Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 Prosze obliczyć

Analiza Matematyczna
Lista zadań 10
Zadanie 1
Proszȩ obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi
y 2 = 2x, x + y = 1.
Zadanie 2
Proszȩ obliczyć objȩtość bryły V √powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzywa̧ o równaniu y = x lnx i osia̧ Ox dla x ∈ [1, e].
Zadanie 3
Proszȩ obliczyć objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru określonego
nierównościami x2 + y 2 ≤ 1 i 0 ≤ y ≤ 12 .
Zadanie 4
Proszȩ obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x) =
5−4x
x2 −4x+20
prostymi x = 0, x = 1,oraz osia̧ Ox.
Zadanie 5
Proszȩ obliczyć długość łuku krzywej
√
y = x x,
8
.
zawartego miȩdzy punktami (0, 0) i 49 , 27
Zadanie 6
Proszȩ obliczyć objȩtość bryły otrzymanej z obrotu figury ograniczonej krzywymi
y=
√
π
π
≤x≤ .
6
3
cot x,
wokół osi Ox.
1
Zadanie 7
Proszȩ obliczyć objȩtość kuli o promieniu R > 0, korzystaja̧c ze wzoru na objȩtość bryły
obrotowej.
Zadanie 8
Proszȩ obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi
y=
x2
1
,
y
=
.
1 + x2
2
Zadanie 9
Proszȩ podać wzór na objȩtość bryły obrotowej. Korzystaja̧c z tego wzoru proszȩ obliczyć objȩtość walca o wysokości H i promieniu podstawy R > 0 i wykonać rysunek.
Zadanie 10
Proszȩ obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji
f (x) = sin(x), gdzie 0 ≤ x ≤
π
2
wokół osi Ox.
Zadanie 11
Proszȩ obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y =
gdzie 1 ≤ x ≤ 2.
x2
4
−
ln x
,
2
Zadanie 12
Proszȩ obliczyć długość łuku krzywej
√
y = 2 x3 , gdzie 0 ≤ x ≤ 2.
Zadanie 13
Proszȩ obliczyć objȩtość stożka o promieniu podstawy R > 0 i wysokości H > 0, korzystaja̧c ze wzoru na objȩtość bryły obrotowej i wykonać rysunek.
2
Zadanie 14
Proszȩ obliczyć pole powierzchni stożka o promieniu podstawy R > 0, i wysokości H > 0,
korzystaja̧c z równania na pole powierzchni bryły obrotowej i wykonać rysunek.
Zadanie 15
Proszȩ obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji f (x) = tan x oraz proπ
stymi: y = 0,x = 12
.
Zadanie 16
Proszȩ obliczyć
Z
1
0
1 + 2x
dx.
4 + x2
Zadanie 17
Proszȩ obliczyć
Z
coslnx
dx.
x
Zadanie 18
Proszȩ obliczyć
Z
√
x
dx.
3 − x2
Zadanie 19
Proszȩ obliczyć
Z
x2
dx
.
+ 4x + 3
Zadanie 20
Proszȩ obliczyć
Z
dx
dx.
x2 + 4x + 13
Zadanie 21
Proszȩ obliczyć
Z
x2
x
dx.
+ 4x + 5
3
Zadanie 22
Proszȩ obliczyć
Z
x3
(2x + 1)
dx.
+ x2 − 2x
Zadanie 23
Proszȩ obliczyć
Z
dx
.
+x
x3
Zadanie 24
Proszȩ obliczyć
cos3 x
dx.
2 − sinx
Z
Zadanie 25
Proszȩ obliczyć
Z
1
dx.
cosx + sinx + 2
Zadanie 26
Proszȩ obliczyć
Z
π
0
sin3x
dx.
e2x
Zadanie 27
Proszȩ obliczyć
Z
√
cos x
dx.
2 + cos2x
Zadanie 28
Proszȩ obliczyć
Z
x3
dx
.
+ 9x
Zadanie 29
Proszȩ znaleźć funkcjȩ pierwotna̧ funkcji
f (x) = x3 e3x .
4
Zadanie 30
Proszȩ obliczyć
1
Z
x3
dx.
x2 − 4
0
Zadanie 31
Proszȩ znaleźć funkcjȩ pierwotna̧ dla
√
x+ 3x
f (x) = √
.
x
Zadanie 32
Proszȩ obliczyć
Z
dx
√
.
1+ 3x+1
Zadanie 33
Proszȩ obliczyć
Z
2
|1 − 2x|dx.
−1
Zadanie 34
Proszȩ obliczyć
Z
2
e−|2x| dx.
−3
Zadanie 35
Wyznaczyć ekstrema i punkty przegiȩcia wykresu funkcji
f (x) =
Rx
1
1−2lnt
dt.
t3
Zadanie 36
1
Proszȩ znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f (x) = x2 e x .
Zadanie 37
Proszȩ sformułować twierdzenie Taylora i napisać wzór Taylora dla funkcji
√
f (x) = 5 1 + x
5
przyjmuja̧c x0 = −2 i resztȩ R3 . Proszȩ odpowiedzieć na pytanie: dla jakich x otrzymany
wzór jest prawdziwy?
Zadanie 38
Proszȩ oszacować przy pomocy wzoru Maclaurina dokładność przybliżenia
√
1+x≈1+
x x2
− , dla 0 ≤ x ≤ 1.
2
8
Zadanie 39
Proszȩ wyznaczyć przedziały i ekstrema lokalne funkcji f (x) =
p
3
x2 (x − 3).
Zadanie 40
Proszȩ wyznaczyć przedział na którym funkcja f (x) = x2 lnx jest maleja̧ca i wklȩsła.
Zadanie 41
Proszȩ znaleźć najmniejsza̧ i najwiȩksza̧ wartość funkcji f (x) =
√ 3x
4x2 +1
dla x ∈ [−1, 2].
Zadanie 42
Proszȩ wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
f (x) = ln(3x2 − x3 ).
Zadanie 43
Proszȩ wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegiȩcia wykresu funkcji
f (x) = xe−2x .
Zadanie 44
Korzystaja̧c ze wzoru Taylora-Maclaurina z odpowiedia̧ reszta̧, proszȩ uzasadnić nierówność
e−x > 1 − x +
x2 x3
−
2
6
dla każdego x > 0.
Zadanie 45
Proszȩ napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji f (x) = x2 ex z czwarta̧ reszta̧. Ko6
rzystaja̧c z tego przybliżenia oszacować dokładność przybliżenia funkcji f na przedziale
[−0.1, 0.1]
Zadanie 46
Proszȩ sformułować twierdzenie Lagrange i korzystaja̧c z niego uzasadnić, że nierówność
| arctan x − arctan y| ≤ |x − y|
jest prawdziwa dla dowolnych x, y ∈ R.
Zadanie 47
Proszȩ wyznaczyć najmniejsza̧ i najwiȩksza̧ wartość funkcji
f (x) =
p
3
(x2 + x)2
na przedziale [−2, 3].
Zadanie 48
Proszȩ wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
f (x) =
x2 − 5x + 4
.
x−5
Zadanie 49
Proszȩ znaleźć asymptoty ukośne wykresu funkcji
1
f (x) = xe x .
Zadanie 50
Proszȩ znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji
x−1
.
f (x) = √
x2 − 1
7