Obwody elektryczne

Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Obwody elektryczne
[email protected]
1. Podstawowe pojęcia
• ładunek elektryczny - wyrażamy w kulombach [C]
(analogia hydrodynamiczna: masa wody)
Źródło: np. Wikipedia!
•
natężenie prądu I – wyrażamy w amperach [A=C/s]
𝑄
𝐼=
𝑡
(analogia hydrodynamiczna: masa płynącej wody)
Natężenie prądu elektrycznego I definiuje się jako stosunek ładunku, który przepływa przez
poprzeczny przekrój przewodnika do czasu przepływu tego ładunku t:
• napięcie U – wyrażamy w woltach [V].
Między dwoma punktami pola występuje różnica potencjałów (napięcie elektryczne) 1 V, jeśli praca
wykonana przy przesuwaniu ładunku 1 C między tymi punktami wynosi 1 J:
(analogia hydrodynamiczna: ciśnienie wody, łatwo zamienić na wysokość, z jakiej woda spada)
W przypadku baterii, prądnic, cewek itp. pojawia się pojęcie siły elektromotorycznej
Siła elektromotoryczna (SEM) – czynnik powodujący przepływ prądu w obwodzie elektrycznym
równy energii elektrycznej uzyskanej przez jednostkowy ładunek przemieszczany w urządzeniu
(źródle) prądu elektrycznego w przeciwnym kierunku do sił pola elektrycznego oddziałującego na
ten ładunek („normalnie” prąd płynie od (+) do (–), a w jakim kierunku płynie w środku baterii?).
Siła elektromotoryczna jest najważniejszym parametrem charakteryzującym źródła energii
elektrycznej zwane też źródłami siły elektromotorycznej, są nimi prądnice (prądu stałego i
przemiennego), baterie, termopary, fotoogniwa.
•
opór elektryczny (rezystancja) R
𝐼=
𝑈
𝑅
Jednostką jest Ω - om (nie Ohm!)
Om jest to opór elektryczny między dwiema powierzchniami ekwipotencjalnymi przewodu
jednorodnego prostoliniowego, gdy występujące między tymi punktami niezmienne napięcie
elektryczne 1V wywołuje w tym przewodzie prąd elektryczny 1A:
1
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Prawo Ohma: natężenie prądu stałego I jest wprost proporcjonalne do całkowitej siły
elektromotorycznej w obwodzie zamkniętym lub do różnicy potencjałów (napięcia elektrycznego U)
między końcami części obwodu nie zawierającej źródeł siły elektromotorycznej.
•
pojemność C - określa zdolność kondensatora do gromadzenia ładunku:
𝑄
𝐶=
𝑈
Farad jest to pojemność elektryczna przewodnika elektrycznego, którego potencjał zwiększa się o 1
wolt po dostarczeniu ładunku 1 kulomba.
Farad to bardzo dużo! Zwykle kondensatory mają piko lub mikro-farady
•
Indukcyjność L – siła elektromotoryczna indukcji (prawa indukcji Faradaya)
𝑑Φ
𝑑I
ℰ=−
= −𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(minus, bo wzbudzony prąd przeciwstawia się zmianie strumienia pola magnetycznego Φ)
Gdy w otoczeniu obwodu nie ma żadnych ciał o właściwościach ferromagnetycznych, czyli
przenikalność magnetyczna ośrodka μ jest równa 1 (w próżni) lub μ > 1 ale stałe, wówczas
indukcyjność w równaniu jest współczynnikiem proporcjonalności. W takim przypadku indukcyjność
jest stała i zależy tylko od geometrii obwodu, współczynnik proporcjonalności oznacza się L.
Henr jest to indukcyjność takiego obwodu, w którym prąd o natężeniu 1 ampera wytwarza strumień
magnetyczny o wartości 1 webera lub też: obwód ma indukcyjność jednego henra, jeżeli przy
jednostajnej zmianie prądu o 1 amper w czasie jednej sekundy indukuje się w nim napięcie
samoindukcji równe 1 woltowi.
•
Moc prądu
𝑃 = 𝑈𝐼 𝑐𝑜𝑠𝜑
Gdzie ϕ oznacza przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem
Jak zależy moc prądu od oporu R w przypadku?
a) źródła prądowego I=const?
b) źródła napięciowego U=const?
Czym różnią się te dwa przypadki? Dlaczego w systemach energetycznych przy przesyłaniu dużych
mocy stosuje się wysokie napięcia, a nie duże prądy?
Źródło: np. Wikipedia!
2. Oznaczenia
2
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
3. Prawo Kirchhoffa, prawo Ohma, prawo oczka
Pierwsze prawo Kirchhoffa – zasada zachowania ładunku elektrycznego (suma algebraiczna prądów
wpływających i wypływających jest równa zeru)
I1+ I2+ I3 – I4 – I5=0
Drugie prawo Kirchhoffa - w zamkniętym obwodzie suma spadków napięć na oporach równa jest
sumie sił elektromotorycznych występujących w tym obwodzie
Prawo oczka – praktyczne sformułowanie II prawa Kirchhoffa – liczy się prądy i napięcia w „oczkach”
obwodu elektrycznego.
4. Przykłady układów z opornikami
1. Idealna bateria i opornik
lub równoważnie:
W obwodzie płynie tylko jeden prąd ℰ = 𝑈 = 𝐼𝑅
3
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
2. Realna bateria ma swój opór wewnętrzny
W obwodzie płynie tylko jeden prąd ℰ =
𝐼(𝑅 + 𝑟) = 𝑈𝑅 + 𝑈𝑟
Przedyskutować napięcie UR w zależności od
pobieranego prądu z baterii (wykres!).
Czy woltomierz podłączony do bateryjki (dla
ustalenia uwagi nowej) ZAWSZE wskaże jej
nominalne napięcie – zwłaszcza gdy jest
podłączona do obwodu zewnętrznego?
Wniosek: dla oporów połączonych szeregowo opór całkowity 𝑅𝐶 = 𝑅 + 𝑟
3. Dwa oporniki równolegle, idealna bateria
Stąd
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2
𝑈
𝑈
𝑈
=
+
𝑅𝐶 𝑅1 𝑅2
Wniosek: dla oporów połączonych równolegle
opór całkowity
1
1
1
=
+
𝑅𝐶 𝑅1 𝑅2
4. Dzielnik napięcia (ważne!)
Znajdź napięcie na oporze R1
Co się stanie jeśli przez wyjście będzie płynąć prąd? Jaki maksymalnie może płynąć prąd na wyjściu
żeby napięcie mierzone na oporze R1 było równe napięciu układu nieobciążonego z dokładnością do
1%?
4
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Przykład praktyczny dzielnika napięcia. Załóżmy, że chcemy zmierzyć napięcie układu o dużym
oporze wyjściowym, rwy=1MΩ, a dysponujemy oscyloskopem (odbiornikiem) o oporze wejściowym
Rwe=1kΩ. Jakie napięcie wskaże nam oscyloskop? Czy jeśli weźmiemy oscyloskop o oporze
wejściowym Rwe=1MΩ albo Rwe=100MΩ będzie lepiej? Jaki musi być opór wejściowy Rwe w stosunku
do oporu wyjściowego rwy żeby oscyloskop zmierzył „prawdziwe” napięcie z dokładnością do 1%? Czy
w tym układzie to w ogóle możliwe?
5. Garść zadań na oporniki
Zadanie 1 - Opornik
Przez opornik podłączony do źródła prądu stałego o napięciu U= 220 V płynie prąd o natężeniu I =
0.11 A. Oblicz należenie prądu, jaki popłynie przez ten sam opornik, jeśli podłączymy go do źródła o
napięciu U = 20 V.
Zadanie 2 - Kilka prostych obwodów
Obliczyć spadek napięcia na oporze Ri w poniższych obwodach. Po otrzymaniu ogólnego wzoru jako
wyniku, uzyskaj również wynik liczbowy przyjmując, że każde ze źródeł zapewnia różnice potencjału
10 V i nie ma oporu wewnętrznego, oraz w przypadku każdego rezystora jego opór jest równy 1 kΩ.
(jeśli nie starczy czasu po prostu napisz stosowny układ równań algebraicznych)
a)
b)
c)
5
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
d)
e)
6. Kondensatory
Czy przez poniższy układ po zamknięciu
przełącznika popłynie prąd? Dlaczego?
Pojemność kondensatora:
𝐶=
𝑄
𝑈
Kilka prostych zasad:
Kondensatory połączone szeregowo:
Pojemność kondensatora – suma napięć na
kondensatorach daje napięcie całkowite układu,
natomiast ładunek zgromadzony na każdym musi być ten
sam (dlaczego? rozważ ładunki na okładkach
kondensatora):
𝑈𝑍 = 𝑈1 + 𝑈2
𝑄 𝑄
𝑄
= +
𝐶𝑍 𝐶1 𝐶2
czyli
1
1
1
= +
𝐶𝑍 𝐶1 𝐶2
6
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Kondensatory połączone równolegle:
Pojemność zastępczego kondensatora – całkowity
ładunek zgromadzony na układzie kondensatorów:
𝑄𝑍 = 𝑄1 + 𝑄2
𝑈𝐶𝑍 = 𝑈𝐶1 + 𝑈𝐶2
czyli:
𝐶𝑍 = 𝐶1 + 𝐶2
7. Przykłady układów z kondensatorami
Oblicz pojemność układu kondensatorów:
A co by było gdyby:
?
?
Czy w powyższej sytuacji na oporach R jest jakiś spadek napięcia? Dlaczego?
7
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Oblicz ładunek zgromadzony na kondensatorze w układzie:
Zaznacz którędy płynie prąd w obwodzie. Taki układ – dla bardzo małego oporu R1 i bardzo dużego R2
opisuje rzeczywisty kondensator o małym oporze „wejściowy,” i bardzo małej upływności (dużej
rezystancji) diektryka/elektrilotu.
8
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
8. Układy RLC
Co się stanie gdy załączymy obwód szeregowy RLC jak na rysunku
Po pewnym czasie prąd w takim obwodzie nie płynie (dlaczego?)
A teraz prąd płynie:
Rozważymy tylko stan ustalony (pomijamy efekty włączeniowe 1) – rozwiązaniem równania
różniczkowego będzie równanie z oscylującym prądem w układzie
Po kolei –najpierw obwód z opornikiem:
Wygodniejszy zapis:
Obwód z kondensatorem:
ℰ = 𝑈0 cos 𝜔𝑡
𝐼=
𝑈0
cos 𝜔𝑡
R
ℰ = 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
ℰ = 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑄
ℰ = 𝑈𝐶 =
𝐶
𝑑ℰ
𝑑(𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 )
𝑑𝑄 𝑑(𝐶ℰ)
=
=𝐶
=𝐶
= 𝑖𝜔𝐶𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝑖𝜔𝐶ℰ
𝐼=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Czyli
𝑅𝐶 =
1
1
𝑖𝜔𝐶
Pomijamy więc generatory samowzbudne, cewki Ruhmkorffa (np. w silnikach iskrowych) itp.
9
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Obwód ze zwojnicą:
ℰ = 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
Napięcie na zwojnicy jest także SEM (siłą elektromotoryczną)
𝑑𝐼
ℰ + 𝑈𝐿 = ℰ − 𝐿 = 0
𝑑𝑡
Spadek napięcia w oczku, przy braku rezystancji =0
ℰ𝑑𝑡 − 𝐿𝑑𝐼 = 0 ⇒ � 𝐿𝑑𝐼 = 𝐿𝐼 = � ℰ𝑑𝑡 = � 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡
=
1
𝑈 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑖𝜔 0
𝑅𝐿 = 𝑖𝜔𝐿
Od tej pory oporniki, kondensatory i zwojnice będziemy traktowali jak „zwykłe” oporniki!
Zatem:
Równanie oczka:
ℰ = 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝐼(𝑅 + 𝑅𝐶 + 𝑅𝐿 )
1
= 𝐼(𝑅 +
+ 𝑖𝜔𝐿)
𝑖𝜔𝐶
Wprowadza się pojęcie impedancji (oporu
urojonego):
1
𝑍=𝑅+
+ 𝑖𝜔𝐿 = 𝑍𝑅 + 𝑍𝐶 + 𝑍𝐿
𝑖𝜔𝐶
oraz pojęcie zawady |𝑍| (modułu impedancji)
Dyskusja rozwiązania𝑈 = 𝐼𝑍:
Po pierwsze widać, że prąd i napięcie nie muszą mieć tej samej fazy! (dlaczego?)
Przesunięcie fazowe 𝛿 = arctg(Im(Z)/Re(Z))
Po drugie możemy równanie oczka zapisać jako równanie na ładunki elektryczne:
Wtedy (skoro 𝐼 =
𝑑𝑄
):
𝑑𝑡
ℰ−𝐿
𝑑𝐼
𝑄
𝑑𝐼
= 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 − 𝐿 = 𝐼𝑅 +
𝑑𝑡
𝐶
𝑑𝑡
𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 − 𝐿
𝑑2 𝑄 𝑑𝑄
𝑄
=
𝑅+
2
𝑑𝑡
𝐶
𝑑𝑡
Co daje nam równanie oscylatora harmonicznego z siłą wymuszającą!
𝑑2 𝑄 𝑑𝑄
𝑄
𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝐿 2 +
𝑅+
𝑑𝑡
𝐶
𝑑𝑡
Wnioski – natychmiastowe, z porównania z rozwiązaniami oscylatora:
𝐹0 𝑖𝜔𝑡 𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
𝑒
= 2 + 2𝛾
+ 𝜔02 𝑥
𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Rozważając drgania ustalone (dla czasu dostatecznie długiego od chwili włączenia):
• Ile wynosi częstotliwość rezonansowa 𝜔0 ? Jakie są jednostki 𝜔0 (przeprowadź rachunek na
mianach)? Ile wynosi okres drgań? 𝑇0 = 2𝜋/𝜔0
• Co odpowiada za tłumienie? Kiedy tłumienie w obwodzie jest duże, a kiedy małe?
• Jaka jest faza pomiędzy prądem i napięciem? Ile wynosi ta faza w rezonansie? (Te pytani ejest
trudne, wymaga rozwiązania szczegółowego równania różniczkowego)
10
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Wskazówka:
Równanie ogólne:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
+ 2𝛾
+ 𝜔02 𝑥 = 0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
ma rozwiązanie
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑖𝛽𝑡 gdzie 𝛽 = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝜔02
9. Przykłady układów RLC
Oblicz zawadę i przesunięcie fazowe na wyjściu układu, do którego przyłożono zmienne napięcie
𝑈𝑤𝑒 = 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 :
Znajdź zależność napięcia wyjściowego od częstości ω.
To samo dla kolejnych konfiguracji:
A)
C)
B)
D)
11
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Układ A) to tzw. układ różniczkujący.
1
𝑈𝐶 = 𝑈𝑤𝑒 − 𝑈𝑤𝑦 = � 𝐼𝑑𝑡
𝐶
stąd
𝑑
𝐼 = 𝐶 (𝑈𝑤𝑒 − 𝑈𝑤𝑦 )
𝑑𝑡
i mamy, zakładając 𝑈𝑤𝑦 ≪ 𝑈𝑤𝑒
𝑑
𝑑𝑈𝑤𝑒
𝑈𝑤𝑦 = 𝐼𝑅 = 𝑅𝐶 (𝑈𝑤𝑒 − 𝑈𝑤𝑦 ) ≈ 𝑅𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Co oznacza stwierdzenie, że „stała czasowa układu to
1/𝑅𝐶”?
Przykład praktyczny dzielnika napięcia 1. Załóżmy, że chcemy zmierzyć szybko zmieniający się w
czasie sygnał, a dysponujemy długim kablem BNC. Niestety końcówka kabla nie była odpowiednio
przylutowana (powstał tzw. „zimny lut” o pasożytniczej pojemności C – często dla bardzo wysokich
częstotliwości taki „zimny lut” zachowuje się jak kondensator). Jakie sygnały możemy mierzyć w tym
układzie?
Układ B) to tzw. układ całkujący:
𝑄 1
1
� 𝑈𝑤𝑒 𝑑𝑡
𝑈𝑤𝑦 = = � 𝐼𝑑𝑡 =
𝐶 𝐶
𝑅𝐶
Czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Co oznacza stwierdzenie, że „stała czasowa układu to
1/𝑅𝐶”?
Przykład praktyczny dzielnika napięcia 2. Załóżmy, że chcemy zmierzyć szybko zmieniający się w
czasie sygnał, a dysponujemy długim kablem BNC. Taki kabel ma swoją pojemność Ckabla (odbiornik
tez może mieć swoją pojemność wejściową Cwe). Jakie sygnały możemy mierzyć w tym układzie?
Dlaczego audiofile taką wagę przywiązują do „dobrych kabli”?
12
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Przykład praktyczny dzielnika napięcia 3. Czasami niektóre kable (np. do monitora) mają
charakterystyczne zgrubienie – kabel kilkukrotnie owinięty jest wokół rdzenia ferrytowego – jest to
tzw. dławik ferrytowy. Jaka jest jego rola – czy jest to filtr górno-, czy dolno-przepustowy? Jak
zachowuje się w przypadku zakłóceń sygnału w postaci nagłych „igieł” napięcia?
Przykład praktyczny dzielnika napięcia 4. Przeanalizuj problem pojawiający się w bardzo długich
kablach (tzw. linia długa):
Gdzie zwykle podaje się (na jednostkę długości); pojemność kabla c, jego rezystancję r1, indukcyjność
l, przewodność izolacji 1/r2 (oporność to odwrotność przewodności, często podaje się też upływność).
Bez wykonywania obliczeń (no, chyba że ktoś lubi) przedyskutuj propagację impulsu prostokątnego w
takim kablu. Jaki warunek musi spełniać rezystancja odbiornika (obciążenie), żeby impuls się nie
odbił? Dlaczego do takiej linii trzeba się „dopasować” (obciążyć impedancją dopasowaną)? Dlaczego
kable Ethernetowe (do przesyłania impulsów elektrycznych między komputerami) nie mogą być
dowolnie długie, a karty sieciowe muszą spełniać specyfikację np. dot. obciążenia wejściowego?
10.
Podziękowania
Podziękowania: dla dr Tomasza Słupińskiego oraz dr Piotra Nieżurawskiego.za pomoc w
przygotowaniu zadań.
13
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
11.
Praca domowa (100p)
Zadanie 1 (5p)
Ile wynosi natężenie prądu I jeśli E = 31 V oraz R =1 kΩ.
Zadanie 2 (5p)
Oblicz pojemność całkowitą układu zastępując wszystkie oporniki z zadania 1 kondensatorami o
pojemności C.
Zadanie 3 (10p)
Policz moc wydzieloną na każdym z oporów R:
A)
B)
14
Inżynieria nanostruktur, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2011 r.
Zadanie 4 (25p)
Narysuj (komputerowo!) charakterystyki częstotliwościowe: amplitudową i fazową napięcia na
wyjściu (oscyloskopie) dla układu (dla stanu ustalonego):
Wyznaczyć częstości graniczne układu (należy sprawdzić w literaturze co to są częstości
graniczne) oraz impedancję i zawadę układu. Podaj odpowiednie wzory matematyczne.
Wskazówka – wykres zaznacz na skali logarytmicznej. Oznacz, który filtr jest górno-, a który
dolno-przepustowy.
Zadanie 5 (25p)
Zastąp kondensatory w zadaniu 4 (powyżej) cewkami o indukcyjności L=2 mH i przeprowadź
taką samą analizę rozwiązania jak w zadaniu 4.
Zadanie 6 (30p)
Narysuj (komputerowo!) charakterystyki częstotliwościowe: amplitudową i fazową napięcia na
wyjściu (oscyloskopie) dla układu (dla stanu ustalonego). Podaj odpowiednie wzory
matematyczne. Przyjmij R =1 kΩ, C =100 nF, L =2 mH. Przyjmij, że cewka ma niewielki opór
wewnętrzny r=10 Ω. Przedyskutuj (zaproponuj sposób tej dyskusji!) jak zmieni się
charakterystyka amplitudowa gdy cewka będzie miała bardzo duży opór? Wskazówka – wykres
zaznacz na skali logarytmicznej.
A)
B)
Który z powyższych filtrów może mieć zastosowanie w radiu (żeby dostroić się do określonej
częstotliwości fali radiowej)? Dla jakich parametrów r, L i C napięcie wyjściowe w takim układzie
„radiowym” jest maksymalne?
15