szacowanie niepewności pomiaru metodą propagacji rozkładów

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ
PROPAGACJI ROZKŁADÓW
Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT
ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH
INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI
ul. Pożaryskiego 28, 04-703 Warszawa
tel. (022) 812-24-32 fax 615-75-35
e-mail. [email protected]
Streszczenie
Wyznaczanie niepewności pomiaru jest konieczną częścią każdej
procedury pomiarowej. W referacie omówiono klasyczne metody
wyznaczania niepewności pomiaru oraz przedstawiono inne podejście
bazujące na bezpośrednim zastosowaniu prawa propagacji funkcji
rozkładów gęstości prawdopodobieństwa. Metoda ta jest złożona lecz
nie wymaga wprowadzania uproszczeń na etapie obliczeniowym.
Zastosowanie metod numerycznych do wyznaczania rozkładu gęstości
prawdopodobieństwa wielkości wyjściowej przy określonych
rozkładach wielkości wejściowych i podanym modelu pomiaru
prowadzi do uniwersalnych modułów oprogramowania, które mogą
być stosowane w procedurach laboratoryjnych
Słowa kluczowe: niepewność pomiaru, prawo propagacji rozkładów,
badania nieniszczące.
1. WPROWADZENIE
Wprowadzenie jednolitej kodyfikacji szacowania niepewności pomiaru zgodnie z
modelem probabilistycznych spowodowało rozwój praktycznych metod obliczania
niepewności pomiaru jako parametru rozkładu gęstości prawdopodobieństwa przypisanego
wyjściowej wielkości mierzonej. Kryterium wyboru metody obliczania niepewności pomiaru
stanowi postać modelu pomiaru. Dla liniowego modelu pomiaru stosuje się prawo propagacji
niepewności. Natomiast dla dowolnej nieliniowej funkcji pomiaru stosuje się prawo
propagacji rozkładów. W Instytucie Elektrotechniki został opracowany pakiet programów do
wspomagania pracy w laboratoriach. W ramach pakietu znajduje się program do
wyznaczania niepewności pomiaru metodą propagacji rozkładów. Program pozwala na
1
rozwiązanie wielu problemów w procesie szacowania niepewności pomiarów i metod
badawczych.
2. PROBLEMY SZACOWANIA NIEPEWNOŚCI POMIARU
Szacowanie niepewności pomiarów złożonych związane jest z problemami, które
można zaliczyć do jednej z trzech klas. Pierwszą klasę stanowią zadania pomiarowe, dla
których wymagane jest podejście ogólne. Model pomiaru wynika z analizy metrologicznej
zjawisk i procesu pomiarowego. Wielkość wyjściowa jest związana zależnością z
wielkościami wejściowymi. Zależność ta może mieć charakter funkcji analitycznej lub
surowej zależności eksperymentalnej w postaci tabeli. Drugą klasę stanowią te problemy, dla
których można zastosować aproksymację równania pomiaru pierwszym wyrazem rozwinięcia
w szereg Taylora. W trzeciej grupie znajdują się problemy, dla których nie można wcześniej
przesądzić, jakie podejście prowadzi do wystarczająco dokładnego oszacowania. Zgodnie z
powyższym skodyfikowano opisane podejścia, zalecane do oceny niepewności pomiaru.
Pierwsze podejście to zastosowanie metod analitycznych przekształcania funkcji rozkładów
gęstości prawdopodobieństwa. Metody analityczne nie wprowadzają żadnych przybliżeń na
etapie obliczeniowym. Niedokładności powstają na etapie przypisywania wejściowym
zmiennym losowym rozkładów gęstości prawdopodobieństwa. Zastosowanie metod
analitycznych prowadzi do skomplikowanych przekształceń funkcji rozkładów gęstości
prawdopodobieństwa. Metody analityczne są stosowane na etapie analizy zjawisk i syntezy
modelu. W praktyce pomiarowej mogą być stosowane jedynie w najprostszych przypadkach.
Drugie podejście polega na zastąpieniu modelu pomiaru przez aproksymację pierwszym
wyrazem rozwinięcia w szereg Taylora. Stosując to podejście uzyskuje się dobre wyniki dla
liniowego lub linearyzowanego modelu pomiaru oraz dla normalnych rozkładów gęstości
prawdopodobieństwa wielkości wejściowych. Trzecie podejście jest rozszerzeniem
poprzedniego. Model pomiaru aproksymuje się rozwinięciem w szereg Taylora z wyrazami
wyższych stopni. Prowadzi to dość skomplikowanych zależności i w praktyce stosuje się
najwyżej dwa wyrazy. Następne podejście bazujące na prawie propagacji rozkładów polega
na
zastosowaniu
metod
numerycznych
do
wyznaczania
rozkładu
gęstości
prawdopodobieństwa wielkości wyjściowej przy określonych rozkładach wielkości
wejściowych i podanym modelu pomiaru.
2
Model pomiaru wielkości fizycznej określa wielkość mierzoną, wielkości wpływające oraz
wielkości zakłócające. Wielkość wyjściowa i wielkości wejściowe powiązane są analityczną
zależnością funkcyjną:
Y = f (X )
(1)
Argumentem powyższej funkcji jest wektor, którego składowe są niezależnymi zmiennymi
losowymi:
X = ( X 1 , X 2 ,..., X n ) T
(2)
Ze zmiennymi losowymi wejściowymi związane są rozkłady gęstości prawdopodobieństwa
otrzymane na drodze eksperymentu lub przyjęte arbitralnie. W obu przypadkach rozkłady
gęstości prawdopodobieństwa opisują zjawiska losowe w sposób przybliżony. Przyjęte przez
organizacje międzynarodowe zasady wyznaczania niepewności dopuszczają stosowanie
dwóch sposobów. Pierwszy nazywany prawem propagacji niepewności posługuje się
parametrami rozkładów wielkości wejściowych do wyznaczenia niepewności rozszerzonej
wielkości wyjściowej. Drugi sposób określany jako prawo propagacji rozkładów gęstości
prawdopodobieństwa przekształca funkcje rozkładów gęstości wejściowych.
3. PRAWO PROPAGACJI NIEPEWNOŚCI
Niepewność złożona wyniku pomiaru wielkości fizycznej, zgodnie z ogólnymi zasadami,
szacowana jest w następujących etapach:
-
określenie zasady pomiarowej, wielkości mierzonej i wielkości wpływających,
-
identyfikacja źródeł niepewności,
-
przyjęcie typów rozkładów gęstości prawdopodobieństwa dla wielkości
wejściowych,
-
estymacja odchyleń standardowych,
-
wyznaczenie współczynników wrażliwości,
-
zestawienie budżetu niepewności,
-
obliczenie wartości złożonej niepewności standardowej
-
obliczanie niepewności rozszerzonej.
Wynik pomiaru składa się z wartość mierzonej wielkości fizycznej oraz niepewności
rozszerzonej pomiaru. Te dwie wartości określają przedział ufności.
3
Rys. 1. Ilustracja prawa propagacji niepewności.
Prawo
przenoszenia
niepewności
określa
związek
niepewności
wyjściowych
z
niepewnościami wielkości wejściowych. Wielkościami wejściowymi są wielkości mierzone,
wielkości wpływające występujące w modelu pomiaru oraz wielkości zakłócające. Złożona
niepewność standardowa zgodnie z prawem propagacji niepewności:
⎛ ∂f
u ( y ) = ∑ ⎜⎜
1 ⎝ ∂x i
N
2
⎞ 2
⎟⎟ u ( xi )
⎠
ci =
∂f
∂xi
(3)
u(y) - złożona niepewność standardowa wielkości wyjściowej,
u(xi ) - złożona niepewność standardowa wielkości wejściowej,
ci
- wrażliwość wyjścia na wejście i.
Wrażliwość wyjścia na określone wejście przy funkcji pomiaru danej w postaci analitycznej
wyznacza się jako pochodną cząstkową. W innych przypadkach należy stosować metody
symulacyjne lub eksperymentalne. Niepewność złożona wyznaczana zgodnie z prawem
propagacji łączona jest z niepewnością metody oraz niepewnościami arbitralnie
wprowadzanymi przez badacza. Budżet niepewności jest zestawieniem tabelarycznym
podstawowych informacji, które są konieczne do wyliczenia niepewności pomiaru i
dokumentowania jej zgodnie z obowiązującymi normami. Wejściowe niepewności
standardowe są szacowane metodą A i B. Istotnym elementem budżetu jest typ rozkładu
gęstości, gdyż przyjmowanie bez analizy probabilistycznej typu rozkładu może prowadzić do
błędnego oszacowania przedziału ufności. W przypadku prostych zależności funkcyjnych
współczynniki wrażliwości można wyznaczyć analitycznie. Problemy pojawiają się w
przypadku braku postaci analitycznej lub postać funkcyjna jest trudna do analizy.
4
4. PRAWO PROPAGACJI ROZKŁADÓW
Prawo propagacji rozkładów gęstości prawdopodobieństwa jest uogólnieniem prawa
propagacji niepewności i określa zasadę przekształcania rozkładów wejściowych w rozkład
wyjściowy. Wielkości wejściowe opisane są funkcjami gęstości prawdopodobieństwa:
g (ξ ) = ( g1 (ξ1 ), g 2 (ξ 2 ),..., g n (ξ n ) T
(4)
Rozkłady wielkości wejściowych są częścią modelu pomiaru. Przyjęcie wybranego typu
rozkładu powinno być uzasadnione badaniami statystycznymi lub analizą zjawisk. Zaleca się
przyjmowanie rozkładu normalnego, gdy występuje kilka wielkości wejściowych o
zbliżonych wartościach rozrzutu. Rozkład równomierny jest dobrym modelem wielkości
fizycznej, która zmienia się w znanych granicach.
Rys. 2. Ilustracja prawa propagacji rozkładów.
Wielkość wyjściowa opisana jest wynikową funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Jeśli
funkcja modelująca pomiar jest nieliniowa to wyjściowa funkcja rozkładu może wykazywać
asymetrię. W ogólnym przypadku wykorzystanie prawa propagacji rozkładów do
przekształcenia funkcji rozkładów gęstości prawdopodobieństwa wielkości wejściowych
prowadzi do trudności analitycznych. Dobrym rozwiązaniem okazało się zastosowanie
numerycznych metod symulacyjnych i metod Monte Carlo. Metoda symulacyjna korzysta
bezpośrednio z prawa propagacji rozkładów gęstości prawdopodobieństwa. Algorytm
numerycznego wyznaczania niepewności działa w następujących krokach:
-
wprowadzenie funkcji modelującej pomiar,
-
określenie typów rozkładów dla każdego z wejść,
-
podanie wartości parametrów rozkładów,
-
wybór parametrów symulacji,
-
wyznaczenie wyjściowego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa,
5
-
określenie wartości wielkości wyjściowej,
-
określenie niepewności rozszerzonej pomiaru złożonego,
Proces obliczeniowy przebiega zgodnie z ustawionymi przez obsługę parametrami
pomocniczymi.
W
wyniku
działania
algorytmu
otrzymuje
się
rozkład
gęstości
prawdopodobieństwa, przedział ufności dla podanego poziomu ufności oraz pełną
dokumentację graficzną w postaci raportu. Proces można powtarzać przy dobieranych
parametrach.
5. UWAGI KOŃCOWE
Bezpośrednie
zastosowanie
prawa
propagacji
funkcji
gęstości
rozkładów
prawdopodobieństwa prowadzi do algorytmów symulacyjnych, które w formie programów
mogą być wykorzystane w praktyce laboratoryjnej. Oprogramowanie pozwala na
wyznaczenie rozkładów z dowolną wymaganą dokładnością. Algorytmy wyznaczania
niepewności mogą być zintegrowane z oprogramowaniem pomiarowym i raportującym. Czas
obliczeń automatycznych jest krótki, wyniki mogą być archiwizowane. Program można
wykorzystywać także do eksperymentów związanych z walidacją metod pomiarowych
metodami statystycznymi. W postaci uproszczonej otrzymuje się rozkład eksperymentalny
bez przybliżonej postaci analitycznej. W wersji rozszerzonej możliwe jest przybliżanie
danych wyjściowych funkcjami analitycznymi. Opracowane oprogramowanie pozwala na
skuteczne obliczanie niepewności zgodnie z modelem probabilistycznym bez konieczności
analizy funkcji pomiaru i bez wyznaczania współczynników wrażliwości. Algorytmy
implementowane w rozszerzonej wersji pozwalają na wspomaganie walidacji metod
badawczych. W badaniach nieniszczących występuje problem konfrontowania wyników
pomiarów tej samej cechy różnymi metodami. Każda z metod dostarcza wyniku opisanego
innym rozkładem. Opisana powyżej metoda postępowania może być zastosowana w takim
przypadku.
LITERATURA
1. Biernat K, Wójtowicz S.: Wyznaczanie niepewności pomiarów złożonych metodą
symulacyjną. 34 KKBN, Zakopane 2005.
2. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, Supplement 1, Numerical
Methods for the Propagation of Distributions, 2004.
3. Wójtowicz S., Biernat K., Cichecki A.: Szacowanie niepewności pomiaru metodą
symulacyjną. 33 KKBN, Poznań-Licheń 2004.
4. Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. Główny Urząd Miar, Warszawa 1995.
6