WOJEWÓDZKI KONKURS PRZEDMIOTOWY z

Transkrypt

WOJEWÓDZKI KONKURS PRZEDMIOTOWY z MATEMATYKI
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
WOJEWÓDZTWA KUJAWSKO-POMORSKIEGO
Etap szkolny 2000/2001
1.
Oblicz:
a.
2.
3.
4.
5.
−3 ∙ (122 − 33 )−1
b.
0,32 − 4,1√8 + √2
c.
1 40
2
(26 )7 ∙(2−2 )−8 ∙2−20
281 ∙4−3 ∙( )
Do wanny wlano 7 wiader wody o temperaturze 12°C i 3 wiadra gorącej wody. Jaka była temperatura gorącej
wody, jeśli woda w wannie ma temperaturę 30°C?
Po podwójnej obniżce ceny: najpierw 25%, a później 5% płaszcz kosztuje 285 złotych. Jaka była cena płaszcza
przed obniżką?
Obwód działki warzywnej w kształcie trapezu równoramiennego wynosi 56 metrów. Stosunek długości jego
podstaw wynosi 1 : 2, a stosunek długości ramienia do długości wysokości 5 : 4. Właściciel chce zmienić kształt
działki na kwadratowy o tym samym polu. Jaką długość będzie miał bok tego kwadratu?
W deltoidzie przekątne są równe dłuższym bokom. Oblicz sumę: kąta utworzonego przez dłuższe boki i kąta
utworzonego przez krótsze boki.
1.
2.
3.
4.
5.
Cena towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest równa 85,60 złotych. Od nowego roku podatek VAT na ten towar
podniesiono do 22%. Oblicz, o ile procent wzrosła cena tego towaru.
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n resztę r powstałą z dzielenia liczby n przez 5. Określ zbiór
wartości funkcji f. Narysuj wykres funkcji dla 𝑛 ≤ 20.
Średni wiek zawodniczek sekcji gimnastycznej wynosi 11 lat. Najstarsza zawodniczka ma 17 lat, średni wiek
pozostałych (bez najstarszej) jest równy 10 lat. Ile zawodniczek jest w tej sekcji gimnastycznej?
Pole trapezu ABCD , w którym AB jest równoległe do CD oraz |AB| > |CD|, jest 1,25 razy większe od pola trójkąta
ABC. Ile razy bok AB jest dłuższy od boku CD?
Na ramionach OA, OB kąta prostego AOB (patrz rysunek) skonstruowano dwa okręgi oraz łuk okręgu o środku w
punkcie O przechodzący przez punkty A i B. Która z figur na rysunku, f1 czy f2, ma
większe pole?
WOJEWÓDZKI KONKURS PRZEDMIOTOWY z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM WOJEWÓDZTWA KUJAWSKO-POMORSKIEGO…………….………….. 1
1.
Dwa kawałki złota, jeden o próbie 950, a drugi o próbie 800-stopiono razem z 2 gramami czystego złota.
Otrzymano w ten sposób 25 gramów złota próby 906. Ile ważył każdy kawałek?
Uwaga: próba oznacza liczbę gram czystego złota w 1000 gramach wyrobu.
2.
Rozwiąż równania:
a.
(√5𝑥 − 1) ∙ (√5𝑥 + 1) − (5𝑥 + 1)2 + (3𝑥 − 2)2 = −16𝑥 2
b.
(𝑥 + 3102 )2 − (𝑥 − 3102 )2 = 4 ∙ 3102
oraz sprawdź, które z nich ma rozwiązanie spełniające nierówność x ≤ 1.
3.
4.
5.
Dla jakiej wartości m zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają jednocześnie
nierówności 𝑚𝑥 − 𝑦 + 6 ≥ 0 i x ≥ 0 i y ≥ 0 jest trójkątem o polu 9?
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz
stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt. Wynik przedstaw w
najprostszej postaci
W trapezie ABCD mamy dane kąty przy podstawie α = 45o (przy wierzchołku A) i β = 60o (przy wierzchołku B).
Przekątna BD ma długość 6√2 i jest prostopadła do ramienia AD. Oblicz obwód i pole tego trapezu.
1.
Dane są dwie pary liczb: √6 − √5 i √6 + √5 oraz
5−2√5
5
i
2−√5
√5
. Zbadaj, w której parze są liczby wzajemnie
3.
przeciwne, a w której wzajemnie odwrotne.
W prawej i lewej kieszeni mam łącznie 35 monet. Jeżeli przełożę z prawej kieszeni do lewej tyle monet ile jest w
lewej, to w prawej pozostaną o trzy monety więcej niż w lewej. Ile monet miałem na początku w każdej kieszeni?
Liczba 3 jest miejscem zerowym funkcji 𝑦 = 𝑎𝑥 + 3 .
a.
Podaj wzór tej funkcji
2.
b. Wykonaj wykres tej funkcji wiedząc, że jej dziedziną jest zbiór rozwiązań nierówności
𝑥 + 6 5 − 4𝑥 8 − 𝑥
+
−
>0
2
3
6
4.
5.
Dane są 2 współśrodkowe okręgi. Cięciwa większego okręgu, styczna do mniejszego okręgu, ma długość równą
10. Oblicz pole pierścienia utworzonego przez te okręgi.
W równoległoboku o polu równym 120 cm2, przekątne przecinają się pod kątem 150°. Oblicz długość dłuższej
przekątnej, jeżeli długość krótszej wynosi 10√3 cm .
1.
2.
3.
4.
5.
Marta kupiła trzy książki. Ceny książek okazały się trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. Oblicz, ile zapłaciła
Marta za te książki i ile kosztowała każda z nich, wiedząc, że różnica kwadratów cen dwóch droższych książek
była o 19 zł większa niż cena trzeciej książki.
W jakim stosunku należy zmieszać roztwory kwasu solnego: sześcioprocentowy z dwunastoprocentowym, aby
otrzymać roztwór dziesięcioprocentowy?
Wykres funkcji y= -2,2x+4,4 przecina oś odciętych w punkcie A, a oś rzędnych w punkcie D. Prosta równoległa
do prostej AD przecina oś odciętych w punkcie B = (5,5; 0), a oś rzędnych w punkcie C. Napisz równanie prostej
BC, narysuj proste AD i BC oraz oblicz pole figury ABCD.
Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe 5 cm i 3 cm. Oblicz pole tego trapezu, wiedząc,
że przekątna trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta przy dłuższej podstawie.
W trójkąt równoboczny o boku 10 dm wpisano trzy przystające koła, styczne do siebie i boków trójkąta tak,
że do każdego boku trójkąta są styczne dwa koła. Oblicz pole jednego takiego koła.
1.
2.
3.
4.
5.
Gdynia otrzymała prawa miejskie 570 lat później od Kazimierza Dolnego. W 1956 roku oba miasta święciły
jubileusz nadania praw, ale rocznica Kazimierza była 20 razy większa od rocznicy Gdyni. W którym roku każde
z tych miast otrzymało prawa miejskie?
Kolarze mieli do pokonania trasę o długości 120 km. Jechali ze średnią prędkością 40 km/h. Przyjmując x – czas
jazdy kolarzy, y – odległość od mety.
a. Przedstaw na wykresie, jak zmieniała się odległość tej grupy kolarzy od mety w miarę upływu czasu.
b. Zapisz wzór funkcji opisanej tym wykresem.
c. Oblicz, jak daleko mają do mety, jeśli wiadomo, że miną ją za 6 minut.
W trapezie równoramiennym o wysokości 6 cm przekątne przecinają się pod kątem 1200 i dzielą się w stosunku
1:2. Oblicz pole tego trapezu. Rozważ dwa przypadki.
Jeden bok prostokąta skrócono, a drugi wydłużono o x procent. W wyniku tego pole prostokąta zmniejszyło się o
mniej niż 2%. Wyznacz x, wiedząc, że jest to liczba pierwsza.
W trójkąt równoramienny ABC (|AC|=|BC|) o długościach boków 5 cm, 5 cm, 6 cm wpisano okrąg o środku S.
Oblicz długość obwodu trójkąta BSC.
1.
2.
3.
4.
5.
Obroty pewnej firmy w stosunku do poprzedniego roku wzrosły w drugim roku działalności o 20%, w trzecim
roku spadły o 60%, a w czwartym podwoiły się. Czy w czwartym roku obroty były większe, czy mniejsze niż
w pierwszym? O ile procent?
W pewnej firmie wysyłkowej każda kobieta zapakowała w określonym czasie o 2 paczki więcej niż każdy
z mężczyzn. W badanym czasie kobiety zapakowały 250 paczek, a mężczyźni 120 paczek. Ile osób pakuje paczki
w firmie, jeśli wiadomo, że stosunek liczby mężczyzn do liczby kobiet jest równy 3:5.
Poziom powierzchni wody w pewnym zbiorniku był równy 2 m. Po otwarciu odpływu poziom powierzchni wody
obniża się co godzinę o 5 cm.
a. Zapisz wzór wyrażający zależność poziomu wody od czasu.
b. Podaj dziedzinę funkcji.
c. Narysuj wykres funkcji.
d. Po jakim czasie poziom wody obniżył się o 23 cm?
e. O ile centymetrów opadła woda w czasie 3 godzin 20 minut?
Do dwóch okręgów o promieniach 2 cm i 9 cm poprowadzono wspólną styczną przecinającą odcinek łączący ich
środki. Wiedząc, że odległość środków tych okręgów wynosi 22 cm, oblicz długość odcinka stycznej zawartego
między punktami styczności.
Średnica koła o promieniu r jest bokiem trójkąta równobocznego. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej poza
kołem do pola tej części trójkąta, która leży wewnątrz koła.
1.
2.
3.
4.
5.
3
Liczby rzeczywiste x i y spełniają równanie 4 ∙ (0,125 + ) 𝑦 −
8
0,8∙0,5𝑥
−11
)
4
−2,25−(
= 2𝑥. Która z liczb jest większa?
Rozważ wszystkie możliwości.
Z dwóch miejscowości A i B wyszli jednocześnie dwaj turyści idący ze stałymi prędkościami, każdy z inną.
Pierwszy przeszedł drogę z A do B i wrócił zaraz do A, drugi przeszedł z B do A i wrócił do B. Turyści pierwszy raz
minęli się w odległości 3 km od A, drugi raz – w odległości 4 km od B. Oblicz odległość między miejscowościami A
i B.
Kolejka toczy się po torze w kształcie okręgu. Rozstaw szyn wynosi 4 cm. Podczas jednego pełnego okrążenia
kółko zewnętrzne wagonika wykonuje o 2 obroty więcej niż wewnętrzne. Oblicz średnicę kółek wagonika.
W koło wpisano trójkąt równoramienny ABC (|AB| = |BC|), w którym kąt ACB ma miarę 30°. Wysokość trójkąta
opuszczona z wierzchołka C jest równa 2√3. Oblicz promień koła i pole trójkąta ABC.
W trapezie równoramiennym o polu 10 stosunek długości podstaw jest równy 1:3. Przekątne dzielą ten trapez
na cztery trójkąty. Oblicz ich pola.
1.
2.
3.
4.
5.
Uczniowie napisali pracę klasową. Oceny bdb otrzymało - 30% uczniów, db – 40%, dst – 8 uczniów, a pozostali
uczniowie otrzymali ocenę dop. Średnia wszystkich ocen w tej pracy wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało
poszczególne oceny?
Jeden robotnik wykonał pewną pracę w czasie o 4 h dłuższym, a drugi o 9 h dłuższym od czasu, w którym
wykonaliby ją, pracując razem. W jakim czasie każdy z robotników wykonałby tę pracę sam?
Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta zależna jest od liczby jego boków. Podaj wzór tej zależności i podaj jej
wykres.
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz stosunek promienia
okręgu opisanego na tym trójkącie do wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.
W okrąg wpisano kwadrat, a na tym okręgu opisano trójkąt równoboczny. Różnica długości boku trójkąta i boku
kwadratu równa jest 10. Oblicz promień koła.
1.
Ewa była na dwudniowej wycieczce. Pierwszego dnia wydała 2/5 zabranej kwoty, a drugiego 3/5 reszty. Które
z poniższych zdań są prawdziwe?
a.
b.
c.
d.
2.
Ponieważ 3−16 =
a.
b.
c.
d.
3.
43046721
1
43046721
1
43046721
, więc 3−15 można obliczyć wykonując działanie
:3
∙3
: 3−1
∙ 3−1
Za 5 lat Jakub będzie miał (x + 4) lat.
Za 2 lata Jakub będzie 2 razy młodszy niż Kasia.
Kasia jest starsza od Jakuba o (x  1) lat.
Kasia miała 2 lata, gdy urodził się Jakub.
Dwa okręgi o różnych promieniach są współśrodkowe. Największa odległość między dwoma punktami, z których
każdy należy do innego okręgu jest równa 16 cm, a najmniejsza 10 cm. Pole koła ograniczonego większym
okręgiem jest równe
a.
b.
c.
d.
5.
1
43046721
1
1
43046721
Adam ma x lat i jest o rok starszy od Jakuba i 2 razy młodszy od Kasi. Czy te informacje są wystarczające aby
wywnioskować, że:
a.
b.
c.
d.
4.
Ewa wydała wszystkie zabrane pieniądze.
Przez dwa dni Ewa wydała 19/25 zabranej kwoty.
Ewie pozostało więcej niż 1/3 zabranej kwoty.
Drugiego dnia Ewa wydała 0,9 tego, co pierwszego dnia.
250π cm2
169π cm2
100π cm2
26π cm2
3
Wartość potęgi (2√3) jest równa
a. 2√33
b. 24√3
c.
d.
(√12)
8√27
3
6.
W sześciennym klocku o objętości 216 cm3 wycięto na wylot otwory w sposób pokazany na rysunku. Objętość
powstałej bryły jest równa:
a. 144 cm3
b. 152 cm3
c. 160 cm3
d. 168 cm3
7.
Krótsza przekątna trapezu ma długość 10 cm i dzieli ten trapez na dwa
prostokątne trójkąty równoramienne. Oblicz obwód tego trapezu.
8.
Marek i Andrzej porównali swoje oszczędności po czym Marek stwierdził: „Razem mamy 500 złotych. Gdyby moje
oszczędności wzrosły o 20%, a Twoje zmalały o 20% mielibyśmy po tyle samo.” Jaką część oszczędności Andrzeja
stanowi kwota, jaką posiada Marek?
9. W okręgu o promieniu 10 cm poprowadzono równoległe cięciwy AB i DC, przy czym środek S okręgu nie leży
między nimi. Oblicz pole trapezu ABCD, wiedząc, że miary kątów środkowych ASB i CSD są odpowiednio równe
120° i 60° .
1.
Ułamek
A.
2.
15
18
jest równy
5
B.
6
3.
Wartość wyrażenia
𝐴.
5.
2
C. 83 %
5
D. |−3
3
4
12
+ 2,5|
B . 5,35 ∙ 105
3+5√3−√3
B.
√3
D. 4 ∙ 107
jest równa:
√3
8
C. 5,36 ∙ 107
4√3+3
C. 8
√3
D. √3 + 4
Jeśli pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku jest równe 6 cm 2 , to
A.
pole ∆ 𝐴𝐵𝐸 jest równe 3 cm2
B. pole ∆ 𝐷𝐴𝐶 jest równe 9 cm2
C.
pole ∆ 𝐴𝐸𝐶 jest równe 12 cm2
D. pole ∆ 𝐷𝐸𝐶 jest równe 24 cm2
Łuk AB jest częścią okręgu o środku w punkcie S. Na którym rysunku długość tego łuku jest równa 2π?
A.
6.
1
6
Promień Ziemi jest równy w przybliżeniu 6,4 ∙ 106 m, Saturna 6 ∙ 107 m. O ile metrów promień Ziemi jest
mniejszy od promienia Saturna?
𝐴. 5,36 ∙ 106
4.
4
B.
C
D.
Jeśli czterech pracowników wykonało 12 detali w ciągu 2 h to pracując z taka samą wydajnością
2
A. wykonaliby 16 detali w czasie 2 h.
3
1
B. 6 pracowników wykonałoby te detale w ciągu 1 h.
3
C.
w tym samym czasie 7 pracowników wykonałoby 21 detali.
D. 1 pracownik wykonałby 1 detal w czasie 0,5 h.
7.
Suma dwóch liczb wynosi 57 460. Jeśli za ostatnią cyfrą pierwszej liczby dopiszemy 92 to otrzymamy drugą
liczbę. Znajdź te liczby.
8.
Stosunek miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równy 5:6:7. Wyznacz miarę kąta rozwartego między
wysokościami trójkąta poprowadzonymi z wierzchołków dwóch mniejszych kątów.
9.
W równoległoboku długości boków są równe 5 i 6, a symetralna dłuższego boku przechodzi przez jego
wierzchołek. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.
Zadanie 1. (4 punkty) Liczba 5 jest wynikiem działania:
A. 2 −
1
1
1
1−4
1−
3
3
B. 3 + √52 + √8
C. √21 + √13 + √7 + √4
1 −2
D. ( )
3
1 −1
− 4 (1 )
3
− 20110
Zadanie 2. (4 punkty) Na rysunku czworokąt ABCD jest kwadratem o boku 1, a trójkąty ABE i CBF są równoboczne. Wynika stąd,
że:
A. Istnieje okrąg, do którego należą punkty A, E, C, F.
B. Odległość między punktami E i F jest równa √2 .
C. Trójkąt o wierzchołkach B, E, F jest rozwartokątny.
D. Trójkąt o wierzchołkach B, E, F ma pole równe połowie pola
kwadratu ABCD.
Zadanie 3. (4 punkty) Na płaszczyźnie dane są cztery punkty: A=(2, 1) , B=(6, 1), C=(2,4), D=(100, 4).
W takim razie:
A.
B.
C.
D.
Obwód trójkąta ABC jest równy obwodowi trójkąta ABD.
Pole trójkąta ABC jest równe polu trójkąta ABD.
Długość okręgu opisanego na trójkącie ABC równa jest 4𝜋.
Symetralna odcinka CD przechodzi przez punkt P=(51, -2011) .
Zadanie 4. (4 punkty) W trójkącie miara jednego z kątów wewnętrznych jest równa średniej arytmetycznej miar dwóch
pozostałych kątów wewnętrznych tego trójkąta. Wynika z tego, że:
A.
B.
C.
D.
Trójkąt ten musi być równoboczny.
Trójkąt ten może być prostokątny.
Przynajmniej jeden z kątów wewnętrznych tego trójkąta ma miarę 60°.
Przynajmniej dwa kąty wewnętrzne tego trójkąta mają miarę niemniejszą niż 60°.
Zadanie 5: (4 punkty) Jeśli 𝑎2 = 𝑎 + 5 to:
A. 𝑎3 = 𝑎2 + 5𝑎
B. 𝑎3 = 6𝑎 + 5
C. 𝑎(𝑎 − 1) = 5
D. 𝑎 jest liczbą całkowitą
Zadanie 6. (4 punkty) Wiązka światła biegnie z punktu B do punktu C, odbija się od lustra w punkcie C i dociera do punktu D
wzdłuż prostej prostopadłej do odcinka AB. Z danych na rysunku wynika, że:
A.
 < 36°
B.
 = 36°
C.
 < 45°
D.
 = 45°
Zadanie 7. (4 punkty) Zapisz w notacji wykładniczej liczbę:
3 ∙ 10103 − 9 ∙ 10051 − 90 ∙ 2100 ∙ 2550 + 450 ∙ 5100 .
Zadanie 8. (4 punkty) Maciek i Kasia, przed świętami otworzyli skarbonkę, w której trzymali monety jednozłotowe. Najpierw
Maciek wziął ze skarbonki 20% zebranej tam kwoty i jeszcze 20 zł. Następnie Kasia wybrała 25% pozostałej kwoty i jeszcze 25 zł.
Rozstrzygnij, czy Kasia i Maciek pobrali tyle samo pieniędzy, czy też któreś z nich wzięło więcej?
Zadanie 9. (8 punktów) Na rysunku trójkąt ABC jest równoboczny, punkty ABD leżą na
jednej prostej, odcinek AB jest dwa razy dłuższy niż odcinek BD oraz odcinek FC ma długość
2 cm. Ponadto odcinek FD jest prostopadły do odcinka AC i przecina odcinek BC w punkcie
E. Oblicz pole czworokąta ABEF.
1
Zadanie 1. (4 punkty) Liczba 𝑥 jest odwrotna do liczby 2𝑥+1 . Wobec tego prawdą jest, że:
1
A. 𝑥 ∙ 2𝑥+1 = 1.
B. 𝑥 jest liczbą dodatnią.
C. 𝑥 = 2𝑥 + 1.
D. 𝑥 = 2𝑥+1.
1
Zadanie 2. (4 punkty) Prosta 𝑎 jest równoległa do osi 𝑂𝑌 i przechodzi przez punkt 𝐴(−1, 3). Ponadto dane
są punkty 𝐵(−101, −97) i 𝐶 (99, 103). W takim razie:
E. Punkty 𝐵 i 𝐶 są symetryczne względem prostej 𝑎.
F. Punkty 𝐵 i 𝐶 są symetryczne względem punktu 𝐴.
G. Długości odcinków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 sa równe.
H. Odległość między punkami 𝐵 i 𝐶 Jest równa 200.
Zadanie 3. (4 punkty) Największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych 𝑎, 𝑏 jest równy 4 oraz
𝑎
𝑏
=
0,6. Wynika z tego, że:
A. 𝑎𝑏 = 240.
B. 𝑎 + 𝑏 = 32.
C. 𝑏 − 𝑎 = 8.
D. 𝑎 = 24.
Zadanie 4. (4 punkty) Rysunek przedstawia pasek z numerem pewnego 24-cyfrowego konta bankowego. W
każdej komórce jest miejsce na jedną cyfrę. Jak widać ujawniono tylko cztery z nich.
2
0
1
2
Numer tego konta ma ciekawą własność: jeśli weźmiemy jakiekolwiek 4 kolejne cyfry i dodamy je jako
liczby jednocyfrowe, to zawsze otrzymamy sumę równą 11. Wynika z tego, że suma dziewięciu liczb
jednocyfrowych między ujawnionymi cyframi jest:
A. większa niż 22
B. podzielna przez 11
C. równa 30
D. nieparzysta
Zadanie 5. (4 punkty) Na rysunku promień dużego koła ma długość 2100
cm. Długości promieni czterech mniejszych kół są równe połowie
długości promienia dużego koła. Wspólny punkt wszystkich czterech
mniejszych kół pokrywa się ze środkiem dużego koła. Wynika z tego,
że:
A. Promienie mniejszych kół są długości 250 cm.
B. Pole dużego koła jest równe 𝜋 ∙ 2200 cm2 .
C. Suma pól obszarów zacieniowanych jest równa 𝜋 ∙ 2198 cm2 .
D. Suma pól obszarów zacieniowanych stanowi nie więcej niż 20% pola dużego koła.
Zadanie 6. (4 punkty) Niech 𝑎 = √53, 𝑏 =
√204
,
2
3
𝑐 = 2√13, 𝑑 = 5√2, 𝑒 = 5 √2√2. Wówczas:
A. 𝑎 ≤ 𝑏.
B. 𝑐 ≤ 𝑎.
C. 𝑑 ≤ 𝑒 ≤ 𝑐.
D. 𝑒 ≤ 𝑑 ≤ 𝑏 ≤ 𝑎.
Zadanie 7. (4 punkty) W pewnej klasie stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt wynosi 3:5. Gdyby
liczba chłopców zwiększyła się o 1, to stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt wynosiłby 2:3.
Ilu uczniów jest w tej klasie?
Zadanie 8. (4 punkty) Do każdej ściany pewnego sześcianu doklejono sześcian o tych
samych wymiarach tak jak to widać na rysunku. Utworzony w ten sposób
wielościan ma objętość równą 56 cm3 . Oblicz pole powierzchni powstałego
wielościanu.
Zadanie 9. (8 punktów) Wskazówki minutowa i godzinowa pewnego zegara mają
długości odpowiednio 8 cm i 5 cm. Oblicz, jaką długość ma odcinek łączący końce
tych wskazówek o godzinie 22:00.
Zadanie 1. (4 punkty) Jeśli teraz jest godzina 9:15 to za 23999997 godzin będzie godzina:
A. między 00:00 a 15:00.
C. między 6:00 a 21:00 .
B. między 3:00 a 18:00.
D. między 9:00 a 24:00.
Zadanie 2. (4 punkty) Wartość wyrażenia arytmetycznego
A. parzystą.
C. pierwszą.
112014 −112013 +140
112013 +14
jest liczbą:
B. niepodzielną przez 11.
D. większą niż 10.
Zadanie 3. (4 punkty) Jeśli obwód prostokąta wynosi 16𝑥 − 4, a jeden z jego boków ma długość 3𝑥 − 4,
to pole tego prostokąta jest równe:
A. 13𝑥(3𝑥 − 4).
C. (3𝑥 − 4)(5𝑥 + 2).
B. (3𝑥 − 4)(5𝑥 − 6).
D. 15𝑥 2 − 14𝑥 − 8.
Zadanie 4. (4 punkty) Na przedstawionym rysunku punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na jednej prostej.
Wobec tego suma miar kątów zaznaczonych na rysunku:
A. zmieni się, gdy zmienimy położenie punktu 𝐸 na odcinku 𝐵𝐷.
B. zmieni się, gdy zmienimy położenie punktu 𝐹 na odcinku 𝐵𝐺.
C. jest równa 720°.
D. jest równa 360°.
Zadanie 5. (4 punkty) Cenę pewnego wybrakowanego towaru zmniejszono o 70% i jeszcze o 70 zł. W
wyniku tego cena początkowa zmniejszyła się 70-krotnie.
Niech 𝑥 oznacza liczbę wyrażającą ile złotych kosztował towar przed obiema obniżkami. Wtedy:
A. 70 ∙ (𝑥 − 0,7𝑥 − 70) = 𝑥.
C. 𝑥 = 245.
B. 𝑥 − 0,7𝑥 − 70 = 70𝑥.
D. 𝑥 = 3,5.
Zadanie 6. (4 punkty) Rysunek przedstawia punkty
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 i 𝐸 w układzie współrzędnych. Wiadomo,
że punkty 𝐴 i 𝐶 są symetryczne względem punktu 𝐸
oraz punkty 𝐴 i 𝐵 są symetryczne względem osi 𝑦.
Wynika z tego, że:
A. punkt 𝐷 ma współrzędne (−3, −2).
B. odległość między punktami 𝐷 i 𝐸 jest równa 5.
C. trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.
D. odbiciem symetrycznym punktu 𝐶 względem osi 𝑦 jest punkt o współrzędnych (0, −1).
Zadanie 7. (4 punkty) Pan Kowalski codziennie rano wyjeżdża z domu do pracy. Gdy jedzie z prędkością
60km/h to dociera do pracy o 3 minuty za późno, a jeśli jedzie z prędkością 80 km/h to jest w pracy o 15
minut za wcześnie. Jak daleko od miejsca pracy mieszka pan Kowalski?
Zadanie 8. (4 punkty) Cyfra jedności pewnej liczby naturalnej 𝑛 jest równa 5. Jeśli skreślimy tę cyfrę
to otrzymamy liczbę o 293 mniejszą niż liczba 𝑛. Wyznacz liczbę 𝑛.
Zadanie 9. (8 punktów) Dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości
𝑎 = (1 + √3) cm. Punkty 𝐸, 𝐹, 𝐺 oraz 𝐻 leżą wewnątrz kwadratu i
są tak położone, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 , 𝐵𝐶𝐹 , 𝐶𝐷𝐺 oraz 𝐷𝐴𝐻 są
trójkątami równobocznymi. Oblicz pole czworokąta 𝐸𝐹𝐺𝐻.
Etap rejonowy 2000/2001
1.
2.
Piętnaście koni w ciągu 50 dni zjada 20 kwintali owsa. Ile kwintali owsa zje 35 koni w ciągu 24 dni?
Pozycję drużyny w zawodach określa liczba punktów obliczana następująco:
𝐿𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑚𝑒𝑐𝑧ó𝑤 𝑤𝑦𝑔𝑟𝑎𝑛𝑦𝑐ℎ
∙ 1000
𝐿𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑚𝑒𝑐𝑧ó𝑤 𝑟𝑜𝑧𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑦𝑐ℎ
Drużyna wygrała dziesięć spotkań spośród trzynastu. Ile kolejnych spotkań może przegrać drużyna, jeśli chce
zachować przynajmniej 625 punktów?
3.
4.
5.
Czworokąt ABCD jest kwadratem, zaś trójkąt ABE trójkątem równobocznym. Jaka jest miara kąta DEC. Rozpatrz
dwa przypadki.
Turysta w czasie jednej godziny przejdzie określoną liczbę kilometrów. Planuje kilkugodzinną wycieczkę. Gdyby
turysta w czasie każdej godziny przeszedł o 1 km mniej, to na przejście całej drogi zużyłby o 2 godziny więcej.
Gdyby zaś w ciągu każdej godziny pokonywał trasę o 2 km dłuższą, to całą
drogę przeszedłby w czasie o 2 godziny krótszym. Z jaką prędkością szedł
turysta? Ile godzin trwała wycieczka?
W prostokącie ABCD punkt I jest środkiem boku AD, zaś punkt J środkiem
boku AB. Punkt O jest miejscem przecięcia odcinków DJ oraz BI. Jaki jest
stosunek pól czworokątów AIOJ oraz DCBO ?
1.
2.
3.
Rozpiętością figury F nazywamy najmniejszą z liczb, będących odległościami między prostymi równoległymi,
pomiędzy którymi zawarta jest figura F. Na przykład: rozpiętością półokręgu jest długość promienia, rozpiętością
prostokąta jest długość krótszego boku. Niech będą dane punkty A = (1,4), B = (5,1), C = (1,1). Oblicz rozpiętość
trójkąta ABC.
W trapezie środek jednego ramienia połączono z końcami drugiego ramienia. Pole powstałego trójkąta jest równe
16√2cm2. Oblicz pole trapezu.
Liczby a, b, c > 0 spełniają układ równań:
𝑐
=2
𝑏
{𝑎 +
𝑐
=3
𝑏−𝑎
Uporządkuj liczby a, b, c według wielkości.
4.
5.
Dany jest kwadrat i prostokąt. Jeden z boków prostokąta jest o 3 cm mniejszy od boku kwadratu, a drugi bok
prostokąta jest o 4 cm większy od boku tegoż kwadratu. Jaka powinna być długość boku kwadratu, aby jego pole
było większe od pola prostokąta? Podaj wszystkie rozwiązania, jeśli długość boku kwadratu jest liczbą naturalną.
W ciągu trzech godzin samolot przeleciał z wiatrem 1134 km. Lecąc pod wiatr z taką samą prędkością przeleciał
w ciągu jednej godziny 342 km. Oblicz prędkość wiatru.
1.
2.
3.
4.
5.
Na miejscu jedności pewnej trzycyfrowej liczby stoi cyfra 2. Jeżeli tę cyfrę przeniesiemy na pierwsze miejsce, to
otrzymamy liczbę większą od pierwotnej o jej trzecią część. Jaka była pierwotna liczba?
Pociąg długości 600 m jechał z prędkością 48 km/h i miał przed sobą tunel. Od momentu wejścia czoła parowozu
do tunelu do chwili, w której ostatni wagon opuścił tunel upłynęło 2,5 min. Ile czasu maszynista jechał przez
tunel? Jaka była długość tunelu?
W pewnej klasie chłopcy zebrali 144 kg makulatury, a dziewczęta 90 kg. Każdy chłopiec zebrał o 1 kg makulatury
więcej niż dziewczynka. Stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt wynosi 4/3. Ile było dziewcząt, a ilu
chłopców w tej klasie?
Oblicz długość ramienia i przekątnej trapezu równoramiennego o podstawach 12 cm i 20 cm wiedząc, że środek
okręgu opisanego na tym trapezie leży na większej podstawie.
Z punktu A leżącego na okręgu o promieniu 8 cm poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC. Średnica i cięciwa
tworzą kąt 30o. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie średnicy w punkcie D.
Oblicz miarę kąta BDC i pole trójkąta ADC.
1.
2.
3.
4.
5.
Trzej bracia znaleźli szkatułkę z 48 złotymi monetami. Każdy wziął tyle monet ile ma lat. Najmłodszy, ośmioletni
był niezadowolony z podziału i zaproponował poprawkę do niego. Jako pierwszy zatrzymał połowę swojej części,
a drugą połowę rozdał po równo braciom. Następnie średni brat postąpił tak samo. Wreszcie najstarszy brat
rozdzielił w ten sam sposób swoje monety. Okazało się, że wszyscy mają tyle samo monet. Ile lat ma każdy z braci?
Oblicz współrzędne punktu S (punkt przecięcia się prostych) i pole zamalowanej figury, korzystając z informacji
podanych na rysunku.
Liczby całkowite a, b, c przy dzieleniu przez 7 dają reszty odpowiednio 1, 2, 3.
Oblicz resztę z dzielenia liczby a2 + b2 + c2 przez 7.
Na okręgu o promieniu r opisano romb, którego dłuższa przekątna jest równa 4r. Oblicz pole każdej z 4 figur
ograniczonych odpowiednim łukiem i bokami rombu o wspólnym wierzchołku.
W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Wyznacz pole tego trapezu, jeśli pola trójkątów
AOB i COD są równe odpowiednio 4 i 9.
1.
2.
3.
4.
5.
Dany jest kwadrat i prostokąt. Jeden z boków prostokąta jest o 3 cm krótszy od boku kwadratu, a drugi z boków
prostokąta jest o 4 cm dłuższy od boku tego kwadratu. Jaka musi być długość boku tego kwadratu, aby jego pole
było większe od pola prostokąta? Podaj wszystkie rozwiązania, jeśli bok kwadratu jest liczbą naturalną.
Jakich wartości m proste x – y = m –1 i 2x – y = 3 – m, przetną się w punkcie o ujemnych współrzędnych.
Przy jednoczesnej pracy dwóch ciągników o różnej mocy, pole może być zaorane w ciągu 8 dni. Gdyby zaś
mocniejszym ciągnikiem zaorano połowę pola, a resztę oby dwoma ciągnikami to praco wykonano by w 10 dni. W
jakim czasie można zaorać to pole, każdym ciągnikiem oddzielnie?
Dane są dwa okręgi o środkach A i B i promieniach 30 cm i 10 cm styczne
zewnętrznie i styczne do pewnej prostej. Oblicz pole zamalowanego na rysunku
obszaru ograniczonego tymi okręgami i styczną.
W trójkąt równoramienny ABC o podstawie |AB| = 18 cm i ramionach
|BC| = |AC| = 27 cm wpisano okrąg. Oblicz odległość |MN| między punktami
styczności M, N leżącymi na ramionach trójkąta oraz odległość punktu M od
podstawy trójkąta.
1. Liczba trzycyfrowa ma na miejscu jedności cyfrę 1. Jeśli do tej liczby dodamy 5 i tę sumę
podzielimy przez 3, to otrzymamy liczbę trzycyfrową, która na miejscu setek ma cyfrę 1,
pozostałe zaś cyfry są odpowiednio pierwszą oraz drugą cyfrą wyjściowej liczby. Znajdź
początkową liczbę.
2. Ania przygotowała koktajl z sokiem cytrusowym o stężeniu 10%. Po spożyciu 0,5 litra koktajlu
3
dodała 0,5 litra wody i otrzymała koktajl o stężeniu 8 4 % . Ile litrów wody, a ile soku użyła
do sporządzenia koktajlu?
3. Dla jakich liczb całkowitych a i b funkcje y = 2x + b i y = ax + 3
mają to samo miejsce zerowe.
4. W trapez równoramienny o kącie ostrym α=60o wpisano dwa
okręgi o równych promieniach, styczne do siebie i do trzech
boków trapezu. Oblicz obwód trapezu, wiedząc, że promień tych okręgów jest równy r.
5. W równoległoboku ABCD na boku DC obrano punkt D taki, że i |EB|=|AD|. Oblicz pole trapezu
ABED, wiedząc, że miara kąta ostrego równoległoboku wynosi 60, a pole trójkąta BCE jest
równe 3√3cm2.
1.
2.
3.
4.
5.
500 kg rudy zawiera pewną ilość żelaza. Po usunięciu 200 kg zanieczyszczeń, zawierających średnio 12,5% żelaza,
procent żelaza w pozostałej rudzie podniósł się o 20. Ile kilogramów żelaza było w pozostałej rudzie?
Prosta przecinająca oś x w punkcie (1,0) a oś y w punkcie (0,-2). Zaznacz wszystkie punkty należące do tej prostej,
których rzędna (współrzędna y) jest większa od -4, ale mniejsza od 1,5 odciętej (współrzędna x).
Pewien mężczyzna przeżył 90 lat. Rok jego urodzenia się różni od roku śmierci jedynie kolejnością dwóch
środkowych cyfr. Iloczyn cyfr roku urodzenia jest równy 72. W którym roku urodził się ten mężczyzna? Rozważ
wszystkie możliwości, zapisując obliczenia.
W trójkąt ABC wpisano okrąg styczny do boków AB, BC i AC odpowiednio w punktach M, D, N. Wiedząc, że |NC|=3,
|MA|=2 i |<ABC|=60o, oblicz pole tego trójkąta.
Pole trójkąta ostrokątnego ABC jest równe 60 cm2, a punkt O jest środkiem boku AB. Okrąg o środku O i promieniu
OA przecina bok BC w punkcie D, a bok AC w punkcie E. Wiedząc, że |BE|=120/13 cm i |AD|=12 cm, oblicz długości
boków trójkąta ABC.
1.
2.
Trzy grupy rybaków złowiły razem 113 ryb. Każdy rybak z pierwszej grupy złowił 13 ryb, z drugiej – 5 ryb, a z
trzeciej - 4 ryby. Wiedząc, że wszystkich raków było szesnastu, oblicz, ilu rybaków było w każdej z grup.
Dwaj robotnicy wykonali wspólnie pewną pracę. Pierwszy z nich, pracując samodzielnie, wykonałby tę pracę w
czasie 4 razy dłuższym, a drugi o 5 dni dłuższym. Ile dni pracowali razem?
3.
4.
5.
a. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(2, 1) i B=(1,2).
b. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(p, q) i B=(q, p).
Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego pole w stosunku 1:3. Wyznacz mniejsze pole, jeżeli długość
podstawy trójkąta jest równa 48.
Dany jest sześcian o krawędzi a. Odcinki łączące środki każdej pary sąsiednich ścian są krawędziami pewnego
wielościanu. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego wielościanu.
1.
2.
3.
4.
5.
1.Wiek pewnego obywatela w roku 1887 równał się sumie cyfr roku jego urodzenia. Ile miał on lat?.
2.Dwa kawałki jedwabiu kosztowały 71,4 zł. Stosunek długości pierwszego kawałka do długości drugiego był
równy 3:2, natomiast cena jednego metra pierwszego stanowiła 75% ceny jednego metra drugiego. Ile kosztował
każdy kawałek jedwabiu?
Po owalnej bieżni o długości 300 m biegają brat z siostrą. Jeśli startują jednocześnie, z tego samego miejsca
i w tym samym kierunku, to brat dubluje siostrę po 10 minutach. Jeśli startują jednocześnie, z tego samego miejsca
i w przeciwnych kierunkach, to mijają się po półtorej minucie. Z jaką prędkością biega każdy z nich?
Z punktu należącego do okręgu o środku w punkcie A i promieniu r zataczamy łuk przechodzący przez środek
okręgu. Oblicz jaką część pola koła odcina ten łuk?
W trapezie równoramiennym o wysokości h przekątne są prostopadłe. Wyznacz pole tego trapezu.
1.
2.
3.
4.
Pewien robotnik miał wykonać określoną pracę w ciągu 16 godzin, za co miałby otrzymać wynagrodzenie 16 zł za
każdą godzinę. Gdyby wykonał pracę szybciej, to za każdą zaoszczędzoną godzinę otrzymałby premię w
wysokości 75% godzinowej stawki. W jakim czasie robotnik wykonał tę pracę, jeśli jego ostateczne
wynagrodzenie wynosiło 20 zł za jedną godzinę?
Za 3 paczki cebulek tulipanów, w każdej po 20 sztuk, zapłacono tyle złotych, ile sztuk takich cebulek można kupić
za 15 zł. Ile kosztuje paczka cebulek?
Dany jest trapez ABCD (AB || CD), w którym podstawy są równe 9 cm i 16 c, a
przekątne 15 cm i 20 cm . Oblicz obwody trójkątów ABS i CDS, gdzie S jest
punktem przecięcia przekątnych.
Przedstawiona na rysunku wieża ma dach w kształcie ostrosłupa
prawidłowego, w którym kąt między ścianą boczną o podstawą jest równy 60 o,
a bok podstawy wynosi 2 m. Oblicz pole powierzchni dachu tej wieży, jeśli
podstawą ostrosłupa jest ośmiokąt.
1.
2.
3.
4.
Fabryka produkuje niebieskie i czerwone koszulki. Niebieskie są o 50% tańsze niż czerwone i stanowią 10%
liczby produkowanych koszulek. Gdyby fabryka ta produkowała miesięcznie o 100 koszulek mniej, ale wszystkie
czerwone, to przychód ze sprzedaży nie zmieniłby się. Ile koszulek miesięcznie produkuje ta fabryka?
Dwóch robotników może wykonać pewną pracę w ciągu 24 dni. Po sześciu dniach wspólnej pracy jeden z nich
zachorował, drugi samodzielnie dokończył tę pracę w ciągu 21 dni. W ciągu ilu dni drugi robotnik wykonałby całą
pracę samodzielnie?
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Wiadomo, że środek okręgu wpisanego w trójkąt ACD pokrywa
się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC Wyznacz miary kątów trójkąta ABC.
Punkty A, B, C, D są wierzchołkami jednej ze ścian sześcianu, natomiast punkty A’, B’, C’, D’ są odpowiednimi
wierzchołkami ściany równoległej. Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki A, C i środki
krawędzi A’D’ i D’C’. Oblicz pole otrzymanego przekroju, jeśli długość krawędzi sześcianu jest równa 2.
1.
W trójkącie ABC bok AC ma długość 9 cm, bok BC ma długość 7 cm. Punkt M jest środkiem boku AB i długość
odcinka CM jest równa także 7 cm. Oblicz długość boku AB.
2.
Funkcja 𝑓 każdej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje sumę jej cyfr, natomiast funkcja 𝑔 każdej liczbie
dwucyfrowej przyporządkowuje iloczyn jej cyfr, na przykład 𝑓(35) = 3 + 5 = 8 , 𝑔(35) = 3 ∙ 5 = 15. Wyznacz
wszystkie liczby dwucyfrowe 𝑛, dla których spełniony jest warunek: 𝑓(𝑛) + 𝑔(𝑛) = 𝑛.
3.
Szczelnie zamknięte szklane naczynie
ma kształt prostopadłościanu, a jego pojemność wynosi
1,5 litra.
Wewnątrz pojemnika jest woda. Gdy naczynie ustawimy na stole tak, że do blatu stołu przylega
ściana
o najmniejszym polu, poziom wody sięga do wysokości 4 cm. Gdy średnia ściana przylega do blatu, to woda
osiąga poziom 3 cm. Gdy największa ściana przylega do blatu - woda sięga do wysokości 1 cm. Ile wody jest
w pojemniku?
4.
godzinie 12:00 w południe Ania i Bartek wyszli z domu i szli tą samą drogą w tym samym kierunku. Ania szła z
prędkością 4 km/h , a Bartek się ociągał i szedł 3 km/h. O godzinie 12:15 z domu wybiegł za nimi ich pies Fafik i
biegł z prędkością 6 km/h tak długo aż dogonił Anię, jednak się nie zatrzymał i cały radosny biegł nadal z tą samą
prędkością z powrotem, żeby przywitać się Bartkiem. O której godzinie Fafik dotarł do Bartka po tym jak dogonił
Anię?
Zadanie 1. (6 punktów)
W tym roku liczba uczestników konkursu matematycznego wzrosła o 10% w stosunku do roku
poprzedniego. Przy tym liczba chłopców uczestniczących w konkursie wzrosła o 5%, a liczba
dziewcząt wzrosła o 20% w stosunku do poprzedniego roku. Jaki ułamek wszystkich uczestników
konkursu stanowią w tym roku dziewczęta?
Zadanie 2. ( 6 punktów)
Środek koła 𝑘 o promieniu długości 1 leży w punkcie przecięcia się przekątnych kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷, a
pole koła 𝑘 jest równe polu kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Okrąg będący brzegiem koła 𝑘 przecina odcinek AB
w punktach 𝐸 i 𝐹. Oblicz długość odcinka 𝐸𝐹.
Funkcja 𝑓 zadana jest wzorem 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1 . Aby zostać ekspertem od funkcji 𝑓 należy przejść
przez cztery kolejne bramki korytarza matematycznego nie cofając się. Przy każdej bramce jest
miejsce do wpisywania liczb oraz instrukcja. Aby przejść przez bramkę należy przeczytać
zamieszczoną przy niej instrukcję i zgodnie z tą instrukcją wpisać właściwą liczbę.
Instrukcja umieszczona przy pierwszej bramce brzmi:
Napisz dowolną liczbę wymierną, która spełnia nierówność 𝑓(𝑥) ≥ −5.
Przy pozostałych trzech bramkach zamieszczona jest taka sama instrukcja:
Jeśli przy poprzedniej sąsiedniej bramce wpisałeś liczbę 𝑥, to tutaj wpisz liczbę 𝑓(𝑥).
Antek, Beata i Cezary wszyscy szczęśliwie zostali ekspertami od funkcji 𝑓.
(a) Antek przy pierwszej bramce wpisał największą z możliwych liczb. Jaką liczbę musiał napisać przy
przedostatniej bramce?
(b) Beata przeszła przez wszystkie bramki wpisując za każdym razem tę samą liczbę. Co to za liczba?
(c) Cezary przy czwartej bramce wpisał liczbę 4. Jaką liczbę wpisał Cezary przy pierwszej bramce?
Rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy
dwunastokątny, którego wysokość jest równa długości 𝑟
promienia okręgu opisanego na jego podstawie.
Objętość tego graniastosłupa wynosi 24 cm3 .
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
o tej samej wysokości i tej samej krawędzi podstawy
co przedstawiony graniastosłup dwunastokątny.
Aby zwiększyć stężenie roztworu soli tak by roztwór ten miał stężenie 20%, należy dosypać do niego
0,4 kg soli. Ten sam efekt można uzyskać odparowując pewną ilość wody. Jaką masę wody należy
odparować?
W pewnej fabryce znajdują się maszyny do produkcji gwoździ. Maszyny te pracują z tą samą
wydajnością i produkują razem jedną partię gwoździ w ciągu 3 godzin. Po wstawieniu do fabryki
dodatkowo trzech takich samych maszyn produkcja jednej partii gwoździ zajmuje 2 godziny. Ile było
maszyn w fabryce na początku i ile godzin potrzebuje jedna maszyna do wyprodukowania jednej
partii gwoździ?
W trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 ramię 𝐵𝐶 tworzy z podstawą 𝐴𝐵 kąt 60°. Przekątna 𝐴𝐶 jest prostopadła do ramienia
𝐵𝐶. Ta sama przekątna 𝐴𝐶 tworzy z ramieniem 𝐴𝐷 kąt 15°. Oblicz obwód i pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jeśli
wiadomo, że ramię 𝐵𝐶 ma długość 2.
W worku znajdują się żetony. Na każdym żetonie napisana jest pewna liczba naturalna dodatnia, przy
czym nie jest wykluczone, że niektóre żetony zawierają te same liczby. Średnia arytmetyczna liczb na
wszystkich żetonach jest równa 56. Po wyciągnięciu z worka żetonu z liczbą 68, średnia arytmetyczna
liczb na żetonach zmalała do 55.


Ile było żetonów przed wyciągnięciem żetonu z liczbą 68?
Jaką możliwie największą liczbę mogły zawierać żetony znajdujące się w worku przed
wyciagnięciem żetonu z liczbą 68?
Zadanie 5. ( 8 punktów)
Zacieniowana figura na rysunku jest ograniczona połową okręgu
𝑘1 o promieniu 2 cm i łukiem okręgu 𝑘2 , którego środek leży
na okręgu 𝑘1 . Oblicz pole zacieniowanej figury.
Etap wojewódzki - część I - 2000/2001
1.
Wewnątrz kwadratu ABCD obrano punkt M w równej odległości od boku CD i od wierzchołków A i B. Jaką część
pola kwadratu stanowi pole trójkąta ABM?
2.
Przy jednoczesnej pracy dwóch kranów zbiornik można zapełnić w ciągu 1h 20 minut, jeśli pierwszy kran będzie
otwarty 10 minut a drugi 12 minut to napełnią zbiornika. W jakim czasie może napełnić zbiornik każdy kran
osobno?
Zbyszek jest starszy od Mirka. Jeśli przestawimy obie cyfry liczby całkowitej wyrażającej wiek Zbyszka
to otrzymamy wiek Mirka. Ponadto różnica kwadratów liczb wyrażająca wiek każdego z nich, jest kwadratem
liczby całkowitej. Jaki jest wiek Mirka i Zbyszka.
W okręgu o nieznanym promieniu dane są dwie cięciwy o jednakowych długościach, przecinające się pod kątem
prostym. Punkt przecięcia dzieli każdą cięciw na odcinki o długościach 8 cm i 6 cm . Wykaż, że końce cięciw są
wierzchołkami trapezu równoramiennego i następnie oblicz:
a. pole o obwód trapezu,
b. promień okręgu.
Symbolem [x] oznaczamy największą liczbę całkowitą nie większą od x.
a. Sporządź wykres funkcji y = [x] , która każdej liczby x przyporządkowuje jej część całkowitą [x].
b. Rozwiąż równanie [[x] - x] = -1.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
Ojciec postanowił rozdzielić swój majątek pomiędzy swoich synów. Najstarszemu dał 1000 zł i 1/10 pozostałej
części majątku, drugi syn otrzymał 2000 zł i 1/10 nowej, pozostałej części majątku, trzeciemu z nich przypadło
3000 zł i 1/10 tego, co znowu zostało itd. W ten sposób każdy z synów otrzymał tyle samo pieniędzy. Oblicz ile
pieniędzy było do podziału, ilu było synów oraz po ile złotych przypadło każdemu z nich.
W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC tak, że odcinek AD jest dwusieczną kąta BAC. Wyznacz kąty trójkąta ABC,
jeśli środek okręgu wpisanego w trójkąt ADB pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Okręgi o promieniach 3, 4, 5 są parami styczne zewnętrznie. Przez punkt styczności okręgów o promieniach 3 i 4
poprowadzono wspólną styczną do tych okręgów. Oblicz długość odcinka tej stycznej zawartego w okręgu
o promieniu 5.
Wyznacz wszystkie liczby całkowite n, dla których liczba jest całkowita.
Wykaż, że jeżeli wykresy funkcji y = ax + b, y = bx + c i y = cx + a mają wspólny punkt, to a = b= c.
1.
2.
3.
4.
5.
W 1549 roku Barbakan w Krakowie był 50 razy starszy od Barbakanu w Warszawie, a w 1597 roku krakowski
Barbakan był tylko dwa razy starszy od warszawskiego. Ile lat liczą te Barbakany dziś?
Dla jakich wartości parametru k punkt przecięcia się wykresów funkcji y=2x+k i y=3x-2k+1 ma obie współrzędne
dodatnie?
Zespół kosiarzy ma skosić dwie łąki, z których pierwsza jest dwa razy większa od drugiej. Przez połowę dnia cały
zespół kosił większą łąkę. Następnie kosiarze rozdzielili się na dwie równoliczne grupy. Pierwsza grupa pozostała
na większej łące i skosiła ją do końca dnia. Druga kosiła mniejszą łąkę, na której wieczorem został jeszcze
kawałek. Resztę skosił jeden kosiarz w ciągu całego następnego dnia. Ilu kosiarzy było w zespole?
Pole trójkąta równoramiennego jest równe 48, a stosunek długości podstawy do wysokości opuszczonej na tę
podstawę wynosi 3:2. W trójkąt ten wpisano okrąg, a następnie poprowadzono styczną
równoległą do podstawy trójkąta, przecinającą ramiona trójkąta w punktach M i N. Oblicz
długość odcinka MN.
W kwadracie o boku a punkty P i S są środkami sąsiednich boków. Oblicz pole zakreskowanego
na rysunku czworokąta.
1.
2.
3.
4.
5.
Zmniejszając pewną liczbę naturalną o 1, zmniejszamy ją o więcej niż 16,5%. Powiększając zaś tę liczbę o 2,
powiększamy ją o mniej niż 33,5 %. Wyznacz tę liczbę.
Jurek szedł z miejscowości A do B z prędkością 4,5 km/h. Po upływie jednej godziny i 20 minut od jego wyjścia
wyjechał z A samochód poruszając się w kierunku B z prędkością 45km/h. Gdy dogonił Jurka, zabrał go, dzięki
czemu chłopiec znalazł się w B w dwie godziny i 16 minut wcześniej niż gdyby cała drogę szedł ze stałą
prędkością. Oblicz odległość od A do B.
Uwaga: W rozwiązaniu pomijamy czas wsiadania Jurka do samochodu.
Jedna beczka zawiera mieszaninę spirytusu z wodą w stosunku 2:3, a druga – w stosunku 3:7. Ile wiader
mieszaniny należałoby wziąć z każdej beczki, aby otrzymać 12 wiader mieszaniny, których stosunek spirytusu do
wody były równy 3:5?
W trójkącie ABC dane są długości boków: |AB| = 8 cm, |AC| = 10 cm |BC| = 12 cm. Z punktu O, który jest środkiem
boku BC, zakreślono okrąg o promieniu OB przecinający bok AB w punkcie D i bok AC w punkcie E. Oblicz długości
odcinków DB i EC.
Odcinek łączący środki nierównoległych boków trapez ABCD dzieli ten trapez na dwa trapezy o polach 4 cm2 i
6 cm2. Przekątna zaś dzieli ten trapez na dwa trójkąty. Oblicz ich pola.
1.
2.
3.
Ola, Ewa i Hania mają łącznie 89 lat, i razem zarabiają 13,2 tys. złotych. Najstarsza osoba jest dwa razy starsza od
Ewy, i o 16 lat starsza od drugiej koleżanki. Najmłodsza osoba zarabia 70% tego co Ola, która zarabia 2 razy
więcej niż średnia wiekiem koleżanka. Ile zarabia i ile lat ma każda z pań?
Na stadionie, którego bieżnia ma 400 m długości odbył się bieg na 10 km. Zwycięzca ukończył bieg po 30
minutach, a ostatni zawodnik po 32 minutach. Po ilu okrążeniach zwycięzca zdublował ostatniego zawodnika?
Przyjmij, że każdy zawodnik biegł ze stałą prędkością.
W układzie współrzędnych narysuj wielokąt wyznaczony przez układ nierówności:
−6 ≤ 𝑥 ≤ 0
−7
≤𝑦≤0
{
𝑥+𝑦+6≥0
Dla jakich wartości b prosta y = 2x + b ma z tym wielokątem przynajmniej jeden punkt wspólny?
4.
5.
Podziel kwadrat o boku a na trójkąty tak, aby powstała siatka ostrosłupa. Oblicz pole powierzchni całkowitej
i objętość tego ostrosłupa.
W trapezie prostokątnym ABCD przekątne przecinają się w punkcie K. Poprowadzono odcinek KL prostopadły
do dłuższej podstawy AB. Oblicz pole tego trapezu wiedząc, że krótsza przekątna ma długość taką samą jak
dłuższe ramię trapezu oraz |KL| = 4 cm, |LB| = 10 cm, | DAB| = | ADC| = 90°.
1.
2.
3.
4.
5.
Karawana o długości 1 km idzie z prędkością 4 km/h. Co jakiś czas od czoła karawany do jej końca i z powrotem
biega pies z prędkością 6 km/h. Jaką drogę przebywa wówczas pies i w jakim czasie ?
Reklama świetlna składa się z czterech części różnych kolorów. Każdy stan reklamy trwa 2 sekundy. Najpierw jest
ciemno, potem świeci się jeden kolor, potem dwa, potem trzy, potem cztery, następnie gasną w odwrotnej
kolejności niż się zapalały i cały ten proces zaczyna się od początku. Niech t oznacza czas w sekundach, n liczbę
barw świecących się w reklamie. Funkcja f określa n w zależności od t.
a. Sporządź wykres funkcji f.
b. Podaj zbiór wartości tej funkcji.
c. Jaki jest stan reklamy po upływie 39 sekund?
d. Reklama jest włączona już 1 minutę. Po ilu sekundach od tego momentu najwcześniej będzie stan: jest
ciemno?
Jan dał Pawłowi 1/3 swoich pieniędzy, następnie Paweł dał Andrzejowi wszystkich
pieniędzy, które miał po otrzymaniu pieniędzy od Jana, następnie Andrzej dał Janowi 1/10
wszystkich pieniędzy, które miał po otrzymaniu pieniędzy od Pawła. Ostatecznie każdy miał
po 90 zł. Ile pieniędzy miał każdy z nich na początku?
W kwadracie o boku długości a ścięto naroża tak, że powstał ośmiokąt foremny. Zapisz
wyrażenie algebraiczne opisujące pole tego ośmiokąta. Sprowadź je do możliwie
najprostszej postaci.
W kwadracie o boku 4 poprowadzono cztery okręgi o środkach w wierzchołkach kwadratu i promieniach 4.
Oblicz pole obszaru wyróżnionego na rysunku.
1.
2.
3.
4.
5.
Gdy państwo Kowalscy zajęli miejsca w samolocie, okazało się, że mają łącznie 94 kilogramy bagażu. Pan Kowalski
za nadbagaż zapłacił 15 zł, a pani Kowalska – 20 zł. Gdyby pan Kowalski podróżował sam z bagażem obojga,
to za nadbagaż zapłaciłby 135 zł. Ile kilogramów bagażu może bezpłatnie wziąć ze sobą pasażer?
Dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia miała przed piętnastoma
laty. Gdy babcia będzie w wieku dziadka, to razem będą mieć 150 lat. Ile mają obecnie?
Z miejscowości A i B wyruszyli jednocześnie naprzeciw siebie maszerujący z różnymi prędkościami dwaj
piechurzy. Po spotkaniu jeden z nich musiał maszerować do celu jeszcze 1 h 4 min., a drugi – 36 min. Ile czasu
potrzeba każdemu z nich na przebycie drogi między A i B.
W trójkącie równoramiennym ABC (|AC|=|BC|) ramię ma długość 30 cm, a podstawa 36 cm. Odcinek łączący
środek M ramienia BC z wierzchołkiem A przecina wysokość CD w punkcie E. Przez punkt E prowadzimy,
równoległy do AB odcinek KL, którego końce leżą na ramionach trójkąta. Oblicz pole trapezu ABKL.
Na przeciwległych bokach kwadratu o boku a narysowano w jego wnętrzu dwa trójkąty równoboczne o boku a.
Oblicz pole figury, która jest wspólną częścią tych trójkątów.
1.
2.
3.
4.
5.
Beczka z wodą wazy 120 kg . Gdy odlejemy 75% wody, to masa beczki z wodą będzie równa a kg. Ile waży woda, a
ile beczka?
Od dwóch kawałków stopu o różnej zawartości procentowej miedzi ważących 10 kg i 8 kg odcięto jednakowe
wagowo kawałki. Odcięty kawałek pierwszego stopu stopiono z resztą drugiego stopu, a odcięty kawałek drugiego
stopu stopiono z resztą pierwszego. Wówczas okazało się, że zawartość procentowa miedzi w otrzymanych
stopach jest jednakowa. Ile ważył każdy z odciętych kawałków?
Dany jest trójkąt ABO, gdzie A i B są punktami przecięcia prostej y = 2x + 8 odpowiednio z osiami x i y, a punkt O
jest początkiem układu współrzędnych. Prosta y = ax dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty, których stosunek pól
wynosi 3 : 2. Wyznacz a. Rozważ wszystkie możliwości.
W trójkącie prostokątnym ABC dane są: |AC| = 8 cm, |BC| = 15 cm. Z wierzchołka kąta prostego C zakreślono okrąg
o promieniu CA, przecinający przeciwprostokątną w punkcie E. Oblicz |EB|.
Przekątna prostopadłościanu tworzy z dwiema krawędziami wychodzącymi z jednego
wierzchołka kąty o miarach 45° i 60°. Wyznacz kat, jaki tworzy ta przekątna z trzecia
krawędzią prostopadłościanu.
1.
2.
3.
4.
5.
Zegar wskazuje godzinę 1600. Wyznacz czas, po upływie którego wskazówka minutowa
pokryje się ze wskazówką godzinową. Zakładamy, że wskazówki poruszają się ruchem jednostajnym (bez
skoków).
Lublin jest oddalony 45 km od Kocka. Z Lublina do Kocka wyrusza 20 osób mając do dyspozycji mikrobus, w
którym mieści się tylko 10 osób. Ustalono więc podział na dwie grupy, przy czym równocześnie pierwsza grupa
jedzie mikrobusem, a druga idzie piechotą. W pewnej odległości od Kocka grupa pierwsza wysiada i dalej idzie
pieszo, a mikrobus zawraca po drugą grupę, którą zawiezie do Kocka. W jakiej odległości od Kocka kierowca musi
wysadzić pierwszą grupę, aby wszyscy dotarli jednocześnie do celu? Zakładamy, że średnia prędkość mikrobusu
jest równa 60 km/h, a średnia prędkość pieszych – 4 km/h
Wiadomo, że x jest dwucyfrową liczbą naturalną, y – sumą cyfr liczby x, z – sumą cyfr liczby y oraz x + y + z = 60.
Znajdź wszystkie liczby x spełniające podane warunki.
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, którego podstawa AB ma długość 4 cm, a wysokość CD = 6 cm. Na ramieniu,
jako na średnicy zbudowano okrąg, który ma cztery punkty wspólne z brzegiem trójkąta ABC. Oblicz pole
czworokąta, którego wierzchołkami są te punkty.
Wstążkę o długości 25 m i grubości 0,1 mm nawinięto na kartonową rurkę. Szerokość wstążki była równa
długości rurki. Po nawinięciu otrzymano wałek o średnicy przekroju poprzecznego 1 dm. Jaka jest zewnętrzna
średnica przekroju poprzecznego kartonowej rurki?
1.
2.
3.
4.
Adam, Bolek i Czarek pracują jako architekt, bankier i lekarz, choć niekoniecznie w podanej kolejności. Najstarszy
z nich zarabia najwięcej, Czarek zarabia 75% tego, co najstarszy, a bankier 2/3 tego, co Czarek. Łącznie zarabiają
18000 zł. Stosunek wieku mężczyzn jest równy 2:3:4, a łącznie ich wiek wynosi 108 lat. Pan, który jest najmłodszy
nie jest architektem, i nie zarabia najmniej. Najstarszy z panów nie ma na imię Adam. Ile zarabia, ile ma lat i w
jakim zawodzie pracuje każdy z mężczyzn?
Pierwszą część trasy samolot przeleciał z prędkością 720km/h, a drugą część trasy, krótszą o 320 km,
z prędkością 100 km/h. Średnia prędkość samolotu na całej trasie wyniosła 800 km/h. Oblicz długość trasy jaką
przeleciał samolot.
Pole powierzchni trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równe Q. Miara kąta ostrego trapezu
wynosi 30. Oblicz długość ramienia trapezu.
Cztery wierzchołki sześcianu połączono odcinkami tak, że otrzymano krawędzie czworościanu foremnego.
Wykonaj odpowiedni rysunek i oblicz, jaką częścią objętości sześcianu jest objętość czworościanu.
1.
2.
3.
4.
Odległość z A do B jest równa 19 km. Z A do B wyruszył kolarz, a 15 minut po nim samochód, który po 10
minutach minął kolarza i pojechał do B. Gdy dojechał do B, otrzymał wiadomość, że musi natychmiast wrócić do A.
Zawrócił bez zatrzymywania się i ponownie spotkał kolarza. Było to 50 minut od chwili wyjazdu samochodu z A.
Jaka była prędkość samochodu, a jaka kolarza, jeśli każdy z nich jechał ze stałą
prędkością?
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną n, aby liczby n + 1, n – 110 były
kwadratami liczb naturalnych.
Ramiona kąta o mierze 60 przecięto prostą k prostopadłą do jednego
z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i prostej k
(rysunek). Oblicz stosunek pól tych kół.
Pole wycinka kołowego jest równe
1
3
części pola koła, a długość łuku tego
wycinka jest równa √6 . Oblicz objętość stożka, który powstanie, gdy wycinek
zwiniemy w lejek.
1.
Maciek i Kasia, przed świętami otworzyli skarbonkę, w której trzymali monety jednozłotowe. Najpierw Maciek wziął ze
skarbonki 20% zebranej tam kwoty i jeszcze 20 zł. Następnie Kasia wybrała 25% pozostałej kwoty i jeszcze 25 zł.
Uzasadnij, że w skarbonce zostało przynajmniej dwa złote.
1
2. Jeśli do danego roztworu soli dosypiemy 1 kg soli to otrzymamy roztwór o stężeniu 33 %. Jeśli jednak tego nie zrobimy,
3
a dolejemy 1 kg wody do danego roztworu, to nowy roztwór będzie miał stężenie 30%. Ile soli i ile wody jest w danym
roztworze ?
3. Pole trójkąta ABC jest równe 1. Punkty X, Y leżą na boku AB oraz punkt Z leży na boku AC
w ten sposób, że:
 długość odcinka XY jest dwa razy większa niż długość odcinka AX,
 odcinek XZ jest równoległy do odcinka YC,
 odcinek YZ jest równoległy do odcinka BC.
Oblicz pole trójkąta XYZ.
4. Do pojemnika w kształcie walca o promieniu podstawy 5 cm i wysokości 1 m, wlano wodę do wysokości 32 cm.
Następnie w pojemniku tym ustawiono metalowy sworzeń w kształcie walca o promieniu podstawy 3 cm tak, by
podstawą przylegał do dna pojemnika. Jeśli część sworznia wystaje ponad poziom wody, to do jakiej wysokości sięga
teraz woda?
Zadanie 1. (za 6 punktów)
Załoga dostosowała tempo pracy tak, by wykonać planowaną produkcję 1250 elementów w ciągu 10 godzin. Po 6
godzinach pracy w tym tempie okazało się, że trzeba wykonać dodatkowo 165 elementów. O ile procent załoga musi
zwiększyć tempo swojej pracy aby zakończyć produkcję wszystkich elementów nie zwiększając czasu pracy?
Iloczynowy kwadrat magiczny jest tabelką, w której liczba kolumn i wierszy jest taka
sama, każda komórka tabeli zawiera liczbę rzeczywistą dodatnią i liczby te są tak
dobrane, że iloczyn liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na każdej przekątnej
jest taki sam. Rysunek przedstawia iloczynowy kwadrat magiczny o wymiarach 3×3 z
dwiema liczbami ujawnionymi. Wyznacz środkową liczbę tego kwadratu.
Czy istnieje trójkąt, którego wysokościami są odcinki o długościach 4 cm, 8 cm i 10 cm. Odpowiedź uzasadnij.
Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość 15 cm, a promień okręgu
wpisanego w ten trójkąt jest długości 3 cm.
Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła
o kącie środkowym 252° i promieniu 10 cm.
Zadanie 1. (za 6 punktów) W zawodach koszykówki brało udział 5 drużyn 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸.
Każda drużyna rozegrała 20 meczy, rozgrywając po 5 meczy z każdą z czterech
pozostałych drużyn. Tabela przedstawia liczbę wygranych (𝑊), przegranych (𝑃) i
remisów (𝑅) dla każdej z drużyn po zakończeniu zawodów. Wyznacz wartości 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Zadanie 2. (za 6 punktów) Na śniadanie wszyscy członkowie rodziny Ani jedli jogurt
naturalny z dodatkami w postaci płatków i konfitury, które Ania postawiła na stole w
dwóch osobnych miseczkach. Każdy z członków rodziny dodał do swojego jogurtu 30 g
dodatków, niekoniecznie w tych samych proporcjach ale nie było osoby, która by nie
skorzystała z obu dodatków. W ten sposób obie miseczki zostały całkowicie
opróżnione. Ania dodała do swojego jogurtu
1
6
dostępnej na początku konfitury i
1
8
Drużyna 𝑾
𝑷
𝑹
𝑨
2
15
3
𝑩
7
9
4
𝑪
6
12
2
𝑫
10
8
2
𝑬
𝑥
𝑦
𝑧
dostępnych na początku
płatków. Ile osób liczy rodzina Ani wraz z nią?
Zadanie 3. (za 6 punktów) Kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 znajduje się I ćwiartce
układu współrzędnych, przy czym punkt A leży w początku
układu współrzędnych, a punkt 𝐵 leży na osi odciętych.
Prosta będąca wykresem proporcjonalności prostej zadanej
wzorem 𝑦 = 𝑎𝑥 przecina bok 𝐶𝐷 w punkcie 𝐸 . Stosunek pola
czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐸 do pola trójkąta 𝐴𝐷𝐸 jest równy 5, a różnica
obwodów tych figur wynosi 8. Wyznacz wartość współczynnika
𝑎 we wzorze 𝑦 = 𝑎𝑥 oraz współrzędne punktu 𝐵.
Zadanie 4. (za 6 punktów) Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 ma boki długości:
|𝐴𝐵| = 13, |𝐵𝐶| = 5 i |𝐶𝐴| = 12. Punkty 𝐷 i E leżą
odpowiednio na bokach 𝐵𝐶 i 𝐴𝐶 przy czym |𝐶𝐷| = |𝐶𝐸| =
4. Punkty 𝐹 i 𝐺 leżą na boku 𝐴𝐵, a odcinki 𝐷𝐹 i 𝐸𝐺 są
prostopadłe do boku 𝐴𝐵. Oblicz pole pięciokąta 𝐶𝐸𝐺𝐹𝐷.
Zadanie 5. (za 6 punktów) Rysunek przedstawia siatkę
ostrosłupa o podstawie kwadratowej. Liczby na rysunku
pokazują długości krawędzi w centymetrach. Oblicz pole
powierzchni bocznej i objętość tego ostrosłupa.
Etap wojewódzki - część II - 2000/2001
1.
2.
3.
4.
Podaj wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji y = 3x - 4 i przechodzi przez punkt A = (1,-2).
Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, dla których suma cyfr wynosi 2?
Zapisz w postaci potęgi 310 + 310 + 310.
W której ćwiartce układu współrzędnych leży punkt, którego współrzędne są rozwiązaniem układu równań
𝑥+𝑦=2
{
?
𝑥 − 𝑦 = −4
5. Ile dodatnich liczb całkowitych mniejszych od 1000 można przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb
parzystych
6. Sportowiec przebiegł 0,6 km w ciągu 2 minut. Jaka jest średnia prędkość w tym odcinku wyrażona w m/s.
7. Pole powierzchni kwadratu wynosi 16 cm2 . Oblicz długość boku kwadratu o polu 3
razy większym.
8. Fabryka produkuje tygodniowo k lodówek. Ile tygodniowo lodówek będzie
produkować fabryka, jeśli jej produkcja wzrośnie o p%?
9. Jaki jest promień okręgu wpisanego w wycinek koła o promieniu r i kącie 60o?
10. W trapez równoramienny o długościach boków podanych na rysunku, wpisany jest
okrąg. Jaka jest średnica okręgu?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Znajdź pole i obwód kwadratu ABCD, gdy dane są wierzchołki A = (1,0) oraz B = (-3,2).
Ile maksymalnie liczb pierwszych można znaleźć wśród kolejnych 10 liczb naturalnych? Podaj przykład takich 10
liczb naturalnych.
Czternastoletni Jacek za rok będzie trzy razy starszy od swojego brata. Za ile lat będzie od niego dwa razy starszy?
Dla jakich funkcji liniowych osią symetrii wykresu tych funkcji jest oś OX, a dla jakich oś OY?
Ile razy liczba 101010 jest większa od liczby (1010)10 ?
Liczbę 1988 przedstaw w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
Na rysunku poniżej można zauważyć 60 prostokątów utworzonych przy pomocy 12
kwadracików. Ile spośród tych prostokątów jest podobnych do zacieniowanego prostokąta?
Jaką część powierzchni koła może zajmować wpisany w to koło trójkąt prostokątny ?
Odpowiedź podaj w przybliżeniu w procentach z dokładności do jednego procentu.
3
5
9. Nie korzystając z kalkulatora, ustaw liczby √2 , √3 , √5 od najmniejszej do największej.
10. Ile co najwyżej boków może mieć wielokąt foremny, w którym kąt wewnętrzny ma miarę wyrażającą się
całkowitą liczbą stopni?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Liczba x stanowi 75% liczby y. Jakim procentem liczby x jest liczba y?
Oblicz: 500112 − 499892 .
Znajdź cyfrę jedności liczby: 1723 + 2 . 16100.
Oblicz 2750 : 8137.
Narysuj kwadrat, którego pole wynosi 8 cm2.
Bok kwadratu ma długość 4 cm. Jaki jest obwód narysowanego prostokąta?
O ile zwiększy się wysokość trójkąta równobocznego, jeśli jego bok zwiększymy o 2?
W kole o promieniu r poprowadzono cięciwę o długości równej promieniowi. Cięciwa ta dzieli
koło na dwie części. Oblicz pole większej z nich.
9. Podaj największą liczbę całkowitą, dla której wyrażenie √56 − 7𝑥 ma sens liczbowy.
10. Ile boków ma wielokąt foremny, w którym miara kąta wewnętrznego jest równa 150?
1.
Która z liczb jest większa 2700 czy 5300 ? Odpowiedź uzasadnij.
2.
Wiadomo, że a jest liczbą całkowitą. Wykaż, że
𝑎2 −𝑎
3
jest również liczbą całkowitą.
3.
4.
Znajdź cyfrę jedności liczby: 1723 + 2 . 16100.
W pokoju stoją trzy lampy, zielona, żółta i czerwona. Każdą z nich można włączyć i wyłączyć niezależnie. Na ile
sposobów można oświetlić pokój?
Wskazówka: pokój jest oświetlony, gdy pali się choć jedna lampa.
5. Punkty A i B dzielą okrąg w stosunku 4:11. Oblicz miarę kąta wpisanego opartego na krótszym z powstałych
łuków.
6. Połowa liczby przeciwnej do kwadratu odwrotności pewnej liczby równa jest -1/18. Jaka to liczba?
7. Oblicz odległość początku układu współrzędnych od prostej y = x + 3.
8. Stosunek pól powierzchni dwóch podobnych graniastosłupów jest równy 2. Oblicz stosunek objętości tych brył.
9. Dany odcinek AB o długości |AB| = a. Narysuj zbiór wszystkich punktów C takich, że trójkąt ABC jest trójkątem
równoramiennym o ramieniu A.
10. Sześcienny metalowy klocek o krawędzi 10 cm waży 8 kg. Jaką długość ma krawędź klocka sześciennego
ważącego 1 kg i wykonanego z tego samego materiału?
1.
2.
Oblicz wartość wyrażenia: √122 + 52 .
Uzasadnij, że równania |𝑥| − 3 = 2 | oraz 𝑥 − 3 = 2 nie są równoważne.
3.
Wyznacz a z równania
4.
5.
Rozwiąż równanie: (𝑥 + 375 )2 − (𝑥 − 375 )2 = 4 ∙ 375 .
Kierowca jechał najpierw dwie godziny z prędkością 90km/h, a potem 3 godziny z prędkością 70km/h. Z jaką
średnią prędkością odbył tę podróż?
Sieć ”Pizza na jeden ząb” sprzedaje pizzę o średnicach 10 cm, 14 cm, 20 cm i 26 cm
odpowiednio po 6 zł, 12 zł, 24 zł i 36 zł. Którą pizzę opłaca się kupić, aby otrzymać największy
kawałek pizzy za 1 zł?
Na rysunku zacieniowano 3/4 małego kwadratu i 6/7 dużego kwadratu.
Oblicz stosunek pola zacieniowanej części małego kwadratu do zacieniowanej części dużego
kwadratu.
W trójkącie ABC dwusieczne kątów ABC i ACB przecinają się w punkcie D. Oblicz miarę kąta BAC wiedząc, że
|∠𝐵𝐷𝐶| = 150°.
Punkty A, B, C, D są środkami okręgów wzajemnie stycznych jak na rysunku, przy czym
środek B leży na odcinku CD. Promienie okręgów o środkach A i B są odpowiednio równe: 2
cm i 5 cm. Oblicz obwód trójkąta ACD.
6.
7.
8.
9.
2−3𝑎
𝑎
= 4−𝑏.
10. W okręgu o środku S wpisano kąty jak na rysunku. Oblicz miarę kąta α.
1.
2.
3.
4.
5.
Towar z opakowaniem kosztuje 2,50 zł, przy czym towar jest o 2 zł droższy od opakowania. Ile kosztuje
opakowanie?
Krawędź sześcianu zwiększono o 10%. O ile procent zwiększy się powierzchnia tego sześcianu?
Funkcja liniowa określona jest za pomocą wzoru: y = 3x
x, jeśli wartość y
tej funkcji wzrosła o 4?
Oblicz bok kwadratu przedstawionego na rysunku, mając dany promień r okręgu „wpisanego
opisanego” na tym kwadracie.
Narysuj prostą dzielącą dokładnie na pół oba obszary: zacieniony i niezacieniony.
6.
7.
8.
9.
Ile boków ma wielokąt wypukły, w którym suma miar kątów wewnętrznych wynosi 1620 o?
Ile jest liczb naturalnych, których zaokrąglenie do setek jest równe 400?
Ile wynosi suma cyfr liczby 1092 − 92?
Przy jakim założeniu prawdziwe jest twierdzenie: Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy sumie kwadratów tych
liczb.?
10. Każdy uczeń pewnej klasy należy do koła matematycznego lub polonistycznego. Do koła matematycznego należy
20 uczniów, do koła polonistycznego 16, a do obu kół 6. Ilu uczniów jest w tej klasie?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1
1
Wiedząc, że 𝑥 + = 5, oblicz 𝑥 2 + 2 .
𝑥
𝑥
Przekątna trapezu równoramiennego dzieli go na dwa trójkąty równoramienne. Oblicz miarę kąta ostrego tego
trapezu.
Cenę towaru zmniejszono o 20%. O ile % należy ją powiększyć, aby wrócić do ceny początkowej?
Oblicz 128 ∙ 912 − 1816 .
Podaj resztę z dzielenia 250 przez 10.
Z kwadratu o boku 10 cm wycięto wpisane koło. W pozostałe części kwadratu wpisujemy okręgi. Podaj długość
promienia takiego okręgu.
Długość boku przedstawionego na rysunku kwadratu jest równa 1.
Oblicz pole zacieniowanego obszaru, wiedząc, że kąt ESF jest prosty.
Wśród matematyków co siódmy jest filozofem, a wśród filozofów co dziesiąty jest
matematykiem. Kogo jest więcej, matematyków czy filozofów?
Punkt S jest środkiem okręgu. Oblicz miarę x kąta oznaczonego na rysunku.
10. Dla jakich wartości a ułamek
(𝑎+1)(𝑎−2)
|2𝑎|−4
nie ma sensu liczbowego ?
1.
Dwie liczby są wzajemnie odwrotne. Jakie to liczby jeśli jedna jest 16 razy większa od drugiej?
2.
Napisz ułamek równy ułamkowi
3.
Wykaż, że jeśli liczby naturalne m oraz n spełniają warunek
naturalnej.
4.
Woda zmieniając się w lód, zwiększa swoja objętość o
|𝑎|
|𝑎|+3𝑎
bez użycia wartości bezwzględnej, przy założeniu, że a < 0.
1
11
= 2, to liczba mn + 1 jest kwadratem liczby
. O jaką część zmniejszy się objętość lodu, który zamienia
się w wodę?
36 ∙94
∙ 𝑥 = 312 + 314 .
5.
Rozwiąż równanie
6.
Chodzę z prędkością 4 km/h, a biegam z prędkością 6 km/h. Stwierdzam, że jeśli rano do szkoły biegnę, zamiast
iść, oszczędzam 3 minuty i 45 sekund. Jak daleko mieszkam od szkoły?
W okrąg o promieniu r wpisano prostokąt ABCD. Następnie połączono środki boków tego prostokąta, otrzymując
czworokąt EFMN. Oblicz obwód czworokąta EFMN.
Odcinek AB jest średnicą koła. Z punktów A i B wykreślono cięciwy AC i BD przecinające się w punkcie E. Oblicz
7.
8.
27
miarę kąta AEB, jeżeli wiadomo, że łuk DC stanowi
9.
1
10
część okręgu.
Kropki oddalone są od siebie o jednostkę. Oblicz pole części wspólnej trójkąta i kwadratu.
10. Jaka część ośmiokąta foremnego została zacieniowana?
1.
2.
3.
4.
5.
Zapisz w postaci potęgi: 21994 + 4997 + 8665.
Wilgotność skoszonej trawy wynosi 60%, a wilgotność siana równa się 20%. Ile siana otrzymamy z jednej tony
trawy?
W konkursie wędkarskim brało udział siedmiu wędkarzy. Okazało się, że złowili łącznie 112 ryb, przy czym każdy
złowił inną ich liczbę, a ten, który złowił najwięcej, miał o 6 ryb więcej niż ten, który złowił najmniej. Ile ryb złowił
rekordzista?
Pewien wielokąt wypukły ma 119 przekątnych. Ile boków ma ten wielokąt?
Dwa jednakowe koła o promieniu 10 są zewnętrznie styczne. Ze środka jednego okręgu
poprowadzono półprostą styczną do drugiego (rysunek). Oblicz pole zacieniowanej
figury.
6.
Wodę z napełnionego po brzegi pojemnika w kształcie stożka przelano do pojemnika
w kształcie sześcianu krawędzi 2 dm. Do jakiej wysokości sięgnie woda?
7.
Oblicz pole trójkąta ABC.
8.
Znajdź wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, które powiększą się dziewięciokrotnie gdy między ich cyframi
wstawimy zero.
9. Ostrosłup o objętości 54 przecięto dwiema płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny podstawy, dzielącymi
wysokość ostrosłupa na trzy równe części. Oblicz objętość każdej z trzech brył, na jakie został podzielony ten
ostrosłup.
10. Wiadomo, że liczby x, 0, x2 leżą na osi w podanej kolejności.
Zaznacz na osi liczby 1/x2, 1, -x tak, by można było odczytać
uporządkowanie wszystkich sześciu liczb.
1.
Drogę równą 60 km autobus przebył ze średnią szybkością 72km/h, a chłopiec na rowerze pokonał ją ze średnią
szybkością 24 km/h. O ile dłużej jechał chłopiec na rowerze niż autobus.
2.
Podaj wszystkie liczby spełniające równanie √|3 − 𝑥| = 2.
3.
Wykaż, że liczba
4.
Wiedząc, że
𝑎
𝑎+𝑏
√75−√48
1
√3
jest naturalna.
= , oblicz
3
3𝑏
𝑎+𝑏
.
5.
Z 400 płytek, każda o polu 0,04 m2, ułożono prostokątny chodnik, którego długość jest czterokrotnie większa od
szerokości. Oblicz obwód chodnika.
6. Wyobraź sobie, że narysowano kolejno 100 prostych w ten sposób, że każda następna jest prostopadła do poprzednio
narysowanej. Które proste tworzą parę prostych prostopadłych?
A. 13 i 33
B. 44 i 64
C.26 i 99
D.3 i 57
7. Długości dwóch boków trójkąta są równe 3 i 19. Jaką długość może mieć trzeci bok tego trójkąta, wiedząc, że wyraża
się ona liczbą naturalną? Podaj wszystkie możliwości.
8. Cięciwa przecina średnicę okręgu pod kątem 30 i dzieli ją na dwa odcinki o długościach 4 i 12. Znajd ź odległość tej
cięciwy od środka okręgu.
9. W kwadrat o boku 2 wpisano koło. W pozostałej części kwadratu wpisano okręgi. Podaj
długość promienia takiego okręgu.
10. Krawędź sześcianu ma długość 2. Punkty M i N są odpowiednio środkami krawędzi AD
oraz BF. Oblicz długość odcinka MN.
1.
2.
3.
4.
Jaką cyfrą zakończona jest liczba, która jest iloczynem wszystkich liczb nieparzystych od 1 do 99?
Wynik działania 210 + 210 zapisz w postaci potęgi liczby 2.
Liczba a jest większa od liczby c o 60%, a liczba b jest większa od c o 25%. O ile procent liczba a jest większa od liczby b?
Mając dane: 𝑥 + 𝑦 = 11 i 𝑥𝑦 = 15, oblicz 𝑥 2 + 𝑦 2 .
5.
Jak od kawałka sznurka o długości
6.
Zaznacz na osi liczbowej wszystkie wartości, które może przyjmować wyrażenie |15 − 𝑥| , jeśli liczba x
spełnia warunek 13 < x < 17.
Dany jest kwadrat o boku 2. Oblicz promień okręgu, który jest ‘wpisano-opisany’ na kwadracie
(rysunek).
Obwód prostokąta jest równy 78 cm. Dwusieczna jednego z kątów prostych dzieli obwód na dwie części w stosunku 1 : 2.
Oblicz długości boków tego prostokąta.
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ABCD (rysunek), jeżeli długość krawędzi sześcianu jest
równa 2.
7.
8.
9.
2
3
1
𝑚 odciąć kawałek o długości 𝑚, nie mając przy sobie linijki?
2
10. Proste zawierające ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinają się w punkcie S. Oblicz obwód trójkąta SAB, wiedząc, że |AB| =
6, |CD| = 2, a obwód trójkąta SCD jest równy 19.
1.
2.
Oblicz √20112 − 2010 ∙ 2012 .
Ile jest liczb całkowitych, które są równe swoim kwadratom?
3.
Jeśli x jest liczbą całkowitą, to jaki może być największy obwód trójkąta o bokach długości 3, 4, x?.
4.
Trójkąt ABC jest prostokątny, punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC,
CA i AB, przy czym |BF|=|BD| oraz |CE|=|CD|. Oblicz miarę  kąta EDF.
5.
6.
Wyznacz 𝑎 z równania 𝑎𝑏 − 𝑎 = 1 wiedząc, że 𝑏 ≠ 1.
Niech ↓ 𝑛 ↓ oznacza największą liczbę pierwszą mniejszą od 𝑛
i niech ↑ 𝑛 ↑ oznacza najmniejszą liczbę pierwszą większą od 𝑛.
Oblicz ↓ 92 ↓ + ↓↑ 12 ↑↓ .
7. W pewnym czworokącie wypukłym przekątne dzielą go na cztery trójkąty.
Liczby na rysunku oznaczają pola kolejnych trzech z tych trójkątów w cm 2. Ile cm2 ma pole
tego czworokąta?
8. Jeśli 319 = 1𝑎62261467 to jaką cyfrę reprezentuje 𝑎 ?
9. Jeśli pracownicy pracują w równym tempie i każdy z nich produkuje 𝒂 opakowań w
ciągu 𝒃 godzin, to ile godzin zajmie 𝒄 pracownikom wyprodukowanie 𝒅 opakowań?
10. Suma pól pewnych dwóch sąsiednich ścian prostopadłościanu jest równa 16. Ile wynosi
objętość tego prostopadłościanu jeśli długości jego krawędzi wyrażają się liczbami
pierwszymi?
Zadanie 1. Ile wynosi reszta z dzielenia liczby 2012 przez liczbę 2013?
Zadanie 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przypadkowo wybrany dzielnik naturalny liczby 20 jest mniejszy
niż 5?
Zadanie 3. Wysokość prostokąta jest o 2 cm mniejsza niż jego szerokość, natomiast długość boku kwadratu
jest o 1 cm mniejsza niż szerokość prostokąta. Pole prostokąta jest równe  cm2. Oblicz pole kwadratu.
Zadanie 4. Ile wynosi miara kąta 𝛼 ?
Zadanie 5. Kierowca jedzie z prędkością jeden
kilometr na minutę.
O ile procent musi on zwiększyć prędkość aby drogę długości jeden kilometr pokonać w ciągu 40 sekund?
Zadanie 6. Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na jednej prostej i długość odcinka AC jest równa √𝑥 .
Korzystając z danych na rysunku wyznacz 𝑥.
Zadanie 7. Suma dwóch liczb jest równa 14, a iloczyn tych liczb wynosi 42. Ile wynosi suma odwrotności tych
liczb?
Zadanie 8. Pewien ostrosłup ma 𝑥 krawędzi, a graniastosłup o tej samej podstawie ma 𝑦 wierzchołków. Ile
wynosi 𝑥 − 𝑦 ?
Zadanie 9. Kula 𝐴 ma powierzchnię 4 razy większą niż kula 𝐵, a kula B ma objętość 125 razy większą niż kulą 𝐶.
Ile razy promień kuli 𝐴 jest większy niż promień kuli 𝐶?
Zadanie 10. Rysunek przedstawia prostopadłościan o wymiarach
3×4×5. Jaką miarę ma kąt między odcinkami 𝐵𝐺 i 𝐵𝐻?
Zadanie 1. Ile jest trójkątów, których długości boków wyrażają się liczbami całkowitymi w centymetrach i
których dwa boki mają długości 2013 cm i 2014 cm?
Zadanie 2. Która z liczb jest większa, 730 czy 5015 ?
3
Zadanie 3. Liczbę ( √√75 − √12)
−2
można zapisać w postaci ułamka, w którym licznik i mianownik są liczbami
całkowitymi. Sprowadź tę liczbę do postaci ułamka nieskracalnego.
Zadanie 4. Jaka jest miara kąta ostrego między wskazówką minutową i wskazówką godzinową o godzinie 2:15?
Zadanie 5. Oblicz długość 𝑥 przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości
√14 + 2 i √14 − 2.
Zadanie 6. Na rysunku punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 leżą na okręgu o środku 𝑂.
Cięciwa 𝐵𝐷 jest średnicą okręgu, a cięciwy 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 są równej długości.
Kąt między cięciwami 𝐴𝐷 i 𝐵𝐷 jest równy 52°.
Oblicz miarę kąta 𝛼, między cięciwami 𝐵𝐷 i 𝐵𝐶.
Zadanie 7.
Rysunek przedstawia fragment funkcji liniowej.
Ile wynosi wartość tej funkcji dla argumentu 300?
Zadanie 8.
Miara kąta wewnętrznego pewnego wielokąta foremnego jest 8 razy większa niż miara kąta zewnętrznego. Ile
boków ma ten wielokąt?
Uwaga: Kąt zewnętrzny wielokąta jest to kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego wielokąta.
Zadanie 9. Pewna liczba dwucyfrowa ma tę własność, że gdy między jej cyframi wstawimy przecinek dziesiętny
to otrzymamy średnią arytmetyczną cyfr tej liczby. Co to za liczba?
Zadanie 10. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem o obwodzie 15, a powierzchnia boczna stożka po
rozwinięciu jest półkołem. Oblicz długość tworzącej stożka.

WOJEWÓDZKI KONKURS PRZEDMIOTOWY z

Transkrypt

Podobne dokumenty