Relację binarną ϱ określoną w zbiorze X nazywamy relacją po
Transkrypt
Relację binarną ϱ określoną w zbiorze X nazywamy relacją po
Relację binarną % określoną w zbiorze X nazywamy relacją porządkującą (lub relacją częściowego porządku), jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X z określoną w nim relacją porządkującą nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym. Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem „ 4”. Mówimy wówczas, że (X, 4) jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Mamy zatem warunki: ∀x∈X x 4 x, ∀x,y∈X x 4 y ∧ y 4 x ⇒ x = y, ∀x,y,z∈X x 4 y ∧ y 4 z ⇒ x 4 z. 1 Porządek liniowy Definicja. Relację porządkującą, która jest spójna, nazywamy relacją porządku liniowego. Oznacza to, że spełniony jest warunek ∀x,y∈X x 4 y ∨ y 4 x. 2 Porządek gęsty Definicja. Porządek liniowy „ 4” w zbiorze X nazywamy gęstym, jeśli dla dowolnych dwóch elementów a, b ∈ X spełniających warunek a ≺ b istnieje element c ∈ X taki, że a ≺ c i c ≺ b. Przykłady zbiorów uporządkowanych gęsto: Q, R ze „zwykłą” relacją x 6 y. Przykład zbioru z porządkiem liniowym, który nie jest gęsty: (Z, 6). Twierdzenie. Jeśli (X, 4) jest zbiorem uporządkowanym gęsto, to dla dowolnych dwóch elementów a, b ∈ X spełniających warunek a ≺ b istnieje nieskończenie wiele elementów c ∈ X takich, że a ≺ c i c ≺ b. 3 Porządek ciągły Definicja. Porządek gęsty „ 4” w zbiorze X nazywamy ciągłym, jeśli dla dowolnych dwóch niepustych podzbiorów A, B ⊂ X spełniających warunek ∀a∈A∀b∈B a 4 b istnieje element c ∈ X taki, że ∀a∈A a 4 c ∧ ∀b∈B c 4 b . Przykład zbioru z porządkiem ciągłym: (R, 6). Przykłady zbiorów z porządkiem liniowym, który nie jest ciągły: Z, Q z relacją „ 6”. 4 Porządek dobry Definicja. Porządek liniowy „ 4” w zbiorze X nazywamy dobrym, jeśli w każdym niepustym podzbiorze A ⊂ X istnieje element najmniejszy. Przykłady zbiorów z porządkowanych w sposób dobry: N z relacją „ 6”, dowolny zbiór skończony liniowo uporządkowany. Przykłady zbiorów z porządkiem liniowym, który nie jest dobry: Z, Q, R, R+, [0, +∞) z relacją „ 6”. Twierdzenie Zermelo (bez dowodu). Każdy zbiór można dobrze uporządkować. 5 Relacje równoważności 6 Definicja. Relację binarną % określoną w zbiorze X nazywamy relacją typu równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia: ∀x∈X x%x, ∀x,y∈X x%y ⇒ y%x, ∀x,y,z∈X x%y ∧ y%z ⇒ x%z. Niech m będzie liczbą naturalną, m > 1. W zbiorze Z określmy relację x ≡ y (mod m) ⇔ m | x − y. Zapis x ≡ y (mod m) czytamy „ x przystaje do y modulo m”. Przystawanie modulo m jest relacją równoważności w zbiorze Z. Ponadto x ≡ y (mod m) dokładnie wtedy, gdy x i y dają tę samą resztę przy dzieleniu przez m. 7 Przykład. Tabela liczb całkowitych dających odpowiednie reszty przy dzieleniu przez 5. reszta 0 1 2 3 4 liczby . . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . . . . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . . . . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . . . . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . . . . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . . Zatem: −10 ≡ 5 (mod 5), 2017 ≡ 2 (mod 5), −96≡7 (mod 5), 11 ≡ −4 (mod 5), 3 ≡ 13 (mod 5), −26≡2 (mod 5). 8 Definicja. Niech % będzie relacją binarną w zbiorze X. Dla każdego elementu x ∈ X określamy zbiór [x]% = {y ∈ X : x%y} ⊂ X. Jeśli % jest relacją równoważności, to zbiór [x]% nazywamy klasą abstrakcji lub klasą równoważności elementu x. 9 Dla relacji przystawania modulo 5 mamy np.: [0]% = {. . . , −5, 0, 5, 10, . . . }, [7]% = [2]% = {. . . , −3, 2, 7, 12, . . . }, [1234]% = [4]% = {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . . }. Zauważmy, że zbiory [0]%, [1]%, [2]%, [3]%, [4]% są parami rozłączne oraz [0]% ∪ [1]% ∪ [2]% ∪ [3]% ∪ [4]% = Z. 10 Twierdzenie. Jeśli % jest relacją typu równoważności w zbiorze X, to: a) ∀x∈X x ∈ [x]%, b) ∀x,y∈X [x]% = [y]% ∨ [x]% ∩ [y]% = ∅, c) ∀x,y∈X x%y ⇔ [x]% = [y]%. 11 Twierdzenie. Jeśli zbiór X jest sumą rodziny swoich podzbiorów Xt , t ∈ T : X= [ Xt, t∈T spełniających warunek ∀t,t0∈T (Xt = Xt0 ∨ Xt ∩ Xt0 = ∅), to relacja ∼ w zbiorze X, określona następująco: x ∼ y ⇔ ∃t∈T x, y ∈ Xt, jest relacją równoważności. 12 Przykłady: podział X = {A, B, C, D} ∪ {E, F } ∪ {G, H} ∪ {I} określa relację ∼ taką, że np. A ∼ A, A ∼ B, A ∼ C, A ∼ D, A 6∼ E, A 6∼ F , A 6∼ G, A 6∼ H, A 6∼ I, podział {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 3, 5} ∪ {2, 4} określa relację ∼ taką, że x ∼ y ⇔ x i y są tej samej parzystości. Definicja. Jeśli % jest relacją typu równoważności w zbiorze X, to zbiór jej klas abstrakcji nazywamy zbiorem ilorazowym i oznaczamy symbolem X/%. Przykład. Dla przystawania modulo 5 mamy Z/% = {[0]%, [1]%, [2]%, [3]%, [4]%}. 13 Konstrukcje zbiorów liczbowych 14 Zbiór liczb wymiernych Rozważmy zbiór X = Z × Z \ {0} = {(a, b); a, b ∈ Z, b 6= 0}. W zbiorze X określamy relację binarną (a, b)%(c, d) ⇔ ad = bc. Relacja % jest relacją równoważności. Definicja. Q = X/% = {[x]%, x ∈ X}. 15 Jeśli % jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór [x]% = {y ∈ X : x%y} = {y ∈ X : y%x} nazywamy klasą abstrakcji (klasą równoważności) elementu x. 1 Przykład. Liczbę wymierną definiujemy jako klasę abstrakcji 2 pary (1, 2). Mamy (1, 2)%(a, b) ⇔ 1 · b = 2 · a, więc [(1, 2)]% = {(a, b) ∈ X : b = 2a} = = {(1, 2), (−1, −2), (2, 4), (−2, −4), (3, 6), (−3, −6), . . . } 16 Działania w zbiorze Q określamy następująco: [(a, b)]% + [(c, d)]% = [(ad + bc, bd)]%, [(a, b)]% · [(c, d)]% = [(ac, bd)]%. Definicje te są poprawne, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów klas abstrakcji: jeśli (a, b)%(a0, b0) i (c, d)%(c0, d0), to (ad + bc, bd)%(a0d0 + b0c0, b0d0) i (ac, bd)%(a0c0, b0d0). 17 Analogicznie konstruujemy zbiór liczb całkowitych mając dany zbiór liczb naturalnych. Rozważmy zbiór X = N × N = {(a, b); a, b ∈ N}. W zbiorze X określamy relację binarną (a, b)%(c, d) ⇔ a + d = b + c. Relacja % jest relacją równoważności. Definicja. Z = X/% = {[x]%, x ∈ X}. 18 Przykład. Liczbę całkowitą −1 definiujemy jako klasę abstrakcji pary (0, 1). Mamy (0, 1)%(a, b) ⇔ 0 + b = 1 + a, więc [(0, 1)]% = {(a, b) ∈ X : b = a+1} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), . . . } Działania w zbiorze Z określamy następująco: [(a, b)]% + [(c, d)]% = [(a + c, b + d)]%, [(a, b)]% · [(c, d)]% = [(ac + bd, ad + bc)]%, i sprawdzamy poprawność definicji: jeśli (a, b)%(a0, b0) i (c, d)%(c0, d0), to (a+c, b+d)%(a0 +c0, b0 +d0) i (ac+bd, ad+bc)%(a0c0 +b0d0, a0d0 +b0c0). 19 Zbiór liczb naturalnych określamy aksjomatycznie, a istnienie takiego zbioru wynika z kolei z aksjomatów teorii zbiorów. N – zbiór, ∗ : N → N, n 7→ n∗ – funkcja następnika, 0 ∈ N – wyróżniony element (zero). 20 Aksjomaty Peana: 1) 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej: ∀n∈N n∗ = 6 0. 2) Funkcja następnika jest różnowartościowa: ∀m,n∈N m∗ = n∗ ⇒ m = n. 3) Aksjomat indukcji matematycznej. Dla dowolnego podzbioru A ⊂ N mamy: (0 ∈ A ∧ ∀n∈N (n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A)) ⇒ A = N. 21