bc akustyczna

01-12-00
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\fale_w_gazie.doc
“Drgania i fale” II rok Fizyki BC
Fale sprężyste w gazie
- zmiany ciśnienia → zmiany gęstości (bo ściśliwe)
p0 , ρ 0
- ciśnienie i gęstość w równowadze.
p0 , ρ 0 ≠ f ( x )
W równowadze masa w
Po zaburzeniu
A − A' :
ρ 0 Adx
ρA(dx + dξ )
p:
Z zachowania masy (ściśliwość- ρ0 → ρ):
ρA(dx + dξ ) = ρ 0 Adx
ß
æ ∂ξ ö
ρ ç1 + ÷ = ρ 0
è ∂x ø
ß
ρ=
ρ0
∂ξ
1+
∂x
1
01-12-00
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\fale_w_gazie.doc
“Drgania i fale” II rok Fizyki BC
Niech
∂ξ
<< 1
∂x
−1
∂ξ
æ ∂ξ ö
1
1
≅
−
+
ç
÷
x
∂x
∂
è
ø
æ ∂ξ ö
ρ = ρ 0 ç1 − ÷
∂x ø
è
ß
∂ξ
ρ − ρ 0 = − ρ 0 æç ö÷
è ∂x ø
Z równania stanu:
Rozwijam
p
p = f (ρ )
w pobliżu
p0 :
2
æ dp ö 1
2æ d p ö
p = p0 + ( ρ − ρ 0 )ç ÷ + ( ρ − ρ 0 ) çç 2 ÷÷
è dρ ø 2
è dρ ø
Dla małych zmian gęstości:
æ dp ö
p ≈ p0 + ( ρ − ρ 0 )ç ÷
è dρ ø
æ dp ö
κ ≡ ρ0 ç ÷
è dρ ø
- moduł sprężystości objętościowej
[κ]=1Nm-2
æ ρ − ρ0 ö
÷÷
p = p0 + κ çç
è ρ0 ø
- odpowiednik prawa Hooke’a dla płynów.
2
01-12-00
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\fale_w_gazie.doc
“Drgania i fale” II rok Fizyki BC
Było
∂ξ
ρ − ρ 0 = − ρ 0 æç ö÷
è ∂x ø
æ ρ − ρ0 ö
÷÷
p = p0 + κ çç
è ρ0 ø
ß
p = p0 − κ
∂ξ
∂x
- związek między ciśnieniem w dowolnym punkcie w
gazie i deformacją w tym punkcie.
Równanie ruchu:
Masa elementu objętości:
Przyspieszenie:
ρ 0 Adx
∂ 2ξ
∂t 2
Wypadkowa siła w kierunku
( p − p′) A = − Adp
x:
(dp = p′ − p )
∂ 2ξ
− Adp = ( ρ 0 Adx ) 2
∂t
∂p
∂ 2ξ
= −ρ0 2
∂x
∂t
– związek dwu pól: pola przemieszczeń i pola ciśnień.
3
01-12-00
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\fale_w_gazie.doc
“Drgania i fale” II rok Fizyki BC
Było
p = p0 − κ
∂ξ
∂x
∂p
∂ 2ξ
= −κ 2
∂x
∂x
∂ 2ξ κ ∂ 2ξ
=
2
ρ 0 ∂x 2
∂t
równanie falowe
↑ fala przemieszczeń
c=
κ
ρ0
∂2 p κ ∂2 p
=
2
ρ 0 ∂x 2
∂t
fala ciśnienia (skalarna)
Analogicznie:
∂2ρ κ ∂2ρ
=
2
ρ 0 ∂x 2
∂t
fala gęstości
Jeśli adiabatycznie (bez przepływu ciepła z obszarów
ściśniętych do rozrzedzonych:)
ü
ï
p = Cρ γ
ï
ïï
dp
γ −1
= γ Cρ
ý
dρ
ï
ï
æ dp ö
γ
κ = ρ 0 ç ÷ = γ Cρ 0 = γp0 ï
ïþ
è dρ ø 0
4
c= γ
p
ρ
(γ~1.40)
01-12-00
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\fale_w_gazie.doc
“Drgania i fale” II rok Fizyki BC
ρ=
pV = NRT ,
p NRT RT
=
=
ρ
m
M
c= γ
m
V
(M – masa molowa)
RT
=α T
M
c ≠ f ( p );
c ∞ T1 2
Dla dźwięku w powietrzu
α= γ
(0°C ): 331,45 m s
R
= 20,055
M
υ = 20,055 T m s
Ciśnienie akustyczne:
Ψ p ≡ p − p0 ;
p 0 ≠ f ( x, t ) )
∂Ψ p
∂t 2
2
κ ∂ Ψp
=
ρ 0 ∂z 2
- fala ciśnienia akustycznego.
æ ∂ξ ö
Ψ p = −κ ç ÷
è ∂x ø
Ψp =
κ æ ∂ξ ö
ç ÷
c è ∂t ø
- wychylenie w przestrzeni
- wychylenie w czasie
5
01-12-00
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\fale_w_gazie.doc
“Drgania i fale” II rok Fizyki BC
Wzrost ciśnienia
Ψp
daje siła
Ψp ⋅ a
Þ impedancja charakterystyczna:
F = a ⋅ Ψp ; F = a ⋅ c ⋅ ρ
∂ξ
∂t
ß
Z0 = a ⋅ c ⋅ ρ
(charakteryzuje kolumnę o przekroju
a)
Impedancja akustyczna (opór falowy):
Zs =
Z 0 γp
= = c⋅ρ
a
c
- charakteryzuje ośrodek.
Impedancja akustyczna właściwa powietrza
Z s ≅ 400 kg m 2 s , wody 1,4 ⋅10 6 kg m 2 s .
Dla fali o tej samej częstości i amplitudzie ciśnienie
akustyczne w wodzie jest 3500 razy większe niż w
powietrzu.
Natężenie fali:
æ a2 ö 2
æ a2 ö 2
P( z , t ) = ±çç ÷÷Ψ p = ±çç ÷÷Ψ p
è Z0 ø
è ZA ø
Moc na jednostkę powierzchni:
Ψ p2
P( z , t )
=±
a
ZA
I ( z, t ) =
6
Ψ p20
2Z A
01-12-00
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\fale_w_gazie.doc
“Drgania i fale” II rok Fizyki BC
Akustyczna fala stojąca:
Dla fali stojącej było ( z
=0
- zamocowanie):
Ψ = A sin kz cos(ω t + ϕ )
Dla fali akustycznej:
Ψp =
1 ∂Ψ
κ ∂z
æ kA ö
Ψ p = −ç ÷ cos kz cos(ω t + ϕ ) = − Ap cos kz cos(ω t + ϕ )
èκ ø
Ap ≡
kA
κ
Maksima
Ψ p przesunięte w stosunku do maksimów Ψ
o
π 2.
Zamknięty koniec piszczałki → węzeł wychylenia,
strzałka ciśnienia.
Otwarty koniec piszczałki → węzeł ciśnienia (ciśnienie
zewnętrzne stałe), strzałka wychylenia
Rozkład ciśnień jak dla struny, ale węzły ciśnienia przy
otwartym końcu (trochę ponad), strzałki ciśnienia - przy
zamkniętym.
Dla piszczałki obustronnie otwartej:
7
01-12-00
G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\fale_w_gazie.doc
“Drgania i fale” II rok Fizyki BC
ν=
c
2( L + d )
d~r (promień piszczałki)
8