STATYSTYKA STOSOWANA Lista 4
Transkrypt
STATYSTYKA STOSOWANA Lista 4
STATYSTYKA STOSOWANA Lista 4 1. Punkt startuje z pocza̧tku ukladu wspólrzȩdnych i porusza siȩ po prostej: przesuwa siȩ o jednostkȩ w lewo z prawdopodobieństwem 0, 5 i o jednostkȩ w prawo z prawdopodobieństwem 0, 5. Przyjmuja̧c, że poszczególne przesuniȩcia sa̧ niezależne, wyznaczyć rozklad zmiennej losowej D, gdzie D jest polożeniem punktu po sześciu przesuniȩciach. Wyznaczyć rozklad zmiennej losowej D2 . 2. Samochód porusza siȩ po trasie, na której znajduja̧ siȩ 4 sygnaly świetlne, dzialaja̧ce niezależnie od siebie. Każdy z nich zatrzymuje lub przepuszcza samochód z prawdopodobieństwem p = 21 . Niech X oznacza liczbȩ sygnalów miniȩtych przez samochód do momentu pierwszego zatrzymania. Znaleźć rozklad zmiennej losowej X. 3. Zmienna losowa X ma rozklad o dystrybuancie F (x) = 0 0.1 + x 0.4 + x 1 dla dla dla dla x ≤ 0, 0 < x ≤ 0.5, 0.5 < x ≤ 0.55, x > 0.55. Wyznaczyć P (X = 0.5), P (0 ≤ X < 0.5), P (0 < X < 0.55). 4. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 2, 3, 5, 8 z prawdopodobieństwami odpowiednio równymi 2/10, 4/10, 3/10, p. Wyznaczyć p i dystrybuantȩ tej zmiennej oraz obliczyć a) P (X ≤ 3), b) P (X ≥ 2.5), c) P (2.7 ≤ X < 5.1). Podać rozklad prawdopodobieństwa zmiennej Y = 3X −2 i obliczyć jej wartość oczekiwana̧ (EX) i wariancjȩ (VarX). 5. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać x (−∞, −1] (−1, 3] (3, 7] (7, 10] (10, 15] (15, ∞) F (x) 0 0.15 0.25 0.4 0.85 1 Obliczyć EX i V arX. 6. Zmienna losowa X ma gȩstość określona̧ wzorem ( f (x) = x/8 dla x ∈ (3, 5), 0 dla x ∈ / (3, 5). Wyznaczyć dystrybuantȩ tej zmiennej i obliczyć: a) P (X < 4), b) P (X > 3.5), c) P (4 < X < 5), d) P (X < 3.5 lub X > 4.5) oraz jej wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ. 7. Wyznaczyć wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ zmiennej losowej U = −2X 2 + 3 jeżeli EX = 2, V arX = 1, EX 4 = 34. 8. Rozklad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dany jest wzorem P (X = 2k ) = 4 · 5−k , k = 1, 2, ... Znaleźć EX, V arX. Czy istnieje trzeci moment X ?