9-Drgania wlasne belki, utwierdzonej jednym koncem

9-Drgania wlasne belki, utwierdzonej jednym koncem

E
RS
Y
G
IC
Z
NY
ZA
N I OPOM O
OD
R
H
C
I
SK
W
UNI
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET
TECHNOLOGICZNY
w Szczecinie
KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych
z metody elementów skończonych
Ćwiczenie nr 9
Drgania własne belki, utwierdzonej jednym końcem
Opracował:
Dr inż. Mariusz Leus
Szczecin 2012
TE
T T ECHNO
LO
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie częstotliwości drgań własnych i postaci drgań
własnych belki utwierdzonej jednym końcem. Wyznaczone wartości częstotliwości drgań
własnych należy porównać z wartościami obliczonymi analitycznie.
Opis zadania
Przedmiotem obliczeń jest belka AB o przekroju kołowym utwierdzona jednym
końcem jak pokazano na zamieszczonym rysunku.
Rys. 1. Schemat modelu belki i podparcia
Dane do obliczeń:
d = 0.02 m, l = 0.5 m
Belka wykonany jest ze stali konstrukcyjnej o module Younga E = 2.1·105 N/mm2,
gęstości ρ = 7700 kg/m3 i współczynniku Poissona ν = 0.28.
KOLEJNE ETAPY ROZWIĄZYWANIA ZADANIA
I. Wyznaczenie częstotliwości drgań własnych belki metodą analityczną
Częstotliwości drgań własnych belki dla drgań giętych metodą analityczną wyznaczamy ze
wzór:
α n2
E⋅J
fn =
⋅
2
ρ⋅A
2π ⋅ l
gdzie:
n – numer częstotliwości,
α1 = 1.875, α2 = 4.694, αn = (n-0.5)*π dla n = 3,4,..,∞,
l – długość belki,
E – moduł Younge’a,
J – moment bezwładności przekroju,
ρ – gęstość materiału,
A – pole przekroju poprzecznego.
Moment bezwładności J:
π ⋅ d 4 π ⋅ 0.02 4
J=
=
= 7.854 ⋅10 −9 m 4
64
64
Pole przekroju A:
π ⋅ d 2 π ⋅ 0.02 2
A=
=
= 3.142 ⋅ 10 − 4 m 2
4
4
-2-
Wyznaczamy 4 pierwsze częstotliwości drgań własnych [Hz] belki dla drgań giętych:
f1 =
1.875 2
2.1 ⋅1011 ⋅ 7.854 ⋅10 −9
⋅
= 58.44 Hz
2π ⋅ 0.5 2
7700 ⋅ 3.142 −4
f2 =
4.694 2
2.1 ⋅1011 ⋅ 7.854 ⋅10 −9
⋅
= 366.27 Hz
2π ⋅ 0.5 2
7700 ⋅ 3.142 − 4
f3 =
((3 − 0.5) ⋅ π )2 ⋅
2.1 ⋅ 1011 ⋅ 7.854 ⋅ 10 −9
= 1025.40 Hz
7700 ⋅ 3.142 −4
f4 =
((4 − 0.5) ⋅ π )2 ⋅
2.1 ⋅ 1011 ⋅ 7.854 ⋅ 10 −9
= 2009.79 Hz
7700 ⋅ 3.142 − 4
2π ⋅ 0.5 2
2π ⋅ 0.5 2
Otrzymane wartości należy porównać z wartościami obliczonymi w Nastranie FX.
II. Wyznaczenie częstotliwości drgań własnych belki w Nastranie FX
Przygotowanie modelu do obliczeń
Ustalenie parametrów początkowych
1. Rozpoczynamy nowy projekt, wybierając w Głównym Menu: File → New. W okienku
Analysis Setting zaznaczamy typ modelu (3D/General) oraz wybieramy system jednostek
(N, m, J, sek.).
Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK.
2. Projekt zapisujemy pod nazwą: Drgania belki.fnb, wybierając w Głównym Menu: File
→ Save As....
Określenie materiału
1. Definiujemy rodzaj materiału. W tym celu w drzewku Model – Works wybieramy
Material, a następnie za pomocą prawego przycisku myszy (PPM) – Add → Isotropic….
-3-
W okienku Create/Modify Isotropic Material wybieramy przycisk DB. W kolejnym
okienku – Material DB – definiujemy rodzaj materiału, jako stal stopową (Alloy Steel).
Wybór zatwierdzamy naciskając przycisk Close w aktualnie otwartym okienku i klawisz
OK – w poprzednim.
Określenie własności modelu
1. Definiujemy ogólne właściwości modelu. W tym celu w drzewku Model – Works
wybieramy Property, a następnie za pomocą PPM – Add → 1D....
2. W okienku Create/Modify 1D Property, w zakładce Beam: wybieramy zdefiniowany
wcześniej rodzaj materiału (1: Alloy Steel) oraz klikamy na klawisz Section
(PBEAML).... W kolejnym okienku – Section Temlate – definiujemy wartość promienia
kołowego przekroju belki równą 0.01 m. Po wyborze rodzaju materiału i zdefiniowaniu
przekroju automatycznie uzupełnione zostaną wartości: przekroju poprzecznego (Cross
Sectional Area), momentów bezwładności przekroju (Area Moment of Inertia) oraz
sztywności geometrycznej przekroju (Torsional Constant).
-4-
Wybór zatwierdzamy dwukrotnie naciskając przyciski OK.
Tworzenie geometrii modelu
1. Definiujemy punkty geometrii belki. Wybierając w Głównym Menu: Geometry →
Point → Create..., wywołujemy okienko Create Point, w którym definiujemy
współrzędne punktów geometrii modelu belki: A (0, 0, 0), B (0.5, 0, 0).
Tworząc kolejne punkty należy pamiętać o podaniu ich nazwy (w tym przypadku
odpowiednio: „A”, „B”). Zatwierdzenie współrzędnych danego punktu następuje przez
kliknięcie na klawisz Apply. Proces tworzenia wszystkich punktów kończymy naciskając
przycisk OK. Na rys. 2a przedstawiono widok ogólny utworzonych w podany sposób
punktów geometrii modelu belki.
2. Analogicznie tworzymy linię łączącą zdefiniowane wyżej punkty. Wybierając w
Głównym Menu: Geometry → Curve → Create 3D → Line..., wywołujemy okienko 3D
Line, w którym definiujemy linię przez wskazanie punktów A i B. Widok ogólny modelu
fizycznego pręta pokazano na rys. 2b.
-5-
Rys. 2. Proces tworzenia modelu fizycznego belki:
a) punkty geometrii, b) linia łącząca punkty geometrii
Tworzenie elementów skończonych
1. Tworzymy podział linii na belkowe elementy skończone. Wybierając w Głównym
Menu: Mesh → 1D Mesh → Auto Mesh Edge..., wywołujemy okienko Auto-Mesh Edge,
w którym mamy możliwość wyboru linii oraz sposobu podziału linii na elementy belkowe.
Definiując liczbę elementów belkowych, wykorzystujemy jeden z czterech sposobów
podziału linii (Seeding Method), polegających na wskazaniu liczby elementów na linii
(Number of Divisions). Zaznaczamy utworzona przez nas linię i podajemy NoD = 10.
2. W celu wyświetlenia punktów węzłowych, w drzewku Model – Works wybieramy Mesh
→ Mesh Set → Auto-Mesh(Edge), a następnie za pomocą PPM – Display → Node. W
-6-
podobny sposób można wyświetlić numer węzła (Display Node ID) lub elementu
(Display Element ID).
Siatkę elementów skończonych dla belki pokazano na rys. 3.
Rys. 3. Siatka elementów skończonych
Utwierdzanie belki
1. Utwierdzamy węzeł belki w punkcie A. W tym celu w drzewku Analysis – Works
wybieramy Boundary Condition, a następnie za pomocą PPM – Add → Constraints ….
2. Zamocowanie w punkcie A jest utwierdzeniem całkowitym – należy zatem w tym
punkcie odebrać wszystkie stopnie swobody. Po otwarciu okna Constraint nadajemy
nazwę „P_A” wskazujemy odpowiedni węzeł i blokujemy przemieszczenia i rotacje
względem osi x, y i z (naciskając przycisk Fixed). Wykonane czynności zatwierdzamy
przez kliknięcie na klawisz OK.
-7-
Uruchomienie obliczeń
1. Definiujemy typ analizy. W Głównym Menu wybieramy: Analysis → Analysis Case....
W okienku Analysis Case Manager naciskamy na przycisk Add….
2. W kolejnym okienku – Add/Modify Analysis Case – wpisujemy nazwę przypadku
analizy (Title = Drgania belki) oraz określamy rodzaj analizy (Solution Type = Modal
(103)).
-8-
Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK w aktualnie otwartym okienku i na klawisz
Close – w oknie Analysis Case Manager.
3. Uruchamiamy obliczenia. W tym celu w drzewku Analysis – Works wybieramy
Analysis Case → Drgania belki: Modal (103), a następnie za pomocą PPM – Solve….
W okienku Solver Manager zaznaczamy zdefiniowany wcześniej typ analizy oraz
naciskamy na przycisk OK.
Prezentacja graficzna wyników
Częstotliwości drgań własnych belki
1. W celu odczytania wyznaczonych częstotliwości drgań własnych belki przechodzimy do
drzewka Results. W drzewku tym zostały wyświetlone kolejno wyznaczone numery
postaci drgań (MODY) i odpowiadające im częstotliwości.
-9-
Otrzymane wyniki należy porównać z wynikami wyznaczonymi analitycznie.
Postacie drgań własnych belki
1. W celu graficznej wizualizacji wyznaczonych postaci drgań własnych belki zmieniamy
. Należy również wyłączyć wyświetlanie
widok na Isometric 2 klikając na ikonkę
punktów węzłowych (te same czynności jak przy włączaniu, przy czyn teraz należy
odznaczyć pozycje Node). Następnie w drzewku Results wybieramy MODE 1 →
Displacement i dwukrotnie klikamy na TOTAL TRANSLATION.
2. W celu wyświetlenia sekcji belki, w drzewku Model – Works wybieramy Property →
1D → 1D Property (Beam), a następnie za pomocą PPM – Show Section.
- 10 -
3. W celu włączenia animacji należy z Paska narzędzi wybrać zakładkę Post Style a
następnie kliknąć na ikonę Animation Recording.
Na ekranie powinno pojawić się menu do uruchamiania animacji – włączenie animacji
następuje poprzez kliknięcie ikony Record Button.
4. Powyższe operacje wykonać dla pozostałych wyznaczonych postaci drgań (MODÓW).
- 11 -
III. Porównanie wyników obliczeń
Częstotliwości drgań własnych belki dla drgań giętych
f1 [Hz]
f2 [Hz]
f3 [Hz]
f4 [Hz]
Metoda
analityczna
58.44
366.27
1025.40
2009.79
Nastran FX
58.40
364.06
1011.42
1961.90
Błąd [%]
0.068
0.603
1.363
2.383
- 12 -