , x ) , w13 (t , x ) w (t , x ) : = w 21 (x, t ) , w 22 (t , x ) , w 23 (t , x ) . w 31 (x, t ) , w 32 (t , x ) , w 33 (t , x ) Podstawowe obiekty geometryczne w przestrzeni R 3 x3 x3 punkt koniec linia zorientowana B A l orientacja linii początek A x2 x2 x1 x1 A,B punkty brzegowe l długość linii powierzchnia zorientowana /płat powierzchni/ x3 orientacja powierzchni n – wektor (wersor) prostopadły do powierzchni w rozważanym punkcie dS – powierzchnia elementarna + druga strona powierzchni ∂S – brzeg orientacja brzegu x1 x2 S - powierzchnia 3 pole powierzchni – wielkość skalarna charakteryzuje powierzchnię x3 Ω ∂Ω obszar powierzchnia zamknięta x2 V – objętość obszaru x1 Gęstość masy płynu w punkcie A t x3 ∆Ω - otoczenie punktu A ∆m – masa płynu w obszarze ∆Ω A ∆V – objętość obszaru ∆Ω x2 x1 ∆m ∆V → 0 ∆V ρ(t , x ) : = lim kg ρ m3 ρ = olej 833, benzyna 740, woda 1000, alkohol 790, mleko 1300; ciężar właściwy - γ : = ρg g - przyspieszenie ziemskie objętość właściwa - v= 1 ρ m3 kg Dane pole gęstości płynu, tzn. jest dana funkcja (t , x ) określająca wielkość fizyczną ρ (t , x ) Ω - obszar 4 obliczyć masę płynu m Ω wypełniającego obszar Ω w chwili t x3 m Ω (t ) = ∫ ρ (t , x ) dV Ω Ω całka objętościowa z funkcji skalarnej x2 x1 Pola sił siły: - wewnętrzne; określają oddziaływanie między częściami ośrodka materialnego - zewnętrzne; określają oddziaływania otoczenia na ośrodek siły: - - powierzchniowe (kontaktowe) odnosi się do powierzchni skierowanej objętościowe (lub masowe) odnosi się do obszaru (lub masy płynu wypełniającego obszar) Gęstość siły N Powierzchniowa f p m2 t x3 ( A t, x p ) ∆S ∆Fs – wypadkowa siła działająca na powierzchnię ∆S x2 x1 gęstość siły w punkcie A ∆Fs f p (t , x A ) : = lim ∆S → 0 ∆S 5 Objętościowa (masowa) gęstość siły f v t x3 ∆Ω, ∆ V ∆Fs – wypadkowa siła działająca na powierzchnię ∆S A objętościowa gęstość siły ∆Fv N f v (t , x A ) : = lim , fv ∆V → 0 ∆V m3 x2 x1 masowa gęstość siły f fm : = v ρ N m kg = 2 s Sily wewnętrzne Powierzchniowa gęstość siły NAPRĘŻENIE wektor i tensor naprężenia Powierzchniowa gęstość siły lub wektor naprężenia zależy od punktu czasoprzestrzeni oraz kierunku powierzchni x3 n1 f1 n2 f2 n – wyznacza kierunek prostopadły do powierzchni f – siła (gęstość) powierzchniowa (wektor naprężeń) n 2 = 1 - wersor x2 x1 wektor naprężeń opisuje się za pomocą tensora naprężeń σ ∈ R 3× 3 według zależności f A(n ) : = σ T n n wersor określający kierunek prostopadły do powierzchni. Tensor naprężeń w punkcie A 6 kierunek osi prostopadłej do ścianki t σ ij x3 kierunek wektora naprężeń σ33 otoczenie A x2 σ31 σ11 x1 σ 32 σ 23 σ13 σ12 σ 21 σ 22 tensor naprężeń jest symetryczny, tzn. σ = σ T , σ ij = σ ji indeks wiersza σ11 σ12 σ13 σ : = σ 21 σ 22 σ 23 σ ij σ 31 σ 32 σ 33 indeks kolumny σ ∈ R 3× 3 Dane pole naprężeń wyznaczyć wektor naprężeń działający w punkcie A na powierzchni określonej wersorem n. n x3 f (n ) f A(n ) = σ T n A,σ x2 x1 Dane pole naprężeń σ i gęstość sił objętościowych f v . Wyznaczyć siłę wypadkową działającą na płyn (ośrodek materialny) wypełniający obszar Ω. 7 x3 B ∈ Fr Ω - leży na brzegu Ω A ∈ Int Ω - leży wewnątrz obszaru Ω n ∂Ω r N f v - siła objętościowa (gęstość) m3 N f p - siła powierzchniowa m2 FΩ - siła wypadkowa [N] σ - tensor naprężeń f n = σT n B Ω ds dV A x2 fv FΩ x1 FΩ (t ): = T σ ∫ n dS + ∫ f vdV ∂Ω Ω Obliczyć moment wypadkowy sił względem środka układu współrzędnych (M Ω ) x1 r – promień określający punkt obszaru Ω r = x 2 x 3 M Ω (t ): = ∫ (r × σ ∂Ω T ) n dS + ∫ (r × f v ) dV Ω Rozkład tensora naprężeń σ11 , σ12 , σ13 σo , 0 , 0 σ11 − σo , σ12 , σ13 σ = σ 21 , σ 22 , σ 23 = 0 , σo , 0 + σ21 , σ 22 − σo , σ 23 σ31 , σ32 , σ33 0 , 0 , σo σ31 , σ32 , σ33 − σo 1 σo : = 3 (σ11 + σ22 + σ33 ) skalar 1 σo = tr σ 3 , tr σ: = σ11 + σ22 + σ33 (suma w przekątnej) 8 1 , 0 , 0 I : = 0 , 1 , 0 0 , 0 , 1 σ = σ o I + σS σ11 − σ o , σ12 , σ13 σ S : = σ 21 , σ 22 − σ o , σ 23 σ 31 , σ 32 , σ 33 − σ o składowa tensora naprężeń nazywana dewiatorem naprężeń σo I - składowa nazywana tensorem kulistym dewiator naprężeń określa naprężenia ścinające, które w ośrodkach ciągłych wywołują zmianę kształtu. W płynach w stanie statycznym (hipoteza Pascala) dewiator naprężeń jest równy zero. tensor kulisty określa wszechstronne (izotropowe) rozciąganie lub ściskanie. W płynach w stanie statycznym może powstawać tylko ściskanie, czyli σo < 0 (hipoteza Pascala) wobec tego przyjęto nazywać ciśnieniem p σS = 0 σ = − pI p : = −σ o Statyczny stan naprężenia w płynach (według hipotezy Pascala) − p , 0 , 0 σ = pI = 0 , − p , 0 0 , 0 , − p p x3 p p p – ciśnienie; p > 0 ; p – skalar wektory naprężeń ściskających o wartości p p p p p p p p p p p x2 p x1 wektor naprężenia (ciśnienia) f p = σ T n = − pIn = − pn f p = − pn 9 p p p>0 wektor ciśnienia w każdym kierunku ma wartość –pn czyli działa prostopadle do każdej powierzchni a znak minus oznacza, że są to naprężenia ściskające. Równowaga ośrodka materialnego w polu sił A ∈ Fr Ω - leży na brzegu Ω B ∈ Int Ω - leży wewnątrz obszaru Ω f v - pole gęstości sił objętościowych σ - tensor naprężeń x3 t n ∂Ω (brzeg ) Ω (obszar) σT n A ds x2 σ B fv x1 Wypadkowa siła działająca na ośrodek materialny (płyn) wypełniający obszar Ω w chwili t FΩ (t ): = ∫σ ∂Ω T n dS + ∫ f v dV . Ω Twierdzenie Gaussa-Ostrogrodskiego ∫σ ∂Ω FΩ (t ) = T n dS = ∫ Div σdV Ω ∫ (Div σ + f v )dV = 0 , ∀Ω ⊂ R 3 Ω Stąd równanie Eulera Div σ + f v = 0 równanie równowagi płynu, które powinno być spełnione dla każdego x oraz t 10 Równanie momentów sił x3 n ∂Ω σT n A Ω ds r x2 fv B x1 Wypadkowy moment sił względem początku układu współrzędnych M Ω (t ) = ∫ (r × σ ∂Ω Twierdzenie Gaussa-Ostrogrodskiego ∫ (r × σ ∂Ω Wzór na wypadkowy moment T ) T ) n dS + ∫ (r × f v ) dV n dS = Ω ∫ (r × Div σ)dV Ω M Ω (t ) = ∫ r × (Div σ + f v )dV Ω Jeżeli jest spełnione równanie równowagi sił (równanie Eulera) Div σ + f v = 0 , to wtedy wypadkowy moment sił jest równy zero. Warunki równowagi płynu W stanie spoczynku zgodnie z hipotezą Pascala σ = − pI p > 0 - ciśnienie skalar stąd Div σ = − grad p Równanie równowagi płynu − grad p + f v = 0 lub grad p = f v . 11 Zadanie statyki płynu (hydrostatyka) Dane jest pole objętościowej gęstości siły f v . Wyznaczyć pole ciśnienia p w obszarze Ω uwzględniając zadane warunki brzegowe. Równanie względem funkcji skalarnej p(x ) grad p = f v a po rozpisaniu mamy trzy równania ∂p = f v1 (x ) ∂x1 ∂p = f v 2 (x ) ∂x 2 ∂p = f v 3 (x ) ∂x 3 [f v ] = N3 m x1 x = x 2 x 3 Powyższy zestaw trzech równań względem jednej funkcji (p) posiada rozwiązanie tylko wtedy, gdy f v jest potencjalna, czyli gdy istnieje funkcja skalarna U(x ) taka, że f v (x ) = grad U(x ) czyli f v nie może być dowolna. Rozwiązanie zadania statyki ma wtedy postać p (x ) = U (x ) + C Stałą C wyznacza się z warunków brzegowych. Podstawowe przykłady funkcji f v * stała f v = const U = f vT x stąd mamy czyli p = f vT x + C p(x ) = f v1 (x ) + f v 2 (x ) + f v 3 (x ) + C * liniowa f v = Ax , A – macierz symetryczna U= 1 T x Ax 2 1 T x Ax + C 2 1 f v = Ax + f v p = x T Ax + f vT x + C 2 Zwykle w zadaniach statyki płynów wyznacza się opis pola sił za pomocą pola gęstości sił N m masowych f m ≡ kg s 2 wtedy kg f v = ρf m ρ - gęstość płynu 3 m p= 12 równanie równowagi płynu ma wtedy postać grad p = ρf m . Rodzaje płynów ze względu na funkcję gęstości ρ * płyn jednorodny nieściśliwy ρ = const (ciecz) * płyn niejednorodny nieściśliwy ρ(x ) - dana (ciecz) * płyn barotropowy ściśliwy (gęstość płynu zależy od ciśnienia; nie zależy od temperatury) ρ = ϕ(p ) ϕ - funkcja opisująca zależność gęstości płynu od ciśnienia. Opis cech płynu barotropowego ρ = ϕ(p ) zwykle 1 γ p ρ = ρo po ρo, p o - stan odniesienia 1 ÷ 1,4 − gaz γ= . 400 ÷ 2000 − ciecz Wskaźniki charakteryzujące ściśliwość płynu m2 d ϕ (p ) ϕ′ (p ) * β : = ln = - współczynnik ściśliwości dp ϕ (p o ) ϕ (p ) N 1 ale s2 2 m 1 p γ ϕ′ (p ) = ρo γp p o czyli m2 N * moduł sprężystości objętościowej 1 N B: = = γ p 2 β m * kwadrat prędkości dźwięku β= 1 γp d −1 c := ϕ (ρ ) dρ 2 c2 = γp ρ c2 = B ρ m2 2 s ρ p = ϕ (ρ) , ϕ (ρ ) = p o ρo −1 m2 2 . s 13 −1 γ ZADANIE STATYKI PŁYNU BAROTROPOWEGO N m kg fm = ρ 3 2 m kg s zadanie: wyznaczyć funkcje p oraz ρ; dane f m - spełniające równania f v = ρf m grad p = ρf m ρ = ϕ (p ) ⇐ równanie wektorowe nowa postać równania grad p = fm ϕ (p ) wyrażenie grad p = grad P (p(x )) ϕ (p ) grad P = dP grad x p(x ) dp jeśli P (p ) : = p 1 J kg ~ ∫ ϕ (~p ) dp p o wtedy równanie statyki ma postać grad P (p ) = f m rozwiązanie istnieje gdy f m = grad U m (x ) rozwiązanie P (p ) = U m (x ) + C nieliniowe równanie algebraiczne względem p p = P −1 (U m (x ) + C ) . Przykłady płynów barotropowych * nieściśliwy ρ = const. P (p ) : = p ∫ po d~ p p − po = ρ ρ * izotermiczny (gaz γ = 1 ) P (p ) : = ρ = ρo p po po p ln ρo po ρ * adiabatyczny p = po ρo κ 14 κ −1 p κ 1 − . p o Przykład wyznaczania funkcji p opisującej ciśnienie Założenie: ciecz (woda) jednorodna, nieściśliwa ρ = const p a - ciśnienie atmosferyczne na powierzchni κ po P (p ) : = − κ − 1 ρo pa jezioro x g = fm ρg z symbol działania pola grawitacyjnego pionowa składowa wektora siły objętościowej fv 0 f v = 0 , U = ρgz ρg równanie statyki grad ρ = f v czyli ∂p =0 ∂x ∂p =0 ∂y ∂p = ρg ∂z warunek brzegowy p(0,0,0 ) = p a w tym szczególnym przypadku ciśnienie zależy tylko od z p(z ) = ρgz + C stałą całkowania C wyznaczamy z warunku brzegowego p(0 ) = pa p a = ρg 0 + C stąd C = p a p(z ) = ρgz + p a Funkcja ciśnienia w polu przyspieszeń Rozważamy cysternę kolejową, która porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a powietrze o ciśnieniu atmosferycznym (pęcherzyk) - (stan początkowy) z v a = const x O 15 płyn wypełniający cysternę jest nieściśliwy jednorodny ρ = const . Układ współrzędnych związanych ze zbiornikiem cysterny; jest to układ nieinercjalny, w tym układzie na płyn działa pole grawitacyjne oraz pole inercyjne o wartości b = ρa przeciwnie skierowane do przyspieszenia a. z b g – pole grawitacyjne ρg O fv x wektor gęstości sił objętościowych − ρa f v = 0 , U = −ρ(ax + gz ) − ρg równanie statyki grad ρ = f v czyli ∂p = −ρa ∂x ∂p =0 ∂y ∂p = −ρg ∂z wektor f v jest stały funkcja opisująca ciśnienie nie zależy od y czyli p(x, z ) z równań otrzymujemy p(x, z ) = −ρax − ρgz + C z po 2 p o1 pęcherzyk po 2 > po1 O fv x a) wyznaczamy składowe wektora f v 16 b) rysujemy linie stałego ciśnienia (izobary) c) kierunek f v wskazuje kierunek wzrostu ciśnienia d) stąd wnioskujemy gdzie znajduje się pęcherzyk powietrza o ciśnieniu pa e) ustalamy współrzędne pęcherzyka x p , z p ( ) Warunek brzegowy p x p , z p = pa wyznaczamy stałą C p x p , z p = −ρax p − ρgz p + C = pa ( ) ( ) czyli C = pa + ρax p + ρgz p ostatecznie funkcja opisująca zmianę ciśnienia ma postać p (x, z ) = −ρax − ρgz + p a + ρax p + ρgz p . ( ) Obracający się zbiornik z płynem (stan ustalony) ρ = const , ω = const Układ współrzędnych jest związany ze zbiornikiem ω g – pole grawitacyjne z y x z H y y x a y = −ω y r y a x = −ω 2 x ω2 r x ω2 x f m = ω2 y − g 2 potencjał U = ρU m Um = 1 2 2 1 2 2 ω x + ω y − gz 2 2 ρ = const 17 ω 2 x b x f v = ρ b y = ρω 2 y −g − g zatem ciśnienie opisuje funkcja p = ρU m + C p 1 2 2 1 2 2 = ω x + ω y − gz + C o ρ 2 2 1 1 p(x , y, z ) = ρ ω 2 x 2 + ω 2 y 2 − gz + C o 2 2 p(0,0, H ) = p a stąd Co = p a + ρgH . Lepkość M ω=const wałek rozkład prędkości naczynie z lepką cieczą siła T z Vo = const Vo t h t+∆t opis pola prędkości cieczy vo h z v= 0 0 0 , 0 , ∂v L = = 0 , 0 , ∂x 0 , 0 , vo h 0 0 1 s 18 x tensor prędkości odkształcania 0 , 0 , γ& 1 D = L + LT = 0 , 0 , 0 2 γ& , 0 , 0 ( ) γ& = 1 vo 2 h Vo h prędkość zmiany kąta τ γ& τ prędkość kątowa przekątnej τ τ dewiator tensora prędkości odkształcania 0 , 0 , γ& 1 D S = D − tr DI = 0 , 0 , 0 3 γ& , 0 , 0 Hipoteza Newtona τ = µγ& µ - lepkość dynamiczna ν:= ν µ - lepkość kinematyczna ρ m2 4 6 = 10 St (Stokes ) = 10 cSt (centistokes ) s µ [Pa ⋅ s ] = 10 P (poise ) = 1000 cP (centipoise ) τ płyn Newtona (hipoteza Newtona) płyny nienewtonoskie ( γ& 19 przykładowe wartości µ: 17o C 20o C 0o C 20o C alkohol etylowy gliceryna woda 1,288 1490 12110 1,000 mPa·s ( 10 −3 Pa·s) mPa·s mPa·s mPa·s przykładowe wartości ν dla 20o C woda 1,00 alkohol etylowy 1,58 benzyna 0,830 gliceryna 1200 10– 6 m2/s 10– 6 m2/s 10– 6 m2/s 10– 6 m2/s macierzowy zapis hipotezy Newtona σ l = 2µD S naprężenia związane z lepkością (tarciem wiskotycznym lepkim) są proporcjonalne do dewiatora prędkości odkształcenia 1 D V = tr D I - tensor prędkości odkształcenia objętościowego 3 ale tr D ≡ div v (z definicji D) czyli 1 D S = D − div v I 3 1 σ l = 2µ D − div vI 3 hipoteza Naviera σ l = σ (lV ) + σ (lS) σ l = 2µD − σ (lS) = 2µD S 1 σ (lV ) = 2µ ′ div vI 3 2 (µ − µ′)div vI 3 Równanie dynamiki płynu Dv = f v + div σ Dt dla płynu doskonałego ρ σ = − pI w/g hipotezy Pascala naprężenia wynikają ze wszechstronnego ściskania σ = −pI + σl σl - naprężenia spowodowane lepkością 20 w/g hipotezy Newtona σ l = 2µD S D S - dewiator tensora prędkości odkształcania div σ = − grad p + div σl 1 div 2µD S = µ grad div vI + ∇ 2 v 3 dla wektora v 2 2 ∂2v 1 ∂ v1 ∂ v1 + + 2 ∂x 2 ∂ x ∂x 32 1 2 2 2 2 ∂ v2 ∂ v2 ∂ v2 2 ∇ v(x ) : = + + 2 2 ∂ x ∂ x ∂x 32 1 2 2 2 ∂2v 3 ∂ v3 ∂ v3 + + ∂x 12 ∂x 22 ∂x 32 Równania dynamiki cieczy lepkiej Naviera-Stokesa Dv 1 = f v − grad p + µ grad div v + ∇ 2 v Dt 3 Dρ + ρdiv v = 0 Dt ρ = ϕ(p ) ρ dla płynu nieściśliwego ρ = const Dv ρ = f v − grad p + µ∇ 2 v Dt div v = 0 przepływ płaski (t , x1, x 2 ) 2 ∂ 2v 1 ∂ v1 2 ∂x ρ 2∂t + 2 1 ∂ v2 ∂ v2 ∂t ∂x 2 1 ∂ 2 v1 ∂ 2 v1 ∂ 2 v1 ∂p 2 + ∂x 22 v1 f v1 ∂x1 ∂x1 ∂x 22 +µ 2 = − ∂ v2 ∂ 2v2 ∂ 2 v 2 v 2 f v 2 ∂p , 2 + ∂x 2 ∂x 22 ∂x 22 ∂x1 , ∂v1 ∂v 2 + =0 ∂x1 ∂x 2 21 Równanie Bernoulliego dla płynu lepkiego 2 V2 γ = ρg P2 2 1 Bi = V1 z2 1 ρV 2 + p i + γz i 2 i P1 z1 1 przepływ ustalony, bez wirów, płyn nieściśliwy, potencjał grawitacyjny dla cieczy lepkiej B1 > B 2 B1 = B 2 + ∆B12 ∆B12 > 0 - ilość energii rozproszonej w czasie przepływu między przekrojami 1-2 Zwykle wartość ta jest ustalana doświadczalnie h str kryza V V 1 zwykle ∆B12 określa się jako stratę ciśnienia w postaci ∆B12 = ζ ρV 2 2 ustalamy doświadczalnie ζ - bezwymiarowy współczynnik strat (opór przepływu). Symboliczne oznaczenie oporów przepływu V 1 2 1 ∆p sw = ζ ρV 2 2 ∆p 22 J 3 m gdy w instalacji hydraulicznej znajduje się maszyna hydrauliczna pompa P moc charakterystyka idealna pompy wyporowej lub silnik hydrauliczny charakterystyka rzeczywista Q m3 Q s m3 Q s ∆p p ∆p s Równanie Bernoulliego z oporami przepływu i z pompą B1 B1 + ∆p p = B 2 + ∆p str B2 23