Dominacja stochastyczna a użyteczność

Dominacja stochastyczna a użyteczność
Joanna Dys
16 lipca 2010
Streszczenie
W poniższej pracy badany jest związek pomiędzy dominacją stochastyczną a użytecznością konsumenta. Zostanie wykazane, że porządek częściowy wyznaczony przez dominację pierwszego rzędu jest równoważny
porządkowi wyznaczonemu przez preferencje. Praca powstała w oparciu o
artykuł Josefa Hadara i Williama Russela, ”Rules for Ordering Uncertain
Prospects”.
1
Wprowadzenie
Rozwój teorii oczekiwanej użyteczności był niewątpliwie krokiem milowym w
rozważaniach na temat wyboru konsumenta w warunkach ryzyka. W klasycznej
już dziś pracy ”Theory of Games and Economic Behaviour”, John von Neumann
i Oskar Morgenstern zaproponowali aksjomaty, które według nich powinny spełniać racjonalne i spójne wybory konsumenta. Formalniej rzecz ujmując, określili
oni ”pożądane” własności relacji preferencji na zbiorze loterii, czy też losowych
wypłat, a następnie, dla relacji spełniającej wszystkie postulowane aksjomaty,
udowodnili fundamentalne twierdzenie o istnieniu funkcji użyteczności, o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych.
Stało się jasne, że znając funkcję użyteczności decydenta, możemy określić
jego wybór dla dowolnej sytuacji decyzyjnej, przed jaką zostanie on postawiony.
Szybko jednak stało się jasne, że określenie dokładnej postaci funkcji użyteczności, czy choćby klasy, do której należy, jest zadaniem trudnym, o ile w ogóle
możliwym do zrealizowania. Zaczęto więc badać, przy jakich warunkach można
przewidzieć wybór konsumenta, nie znając jego funkcji użyteczności.
Pierwsze pomysły na rozwiązanie tego zagadnienia, opierały się na dobrze
znanych miernikach statystycznych: wartości oczekiwanej i wariancji zmiennych
losowych, opisujących wypłaty w problemie decyzyjnym. Szybko jednak okazuje się, że metoda porównywania dwóch pierwszych momentów działa tylko
dla pewnych wąskich klas funkcji użyteczności, bądź określonych rozkładów.
W ogólności jednak, jako, że użyteczność jest funkcją wszystkich momentów
zmiennej losowej, porównanie wartości oczekiwanej i wariancji nie wystarczy do
jednoznacznego określenia wyboru konsumenta.
1
Josef Hadar i William Russell zaproponowali podejście alternatywne, oparte
na nowym wówczas pojęciu dominacji stochastycznej. Koncepcja dominacji stochastycznej pierwszego rzędu określa częściowy porządek na przestrzeni zmiennych losowych, określających wypłaty decydenta. Porównywane są ze sobą wielkości dystrybuant zmiennych w każdym punkcie. Pomysł ten najlepiej można
wytłumaczyć za pomocą ogonów dystrybuant. Zanalizujmy sytuację, w której
prawdopodobieństwo tego, że X jest większe od pewnej ustalonej wartości jest
zawsze większe (niezależnie od wyboru wartości) niż analogiczne prawdopodobieństwo dla Y . Oznacza to, że decydent częściej będzie wygrywał co najmniej
t, gdy zdecyduje się wybrać wariant X, niż gdy wybierze Y . Jeśli ta zależność
zachodzi dla wszystkich poziomów t, to decydent za każdym razem maksymalizując swoje szanse na dużą wygraną, wybierze X.
Nie gorzej jest jednak ze stratami: po przekształceniu nierówności wiążącej
ogony na taką wiążącą dystrybuanty, okaże się, że powyżej opisana zależność
implikuje, iż prawdopodobieństwo wygrania mniej niż ustalona wielkość t jest
zawsze mniejsze dla zmiennej X niż dla Y . Decydent, chcąc minimalizować
szanse na małe wygrane, ponownie będzie preferował X wobec Y .
Hadar i Russell na drodze tych obserwacji, postawili hipotezę, że stojąc przed
wyborem między loterią zdominowaną a dominującą, decydent maksymalizujący
swą użyteczność będzie zawsze wybierał tę ostatnią, gdyż oferuje ona większe
prawdopodobieństwo wysokich wypłat i mniejsze prawdopodobieństwo strat.
Okazało się również, że jeśli nie wiadomo, czy między zmiennymi istnieje dominacja stochastyczna pierwszego rzędu, można nieco zmienić to założenie, przy
wykorzystaniu słabszej własności dominacji stochastycznej drugiego rzędu.
W niniejszej pracy przytoczę obserwacje Hadara i Russella, jak również większość dowodów postulowanych twierdzeń, a także krótko omówię ich interpretację. Główną treść pracy została przedstawiona w kolejnych trzech rozdziałach. W
pierwszym przedstawiam ogólną koncepcję dominacji stochastycznej pierwszego rzędu i motywację za nią stojącą. Następne dwa prezentuje formalny dowód
twierdzeń, wiążących dominację z wyborami decydenta, dla przypadku ciągłego
i dyskretnego. W czwartym rozdziale znaleźć można sformułowanie podobnych
własności, tym razem dla dominacji stochastycznej drugiego rzędu. Po formalnej
analizie następują przykłady zastosowania obu twierdzeń dla arbitralnie dobranych danych. Ostatecznie, zbiorę najważniejsze wnioski w podsumowaniu.
2
2.1
Dominacja stochastyczna I rzędu
Motywacja
Bezpośrednią motywacją stojącą za koncepcją dominacji stochastycznej była
prosta własność preferencji, określonych przez von Neumanna i Morgensterna,
która wynikała z tzw. aksjomatu niezależności. Własność ta jest następująca:
jeśli % jest relacją preferencji spełniającą akjomatykę teorii oczekiwanej użyteczności i dla pewnych zmienych losowych X % Y , to dla β > α > 0 zachodzi:
βX + (1 − β)Y % αX + (1 − αY ).
2
(1)
Interpretacja jest jasna: decydent charakteryzujący się preferencjami typu
von Neumanna i Morgensterna, będzie wybierał te loterie, które dają większe prawdopodobieństwo uzyskania preferowanej wypłaty. Skoro zachodzi taka
nierówność dla dwóch zmiennych, ciekawym wydaje się pytanie, czy podobna
zależność może zachodzić dla większej ilości zmiennych i co będzie ona oznaczać
dla decydenta.
Dla uproszczenia, przyjmijmy, że elementami loterii będą nie zmienne losowe,
a pewne wypłaty – które dla wygody będziemy utożsamiać z ich użytecznościami
ui . Przyjmijmy, że użyteczności są uszeregowane rosnąco, tj u1 < u2 < . . . < un .
Mamy dane też prawdopodobieństwa αi wystąpienia kolejnych wypłat – innymi słowy, mamy zdefiniowaną loterię na wartościach ui . Będziemy się starać
skonstruować inną loterię na tych samych wielkościach, tak, aby zapewnić redystrybucję prawdopodobieństw w kierunku wyższych wypłat.
Przyjmijmy dla nowej loterii prawdopodobieństwa βi takie, że:
(
αj > βj , αk < βk dla pewnych wybranych j, k, takich, że j < k
αi = βi
dla i ∈
/ {j, k}
Wówczas nietrudno zauważyć, że bezpośrednio z własności 1 wynika, iż:
X
X
βi ui >
αi ui
i
i
Okazuje się, że wielkości βi można zdefiniować dużo ogólniej. Wystarczy,
żeby tworzyć loterie tak, by odpowiednio grupować prawdopodobieństwa ”małych” wypłat. Konkretniej, dla każdego górnego limitu wypłat r powinien być
spełniony następujący warunek:
r
X
βi ¬
r
X
αi .
i=1
i=1
Taką własność będziemy właśnie nazywać dominacją stochastyczną pierwszego rzędu.
2.2
Definicja
Przystąpię teraz do formalizacji teorii. W pracy będziemy badali własności dominacji stochastycznej wyłącznie pierwszego i drugiego rzędu. Przytoczę jednak
ogólniejszą definicję, dla dowolnego rzędu n całkowitego dodatniego.
Definicja 1. Dystrybuantą n-tego rzędu zmiennej losowej X ∈ X nazwiemy
(n)
funkcję FX (x) spełniającą następującą rekurencję:
 (1)
FX (x)
(n)
FX (x)
= FX (x)
Rx (n−1)
=
FX
(t)dt
−∞
3
Definicja 2 (Dominacja stochastyczna n-tego rzędu). Powiemy, że zmienna
losowa X dominuje zmienną Y w sensie dominacji stochastycznej n-tego rzędu,
co oznaczymy przez X %d(n) Y , jeśli zachodzi:
(n)
(n)
∀x ∈ R FX (x) ¬ FY (x).
Łatwo można zaobserwować, iż relacja dominacji stochastycznej n-tego rzędu tworzy porządek częściowy na przestrzeni zmiennych losowych. Nie jest to
jednak porządek zupełny, co wyjaśnia następująca definicja:
Definicja 3 (Nieporównywalność zmiennych). Powiemy, że X, Y są nieporównywalne w sensie dominacji stochastycznej n-tego rzędu, co oznaczymy przez
X Gd(n) Y jeśli nie zachodzi żadna z zależności: X %d(n) Y oraz Y %d(n) X.
3
Twierdzenie o wyborze dla dominacji stochastycznej pierwszego rzędu
Przystąpimy teraz do sformułowania i dowodu tezy sformułowanej przez Hadara i Russella, o tym, że dominacja stochastyczna determinuje wybór wszystkich
decydentów o niemalejących funkcjach użyteczności i zachodzi też zależność
odwrotna. Monotoniczność funkcji użyteczności jest niejako ”minimalnym” wymaganiem, jaki stawiają badacze, tym istotniejsze jest zatem, że wyłącznie to
wystarczy, by badać własności dominacji pierwszego rzędu.
3.1
Przypadek dyskretny
Zaczniemy od dowodu twierdzenia w przypadku dyskretnym.
Twierdzenie 1. Niech X, Y ∈ X będą dyskretnymi zmiennymi losowymi na
skończonej przestrzeni stanów. Wówczas X %d(1) Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdej niemalejącej funkcji użyteczności u zachodzi: Eu(X) ­ Eu(Y ).
Prezentuję w tej pracy inny dowód niż oryginalnie zaproponowany przez
Hadara i Russela, stąd przytoczę go w całości. Poniższy dowód jest oparty na
pomyśle Quirka i Saposnika z pracy [QuSa]. Sformułuję najpierw i udowodnię
lemat pomocniczy, dopiero później zaś przejdziemy do dowodu twierdzenia 1.
Lemat 1. 1 Jeśli zachodzi X Gd(1) Y , to istnieją funkcje u,v, obie niemalejące,
takie, że prawdziwy jest układ nierówności:
(
Eu(X) < Eu(Y )
Ev(X) > Ev(Y ).
1 Poniższy lemat ukazuje implikację jedynie w jedną stronę. Implikacja w drugą również
jest prawdziwa, ze względu jednak na czytelność pracy zdecydowałam się jej nie udowadniać.
Dowód ”nie wprost” jest łatwy i pozostawiam go chętnemu Czytelnikowi bądź odsyłam do
[QuSa]
4
Dowód lematu. Oznaczmy zbiór wartości zmiennych X i Y , odpowiednio przez
AX i AY , a ich (dyskretne) gęstości prawopodobieństwa przez p(x), dla x ∈ Ax
oraz q(y) dla y ∈ AY . Niech A = AX ∪AY . Bez straty ogólności możemy założyć,
że elementy zbioru A są ustawione w ciąg niemalejący: a1 > a2 > . . . > an .
Dodefiniujmy gęstości p i q następująco:
p(ai ) = 0, jeśli ai ∈
/ Ax
oraz
q(ai ) = 0, jeśli ai ∈
/ Ay
Dzięki temu zabiegowi możemy operować
Pna−itych samych wartościach
P −i dla
obu zmiennych. Rozpatrzmy wielkości: ρX =
2 p(ai ) oraz rhoY =
2 q(ai ).
i
i
Są to liczby rzeczywiste, zachodzi więc albo ρX < ρY albo ρX ­ ρY .
Załóżmy na początek, że ρX < ρY . Chcemy udowodnić istnienie takich funkcji u,v, że zachodzi Eu(X) < Eu(Y ) oraz Ev(X) > Ev(X). Kładąc u(ai ) = 2i
otrzymujemy:
X
X
X
Eu(X) =
u(ai )p(ai ) =
2−i p(ai ) = ρX < ρY =
2−i q(ai ) = Eu(Y )
i
i
i
Oczywiście, u jest funkcją niemalejącą, więc spełnia warunki lematu. Poszukamy teraz funkcji v,P
tak, aby spełniała ona nierówność przeciwną,
co równoważP
nie możemy zapisać: v(ai )[p(ai )−q(ai )] > 0 Wiemy, że: 2−i [p(ai )−q(ai )] <
i
i
P
0 oraz [p(ai ) − q(ai )] = 0 Ponadto, z definicji stochastycznej nieporównywali
ności, istnieją m, k takie, że:
m
X
[p(ai ) − q(ai )] > 0
i=1
k
X
[p(ai ) − q(ai )] < 0
i=1
m
P
Zatem Ev(X)−Ev(Y ) można zapisać następująco: Ev(X)−Ev(Y ) =
v(ai )[p(ai )−
i=1
P
q(ai )] +
v(ai )[p(ai ) − q(ai )].
i>m
Zatem możemy zdefiniować v następująco:
 ρ −ρ +
Y
X
+ 2−i dla ai ­ am , czyli i ¬ m

m
P
v(ai ) = i=1[p(ai )−q(ai )]

 −i
2
dla ai < am , czyli i > m,
gdzie jest dowolną liczbą dodatnią. Wówczas mamy:
X
Ev(X) − Ev(Y ) = ρY − ρX + +
2i [q(ai ) − p(ai )] = > 0.
i
Funkcja v zdefiniowana jak powyżej jest rosnąca, spełnia więc warunki lematu.
5
Dowód w przypadku, gdy ρX > ρY przebiega analogicznie - wystarczy w
powyższym dowodzie zamienić role funkcji p i q. PozostajePprzypadek,P
gdy ρX =
ρY . Wówczas można dobrać dowolne r ∈ (0, 1) takie, że
ri p(ai ) 6=
ri q(ai ).
Istnienie takiego r wynika z jednoznaczności współczynników wielomianu.
Mając już udowodniony lemat, możemy przejść do dowodu twierdzenia 1
Dowód twierdzenia. ”⇒”
Udowodnimy impikację w prawą stronę. Przyjmijmy oznaczenia jak z dowodu lematu 1. Przypomnijmy,
że wartości ai są ustawione w ciąg malejący. Dla
Pm
ustalonego m suma i=1 ai p(ai ) reprezentuje zatem ogon dystrybuanty i zgodnie z definicją dominacji stochastycznej pierwszego rzędu spełnia nierówność:
m
X
ai p(ai ) ­
i=1
m
X
ai p(ai )
(2)
i=1
Chcemy wykazać, że dla każdej funkcji niemalejącej u zachodzi:
X
X
u(ai )p(ai ) ­ Eu(Y ) =
u(ai )q(ai ).
Eu(X) =
i
i
Równoważnie:
X
u(ai )[p(ai ) − q(ai )] ­ 0.
(3)
i
Bez straty ogólności możemy założyć, że u(ai ) > 0 dla każdego i. Jeśli tak
nie jest, możemy przesunąć u o dowolną stałą, która zagwarantuje nam żądaną
nierówność.2
Dowód przeprowadzimy indukcyjnie po górnej granicy sumowania m.
1. Dla m = 1. Wówczas u(a1 )[p(a1 ) − q(a1 )] ­ 0, bo u(ai ) > 0 oraz p(ai ) −
q(ai ) ­ 0 (z (2), dla m = 1).
2. Załóżmy, że nierówność (3) zachodzi dla sumowania od 1 do m − 1. Udowodnimy ją dla sumy od 1 do m. Mamy:
m
X
u(ai )[p(ai ) − q(ai )] =
i=1
m−1
X
u(ai )[p(ai ) − q(ai )] + u(am )[p(am ) − q(am )].
i=1
(4)
Z nierówności (2) po drobnych przekształceniach widzimy, że:
p(am ) − q(am ) ­ −
m−1
X
[p(ai ) − q(ai )].
i=1
Zatem, wstawiając to do (4) otrzymujemy:
m
X
i=1
u(ai )[p(ai ) − q(ai )] ­
m−1
X
[u(ai ) − u(am )] · [p(ai ) − q(ai )]
i=1
2 Zgodnie z teorią von Neumanna-Morgensterna, użyteczność kardynalna jest niezmienna
ze względu na dodatnie przekształcenia afiniczne.
6
Połóżmy ũ(ai ) = u(ai ) − u(am ). Wówczas ũ jest monotoniczna i ũ jest
funkcją kardynalnej użyteczności równoważną z u w sensie aksjomatów von
Neumanna i Morgensterna (gdyż powstała przez dodatnie przekształcenie
afiniczne u).
Ponieważ dla funkcji u z założenia indukcyjnego zachodzi nierówność
m−1
X
u(ai )[p(ai ) − q(ai )] ­ 0,
i=1
więc zachodzi także:
m−1
X
v(ai )[p(ai ) − q(ai )] ­ 0.
i=1
To z kolei na mocy powyższej nierówności implikuje:
m
X
u(ai )[p(ai ) − q(ai )] ­ 0.
i=1
Zakończyliśmy więc dowód implikacji w prawą stronę.
”⇐”
Udowodnimy implikację w lewą stronę. Dowód przeprowadzimy nie wprost.
Załóżmy, że dla każdej funkcji użyteczności u mamy Eu(X) ­ Eu(Y ), ale nie
zachodzi X %d(1) Y . Wówczas albo X Gd(1) Y albo X -d(1) Y .
1. Jeśli X Gd(1) Y , to na mocy lematu 1 istnieją funkcje u, v takie, że
Eu(X) < Eu(Y ) i Eu(X) > Eu(Y ). Jest to sprzeczne z naszym pierwotnym założeniem. Zatem nie może zachodzić X Gd(1) Y .
2. Jeśli X -d(1) Y , to na mocy udowodnionej przed chwilą implikacji w prawą
stronę, zachodzi Eu(X) ¬ Eu(Y ). Ponownie otrzymujemy sprzeczność.
Wnioskujemy zatem, że musi zachodzić X %d(1) Y . Dowód twierdzenia został zakończony.
3.2
Przypadek ciągły
Udowodnimy teraz analogiczne twierdzenie dla przypadku ciągłego. Okazuje się,
że teza jest prawdziwa, jeśli o funkcji użyteczności założymy że jest nierosnąca i
różniczkowalna w sposób ciągły. Dodatkowo, przyjmiemy, że zmienne X, Y oraz
wszystkie funkcje u są określone na przedziale domkniętym [a, b].
Twierdzenie 2. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi o wartościach na przedziale [a, b] o ciągłych gęstościach prawdopodobieństwa. Wówczas X %d(1) Y
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej niemalejącej i kawałkami różniczkowalnej
funkcji użyteczności zachodzi: u : [a, b] → R zachodzi: Eu(X) ­ Eu(Y ).
7
Ponownie, przed przystąpieniem do dowodu, sformułujemy analog lamtu 1
dla przypadku ciągłego.
Lemat 2. Niech X, Y są zdefiniowane jak wyżej. Jeśli zachodzi X Gd(1) Y , to
istnieją funkcje u,v, obie niemalejące, takie, że prawdziwy jest układ nierówności:
(
Eu(X) < Eu(Y )
Ev(X) > Ev(Y ).
Dowód lematu. Dowód lematu będzie analogiczny jak w przypadku dyskretnym,
pozwolę sobie więc zastosować pewne skróty. Niech p(x) i q(x) oznaczają gęstości
zmiennych X i Y , a f : [a, b] → R będzie taką funkcją niemalejącą, dla której
Rb
Rb
istnieją całki a f (x)p(x) oraz a f (x)q(x). Oznaczmy te całki, odpowiednio,
przez ρX i ρY .
Załóżmy na początek, że ρX < ρY . Chcemy udowodnić istnienie takich funkcji u,v, że zachodzi Eu(X) < Eu(Y ) oraz Ev(X) > Ev(X). Kładąc u(x) = f (x)
otrzymujemy, jak poprzednio, pierwszą nierówność.
Poszukamy teraz funkcji v, która spełnia drugą nierówność, którą możemy
zapisać:
Zb
f (x)[p(x) − q(x)] > 0
a
Z definicji stochastycznej nieporównywalności, istnieją s, t takie, że:
Zs
Zb
[p(x) − q(x)dx] > 0 ⇔
[p(x) − q(x)dx] < 0
a
s
Zt
Zb
[p(x) − q(x)dx] < 0 ⇔
a
[p(x) − q(x)dx] > 0
t
Zatem, definiując analogicznie jak w dowodzie pierwszego lematu funkcję v
następująco:

ρ −ρ

+ f (x) dla x > s
 Rb Y X

[p(x)−q(x)]+
v(x) =
t


f (x)
dla x ¬ s,
otrzymujemy kawałkami ciągłą i różniczkowalną funkcję użyteczności. Ponadto,
v(x) jest niemalejąca, więc spełnia warunki lematu i zachodzi Ev(x)[p(x) −
q(x)] > 0
Podobnie uzasadniamy przypadek ρX > ρY . Dla ρX = ρY dobieramy inną
funkcję f .
Przystąpimy teraz do dowodu twierdzenia 2. Dowód zaczerpnięty jest z
[HaRu]. Co zaskakujące, jest zarówno krótszy, jak i prostszy niż jego dyskretny
odpowiednik.
8
Dowód. ”⇒”
Niech p(x), q(x) oznaczają ciągłe gęstości zmiennych X i Y , a P (x), Q(x) –
odpowiadające im dystrybuanty. Chcemmy pokazać, że Eu(X) − Eu(Y ) ­ 0. Z
definicji wartości oczekiwanej mamy:
Zb
u(x)[p(x) − q(x)]dx.
Eu(X) − Eu(Y ) =
a
Całkując przez części, mamy:
Zb
u(x)[p(x) − q(x)]dx = u(x)[P (x) −
a
b
Q(x)]dx|a
Zb
−
u0 (x)[P (x) − Q(x)]dx
a
Pierwszy składnik jest równy zeru, gdyż P (b) = Q(b) = 1 i P (a) = Q(a) = 0
z definicji dystrybuant. Drugi człon jest dodatni, gdyż z założenia X %d(1) Y
mamy P (x) − Q(x) ¬ 0 oraz −u0 (x) ¬ 0, bo u jest niemalejąca. Zatem bez
trudu otrzymujemy, że:
Eu(X) − Eu(Y ) ­ 0,
co kończy dowód implikacji w prawo.
”⇐”
Dowód przebiega z wykorzystaniem lematu 2 i jest bezpośrednim przeniesieniem dowodu dla przypadku dyskretnego.
4
Dominacja stochastyczna drugiego rzędu
Dzięki dominacji stochastycznej pierwszego rzędu potrafimy przewidzieć zachowania każdego decydenta o rosnącej funkcji użyteczności. Niestety, własność ta
jest na tyle silna, że występuje stosunkowo rzadko. Dla zmiennych, które są
nieporównywalne w sensie dominacji stochastycznej pierwszego rzędu, skutecznym może się okazać zbadanie dominacji drugiego rzędu. Rezultat będzie nieco
słabszy - zmuszeni jesteśmy dodać dodatkowe założenie o funkcji użyteczności
u.
Metoda dominacji drugiego rzędu sprawdza się dla klasy decydentów, charakteryzujących się awersją do ryzyka. Behawioralnie, oznacza to, że mając do
wyboru wzięcie udziału w loterii lub uzyskanie średniej wypłaty z tej loterii bez
ponoszenia ryzyka, wybiorą tą drugą opcję. Matematycznie, oznacza to, że jeśli
ich funkcja użyteczności jest dwukrotnie różniczkowalna, to u00 (x) ¬ 0.
Okazuje się, jak wykazał Hadar i Russel, że dla takiej grupy konsumentów
można sformułować nieco słabszą wersję twierdzenia 1. Twierdzenie to sformułuję od razu w ogólności - nie ma potrzeby rozpatrywać osobno przypadku dyskretnego i ciągłego, gdyż po przejściu na dystrybuanty automatycznie
otrzymujemy funkcje kawałkami ciągłe. Milcząco zakładam, że wszystkie całki
są całkami Lebesgue’a, toteż skończenie wiele punktów nieciągłości nie będzie
nam ”przeszkadzać” w definicji.
9
Tym razem dowód opiera się wyłącznie na cytowanej pracy Hadara i Russella, pozwolę sobie go zatem ominąć, formułoując tylko twierdzenie:
Twierdzenie 3. Niech X, Y są zmiennymi losowymi o wartościach w przedziale
[a, b], o dystrybuantach, odpowiednio P (x) i Q(x). Wówczas, jeżeli nierówność:
Zt
Zt
P (x)dx ¬
Q(x)dx,
a
a
zachodzi dla każdego t ∈ [a, b], to dla każdej niemalejącej funkcji u kawałkami
klasy C2 , o niedodatniej drugiej pochodnej zachodzi
Eu(X) ­ Eu(Y ).
Dowód. [HaRu].
5
Przykłady
Podam teraz dwa przykłady ilustrujące wykorzystanie powyższych twierdzeń.
Najpierw poddamy analizie przykład ciągły, w którym z dominacji stochastycznej pierwszego rzędu będziemy wnioskować o wyborze decydenta. Następnie,
zbadamy przypadek dyskretny, w którym z wyboru decydentów będziemy wnioskować o dominacji stochastycznej drugiego rzędu.
5.1
Przykład 1
Rozważmy dwie zmienne losowe, określone na przedziale [0, 1], reprezentujące
dwa ryzyka, między którymi będzie wybierał decydent. Niech X będzie zmienną
o rozkładzie jednostajnym na tym przedziale - to jest, gęstość X wyraża się
wzorem gX (t) = I[0,1] (t), co oznacza, że każda wypłata z X jest w pewnym
sensie ”jednakowo prawdopodobna”. Niech Y będzie zmienną na tym samym
przedziale o gęstości gY (t) = (−2t + 2) · I[0,1] (t). Gęstość funkcji Y jest malejąca,
co oznacza, że im wyższe wartości wypłat, tym mniejsze prawdopodobieństwo
ich uzyskania.
Intuicyjnie widać zatem, że mamy do czynienia z sytuacją, gdy dla ustalonej wartości t prawdopodobieństwo wypłaty niższej niż t jest zawsze wyższe
dla zmiennej Y niż analogiczne prawdopodobieństwo dla zmiennej X. Istotnie,
mamy:
Zt
FX (t) = 1ds = t dla t ∈ [0, 1]
0
Zt
FY (t) =
(−2s + 2)ds = −t2 + 2t dla t ∈ [0, 1]
0
FY (t) − FX (t) = −t2 + t = −t(t − 1) ¬ 0 dla t ∈ [0, 1]
10
Oczywiście FY (t) = FX (t) dla t ∈
/ [0, 1], więc nieostra nierówność zostaje
zachowana. Mamy zatem w ogólności FX (t) ¬ FY (t) ∀t, zatem X dominuje Y
w sensie dominacji stochastycznej pierwszego rzędu.
Z twierdzenia 2 wiemy, że jest to równoważne sytuacji, w której każdy decydent o rosnącej funkcji użyteczności będzie wybierał X zamiast Y . O tym, że
istotnie tak jest możemy się przekonać, licząc wartość oczekiwaną obu zmiennych:
Z1
1
EX = sds =
2
0
Z1
EY =
(2s − 2s2 )ds =
1
3
0
Zatem EX > EY , skąd wnioskujemy, że decydent maksymalizujący swoją użyteczność będzie wybierał X wobec alternatywy Y .
5.2
Przykład 2
Zanalizujmy teraz przykład działania dominacji stochastycznej drugiego rzędu.
Niech X będzie, ponownie, zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1], a Y - zmienną o rozkładzie dwupunktowym, przy czym P(Y = 1) =
P(Y = 0) = 21 . Aby zbadać wybor decydenta, przyjmiemy - bez straty ogólności - że jego funkcja użyteczności jest unormowane tj. u(0) = 0 oraz u(1) = 1.
Ponadto, jak w twierdzeniu 3, będziemy zakładać, że funkcja użyteczności jest
kawałkami klasy C 2 i wklęsła.
Wówczas decydent dla dowolnej funkcji u będzie preferował ryzyko X wobec
Y , bowiem przy takiej samej wartości oczekiwanej charakteryzuje się mniejszą
wariancją. Udowodnimy to formalnie. Nietrudno wyliczyć wartość oczekiwaną
użyteczności ze zmiennej Y :
Eu(Y ) =
1
1
1
u(1) + u(0) =
2
2
2
Nieco bardziej skomplikowana jest wielkość Eu(X). Znając gęstość X możemy
napisać:
Z
Z1
Eu(X) = u(t)gX (t)dt = u(t)dt
0
R
Ponadto, z definicji wklęsłości mamy dla każdego t ∈ [0, 1]:
u(t) = u(t · 1 + (1 − t) · 0) ­ t · u(1) + (1 − t) · u(0) = t
Oczywiście, całka zachowuje monotoniczność, możemy zatem zapisać:
Z1
Z1
u(t)dt ­
0
tdt =
0
11
1
2
Co ostatecznie dowodzi tego, że:
Eu(X) ­ Eu(Y )
Zbadajmy teraz kwestię dominacji stochastycznej. Dystrybuanty zmiennych
X i Y przedstawiają się następująco:


dla t < 0
0
FX (t) = 1/2 dla 0 ¬ t < 1


1
dla t ­ 1


0
FY (t) = t


1
dla t < 0
dla 0 ¬ t < 1
dla t ­ 1
FX (t) = FY (t) dla t ∈
/ [0, 1], zatem pozostaje zbadać zachowanie dystrybunat na przedziale [0, 1]. Jest oczywistym, że nie zachodzi ani FX (t) ­ FY (t)∀t,
ani FX (t) ¬ FY (t)∀t, zatem X Gd(1) Y . Jednak dla całek z dystrybuant mamy
dla t ∈ [0, 1]:
Zt
Zt
FX (s)ds =
0
t
t2
¬ =
sds =
2
2
Zt
0
0
1
=
2
Zt
FY (s)ds
0
Zachodzi zatem warunek dominacji drugiego rzędu X %d(2) Y .
6
Podsumowanie
W porównaniu z innymi metodami przewidywania zachowań konsumenta, metody oparte na dominacji stochastycznej pierwszego i drugiego rzędu wyróżniają
się dwiema ogromnymi zaletami.
Po pierwsze, stawiane są bardzo niewielkie wymagania wobec funkcji użyteczności. W przeciwieństwie do metody momentów, nie musimy nic zakładać o
wielkościach pochodnych, a tylko nieujemność pierwszej dla dominacji pierwszego rzędu oraz dodatkowo niedodatniość drugiej dla dominacji drugiego rzędu.
To czyni tę metodę szczególnie ważną zwłaszcza dla rozważań teoretycznych,
które zazwyczaj chcemy prowadzić na jak najwyższym stopniu ogólności.
Po drugie, warunki definiujące dominację są koniecznie i dostateczne. To
sprawia, że obie strony analizy – zarówno od dominacji do preferencji, jak i
od preferencji do dominacji mogą byż przeprowadzane dla każdego rozkładu
ciągłego lub dyskretnego i dla każdej funkcji użyteczności spełniającej zadane
warunki. Wiemy też, że niespełnienie dowolnego warunku automatycznie wyklucza prawdziwość twierdzenia, co znacznie przyspiesza i ułatwia rozwiązanie
problemu.
12
Literatura
[HaRu] Josef Hadar, William Russell, Rules for Ordering Uncertain Prospects
[online]. Dostępne w Internecie: darp.lse.ac.uk
[NeMo] John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of games and economic
behaviour, Princeton 1953.
[QuSa] James Quirk, Rubin Saposnik, Admissibility and Measurable Utility
Functions, The Review of Economic Studies, 22 (1962), s. 140-146.
13