Zestaw 1 P1.1. Czy, jeśli obraz funkcji jest przeliczalny, wystarczy

Zestaw 1
P1.1. Czy, jeśli obraz funkcji jest przeliczalny, wystarczy, że przeciwobrazy zbiorów jednopunktowych są
mierzalne, aby mieć pewność, że funkcja jest zmienną losową?
P1.2. Sprawdzić, że jeśli zmienna losowa X przyjmuje skończenie wiele wartości, to najmniejsza σ-algebra
w której X jest mierzalna składa się ze zbiorów zsumowanych z przeciwobrazów zbiorów jednopunktowych.
P1.3. Pokazać, że najmniejsza σ-algebra, w której mierzalne są funkcje X1 , . . . , Xn jest identyczna z najmniejszą σ-algebrą w której mierzalne jest zestawienie (X1 , . . . , Xn ). (Jaka topologia w przeciwdziedzinie?)
P1.4. Niech Ω = [0, 1] z miarą Lebesgue’a będzie przestrzenią, na której zdefiniowano funkcje X1 (ω) = ω 3 ,
X2 (ω) = b4ωc oraz X3 (ω) = {4ω} (b·c i {·} to część całkowita i ułamkowa liczby). Czy są to zmienne
losowe? Opisać najmniejsze σ-algebry w których zmienne te są mierzalne każda z osobna oraz parami.
P1.5. Pokazać, że jeśli X jest funkcją mierzalną, to również f ◦ X jest mierzalna gdy f jest ciągła. Jak
można osłabić założenie ciągłości funkcji f ?
Zestaw 2
P2.1. Niech Ω = {(x, y) : x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, Σ = 2Ω , P (A) = #A
36 . Sprawdzić, które ze zmiennych
losowych X1 (x, y) = x, X2 (x, y) = y, X3 (x, y) = x + y, X4 (x, y) = x − y są niezależne. Sprawdzić na
tych przykładach, że jeśli zmienne Xi , Xj są niezależne, to każde zbiory z σ(Xi ), σ(Xj ) są niezależne,
zaś jeśli są zależne,
to σ-algebry te zawierają zdarzenia zależne.
(
kx, x ∈ [0, 1]
P2.2. Niech f (x) =
. Znaleźć k takie, że f jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć
0,
x 6∈ [0, 1]
√
jej wartość oczekiwaną
oraz wariancję. Znaleźć gęstości zmiennych losowych −X, X 2 , X.
(
k, |x| + |y| 6 1
P2.3. Niech f (x, y) =
. Dla jakiego k jest to gęstość wektora losowego (X, Y )? Jaką
0, |x| + |y| > 1
gęstość mają zmienne X i Y ? Czy są niezależne? Jaka jest ich kowariancja? Jaki rozkład ma wektor
(X + Y, X − Y )? Znaleźć wartość oczekiwaną X + Y i kowariancję zmiennych X + Y i X − Y . Jaki
rozkład ma zmienna X 2 − Y 2 ?
P2.4. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych z parametrem λ = 1.
Jaką gęstość ma wektor losowy (X, Y )? Znaleźć gęstość wektorów losowych X 2 i max{X, Y }.
Zestaw 3
P3.1. Proszę przypomnieć sobie definicję rozkładu Poissona.
Jakie są wartość oczekiwana i wariancja?
Jaki jest związek rozkładu Poisona oraz rozkładów dwumianowych?
P3.2. W firmie telekomunikacyjnej mającej 1000 użytkowników codziennie średnio 5 osób zgłasza awarię. Jakie jest prawdopodobieństwo, że danego dnia liczba zgłoszonych awarii będzie mniejsza niż 4? Większa
niż 6?
P3.3. Proszę przypomnieć sobie definicję rozkładu wykładniczego.
Jakie są wartość oczekiwana i wariancja?
P3.4. Czas pracy procesora do pierwszej awarii opisuje rozkład wykładniczy o średnim czasie oczekiwania
na awarię równym 10000 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że procesor zawiedzie w czasie
krótszym niż 5000 godzin? Jeśli wiadomo, że awaria nie nastąpiła przez 5000 godzin, to jakie jest
prawdopodobieństwo, że nastąpi w czasie kolejnych n godzin?
P3.5. Proszę przypomnieć sobie definicję rozkładu normalnego.
Jakie są wartość oczekiwana i wariancja?
Jaki rozkład ma suma niezależnych
zmiennych losowych o rozkładach normalnych?
p
Jaki rozkład ma zmienna X12 + X22 jeśli zmienne Xi są niezależne i mają identyczne rozkłady o wartości oczekiwanej 0?
P3.6. Pokazać przykłady pokazujące, które ze zbieżności zmiennych losowych nie pociągają innych.
P3.7. Udowodnić, że jeżeli ciąg zmiennych Xn zmierza do zmiennej losowej X, natomiast a, b ∈ R, a > 0, to
aXn + b → aX + b,
przy czym zbieżności w założeniach i tezie są takie same (wybrane spośród zdefiniowanych na wykładzie). Czy założenie o dodatniości a może być osłabione?
P3.8. Dana jest zmienna losowa U o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1]. Określamy ciąg zmiennych
losowych Zn wzorem
(
0 gdy U > n1
Zn =
1 w przeciwnym przypadku.
Sprawdzić, czy ciąg Zn zmierza do 0
(i) średniokwadratowo?
(ii) stochastycznie?
(iii) według rozkładów?
P3.9. Dana jest zmienna losowa U o rozkładzie
1
1
P (U = 1) = ,
P (U = −1) = .
2
2
Dany jest ciąg zmiennych losowych Zn takich, że
(
U
gdy n jest parzyste
Zn =
−U gdy n jest nieparzyste
Sprawdzić, czy ciąg Zn zmierza do U
(i) średniokwadratowo?
(ii) stochastycznie?
(iii) według rozkładów?
Zestaw 4
P4.1. Dany jest proces:
Zt = t2 + Xt + Y,
t ≥ 0.
Obliczyć charakterystyki liczbowe procesu Zt jeśli X i Y są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi.
P4.2. Dany jest proces:
Ut = t2 − Y t, t ≥ 0.
P4.3.
P4.4.
P4.5.
P4.6.
Narysować dwie przykładowe trajektorie tego procesu, znaleźć rozkład dwuwymiarowy jeśli Y ma
rozkład jednostajny na odcinku [0, 1].
Obliczyć charakterystyki liczbowe procesu Poissona.
Dane są dwa niezależne procesy Poissona (Nt1 i Nt2 ). Pokazać, że Nt1 + Nt2 jest procesem Poissona.
Z jaką intensywnością?
Niech {Xn , n ∈ N} będzie niezależnym ciagiem zmiennych losowych (Xn ∼ N (0, σn )). Wykazać, że
Sn = X1 + . . . + Xn jest procesem gaussowskim.
Obliczyć funkcję kowariancji procesu Wienera.
Zestaw 5
P5.1. Niech W będzie procesem Wienera wykazać, że następujące procesy też są procesami Wienera:
(a) −Wt ,
1
(b) √ Wct , c > 0,
c
(c) WT +t − WT , dla T > 0.
Jak wygląda dwuwymiarowy rozkład wektora losowego (Wt − Ws , Ws ) dla t > s?
Jak wygląda rozkład wektora losowego (Wt , Ws )?
Policzyć E(Ws |Wt ) dla 0 < s 6 t. Jaki jest wynik dla s > t?
P5.2. Niech P będzie procesem Poissona. Czy są procesami Poissona:
(a) −Pt ,
(b) Pct , c > 0,
(c) PT +t − PT , dla T > 0.
P5.3. Symetryczna kostka do gry boki z numerami 1,2,3 ma pomalowane na zielono, a boki z numerami 4,5,6
ma pomalowane na czerwono. Rzucamy tą kostką jednokrotnie. Niech X przyjmuje wartości równe
ilości punktów jaką wyrzucimy na tej kostce.
a) Jaka jest wartość oczekiwana zmiennej X?
b) Jeśli widzimy, że wypadło pole o kolorze zielonym (ale nie widzimy ile wypadło punktów), to jaka
w tej sytuacji będzie wartość oczekiwana zmiennej losowej X?
c) Jeśli widzimy, że wypadła nieparzysta liczba oczek (ale nie widzimy ile dokładnie wypadło punktów),
to jaka w tej sytuacji będzie wartość oczekiwana zmiennej losowej X?
P5.4. Znaleźć E(X|Y ), gdy
(i) rzucamy dwa razy kostką; Y jest wynikiem w pierwszym rzucie, a X sumą obu wyników.
(ii) rzucamy trzema monetami: jedno, dwu i pięcio-złotową, możemy zabrać te monety, na których
wypadła reszka; X jest sumą złotych jakie zabieramy, a Y jest ilością reszek jaki wypadły.
(iii) z torby zawierającej trzy kule ponumerowane 1,2,3 i 4 losujemy dwie, jeśli choć jeden z wylosowanych numerów jest większy od 2, to wygrywamy 10 złotych, a w przeciwnym razie przegrywamy 10
złotych; X opisuje wygraną sumę, a Y będzie numerem na pierwszej wylosowanej kuli.
(iv) rzucamy n-krotnie monetą. Niech X będzie liczbą orłów, a Y liczbą reszek.
P5.5. Niech (X, Y ) będzie zmienną losową o gęstości
(
e−x−y gdy x, y ≥ 0,
f (x, y) =
0
w przeciwnym przypadku.
Obliczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X + Y pod warunkiem, że X < Y .
P5.6. Niech zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze 1. Znaleźć
E(X|{X ≥ t}).
P5.7. Pokazać, że
E(1A |1B )(ω) =
P (A|B),
P (A|Ω \ B),
gdy ω ∈ B,
gdy ω ∈
6 B
dla każdego B takiego, że P (B) 6= 0 i P (B) 6= 1.
P5.8. Niech Ω = [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue’a na Ω. Znaleźć
E(X|Y ) jeżeli

1, gdy ω ∈ [0, 1/3];

2
X(ω) = 2ω ,
Y (ω) = 2, gdy ω ∈ (1/3, 2/3);


0, gdy ω ∈ [2/3, 1].
P5.9. Niech X i Y będą dwoma zmiennymi losowymi o jednakowych rozkładach dwupunktowych
P (X = 0) = P (Y = 0) = 1 − p,
P (X = 1) = P (Y = 1) = p.
Niech zmienna Z będzie równa funkcji charakterystycznej zdarzenia {X + Y = 0}. Znaleźć E(X|Z)
oraz E(Y |Z) i sprawdzić czy są niezależne.
Zestaw 6
P6.1. Niech Ω = [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue’a na Ω. Znaleźć
E(X|Y ) jeżeli
2, gdy ω ∈ [0, 1/2);
2
X(ω) = 2ω ,
Y (ω) =
ω, gdy ω ∈ [1/2, 1]
P6.2. Niech Ω = [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue’a na Ω. Znaleźć
E(X|Y ) jeżeli
(a) X(ω) = 2ω, Y (ω) = ω 2 ;
(b) X(ω) = 2ω − 1 + |2ω − 1|, Y (ω) = 1 − |2ω 2 − 1|;
(c) X(ω) = cos(2πω), Y (ω) = sin(2πω).
Uwaga. Można szukać wyniku korzystając z twierdzeń i własności warunkowej wartości oczekiwanej
lub spróbować zgadnąć wynik i uzasadnić, że spełnia on definicję.
P6.3. Niech Ω = [0, 1] × [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue’a na Ω.
Załóżmy, że (ξ, η) mają rozkład o gęstości
(
x + y, gdy x, y ∈ [0, 1];
f (x, y) =
0,
w przeciwnym przypadku.
Pokazać, że E(ξ|η) = 2+3η
3+6η . Jak można dojść do tego wyniku nie znając rozwiązania?
P6.4. Niech T1 , . . . , Tn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym o parametrze 2. Określmy T = T1 + . . . + Tn . Obliczyć E(T1 |T ) oraz E(T |T1 ).
R6.5. Niech Ω = [0, 1] × [0, 1] z σ-algebrą zbiorów borelowskich, a P niech będzie miarą Lebesgue’a na Ω.
Załóżmy, że (ξ, η) mają rozkład o gęstości
(
3 2
(x + y 2 ), gdy x, y ∈ [0, 1];
f (x, y) = 2
0,
w przeciwnym przypadku.
Znaleźć E(ξ|η).
R6.6. Niech T1 i T2 będą dwoma niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym
o parametrze 2. Wiedząc, że E(T12 |T1 + T2 ) = 31 (T1 + T2 )2 obliczyć E(T1 T2 |T1 + T2 ).
R6.7. Załóżmy, że Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi, zaś Z dowolną zmienną. Czy można coś powiedzieć o niezależności zmiennych E(Xi |Z)? A o E(Z|Xi )?
Zestaw 7
P7.1. Znaleźć E(X|Y ), gdy gęstość wektora (X, Y ) dana jest następującym wzorem (z odpowiednio dobraną
stałą K):
(
K cos x cos y, dla 0 6 x, y 6 π/2;
(i) f (x, y) =
0,
w przeciwnym przypadku
(
K(2x + y), dla x2 + y 2 6 1;
(ii) f (x, y) =
0,
w przeciwnym przypadku
(
K(x + y 2 ), dla x2 + y 2 6 1;
(iii) f (x, y) =
0,
w przeciwnym przypadku
P7.2. W zadanej chwili, na moście znajduje się N ciężarówek. Niech Yi oznacza ciężar i-tej ciężarówki, a X
oznacza całkowity ciężar ciężarówek na moście. Pokazać, że jeśli zmienne losowe N oraz wszystkie Yi
są niezależne, E(Yi ) = m, natomiast E(N ) = n, to wtedy E(X) = mn.
P7.3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1).
Obliczyć E((X + Y )2 |X).
P7.4. Gdy EX 2 < ∞, to możemy zdefiniować warunkową wariancję:
D2 (X|F) := E((X − E(X|F))2 |F).
Wykazać, że
D2 X = E(D2 (X|F) + D2 E(X|F)).
P7.5. Niech η1 , η2 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach
1
P (ηn = 1) = P (ηn = −1) = .
2
Filtracja Σn := σ(η1 , . . . , ηn ).
Które z poniższych ciągów zmiennych losowych są martyngałami względem powyższej filtracji
• Sn = ξ1 ;
• Sn = ξn − ξ1 ;
• Sn = ξn−1 ;
• Sn = ξn+1 ;
• Sn = ξ1 + 2ξ2 + . . . + nξn ;
• Sn = 2ξn2 − 1/2;
• Sn = ξ1 · . . . · ξn .
P7.6. Niech ξn oznacza symetryczne błądzenie losowe, tzn. ξn = η1 + · · · + ηn , gdzie η1 , η2 , . . . jest ciągiem
niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach
1
P (ηn = 1) = P (ηn = −1) =
2
(na przykład: ciąg rzutów monetą). Pokazać, że ciąg zmiennych losowych
(i) Xn := ξn2 − n
(ii) Yn = (−1)n cos(πξn )
jest martyngałem względem filtracji Σn := σ(η1 , . . . , ηn ).
Zestaw 8
P8.1. Niech {Ft }t∈T oraz {Gt }t∈T będą filtracjami takimi, że Gt ⊂ Ft . Załóżmy również, że proces X jest
adaptowany do obydwu filtracji. Pokazać, że jeżeli X jest martyngałem względem filtracji Ft , to jest
też martyngałem względem filtracji {Gt }.
P8.2. Wykazać, ż jeśli X jest martyngałem całkowalnym z kwadratem to X ma nieskorelowane przyrosty.
P8.3. Pokazać, że jeśli Xn jest martyngałem i Xn → X w L1 , to Xn = E(X|Fn ).
P8.4. Pokazać że martyngałami względem naturalnej filtracji procesu Wienera {Wt , t ≥ 0} są procesy:
(a) {Wt , t ≥ 0}
(b) {Wt2 − t, t ≥ 0}
P8.5. Dany jest proces Poissona {Nt , t ≥ 0} z intensywnością λ. Pokazać, że proces {Nt − λt, t ≥ 0} oraz
{(Nt − λt)2 − λt, t ≥ 0} są martyngałami względem filtracji generowanej przez {Nt , t ≥ 0}.
P8.6. Niech Zn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i zerowej wartości oczekiwanej. Niech
n
X
X0 = 0,
Xn =
Zk−1 · Zk .
k=1
Udowodnić, że
(Xn )∞
n=1
jest martyngałem względem (σ(Z1 , . . . , Zn ))∞
n=1 .
Zestaw 9
P9.1. Jeśli jeszcze nie zostały zrobione: 4.4, 5.1, 5.2,
P9.2. Niech X = {Xt | t ∈ [0, T ]} będzie supermartyngałem. Pokazać, że X jest martyngałem wtedy i tylko
wtedy gdy EXT = EX0
P9.3. Niech ξi , i = 1, 2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że
P (ξi = 1) = p ∈ (0, 1),
P (ξi = −1) = q = 1 − p.
Niech Fn = σ(ξ1 , . . . , ξn ), natomiast
ξ1 +···+ξn
q
.
Zn =
p
Wykazać, że Zn jest martyngałem względem Fn .
P9.4. Niech (Wt ) będzie procesem Wienera. Jak wygląda dwuwymiarowy rozkład wektorów losowych (Wt , Ws )
i (Wt − Ws , Ws ) dla t > s?
P9.5. [System Labourchere’a] Poniżej opisany został system obstawiania w grze hazardowej. W każdym
kroku możemy z równym prawdopodobieństwem wygrać lub przegrać postawioną przez nas kwotę.
Wybieramy skończony ciąg liczb dodatnich x1 , . . . , xn . Stawiamy kwotę równą sumie pierwszej
i ostatniej liczby w ciągu. Jeśli wygramy, to skreślamy te dwie liczby; a jeśli przegramy, na końcu
naszego ciągu liczbowego dopisujemy liczbę xn+1 = x1 + xn . kończymy grę, gdy nie mamy już czego
stawiać.
Gramy wielokrotnie zgodnie z powyższą regułą. Jeśli w jakiejś chwili, ciąg liczbowy będzie zawierał tylko jeden wyraz a, to stawiamy kwotę a. Jeśli przegramy, to dopisujemy ją otrzymując ciąg
dwuwyrazowy; jeśli wygramy, to skreślamy ten wyraz kończąc grę.
Pokazać, że z prawdopodobieństwem 1, gra kończy się wygraniem sumy początkowo zapisanych na
kartce liczb.
P9.6. Gra „Teraz czerwony” może być rozgrywana przez pojedynczego gracza grającego dobrze potasowaną
talią 52 kart. W chwilach n = 1, 2, . . . , 52 kolejno odkrywamy karty z talii, aby zaobserwować ich
kolor. Dokładnie raz, w trakcie całej gry, gracz ma, tuż przed odsłonięciem wybranej karty powiedzieć
„teraz czerwone”. Gracz wygrywa, jeśli wybrana karta okaże się być czerwona. Niech Rn oznacza liczbę
czerwonych kart wśród kart jeszcze nie odsłoniętych po odsłonięciu n-tej karty z talii. Pokazać, że
Xn :=
Rn
,
52 − n
0 6 n 6 52
określa martyngał.
R9.7. Czy istnieje (X1 , X2 , X3 ) martyngał taki, że Xi przyjmuje z dodatnimi prawdopodobieństwami tylko
wartości całkowite od 0 do i? Uzasadnić odpowiedź negatywną, lub podać przykład dla pozytywnej.
Zestaw 10
P10.1. Niech Ω = {0, 1}N , Xn (ω) = ωn oraz Fn = σ(X0 , X1 , . . . , Xn ). Oznaczmy Rn = Xn − Xn−1 .
(i) Pokazać, ze Rn są adaptowane względem filtracji (Fn ).
(ii) Czy (Rn ) jest martyngałem?
(iii) Czy ciąg (Rn ) jest zbieżny? (w jakimś sensie)
(iv) Które z poniższych funkcji τi są momentami stopu?
τ1 (ω) = inf{n : ωn = 0};
τ2 (ω) = inf{n : ωn−1 = ωn+1 };
(
n jeśli ω jest n-okresowy
τ3 (ω) =
0 jeśli ω nie jest okresowy
P10.2. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, a Xn określonym na niej supermartyngałem
takim, że EXn = EXn+1 dla dowolnego n ∈ N. Pokazać, że wtedy Xn jest martyngałem.
P10.3. Niech (Ω, F, (Fn ), P ) będzie przestrzenią probabilistyczną z zadaną filtracją. Niech (Xn ) oraz (Yn )
będą martyngałami względem tej filtracji. Pokazać, że
n
X
E(Xn Yn ) − E(X0 Y0 ) =
E (Xk − Xk−1 )(Yk − Yk−1 ) .
k=1
P10.4. Niech (Ω, F, (Fn ), P ) będzie przestrzenią probabilistyczną z zadaną filtracją. Niech (Xn ) będzie
martyngałem względem tej filtracji. Pokazać, że
n
X
DXn = DX0 +
D(Xk − Xk−1 ).
k=1
P10.5. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P ) oraz filtracja (Fn )n∈N . Załóżmy, że τ1 oraz τ2 są
momentami zatrzymania względem filtracji (Fn )n∈N . Sprawdzić, czy są momentami zatrzymania
(o ile nie zostało to zrobione na wykładzie)
(i) τ1 + 1;
(ii) τ1 − 1;
(iii) τ12 ;
(iv) τ1 ∧ τ2 := min{τ1 , τ2 };
(v) τ1 ∨ τ2 := max{τ1 , τ2 };
(vi) τ1 + τ2 .
P10.6. Rzucamy kostką tak długo, aż otrzymamy wszystkie oczka. Znaleźć wartość średnią sumy wyrzuconych oczek.
R10.7. Wykazać, że jeśli (Xn )n∈N jest procesem stochastycznym i B jest zbiorem borelowskim w RN to
τ B = inf{n, Xn ∈ B} jest momentem zatrzymania.
R10.8. W grze z zadania 9.6 przyjmujemy strategię polegającą na tym, że czekamy, aż wśród nieodkrytych
kart znajdzie się co najmniej 60% kart czerwonych i wtedy stawiamy na czerwoną kartę. Jeśli taka
sytuacja nie zajdzie obstawiamy w momencie, gdy została ostatnia czerwona karta w talii. Jaka jest
szansa, że zgadniemy wypadnięcie czerwonej karty? Zastanowić się nad strategią maksymalizującą
szansę odgadnięcia czerwonej karty.
S
R10.9. Przez F∞ oznaczać będziemy σ-algebrę rozpiętą przez t∈R Ft . Niech τ oznacza moment stopu.
Definiujemy σ-algebrę Fτ jako {A ∈ F∞ : ∀t A ∩ {τ 6 t} ∈ Ft }
Pokazać, że Fτ jest σ-algebrą.
Pokazać, że moment stopu τ jest mierzalny względem Fτ .
Pokazać, że jeśli τ 6 σ (dla każdego ω), to Fτ ⊂ Fσ
Zestaw 11
P11.1. Czy istnieje martyngał (X1 , X2 ) taki, że X2 przyjmuje mniej wartości, niż X1 ? Jeśli tak, to czy istnieje
martyngał dowolnej długości, w którym zmienna o wyższym indeksie przyjmuje mniej wartości od
każdej wcześniejszej?
P11.2. Rozważmy grę w ruletkę, w której gracz stawia w każdej kolejce jednostkę na czarne lub czerwone (wg.
uznania). Jeśli obstawi właściwy wynik, wygrywa jednostkę, jeśli wypadnie inny kolor (w tym ’0’),
to traci postawioną stawkę. Który z procesów: aktualny stan konta gracza, czy stan konta kasyna
jest submartyngałem? Znaleźć dla niego rozkład Dooba.
P11.3. Załóżmy, że w powyższej grze po wypadnięciu ’0’ postawiona kwota nie przepada, ale powiększa
stawkę, o jaką gra gracz. (Czyli po wypadnięciu ’0’ gracz dodaje jednostkę do stawki, ale ewentualna
wygrana wynosi 2.) Pokazać, że żadna strategia obstawiania bazująca na wcześniejszych wynikach
nie daje lepszego wyniku, niż stawianie cały czas na ten sam kolor.
P11.4. Załóżmy, że 2 graczy gra następująco: rzucają na przemian monetą jeśli rzucający wyrzuci orła dostaje
od przeciwnika 1 PLN, jeśli reszkę, płaci 1 PLN. Jeden z graczy zaczyna z kwotą m a drugi n. Jakie
jest prawdopodobieństwo bankructwa każdego z graczy? (Proszę zastanowić się nad rozumowaniem
martyngałowym.)
R11.5. W przykładzie z ruletką (zadanie P11.2.) załóżmy, że gracz wchodzi do kasyna z kwotą x i chce grać
tak długo, aż osiągnie 3x lub zbankrutuje. Nie ma ograniczeń na stawiane kwoty. Znaleźć optymalną
strategię gry.
Zestaw 12
P12.1. Pijana małpa porusza się po wierzchołkach sześciokąta foremnego. Wiemy, że:
• małpa nie jest w stanie ustać w jednym miejscu;
• małpa lubi skakać najbardziej na punkty sąsiednie (lenistwo) albo najbardziej oddalone (skłonność do ryzyka spowodowana spożyciem środków osłabiających wolę).
Proszę napisać macierz przejścia dla małpy.
P12.2. Mrówka znajduje się w jednym z wierzchołków trójkąta (kwadratu). W każdym kroku przechodzi
na jeden z sąsiednich wierzchołków z równym prawdopodobieństwem. Znaleźć w obu przypadkach
macierz przejścia oraz jej n-tą potęgę.
P12.3. W stawku znajdują się dwa wystające kamienie, jeden duży i drugi mały. W chwili t = 0 żaba
znajduje się na małym kamieniu.
Wiemy, że po jednostce czasu żaba skacze z dużego kamienia (jeśli, rzecz oczywista siedzi właśnie
na dużym) na mały z prawdopodobieństwem 1/5 [bo na dużym jest jej wygodniej]; zaś z małego na
duży z prawdopodobieństwem 3/5.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 1; 2; 3; 4 jednostkach czasu żaba będzie się znajdować na
dużym kamieniu?
Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo, że w danej chwili t = 100 jednostek czasu, żaba będzie
siedziała na małym kamieniu?
P12.4. W wyniku ocieplenia klimatu poziom wody w stawku u żaby z poprzedniego zadania obniżył się.
W związku z tym wynurzyły się z wody trzy nowe kamienie, co zwiększyło możliwości skakania żaby.
Rozkład skakania podany jest przez macierz


0
1
0
0
0
 1/3 0 1/3 0 1/3 


 0 1/4 2/4 1/4 0 


 0
0
0
0
1 
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
P12.5.
P12.6.
P12.7.
P12.8.
Żaba zaczyna skakać z 3 kamienia. Czy ma szansę doskoczyć na każdy kamień w stawku?
Warto w tym celu narysować odpowiedni graf [o 5 wierzchołkach odpowiadających kamieniom] z kierunkami skoków żaby.
W chwili początkowej w stawku znajduje się żaba siedząca na jednym z dwóch kamieni. Na drugim
kamieniu znajduje się podziemny paskudny potwór, który jak żaba skoczy na jego kamień, to ją zjada.
Żaba skacze z równym prawdopodobieństwem na każdy z kamieni (włącznie z tym na którym
siedzi) znajdujących się w danej chwili w stawku. Po pierwszym skoku żaby ilość kamieni w stawku
w związku z suszą się zwiększa (pojawia się jeden nowy czysty kamień – bez potwora).
Odpowiedz na następujące pytania:
Czy to jest proces Markowa?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaba zostanie zjedzona przez potwora?
Oblicz oczekiwany czas życia żaby.
Pokazać, że dowolny ciąg niezależnych zmiennych losowych o wartościach w co najwyżej przeliczalnym
zbiorze S tworzy łańcuch Markowa. Przy jakich założeniach łańcuch ten jest jednorodny?
Wielokrotnie rzucamy kostką do gry. Które z poniższych ciągów zmiennych losowych są łańcuchami
Markowa? Dla tych, które są łańcuchami Markowa – napisać macierze przejścia.
a) Największy numer Xn , jaki się pojawił aż do n-tego rzutu.
b) Liczba Nn szóstek w n rzutach.
c) W chwili r, czas Cr od ostatniej szóstki.
d) W chwili r, czas Br do następnej szóstki.
e) Długość najdłuższej do chwili obecnej serii szóstek pod rząd.
Niech {Sn : n ≥ 0} będzie losowym błądzeniem po osi (tzn. dla dowolnego n ≥ 0: Sn+1 − Sn = 1
z prawdopodobieństwem p ∈ (0, 1) oraz Sn+1 − Sn = −1 z prawdopodobieństwem q = 1 − p). Niech
S0 = 0. Pokazać, że Xn = |Sn | jest łańcuchem Markowa: znaleźć jego macierz przejścia. Niech
Mn = max{Sk : 0 6 k 6 n}.
Pokazać, że Yn = Mn − Sn jest łańcuchem Markowa.
Zestaw 13
P13.1. Niech X będzie łańcuchem Markowa. Które z poniższych ciągów są łańcuchami Markowa?
(i) Xm+r dla r ≥ 0;
(ii) X2m dla m ≥ 0;
(iii) ciąg par (Xn , Xn+1 ) dla n ≥ 0.
P13.2. Niech X będzie łańcuchem Markowa. Pokazać, że dla dowolnych 1 < r < n
P (Xr = k | Xi = xi dla i = 1, 2, . . . , r − 1, r + 1, . . . , n) = P (Xr = k | Xr−1 = xr−1 , Xr+1 = xr+1 )
P13.3. Niech {Xn ], : n ≥ 1} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
i wartościach w zbiorze liczb całkowitych. Niech
Sn =
n
X
Xr ,
S0 = 0;
r=1
Yn = Xn − Xn−1 przy czym X0 = 0; natomiast
Zn =
n
X
Sr .
r=0
Czy (i) Sn (ii) Yn (iii) Zn (iv) pary (Sn , Zn ) tworzą łańcuchy Markowa?
P13.4. Sklasyfikować stany jednorodnego łańcucha Markowa o stanach {1, 2, 3, 4, 5} i macierzy przejścia


1/4 1/4 1/2 0
0
 3/4 1/4 0
0
0 



0
0 
P =  1/2 1/2 0

 0
0 1/4 1/2 1/4 
0
0
0 1/2 1/2
Odpowiedź uzasadnić. Obliczyć średnie czasy powrotu dla wszystkich stanów. Jeśli można, znaleźć
rozkład stacjonarny.
P13.5. Niech X będzie łańcuchem Markowa na {0, 1, 2, . . .} takim, że jego macierz przejścia spełnia warunki:
p0j = aj > 0 dla j ≥ 0; pii = r ∈ (0, 1) oraz pi,i−1 = 1 − r dla i ≥ 1. Sklasyfikować stany tej macierzy,
policzyć jej średnie czasy powrotu.
P13.6. N kul czarnych i N kul białych znajduje się w dwóch urnach tak, że każda z urn zawiera N kul.
W każdym kroku po jednej kuli z każdej urny zostaje wylosowanych, a wylosowane kule zostają
między sobą wymienione. Niech liczba kul czarnych w pierwszej urnie opisuje stan układu. Zapisać
macierz przejścia łańcucha Markowa i znaleźć jedyny rozkład stacjonarny.
Zestaw 14
P14.1. Znaleźć macierz przejścia w n krokach dla macierzy przejścia


0 1/2 1/2
 1/3 1/4 5/12 
2/3 1/4 1/12
P14.2. Dla poniższej macierzy znaleźć stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa.


0
p
0
1−p
 1−p
0
p
0 


 0
1−p
0
p 
p
0
1−p
0
P14.3. Prawdopodobieństwa przejścia dla jednorodnego łańcucha Markowa o zbiorze stanów S = {0, 1, 2, . . .}
n+1
1
, pn,n+1 = n+2
. Określić czy stany są okresowe, czy nie? Określić czy
dane są wzorami pn0 = n+2
stany są powracające zerowe, niezerowe czy przechodnie? Jeśli można znaleźć rozkład stacjonarny.
P14.4. Cząstka błądzi losowo po wierzchołkach sześcianu. W każdym kroku zostaje w danym wierzchołku
z prawdopodobieństwem 14 , lub przechodzi do któregoś z sąsiednich z prawdopodobieństwem 14 . Niech
v i w będą dwoma ustalonymi wierzchołkami sześcianu leżącymi na tej samej przekątnej tego sześcianu.
Jeśli błądzenie rozpoczyna się w wierzchołku v, znaleźć:
(i) średni numer kroków do pierwszego powrotu do v;
(ii) średni numer kroków do pierwszego osiągnięcia w;
(iii) średnią liczbę wizyt w w przed pierwszym powrotem do v.