Dwuosobowe gry o sumie zero

11/22/2014
Dwuosobowe gry o sumie zero
DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA:
Definicja i zapis gier o sumie zero, adaptacja ogólnych definicji .
Punkt siodłowy
Twierdzenia o związkach punktu siodłowego z koncepcjami rozwiązań
PRZYPOMNIENIE:
DEFINICJA 2.5.1
Grę ‚ S 1,S 2,…,SN, M 1,M 2,…,M N Ú w której suma wypłat jest stała, tzn.
M 1+M 2 +… + M N = c nazywamy grą o sumie stałej.
Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.
GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZERO
Są to gry ‚ A, B, M 1,M 2 Ú w których M 1=- M 2
Zatem moŜemy jednoznacznie określić taką grę podając tylko jedną z macierzy
wypłat. Umówiono się, Ŝe będzie to macierz wypłat dla gracza pierwszego.
Zapis ‚ A, B, M Ú oznacza więc grę o sumie zerowej, M podaje wypłaty dla
gracza pierwszego (P1), wypłaty dla gracza P2 są liczbami przeciwnymi.
Często mówimy , Ŝe macierz M definiuje wypłaty dla P1 i straty dla P2.
1
11/22/2014
PRZYKŁAD: GRA PUŁKOWNIKA BLOTTO
(3,−3) (0,0) (1,−1) 
 (0,0) (3,−3) (1,−1) 


 (−1,1) (1,−1) (2,−2)


 (1,−1) (−1,1) (2,−2)
3 0
0 3

− 1 1

 1 −1
1
1 
2

2
Dwuosobowe gry o sumie zerowej są modelami problemów ściśle
antagonistycznych, tzn. takich, w których gracz P1 preferuje wynik Q nad R wtedy i
tylko wtedy, gdy gracz P2 preferuje R nad Q
Uwaga: MoŜe być tak, Ŝe gra w której suma wypłat nie jest stała, moŜe być
przekształcona do równowaŜnej gry o sumie zerowej. Jest tak wtedy, gdy istnieją
odpowiednie przekształcenia afiniczne funkcji uŜyteczności graczy (u = av + b, a>0).
( −6,5) 
 ( 2,1)
(−10,7) (8,−2) 


 (1,1) (−3,5) 
( −5,7) ( 4,−2) 


 (1,−1) ( −3,3) 
( −5,5) ( 4,−4)


2
11/22/2014
ADAPTACJA DOTYCHCZASOWYCH DEFINICJI DO ZAPISU GIER O SUMIE ZERO
DEFINICJA 3.1.1.
Para strategii (ai0,bj0) jest punktem równowagi gry ‚A, B, M Ú jeśli dla wszystkich i, j :
M ij0 ≤ M i0 j0 ≤ M i0 j
DEFINICJA 3.1.2
Element macierzy Mi0j0 spełniający warunek z powyŜszej definicji nazywamy
punktem siodłowym gry.
21 1 − 3 − 12 
 3 −2 4
3 

15 7
8
9 


3
5
6
2 

 5 − 4 − 1 13 
Punkt siodłowy, to pojęcie charakterystyczne dla gier o sumie zerowej. Jest to
element macierzy jednoznacznie związany ze strategiami pozostającymi w
równowadze. Rzeczywiście, z nowej postaci definicji otrzymujemy
para strategii (ai0,bj0) jest w równowadze
wtedy i tylko wtedy, gdy
element Mi0j0 jest punktem siodłowym gry.
ZauwaŜmy równieŜ oczywisty fakt, Ŝe
Mi0j0 jest punktem siodłowym gry
wtedy i tylko wtedy, gdy
max M ij0 = M i0 j0 = min M i0 j
i
i
M ij0 ≤ M i0 j0 ≤ M i0 j
3
11/22/2014
STRATEGIE BEZPIECZEŃSTWA W GRACH O SUMIE ZERO
DEFINICJA 3.1.3
Strategią bezpieczeństwa gracza pierwszego nazywamy strategię o numerze i0 dla
której spełniony jest warunek:
min M i0 j = max min M ij
j
i
j
Strategią bezpieczeństwa gracza drugiego nazywamy strategię o numerze j0 dla
której spełniony jest warunek:
max M ij0 = min max M ij
j
i
i
DEFINICJA 3.1.4
Poziom bezpieczeństwa gracza pierwszego nazywamy wartością dolną gry a
poziom bezpieczeństwa gracza drugiego nazywamy wartością górną gry.
Oznaczamy je odpowiednio symbolami v oraz v
v = min max M ij
v = max min M ij
j
j
i
21 1 − 3 − 12  -12
 3 −2 4
3  -2

15 7
8
9  7


5
6
2  2
3
 5 − 4 − 1 13  -4
21
7
8
13
i
v=7
v=7
4
11/22/2014
DEFINICJA 3.1.4
Poziom bezpieczeństwa gracza pierwszego nazywamy wartością dolną gry a
poziom bezpieczeństwa gracza drugiego nazywamy wartością górną gry.
Oznaczamy je odpowiednio symbolami v oraz v
v = min max M ij
v = max min M ij
j
j
i
1 − 3 12  -3
 1
 3
− 2 14 3  -2

− 15 17 7 9  -15


 15 12 11 8  8
 5
− 4 − 1 13 -4
v =8
v = 13
13
14
17
15
i
TWIERDZENIE 3.1.1
W dowolnej grze macierzowej <A, B, M> o sumie zerowej wartość górna gry nie jest
v≤v
mniejsza od wartości dolnej:
DOWÓD
Dla kaŜdych i, j
M ij ≤ max M ij = a j
i
Zatem takŜe dla kaŜdego i : min M ij ≤ min a j = A
j
j
Niech
bi = min M ij
Zatem dla kaŜdego i
bi ≤ A
j
Zatem
max bi ≤ A
i
max bi = max min M ij ≤ A = min max M ij
i
j
i
j
i
max min M ij ≤ min max M ij
i
j
j
i
5
11/22/2014
DEFINICJA 3.1.5
v=v
JeŜeli
, to mówimy, Ŝe gra ma wartość.
Oznaczamy ją
v=v=v
TWIERDZENIE 3.1.2
JeŜeli gra ma punkt siodłowy, to para strategii w równowadze jest utworzona przez
strategie bezpieczeństwa graczy i gra ma wartość.
v
DOWÓD.
Niech element Mi0 j0 będzie punktem siodłowym.
max M ij0 = M i0 j0 = min M i0 j
i
j
min max M ij ≤ max M ij0 = M i0 j0 = min M i0 j ≤ max min M ij
j
i
i
j
i
j
v = min max M ij ≤ max M ij0 = M i0 j0 = min M i0 j ≤ max min M ij = v
j
i
i
j
i
j
v = min max M ij = max M ij0 = M i0 j0 = min M i0 j = max min M ij = v
j
i
i
j
i
j
6
11/22/2014
TWIERDZENIE 3.1.4
JeŜeli gra ma wartość, to para strategii bezpieczeństwa tworzy parę strategii w
równowadze.
DOWÓD. Niech i0 j0 będą numerami strategii bezpieczeństwa, odpowiednio gracza
pierwszego i gracza drugiego
min M i0 j ≤ M i0 j0 ≤ max M ij0
j
i
max min M ij = min M i0 j ≤ M i0 j0 ≤ max M ij0 = min max M ij
i
j
j
i
j
i
v = max min M ij = min M i0 j ≤ M i0 j0 ≤ max M ij0 = min max M ij = v
i
j
j
i
j
i
v = max min M ij = min M i0 j = M i0 j0 = max M ij0 = min max M ij = v
i
j
j
i
j
i
TWIERDZENIE 3.1.3
W grze dwuosobowej o sumie zero wszystkie pary strategii w równowadze są
zamienne i równowaŜne
DOWÓD.
Na ćwiczenia
7