solitony ricciego - The Ohio State University

solitony ricciego - The Ohio State University

SOLITONY RICCIEGO
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
1 lipca 2010 r.
IV Forum Matematyków Polskich
Olsztyn, 1.07.2010 – 3.07.2010
tekst wystawiony jest na stronie
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
POTOK RICCIEGO
W 1981 r. Richard Hamilton wprowadzil potok Ricciego:
d
g (t) = −2 Ric g (t) ,
dt
którego próbowal użyć do udowodnienia trójwymiarowej hipotezy
Poincarégo.
,,
Zarys takiego dowodu (,,program Hamiltona ) skladal sieι z calkiem
konkretnej serii kroków dowodowych. Przeprowadzić te kroki do
samego końca zdolal dopiero Grigorij Perelman (2002).
Perelman udowodnil też przy okazji znacznie ogólniejszaι hipotezeι
Thurstona o geometryzacji rozmaitości trójwymiarowych.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.1
ROZWIAιZANIA (TRAJEKTORIE)
Rozwiaιzania (trajektorie) potoku Ricciego to krzywe t 7→ g (t)
zlożone z metryk Riemanna na ustalonej rozmaitości M,
wychodzaιce z zadanej metyki poczaιtkowej g (0), i określone na
,,
maksymalnym przedziale [0, T ) zmiennej (,,czasu ) t, przy czym
0 < T ≤ ∞.
Potok Ricciego deformuje wyjściowa metrykeι Riemanna g (0) w
sposób ciaιgly, a w niskich wymiarach czeιsto poprawia przy tym jej
wlasności.
Kluczowaι czeιściaι argumentu Perelmana byly chirurgie, które
trzeba wykonać gdy potok Ricciego napotyka osobliwość w
skończonym czasie (T < ∞). Po chirurgii potok Ricciego użyty
jest ponownie, w nieco uproszczonej sytuacji topologicznej.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.2
SOLITONY RICCIEGO
Soliton Ricciego to metryka Riemanna g , ktoraι potok Ricciego
deformuje w sposob nieistotny (wszystkie stadia saι metrykami
identycznymi z wyjściowaι z dokladnościaι do dyfeomorfizmu i
przeskalowania, tzn. pomnożenia przez stalaι dodatniaι).
Równoważnie: Dla jakiegoś pola wektorowego w i stalej λ,
ILw g + Ric = λg .
(1)
,,
Terminu ,,soliton Ricciego uzywa sieι też mówiaιc baιdź o
rozmaitości Riemanna (M, g ) spelniajaιcej warunek (1), baιdź o
trajektorii t 7→ g (t) potoku Ricciego, której wyjściowe stadium
g (0) (lub, rownoważnie, każde stadium g (t)) spelnia warunek (1).
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.3
METRYKI EINSTEINA
Zupelne niezwarte solitony Ricciego pojawiajaι sieι bardzo czesto
,,
jako ,,granice typu homotetii (blow-up limits, rescaling limits)
metryk g (t) obcieιtych do odpowiedniego zbioru otwartego, gdy
t < T daιży do T, przy czym T < ∞.
Istniejaι też ciekawe przyklady solitonów Ricciego na rozmaitościach
zwartych, poczynajaιc od metryk Einsteina, zdefiniowanych
żaιdaniem by, dla jakiejś stalej λ,
Ric = λg .
(2)
W wymiarach n < 4, każdy zwarty soliton Ricciego jest
einsteinowski, a wieιc ma stalaι krzywizneι sekcyjnaι (Hamilton, 1986;
Ivey, 1993).
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
str.4
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
KONSTRUKCJA KOISO-CAO
Koiso (1990) i, niezależnie, Cao (1996) skonstuowali pierwsze
przyklady nie-einsteinowskich zwartych solitonów Ricciego,
reprezentujaιcych wszystkie parzyste wymiary n ≥ 4. Przyklady ich
stanowiaι solitony Kählera-Ricciego, tzn. saι jednocześnie solitonami
Ricciego i rozmaitościami Kählera.
Iloczyn kartezjański dwóch solitonów Ricciego o tej samej stalej λ
jest znowu solitonem Ricciego. Powstajaι w ten sposób przyklady
,,
zwarte, nie-einsteinowskie i ,,wlaściwie nie-kählerowskie, we
wszystkich wymiarach n ≥ 7.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.5
PROBLEM OTWARTY (TIAN, CAO)
Czy istnieje zwarty soliton Ricciego, ktory nie jest ani
einsteinowski, ani lokalnie kählerowski, i nie jest lokalnie
rozkladalny w iloczyn kartezjański rozmaitości niższych wymiarów?
Przyklad o tych wlasnościach, jeśli istnieje, musi mieć dodatniaι
stalaι λ i niestalaι, wszeιdzie dodatniaι, krzywizneι skalarnaι. Powód:
zwarte solitony Ricciego nie spelniajaιce któregoś z tych warunków
saι automatycznie einsteinowskie (Bourguignon, 1974; Friedan,
1985; Ivey, 1993).
Z tego samego powodu, przyklad taki musialby też mieć wymiar
n ≥ 4 (Hamilton, 1986; Ivey, 1993).
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.6
THE NO-BREATHERS THEOREM (PERELMAN, 2002)
Jeśli w trajektorii t 7→ g (t) potoku Ricciego, na rozmaitości
zwartej, istniejaι choćby dwie różne wartości czasu t, takie że
odpowiadajaιce im stadia saι ze sobaι identyczne modulo
dyfeomorfizm i przeskalowanie, to trajektoria jest solitonem
Ricciego.
W wymiarze 3 twierdzenie to udowodnil Ivey (1993).
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.7
KANONICZNE METRYKI KÄHLERA
Na zwartych powierzchniach zespolonych o dodatniej baιdź ujemnej
pierwszej klasie Cherna c1 , solitony Kählera-Ricciego stanowiaι
,,
,,
naturalny wybór metryki ,,wyróżnionej czy też ,,kanonicznej .
Ściślej mówiaιc, na powierzchni takiej istnieje soliton
Kählera-Ricciego, i jest on jedyny z dokladnościaι do dzialania
skladowej jedności grupy automorfizmów zespolonych oraz
przeskalowań.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.8
Powyższe stwierdzenie jest podsumowaniem szeregu wyników,
niektórych już klasycznych, niektórych nowszych, do ktorych
należaι:
• dowody hipotezy Calabiego o istnieniu metryki
Kählera-Einsteina jeśli c1 < 0 (Aubin 1978; Yau 1978),
• twierdzenia o jedyności metryk Kählera-Einsteina (Calabi
1957, dla c1 < 0; Bando i Mabuchi 1987, dla c1 > 0),
• istnienie solitonu Kählera-Ricciego na kazdej zwartej torycznej
rozmaitosci zespolonej z c1 > 0 (Wang i Zhu 2004);
• jedyność solitonów Kählera-Ricciego, gdy c1 > 0, modulo
automorfizmy ze skladowej jedności (Tian i Zhu 2002).
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.9
GRADIENTOWE SOLITONY RICCIEGO
Mówimy, że dany soliton Ricciego (M, g ) jest gradientowy jeśli
równość ILw g + Ric = λg , ze stalaι λ, zachodzi dla jakiegoś pola
wektorowego w które jest gradientem.
Inaczej mowiaιc, istnieje wtedy funkcja f : M → IR taka, że
∇df + Ric = λg .
TWIERDZENIE (Perelman, 2002). Każdy zwarty soliton
Ricciego jest gradientowy.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.10
TWIERDZENIE MYERSA
Z klasycznego twierdzenie Myersa wynika, że zwarta rozmaitość
Einsteina o dodatniej stalej einsteinowskiej λ musi mieć
skończonaι grupeι podstawowaι.
Konkluzja ta pozostaje prawdziwa w przypadku zwartych solitonów
Ricciego ze stalaι λ > 0, jak pokazal Xue-Mei Li (1993) oraz,
niezależnie, M. Fernández-López i E. Garcı́a-Rı́o (2004).
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.11
PEWIEN OPERATOR RÓŻNICZKOWY
Na zwartej rozmaitości Riemanna o krzywiznie skalarnej
s : M → IR, zdefiniujmy liniowy operator różniczkowy H
dzialajaιcy na polach wektorowych v wzorem
Hv = δv − dv f ,
gdzie δ jest dywergencjaι, a f : M → IR jest funkcjaι takaι, że
∆f + s = s avg . Ponieważ f jest jedyna z dokladnościaι do stalej
addytywnej, operator H nie zależy od wyboru f .
W przypadku gdy (M, g ) jest zwartym solitonem Ricciego, pole
gradientowe w takie, że ILw g + Ric =Rλg , ze stalaι λ, jest
punktem krytycznym funkcjonalu v 7→ M e Hv dg .
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.12
NIEZMIENNIK TIANA-ZHU
(Ten ostatni fakt wynika to z obserwacji Hamiltona, 1993, że
równość ∇df + Ric = λg daje ∆f − g (∇f , ∇f ) = c − 2λf , gdzie
c ∈ IR.)
Przez niezmiennik Tiana-Zhu zwartej rozmaitości Kählera (M, g )
rozumiemy funkcjeι holomorficznaι F : h(M) → C na algebrze
Liego h(M) pól (rzeczywistych) holomorficznych, zadanaι wzorem
R
F(v ) = µ M e P v dg gdzie Pv = Hv − iHJv ,
zaś µ = (s avg )m dla m = dim C M. Tak jak poprzednio, na
zwartym solitonie Kählera-Ricciego, opisane wyżej pole w jest
punktem krytycznym F.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.13
DWA WYNIKI TIANA I ZHU (2002):
Na zwartej rozmaitości zespolonej M z c1 (M) > 0, niezmiennik
Tiana-Zhu, zdefiniowany przy pomocy metryki Kählera, której
forma Kählera reprezentuje klaseι kohomologii c1 (M), nie zależy
od wyboru takiej metryki.
Na zwartej rozmaitości zespolonej M z c1 (M) > 0, niech
p ⊂ h(M) oznacza obraz przez J rzeczywistej podalgebry Liego w
algebrze h(M), odpowiadajaιcej ustalonej maksymalnej podgrupie
zwartej grupy Auto (M).
Wówczas obcieιcie F do p przyjmuje tylko wartości rzeczywiste i
ma dokladnie jeden punkt krytyczny.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.14
TWIERDZENIE O JEDYNOŚCI
TWIERDZENIE O MAKSYMALNEJ MOBILNOŚCI (TIAN I
ZHU, 2000). Skladowa jedności grupy izometrii dowolnego
zwartego solitonu Kählera-Ricciego jest maksymalnaι podgrupaι
zwartaι grupy Auto (M).
TWIERDZENIE O JEDYNOŚCI (TIAN I ZHU, 2002). Jeśli
na zwartej rozmaitości zespolonej istnieje nie-Ricci-plaski soliton
Kählera-Ricciego, to jest on jedyny z dokladnościaι do dzialania
skladowej jedności grupy automorfizmów zespolonych oraz
przeskalowań.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.15
IDEA DOWODU
Twierdzenie Malcewa pozwala nam zalożyć, że oba solitony majaι
teι samaι skladowaι jedności grupy izometrii, a wieιc rẃnież to samo
pole gradientowe w spelniajaιce warunek ILw g + Ric = λg (oraz,
po przeskalowaniu, teι samaι stalaι λ.)
Nasteιpny krok polega na rozwiaιzaniu zespolonego równania
Monge’a-Ampère’a przy użyciu metody ciaιglości w stylu Calabiego
i Yau.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.16
TWIERDZENIE ROTHAUSA (1981):
W dowolnej zwartej rozmaitości Riemanna (M, g ), niech operator
R dzialajaιcy na funkcjach gladkich beιdzie zadany wyrażeniem
Rf = ∆f − |∇f |2/2.
Wówczas, dla kazdej dodatniej liczby rzeczywistej λ,
odwzorowanie przestrzeni funkcji gladkich w siebie dane wzorem
f 7→ Rf + λf jest suriektywne.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.17
SZKIC DOWODU TW. ROTHAUSA
Zadajmy funkcjeι gladkaι ψ : M → IR. Wystarczy pokazać, ze dla
pewnej funkcji gladkiej f wyrażenie a = Rf + λf − ψ jest stalaι
(bo wtedy, dodajaιc odpowiedniaι stalaι do f , uzyskamy a = 0).
Kladaιc ϕ = e −f /2, ε = 1/λ i χ = −ψ/(2λ), znajdziemy takie f
(tzn. odpowiednie ϕ) minimalizujaιc funkcjonal
R
ϕ 7→ M [ε|∇ϕ|2 − ϕ2 log ϕ + χϕ] dg
w zbiorze dodatnich funkcji gladkich ϕ takich, że kϕk = 1, gdzie
k k jest normaι L2. Minimalizacja jest możliwa, gdyż funkcjonal
ten jest ograniczony z dolu, co wynika z logarytmicznej nierówności
Sobolewa: na zwartej rozmaitości Riemanna (M, g ),
R 2
2
M σ log |σ| dg ≤ C k∇σk
dla funkcji gladkich σ o kσk2 równym objeιtości M.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.18
DOWÓD TW. PERELMANA O GRADIENTOWOŚCI
Zalozenie: (M, g ) jest zwartaι rozmaitościaι Riemanna i
ILw g + Ric = λg dla stalej λ i pola wektorowego w .
Cel: znaleźć funkcjeι f takaι, że ∇df + Ric = λg .
Argument: Dla dowolnej funkcji f , stalej λ i pola wektorowego
w , polóżmy
h = ∇df +Ric−λg , b = ILw g +Ric−λg , ψ = ∆e −f +2δ[e −f w ],
gdzie δ jest dywergencjaι. Wówczas (bez żadnych zalożeń!)
R
R
R
2 −f dg +
−f dg .
M |h| e
M (Rf + λf + s/2)ψ dg = M hh, bie
Dowód: Trywialne, choć żmudne, calkowanie przez czeιści.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.19
Tak wieιc, dla
h = ∇df +Ric−λg , b = ILw g +Ric−λg , ψ = ∆e −f +2δ[e −f w ],
mamy
R
R
R
2 −f dg +
−f dg .
M |h| e
M (Rf + λf + s/2)ψ dg = M hh, bie
W naszej sytuacji: Calka po prawej stronie znika, bo b = 0, a tw.
Rothausa pozwala nam wybrać f tak, by środkowa funkcja
podcalkowa byla równa zeru, skaιd h = 0.
Motywacja: stalość Rf + λf + s/2 jest lokalnaι konsekwencjaι
warunku ∇df + Ric = λg (obserwacja Hamiltona, str. 13).
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.20
DODATNI OPERATOR KRZYWIZNY
Böhm i Wilking (2006) pokazali, że zwarty soliton Ricciego o
dodatnim operatorze krzywizny musi mieć stalaι krzywizneι
sekcyjnaι. Byla to hipoteza Hamiltona, który udowodnil ten fakt
dla wymiaru 4 jeszcze w 1986 r.
Hamilton (1986) pokazal też, że czterowymiarowy zwarty soliton
Ricciego o nieujemnym operatorze krzywizny jest lokalnie
symetrycznaι rozmaitościaι Einsteina.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.21
PRZYKLADY ZUPELNE NIEZWARTE
Soliton gaussowski: IRn z metrykaι euklidesowaι; funkcja f jest tu
stalaι wielokrotnościaι kwadratu normy.
,,
Metryka ,,cygaro (Hamilton, 1988): g = (1 + r 2 )−1 h, gdzie h
jest (stalaι) metrykaι euklidesowaι na IR2, zaś r : IR2 → (0, ∞) jest
normaι euklidesowaι, z funkcjaι f = log(1 + r 2 ) i ze stalaι λ = 0.
Soliton ten ma dodatniaι krzywizneι Gaussa i liniowy wzrost
objeιtości, jest też asymptotyczny z powierchzniaι cylindrycznaι.
Uogólnienie: Solitony Bryanta z λ = 0 na IRn, n ≥ 3, o symetrii
obrotowej i dodatniej krzywiznie sekcyjnej.
http://www.math.ohio-state.edu/˜andrzej/olsztyn.pdf
Andrzej Derdziński (The Ohio State University)
SOLITONY RICCIEGO
str.22