Egzamin z Rachunku Prawdopodobienstwa 1. Za chwile Adam i
Transkrypt
Egzamin z Rachunku Prawdopodobienstwa 1. Za chwile Adam i
Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa 1. Za chwilȩ Adam i Ewa oraz 8 innych osób zajma̧ losowo 10 miejsc przy okra̧glym stole. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń: a) Adam i Ewa bȩda̧ siedzieć obok siebie; b) pomiȩdzy nimi bȩda̧ siedzialy 2 osoby. 2. Ile jest wszystkich dróg prowadza̧cych z punktu (2,4) do punktu (20,2)? Ile z nich nie dotyka ani nie przecina osi Ox? 3. Ile jest różnych sposobów ustawienia n par nawiasów? Na przyklad dla n = 2 mamy 2 sposoby: ()() i (()), a dla n = 3 mamy 5 sposobów (oddzielonych średnikami): ((())); (()()); (()),(); (),(()); (),(),(). 4.Niech zmienne X i Y przyjmuja̧ tylko po dwie wartości: 0 i 1. Wykazać, że z warunku E(XY ) = E(X)E(Y ) wynika wtedy, że X i Y sa̧ niezależne. " 5. Macierz kowariancji niezdegenerowanego wektora losowego (X, Y ) ma postać # 4 a . a 9 Jakie sa̧ możliwe wartości a? 6. Korzystaja̧c z definicji rozkladu stabilnego, zbadać czy rozklad Poissona z parametrem λ = 1 jest stabilny. 7. Niech (Ω, M, P ) = ([0, 1], B, dx). Na tej przestrzeni określamy zmienne losowe ( X(x) = 2x, 2x − 1, ( 0 ≤ x ≤ 21 , 1 2 < x ≤ 1. a) Obliczyć dystrybuanty obu zmiennych. Y (x) = 2x, 2(1 − x), 0 ≤ x ≤ 12 , 1 2 < x ≤ 1. b) Czy X i Y sa̧ niezależne? 8. Niech X1 , ..., Xn bȩda̧ niezależnymi zmiennymiqlosowymi o jednakowym rozkladzie N(0,1). Zapisać wzorem calkowym dystrybuantȩ rozkladu zmiennej Yn = X12 + ... + Xn2 i obliczyć tȩ calkȩ w przypadku n = 2. 9. Niech X1 , X2 , ... bȩda̧ niezależne i zalóżmy, że dla każdego n spelniona jest nierówność |Xn | ≤ C (stala C nie zależy od n). Oznaczmy Sn = X1 + X2 + ... + Xn . Zbadać, czy istnieje granica lim n→∞ Sn − E(Sn ) √ . n ln n 2 2 10. Wektor losowy (X, Y ) ma rozklad o gȩstości danej wzorem f (x, y) = Ce−x −2xy−4y . a) Obliczyć C. Wsk. W tym przypadku najszybszy sposób to chyba po prostu zwykly rachunek. b) Obliczyć E(X|Y = 1) oraz E(X|Y ). 11. Rzucamy 1000 razy symetryczna̧ moneta̧. Oszacować prawdopodobienstwo zdarzenia: czȩstość orla w 1000 prób odchyli siȩ od 12 o mniej niż 0,05. 12. Zmienne X ∼ N(1,1), Y ∼ N(0,22 ) i Z ∼ N(−2, 1) sa̧ niezależne. Zapisać P (|2X − Y + Z| > 3) za pomoca̧ funkcji Φ. 13. Wykazać, że jeśli supp(µ) jest ograniczony, to rozklad µ nie jest nieskończenie podzielny. ***************************** Mini-tablice: Jeśli Φ(t) = Rt −∞ 2 u √1 e− 2 2π du, to Φ(0) √ = 0, 5, Φ(0, 5) = 0, 691, Φ(1) √ = 0, 841, Φ( 5) = 0, 987, Φ(3) = 0, 9987, Φ( 10) = 0, 998, √ Φ( 2) = 0, 921, Φ(5) = 0, 9999997. √ Φ( 3) = 0, 958, Φ(2) = 0, 997,