Pojęcia podstawowe- stany nieustalone

Transkrypt

Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
Zawartość
1.0. STANY NIEUSTALONE ....................................................................................................................... 1
1.1. Warunki początkowe ........................................................................................................................ 2
1.2 . Przykład 1 ........................................................................................................................................ 3
1.3. Przykład 2 ........................................................................................................................................ 5
1.4. JAK TO ZROBIĆ W MATLABIE........................................................................................................... 7
1.0 STANY NIEUSTALONE
Omówimy
teraz sposób obliczania stanów nieustalonych w obwodach
elektrycznych metodą operatorową, zobaczymy ze praktycznie wyznaczenie odpowiedzi –
stany przejściowego odpowiada odpowiedzi układu o danej transmitancji na wymuszenie
czy to stałe (źródło napięcia stałego) lub zmienne ( sinusoidalne) .
Zanim przejdziemy do omawiania analizy obwodów wprowadzimy kilka pojęć
ułatwiających analizę stanów nie ustalonych .
Stanem ustalonym nazywamy stan obwody elektrycznego w którym wszystkie napięcia i
prądy, oraz energia zmieniają się okresowo lub mają wartości stałe.
Stanem nieustalonym nazywamy stan obwodu w którym w wyniku komutacji (zwarcie,
przełączenie włącznika , nagła zmiana parametrów obwodu) następuje
stan pośredni po zaniku którego obwód znajdzie się w nowym stanie
ustalonym .
Postulaty wynikające z ciągłości stanu energetycznego:
- ciągłość napięcia na elementach pojemnościowych
-ciągłość prądu na elementach indukcyjnych
Zmiana skokowa wartości prądów i napięć ( elementy idealne) :
- prąd w elemencie pojemnościowym i rezystancyjnym może zmieniać się skokowo
- napięcie w elemencie indukcyjnym i rezystancyjnym może zmieniać się skokowo.
Powyższe postulaty wynikają z zasady zachowania energii którą gromadzą elementy
L i C. Często przy wyłączaniu wyłączników lub przy ich włączaniu pojawią się łuk elektryczny,
który odpowiada zmiennej rezystancji - w analizie stanów nieustalonych będziemy pomijali
te zjawisko.
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 1
0.8-2009
Obliczanie prądów i napięć w stanie nieustalonym metodą operatorową sprowadza się do :
- Określenia warunków początkowych ( wartości prądu na płynącego w cewce i napięcia na
kondensatorze)
- Rozwiązanie obwodu w stanie ustalonym po przełączeniu
- rozwiązanie obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu.
Rozwiązanie obwodu w stanie nieustalonym jest superpozycją składowej ustalonej oraz
składowej przejściowej.
1.1 Warunki początkowe
Chwilę w której następuje komutacja oznaczamy t=0 – jest to początek stanu
nieustalonego. Wartość napięcia i prądu przez komutacją oznaczymy poprzez :
0 , 0 a tuz po komutacji : 0 , 0 . Stany przed komutacją
wyznaczamy znając poprzedni stan ustalony.
Wyznaczenie stanu przejściowego będzie przebiegało według poniższych kroków:
1. Stworzenie schematu obwodu dla składowej przejściowej - wyeliminowanie źródeł
poprzez : zwarcie źródeł napięcia , rozwarcie źródeł prądu – tak aby układ dla
składowej przejściowej nie zawierał żadnych źródeł wymuszającej
Dla wymuszeniu sinusoidalnym:
Dla źródła wymuszającego sinusoidalnego.
2. Określenie warunków początkowych dla składowej przejściowej przy zachowaniu
postulatów ciągłości
0 0 0 0 0 0 Przy wymuszeniu stałym źródłem nie rozbijamy obwodu na cześć ustaloną u przejściową
– źródło zastępujemy jego modelem operatorowym.
3. Utworzenie schematu operatorowego obwodu w stanie przejściowym poprzez
zastąpienie elementów ich modelami operatorowymi i uwzględnieniu warunków
początkowych
4. Wyznaczenie transformaty odwrotnej.
5. Po wyznaczeniu transformaty odwrotnej przebieg przejściowy składa się z przebiegu
ustalonego i przejściowego
Ł. Szydłowski
Strona 2
0.8-2009
Zrobimy teraz kilka przykładów , zobaczymy jak wiąże się to z wyznaczaniem
odpowiedzi układy o danej transmitancji na wymuszenie.. Zrobimy przykład symbolicznie
oraz numerycznie.
Zaczniemy od poznanego już szeregowego układu RLC.
1.2 Przykład 1
Wyznacz przebieg prądu i napięć w stanie nieustalonym dla szeregowego układy RLC.
Wartość źródła napięcia i elementów:
E=1 V , R=30 Ohm L= 0,1 H
C= 0.001 F
0 0
0 0
0 0
Prawa napięciowego mamy:
1
1
Zauważmy ze gdybyśmy nie mieli sprecyzowanego wymuszenia to otrzymalibyśmy:
1
1
czyli transmitancję zależności prądu od napięcia - i teraz chcąc sprawdzić odpowiedź układy
na wymuszenie skokowe o wartości E - podstawiamy jego transformatę E(s)= Wracając do przykładu otrzymujemy:
Napięcie na kondensatorze:
Napięcie na cewce:
Ł. Szydłowski
! Modelowanie i Sterowanie
Strona 3
0.8-2009
Podstawiając dane wartości otrzymujemy i rozbijając na ułamki proste poznanymi
metodami:
0.001
0.0447
0.0447
0.0001 0.03 1 38.19 261
1
0.171
1.171
1
0.0001 * 0.03 261 38.19 0.0001
1.17
0.17
0.0001 0.03 1 261 38.19
Korzystając teraz z tablic wyznaczamy przebiegi w dziedzinie czasu:
0.0447+ ,*-.. / 0.001+ ,0 /
1 0.171+ ,0/ 1.171+ ,*-.. /
1.17+ ,0/ 0.17+ ,*-.. /
Rozwiązanie symboliczne:
3
4
1 ,2
= +
3
4
1 ,2
5 6789 4 7:34;94<
/
34
,
+
+
5 6789 4 7:34;94<
/
34
,
5 89 4 7:34;94
/
34
,
+
)
5 89 4 7:34;94
/
34
,
Uc=E-Ri(t)-UL(t)
Wypadało by jeszcze przeanalizować
elementów na przebiegi – wróćmy do
Zapisu operatorowego prądu
1
Pierwiastki mianownika:
wpływ wartości
∆ ? 4
przebiegi w układzie nie mają charakteru oscylacji jeżeli 21 ,
@ 21 drgania tłumione .
( 21 ) wystapią drgania nie rosnące – rezonans.
Jeżeli R=0 ( i elementy LC bierzemy jako idealne) to otrzymamy układ oscylacyjny (
rezonansowy)
Ł. Szydłowski
Strona 4
0.8-2009
1.3. Przykład 2
Dla układu z przykładu 1 znajdź przebieg prądu w obwodzie i napięcia na kondensatorze
jeżeli źródło napięcia jest sinusoidalne :
A sin E F
Um=1 [V]
F 30°
E1
Przebieg wyznaczymy metoda superpozycji w stanie ustalonym po przełączeniu i w stanie
przejściowym.
Stan ustalony po przełączeniu postaci zespolonej ;
Impedancja
G ? E I JKLM N
G
+ QR
1
E E
O 88.28°
A QR,S
√2 QS +
0.0007+ Q-,-°
G+
G√2
Napięcie na cewce:
A
1 1000.35
E
0.0007√2sin E 118.28°
TU E + Q.V° 0.0007+ Q-,-° 0.00007+ QV-,-°
0.0007√2sin E 208.28°
Napięcie na kondensatorze:
Napicie na rezystancji:
Warunki początkowe :
1 Q,.V°
+
0.0007+ Q-,-° 0.7+ Q-,-°
E
0.7√2sin E 28.28°
T 30 W 0.0007+ Q-,-° 0.021+ Q-,-°
0.021√2sin E 1118.28°
0 0
0 0
0 0.0007√2 sinE0 118.28° 0.00087
0 0.7√2 sinE0 28.28° 0.47
Ł. Szydłowski
Strona 5
0.8-2009
Tworzymy schemat operatorowy:
Z prawa napięciowego:
0 Po przekształceniu:
1
0 0 Podstawiamy wartości :
Po rozbiciu na ułamki proste:
Po przekształceniach:
0 1
0
0 0 1
8.7 W 10,0 0.47
0.1 1 1000
2.3529i
2.3529i
5 99.8749i s 5 99.8749i
2.3529eY.V°
2.3529eY.V°
5 99.8749i s 5 99.8749i
Teraz na podstawie tablic możemy wyznaczyć przebiegi w dziedzinie czasu:
iZ 2 W 2.3529e,[\ cos(99.88 t 90°
Transformata napięcia na kondensatorze:
T 8.7 W 10,* 470
0.1 * 1 1000
Po rozbiciu na ułamki proste:
0.235 0.0122i 0.235 0.0122i 0.47
s 5 99.87i
s 5 99.87i
0.235e,Y..^°
0.235eY..^°
0.47
s 5 99.87i s 5 99.87i
L_ 0.47 2 W 0.235e,[\ cos 99.87t 2.97°
Rozwiązanie stanu przejściowego:
Ł. Szydłowski
Strona 6
0.8-2009
iZ 2 W 2.3529e,[\ cos(99.88 t 90° 0.0007√2sin E 118.28°
0.47 2 W 0.235e,[\ cos99.87t 2.97° 0.7√2sin E 28.28°
1.4. - JAK TO ZROBIĆ W MATLABIE
Wykorzystując polecenia z Symboli Toolbox jak i również Cotrol Toolbox można
rozwiązać równania różniczkowe na wiele sposobów, przedstawić wyniki w formie
symbolicznej , jak i numerycznej w postaci przebiegów
Wróćmy do przykładu 1 gdzie wyznaczaliśmy odpowiedz prądu, i napięć na wymuszenie
skokowe napięcia zasilającego ( zamknięcie klucza).
1
Po przekształceniu jak przykładzie mamy
1
Teraz możemy rozwiązać symbolicznie
kownianie poprzez policzenie transformaty
odwrotnej poleceniem ilaplace() :
Prawo napięciowe:
>> syms E C R L s
>> i=ilaplace(E*C/(s^2*L*C+s*R*C+1))
i=
E*C*(exp(-1/2*(R*C-(R^2*C^2-4*C*L)^(1/2))/C/L*t)-exp(-1/2*(R*C+(R^2*C^24*C*L)^(1/2))/C/L*t))/(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2)
Po uporzadkowaniu otrzymujemy :
1 ,2
+
3
4
5 6789 4 7:34;94<
/
34
,
5 89 4 7:34;94
/
34
+ ,
)
Polecenie pretty(i) pozwala na dogodniejsza formę pokazania rozwiązania ( może się pokazać
przez jakąś wielkością napis codegen:- należy go zignorować )
Jeżeli podstawimy dane
liczbowe:
Ł. Szydłowski
zamiast
oznaczeń symbolicznych to otrzymamy rozwiązanie
Strona 7
0.8-2009
>>i=ilaplace(0.001/(s^2*0.0001+s*0.03+1))
i=
-1/50*5^(1/2)*(exp(-50*(5^(1/2)+3)*t)-exp(50*(5^(1/2)-3)*t))
Plecenie ezplot(i,[0 0.06])
rysuje nam przebieg w przedziale [0 ….0.06]:
>>ezplot(i,[0 0.06])
>> grid on % wlaczenie siatki
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
0.01
0.02
0.03
t
0.04
0.05
0.06
Rozwiązanie numeryczne
Otrzymaliśmy rozwiązanie symboliczne oraz wykreśliliśmy przebieg wykorzystując Symbolic
Toolbox.
Ponieważ mamy transmitancję możemy rozwiązać równanie numerycznie – musimy
podstawić za symbole ich wartości:
0.001
1 0.0001 0.03 1
Transmitacja:
0.001
1 0.0001 0.03 1
Najpierw tworzymy model transmitancyjny :
Dla pradu w zapisie operatorowym (jak powyżej):
>>L=[0.001];
>>M=[0.0001 0.03 1];
>>I=tf(num,den)
Ponieważ już podstawiliśmy wymuszenie E(s)=E/s – to chcąc uzyskać rozwiązanie
numeryczne – wykres stosujemy polecenie impulse()
>>impulse(I)
Ł. Szydłowski
Strona 8
0.8-2009
lub : impulse(tf(L,M)) albo impulse(tf[[0.001],[0.0001 0.03 1]))
Jeżeli mamy zapis transmitancyjny to :
L=[0.001 0];
>>M=[0.0001 0.03 1];
>>I=tf(num,den)
Wywołujemy polecenie step():
>>step(I)
W wyniku wywołania komend zostanie wyświetlony przebieg:
Step Response
Amplitude
0.03
0.02
0.01
0
0
0.05
0.1
0.15
Można zadać pytanie czemu dwie rudne komendy – a taki sam przebieg?
Wynika to z formy transmitancyjnej – dla :
1
Mamy już podstawioną transformatę wymuszenia - nie jest to transmitancja - tylko
zapis operatorowy równania różniczkowego – chcąc otrzymać rozwiązanie w czasie musimy
zastosować polecenie impulse() – ( wynika to z transformaty impulsu Diraca która równa
jest 1 ) – nie możemy zastosować polecenia step() – gdyż otrzymamy odpowiedz dla układu o
transmitancji
1
gdzie U(s) jest wielkością wejsciową – a my jiz przeciez podstawiliśmy w transmitancji
transformatę wymuszenia .
Dla zapisu transmitancyjnego :
Ł. Szydłowski
Strona 9
1
0.8-2009
zastosujemy zawsze polecenie step() - które rysuje nam przebieg w czasie na wymuszenie
jednostkowe. Gdybyśmy przy tym zapisie wywołali polecenie impulse() – otrzymalibyśmy
odpowiedz układu za impuls a nie na skok ( zamknięcie włącznika).
Istnieje jeszcze jedno bardzo przydatne polecenie:
[r p k ]=residue(L,M)
Polecenie to rozbija nam transmitancję o liczniku L i mianowniku M na postać ułamków
prostych których poszczególne wartości za zapisane w wektorach r , p k . transmitancję
można przedstawić w postaci:
L(s)
R(1)
R(2)
R(n)
---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(s)
A(s) s - P(1) s - P(2)
s - P(n)
Dla naszego zapisu transmitacji
0.001
0.00012 0.03 1
>>[r p k ]=residue([0.001],[0,0001 0.03 1])
r=
-0.0447
0.0447
p=
-261.8034
-38.1966
k=
[]
Wektor k jest pusty - oznacza to ze licznik jest mniejszy od mianownika.
To polecenie przydaje się, gdy w wyniku wywołania polecenia ilaplace() uzyskane
rozwiązanie w postaci liczbowej ( za symbole podstawiamy ich wartości ) jest mało czytelne –
rozwiązanie może zawierać zapis w którym występują sinus i cosinus hiperboliczny a nie
funkcja ekspotencjalna - jest to zapis równoważny – jednakże dla nas mało czytelny pod
względem analizy otrzymanego wyniku .
Rozbicie na ułamki proste pozwala na uzyskanie bardziej czytelnego rozwiązania – w
szczególności gdy mamy pod ręką tablice transformat – jesteśmy w stanie od razu napisać
rozwiązanie.
Ł. Szydłowski
Strona 10
0.8-2009
Źródła:
1.Podstawy teorii układów elektrycznych -S.W Director R.A Rother PWN 1976.
2.Podstawy elektrotechniki R. Kurdziel PWN 1973
Ł. Szydłowski
Strona 11

Pojęcia podstawowe- stany nieustalone

Transkrypt

Podobne dokumenty

Pojęcia podstawowe -Rachunek operatorowy i prawo Ohma

Wypowiedzenie umowy lub Dyspozycja zamknięcia rachunków

69151/30/PH Massive-Philips ReadingLight

Nośnik jest przekazem

Biecz, dn - Automobilklub Biecki

Elektroniczne maszyny LabTest 6.300 - 6.600

Dazzling Design

Modelowanie systemów empirycznych