Inkluzje różniczkowe

Transkrypt

Wojciech Kryszewski
Wykład monograficzny
Wydział Matematyki i Informatyki UMK
Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej PŁ
Toruń/Łódź 2014
ISBN xxxx
c Copyright by Wojciech Kryszewski – 2014
Skład komputerowy LATEX w wykonaniu autora
i
SPIS TREŚCI
Spis treści
1 Odwzorowania wielowartościowe
1.1 Pojęcia i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ciągłość odwzorowań wielowartościowych . . . . .
1.3 Metryka Hausdorffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Operacje na odwzorowaniach wielowartościowych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
3
8
13
18
2 Istnienie selekcji i aproksymacji wykresowych
2.1 Twierdzenie Michaela o selekcji . . . . . . . . . . .
2.1.A Informacja o twierdzeniu Fryszkowskiego
2.2 ε-selekcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Aproksymacje wykresowe . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
23
25
26
28
3 Mierzalność odwzorowań wielowartościowych
3.1 Mierzalność i osłabiona mierzalność . . . . . . . . . .
3.2 Mierzalne selekcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Operacje na odwzorowaniach mierzalnych . . . . . .
3.4 Silna mierzalność odwzorowań wielowartościowych
3.5 Odwzorowania wielowartościowe Carathéodory’ego
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
32
36
37
39
42
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
wartościach
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
45
49
53
53
58
64
5 Inkluzje różniczkowe
5.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.A Operator Niemyckiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
67
.
.
.
.
4 Całka Bochnera i dodatkowe informacje
4.1 Mierzalność, silna mierzalność i całka Bochnera . . . . . . . .
4.2 Absolutna ciągłość i przestrzenie Sobolewa . . . . . . . . . . . .
4.2.A Pochodne dystrybucyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Zwartość w przestrzeniach funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Odwzorowania wielowartościowe o wypukłych i domkniętych
4.5 Nierówność Gronwalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdział
1
Odwzorowania wielowartościowe
1.1
Pojęcia i oznaczenia
Niech X będzie zbiorem niepustym. Symbolem P(X) oznaczamy rodzinę wszystkich niepustych podzbiorów X. Dodatkowo niech P0 (X) := P(X) ∪ {∅}.
Niech Y będzie zbiorem niepustym. Odwzorowaniem wielowartościowym określonym na
X o wartościach w Y nazywamy dowolną funkcję φ : X → P(Y ); tak więc, każdemu x ∈
X, odpowiada dokładnie jeden element φ(x) ∈ P(Y ), tzn. niepusty podzbiór φ(x) zbioru Y ,
nazywany wartością φ w punkcie x ∈ X. Piszemy też X 3 x 7Ï φ(x) ∈ P(Y ) lub X 3 x 7Ï
φ(x) ⊂ Y .
1.1.1 UWAGA: (1) W dalszym ciągu piszemy też φ : X ( Y , lecz zwykle wiąże się to z założeniem, że Y jest przestrzenią topologiczną, a wartości φ są zbiorami domkniętymi (lub nawet
zwartymi).
(2) Oczywiście każde odwzorowanie f : X → Y (X 3 x 7Ï f(x) ∈ Y ) można uważać za
odwzorowanie wielowartościowe X 3 x 7Ï {f(x)}. Zatem odwzorowanie wielowartościowe są
naturalnym uogólnieniem zwykłych (tzw. jednowartościowych) odwzorowań.
(3) Z formalnego punktu widzenia, odwzorowanie wielowartościowe φ : X → P(Y ) jest
relacją w X × P(Y ), tzn.
φ = {(x, Z) | x ∈ X, ∅ =
6 Z ⊂ Y } ⊂ X × P(Y ),
taką, że dla dowolnego x ∈ X istnieje dokładnie jeden zbiór Z ⊂ Y , Z 6= ∅, taki, że (x, Z) ∈ φ i
wtedy piszemy φ(x) := Z. Jednak wygodniej jest utożsamiać odwzorowanie φ ze zbiorem
Gr (φ) := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ φ(x)},
który nazywa się wykresem odwzorowania φ. Ze względów tradycji (oraz w skutek, w zasadzie
formalnych, różnic) pojęcia te rozróżnia się.
Niech A ⊂ X. Obrazem zbioru A poprzez odwzorowanie φ : X → P(Y ) nazywamy zbiór
[
φ(x).
φ(A) := {y ∈ Y | ∃ x ∈ A y ∈ φ(x)} =
x∈A
Jeżeli B ⊂ Y , to dużym przeciwobrazem zbioru B poprzez odwzorowanie φ nazywamy zbiór
φ−1 (B) := {x ∈ X | φ(x) ∩ B 6= ∅};
2
1. ODWZOROWANIA WIELOWARTOŚCIOWE
natomiast małym przeciwobrazem zbioru B poprzez φ nazywamy zbiór
φ+1 (B) := {x ∈ X | φ(x) ⊂ B}.
Jest jasne, że φ+1 (B) ⊂ φ−1 (B). Uzasadnia to przyjętą terminologię. Zauważmy, że jeśli f : X → Y
jest zwykłym (jednowartościowym) odwzorowaniem, to pojęcia małego i dużego przeciwobrazu
pokrywają się: zbiór f +1 (B) = f −1 (B) jest zwykłym przeciwobrazem zbioru B poprzez f.
Niekiedy wygodnie jest zdefiniować odwzorowanie odwrotne φ−1 : φ(X) → P(X) wzorem
∀ y ∈ φ(X) φ−1 (y) := φ−1 ({y}) = {x ∈ X | y ∈ φ(x)}.
Łatwo sprawdzić, że jest to poprawna definicja, tzn. dla dowolnego y ∈ φ(X), φ−1 (y) 6= ∅.
Czytelnik bez trudu udowodni następujące stwierdzenie:
1.1.2 FAKT: Obrazy oraz przeciwobrazy poprzez φ mają następujące własności: jeśli A, Ai , A1 , A2 ⊂
X oraz B, Bi , B1 , B2 ⊂ Y dla i ∈ I, to
S
S
(1) φ( i∈I Ai ) = i∈I φ(Ai );
(2) φ(A1 ∩ A2 ) ⊂ φ(A1 ) ∩ φ(A2 );
(3) φ(X \ A) ⊃ φ(X) \ φ(A);
(4) jeśli A1 ⊂ A2 , to φ(A1 ) ⊂ φ(A2 ); jeśli B1 ⊂ B2 , to φ±1 (B1 ) ⊂ φ±1 (B2 );
S
S
(5) φ−1 ( i∈I Bi ) = i∈I φ−1 (Bi );
T
T
(6) φ−1 ( i∈I Bi ) ⊂ i∈I φ−1 (Bi );
(7) φ+1 (B1 ∪ B2 ) ⊃ φ+1 (B1 ) ∪ φ+1 (B2 );
T
T
(8) φ+1 ( i∈I Bi ) = i∈I φ+1 (Bi );
(9) A ⊂ φ+1 (φ(A)) ⊂ φ−1 (φ(A));
(10) B ⊂ φ(φ−1 (B));
(11) φ(φ+1 (B)) ⊂ B;
(12) (φ−1 )−1 (A) = φ(A);
(13) φ+1 (Y \ B) = X \ φ−1 (B) oraz φ−1 (Y \ B) = X \ φ+1 (B).
Niech Z będzie niepustym zbiorem oraz ψ : Y → P(Z) odwzorowaniem wielowartościowym. Złożeniem odwzorowań φ oraz ψ nazywamy odwzorowanie ψ ◦ φ : X → P(Z) dane
wzorem
∀ x ∈ X ψ ◦ φ(x) := ψ(φ(x)).
W szczególności zdefiniowane jest obcięcie: jeśli A ⊂ X oraz iA : A → X oznacza włożenie
iA (a) = a dla a ∈ A, to φ|A := φ ◦ iA . Łatwo spostrzec, że (φ|A)(a) = φ(a) dla dowolnego a ∈ A.
Jeśli φ : X → P(Y ), φ0 : X 0 → P(Y 0 ), to definiujemy φ × φ0 : X × X 0 → P(Y × Y 0 ) wzorem
(φ × φ0 )(x, x 0 ) = φ(x) × φ0 (x 0 ) dla (x, x 0 ) ∈ X × X 0 .
1.1.1 ĆWICZENIE. Udowodnić, że Gr (ψ ◦ φ) = (φ × idZ )−1 (Gr (ψ)) = (idX × ψ)(Gr (φ)) gdzie idZ
(odp. idX ) oznacza identyczność na Z (odp. X).
Łatwo dowieść, że jeśli C ⊂ Z, to
(ψ ◦ φ)−1 (C) = φ−1 (ψ −1 (C)) oraz (ψ ◦ φ)+1 (C) = φ+1 (ψ +1 (C)).
1.2. CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ WIELOWARTOŚCIOWYCH
1.2
3
Ciągłość odwzorowań wielowartościowych
Załóżmy, że X, Y są przestrzeniami metrycznymi (lub, ogólniej, przestrzeniami topologicznymi
Hausdorffa (1 )). Powiemy, że odwzorowanie wielowartościowe φ : X → P(Y ) jest górnie półciągłe w punkcie x0 ∈ X jeśli, dla dowolnego zbioru otwartego V ⊂ Y takiego, że φ(x0 ) ⊂ V ,
istnieje δ > 0 taka, że jeśli x ∈ X oraz d(x, x0 ) < δ, to φ(x) ⊂ V .
Mówimy, że φ jest górnie półciągłe w zbiorze A ⊆ X jeśli jest górnie półciągłe w każdym punkcie zbioru A. Mówimy, że φ jest górnie półciągłe jeśli jest górnie półciągłe w całej
przestrzeni X.
Własność górnej półciągłości oznacza się też usc.
1.2.1 FAKT: (1) Odwzorowanie φ jest usc w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego
otoczenia V zbioru φ(x0 ), φ+1 (V ) jest otoczeniem punktu x0 (2 ).
(2) Odwzorowanie φ jest usc wtedy i tylko wtedy gdy, dla dowolnego otwartego V ⊂ Y ,
+1
φ (V ) jest zbiorem otwartym.
(3) Odwzorowanie jest usc wtedy i tylko wtedy gdy, dla dowolnego domkniętego C ⊂ Y ,
−1
φ (C) jest domknięty.
(4) Złożenie odwzorowań usc jest odwzorowaniem usc.
1.2.1 ĆWICZENIE: Dowód jest łatwy i pozostawia się go jako ćwiczenie.
Powiadamy, że odwzorowanie φ jest dolnie półciągłe w punkcie x0 ∈ X jeśli, dla dowolnego zbioru otwartego V ⊂ Y takiego, że V ∩ φ(x0 ) 6= ∅ istnieje δ > 0 taka, że jeśli x ∈ X oraz
d(x, x0 ) < δ, to φ(x) ∩ V 6= ∅.
Mówimy, że odwzorowanie jest dolnie półciągłe w zbiorze A ⊆ X jeżeli jest dolnie półciągłe w każdym punkcie zbioru A; jest ono dolnie półciągłe, gdy jest dolnie półciągłe w całej
przestrzeni X.
Własność dolnej półciągłości oznacza się też skrótem lsc.
1.2.2 FAKT: (1) Odwzorowanie φ jest lsc w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego
zbioru otwartego V ⊂ Y takiego, że V ∩ φ(x0 ) 6= ∅, φ−1 (V ) jest otoczeniem punktu x0 .
(2) Odwzorowanie φ jest lsc wtedy i tylko wtedy gdy, dla dowolnego zbioru otwartego
V ⊂ Y , φ−1 (V ) jest zbiorem otwartym.
(3) Odwzorowanie φ jest lsc wtedy i tylko wtedy gdy, dla dowolnego zbioru domkniętego
C ⊂ Y , φ+1 (C) jest zbiorem domkniętym.
(4) Złożenie odwzorowań lsc jest odwzorowaniem lsc.
Dowód tego faktu jest łatwy i pozostawia się go jako ćwiczenie.
Pomiędzy pojęciami usc i lsc na ogół nie ma związku. Łatwo podać przykłady odwzorowań,
które są lsc ale nie usc oraz takich, które są usc, lecz nie są lsc.
1.2.3 PRZYKŁAD: Niech J ⊂ R oraz niech φ : R → P(R) będzie dane wzorem
{0},
gdy x ∈ R \ J
φ(x) =
[−1, 1], gdy x ∈ J.
1
W takiej sytuacji poniżej wymienione fakty i stwierdzenia wymagają uwagi. Często dla ich prawdziwości potrzebne są dodatkowe założenia dotyczące określonych aksjomatów oddzielania; na ogół chodzi o to, że rozważane
przestrzenie muszą być dodatkowo regularne lub normalne.
2
Przypomnijmy, że otoczeniem zbioru A w przestrzeni metrycznej X nazywa się dowolny zbiór U ⊂ X taki, że
A ⊂ int U.
4
Jeśli J = [a, b], to φ jest odwzorowaniem usc; gdy J = [(a, b), to φ jest lsc. Jeżeli zaś np. J = [a, b),
to φ nie jest półciągłe ani z góry ani z dołu.
1.2.4 PRZYKŁAD. Niech f, g : X → [−∞, +∞] będą funkcjami półciągłymi z góry i z dołu,
odpowiednio, takimi, że f(x) ≤ g(x) dla wszystkich x ∈ X. Niech φ : X → P(R) dane będzie
wzorem φ(x) = [f(x), g(x)]. Wtedy φ jest lsc. Istotnie weźmy zbiór otwarty V ⊂ R i załóżmy, że
x ∈ φ−1 (V ). Zatem istnieje y ∈ φ(x) ∩ V . Weźmy ε > 0 takie,że (y − ε, y + ε) ⊂ V . Oczywiście
y − ε < y ≤ g(x) oraz f(x) ≤ y < y + ε. Wtedy mamy δ > 0 takie,że jeśli d(x 0 , x) < δ, to
y − ε < g(x 0 ) oraz f(x 0 ) < y + ε. W takim razie φ(x 0 ) ∩ (y − ε, y + ε) 6= ∅.
Analogicznie dowodzimy, że jeśli f, g są półciągłe z dołu i z góry, odpowiednio, to φ jest
usc.
Łatwo zauważyć, że dla (zwykłego) odwzorowania f : X → Y pojęcia dolnej i górnej półciągłości są równoważne między sobą i pokrywają się z ciągłością.
Półciągłość z dołu w punkcie x0 można również charakteryzować przy pomocy ciągów.
1.2.5 FAKT. Odwzorowanie φ jest lsc w punkcie x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy gdy, dla dowolnego
y0 ∈ φ(x0 ) oraz dowolnego ciągu xn → x0 , istnieje ciąg yn → y0 taki, że yn ∈ φ(xn ), n ∈ N.
DOWÓD. Niech V ⊂ Y będzie otwarty oraz V ∩ φ(x0 ) 6= ∅. Rozważmy φ−1 (V ). Niewątpliwie
x0 ∈ φ−1 (V ). Pokażemy, że istnieje δ > 0 taka, że B(x0 , δ) ⊂ φ−1 (V ). Przypuśćmy przeciwnie, że
dla dowolnego n ∈ N, istnieje xn ∈ X taki, że xn ∈ B(x0 , 1/n) \ φ−1 (V ). Wtedy xn → x0 . Weźmy
y0 ∈ φ(x0 ) ∩ V . Zatem mamy ciąg yn ∈ φ(xn ) taki, że yn → y0 . Istnieje n0 ∈ N takie, że yn ∈ V
przy n ≥ n0 . To oznacza, że yn ∈ φ(xn ) ∩ V a zatem xn ∈ φ−1 (V ): sprzeczność.
Na odwrót: niech y0 ∈ φ(x0 ) oraz weźmy ciąg xn → x0 . Wystarczy pokazać, że d(y0 , φ(xn )) →
0 (3 ). Niech ε > 0. Ponieważ x0 ∈ φ−1 (B(y0 , ε)) oraz ten ostatni zbiór jest otwarty, to mamy
N ∈ N takie, że xn ∈ φ−1 (B(y0 , ε)) o ile n ≥ N. Wobec tego, dla n ≥ N, φ(xn ) ∩ B(y0 , ε), co jest
równoważne temu, że d(y0 , φ(xn )) < ε.
Aby podać inną charakteryzację lsc własności będziemy potrzebować następującego pojęcia.
Niech A ⊂ X, niech x0 ∈ X będzie punktem skupienia zbioru A i niech ψ : A → P(Y )
będzie odwzorowaniem wielowartościowym. Zbiór zdefiniowany poprzez relację
y ∈ Lim inf ψ(x) ⇔
x→x0
lim d(y, ψ(x)) = 0
x→x0
nazywamy granicą dolną odwzorowania wielowartościowego ψ w punkcie x0 w sensie Kuratowskiego. Zbiór ten jest zawsze domknięty (sprawdzić) lecz może być pusty. Zauważmy, że
zachodzi równość
\ [
\
Lim inf ψ(x) =
B(ψ(x), ε)
x→x0
ε>0 η>0 x∈BA (x0 ,η), x6=x0
gdzie
BA (x0 , η) := {x ∈ A | d(x, x0 ) < η} oraz B(ψ(x), ε) := {y ∈ Y | d(y, ψ(x)) < ε}.
Zbiór zdefiniowany prze relację
y ∈ Lim sup ψ(x) ⇔ lim inf d(y, ψ(x)) = 0
x→x0
3
x→x0
Tutaj i dalej jeśli A ⊂ X, x ∈ X to d(x, A) := inf{d(x, a) | a ∈ A} jest odległością punktu x od zbioru A.
5
nazywa się granicą górną odwzorowania ψ w punkcie x0 . Powyżej lim inf oznacza granicę
górną funkcji d(y, ψ(·)) w punkcie x0 ; przypomnijmy, że jeśli f : A → R, to
lim inf f(x) = sup
x→x0
f(x).
inf
ε>0 x∈BA (x0 ,ε), x6=x0
Granica górna jest również zbiorem domkniętym (sprawdzić). Podobnie jak poprzednio mamy
charakteryzację:
\ \
[
Lim sup ψ(x) =
B(ψ(x), ε).
x→x0
ε>0 η>0 x∈BA (x0 ,η), x6=x0
Pożyteczna charakteryzacja granic Kuratowskiego przy pomocy ciągów ma postać:
y ∈ Lim inf ψ(x) ⇔ ∀ (xn ) ⊂ A, xn 6= x0 , xn → x0 ∃ yn ∈ ψ(xn ) yn → y;
x→x0
y ∈ Lim sup ψ(x) ⇔ ∃ (xn ) ⊂ A, xn 6= x0 , xn → x0 ∃ yn ∈ ψ(xn ) yn → y.
x→x0
1.2.2 ĆWICZENIE. Sprawdzić powyższe równoważności.
Łatwo zauważyć, że
Lim inf ψ(x) ⊂ Lim sup ψ(x).
x→x0
x→x0
Jeśli (An )∞
n=1 jest ciągiem zbiorów w przestrzeni metrycznej Y , to
Lim inf An := {y ∈ Y | lim d(y, An ) = 0},
n→∞
n→∞
Lim sup An := {y ∈ Y | lim inf d(y, An ) = 0}.
n→∞
n→∞
1.2.3 ĆWICZENIE: Dowieść, że
Lim sup An =
n→∞
∞ [
∞
\
n=1 k=n
Ak =
∞ [
∞
\ \
∞ \
∞
\ [
B(Ak , ε), Lim inf An =
n→∞
ε>0 n=1 k=n
B(Ak , ε);
ε>0 n=1 k=n
tu, dla A ⊂ Y i η > 0, B(A, η) := {y ∈ T | d(y, A) < η} jest η-otoczeniem zbioru A
1.2.6 UWAGA: Nie należy mylić podanych definicji topologicznych granic ciągów zbiorów z
teoriomnogościowymi definicjami. Dla ciągu zbiorów (An ) (w przestrzeni bez topologii) pisze
się
∞ \
∞ [
[
\
Lim inf An =
Ak ; Lim sup An =
Ak .
n→∞
n=1 k≥n
n→∞
n=1 k≥n
Zainteresowanych odsyłam do [?, Rozd. IV, Rozd. X ].
1.2.4 ĆWICZENIE: Odwzorowanie φ : X → P(Y ) jest lsc w punkcie skupienia x0 wtedy i tylko
wtedy gdy
φ(x0 ) ⊂ Lim inf φ(x).
x→x0
Niestety podobna charakteryzacja górnej półciągłości nie jest prawdziwa. Zajmiemy się
teraz nieco bardziej szczegółowo tą kwestią. Rozważać będziemy teraz tylko odwzorowania o
6
domkniętych wartościach. W tym celu przypomnijmy, że zapis φ : X ( Y oznacza odwzorowanie φ : X → P(Y ) takie, że dla dowolnego x ∈ X, zbiór φ(x) jest domknięty.
1.2.7 FAKT: Jeżeli odwzorowanie φ : X ( Y jest usc, to Gr (φ) jest zbiorem domkniętym.
DOWÓD. Przypuśćmy, że (x, y) 6∈ Gr (φ). Zatem y 6∈ φ(x). Skoro zbiór φ(x) jest domknięty,
to istnieją otoczenia otwarte V punktu y oraz V 0 zbioru φ(x) takie, że V ∩ V 0 = ∅. Na mocy
usc, zbiór U = φ+1 (V 0 ) jest otwartym otoczeniem punktu x. Twierdzę, że U × V ∩ Gr (φ) = ∅.
Istotnie, jeśli (x 0 , y 0 ) ∈ U × V , to φ(x 0 ) ⊂ V 0 . Zatem y 0 6∈ φ(x 0 ) bo y 0 ∈ V . Pokazaliśmy, że zbiór
X × Y \ Gr (φ) jest otwarty.
Zauważmy dodatkowo, że odwzorowanie ψ : X → P(Y ), którego wykres jest domknięty
ma domknięte wartości. Wynika to z faktu, iż ψ(x) ∼
= {x} × Y ∩ Gr (ψ) (4 ) a ten ostatni zbiór
jest oczywiście domknięty.
1.2.8 FAKT: Jeśli φ : X ( Y ma zwarte wartości i jest usc, zbiór K ⊂ X jest zwarty, to obraz
φ(K) jest zwarty.
DOWÓD. Rozważmy pokrycie otwarte V = {Vi }i∈I zbioru φ(K). Dla dowolnego x ∈ K, φ(x) ⊂
φ(K), zatem V jest też pokryciem φ(x). Niech {Vi }i∈Ix będzie skończonym podpokryciem zbioru
S
S
φ(x), tzn. φ(x) ⊂ Vx := i∈Ix Vi . Jest jasne, że φ(K) ⊂ x∈K Vx . Dla dowolnego x ∈ K, niech
S
Ux := φ+1 (Vx ). Oczywiście x ∈ Ux a więc K ⊂ x∈K Ux . Zwartość K implikuje, że istnieją
x1 , ..., xm ∈ K takie, że K ⊂ Ux1 ∪ ... ∪ Uxm . W takim razie φ(K) ⊂ Vx1 ∪ ... ∪ Vxm . To z kolei
S
oznacza, że skończona rodzina {Vi | i ∈ m
j=1 Ixj } jest pokryciem φ(K).
1.2.5 ĆWICZENIE: Pokazać, że jeśli φ : X ( Y ma domknięty wykres, zbiór A ⊂ X jest zwarty,
to obraz φ(A) jest domknięty.
1.2.9 FAKT: Jeżeli φ : X ( Y ma domknięty wykres, odwzorowanie Φ : X ( Y ma zwarte
wartości i jest usc oraz, dla dowolnego x ∈ X, φ(x) ∩ Φ(x) 6= ∅, to odwzorowanie X 3 x 7Ï
ψ(x) = φ(x) ∩ Φ(x) jest usc.
DOWÓD. Weźmy zbiór domknięty C ⊂ Y i pokażemy, że przeciwobraz ψ −1 (C) jest zbiorem do−1
mkniętym. W tym celu weźmy ciąg (xn )∞
n=1 ⊂ ψ (C) taki, że xn → x. Wybierzmy yn ∈ ψ(xn )∩C,
n ∈ N. Wtedy (xn , yn ) ∈ Gr (φ) ∩ Gr (Φ) czyli, w szczególności, yn ∈ Φ(xn ) dla dowolnego n ∈ N.
Na mocy poprzedniego faktu, ciąg (yn ) posiada zbieżny podciąg. Bez zmniejszenia ogólności
można założyć, że yn → y ∈ Y . Zatem (x, y) ∈ Gr (ψ) oraz y ∈ C. Tak więc x ∈ ψ −1 (C). Dowodzi
to domkniętości zbioru ψ −1 (C).
Powiemy, że odwzorowanie φ : X ( Y jest lokalnie zwarte (odp. zwarte), gdy każdy punkt
x ∈ X ma otoczenie U takie, że cl φ(U) jet zbiorem zwartym (odp. cl φ(X) jest zbiorem zwartym).
1.2.10 WNIOSEK: Lokalnie zwarte, a więc także zwarte odwzorowanie φ : X ( Y o domkniętym wykresie jest usc. W szczególności, gdy Y jest przestrzenią zwartą, to odwzorowanie o
domkniętym wykresie jest usc.
1.2.6 ĆWICZENIE. Udowodnić powyższy wniosek.
1.2.11 PRZYKŁAD: Na ogół odwzorowania o domkniętym wykresie nie są usc. Rozważmy φ :
R ( R2 dane wzorem φ(a) = {(x, y) ∈ R2 | y = ax}. Wtedy φ ma domknięty wykres lecz dla
a0 = 0 zawieranie φ(a) ⊂ B(φ(0), ε) nie zachodzi dla żadnych a 6= 0 ani ε > 0.
4
Symbol A ∼
= B oznacza, że zbiory A i B są homeomorficzne.
7
Wreszcie możemy sformułować ciągową charakteryzację górnej półciągłości.
1.2.12 FAKT: Odwzorowanie φ : X ( Y ma zwarte wartości i jest usc wtedy i tylko wtedy gdy
∞
dla dowolnych ciągu (xn , yn )∞
n=1 ⊂ Gr (φ) jeżeli xn → x, to istnieje podciąg (ynk )k=1 ciągu (yn )
taki, że ynk → y ∈ φ(x).
DOWÓD. Pokażemy konieczność. Skoro φ ma zwarte wartości i jest usc, to zbiór φ({xn }) jest
względnie zwarty. Zatem istotnie mamy podciąg ynk → y. Jednocześnie Gr (φ) jest domknięty
więc y ∈ φ(x).
Na odwrót: niech C ⊂ Y będzie domknięty. Weźmy ciąg xn ∈ φ−1 (C) taki, że xn → x ∈ X.
Niech yn ∈ C ∩ φ(xn ). Zgodnie z założeniem, dla pewnego podciągu ynk → y ∈ φ(x). Z
domkniętości C, również y ∈ C. Zatem x ∈ φ−1 (C). Zwartość wartości φ jest oczywista.
1.2.7 ĆWICZENIE. Udowodnić, że odwzorowanie φ : X ( Y ma zwarte wartości i jest usc wtedy
i tylko wtedy gdy rzut πX |Gr (φ) : Gr (φ) → X wykresu na „oś” X (tzn. rzut πX : X × Y → X
produktu X × Y na Y dany jest wzorem πX (x, y) = x dla (x, y) ∈ X × Y ) jest odwzorowaniem
właściwym (5 ).
W kontekście podanego wyżej faktu warto zapamiętać następujące równości: jeśli φ : X →
P(Y ), to
φ(A) = πY (Gr (φ) ∩ A × Y );
φ−1 (B) = πX (Gr (φ) ∩ X × B).
Związek górnej półciągłości z granicą górną pokazuje następny fakt.
1.2.13 FAKT: Niech x będzie punktem skupienia. Punkt (x, y) ∈ X × Y jest punktem skupienia
wykresu cl Gr (φ) odwzorowania φ : X → P(Y ) wtedy i tylko wtedy, gdy
y ∈ Lim sup φ(z).
z→x
W szczególności odwzorowanie φ : X ( Y ma domknięty wykres wtedy i tylko wtedy gdy
Lim sup φ(z) ⊂ φ(x).
z→x
DOWÓD. Przypuśćmy, że (x, y) jest punktem skupienia wykresu. Mamy ciąg (xn , yn ) → (x, y)
taki, że yn ∈ φ(xn ) i xn 6= x dla n ∈ N. Stąd łatwo widać, że y ∈ Lim sup z→x φ(z).
Na odwrót, niech y ∈ Lim sup z→x φ(z). Z definicji granicy górnej wynika, że istnieją ciągi
xn → x, xn 6= x oraz yn ∈ φ(xn ) taki, że yn → y. Stąd (x, y) = limn→∞ (xn , yn ) a więc (x, y) ∈
cl Gr (φ).
Jeśli φ : X ( Y ma domknięty wykres oraz y ∈ Lim sup z→x φ(z), to (x, y) ∈ cl Gr (φ) =
Gr (φ) czyli y ∈ φ(x). Na odwrót, jeśli (x, y) ∈ cl Gr (φ), to znajdzie się ciąg (xn , yn ) taki, że
yn ∈ φ(xn ) dla n ∈ N, xn → x oraz yn → y. Można założyć, że xn 6= x dla dowolnego n. Wtedy
y ∈ Lim sup z→x φ(z) ⊂ φ(x), czyli (x, y) ∈ Gr (φ), a to oznacza, że Gr (φ) = cl Gr (φ).
Widzimy więc, że przy pomocy granicy górnej można badać domkniętość wykresu. Dla
górnej półciągłości potrzeba dodatkowych informacji.
Powiadamy, że odwzorowanie wielowartościowe φ : X → P(Y ) jest ciągłe gdy jest jednocześnie usc i lsc.
5
Przypomnijmy, że odwzorowanie ciągłe f : X → Y jest właściwe jeżeli, dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ Y ,
przeciwobraz f −1 (K) jest zwarty (wX). Warto tu też pamiętać, że każde odwzorowanie doskonałe f : X → Y , tzn.
ciągłe, domknięte i takie, że „włókna” f −1 (y) są zwarte dla y ∈ Y , jest właściwe. Gdy Y jest przestrzenią metryczną,
lub – ogólniej– tzw.k-przestrzenią, to odwzorowania właściwe są doskonałe.
8
Podamy bez dowodu następujący fakt (o tzw. generycznej ciągłości. Przypomnijmy, że
T
podzbiór A ⊂ X jest rezydualny jeśli A = ∞
n=1 An oraz, dla każdego n ∈ N, An jest otwarty
i gęsty w X (tzn. X \ An jest zbiorem nigdziegęstym). Innymi słowy zbiór jest rezydualny gdy
jego dopełnienie zawiera się w zbiorze I-kategorii. Iloczyny przeliczalne zbiorów rezydualnych
są rezydualne. Twierdzenie Baire’a orzeka, że w przestrzeni metrycznej zupełnej zbiory rezydualne są gęste. Własność, która zachodzi na zbiorze rezydualnym nazywa się własnością
generyczną.
1.2.14 FAKT. Niech X, Y będą przestrzeniami zupełnymi oraz niech φ : X → P(Y ). Wtedy:
(1) Jeśli φ jest usc (lub lsc), to jest ciągłe na pewnym zbiorze rezydualnym.
(2) Jeśli φ ma domknięte wartości i jest lsc, to istnieje zbiór rezydualny A ⊂ X taki, że
∀x ∈ A
Lim sup φ(z) = φ(x).
z→x
1.2.8 ĆWICZENIE: Pokazać, że jeśli odwzorowanie φ : X → P(Y ) jest lsc (lub usc) i ma spójne
wartości, to obraz φ(A) zbioru spójnego A ⊂ X jest zbiorem spójnym. Jeśli φ jest odwzorowaniem ciągłym i przynajmniej jedna wartość jest spójna, to ma miejsce powyższa teza.
1.2.9 ĆWICZENIE: Niech φ : X → P(Y ), gdzie Y jest przestrzenią ośrodkową, i niech {yn }∞
n=1
będzie ośrodkiem w Y . Określmy rodzinę funkcji {fn }, gdzie fn (x) := d(yn , φ(x)), x ∈ X.
(1) Odwzorowanie φ jest lsc wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje fn , n ∈ N, są półciągłe z góry
(jako funkcje rzeczywiste).
(2) Jeśli odwzorowanie φ ma zwarte wartości i jest usc, to dla dowolnego n funkcja fn
jest dolnie półciągła. Na odwrót, jeśli φ jest dodatkowo odwzorowaniem zwartym, to dolna
półciągłość funkcji fn , n ∈ N, implikuje usc (trochę trudniejsze).
1.3
Metryka Hausdorffa
Niech – jak wyżej – (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Symbolem BC(X) oznaczamy rodzinę
niepustych, domkniętych i ograniczonych podzbiorów X. Dla A, B ∈ BC(X) definiujemy
dH (A, B) := max{sup d(a, B), sup d(b, A)}
a∈A
oraz
b∈B
δH (A, B) := sup d(a, B);
a∈A
czyli
dH (A, B) = max{δH (A, B), δH (B, A)}.
1.3.1 UWAGA: Zauważmy, że dH (A, B) ∈ [0, +∞), bowiem
0 ≤ δH (A, B) ≤ diam (A) + dist(A, B) < ∞,
gdzie diam oznacza średnicę zbioru, zaś
dist(A, B) =
inf
a∈A, b∈B
d(a, b)
jest tzw. dystansem zbiorów A i B. Rzeczywiście dla dowolnego ε > 0 istnieją punkty a0 ∈ A,
b0 ∈ B takie, że d(a0 , b0 ) < dist(A, B) + ε. W takim razie dla dowolnego a ∈ A,
d(a, B) ≤ d(a, b0 ) ≤ d(a, a0 ) + d(a0 , b0 ) < diam (A) + dist(A, B) + ε.
1.3. METRYKA HAUSDORFFA
9
Z dowolności ε wnosimy, że supa∈A d(a, B) ≤ diam (A) + dist(A, B).
1.3.2 PRZYKŁAD: W przestrzeni (R2 , | · |), z metryką zadaną przez zwykłą normę euklidesową,
rozważmy dwa zbiory domknięte: A := [−2, 1] × [−2, 1] oraz B := [0, 2] × [0, 2]. Wówczas
odpowiednie odległości wynoszą:
√
√
√
δH (A, B) = 8; δH (B, A) = 2 oraz dH (A, B) = 8.
1.3.1 ĆWICZENIE: (i) Dla dowolnych zbiorów A, B ∈ BC(X), dist(A, B) ≤ min{δH (A, B), δH (B, A)}.
(ii) Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A, B ∈ BC(X),
δH (A, B) = inf{r > 0 | A ⊂ B(B, r)}.
W konsekwencji dH (A, B) = inf{r > 0 | A ⊂ B(B, r), B ⊂ B(A, r)}.
1.3.3 TWIERDZENIE: Funkcja dH jest metryką w przestrzeni BC(X).
DOWÓD: Oczywiście dH (A, B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy δH (A, B) = δH (B, A) = 0 oraz
δH (A, B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊂ cl B = B. Równość dH (A, B) = dH (B, A) jest
oczywista. Nierówność trójkąta udowodnimy za moment.
Symbolem BC(X, R) oznaczamy przestrzeń Banacha ciągłych i ograniczonych funkcji
f : X → R z normą kfkBC = kfk := sup x ∈ X|f(x)|.
1.3.4 FAKT: Niech a0 ∈ X będzie ustalonym punktem. Definiujemy przekształcenie j : BC(X) →
BC(X, R) wzorem
j(A)(x) = d(x, A) − d(x, a0 ) dla A ∈ BC(X), x ∈ X.
Wtedy:
(1) przekształcenie j jest poprawnie określone, dokładniej: j(A) jest funkcja ciągłą i ograniczoną; dodatkowo, dla dowolnego x ∈ X,
kj(A)k ≤ d(a0 , A).
(2) Przekształcenie j jest injekcją.
(3) Obraz j(BC(X)) jest zbiorem jednostajnie jednakowo ciągłym.
(4) Dla dowolnych A, B ∈ BC(X) zachodzi
kj(A) − j(B)k = sup |j(A)(x) − j(B)(x)| = sup |d(x, A) − d(x, B)|.
x∈X
x∈X
(5) Dla A, B ∈ BC(X),
dH (A, B) = kj(A) − j(B)k = kj(A) − j(B)k.
DOWÓD. Zauważmy, że dla dowolnego x ∈ X oraz a ∈ A, j(A)(x) = d(x, A) − d(x, a0 ) ≤ d(x, a) −
d(x, a0 ) ≤ d(a, a0 ). Analogicznie pokazujemy, że −j(A)(x) ≥ − supa∈A d(a, a0 ). Stąd kj(A)k ≤
d(a0 , A).
By pokazać (2) załóżmy, że j(A) = j(B), tzn. d(x, A) = d(x, B) dla dowolnego x ∈ X. Gdy
x ∈ A, to 0 = d(x, A) = d(x, B) więc x ∈ cl B = B. Tzn. A ⊂ B. Zmieniając rolami A i B
otrzymamy A ⊃ B.
Zauważmy, że dla dowolnych x, y ∈ X
|j(A)(x) − j(A)(y)| = |d(x, A) − d(y, A) − (d(x, a0 ) − d(y, a0 ))| ≤ 2d(x, y).
10
Dowodzi to, że istotnie każda z funkcji j(A), A ∈ BC(X) jest jednostajnie ciągła i moduł (jednostajnej) ciągłości nie zależy od wyboru A. Zatem punkt (3) jest udowodniony.
Dla każdego x ∈ X mamy |j(A)(x) − j(B)(x)| = |d(x, A) − d(x, B)| a to dowodzi własności
(4).
Pokażemy, że
δH (A, B) = sup(d(x, B) − d(x, A)).
x∈X
Istotnie
δH (A, B) = sup d(x, B) = sup(d(x, B) − d(x, A)) ≤ sup(d(x, B) − d(x, A)).
x∈A
x∈A
x∈X
Na odwrót, dla dowolnego x ∈ X, a ∈ A oraz b ∈ B mamy d(x, b) ≤ d(x, a) + d(a, b). Biorąc
kres dolny ze względu na b ∈ B otrzymamy
d(x, B) ≤ d(x, a) + d(a, B) ≤ d(x, a) + sup d(x, B).
x∈A
Biorąc kres dolny ze względu na a ∈ A,
d(x, B) ≤ d(x, A) + sup d(x, B).
x∈A
Biorąc kres górny ze względu na x ∈ X mamy
sup(d(x, B) − d(x, A)) ≤ sup d(x, B) = δH (A, B)
x∈X
x∈A
W takim razie otrzymujemy żądaną równość.
Z udowodnionego twierdzenia wynika, że dH jest metryką w BC(X): dla dowolnych A, B, C ∈
BC(X),
dH (A, C) = kj(A) − j(C)k ≤ kj(A) − j(B)k + kj(B) − j(C)k = dH (A, B) + dH (B, C).
Można identyfikować przestrzeń BC(X) z obrazem X := j(BC(X)) zawartym w przestrzeni
Banacha BC(X, R); co więcej j : BC(X) → X jest izometrią.
Wniosek. Jeśli X jest przestrzenią zupełną, to (BC(X), dH ) jest też przestrzenią metryczną
zupełną. Jeśli X jest przestrzenią zwartą, to BC(X) jest przestrzenią zwartą.
Dowód. Dla dowodu pierwszej części wystarczy pokazać, że X jest zbiorem domkniętym w
BC(X, R). Niech więc (An ) będzie takim ciągiem w BC(X), że j(An ) → f w BC(X, R). Musimy
dowieść, że istnieje zbiór A ∈ BC(X) taki, że f = j(A). Zauważmy, że dla dowolnego x ∈ X,
f(x) = limn→∞ [d(x, An ) − d(x, a0 )]; a zatem f(x) + d(x, a0 ) = limn→∞ d(x, An ). Niech
A := Lim sup An =
n→∞
\ [
Am ,
k≥1 m≥k
tzn. A = {x ∈ X | d(x, An ) = 0}. Jest jasne, że A jest zbiorem domkniętym. Łatwo też udowodnić,
że A jest też zbiorem ograniczonym (sprawdzić).
S
Jest to również zbiór niepusty. Niech Bk = m≥k Am . Weźmy dowolne ε > 0. Konstruujemy
ciąg {mk } następująco: wybieram najmniejszą liczbę n ∈ N tak, aby dH (Aq , Ap ) < 2ε2 dla
dowolnego q, p ≥ n; jest to możliwe, bo ciąg (An ) jest ciągiem Cauchy’ego (względem metryki
Hausdorffa). Niech m1 = n. Dla k > 1, liczbę mk wybieram jako najmniejszą liczbę > mk−1
taką, że dH (Amk , Ap ) < 2εk dla p ≥ mk .
11
1.3. METRYKA HAUSDORFFA
Weźmy dowolne b ∈ An = Am1 i niech a1 = b i załóżmy, że wyraz ak−1 ∈ Amk−1 , dla
ε
k > 1 został wybrany. Skonstruujemy ak ∈ Amk : ponieważ dH (Amk , Amk−1 ) < 2k−1
, to również
ε
ε
δH (Amk−1 , Amk ) < 2k−1 ; zatem d(ak−1 , Amk ) < 2k−1 . Istnieje więc ak ∈ Amk taki, że d(ak−1 , ak ) <
ε
. Jest jasne, że ak ∈ Bk . Łatwo sprawdzić, że ciąg (ak )∞
k=1 jest ciągiem Cauchy’ego; zatem
2k−1
ak → a gdy k → ∞. Ponieważ rodzina {Bk } jest zstępująca, to a ∈ Bk dla dowolnego k. W
takim razie a ∈ A. Ponadto
d(b, ak ) = d(a1 , ak ) ≤
k
X
d(aj−1 , aj ) < ε
j=2
k
X
1
= ε.
2j−1
j=2
Zatem d(b, a) < ε.
Innymi słowy pokazaliśmy także, że dla dowolnego ε > 0 istnieje n0 , że δH (An , A) < ε przy
n ≥ n0 .
Wykażemy, że f(x) = d(x, A) − d(x, a0 ) na X. Aby to było prawdą potrzeba i wystarcza
ażeby d(x, An ) → d(x, A) dla dowolnego x ∈ X. Istotnie: ustalmy x ∈ X, niech ε > 0 i weźmy
a ∈ A takie, że d(x, A) ≤ d(x, a) < d(x, A) + ε. Ponieważ a ∈ A, to istnieje ciąg an ∈ An taki, że
an → a. Wtedy
d(x, An ) ≤ d(x, an ) → d(x, a) < d(x, A) + ε
zatem dla prawie wszystkich n ∈ N, d(x, An ) < d(x, A) + ε.
Weźmy n0 takie, że δH (An , A) < ε/2 przy n ≥ n0 . Dla n ≥ n0 , wybieramy an ∈ An ta, by
d(x, an ) < d(x, An ) + ε/2. Wtedy, dla n ≥ n0 ,
d(x, A) ≤ d(x, an ) + d(an , A) ≤ d(x, An ) + ε/2 + sup d(b, A) =
b∈An
−
(An , A)
dH
= d(x, An ) + ε/2 +
< d(x, An ) + ε.
Pokazaliśmy więc, że dla prawie wszystkich n ∈ N
d(x, A) − ε < d(x, An ) < d(x, A) + ε.
Jeśli przestrzeń X jest zwarta, to jest ograniczona. Zatem zbiór X jest jednakowo (jednostajnie) ciągły i jednostajnie ograniczony; z twierdzenia Ascoli-Arzeli, X jest zbiorem zwartym.
Tak więc BC(X) (wraz z metryka Hausdorffa) jest przestrzenią zwartą.
1.3.2 ĆWICZENIE: Jeśli zbiory An , A ∈ BC(X), n ∈ N, oraz An → A w sensie dH (tzn. dH (An , A) →
0), to
Lim sup Am = Lim inf An .
n→∞
n→∞
Implikacja odwrotna na ogół nie zachodzi.
1.3.5 FAKT: Niech Z będzie przestrzenią zwartych podzbiorów przestrzeni metrycznej X z
metryką Hausdorffa. Jeśli X jest ośrodkowa, to Z jest też ośrodkowa.
DOWÓD. Oczywiście Z jest poprawnie określoną przestrzenią metryczną. Niech G = {x1 , x2 , ...}
będzie zbiorem gęstym w X. Określmy G jako rodzinę skończonych podzbiorów zbioru G.
Wtedy G jest zbiorem przeliczalnym i gęstym w Z. Przeliczalność jest oczywista; pokażemy
gęstość. Weźmy K ∈ Z oraz ε > 0. Istnieje skończony podzbiór S ⊂ G (tzn. S ∈ G) taki, że
S
K ⊂ s∈S B(s, ε) oraz S ⊂ B(K, ε). Zatem dH (S, K) < ε.
1.3.6 WNIOSEK: Jeśli X jest przestrzenią zupełną, ośrodkową (tzn. przestrzenią polską), to
również Z jest przestrzenią polską.
12
DOWÓD. Dla dowodu wystarczy zauważyć, że Z jest zbiorem domkniętym w BC(X). Istotnie
niech Kn → K w sensie metryki dH oraz Kn ∈ Z. Zatem dla dowolnego ε > 0 istnieje n ∈ N
takie, że K ⊂ B(Kn , ε/4) oraz Kn ⊂ B(K, ε/4). Niech {x1 , x2 , ..., xm } ⊂ Kn będzie ε/4-siecią dla
Kn . Dla j = 1, ..., m, niech xj0 ∈ K tak, aby d(xj0 , xj ) < ε/4.
Weźmy x ∈ K oraz x 0 ∈ Kn tak, aby d(x, x 0 ) < ε/4. Istnieje j = 1, ..., m takie, że d(x 0 , xj ) <
0
0
ε/2. Zatem d(x, xj ) < ε/2. Wówczas też d(x, xj0 ) < 3ε
4 < ε. Zatem {x1 , ..., xm } jest ε-siecią dla K.
Ponieważ K jest zbiorem domkniętym, więc zupełnym i posiada ε-sieć dla każdego ε > 0, to
jest zbiorem zwartym na mocy twierdzenia Hausdorffa.
1.3.7 UWAGA: Oczywiście wielkość δH (A, B) można określić dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X.
Jest jednak jasne, że gdy A (odp. B) nie jest ograniczony, to δH (A, B) = ∞.
Rozważmy obecnie odwzorowanie wielowartościowe φ : X → P(Y ). Powiemy, że φ jest
H-półciągłe z góry (co zapisujemy H-usc) w x0 ∈ X jeśli
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ X [d(x, x0 ) < δ ÍÑ δH (φ(x), φ(x0 )) < ε],
gdzie tutaj dH oznacza metrykę Hausdorffa w Y .
Nietrudno zauważyć, że δH (φ(x), φ(x0 )) < ε wtedy i tylko wtedy gdy φ(x) ⊂ B(φ(x0 ), ε). A
zatem jeśli φ jest usc w x0 , to jest też tam H-usc.
1.3.3 ĆWICZENIE: Pokazać, że jeśli φ : X ( Y ma zwarte wartości, to z H-półciągłości z góry w
punkcie x0 wynika półciągłość z góry w x0 .
Podobnie mówimy, że φ : X → P(Y ) jest H-półciągłe z dołu (H-lsc) w punkcie x0 ∈ X jeśli
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ X [d(x, x0 ) < δ ÍÑ δH (φ(x0 ), φ(x)) < ε.
Podobnie jak wyżej, łatwo zauważyć, że δH (φ(x0 ), φ(x)) < ε wtedy i tylko wtedy, gdy φ(x0 ) ⊂
B(φ(x), ε). Wobec tego:
1.3.8 FAKT: Jeśli φ jest H-lsc w x0 , to jest lsc w x0 . Gdy φ ma zwarte wartości, to z lsc w x0
wynika H-lsc w x0 .
DOWÓD: Załóżmy, że φ jest H-lsc w x0 ∈ X i weźmy zbiór otwarty V taki, że V ∩ φ(x0 ) 6= ∅.
Wtedy istnieje y0 ∈ V ∩ φ(x0 ) oraz ε > 0 takie, że B(y0 , ε) ⊂ V . Na mocy H-lsc, istnieje δ > 0
taka, że φ(x0 ) ⊂ B(φ(x), ε) o ile d(x, x0 ) < δ. Niech d(x, x0 ) < δ; wtedy d(y0 , φ(x)) < ε czyli
istnieje y ∈ φ(x) taki, że d(y0 , y) < ε, tzn. y ∈ φ(x) ∩ B(y0 , ε) ⊂ φ(x) ∩ V . Dowodzi to, że φ jest
lsc.
Na odwrót, przypuśćmy, że φ ma zwarte wartości i jest lsc w x0 . Przypuśćmy, że φ nie jest
H-lsc w x0 . Istnieje więc ε > 0 takie, że dla dowolnego n ∈ N, istnieje xn ∈ B(x0 , 1/n) takie, że
φ(x0 ) 6⊂ B(φ(xn ), ε). Tzn. istnieje zn ∈ φ(x0 ) takie, że d(zn φ(xn )) ≥ ε. Ze zwartości φ(x0 ) wynika
(bez zmniejszenia ogólności), że zn → y0 ∈ φ(x0 ). Z kolei własność lsc implikuje, że istnieje
ciąg yn ∈ φ(xn ) taki, że yn → y0 . W takim razie d(zn , yn ) → 0. Lecz
d(zn , yn ) ≥ d(zn , φ(xn )) ≥ ε :
sprzeczność.
Mówimy, że φ : X → P(Y ) jest H-ciągłe w x0 gdy jest jednocześnie H-usc i H-lsc w punkcie
x0 , tzn.
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ B(x0 , δ) dH (φ(x), φ(x0 )) < ε.
Jak wynika z powyższych faktów odwzorowanie φ o zwartych wartościach jest H-ciągłe w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągłe.
1.4. PRZYKŁADY
13
Przy pomocy metryki Hausdorffa można też definiować warunek Lipschitza dla odwzorowań wielowartościowych. Mianowicie mówimy, że φ : X → P(Y ) spełnia lokalnie warunek
Lipschitza jeśli, każdy punkt x ∈ X ma otoczenie U takie, że
∀ x1 , x2 ∈ U dH (φ(x1 ), φ(x2 )) ≤ Ld(x1 , x2 )
dla pewnej stałej L ≥ 0 zależnej tylko od x.
1.4
Przykłady
Podamy teraz kilka przykładów odwzorowań górnie i dolnie półciągłych.
(1) Niech r : X → R+ = [0, ∞) będzie funkcją (rzeczywistą) półciągłą z góry, zaś f :
X → Y := RN odwzorowaniem ciągłym. Wtedy odwzorowanie φ : X ( RN dane wzorem
φ(x) = DY (f(x), r(x)) := {y ∈ RN | ky − f(x)k ≤ r(x)} jest górnie półciągłe. Odwzorowanie
X 3 x → B(f(x), r(x)) := {y ∈ RN | ky − f(x)k < r(x)} (przy założeniu, że r(x) > 0 na X) na
ogół nie jest usc.
Istotnie, jeśli K ⊂ RN jest zbiorem domkniętym, xn ∈ φ−1 (K) oraz xn → x, to istnieje
yn ∈ K ∩ φ(xn ). Zatem kf(xn ) − yn k ≤ r(xn ). Oczywiście ciąg (yn ) jest ograniczony; zatem
(przechodząc do podciągu) można założyć, że yn → y ∈ K. Zatem kx−yk = limn→∞ kxn −yn k ≤
lim supn→∞ r(xn ) ≤ r(x). A więc y ∈ φ(x) ∩ K, tzn. y ∈ φ−1 (K).
Zauważmy, że nie można powyżej „uciec” od skończonej wymiarowości (w przeciwdziedzinie). Jednak, jak łatwo zobaczyć, odwzorowanie φ : X ( Y , gdzie Y jest dowolną przestrzenią
metryczną, dane wzorem φ(x) = D(f(x), r(x)) (x ∈ X), jest H-usc. Jest również jasne, że jeśli Y
jest przestrzenią zwartą, to takie φ jest usc.
1.4.1 ĆWICZENIE: Niech F : X ( RN będzie odwzorowaniem usc. Wtedy φ : X → RN dane
wzorem φ(x) := F(x) ∩ D(f(x), r(x)), x ∈ X (f i r są jak wyżej) jest odwzorowaniem usc.
(2) Dla dowolnej przestrzeni Y odwzorowania X 3 x → D(f(x), r(x)) oraz x 3 x →
B(f(x), r(x)) są lsc o ile r jest półciągłe z dołu.
Istotnie, weźmy zbiór otwarty V ⊂ Y i niech x ∈ φ−1 (V ), tzn. φ(x) ∩ V 6= ∅. W obu przypadkach istnieje y ∈ V taki, że d(f(x), y) < r(x). Funkcja g = r − d(f(·), y) : X → R jest półciągła
z dołu: zatem istnieje δ > 0 takie, że dla x 0 ∈ X, jeśli d(x, x 0 ) < δ, to g(x 0 ) > 0. Innymi słowy
y ∈ φ(x 0 ); a więc B(x, δ) ⊂ φ−1 (V ).
(3) Dla dowolnej przestrzeni Y , odwzorowania X 3 x → D(f(x), r(x)) oraz X 3 x →
B(f(x), r(x)) są (lokalnie) lipschitzowskie o ile takie są funkcje r i f.
1.4.2 ĆWICZENIE: Udowodnić powyższe stwierdzenie.
(4) Rozważmy trzy przestrzenie X, Y oraz Z. Niech U : X → P(Z) będzie odwzorowaniem
wielowartościowym zaś f : Gr (U) → Y . Zdefiniujmy odwzorowanie φ : X → P(Y ) wzorem
φ(x) := {f(x, u) | u ∈ U(x)}.
Jeśli f jest ciągłe, zaś U lsc, to φ jest lsc.
Jeśli f jest ciągłe, U jest usc i ma zwarte wartości, to φ jest usc.
Weźmy y ∈ φ(x) oraz ciąg xn → x. Wtedy y = f(x, u) gdzie u ∈ U(x). Skoro U jest lsc,
to mamy ciąg un ∈ U(xn ) taki, że un → u. Stąd (i z ciągłości f) wynika, że yn → y gdzie
14
yn = f(xn , un ) ∈ φ(xn ). To dowodzi lsc odwzorowania φ.
Zauważmy, że wartości φ są zwarte gdy wartości U są zwarte . Weźmy x ∈ X, ε > 0 i
rozważmy otoczenie V := B(φ(x), ε). Jest ono też otoczeniem punktu f(x, u) dla dowolnego
u ∈ U(x). Ciągłość f implikuje, że dla każdego u ∈ U(x), istnieje δu > 0 takie, że gdy (x 0 , u0 ) ∈
Gr (U) oraz d(x, x 0 ), d(u, u0 ) < δu , to f(x 0 , u0 ) ∈ V . Zbiór U(x) jest zwarty; zatem istnieją punkty
S
u1 , ..., un ∈ U(x) takie, że U(x) ⊂ W := ni=1 B(ui , δi ) gdzie δi = δui , i = 1, ..., n. Z kolei górna
półciągłość U implikuje, że istnieje δ0 > 0 taka, że jeśli x 0 ∈ X oraz d(x, x 0 ) < δ0 , to U(x 0 ) ⊂ W .
Niech
δ := min{δ0 , δ1 , ..., δn }.
Jeśli x 0 ∈ X oraz d(x, x 0 ) < δ, to φ(x 0 ) ⊂ V .
(5) Odwzorowania marginalne: Rozważmy odwzorowanie wielowartościowe F : X →
P(Y ) oraz funkcję f : Gr (F) → R. Funkcją marginalną związaną z w/w nazywamy funkcję
g : X → R ∪ {+∞} daną wzorem
∀ x ∈ X g(x) = sup f(x, y).
y∈F(x)
Zachodzą następujące fakty:
(i) Jeśli f oraz F są lsc, to g : X → R ∪ {+∞} jest też lsc.
(ii) Jeśli f oraz F są usc i wartości są zwarte, to g : X → R jest usc.
Dla dowodu (i) załóżmy, że xn → x, ustalmy λ < g(x) oraz wybierzmy y ∈ F(x) tak aby
λ < f(x, y). Wtedy istnieje ciąg yn → y (bo F jest lsc) oraz f(xn , yn ) ≤ g(xn ). Skoro f jest lsc,
to otrzymujemy, że
λ < f(x, y) ≤ lim inf f(xn , yn ) ≤ lim inf g(xn ).
n→∞
Zatem także
n→∞
g(x) ≤ lim inf g(xn ).
n→∞
Aby udowodnić stwierdzenie (ii), weźmy x ∈ X oraz ustalmy ε > 0. Ponieważ f jest funkcją
półciągłą z góry, to dla dowolnego y ∈ F(x), istnieje δy > 0 takie, że gdy (x 0 , y 0 ) ∈ Gr (F) oraz
d(x, x 0 ) < δy , d(y, y 0 ) < δy , to f(x 0 , y 0 ) < f(x, y) + ε. Zbiór F(x) jest zwarty więc dla pewnych
S
y1 , ..., ym ∈ F(x), F(x) ⊂ W := m
i=1 B(yi , δi ) gdzie δi := δyi . Dalej mamy δ0 > 0 takie, że
0
0
0
F(x ) ⊂ W o ile x ∈ X oraz d(x , x) < δ0 . Weźmy
δ := min{δ0 , δ1 , ..., δm }.
Jeśli teraz x 0 ∈ X oraz d(x, x 0 ) < δ, to dla każdego y ∈ F(x 0 ) mamy
f(x 0 , y) ≤ max f(x, yi ) + ε ≤ g(x) + ε
i=1,...,m
a więc
∀ x 0 ∈ B(x, δ) g(x 0 ) ≤ g(x) + ε.
Dowodzi to, że g jest też funkcją półciągłą z góry. Oczywiście g(x) ∈ R na X.
1.4.3 ĆWICZENIE: Udowodnić następujące stwierdzenia:
(a) Jeśli powyżej Y jest przestrzenią zwartą, f : X × Y → R jest usc, to
g(x) = sup f(x, y), dla x ∈ X,
y∈Y
1.4. PRZYKŁADY
15
jest usc.
(b) Jeśli odwzorowanie wielowartościowe F jest lsc (odp. usc o zwartych wartościach), to funkcja
(x, y) → d(y, F(x)) jest półciągła z góry (odp. półciągła z dołu) na Gr (F).
(iii) Zdefiniujmy tzw. odwzorowanie marginalne M(x) := {y ∈ F(x) | g(x) = f(x, y)} ⊂ Y .
Jeżeli f jest ciągła, F jest ciągła i ma zwarte wartości, to M ma niepuste zwarte wartości oraz
jest usc.
Pokażemy najpierw, że M(x) 6= ∅. Weźmy yn ∈ F(x) taki, że g(x) = limn→∞ f(x, yn ). Jasne,
że yn → y ∈ F(x) (ewentualnie po przejściu do podciągu). Zatem
g(x) = lim f(x, yn ) = f(x, y) ≤ g(x).
n→∞
Tak więc g(x) = f(x, y) czyli y ∈ M(x).
Niech teraz (xn , yn ) ∈ Gr (M) i załóżmy, że xn → x. Zatem g(xn ) = f(xn , yn ) oraz yn ∈
F(xn ). Skoro F ma zwarte wartości i jest (w szczególności) usc, to mamy podciąg (ynk ) taki, że
ynk → y ∈ F(x). Wiemy też, że g jest funkcją ciągłą. Zatem
g(x) = lim g(xnk ) = lim f(xnk , ynk ) = f(x, y).
k→∞
k→∞
Zatem y ∈ M(x). W takim razie M jest usc i ma zwarte wartości.
(6) Jeśli Y jest przestrzenią zwartą, f : X × Y → R jest ciągła, to M(x) = {y ∈ Y | g(x) =
supy∈Y f(x, y)} ma niepuste zwarte wartości i jest usc.
(7) Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha i A : X → Y operatorem liniowym i ciągłym
odwzorowującym X na Y . Wtedy odwzorowanie φ : Y → P(X) dane wzorem φ(y) = A−1 (y)
jest lsc i ma domknięte wypukłe wartości.
Weźmy zbiór otwarty U ⊂ X. Musimy pokazać, że φ−1 (U) jest zbiorem otwartym. Zauważmy, że φ−1 (U) = {y ∈ Y | A−1 (y) ∩ U 6= ∅} = A(U). Z twierdzenia Banacha o operatorze
otwartym wynika, że zbiór ten jest otwarty. Jest jasne, że zbiory A−1 (y) są domknięte i wypukłe.
(8) Niech f : X × Y → R będzie półciągła z dołu. Jeśli Y jest przestrzenią zwartą oraz, dla
dowolnego x ∈ X, funkcja f(x, ·) : Y → R jest ciągła, to przekształcenie φ : X → P(Y × R) dana
wzorem
φ(x) = Epi (f(x, ·)),
dla x ∈ X, jest usc i ma domknięte wartości.
Domkniętość wartości odwzorowanie φ jest oczywista. Dla dowodu usc weźmy ciąg xn ∈
gdzie K jest domknięty w Y × R, oraz załóżmy, że xn → x. A więc istnieje (yn , λn ) ∈
φ(xn ) ∩ K, tzn. f(xn , yn ) ≤ λn . Bez zmniejszenia ogólności można założyć, że yn → y ∈ Y . Zatem
φ−1 (K),
f(x, y) ≤ lim inf f(xn , yn ) ≤ lim inf λn =: λ ≤ ∞.
n→∞
n→∞
Jeśli λ < ∞, to (y, λ) ∈ K∩φ(x). Przypuśćmy więc, że λ = ∞. Wtedy, bez zmniejszenia ogólności
można zakładać, że λn → ∞. Skoro jednocześnie (z ciągłości f(x, ·)) f(x, yn ) → f(x, y), to dla
pewnego n ∈ N, f(x, yn ) ≤ λn . A zatem (yn , λn ) ∈ K ∩ φ(x).
(9) Niech X będzie przestrzeni zwartą, Y , Z będą przestrzeniami metrycznymi, f : X × Y →
Z odwzorowaniem ciągłym oraz φ : X ( Y , ψ : X ( Z odwzorowaniami o domkniętych
wykresach. Wtedy C : X → P(Y ), dane wzorem
C(x) := {y ∈ φ(x) | f(x, y) ∈ ψ(x)},
16
ma domknięte wartości oraz wykres.
Wystarczy pokazać domkniętość wykresu. Jeśli (xn , yn ) ∈ Gr (C) oraz (xn , yn ) → (x, y), to
yn ∈ φ(xn ), f(xn , yn ) ∈ ψ(xn ) oraz y ∈ φ(x), f(x, y) ∈ ψ(x). Tak więc y ∈ C(x).
(10) Odwzorowania stożkowe: Niech X będzie przestrzenią metryczną, E ośrodkową
przestrzenią Banacha oraz T : X ( E odwzorowaniem wielowartościowym takim, że T(x) jest
domkniętym wypukłym stożkiem dla dowolnego x ∈ X. Rozważmy odwzorowanie N : X →
P(E ∗ ) dane wzorem
N(x) = T(x)− := {p ∈ E ∗ | ∀ y ∈ T(x) hp, yi ≤ 0}
dla x ∈ X. Wtedy N ma ∗-słabo domknięte wartości oraz następujące warunki są równoważne:
(a) odwzorowanie N ma ciągowo domknięty wykres o ile w X ×E ∗ rozważymy na X zwykłą
topologię zaś na E ∗ topologię ∗-słabą (tzn. jeśli pn ∈ N(xn ), xn → x0 w X oraz pn * p0 w E ∗ ,
to p0 ∈ N(x0 ));
(b) odwzorowanie T jest lsc.
Łatwo sprawdzić, że N(x) jest zbiorem wypukłym i ∗-słabo domkniętym (oraz domkniętym)
dla x ∈ X. Przypuśćmy teraz, że T jest lsc i niech pn ∈ N(xn ), xn → x0 w X oraz pn * p0
w E ∗ . Przypuśćmy, że p0 6∈ N(x0 ). Zatem istnieje y0 ∈ T(x0 ) taki, że hp0 , y0 i > 0. Ponieważ T
jest lsc, to istnieje yn ∈ T(xn ) taki, że yn → y0 . W takim razie hpn , yn i ≤ 0. Funkcja E ∗ × E 3
(p, y) → hp, yi ∈ R jest ciągowo ciągła (na E ∗ mamy ∗-słabą topologię). Istotnie wykażemy, że
hpn , yn i → hp0 , y0 i. Mamy
|hpn , yn i − hp0 , y0 i| ≤ |hpn , yn − y0 i| + |hpn − p0 , y0 i| ≤ kpn kkyn − y0 k + |hpn − p0 , y0 i| → 0
ponieważ ciąg (kpn k) jest ograniczony na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa. Stąd hp0 , y0 i ≤
0: sprzeczność.
Aby udowodnić dostateczność warunku (a) dla lsc odwzorowania T należy wprowadzić
definicję ciągowej granicy górnej w ∗-słabej topologii.
Niech ψ : X ( E ∗ będzie odwzorowaniem o domkniętych wartościach i x0 ∈ X punktem
skupienia. Wtedy
p0 ∈ sw ∗ Lim sup ψ(x) ⇔ ∃ xn → x0 ∃ pn ∈ ψ(xn ) pn * p0 .
x→x0
1.4.1 LEMAT (Walkup-Wets): Jeśli x0 jest punktem skupienia, to zachodzi równość
Lim inf T(x) = [sw ∗ Lim sup N(x)]− .
x→x0
x→x0
DOWÓD: Udowodnimy najpierw inkluzję ⊂. Niech y0 ∈ Lim inf x→x0 T(x) i weźmy p0 ∈ sw ∗ Lim sup x→x0 N(x);
mamy pokazać, że hp0 , y0 i ≤ 0. Istnieją więc ciągi xn → x, pn * p0 , pn ∈ N(xn ). W takim razie
istnieje też ciąg yn → y0 , yn ∈ T(xn ). Jest jasne, że hpn , yn i ≤ 0. Stąd hp0 , y0 i = limn→∞ hpn , yn i ≤
0.
Załóżmy nie wprost, że y0 ∈ [sw ∗ Lim sup x→x0 N(x)]− lecz y0 6∈ Lim inf x→x0 T(x). Zatem
istnieje ε > 0 oraz ciąg xn → x0 taki, że B(y0 , ε) ∩ T(xn ) = ∅. Z twierdzenia o oddzielaniu
zbiorów wypukłych, dla dowolnego n ∈ N, istnieje forma liniowa ciągła pn ∈ E ∗ taka, że
sup hpn , yi ≤
y∈T(xn )
inf
y∈B(y0 ,ε)
hpn , y0 i = hpn , y0 i − εkpn k.
17
1.4. PRZYKŁADY
Oczywiście można przyjąć, że kpn k = 1; czyli, dla dowolnego n ∈ N,
sup hpn , yi ≤ hpn , y0 i − ε.
y∈T(xn )
Ponieważ T(xn ) jest stożkiem, to wnosimy, że supy∈T(xn ) hpn , yi = 0 a to oznacza, że pn ∈ N(xn )
oraz ε ≤ hpn , y0 i.
Z twierdzenia Banacha-Alaoglu, ciąg (pn ) posiada podciąg (pnk ) zbieżny do pewnego p0 ,
kp0 k ≤ 1. Oczywiście p0 ∈ sw ∗ Lim sup x→x0 N(x) a więc hp0 , y0 i ≤ 0. W takim razie
ε ≤ lim hpn , y0 i = hp0 , y0 i = 0 :
n→∞
sprzeczność.
Wracamy do dowodu dostateczności warunku (a). Ponieważ Gr (N) jest ciągowo domknięty
(w X × E ∗ gdzie E ∗ wyposażona jest w ∗-słabą topologię), to
sw ∗ Lim sup N(x) ⊂ N(x0 ).
x→x0
W takim razie
Lim inf T(x) = [sw ∗ Lim sup N(x)]− ⊃ N(x0 )− = T(x0 ).
x→x0
x→x0
Dowodzi to, że T jest lsc
Przypomnijmy jeszcze w tym miejscu, że jeśli K ⊂ E jest, to K − := {p ∈ E ∗ | hp, yi ≤
0 ∀ y ∈ K}. Oczywiście K − jest stożkiem wypukłym i domkniętym. Jest więc też ∗-słabo oraz
słabo domknięty.
Podobnie gdy P ⊂ E ∗ , to P − := {y ∈ E | hp, yi ≤ 0 ∀ p ∈ P} jest stożkiem domkniętym i
wypukłym. Zbiór (K − )− jest domkniętym i wypukłym stożkiem rozpiętym przez K, tzn.
(K − )− = conv
[
λK.
λ≥0
S
S
Istotnie: Niech L = conv λ≥0 λK. Jeśli y ∈ L, to y = limn→∞ yn gdzie yn ∈ conv λ≥0 λK.
Weźmy p ∈ K − . Zatem hp, yn i ≤ 0; czyli również hp, yi ≤ 0 a więc y ∈ (K − )− . Na odwrót,
przypuśćmy, że y ∈ (K − )− oraz y 6∈ L. Skoro L jest wypukły i domknięty, to istnieje forma
p ∈ E ∗ , kpk = 1 taka,że
suphp, zi < hp, yi.
z∈L
Ponieważ L jest stożkiem, to supz∈L hp, zi = 0 czyli p ∈ K − a więc hp, yi ≤ 0: sprzeczność.
W szczególności gdy K jest stożkiem domkniętym i wypukłym, to K = (K − )− .
1.4.2 UWAGA: Założenie ośrodkowości powyżej było potrzebne aby skorzystać z wersji twierdzenia Alaoglu, która mówi, że z ograniczonego ciągu funkcjonałów liniowych i ciągłych można
było wybrać podciąg zbieżny. Bez tego założenia, twierdzenie Alaoglu daje możność wyboru
zbieżnego podciągu uogólnionego. W takim wypadku następujący fakt jest prawdziwy: odwzorowanie T jest lsc wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego r > 0 zbiór Gr (N) ∩ [X × D(0, r)],
gdzie D(0, r) oznacza kule domkniętą w E ∗ o promieniu r, jest domknięty (o ile w X × E ∗ )
rozważyć te topologię co wyżej. Dowód, podobny do powyższego oparty jest wtedy na dwóch
faktach: jeśli (ps )s∈S jest ograniczonym ciągiem uogólnionym w E ∗ , (xs )s∈S jest ciągiem uogólnionym w X, ps * p0 oraz xs → x0 , to hps , xs i → hp0 , x0 i. Ponadto jeśli zdefiniować granice
górną w ∗ Lim sup x→x0 ψ(x) w następujący sposób: p0 ∈ w ∗ Lim sup x→x0 ψ(x) wtedy i tylko
18
wtedy, gdy istnieje zbiór skierowany S oraz ciągi uogólnione (xs )s∈S , (ps )s∈S takie, że xs → x0 ,
ps * p0 oraz (ps ) jest ograniczony, to
Lim inf T(x) = [w ∗ Lim sup N(x)]− .
x→x0
x→x0
W sytuacji gdy E jest przestrzenią ośrodkową, to
sw ∗ Lim sup N(x) = w ∗ Lim sup N(x),
x→x0
x→x0
zaś, wspomniana powyżej domkniętość zbioru Gr (N) ∩ [X × D(0, r)], dla dowolnego R > 0,
równoważna jest ciągowej domkniętości Gr (N) (oczywiście chodzi topologię iloczynu X × E ∗ ,
w której E ∗ ma ∗-słabą topologię.
1.5
Operacje na odwzorowaniach wielowartościowych
Niech φi : X → P(Y ), i ∈ I, będzie rodzina odwzorowań wielowartościowych. Definiujemy
S
odwzorowanie i∈I φi : X → P(Y ) wzorem
!
[
[
φi (x) :=
φi (x), x ∈ X.
i∈I
i∈I
1.5.1 FAKT: (1) Jeśli I jest zbiorem skończonym oraz φi jest usc dla dowolnego i ∈ I, to
S
odwzorowanie
i∈I φi jest usc. Gdy wykres Gr (φi ) jest domknięty dla każdego i ∈ I, to wykres
S
Gr
i∈I φi jest domknięty.
S
(2) Jeśli, dla każdego i ∈ I, φi jest lsc, to i∈I φi jest lsc.
DOWÓD. Wynika natychmiast z tego, że dla dowolnego zbioru B ⊂ Y ,
!−1
[
[
φi
(B) =
φi−1 (B).
i∈I
i∈I
S
S
Ponadto oczywiście Gr ( i∈I φi ) = i∈I Gr (φi ).
T
Podobnie można zdefiniować odwzorowanie i∈I φi : X → (Y ) wzorem
!
\
\
φi (x) :=
φi (x), x ∈ X,
i∈I
i∈I
przy założeniu, że ten ostatni zbiór jest niepusty.
T
1.5.2 FAKT: (1) Jeśli, dla dowolnego i ∈ I, φi : X ( Y jest usc i zbiór I jest skończony, to i∈I φi
jest usc.
T
(2) Jeśli, dla każdego i ∈ I, wykres Gr (φi ) jest domknięty, to Gr ( i∈I φi ) jest domknięty.
DOWÓD. Własność (2) jest oczywista, bo
\
\
Gr ( φi ) =
Gr (φi ).
i∈I
i∈I
Udowodnimy (1). Wystarczy pokazać, że jeśli φ1 , φ2 : X ( Y są usc, to φ1 ∩ φ2 jest usc. Weźmy
x0 ∈ X oraz zbiór otwarty V taki, że φ1 (x0 ) ∩ φ2 (x0 ) ⊂ V . Zbiory A1 := φ1 (x0 ) \ V , A2 := φ1 (x0 ) \ V
1.5. OPERACJE NA ODWZOROWANIACH WIELOWARTOŚCIOWYCH
19
są domknięte oraz rozłączne. Istnieją więc rozłączne zbiory otwarte V1 , V2 takie, że A1 ⊂ V1 ,
A2 ⊂ V2 . Istnieje otoczenie U punktu x0 takie, że dla x ∈ U, φ1 (x) ⊂ V1 ∪ V , φ2 (x) ⊂ V2 ∪ V .
Zatem, dla x ∈ U, φ1 (x) ∩ φ2 (x) ⊂ (V1 ∪ V ) ∩ (V2 ∪ V ) = V . Dowodzi to górnej półciągłości
odwzorowania φ1 ∩ φ2 .
1.5.3 PRZYKŁAD: Na ogół iloczyn mnogościowy odwzorowań lsc nie jest lsc. Niech φ1 , φ2 :
[−π, π] ( R2 dane będą wzorami:
φ1 (t) := {x = (x1 , x2 ) | kxk ≤ 1, x2 ≥ 0},
φ2 (t) := {x = (x1 , x2 ) | x1 = λ cos t, x2 = λ sin t, λ ∈ [−1, 1]}
dla t ∈ [−π, π]. Chociaż oba odwzorowania są nawet ciągłe oraz φ1 (t) ∩ φ2 (t) 6= ∅, to φ1 ∩ φ2
nie jest lsc. Nie jest ono lsc np. w punktach t = 0, π.
Niech φi : X → P(Yi ), i = 1, 2, gdzie Yi jest przestrzenią metryczną. Rozważmy odwzorowanie φ1 × φ2 : X → P(Y1 × Y2 ) dane wzorem
(φ1 × φ2 )(x) := φ1 (x) × φ2 (x), x ∈ X.
1.5.4 FAKT. (1) Jeżeli φi jest lsc, to φ1 × φ2 jest lsc.
(2) Jeśli oba odwzorowania mają zwarte wartości i są usc, to również takie jest φ1 × φ2 .
DOWÓD: (1) jest natychmiastowe (z ciągowej charakteryzacji lsc). Pokażemy (2). Niech x0 ∈ X i
weźmy zbiór otwarty V w Y1 ×Y2 taki, że φ1 (x0 )×φ2 (x0 ) ⊂ V . Korzystając ze zwartości nietrudno
pokazać, że istnieją zbiory otwarte V1 , V2 w Y1 i Y2 , odpowiednio, takie, że φi (x0 ) ⊂ Vi , i = 1, 2
oraz V1 × V2 ⊂ V . Zatem znajdziemy otoczenie U punktu x0 takie, że dla x ∈ U, φi (x) ⊂ Vi ,
i = 1, 2. Zatem, dla x ∈ U, φ1 (x) × φ2 (x) ⊂ V .
Niech teraz Y = Y1 = Y2 będzie przestrzenią unormowaną i niech funkcje f1 , f2 : X → R
będą ciągłe.
1.5.5 FAKT: (1) Jeśli φ1 , φ2 są lsc, to suma f1 φ1 + f2 φ : X → P(Y ) dana wzorem
(f1 φ1 + f2 φ2 )(x) := f1 (x)φ1 (x) + f2 (x)φ2 (x) = {f1 (x)y1 + f2 (x)y2 | yi ∈ φi (x), i = 1, 2},
dla x ∈ X, jest lsc.
(2) Jeśli φ1 , φ2 : X ( Y są usc i maja zwarte wartości, to f1 φ1 + f2 φ2 jest usc i ma zwarte
wartości.
DOWÓD: Rozważmy odwzorowanie T : X × Y × Y → Y dane wzorem
T(x, y1 , y2 ) = f1 (x)y1 + f2 (x)y2 , x ∈ X, y1 , y2 ∈ Y .
Łatwo widać, że T jest ciągłe. I dalej łatwo spostrzec, że
f1 φ1 + f2 φ2 = T ◦ (idX × φ1 × φ2 ).
Zatem teza wynika z faktu, że złożenie odwzorowań lsc (usc) jest lsc (usc).
1.5.6 FAKT: Niech Y będzie przestrzenią Banacha. Jeśli φ : X ( Y ma zwarte wartości i jest
lsc (usc), to odwzorowanie cl conv φ : X ( Y dane wzorem
(cl conv φ)(x) := cl conv φ(x), x ∈ X
jest lsc (usc) i ma zwarte wartości.
20
DOWÓD: Z twierdzenia Mazura, cl conv φ ma zwarte wartości. Weźmy zbiór otwarty V ⊃
cl conv φ(x). Znajdziemy wypukły zbiór otwarty W taki, że
φ(x) ⊂ cl conv φ(x) ⊂ W ⊂ cl W ⊂ V
(jak to zrobić?). Zatem istnieje otoczenie U punktu x takie, że dla x 0 ∈ U, φ(x 0 ) ⊂ W ; stąd
cl conv φ(x 0 ) ⊂ cl W ⊂ V . Pokazaliśmy więc, że cl conv φ jest usc o ile φ jest usc.
Przypuśćmy, że φ jest lsc i niech y0 ∈ conv φ(x0 ). Weźmy też ciąg xn → x0 . Zatem y0 =
Pn
Pn
.., n. Na mocy lsc istnieją ciągi (yni ),
i=1 λi yi gdzie
i=1 λi = 1, λi ≥ 0, oraz yi ∈ φ(x0 ), i = 1, 2,
P
i = 1, ..., n, takie, że yni → yi oraz yni ∈ φ(xn ). Zatem yn := ni=1 λi yni ∈ conv φ(xn ) oraz yn → y0 .
Pokazaliśmy więc, że już odwzorowanie conv φ jest lsc. Zwartość wartości w tym przypadku nie
była istotna. Dolna półciągłość odwzorowania cl conv φ wynika poniższego, bardziej ogólnego
faktu.
Zajmiemy się teraz własnościami półciągłości odwzorowań, które powstają z innych przy
pomocy operacji topologicznych.
1.5.7 FAKT: Niech φ : X → P(Y ).
(1) Odwzorowanie φ jest lsc wtedy i tylko wtedy, gdy lsc jest odwzorowanie cl φ : X 3 x →
cl φ(x) ⊂ Y .
(2) Jeśli φ jest usc, to cl φ jest też usc.
DOWÓD: (1) Niech y0 ∈ φ(x0 ) oraz xn → x0 . Jeśli cl φ jest lsc, to istnieje yn0 → y0 taki, że
yn0 ∈ cl φ(xn ). Lecz wtedy łatwo znajdziemy ciąg yn ∈ φ(xn ) taki, że d(yn , yn0 ) < 1/n. Zatem
yn → y0 ; to oznacza, że φ jest lsc.
Na odwrót, przypuśćmy, że φ jest lsc i weźmy zbiór otwarty V taki, że V ∩ cl φ(x) 6= ∅.
Wtedy, oczywiście, również V ∩ φ(x) 6= ∅. Zatem istnieje otocznię U punktu x takie, że ∅ =
6
φ(x 0 ) ∩ V ⊂ cl φ(x 0 ) ∩ V o ile x 0 ∈ U.
Aby dowieść (2) załóżmy, że K jest domknięty, xn ∈ (cl φ)−1 (K) oraz xn → x. Przypuśćmy
nie wprost, że cl φ(x)∩K = ∅. Istnieje więc zbiór otwarty V taki, że K ⊂ V oraz cl V ∩cl φ(x) = ∅.
Skoro cl φ(xn ) ∩ K 6= ∅, to ∅ 6= φ(xn ) ∩ V ⊂ φ(xn ) ∩ cl V . Stąd ∅ 6= φ(x) ∩ cl V ⊂ cl φ(x) ∩ cl V :
sprzeczność.
Fakt odwrotny do (2) powyżej na ogół nie zachodzi.
1.5.8 FAKT. Niech φ : X → P(Y ) ma wypukłe wartości oraz załóżmy, że dla dowolnego x ∈ X,
int φ(x) 6= ∅.
(1) Odwzorowanie int φ : X 3 x 7Ï int φ(x) ⊂ Y jest lsc wtedy i tylko wtedy, gdy φ jest lsc.
(2) Jeśli φ ma domknięte wartości i int φ jest usc, to φ jet usc.
DOWÓD: Fakt ten wynika z równości
cl [int φ(x)] = cl φ(x)
dla dowolnego x ∈ X. Jeśli φ jest lsc, to cl φ, a więc także int φ jest lsc. Gdy int φ jest lsc, to
cl [int φ] a wiec także cl φ oraz φ są lsc. Podobnie, jeśli φ ma domknięte wartości, zaś int φ jet
usc, to cl [int φ] jest usc; ale to oznacza, że i cl φ = φ jest usc
Wyjaśnimy teraz kiedy iloczyn mnogościowy odwzorowań lsc jest lsc. Powiemy, że odwzorowanie φ : X → P(Y ) jest quasi-otwarte jeśli, dla dowolnego x ∈ X, int φ(x) 6= ∅ oraz wykres
Gr (int φ) jest otwarty.
1.5.9 PRZYKŁAD: (1) Jeśli r : X → (0, +∞) jest funkcją ciągłą, to odwzorowanie φ : X ( X dane
wzorem φ(x) = D(x, r(x)) jest quasi-otwarte. Istotnie, dla każdego x ∈ X, int φ(x) = B(x, r(x)) 6=
1.5. OPERACJE NA ODWZOROWANIACH WIELOWARTOŚCIOWYCH
21
∅. Ponadto funkcja X × X 3 (x, y) 7Ï f(x, y) := r(x) − d(x, y) jest ciągła. Jeśli (x0 , y0 ) ∈ Gr (int φ),
to y0 ∈ B(x0 , r(x0 )) oraz f(x0 , y0 ) > 0. Istnieją więc otoczenia U i V punktów x0 oraz y0 , odpowiednio, takie, że f(x, y) > 0 na U × V . Oznacza, to, że dla x ∈ U oraz y ∈ V , y ∈ B(x, r(x)) tj.
U × V ⊂ Gr (int φ).
(2) Ogólniej: jeśli f : X → Y jest funkcją ciągłą, to odwzorowanie φ : X → Y dane wzorem
φ(x) = D(f(x), r(x)) jest quasi-otwarte (dowód podobny do powyższego pozostawiam czytelnikowi).
1.5.10 UWAGA: Można wykazać, że odwzorowanie φ : X → Rn o wypukłych wartościach jest
quasi-otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy F jest lsc i int φ(x) 6= ∅ dla wszystkich x ∈ X.
1.5.11 FAKT Niech φ1 : X → P(Y ) będzie lsc zaś φ2 : X → P(Y ) będzie quasi-otwarte. Jeśli, dla
dowolnego x ∈ X, φ1 (x) ∩ φ2 (x) 6= ∅ oraz φ1 (x) ∩ φ2 (x) ⊂ cl (φ1 (x) ∩ int φ2 (x)), to odwzorowanie
φ1 ∩ φ2 jest lsc.
Dowód. Niech U ⊂ Y będzie zbiorem otwartym. Jeśli x0 ∈ φ−1 (U), to φ(x0 ) ∩ U 6= ∅. Stąd
również
φ1 (x0 ) ∩ int φ2 (x0 ) ∩ U 6= ∅.
Wybierzmy y ∈ φ1 (x0 ) ∩ int φ2 (x0 ). Wtedy (x0 , y) ∈ Gr (int φ2 ). Zatem znajdziemy otoczenia V 0
punktu x0 oraz W punktu y takie, że V 0 × W ⊂ Gr (int φ2 ) i W ⊂ U. Dolna półciągłość φ1
implikuje istnienie otoczenia V 00 punktu x0 takiego, że V 00 ⊂ φ1−1 (W ). Jeśli x ∈ V := V 0 ∩ V 00 , to
φ1 (x) ∩ W 6= ∅ i jeśli y 0 ∈ φ1 (x) ∩ W , to (x, y 0 ) ∈ Gr (int φ2 ), czyli – w szczególności – y 0 ∈ φ2 (x).
Tak więc y 0 ∈ φ1 (x) ∩ φ2 (x) ∩ W ⊂ φ(x) ∩ U.
W podobnym duchu mamy ważny w dalszym ciągu lemat.
1.5.12 LEMAT: Niech K będzie zbiorem domkniętym i wypukłym w przestrzeni unormowanej
X oraz r : X → R+ = [0, +∞) funkcją ciągłą taką, że r(x) > d(x, K) dla x 6∈ K. Wtedy
odwzorowanie φ : X 3 x ( φ(x) := D(x, r(x)) ∩ K jest lsc oraz ma wypukłe, domknięte
wartości.
DOWÓD: Weźmy zbiór domknięty C ⊂ X i załóżmy, że xn ∈ φ+1 (C), xn → x oraz, że x 6∈ φ+1 (C),
tzn. φ(x) ∩ [X \ C] 6= ∅. Jeśli r(x) = 0, to x ∈ K oraz φ(x) = {x} i wtedy x 6∈ C. Zatem
d(xn , C) → d(x, C) > 0. Z drugiej strony φ(xn ) ⊂ C, czyli d(xn , C) ≤ r(xn ) → 0; sprzeczne.
Zakładamy zatem,że r(x) > 0. Istnieje y ∈ B(x, r(x)) ∩ K i y 6∈ C. Weźmy δ > 0 takie, że
ky − xk < r(x) − 2δ. Wtedy istnieje N ∈ N takie, że y ∈ B(xn , r(xn )) dla n ≥ N (tu odgrywa rolę
wypukłość K – w jaki sposób?). Zatem, dla n ≥ N, y ∈ B(xn , r(xn ) ∩ K ∩ [X \ C] ⊂ φ(xn ) ∩ [X \ C];
sprzeczność.
Rozdział
2
Istnienie selekcji i aproksymacji wykresowych
Niech φ : X → P(Y ) będzie odwzorowaniem wielowartościowym. Selekcją odwzorowania φ
nazywamy funkcję f : X → Y taką, że f(x) ∈ φ(x) dla wszystkich x ∈ X. Oczywiście każde odwzorowanie posiada selekcje – jest to konsekwencją aksjomatu wyboru. Tak więc interesujące
jest istnienie selekcji w odpowiednim sensie regularnych (np. ciągłych, mierzalnych itp.).
Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna Hausdorffa X jest parazwarta, jeśli w dowolne
jej pokrycie otwarte {Ui }i∈I można wpisać lokalnie skończone pokrycie otwarte {Vj }j∈J , tzn.
znajdzie się pokrycie otwarte {Vj }j∈J takie, że:
• dla dowolnego j ∈ J, istnieje i ∈ I takie, że Vj ⊂ Ui (mówi się wtedy, że rodzina {Vj } jest
wpisana w {Ui });
• każdy punkt x ∈ X ma otoczenie V takie, że zbiór {j ∈ J | Vj ∩ V 6= ∅} jest skończony
(mówimy wtedy, że rodzina {Vj } jest lokalnie skończona).
Na przykład każda przestrzeń metryczna jest parazwarta; każda przestrzeń zwarta jest
parazwarta. Z kolei każda przestrzeń parazwarta jest normalna.
Będziemy często używać następującego ważnego twierdzenia.
2.0.13 TWIERDZENIE (o rozkładzie jedności): Przestrzeń Hausdorffa X jest parazwarta wtedy
i tylko wtedy, gdy każdemu jej pokryciu otwartemu {Ui }i∈I można przyporządkować ciągły
rozkład jedności. To znaczy, że istnieje rodzina {λi }i∈I funkcji ciągłych λi : X → [0, 1] (i ∈ I),
zwana rozkładem jedności, taka, że:
(1) rodzina {supp λi }i∈I (1 ) jest lokalnie skończona oraz supp λi ⊂ Ui dla każdego i ∈ I;
P
(2) dla dowolnego x ∈ X, i∈I λi (x) = 1 (2 ).
W szczególności, w każde pokrycie otwarte {Ui }i∈I można wpisać rozkład jedności {λj }j∈J .
To znaczy {λj } jest rozkładem jedności oraz, dla dowolnego j ∈ J, istnieje ij ∈ I takie, że
supp λj ⊂ Uij .
Jeśli X jest przestrzenią metryczną, to każdemu pokryciu otwartemu można przyporządkować rozkład jedności składający się z funkcji Lipschitza (3 ).
Przypuśćmy, że dana jest rodzina A = {As }s∈S podzbiorów zbioru X. Gwiazdą zbioru
S
A ⊂ X względem rodziny A nazywamy zbiór st (A, A) := {As ∈ A | A ∩ As 6= ∅}. Mówimy,
Przypomnijmy, że nośnikiem funkcji ciągłej f : X → R nazywamy zbiór supp f := cl {x ∈ X | f(x) 6= 0}.
Zauważmy, że w świetle (1), dowolny punkt x ∈ X posiada otoczenie
P Vx takie, że zbiór Ix = {i ∈ I | λi (y) 6=
0, dla pewnego y ∈ V } jest skończony; stąd,
x , w sumie
i∈I λi (y) znajduje się jedynie skończona
P dla y ∈ VP
ilość
składników
niezerowych.
W
takim
razie
λ
(y)
=
λ
(y)
i,
co
za tym idzie, funkcja X 3 x 7Ï λ(x) :=
i
i
i∈I
i∈Ix
P
i∈I λi (x) jest poprawnie określona i ciągła.
3
Stąd wynika, że funkcja λ, określona w powyższym przypisie redakcyjnym, jest lokalnie lipschitzowska.
1
2
2.1. TWIERDZENIE MICHAELA O SELEKCJI
23
że rodzina A jest gwiaździście (odp. punktowo gwiaździście) wpisana w rodzinę B = {Bt }t∈T
jeśli dla dowolnego s ∈ S, istnieje t ∈ T takie, że st (As , A) ⊂ Bt (odp. dla każdego x ∈ X,
istnieje t ∈ T takie, że st (x, A) := st ({x}, A) ⊂ Bt ).
Ma miejsce następujący fakt.
2.0.14 FAKT: Dla przestrzeni Hausdorffa X następujące warunki są równoważne:
(1) Przestrzeń X jest parazwarta;
(2) w każde pokrycie otwarte przestrzeni X można wpisać punktowo gwiaździście lokalnie skończone pokrycie otwarte;
(3) w każde pokrycie otwarte przestrzeni X można wpisać gwiaździście lokalnie skończone pokrycie otwarte.
2.1
Twierdzenie Michaela o selekcji
Zaczniemy od najbardziej znanego twierdzenia o istnieniu selekcji – twierdzenie Michaela.
2.1.1 TWIERDZENIE (Michaela): Niech X będzie przestrzenią parazwartą a Y przestrzenią
lokalnie wypukłą Frecheta (4 ). Jeśli φ : X ( Y jest lsc (5 ), ma domknięte i wypukłe wartości,
to posiada ciągłą selekcję f : x → Y .
Twierdzenie to sformułowaliśmy w dużej ogólności. Zwykle poruszaliśmy się w zakresie przestrzeni metrycznych. Oczywiście każda przestrzeń metryczna jest parazwarta, zatem
twierdzenie Michaela równie dobrze dotyczy przestrzeni metrycznej X. Przyczyna, dla której
formułujemy to twierdzenie ogólniej wynika przede wszystkim z chęci przedstawienia możliwie ogólnej jego wersji, ale także z chęci użycia techniki dowodowej, która – w przypadku
przestrzeni metrycznej – przestaje być przejrzysta.
Dowód twierdzenia Michaela oparty jest na poniższym lemacie
2.1.2 LEMAT: Niech ψ : X → P(Y ) będzie odwzorowaniem lsc o wypukłych wartościach. Dla
dowolnego ε > 0 istnieje ciągłe odwzorowanie f = fψ,ε : X → Y takie, że B(f(x), ε) ∩ ψ(x) 6= ∅.
DOWÓD: Rodzina U = {Uy }y∈Y , gdzie Uy = ψ −1 (B(y, ε)), jest otwartym pokryciem przestrzeni
X. Niech {λy }y∈Y będzie rozkładem jedności podporządkowanym pokryciu U. Niech
X
f(x) :=
λy (x)y, x ∈ X.
y∈Y
Wówczas f : X → Y jest funkcją ciągłą spełniającą tezę lematu. Istotnie, ustalmy x ∈ X, oraz
niech {y1 , y2 , ..., ym } = {y ∈ Y | λy (x) 6= 0}. Zatem x ∈ supp λyi ⊂ Uyi = ψ −1 (B(yi , ε)), czyli
Pm
istnieje yi0 ∈ φ(x) ∩ B(yi , ε), dla dowolnych i = 1, ..., m, oraz f(x) =
i=1 λyi (x)yi . Stąd, dla
Pm
0
y := i=1 λyi yi ∈ ψ(x) mamy
y − f(x) =
m
X
λyi (x)(yi − yi0 ) ∈ B(0, ε)
i=1
Tzn. Y jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną, metryzowalną w sposób zupełny; zatem Y jest
przestrzenią liniowo-metryczną zupełną, w której kule są zbiorami wypukłymi.
5
w kontekście twierdzenia Michaela) dolna półciągłość odwzorowania φ : X → Y oznacza oczywiście, dla
dowolnego x0 ∈ X oraz zbioru otwartego V ⊂ Y takiego, że φ(x0 ) ∩ C 6= ∅, to istnieje otoczenie U punktu x0 takie,
że φ(x) ∩ V 6= ∅ dla każdego x ∈ U.
4
24
2. ISTNIENIE SELEKCJI I APROKSYMACJI WYKRESOWYCH
(bo kula B(0, ε) jest wypukła i yi − yi0 ∈ B(0, ε). Jednocześnie, wypukłość ψ(x) implikuje, że
y ∈ ψ(x). Zatem y ∈ B(f(x), ε) ∩ ψ(x).
2.1.3 UWAGA: Odwzorowanie X 3→ B(f(x), ε) jest quasi-otwarte . Zatem odwzorowanie ψε :
X → P(Y ) dane wzorem
ψε (x) := ψ(x) ∩ B(fψ,ε (x), ε), x ∈ X
jest dolnie półciągłe (patrz przykład 1.5.9 i fakt 1.5.11).
DOWÓD (twierdzenia Michaela): Korzystając z lematu, definiujemy indukcyjnie ciąg dolnie półciągłych odwzorowań ψn−1 : X → P(Y ), n ∈ N, o wypukłych wartościach oraz ciąg funkcji
ciągłych fn : X → Y , n ∈ N, takie, że ψ0 = φ, fn = fψn−1 ,1/n oraz ψn (x) = ψn−1 (x) ∩ B(fn (x), 1/n)
przy x ∈ X oraz n ∈ N.
Ustalmy x ∈ X; dla każdego m ∈ N, weźmy ym (x) ∈ ψm (x). Wtedy
d(ym (x), fm (x)) < 1/m.
Ponieważ, dla n ≤ m, ψm (x) ⊂ ψn (x), to d(ym (x), fn (x)) < 1/n oraz
d(fn (x), fm (x)) ≤ d(fm (x), ym (x)) + d(ym (x), fn (x)) < 1/m + 1/n ≤ 2/n.
Stąd ciąg funkcyjny (fm )m=1 spełnia jednostajnie warunek Cauchy’ego (6 ). W takim razie, dla
każdego x ∈ X,
f(x) := lim fm (x) = lim ym (x) ∈ φ(x).
m→∞
m→∞
Oczywiście fm → f jednostajnie, gdzie f : X → Y jest funkcją ciągłą określoną powyższym
wzorem.
2.1.4 UWAGA: (1) Zauważmy, że w dowodzie skorzystaliśmy jedynie z faktu, że wartości φ(x),
x ∈ X, są zbiorami zupełnymi w Y a nie z zupełności Y (oczywiście zupełność przestrzeni Y
implikuje, że jej domknięte podzbiory są zupełne).
(2) Teza twierdzenia Michaela jest jednocześnie warunkiem dostatecznym parazwartości,
tzn.: jeśli przestrzeń Hausdorffa X ma te własność, że dla każdego lsc odwzorowania φ : X → E
o wartościach wypukłych w przestrzeni Banacha ma ciągłą selekcję, to X jest przestrzenią
parazwartą.
Założenie wypukłości jest w twierdzeniu Michaela bardzo istotne.
2.1.5 PRZYKŁAD: (1) Niech X będzie sferą parzysto-wymiarową, tzn. X = S n gdzie n = 2k, k ∈ N.
Jak wiadomo (twierdzenie o zaczesaniu sfery) nie istnieje ciągłe nie znikające pole styczne na
S n . Tak więc jeśli v : S n → S n jest odwzorowaniem ciągłym takim, że dla dowolnego x ∈ S n ,
hv(x), xi = 0, to v ma miejsce zerowe.
Rozważmy odwzorowanie wielowartościowe φ : S n ( S n zadane wzorem:
φ(x) = {y ∈ S n | hy, xi = 0} dla x ∈ S n .
Łatwo dostrzec, że φ(x) jest sferą jednostkową n − 1-wymiarową leżącą w podprzestrzeni {x}− .
Oczywiście φ jest odwzorowaniem o zwartych wartościach, ciągłym w sensie metryki Hausdorffa, a więc – w szczególności – półciągłym z dołu. Gdyby istniała ciągła selekcja f : S n → S n ,
to f 6= 0 na S n oraz hf(x), xi = 0. Sprzeczność.
6
Zauważmy, że dla każdego x ∈ X, ciąg (fm (x)) jest ciągiem Cauchy’ego; czyli również (ym (x)) jest ciągiem
Cauchy’ego w φ(x).
2.1. TWIERDZENIE MICHAELA O SELEKCJI
25
(2) Niech φ(0) = S 1 i φ(x) = S 1 \ B(|x|−1 x, |x|) dla x ∈ D2 := D(0, 1) ⊂ R2 . Odwzorowanie
φ : D2 ( D2 jest nawet ciągłe, lecz nie ma ciągłej selekcji, dlaczego?
2.1.6 WNIOSEK: Przy założeniach twierdzenie Michaela załóżmy, że A ⊂ X jest zbiorem
domkniętym i f0 : A → Y jest selekcją obcięcia φ|A . Istnieje wówczas przedłużenie ciągłe
f : X → Y odwzorowania f0 (tzn. f|A = f0 ), której jest selekcją φ.
2.1.1 ĆWICZENIE: Udowodnić ten wniosek.
Twierdzenie Michaela ma szereg zastosowań. Podamy tu dwa takie zastosowania.
2.1.7 TWIERDZENIE (o przedłużaniu): Jeśli X jest przestrzenią parazwartą, Y przestrzenią
Frécheta, A ⊂ X zbiorem domkniętym i f0 : A → Y odwzorowaniem ciągłym, to istnieje
odwzorowanie f : X → Y takie, że f|A = f0 , tzn. f jest przedłużeniem f0 .
DOWÓD: Rozważmy φ : X ( Y dane wzorem
f0 (x) gdy x ∈ A;
φ(x) =
Y
gdy x ∈ X \ A,
x ∈ X.
Wówczas odwzorowanie φ spełnia założenie twierdzenia Michaela i jego ciągła selekcja jest
szukanym przedłużeniem f0 .
2.1.8 TWIERDZENIE (o retrakcji): Niech A ⊂ E będzie zbiorem domkniętym i wypukłym w
przestrzeni Banacha E. Dla dowolnego ε > 0 istnieje retrakcja r : E → A (tzn. odwzorowanie
ciągłe takie, że r(x) = x, o ile x ∈ A) taka, że kx − r(x)k ≤ (1 + ε)d(x, A) dla dowolnego x ∈ E.
DOWÓD: Ustalmy ε > 0 i rozważmy odwzorowanie vp : E ( A dane wzorem:
φ(x) = A ∩ D(x, (1 + ε)d(x, A)), x ∈ E.
Funkcja E 3 x 7Ï ρ(x) := (1 + ε)d(x, A) jest oczywiście ciągła, stąd odwzorowanie E 3 x 7Ï
D(x, ρ(x)) jest quasi-otwarte. Tak więc odwzorowanie φ spełnia założenia twierdzenia Michaela
i jego ciągła selekcja jest szukaną retrakcją.
.
2.1.A
Informacja o twierdzeniu Fryszkowskiego
Niech (Ω, A , µ) będzie przestrzenią z miarą. Przypomnijmy, że L1 (Ω, E), gdzie E jest przestrzenią Banacha, oznacza
przestrzeń Banacha całkowalnych w sensie Bochnera funkcji u : Ω → E
R
z normą kuk := Ω ku(t)k dµ(t).
Symbolem M(Ω, E) oznacza przestrzeń odwzorowań mierzalnych (silnie mierzalnych) funkcji u : Ω → E. Jasne, że
L1 (Ω, E) ⊂ M(Ω, E).
Przypuśćmy, że φ : Ω → P(E) i rozważmy zbiór
Nφ := {u ∈ M(Ω, E) | u(t) ∈ φ(t) dla p.w. t ∈ Ω}
lub
Nφ := {u ∈ L1 (Ω, E) | u(t) ∈ φ(t) dla p.w. t ∈ Ω}.
Jest jasne, że jeśli wartości odwzorowania φ są wypukłe (odp. domknięte), to zbiór Kφ jest
wypukły (odp. domknięty). Ta własność nie zachodzi, gdy wartości φ nie są wypukłe. Jednak
wtedy, dla dowolnego A ∈ A , u, v ∈ Kφ ,
χA u + χΩ\A v = χA u + (1 − χA )v ∈ Kφ .
26
2.1.9 DEFINICJA: Zbiór K ⊂ M(Ω, E) (lub K ⊂ L1 (Ω, E)) nazywa się zbiorem rozkładalnym, gdy
dla dowolnego A ∈ A , u, v ∈ Kφ ,
χA u + (1 − χA )v ∈ K.
2.1.10 UWAGA: Tak więc zbiór Kφ jest rozkładalny przy dowolnym odwzorowaniu φ. Okazuje
się, że zbiór domknięty K ⊂ L1 (Ω, E) jest rozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje mierzalne
odwzorowanie φ : Ω ( E (definicja mierzalności odwzorowań wielowartościowych pojawi się
za chwilę) takie, że K = Kφ .
Załóżmy teraz, że Ω jest przestrzenią metryczną, A jest σ-ciałem w Ω zawierającym σciało B(Ω) zbiorów borelowskich w Ω, µ : A → [0, +∞) jest skończoną, zupełną i regularną
miarą (tzn. dla dowolnego A ∈ A i ε > 0, istnieje zbiór domknięty F ⊂ A i µ(A \ F) < ε);
dodatkowo zakładamy, że przestrzeń dualna E∗ jest ośrodkowa.
2.1.11 PRZYKŁAD: Jeżeli Ω jest lokalnie zwartą σ-zwartą (np. lokalnie zwartą ośrodkową) przestrzenią metryczną i µ jest dodatnią miarą Radona (stowarzyszoną z pewny dodatnim funkcjonałem rzeczywistym na przestrzeni ciągłych funkcji rzeczywistych o zwartym nośniku określonych na Ω), to µ jest zupełną σ-skończoną regularną miarą to some positive real linear
functional on the space of all zdefiniowaną na σ-ciele A zawierającym B(Ω); w istocie (A , µ)
jest uzupełnieniem Lebesgue’a σ-ciała borelowskiego (B(Ω), µ|B(Ω) ).
2.1.12 TWIERDZENIE (Bressan-Colombo-Fryszkowski): Przy powyższych założeniach, jeśli vp :
X ( L1 (Ω, E), gdzie X jest ośrodkową przestrzenią metryczną, jest lsc i ma wartości rozkładalne, to φ ma ciągłą selekcję f : X → L1 (Ω, E).
Dowód tego twierdzenia jest dość trudny.
2.2
ε-selekcje
Podobnie jak wypukłość wartości w twierdzeniu Michaela istotne jest również założenie dolnej
półciągłości. Łatwo znaleźć przykład odwzorowania usc φ : X ( Y o zwartych wypukłych
wartościach, dla którego nie istnieją ciągłe selekcje.
2.2.1 PRZYKŁAD: Rozważmy odwzorowanie φ : R ( R dane wzorem

 [−1, 1] dla x = 0;
1
dla x > 0;
φ(x) =

−1
dla x < 0.
łatwo dostrzec, że każda selekcja odwzorowania φ jest funkcją nieciągłą.
Jednak można nieco złagodzić założenie dolnej półciągłości i zamiast o selekcjach mówić
o tzw. ε-selekcjach, gdzie ε > 0 lub, ogólniej, ε jest pewną funkcją ciągłą. Mianowicie załóżmy,
że φ : X → P(Y ), gdzie X jest przestrzenią topologiczną, zaś Y jest przestrzenią metryczną,
jest odwzorowaniem wielowartościowym i niech ε : X → (0, +∞) będzie funkcją. Powiemy, że
odwzorowanie f : X → Y jest ε-selekcją (lub jednostajną ε-aproksymacją) odwzorowania φ
jeśli, dla dowolnego x ∈ X,
d(f(x), φ(x)) < ε(x).
27
2.2. ε-SELEKCJE
Tak więc f jest ε-selekcją φ jeśli, dla dowolnego x ∈ X, d(f(x), φ(x)) < ε(x), tzn. f(x) ∈
B(φ(x), ε(x)).
2.2.2 DEFINICJA: Mówimy, że odwzorowanie φ : X → P(Y ), gdzie X i Y są przestrzeniami
topologicznymi, jest sub-lsc, gdy dla dowolnych x ∈ X i ε > 0, istnieje otoczenie V punktu x
T
takie, że y∈V B(φ(y), ε) 6= ∅.
2.2.1 ĆWICZENIE: Wykazać, że każde odwzorowanie lsc jest sub-lsc.
2.2.3 TWIERDZENIE (Deutsch-Kenderov): Niech X będzie przestrzenią parazwartą, zaś E przestrzenią Banacha. Odwzorowanie φ : X → P(E) o wartościach wypukłych jest sub-lsc wtedy
i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji ciągłej ε : X → (0, +∞) istnieje ciągła ε-selekcja
f : X → E.
DOWÓD: Pokażemy jedynie dostateczność. Zakładamy więc, że φ : X → P(E) ma wypukłe
wartości i jest sub-lsc. Ustalmy funkcję ciągłą ε : X → (0, +∞). Dla dowolnego x ∈ X, znajdziemy otoczenie Vx i yx ∈ φ(x) takie, że yx ∈ B(φ(z), ε(x)/2) dla dowolnego z ∈ Vx . Niech
Ux := Vx ∩ ε−1 ((ε(x)/2, +∞)). Wtedy Ux jest otwartym otoczeniem x. Niech {ps }s∈S będzie
rozkładem jedności wpisanym w pokrycie {Ux }x∈X , tzn. dla dowolnego s ∈ S istnieje xs ∈ X
takie, że supp ps ⊂ Uxs . Niech ys := yxs i
X
f(x) :=
ps (x)ys , x ∈ X.
s∈S
Wtedy f jest przekształceniem ciągłym i dla x ∈ X, jeśli ps (x) 6= 0, to x ∈ Uxs , czyli x ∈ Vxs
a więc ys ∈ B(φ(x), ε(xs )/2) oraz ε(xs )/2 < ε(x). Wybierzmy ys0 ∈ φ(x) such that kys − ys0 k <
ε(xs )/2 < ε(x). Hence
X
X
d(f(x), φ(x)) ≤ f(x) −
ps (x)ys0 ≤
ps (x)kys − ys0 k < ε(x).
s∈S
s∈S
Pojęcie ε-selekcji odwzorowania φ można uogólnić. Jeśli Y jest przestrzenią wektorowotopologiczną, to można mówić na przykład o tzw. V -selekcjach, gdzie V jest (ustalonym) otoczeniem zera w Y . Funkcja f : X → Y jest V -selekcją dla φ jeżeli, dla dowolnego x ∈ X,
f(x) ∈ φ(x) + V .
Wprowadzimy pojęcie jeszcze ogólniejsze. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi,
φ : X → P(Y ) odwzorowaniem wielowartościowym oraz U otwartym otoczeniem (w X × Y )
wykresu Gr (φ). Wobec tego, dla dowolnego x ∈ X, φ(x) ⊂ U(x) := {y ∈ Y | (x, y) ∈ U}.
Powiemy, że funkcja f jest U-selekcją odwzorowania φ, jeżeli dla dowolnego x ∈ X, f(x) ∈
U(x). Tak więc f : X → Y jest U-selekcją wtedy i tylko wtedy, gdy f jest selekcją odwzorowania
wielowartościowego X 3 x 7Ï U(x).
Rozważmy sytuację gdy Y jest przestrzenią metryczną. Okazuje się, że wtedy pojęcia Uselekcji i ε-selekcji są porównywalne.
2.2.4 TWIERDZENIE: Niech X będzie przestrzenią topologiczną a Y przestrzenią metryczną,
φ : X → P(Y ) odwzorowaniem wielowartościowym.
(1) Jeśli przestrzeń X jest parazwarta, φ jest górnie półciągłe oraz ma zwarte wartości,
to dla dowolnego otoczenia U wykresu Gr (φ), istnieje ciągła funkcja ε : X → (0, +∞) taka,
że każda ε-selekcja jest U-selekcją.
(2) Jeśli odwzorowanie φ jest H-dolnie półciągłe, to dla dowolnej funkcji ciągłej ε : X →
28
(0, +∞), istnieje otwarte otoczenie U wykresu Gr (φ) takie, że każda U-selekcja jest również
ε-selekcją.
DOWÓD: (1) Ustalmy x ∈ X. Oczywiście {x} × φ(x) ⊂ U. Zatem istnieje liczba εx > 0 oraz
otoczenie otwarte Ux punktu x (w X) takie, że Ux × B(φ(x), 2εx ) ⊂ U. W szczególności, dla
dowolnego y ∈ Ux , B(φ(x), 2εx ) ⊂ U(y). Z drugiej strony, wykorzystując górną półciągłość
odwzorowania φ, bez zmniejszenia ogólności można zakładać, że dla y ∈ Ux , φ(y) ⊂ B(φ(x), εx ).
Rozważmy rozkład jedności {λj : X → [0, 1]}j∈J wpisany w pokrycie otwarte {Ux }x∈X .
Zatem, dla każdego j ∈ J, istnieje xj ∈ X takie, że supp λj ⊂ Uj := Uxj . Dla j ∈ J, połóżmy
εj := εxj i rozważmy funkcję ε : X → R daną wzorem
X
λj (x)εj dla x ∈ X.
ε(x) =
j∈J
Jest jasne, że ε jest funkcja ciągłą oraz ε > 0 na X.
Niech x ∈ X. Istnieje j ∈ J takie, że λj (x) > 0 (tzn. x ∈ Uj ) oraz ε(x) ≤ εj . Zatem
B(φ(xj ), 2εj ) ⊂ U(x) oraz φ(x) ⊂ B(φ(xj ), εj ). Wobec tego
B(φ(x), ε(x)) ⊂ B(φ(xj ), ε(x) + εj ) ⊂ B(φ(xj ), 2εj ) ⊂ U(x).
Tak więc jeśli f : X → Y jest ε-selekcją φ, to f(x) ∈ B(φ(x), ε(x)) ⊂ U(x) co dowodzi, że f jest
U-selekcją φ.
(2) Dla każdego (z, y) ∈ Gr (φ), niech
ε(z)
−1 ε(z)
U(z, y) = ε
, +∞ ∩ Uz × B y,
2
4
gdzie Uz jest otoczeniem punktu z takim, że δH (φ(z), φ(x)) < ε(z)
4 dla x ∈ Uz istniejącym w
świetle założonej H-dolnej półciągłości odwzorowania φ. Oczywiście U(z, y) jest otoczeniem
punkty (z, y). Połóżmy
[
U :=
U(x, y).
(x,y)∈Gr (φ)
Wtedy U jest zbiorem otwartym, Gr (φ) ⊂ U. Przypuśćmy, że f : X → Y jest U-selekcją i
niech x ∈ X. Wówczas (x, f(x)) ∈ U, tzn. istnieje z ∈ X oraz y ∈ φ(z) takie, że x ∈ Uz , x ∈
ε(z)
ε(z)
ε(z)
ε(z)
+
ε−1 ( ε(z)
2 , +∞) oraz f(x) ∈ B(y, 4 ). Zatem 2 < ε(x), dH (φ(x), φ(z)) < 4 oraz d(f(x), y) < 4 .
Stąd y ∈ φ(z) ⊂ B(φ(x), ε(z)
4 ) oraz
d(f(x), φ(x)) ≤ d(f(x), y) + d(y, φ(x)) < 2
Tak więc f jest ε-selekcją dla φ.
ε(z)
< ε(x).
4
Udowodniony rezultat oznacza, że (gdy X jest przestrzenią parazwartą, Y jest przestrzenią
metryczną) pojęcia ε-selekcji (z ciągłą funkcją ε) oraz U-selekcji (gdzie U jest otwartym
otoczeniem Gr (φ)) są dla odwzorowania φ równoważne o ile φ jest odwzorowaniem ciągłym
o zwartych wartościach.
2.3
Aproksymacje wykresowe
Przenalizujemy bliżej pojęcie U-selekcji. Przede wszystkim zauważmy, że f : X → Y jest
U-selekcją wtedy i tylko wtedy, gdy Gr (f) ⊂ U. Takie odwzorowanie f nazywamy także Uaproksymacją wykresową odwzorowania φ. Tak więc pojęcia U-selekcji i U-aproksymacji
pokrywają się.
2.3. APROKSYMACJE WYKRESOWE
29
Jeśli X i Y są przestrzeniami metrycznymi oraz ε : X → (0, +∞), to mówimy, że f jest
ε-aproksymacją wykresową dla φ jeśli, dla dowolnego x ∈ X,
f(x) ∈ B(φ(B(x, ε(x))), ε(x)).
W szczególności, dla stałej ε > 0, f : X → Y jest ε-aproksymacją gdy f(x) ∈ B(φ(B(x, ε)), ε) dla
x ∈ X.
Innymi słowy f jest ε-aproksymacja wykresową odwzorowania φ jeśli, dla każdego x ∈ X,
istnieje x 0 ∈ X oraz y 0 ∈ φ(x 0 ) takie, że d(x, x 0 ), d(f(x), y 0 ) < ε(x).
Pojęcia ε-selekcji i ε-aproksymacji nie są, jak łatwo widzieć, równoważne.
Mamy jednak następujący fakt.
2.3.1 TWIERDZENIE: Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi oraz φ : X → P(Y ) odwzorowaniem wielowartościowym.
(1) Jeśli φ jest usc i ma zwarte wartości, to dla dowolnego otoczenia U wykresu Gr (φ), istnieje ciągła funkcja ε : X → (0, +∞) taka, że każda ε-aproksymacja φ jest U-aproksymacją.
(2) Jeśli ε : X → (0, +∞) jest funkcją ciągłą, to istnieje otoczenie U wykresu Gr (φ) takie,
że każda U-aproksymacja jest ε-aproksymacją.
DOWÓD: (1) Górna półciągłość φ implikuje, że, dla dowolnego x ∈ X, istnieje liczba r(x) > 0
taka, że
B(x, r(x)) × B(φ(B(x, 2r(x))), r(x)) ⊂ U.
Niech {λj }j∈J będzie rozkładem jedności wpisanym w pokrycie otwarte {B(x, r(x))}x∈X . Zatem,
dla każdego j ∈ J, istnieje xj ∈ X takie, że supp λj ⊂ B(xj , r(xj )). Niech rj := r(xj ) i zdefiniujmy
X
ε(x) =
λj (x)rj , x ∈ X.
j∈J
Przypuśćmy, że f : X → Y jest ε-aproksymacją wykresową φ. Dla x ∈ X, istnieje i ∈ J
takie, że λi (x) > 0 (stąd x ∈ B(xi , ri )) oraz ε(x) ≤ ri . Skoro f(x) ∈ B(φ(B(x, ε(x))), ε(x)), to
mamy x 0 ∈ B(x, ε(x)) i y 0 ∈ φ(x 0 ) takie, że f(x) ∈ B(y 0 , ε(x)). Stąd y 0 ∈ φ(B(xi , 2ri )) oraz
f(x) ∈ B(φ(B(xi , 2ri )), ri ). Zatem
(x, f(x)) ∈ B(xi , ri ) × B(φ(B(xi , 2ri )), ri ) ⊂ U.
(2) Dla dowolnego (x, y) ∈ Gr (φ), połóżmy
ε(x)
ε(x)
−1 ε(x)
, +∞ ∩ B x,
× B y,
U(x, y) := ε
2
2
2
oraz
U=
[
U(x, y).
(x,y)∈Gr (φ)
Oczywiście U jest otwartym otoczeniem wykresu Gr (φ). Niech f : X → Y będzie U-aproksymacją
odwzorowania φ. Zatem istnieje x 0 ∈ X oraz y 0 ∈ φ(x 0 ) takie, że (x, f(x)) ∈ U(x 0 , y 0 ). W takim
0
razie ε(x) > ε(x2 ) , d(x, x 0 ) < ε(x) oraz d(f(x), y 0 ) < ε(x). Tak więc f jest ε-aproksymacją.
2.3.2 UWAGA: (1) Gdy ε > 0 jest stałą, to dowód się upraszcza: wystarczy przyjąć, że U =
B(Gr (φ), ε), tzn. U jest ε-otoczeniem wykresu Gr (φ) (gdy w X × Y rozważamy metrykę max,
tzn. dla (x, y), (x 0 , y 0 ) ∈ X × Y , dX×Y ((x, y), (x 0 , y 0 )) = max{dX (x, x 0 ), dY (y, y 0 )}).
30
(2) W kontekście warunku (2) powyżej, zauważmy, że dla dowolnego x ∈ X, istnieje δ > 0
taka, że
B(x, δ) × B(φ(x), δ) ⊂ U.
Istotnie, z ciągłości ε wynika, że istnieje 0 < δ < ε(x)/2 takie, ze dla x 0 ∈ B(x, δ), |ε(x 0 ) − ε(x)| <
ε(x)/2. Niech x 0 ∈ B(x, δ) oraz y 0 ∈ B(φ(x), δ). Wtedy ε(x 0 ) > ε(x)/2, x 0 ∈ B(x, ε(x)/2) oraz
y 0 ∈ B(y, ε(x)/2) dla pewnego y ∈ φ(x). Tak więc (x 0 , y 0 ) ∈ U(x, y) ⊂ U.
W szczególności, gdy ε > 0 jest stałą, to
B(x, ε) × B(φ(x), ε) ⊂ U = B(Gr (φ), ε).
(3) Wreszcie: dla danej funkcji ε : X → (0, +∞), funkcja f jest ε-aproksymacją odwzorowania φ : X ( P(Y ) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest jego U-aproksymacją, gdzie
[
B((x, y), ε),
U = U(ε) :
(x,y)∈Gr (φ)
gdzie w iloczynie X × Y rozważamy np. metrykę max.
Rozważanie U-aproksymacji (a nie tylko ε-aproksymacji, gdzie ε jest dodatnią funkcją lub
stałą) wynika z następującej obserwacji:
2.3.3 TWIERDZENIE: Przypuśćmy, że X, Y , Z są przestrzeniami metrycznymi, φ : X → P(Y ) i
g : Y → Z jest odwzorowaniem ciągłym. Dla danego otoczenia V wykresu Gr (g ◦ φ) istnieje
takie otoczenie U wykresu Gr (φ), że dla dowolnej U-aproksymacji f : X → Y odwzorowania
φ, złożenie g ◦ f jest V-aproksymacją g ◦ φ.
DOWÓD: Niech G : X × Y → X × Z dane będzie wzorem G(x, y) = (x, g(y)), x ∈ X, y ∈ Y . Niech
U := G −1 (V). Wtedy oczywiście U jest otwartym otoczeniem wykresu Gr (φ). Weryfikację tezy
przy wskazanym doborze U pozostawiam Czytelnikowi.
2.3.4 UWAGA: Powyższe twierdzenie można wzmocnić. Mianowicie przypuśćmy, że φ : X ( Y
ma zwarte wartości i jest usc, zaś ψ : Y → Z jest takie, że ψ −1 (y) jest zbiorem zwartym dla
każdego y ∈ Y i ψ(B) jest zbiorem domkniętym, o ile B ⊂ Y jest domknięty. Wtedy: dla danego
otoczenie otwartego V wykresu Gr (ψ ◦ φ) znajdą się otoczenia U wykresu Gr (φ) i W wykresu
Gr (ψ) takie, że jeśli f : X → Y jest U-aproksymacją odwzorowania φ, zaś g : Y → Z jest
W-aproksymacją odwzorowania ψ, to złożenie g ◦ f jest U-aproksymacją złożenia ψ ◦ φ.
Fakt ten pozostanie prawdziwy także, gdy odstąpić od zwartości wartości odwzorowania φ.
W takiej jednak sytuacji musimy zażądać, aby otoczenie V było grube. Mówimy, że otoczenie
V pewnego odwzorowana wielowartościowego Φ : X → P(Y ) jest grube, jeśli dla każdego
x ∈ X znajdą się otoczenie Vx punktu x i VΦ zbiory φ(x) takie, że Vx × VΦ ⊂ V (7 ).
Najlepiej znanym twierdzeniem o istnieniu aproksymacji wykresowych jest twierdzenie
Celliny Tu podajemy jego pewne uogólnienie
2.3.5 TWIERDZENIE: Załóżmy, że X jest przestrzenią parazwartą, Y jest przestrzenią lokalnie
wypukłą (np. unormowaną), zaś U jest otoczeniem otwartym wykresu Gr (φ) usc odwzorowania φ : X → P(Y ) takim, że dla każdego x ∈ X istnieją otoczenie Ux punktu x oraz wypukłe
otoczenie Vx zbioru φ(x) takie, że Ux × Vx ⊂ U (tak więc żądamy, by U było otoczeniem
grubym (8 )). Wtedy istnieje U-aproksymacja f : X → Y dla φ taka, że f(X) ⊂ conv φ(X).
7
Przykładem grubego otoczenie wykresu Gr (Φ) jest zbiór U(ε) zdefiniowany wyżej (podmieniając φ na Φ),
gdzie ε : X → (0, +∞).
8
Jeśli odwzorowanie φ : X → P(Y ) ma wypukłe wartości, to otoczenie U(ε). gdzie ε jest funkcją, jest otoczeniem
o własnościach, których wymagamy – patrz też przykład 2.3.6.
2.3. APROKSYMACJE WYKRESOWE
31
DOWÓD: Dla dowolnego x ∈ X wybierzmy Ux oraz Vx jak wyżej. Ewentualnie zmniejszając Ux ,
można założyć, że φ(Ux ) ⊂ Vx . Niech W będzie pokryciem otwartym punktowo gwiaździście
wpisanym w pokrycie {Ux }x∈X . Niech teraz {λj }j∈J będzie rozkładem jedności wpisanym w W.
Zatem, dla dowolnego j ∈ J, istnieje Wj ∈ W takie, że supp λj ⊂ Wj . Wybierzmy też yj ∈ φ(Wj ).
Definiujemy
X
λj (x)yj dla x ∈ X.
f(x) =
j∈J
Wtedy f jest funkcją ciągłą. Pokażemy, że f jest U-aproksymacją odwzorowania φ. Weźmy
P
x ∈ X i niech J(x) := {j ∈ J | x ∈ supp λj }. Wtedy oczywiście f(x) = j∈J(x) λj (x)yj . Jeśli j ∈ J(x),
to Wj ⊂ st (x, W) ⊂ Ux dla pewnego x ∈ X; w takim razie yj ∈ φ(Wj ) ⊂ φ(Ux ) ⊂ Vx . Czyli
f(x) ∈ Vx . Ponieważ oczywiście x ∈ Ux , więc
(x, f(x)) ∈ Ux × Vx ⊂ U.
Dowodzi to, że f jest U-aproksymacją dla φ.
2.3.6 PRZYKŁAD: Jeśli X i Y są jednocześnie przestrzeniami metrycznymi (w Y rozważamy
metrykę, w której kule są wypukłe), φ ma wartości wypukłe (i jest usc), to z powyższego twierdzenia wynika, że φ posiada ε-aproksymacje dla dowolnej funkcji ciągłej ε : X → (0, +∞). W
szczególności otrzymujemy klasyczne twierdzenie Celliny: dla dowolnej stałej ε > 0, znajdziemy f : X → Y takie, że Gr (f) leży w ε-otoczeniu Gr (φ).
Istotnie, weźmy funkcję ciągłą ε : X → (0, +∞) oraz U takie jak w poprzednim twierdzeniu. Z uwagi po tym twierdzeniu wynika, że dla każdego x ∈ X, istnieje δ > 0 takie, że
Ux × Vx ⊂ U, gdzie Ux = B(x, δ) oraz Vx = B(φ(x), δ) = φ(x) + B(0, δ). Ponieważ zbiór φ(x) jest
wypukły, to Vx jest również wypukłym otoczeniem φ(x). Zatem spełnione są założenia powyższego twierdzenia. Stąd każda (istniejąca) U-aproksymacja φ jest również ε-aproksymacją.
2.3.7 UWAGA: Twierdzenie Celliny dotyczy w istocie odwzorowań usc o wypukłych wartościach.
Kwestia istnienia aproksymacji wykresowych odwzorowań o niewypukłych wartościach jest
znacznie bardziej złożona.
Rozdział
3
Mierzalność odwzorowań wielowartościowych
Niech (Ω, A) będzie przestrzenią mierzalną, tzn. Ω jest zbiorem, zaś A jest σ-ciałem podzbiorów Ω.
Przypomnijmy, że funkcja f : Ω → X, gdzie X jest przestrzenią metryczną, jest mierzalna
(dokładniej: A-mierzalna), jeśli f −1 (U) ∈ A dla dowolnego zbioru otwartego U ⊂ X (równoważnie: f −1 (C) ∈ A dla dowolnego zbioru domkniętego C ⊂ X).
3.0.1 ĆWICZENIE: Pokazać, że f jest funkcją mierzalną wtedy i tylko wtedy, gdy f −1 (B) ∈ A dla
dowolnego zbioru borelowskiego B ⊂ X (1 ).
Mówimy, że funkcja f : Ω → X jest prosta, jeśli przyjmuje tylko skończoną ilość wartości.
S
Zatem istnieją zbiory parami rozłączne Aj , j = 1, ..., n oraz x1 , ..., xn ∈ X takie, że Ω = nj=1 Aj
oraz f(ω) = xj gdy ω ∈ Aj . Łatwo widać, że funkcja prosta f jest mierzalna wtedy i tylko wtedy,
gdy Aj ∈ A dla j = 1, ..., n (lub wtedy i tylko wtedy, gdy f −1 (x) ∈ A dla dowolnego x ∈ X).
Mówimy, że funkcja f : Ω → X jest silnie mierzalna, jeżeli istnieje ciąg (fn ) funkcji prostych mierzalnych fn : Ω → X taki, że dla dowolnego ω ∈ Ω, f(ω) = limn→∞ fn (ω). Ponieważ,
jak łatwo pokazać, granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną, to
silna mierzalność implikuje mierzalność. Jeśli X jest przestrzenią ośrodkową, to mierzalność
implikuje silną mierzalność.
Załóżmy dodatkowo, że µ : A → [0, +∞] będzie miarą. Wtedy (Ω, A, µ) jest przestrzenią z
miarą. σ-ciało A jest µ-zupełne, gdy dla dowolnego A ∈ A takiego, że µ(A) = oraz dowolnego
A0 ⊂ A, zachodzi A0 ∈ A. Przy tym założeniu można nieco uogólnić pojęcie silnej mierzalności:
f : Ω → X jest silnie mierzalna jeżeli istnieje ciąg mierzalnych funkcji prostych fn : Ω → X
zbieżny prawie wszędzie do f, tzn. istnieje zbiór N ⊂ Ω, µ(N) = 0, taki, że fn (ω) → f(ω) dla
ω ∈ Ω \ N.
3.1
Mierzalność i osłabiona mierzalność
Będziemy się teraz zajmować mierzalnością odwzorowań wielowartościowych φ : Ω ( X (tzn.
odwzorowań o domkniętych wartościach), gdzie (Ω, A) jest przestrzenią mierzalną.
3.1.1 DEFINICJA: Powiemy, że odwzorowanie φ jest mierzalne jeśli, dla dowolnego domkniętego
1
Przypomnijmy, że zbiory borelowskie są elementami najmniejszego σ-ciała podzbiorów X, które zawiera
wszystkie zbiory otwarte; nazywane jest ono σ-ciałem zbiorów borelowskich i oznaczane symbolem B(X).
3.1. MIERZALNOŚĆ I OSŁABIONA MIERZALNOŚĆ
zbioru C ⊂ X,
33
φ−1 (C) = {ω ∈ Ω | φ(ω) ∩ C 6= ∅} ∈ A.
3.1.2 PRZYKŁAD: Jeśli Ω jest (dodatkowo) przestrzenią metryczną, zaś φ jest odwzorowaniem
usc, to φ jest mierzalne.
3.1.3 UWAGA: (1) Odwzorowanie φ jest mierzalne w słabszym sensie, jeśli φ−1 (U) ∈ A dla
dowolnego otwartego zbioru U ⊂ X. Pojęcie to jest nieco słabsze niż pojęcie mierzalności.
(2) Jeśli Ω jest przestrzenią metryczną, φ jest odwzorowaniem lsc, to φ jest mierzalne w
słabszym sensie.
3.1.1 ĆWICZENIE: Pokazać, że mierzalność φ : Ω ( X implikuje mierzalność w słabszym sensie
(2 ); ta ostatnia własność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego domkniętego C ⊂ X,
φ+1 (C) ∈ A.
3.1.4 FAKT: Odwzorowanie φ : Ω ( X jest mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego
otwartego U ⊂ X, φ+1 (U) ∈ A.
DOWÓD: wynika natychmiast z własności (13) Faktu 1.1.2.
3.1.5 UWAGA: Oczywiście jeśli φ ma tę własność, że φ−1 (B) ∈ A dla dowolnego B ∈ B(X),
to φ jest odwzorowaniem mierzalnym. Jednak — w przeciwieństwie do odwzorowań jednowartościowych — mierzalność (bez dodatkowych założeń) nie implikuje, że (duże ani małe)
przeciwobrazy zbiorów borelowskich są w A. Spowodowane to jest określonymi własnościami
przeciwobrazów.
Użyteczny bywa następujący fakt.
3.1.6 TWIERDZENIE. Niech φ : Ω ( X będzie mierzalne w słabszym sensie. Wówczas funkcja rzeczywista Ω 3 ω 7Ï d(x, φ(ω)) ∈ R jest mierzalna dla dowolnego x ∈ X. Jeśli X jest
przestrzenią ośrodkową, to ma również miejsce implikacja odwrotna (3 ).
DOWÓD: Ustalmy x ∈ X. Z założenia, dla dowolnego r > 0, φ−1 (B(x, r)) ∈ A. Z drugiej strony
φ−1 (B(x, r)) = {ω ∈ Ω | φ(ω) ∩ B(y, r) 6= ∅} = {ω ∈ Ω | d(x, φ(ω)) < r}.
Dowodzi to, że funkcja ω 7Ï d(x, φ(ω)) jest mierzalna.
Przypuśćmy, że X jest przestrzenią ośrodkową. Analogicznie jak powyżej dla dowolnego
x ∈ X oraz r > 0,
φ−1 (B(x, r)) = {ω ∈ Ω | d(x, φ(ω)) < r} ∈ A.
S
Ośrodkowość implikuje, że każdy zbiór otwarty U ⊂ X ma postać U = ∞
n=1 B(xn , rn ) gdzie
xn ∈ X oraz rn > 0. Zatem
φ−1 (U) =
∞
[
φ−1 (B(xn , rn )) ∈ A.
n=1
Jeśli A jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, A 0 jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω0 , to
symbolem A ⊗ A 0 oznaczamy najmniejsze σ-ciało podzbiorów zbioru Ω × Ω0 zawierające
wszystkie „prostokąty” postaci A × A0 , gdzie A ∈ A oraz A0 ∈ A 0 . W szczególności A ⊗ B(X)
Ponieważ X jest przestrzenią metryczną, to zbiór U ∈ Fσ , tzn. U =
(np. Cn = {x ∈ U | d(x, X \ U) > 1/n}).
3
W dowodzie nie użyjemy domkniętości wartości φ.
2
S∞
n=1
Cn gdzie Cn jest zbiorem domkniętym
34
3. MIERZALNOŚĆ ODWZOROWAŃ WIELOWARTOŚCIOWYCH
oznacza najmniejsze σ-ciało w Ω × X zawierające wszystkie zbiory postaci A × B, gdzie A ∈ A
oraz B ∈ B(X).
3.1.7 LEMAT: Niech Y będzie przestrzenią metryczną. Jeśli X jest przestrzenią ośrodkową,
f : Ω × X → Y jest odwzorowaniem Carathéodory’ego (tzn. dla dowolnego x ∈ X, funkcja
f(·, x) : Ω → Y jest mierzalna oraz, dla dowolnego ω ∈ Ω, funkcja f(ω, ·) : X → Y jest ciągła),
to f jest funkcją A ⊗ B(X)-mierzalną.
DOWÓD: Niech {xk }k∈N będzie zbiorem gęstym w X. Dla dowolnego x ∈ X i n ∈ N, niech kn
będzie najmniejszą liczbą naturalną taką, że x ∈ B(xkn , 1/n). Wtedy oczywiście xkn → x, gdy
n → ∞. Rozważmy funkcję fn : Ω × X → Y daną wzorem
fn (ω, x) = f(ω, xkn ), ω ∈ Ω, x ∈ X.
Ponieważ, przy ustalonym ω ∈ Ω, funkcja f(ω, ·) jest ciągła, więc dla ustalonego (ω, x) ∈ Ω × X,
fn (ω, x) → f(ω, x). Oznacza to, że ciąg (fn ) jet punktowo zbieżny do f. Wystarczy wykazać, że
dla dowolnego n ∈ N, fn jest funkcją A ⊗ B(X)-mierzalną. W tym celu, zauważmy, że dla ω ∈ Ω
S
S∞
oraz x ∈ Xk = B(xk , 1/n) \ k−1
m=1 B(xm , 1/n), fn (ω, x) = f(ω, xk ). Ponadto X =
k=1 Xk . Zatem,
dla dowolnego B ∈ B(Y ),
fn−1 (B) =
∞
[
{(ω, x) ∈ Ω × Xk | fn (ω, x) ∈ B} =
k=1
Oczywiście f(·, xk
)−1 (B)
∞
[
f(·, xk )−1 (B) × Xk .
k=1
∈ A i Xk ∈ B(X). Zatem
fn−1 (B)
∈ A ⊗ B(X)
3.1.2 ĆWICZENIE: Pokazać, że lemat powyższy pozostaje prawdziwe jeżeli założyć, że (Ω, A, µ)
jest przestrzenią z miarą zupełną, f(·, x) jest mierzalna dla dowolnego x ∈ X oraz f(ω, ·) jest
ciągła dla prawie wszystkich ω ∈ Ω.
3.1.8 LEMAT: Przypuśćmy, że f : Ω × X → Y jest odwzorowaniem Caratheódory’ego (odp.
w sensie z poprzedniego ćwiczenia). Wtedy, jeśli funkcja u : Ω → X jest silnie mierzalna
(lub jest mierzalne, lecz X jest przestrzenią ośrodkową) (i odp. miara µ jest zupełna), to
superpozycja Ω 3 t 7Ï f(t, u(t)) ∈ Y jest odwzorowaniem mierzalnym.
DOWÓD: Silna mierzalność (lub mierzalność wraz z ośrodkowością X) implikuje istnienie ciągu
un → u prawie wszędzie, gdzie un , n ∈ N, jest funkcją prostą. Zauważmy, że dla dowolnego n ≥
1, funkcja Ω 3 t 7Ï f(t, un (t)) jest mierzalna (dlaczego?). Ponadto, dla p.w. t ∈ Ω, f(t, un (t)) →
f(t, u(t)) (dlaczego?). To kończy dowód, bo funkcja f(·, u(·)) – jako granica p.w. ciągu funkcji
mierzalnych – jest mierzalna.
3.1.9 TWIERDZENIE: Niech φ : Ω ( X i niech X będzie przestrzenią ośrodkową. Jeśli funkcja
Ω 3 ω 7Ï d(x, φ(ω)) ∈ R jest mierzalna dla dowolnego x ∈ X, to Gr (φ) ∈ A ⊗ B(X).
DOWÓD: Ponieważ wartości φ są domknięte, to
Gr (φ) = {(ω, x) ∈ Ω × X | d(x, φ(ω)) = 0}.
Oczywiście funkcja f(ω, x) = d(x, φ(ω)) jest funkcją Carathédory’ego; zatem, na mocy powyższego lematu, funkcja ta jest A ⊗ B(X)-mierzalna. W szczególności
Gr (φ) = {(ω, x) ∈ Ω × X | f(ω, x) = 0} ∈ A ⊗ B(X).
3.1.10 TWIERDZENIE: Niech (Ω, A, µ) będzie przestrzenią z miarą zupełną i niech X będzie
przestrzenią polską (tzn. przestrzenią metryczną zupełną i ośrodkową). Jeśli φ : Ω ( X ma
wykres Gr (φ) ∈ A ⊗ B(x), to φ−1 (B) ∈ A dla dowolnego B ∈ B(X).
3.1. MIERZALNOŚĆ I OSŁABIONA MIERZALNOŚĆ
35
W dowodzie wykorzystamy, trudny i ważny, lemat.
3.1.11 LEMAT (twierdzenie o projekcji): Jeśli (Ω, A, µ) jest zupełna przestrzenią z miarą, X
jest przestrzenią polską, to dla dowolnego Z ∈ A ⊗ B(X),
πΩ (Z) ∈ A,
gdzie πΩ : Ω × X → Ω jest rzutowaniem na „oś” Ω; tzn. πΩ (ω, x) := ω dla (ω, x) ∈ Ω × X.
DOWÓD TWIERDZENIA: Zauważmy, że
φ−1 (B) = πΩ (Z),
gdzie Z = [Gr (φ) ∩ (Ω × B)]. Ponieważ Gr (φ) ∈ A ⊗ B(X), to Z ∈ A ⊗ B(X) i teza wynika z
lematu o projekcji.
Możemy teraz sformułować główne twierdzenie.
3.1.12 TWIERDZENIE: Niech φ : Ω ( X. Jeśli (Ω, A, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną, zaś
X jest przestrzenią polską, to następujące warunki są równoważne:
(i) φ jest odwzorowaniem mierzalnym;
(ii) φ−1 (U) ∈ A dla dowolnego otwartego zbioru U ⊂ X;
(iii) funkcja ω 7Ï d(x, φ(ω)) jest mierzalna dla dowolnego x ∈ X;
(iv) Gr (φ) ∈ A ⊗ B(X);
(v) φ−1 (B) ∈ A dla dowolnego B ∈ B(X);
(vi) φ+1 (B) ∈ A dla dowolnego B ∈ B(X).
DOWÓD: Wynika z powyżej sformułowanych lematów i twierdzeń. Implikacja (i) Ñ (ii) zachodzi
zawsze (bez założeń o X i Ω); implikacja (ii) Ñ (iii) zachodzi dla dowolnej przestrzeni mierzalnej
(Ω, A) oraz ośrodkowej przestrzeni X; implikacja (iii) Ñ (iv) zachodzi dla dowolnej przestrzeni
mierzalnej (Ω, A) oraz ośrodkowej przestrzeni X; implikacja (iv) Ñ (v) zachodzi dla przestrzeni
polskiej i przestrzeni z miarą zupełną; implikacja (v) Ñ (vi) Ñ (i) zachodzi zawsze.
3.1.13 PRZYKŁAD: Niech Ω ⊂ Rn i niech φ : Ω ( X gdzie X jest przestrzenią polską. Jeśli Ω ∈
Ln , tzn. Ω jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to powiemy, że odwzorowanie φ jest
mierzalne w sensie Lebesgue’a gdy jest mierzalne w sensie σ-ciała podzbiorów Ω mierzalnych
w sensie Lebesgue’a. Jeśli Ω ∈ B(Rn ), tzn. Ω jest zbiorem borelowskim, to mówimy, że φ jet
odwzorowaniem borelowskim jeśli jest mierzalne w sensie B(Ω). W tych sytuacjach mamy:
(i) Jeśli Ω ∈ Ln , to odwzorowanie φ jest mierzalne w sensie Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy,
gdy Gr (φ) ∈ Ln ⊗ B(X) ( w tym celu wystarczy przypomnieć, że (Ω, Ln , µ), gdzie µ oznacza
miarę Lebesgue’a, jest zupełną przestrzenią z miarą).
(ii) Jeśli Ω ∈ B(Rn ) oraz Gr (φ) jest zbiorem borelowskim w Rn × X, to φ jest mierzalne w
sensie Lebesgue’a.
(iii) Jeśli Ω ∈ B(Rn ) oraz φ jest odwzorowaniem borelowskim, to Gr (φ) ∈ B(Rn × X).
3.1.14 UWAGA: Zauważmy też, że można w rozważanej sytuacji opisać Gr (φ) w następujący
sposób. Jeśli Z jest gęstym, przeliczalnym podzbiorem X, to
∞ [
\
Gr (φ) =
[φ−1 (B(z, 1/k)) × B(z, 1/k)].
k=1 z∈Z
Tak więc na to by Gr (φ) ∈ Ln ⊗ B(Rm ) (odp. B(Rn × X) potrzeba i wystarcza (odp. wystarcza),
aby φ−1 (B(x, r)) ∈ Ln (odp. B(Ω)) dla dowolnych x ∈ X i r > 0.
36
3.2
Mierzalne selekcje
Niech, jak wyżej, (Ω, A) będzie przestrzenią mierzalną i niech φ : Ω ( X będzie odwzorowaniem o (domkniętych) wartościach w przestrzeni metrycznej X. Funkcję mierzalną f : Ω → X
taką, że f(ω) ∈ φ(ω) dla dowolnego ω ∈ Ω) nazywamy mierzalną selekcją odwzorowania φ.
3.2.1 TWIERDZENIE (Kuratowskiego, Rylla-Nardzewskiego): Niech φ : Ω ( X, gdzie X jest
przestrzenią polską, będzie odwzorowaniem mierzalnym. Wówczas φ posiada mierzalną
selekcję.
DOWÓD: Niech {xi | i ∈ N} będzie zbiorem gęstym w X. Zdefiniujmy indukcyjnie ciąg odwzorowań:
φ0 = φ, φn (ω) = φn−1 (ω) ∩ D(xi(n,ω) , n−1 ), ω ∈ Ω
gdzie i(n, ω) := min{i ∈ N | φn−1 (ω) ∩ D(xi , n−1 ) 6= ∅}. Zauważmy, że liczba i(n, ω) jest określona poprawnie (dlaczego?). Dowiedziemy przy pomocy indukcji, że φn jest odwzorowaniem
mierzalnym.
Oczywiście φ0 jest odwzorowaniem mierzalnym. Załóżmy, że odwzorowanie φn−1 jest mierzalne; pokażemy, że również odwzorowanie φn jest mierzalne. Niech C ⊂ X będzie zbiorem
domkniętym. Wtedy
φn−1 (C) = {ω ∈ Ω | [φn−1 (ω) ∩ D(xi(n,ω) , n−1 )] ∩ C] 6= ∅} =
∞
[
=
[{ω ∈ Ω | φn−1 (ω) ∩ [D(xi , n−1 ) ∩ C] 6= ∅} ∩ {ω ∈ Ω | i(n, ω) = i}].
i=1
Zauważmy, że
{ω ∈ Ω | i(n, ω) = i} =
i−1
\
[{ω ∈ Ω | φn−1 (ω) ∩ D(xj , n−1 ) =
j=1
= ∅} ∩ {ω ∈ Ω | φn−1 (ω) ∩ D(xi , n−1 ) 6= ∅}] ∈ A.
Zatem φn−1 (C) ∈ A.
Dla dowolnego ω ∈ Ω, wartość φn (ω) 6= ∅ i jest zbiorem domkniętym; ponadto φn (ω) ⊂
T
φn−1 (ω) oraz diam (φn (ω)) → 0 gdy n → ∞. Z twierdzenia Cantora ∞
n=1 φn (ω) = {f(ω)}. Mamy
więc zdefiniowaną poprawnie funkcję f : Ω → X. Oczywiście f(ω) ∈ φ(ω) dla dowolnego
ω ∈ Ω. Pozostało dowieść, że funkcja f jest mierzalna. Niech więc C ⊂ X będzie domknięty.
Oczywiście
∞
∞
\
\
−1
f (C) ⊂
{ω ∈ Ω | φn (ω) ∩ C 6= ∅} =
φn−1 (C).
n=1
Z drugiej strony jeśli ω ∈
n=1
T∞
−1
n=1 φn (C),
to znowu na mocy twierdzenia Cantora
"∞
#
\
∅=
6
φn (ω) ∩ C
n=1
czyli f(ω) ∈ C, a więc ω ∈ f −1 (C). Wobec tego
f −1 (C) =
∞
\
n=1
φn−1 (C) ∈ A.
3.3. OPERACJE NA ODWZOROWANIACH MIERZALNYCH
37
3.2.2 UWAGA: Twierdzenie Rylla-Nardzewskiego-Kuratowskiego jest również prawdziwe dla odwzorowań φ : Ω ( X, gdzie (Ω, A) jest przestrzenią mierzalną, X jest przestrzenią polską, zaś
φ jest odwzorowaniem mierzalnym w osłabionym sensie.
3.2.1 PROBLEM: Udowodnić stwierdzenie z powyższej uwagi.
3.2.3 TWIERDZENIE (Castaing): Niech φ : Ω ( X będzie odwzorowaniem, X przestrzenią
polską. Jeśli
(i) φ jest odwzorowaniem mierzalnym, to
(ii) istnieje ciąg (fn )∞
n=1 funkcji mierzalnych na Ω o wartościach w X taki, że φ(ω) =
cl {fn (ω) | n ∈ N}.
Jeśli (Ω, A, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną, to (ii) Ñ (i).
DOWÓD: (i) Ñ (ii). Załóżmy, że φ jest odwzorowaniem mierzalnym i niech {xm | m ∈ N} będzie
zbiorem gęstym w X. Zatem, dla dowolnych m, n ∈ N, zbiór
Am,n := {ω ∈ Ω | φ(ω) ∩ D(xm , 2−n ) 6= ∅} = φ−1 (D(xm , 2−n )) ∈ A.
Zdefiniujmy odwzorowanie φm,n : Ω ( X wzorem
φ(ω) ∩ D(xm , 2−n ) gdy ω ∈ Am,n
φm,n (ω) =
φ(ω)
gdy ω 6∈ Am,n .
Zauważmy, że dla domkniętego C ⊂ X,
−1
φm,n
(C) = [φ−1 (C) ∩ (Ω \ Am,n )] ∪ [φ−1 (C ∩ D(xm , 2−n )) ∩ Am,n ] ∈ A.
Zatem φm,n jest odwzorowaniem mierzalnym.
Z twierdzenia Kuratowskiego i Rylla-Nardzewskiego istnieje funkcja mierzalna fm,n : Ω →
X taka, że fm,n (ω) ∈ φm,n (ω) dla dowolnego ω ∈ Ω. Wykażemy, że rodzina przeliczalna {fm,n (ω) |
(m, n) ∈ N2 } jest gęsta w φ(ω) dla dowolnego ω ∈ Ω. Niech ω ∈ Ω oraz x ∈ φ(ω). Wtedy, dla
każdego n ∈ N, istnieje xm takie, że d(x, xm ) ≤ 2−(n+1) . W takim razie ω ∈ Am,n+1 oraz
d(fm,n+1 (ω), xm ) ≤ 2−(n+1) . Stąd
d(x, fm,n+1 (ω)) ≤ 2 · 2−(n+1) = 2−n .
(ii) Ñ (i). Przypuśćmy, że istnieje rodzina {fn | n ∈ N} selekcji φ, która jest gęsta w φ. Dla
dowolnego otwartego U ⊂ X,
φ−1 (U) = {ω ∈ Ω | cl {fn (ω)} ∩ U 6= ∅} = {ω ∈ Ω | {fn (ω)} ∩ U 6= ∅}
∞
[
=
fn−1 (U) ∈ A.
n=1
Zatem odwzorowanie φ jest mierzalne.
3.3
Operacje na odwzorowaniach mierzalnych
3.3.1 TWIERDZENIE: Załóżmy, że (Ω, A, µ) jest przestrzenią z miarą zupełną i φ : Ω ( E
odwzorowaniem mierzalnym, gdzie E jest ośrodkową przestrzenią Banacha. Wówczas odwzorowanie
Ω 3 ω 7Ï cl conv φ(ω) ⊂ E
38
jest odwzorowaniem mierzalnym.
DOWÓD: Z twierdzenie Castainga wynika, że istnieje ciąg (fn : Ω → E) odwzorowań mierzalnych
taki, że φ(ω) = cl {fn (ω)}∞
n=1 . Niech
Λ := {(λ = (λ1 , ..., λn ) | n ∈ N, λi ≥ 0, λi ∈ Q, oraz
b
X
λi = 1}.
i=1
Zbiór Λ jest przeliczalny (dlaczego?).
Rozważmy także rodzinę gn,λ : Ω → E, n ∈ N, λ = (λ1 , ..., λn ) ∈ Λ, daną wzorem
gn,λ (ω) :=
n
X
λi fi (ω), ω ∈ Ω.
i=1
Jest jasne, że dla każdego ω ∈ Ω:
• dla dowolnych n ∈ N i λ ∈ Λ, gn,λ (ω) ∈ conv φ(ω);
• cl {gn,λ (ω)}n∈N, λ∈Λ = cl conv φ(ω).
To, w świetle drugiej części twierdzenia Castainga, kończy dowód.
3.3.2 TWIERDZENIE: Jeśli X jest przestrzenią polską, zaś (Ω, A, µ) przestrzenią z miarą zupełną i jeśli φn : Ω ( X jest ciągiem odwzorowań mierzalnych, to odwzorowania φ : Ω → X
oraz ψ : Ω ( X, dane wzorami
!
∞
∞
[
\
φ(ω) := cl
φn (ω) , ψ(ω) :=
φn (ω), ω ∈ Ω,
n=1
n=1
są odwzorowaniami mierzalnymi.
DOWÓD: Dla zbioru otwartego U ⊂ X,
!
∞
∞
∞
[
[
[
−1
φ (U) = {ω ∈ Ω |
φn (ω) ∩ U) 6= ∅} =
(φn (ω) ∩ U) 6= ∅} =
φn−1 (U) ∈ A.
n=1
n=1
Następnie zauważmy, że
∞
\
Gr (ψ) =
n=1
Gr (φn ).
n=1
Wiemy, że dla dowolnego n ∈ N, Gr (φn ) ∈ A ⊗ B(X). Stąd Gr (ψ) ∈ A ⊗ B(X).
3.3.3 ĆWICZENIE: Niech (Ω, A, µ) będzie przestrzenią z miarą zupełną, X jest przestrzenią polską i φn : Ω ( X, n ∈ N, odwzorowaniami mierzalnymi. Wówczas odwzorowania:
Ω 3 ω 7Ï Lim sup φn (ω),
n→∞
Ω 3 ω 7Ï Lim inf φn (ω)
n→∞
są mierzalne, o ile mają niepuste wartości.
Wskazówka: Wykorzystać ćwiczenie 1.2.3 oraz dostrzec, że dla każdego ε > 0 i n ∈ N,
odwzorowanie Ω 3 ω 7Ï D(φn (ω), ε) jest mierzalne, gdyż jego wykres
Gr (D(φn (·, ε)) = {(ω, x) ∈ Ω × X | d(x, φn (ω)) ≤ ε} ∈ A ⊗ B(X),
ponieważ funkcja Ω × X 3 (ω, x) 7Ï d(x, φn (ω)) jest A ⊗ B(X)-mierzalna jak funkcja Carathéodory’ego.
3.4. SILNA MIERZALNOŚĆ ODWZOROWAŃ WIELOWARTOŚCIOWYCH
3.4
39
Silna mierzalność odwzorowań wielowartościowych
Będziemy teraz rozważać nieco bardziej szczególny przypadek, gdy Ω ⊂ RN jest zbiorem
mierzalnym w sensie Lebesgue’a, A = L jest σ-ciałem mierzalnych w sensie Lebesgue’a
podzbiorów zbioru Ω, zaś µ : L → R ∪ {+∞} jest miarą Lebesgue’a. Będziemy nadal rozważać odwzorowania wielowartościowe φ : Ω ( X, gdzie X jest przestrzenią metryczną, tzn.
odwzorowania o domkniętych wartościach).
Powiemy, że odwzorowanie φ ma własność Łuzina, jeśli dla dowolnego ε > 0, istnieje
zbiór domknięty F ⊂ Ω (domknięty w RN ) taki, że µ(Ω \ F) < ε oraz φ|F jest odwzorowaniem
ciągłym (tzn. usc i lsc jednocześnie).
Mówimy, że ψ : Ω ( X jest odwzorowaniem prostym, gdy jest mierzalne i istnieją niepuste
zbiory zwarte C1 , ..., Cn ⊂ X takie, że dla każdego ω ∈ Ω, ψ(ω) = Ci dla pewnego i = 1, ..., n.
Innymi słowy, ψ jest odwzorowaniem prostym, jeśli istnieją parami rozłączne zbiory Ai ⊂ Ω,
S
i = 1, ..., n, takie, że Ω = ni=1 Ai oraz ψ(ω) = Ci dla ω ∈ Ai .
3.4.1 FAKT: Odwzorowanie ψ : Ω ( X przyjmujące skończoną liczbę wartości zwartych
{C1 , ..., Cn } jest proste wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego i = 1, ..., n,
Ai := {ω ∈ Ω | ψ(ω) = Ci } ∈ A.
DOWÓD: Załóżmy, że odwzorowanie proste ψ jest mierzalne i weźmy dowolne j ∈ J0 gdzie
J0 := {j ∈ {1, 2, ..., n} | nie istnieje zbiór Ci , i 6= j, zawarty w Cj }.
Oczywiście J0 6= ∅. Dla j ∈ J0 , Aj = Ω \ ψ −1 (X \ Cj ) ∈ L.
Niech
J1 := {j ∈ {1, ..., n} \ J0 | nie istnieje zbiór Ci , i 6∈ J0 , i 6= j, zawarty w Cj }.
S
Oczywiście, dla dowolnego j ∈ J1 , istnieje i ∈ J0 takie, że Ci ⊂ Cj ; ponadto Aj ∪ {Ai | i ∈
J0 , Ci ⊂ Cj } = Ω \ ψ −1 (X \ Cj ) ∈ L. Stąd, dla j ∈ J1 , Aj ∈ L (bo zbiory Ai są parami rozłączne).
Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy Jn−1 ; niech
Jn := {j ∈ {1, ..., n} \ Jn−1 | nie istnieje zbiór Ci , i 6∈ Jn−1 , i 6= j, zawarty w Cj }.
Przy założeniu, że zbiory Ai , przy i ∈ Jn−1 , są mierzalne wnosimy, że Aj , dla j ∈ Jn , jest zbiorem
mierzalnym. Po skończonej ilości kroków otrzymamy, że Aj ∈ L dla dowolnego j = 1, ..., n.
Dostateczność podanego warunku jest raczej oczywista: jeśli Ai ∈ L dla i = 1, ..., n, to dla
S
dowolnego zbioru domkniętego C ⊂ X, ψ −1 (C) = {Ai | Ci ∩ C 6= ∅} ∈ L.
3.4.2 DEFINICJA: Powiadamy, że odwzorowanie φ : Ω ( X o zwartych wartościach jest silnie
mierzalne, gdy istnieje ciąg (φn ) odwzorowań prostych mierzalnych taki, że dH (φn (ω), φ(ω)) →
0 przy n → ∞ dla p.w. (prawie wszystkich) ω ∈ Ω (4 ).
3.4.3 FAKT: Każde odwzorowanie silnie mierzalne jest mierzalne i istnieje zbiór miary zero
N ⊂ Ω taki, że φ(Ω \ N) jest zbiorem ośrodkowym w X.
DOWÓD: Istnieje zbiór N ⊂ Ω, µ(N) = 0, oraz ciąg (φn ) odwzorowań prostych mierzalnych taki,
S
że dH (φn (ω), φ(ω)) → 0 dla ω ∈ Ω \ N. Wtedy φ(Ω \ N) ⊂ Y gdzie Y := ∞
n=1 φn (Ω). Oczywiście
4
Tzn. dla dowolnego ω ∈ Ω \ N gdzie µ(N) = 0.
40
Y jest przestrzenią ośrodkową. Pokażemy mierzalność. Niech U ⊂ X będzie otwarty; wtedy
(Ω \ N) ∩ φ
+1
∞ [
∞ \
∞
[
(U) =
φn+1 (Um ) ∩ (Ω \ N) ∈ L,
m=1 k=1 n≥k
gdzie Um = {x ∈ U | d(x, X \ U) > 1/m}. Istotnie, jeśli ω ∈ φ+1 (U) ∩ (Ω \ N) (czyli φ(ω) ⊂ U),
to istnieje m ∈ N takie, że φ(ω) ⊂ Um . Ponieważ φn (ω) → φ(ω) (w sensie metryki Hausdorffa),
S
S∞ T∞
+1
to istnieje k ∈ N takie, że φn (ω) ⊂ Um dla n ≥ k. Tak więc ω ∈ ∞
m=1
k=1 n≥k φn (Um ). Na
S∞ S∞ T∞
odwrót jeśli ω ∈ m=1 k=1 n≥k φn+1 (Um ) ∩ (Ω \ N), to dla pewnych m, k ∈ N, φn (ω) ⊂ Um o
ile n ≥ k. Zatem φ(ω) ⊂ U m ⊂ U, czyli ω ∈ φ+1 (U) ∩ (Ω \ N). Z zupełności (Ω, L, µ) wynika, że
φ+1 (U) ∈ L.
3.4.4 TWIERDZENIE: Silna mierzalność odwzorowania φ : Ω ( X o zwartych wartościach jest
równoważna własności Łuzina dla φ, o ile µ(Ω) < ∞ (5 ).
DOWÓD: Dostateczność: niech φ : Ω ( X będzie odwzorowaniem o zwartych wartościach
spełniającym własność Łuzina. Zatem dla dowolnego ε > 0, istnieje zbiór domknięty F ⊂ Ω
taki, że µ(Ω \ F) < ε oraz φ|F jest ciągłe; czyli H-ciągłe bo ma zwarte wartości.
Niech Z oznacza hiperprzestrzeń podzbiorów zwartych w X, tzn.
Z := {Z ⊂ X | Z jest zbiorem zwartym w X}.
Oczywiście (Z, dH ) jest przestrzenią metryczną. Rozważmy funkcję f : Ω → Z daną wzorem
f(ω) = φ(ω) ∈ Z dla ω ∈ Ω. Łatwo widać, że f ma również własność Łuzina (sprawdzić).
Niech, dla m ∈ N, Dm = D(0, m) = {y ∈ RN | kyk ≤ m} będzie domkniętą kulą w RN o
S
środku w zerze i promieniu m; połóżmy Ωm = Ω ∩ Dm . Wtedy Ω = ∞
m=1 Ωm .
Z własności Łuzina dla f wynika, że dla dowolnego m ∈ N, istnieje zbiór domknięty Fm ⊂ Ω
taki, że µ(Ω \ Fm ) < 1/m oraz f|Fm jest ciągła. Oczywiście można założyć, że Fm ⊂ Fm+1 dla
każdego m ∈ N. Niech Em := Fm ∩ Dm ; wtedy Em ⊂ Ωm oraz µ(Ωm \ Em ) < 1/m. Zbiór Em jest
zwarty oraz Em ⊂ Em+1 .
Skorzystamy z następującego ogólnego faktu:
Jeśli odwzorowanie f jest ciągłe na zbiorze zwartym i przyjmuje wartości w przestrzeni
metrycznej, to dla dowolnego ε > 0, istnieje funkcja prosta mierzalna (jednowartościowa)
taka, że jej odległość (jednostajna) od funkcji f jest mniejsza od ε.
W naszym przypadku znajdziemy funkcję prostą mierzalną fm : Em → Z taką, że dla
S m m
dowolnego ω ∈ Em , dH (f(ω), fm (ω)) < 1/m. Mierzalność fm oznacza, że Em = nj=1
Aj , gdzie
m
m
Aj ∈ L przy j = 1, ..., nm , oraz fm (ω) = Cj ∈ Z dla ω ∈ Aj (j = 1, ..., nm ). Dodatkowo
przyjmijmy, że A0m := Ω \ Em ∈ L i niech C0m = {x0 } gdzie x0 jest ustalonym punktem w
X. Zdefiniowaliśmy wobec tego odwzorowanie proste φm : Ω ( X o zwartych wartościach:
φm (ω) = Cjm dla ω ∈ Ajm , j = 0, 1, ..., nm .
Pokażemy, że ciąg (φm ) zbiega prawie wszędzie do odwzorowania φ (w sensie metryki
S
Hausdorffa). Niech N = Ω \ ∞
m=1 Em . Zatem
N⊂
∞ \
[
(Ωm \ Em ).
n=1 m≥n
T
S
Ponieważ, dla dowolnego n ∈ N, µ( m≥n (Ωm \ Em )) = 0, więc µ(N) = 0. Weźmy ω ∈ ∞
m=1 Em
oraz ε > 0. Wtedy istnieje k ∈ N takie, że 1/k < ε oraz ω ∈ Em dla m ≥ k. Zatem dla m ≥ k,
dH (φ(ω), φm (ω)) = dH (f(ω), fm (ω)) < 1/m < ε.
5
Tego ostatniego założenia nie wykorzystamy w dowodzie dostateczności.
3.4. SILNA MIERZALNOŚĆ ODWZOROWAŃ WIELOWARTOŚCIOWYCH
41
Konieczność: obecnie załóżmy, że φ jest odwzorowaniem silnie mierzalnym i niech 0 <
µ(Ω) < ∞ (gdy µ(Ω) = 0 to nie ma czego dowodzić). W takim razie istnieje zbiór N ⊂ Ω miary
zero oraz ciąg (φn ) mierzalnych funkcji prostych o zwartych wartościach taki, że dla ω ∈ Ω\N,
dH (φ(ω), φn (ω)) → 0, gdy n → ∞. Podobnie jak poprzednio niech f, fn : Ω → Z będą funkcjami
danymi wzorami f(ω) = φ(ω) ∈ Z, fn (ω) = φn (ω) ∈ Z dla ω ∈ Ω. Dla każdego n ∈ N, istnieją
S n n
zbiory mierzalne i parami rozłączne Ajn , j = 1, ..., kn , takie, że Ω = kj=1
Aj oraz fn (ω) = Cjn ,
dla ω ∈ Ajn , gdzie Cjn jest zbiorem zwartym w X.
Ustalmy dowolne 0 < ε < µ(Ω); poszukujemy zbioru zwartego D ⊂ Ω takiego, aby µ(Ω \
D) < ε oraz φ|D była H-ciągła. Dla dowolnego n ∈ N i j = 1, ..., kn można znaleźć zbiór zwarty
S n n
P n
ε
gdzie Fn = kj=1
Fj . Oczywiście fn |Fn jest
Fjn ⊂ Ajn tak, aby kj=1
µ(Ajn \ Fjn ) = µ(Ω \ Fn ) < 2n+1
T∞
funkcją ciągłą (bo jest stała). Niech F = n=1 Fn . Wtedy
∞
[
X
µ(Ω \ F) = µ
(Ω \ Fn ) ≤
µ(Ω \ Fn ) < ε/2.
n=1
Zatem zbiór F jest zwarty i niepusty. Ponadto, dla dowolnego n ∈ N, fn |F jest ciągła.
Skorzystamy teraz z twierdzenia Jegorowa, które orzeka, że:
Jeśli fn → f prawie wszędzie, f, fn są funkcjami mierzalnymi określonymi na Ω z µ(Ω) <
∞ i o wartościach w przestrzeni metrycznej, to dla dowolnego ε > 0 istnieje zbiór zwarty
Eε ⊂ Ω taki, że µ(Ω \ Eε ) < ε oraz fn → f jednostajnie na E.
W naszej sytuacji znajdziemy zbiór zwarty E ⊂ Ω taki, że µ(Ω \ E) < ε/2 oraz fn → f
jednostajnie na E. Wobec tego fn → f jednostajnie na zbiorze zwartym D = E ∩ F. Ponieważ fn
jest funkcją ciągłą na D, to także funkcja f|D jest ciągła. Ponadto µ(Ω\D) = µ((Ω\E)∪(Ω\F)) <
ε. Oczywiście ciągłość f na D oznacza ciągłość φ na D.
3.4.5 TWIERDZENIE: Jeśli X jest przestrzenią polską, odwzorowanie φ : Ω ( X ma zwarte
wartości i jest mierzalne, to φ jest silnie mierzalne.
DOWÓD: Niech Z oznacza, jak wyżej, przestrzeń zbiorów zwartych z metryką Hausdorffa oraz
niech f : Ω → Z będzie funkcją daną wzorem f(ω) = φ(ω) ∈ Z dla ω ∈ Ω. Jak wiadomo, Z
jest też przestrzenią polską. Dla silnej mierzalności φ wystarczy pokazać, że f jest odwzorowaniem mierzalnym: wówczas bowiem (na mocy ośrodkowości Z) istnieje ciąg funkcji prostych
mierzalnych fn : Ω → Z taki, że fn → f p.w. na ω; jasne, że każda funkcja fn wyznacza pewną
funkcję prosta φn : Ω ( X oraz φn → φ w sensie odległości Hausdorffa.
Skorzystamy z twierdzenia Castainga: z mierzalności φ wynika, że istnieje ciąg funkcji
mierzalnych gn : Ω → X taki, że φ(ω) = {gn (ω)} dla każdego ω ∈ Ω. W celu wykazania mierzalności f wystarczy pokazać, że dla dowolnego C ∈ Z, funkcja Ω 3 ω 7Ï dH (C, f(ω)) ∈ R jest
mierzalna. Zauważmy, że
dH (C, f(ω)) = dH (C, φ(ω)) = max{sup inf d(gn (ω), x), sup inf d(x, gn (ω))}.
n∈N x∈C
x∈C n∈N
Jest jasne, że jeśli {xk | k ∈ N} jest zbiorem gęstym w C, to dla każdego ω ∈ Ω,
sup inf d(x, gn (ω)) = sup inf d(xk , gn (ω))
n∈N x∈C
oraz
n∈N k∈N
sup inf d(x, gn (ω)) = sup inf d(xk , gn (ω)).
x∈C n∈N
k∈N n∈N
W takim razie funkcje ω 7Ï supn∈N inf x∈C d(gn (ω), x) oraz ω 7Ï supx∈C inf n∈N d(x, gn (ω)) są
mierzalne; wobec tego także funkcja ω 7Ï dH (C, f(ω)) jest mierzalna.
42
Udowodnimy jeszcze:
3.4.6 TWIERDZENIE: Niech φ : Ω ( X, gdzie X jest przestrzenią ośrodkową i (Ω, A) jest
przestrzenią mierzalną, ma zwarte wartości, to odwzorowanie f = fφ : Ω → Z, dane wzorem
f(ω) = φ(ω) dla ω ∈ Ω, jest mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy φ jest mierzalne.
DOWÓD: Załóżmy, że f jest funkcja mierzalną i niech U ⊂ X będzie zbiorem otwartym. Wtedy
φ+1 (U) = {ω ∈ Ω | φ(ω) ⊂ U}.
Rozważmy zbiór U := {K ∈ Z | K ⊂ U}. Zatem oczywiście φ+1 (U) = {ω ∈ Ω | f(ω) ∈ U} =
f −1 (U). Jest jasne, że zbiór U jest otwarty w Z. Istotnie, jeśli K ∈ U, to istnieje r > 0 takie, że
B(K, r) ⊂ U. Jeśli więc K 0 ∈ Z oraz dH (K 0 , K) < r, to K 0 ⊂ B(K, r); czyli K 0 ∈ U bo K 0 ⊂ U.
Mierzalność funkcji f gwarantuje, że f −1 (U) ∈ A.
Na odwrót, załóżmy, że φ jest odwzorowaniem mierzalnym. Weźmy r > 0 oraz K ∈ Z.
Pokażemy, że zbiór f −1 (BZ (K, r)) jest mierzalny gdzie BZ (K, r) oznacza kulę w przestrzeni Z
o środku w K ∈ Z i promieniu r. Zauważmy, że
f −1 (BZ (K, r)) = φ+1 (B(K, r)) ∩ {ω ∈ Ω | sup d(z, φ(ω)) < r}.
z∈K
Równość ta jest oczywista: f(ω) ∈ BZ (K, r) wtedy i tylko wtedy, gdy φ(ω) ⊂ B(K, r) oraz K ⊂
B(φ(ω), r) a drugi warunek zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy supz∈K d(z, φ) < r. Jest jasne, że
dla dowolnego ω ∈ Ω,
sup d(z, φ(ω)) = sup d(zn , φ(ω))
z∈K
n∈N
gdzie {zn } jest ośrodkiem w K. Mierzalność φ implikuje, że funkcja ω 7Ï d(zn , φ(ω)) jest mierzalna; zatem mierzalna jest również funkcja ω 7Ï supn∈N d(zn , φ(ω)) jest mierzalna. Zatem
mierzalność zbiorów φ+1 (B(K, r)) oraz {ω ∈ Ω | supz∈K d(z, φ(ω)) < r} implikuje mierzalność zbioru f −1 (BZ (K, r). Z kolei ośrodkowość Z implikuje, że z mierzalności przeciwobrazów
poprzez f kul w Z wynika mierzalność przeciwobrazów poprzez f zbiorów otwartych.
UWAGA: Jeśli powyżej założyć, że φ jest silnie mierzalne, to ośrodkowość X nie jest potrzebna
(w dowodzie konieczności mierzalności φ w ogóle ośrodkowość nie była potrzebna).
3.5
Odwzorowania wielowartościowe Carathéodory’ego
Zajmiemy się teraz wielowartościowymi odwzorowaniami Carathéodory’ego. Jak poprzednio
dane są dwie przestrzenie metryczne X, Y i przestrzeń mierzalna (Ω, A).
3.5.1 TWIERDZENIE: Przypuśćmy, że X jest przestrzenią ośrodkową. Jeśli odwzorowanie o
zwartych wartościach φ : Ω × X ( Y jest odwzorowaniem Carathéodory’ego, tzn. dla prawie
wszystkich ω ∈ Ω, odwzorowanie φ(ω, ·) : X ( Y jest H-ciągłe (jest to równoważne ciągłości)
oraz dla dowolnego x ∈ X, odwzorowanie φ(·, x) : Ω ( Y jest mierzalne, to φ jest A ⊗ B(X)mierzalne.
DOWÓD: Należy postępować taj jak w dowodzie lematu 3.1.7 po zastąpieniu φ odwzorowaniem
fφ : Ω × X → ZY , gdzie ZY jest hiperprzestrzenią zbiorów zwartych w Y .
3.5.2 LEMAT: Niech φ : Ω × X ( Y będzie odwzorowaniem Carathéodory’ego o zwartych wartościach, X przestrzenią ośrodkową, zaś Y przestrzenią polską f : Ω → X funkcją mierzalną,
3.5. ODWZOROWANIA WIELOWARTOŚCIOWE CARATHÉODORY’EGO
43
to odwzorowanie G : Ω 3 ω 7Ï φ(ω, f(ω) ⊂ Y jest mierzalne, o ile zadana jest miara zupełna
na A.
DOWÓD: Wystarczy pokazać, że wykres Gr (G) ∈ A ⊗ B(X). Rozważmy odwzorowanie g :
Ω × Y → Ω × X × Y dane wzorem g(ω, y) := (ω, f(ω), y) dla ω ∈ Ω i y ∈ Y ; jest ono mierzalne
w tym sensie, że dla dowolnego zbioru C ∈ A ⊗ B(X) ⊗ B(Y ), g −1 (C) ∈ A ⊗ B(Y ) (wynika
to natychmiast z faktu, że odwzorowanie Ω 3 ω 7Ï (ω, f(ω)) jest mierzalne, gdy w dziedzinie
rozważyć σ-ciało produktowe A ⊗ B(X)). Następnie zauważmy, że
Gr (G) = g −1 (Gr (φ)),
co wraz z poprzednim twierdzeniem kończy dowód.
3.5.3 TWIERDZENIE: Przy założeniach z lematu, przypuśćmy dodatkowo, że X jest przestrzenią
polską, niech ψ : Ω → X będzie odwzorowaniem mierzalnym o zwartych wartościach. Wtedy
G : Ω → P(Y ) dane wzorem
G(ω) := φ({ω} × ψ(ω)), ω ∈ Ω,
ma zwarte wartości i jest mierzalne.
DOWÓD: Dla dowolnego ω ∈ Ω, zbiór G(ω, ψ(ω)) jest zwarty, bo Zgodnie z twierdzeniem
Castainga znajdzie się przeliczalna rodzina fn : Ω → Y odwzorowań mierzalnych taka, że
ψ(ω) = cl {fn (ω)}∞
n=1 dla dowolnego ω ∈ Ω. Niech
Gn (ω) := φ(ω, fn (ω)), ω ∈ Ω.
Z lematu wynika mierzalność odwzorowań Gn : Ω ( Y . Następnie wystarczy zauważyć, że dla
dowolnego ω ∈ Ω
∞
[
G(ω) := cl
Gn (ω).
n=1
Rzeczywiście: inkluzja ⊃ jest oczywista; jeśli y ∈ G(ω), ω ∈ Ω, to y ∈ φ(ω, x), gdzie x ∈ ψ(ω).
Wtedy (bez zmniejszenia ogólności) można założyć, że x = limn→∞ fn (ω). Ponieważ φ(ω, ·) jest
lsc, więc istnieje ciąg (yn ) ⊂ Y taki, że yn ∈ φ(ω, fn (ω)) i yn → y: to kończy dowód inkluzji ⊂.
Mierzalność G jest konsekwencją twierdzenia 3.3.2.
Fakty opisywane w powyższym lemacie i twierdzeniu nie są prawdziwe, gdy założyć, że
odwzorowanie φ jest jedynie górnie Carathéodory’ego.
Mówimy, że φ : Ω × X ( Y jest górnie Carathéodory’ego jeśli dla dowolnego ω ∈ Ω,
φ(ω, ·) : X ( Y jest usc i dla każdego x ∈ X, φ(·, x) : Ω ( Y jest mierzalne.
3.5.4 TWIERDZENIE: Przypuśćmy, że Y jest przestrzenią polską. Jeżeli φ : Ω×X ( Y ma zwarte
wartości, jest górnie Carathéodory’ego i f : Ω → X jest odwzorowaniem silnie mierzalnym,
to odwzorowanie φ(·, f(·)) : Ω ( Y posiada silnie mierzalną selekcję.
DOWÓD: Niech ciąg funkcji prostych mierzalnych fn → f p.w. na Ω, tzn. istnieje M ⊂ Ω,
µ(M) = 0 oraz vn (ω) → v(ω) przy n → ∞ dla ω ∈ Ω \ M. Dla dowolnego n ∈ N, istnieją zbiory
S n n
mierzalne A1n , ..., Aknn takie, że kj=1
Aj = Ω oraz fn |Ajn = xjn , j = 1, ..., kn . Z twierdzenia o
selekcji mierzalnej wynika, że dla wszystkich n oraz j = 1, ..., kn istnieje mierzalna, a więc (z
ośrodkowości Y ) silnie mierzalna funkcja wjn : Ω → Y taka, że wjn (ω) ∈ φ(ω, xjn ) dla ω ∈ Ω.
Zdefiniujmy wn : Ω → Y wzorem: dla ω ∈ Ajn , wn (ω) = wjn (ω), j = 1, ..., kn . Oczywiście funkcja
wn jest silnie mierzalna oraz wn (ω) ∈ φ(ω, fn (ω)) na Ω.
Ustalmy ω ∈ Ω \ M. Odwzorowanie
44
φ(ω, ·) ma zwarte wartości i jest usc wn (ω) ∈ φ(ω, fn (ω)), ponadto fn (ω) → v(ω); zatem ciąg
(wn (ω)) posiada zbieżny podciąg. Oznacza to, iż zbiór Gn (ω) := {wk (ω)}k≥n jest zwarty. Rodzina
T
{Gn (ω)} jest zstępująca, czyli zbiór G(ω) := n≥1 Gn (ω) jest niepusty i zwarty. Zauważmy, że dla
dowolnego y ∈ Y ,
d(y, G(ω)) = sup d(y, Gn (ω)).
n∈N
Odwzorowanie Gn : Ω \ M ( Y jest mierzalne, d(y, Gn (ω)) = supk≥n d(y, wk (ω)) dla każdego
y ∈ Y . Zatem także G jest mierzalne. Z twierdzenia Kuratowskiego i Ryll-Nardzewskiego G
posiada mierzalną selekcję w : Ω \ M → Y . Oczywiście w(ω) ∈ φ(omega, f(ω)) dla ω ∈ Ω \ M.
Jest to oczywiście funkcja silnie mierzalna. Po jej dookreśleniu na M tak, by w(ω) ∈ φ(ω, v(ω))
przy ω ∈ N otrzymujemy tezę.
3.5.5 UWAGA: Twierdzenie pozostaje prawdziwe jeśli nie zakładać ośrodkowości Y , lecz zamiast
mierzalności odwzorowania φ(·, x) : Ω ( Y założyć, że ma ono silnie mierzalną selekcją.
Zakładając, że silnie mierzalne są funkcje wjn , silnie mierzalne są też funkcje wn . Co za tym
idzie można znaleźć ośrodkową podprzestrzeń Y0 , w której wartości przyjmuje G.
Niech (Ω, L, µ) będzie jak wyżej przestrzenią z miarą Lebesgue’a oraz X, Y przestrzeniami
metrycznymi. Będziemy zajmować się odwzorowaniami F : Ω × X ( Y .
Wiadomo, że jeśli X, Y są przestrzeniami ośrodkowymi, to f : Ω × X → Y jest funkcją
Carathéodory’ego wtedy i tylko wtedy, gdy f ma własność Scorza-Dragoni, tzn. dla dowolnego
ε > 0 istnieje zbiór domknięty (w RN ) F ⊂ Ω taki, że µ(Ω \ F) < ε oraz f|F × X jest funkcją
ciągłą.
Mamy więc także
3.5.6 TWIERDZENIE: Odwzorowanie φ : Ω×X ( Y , gdzie X, Y są przestrzeniami ośrodkowymi,
o zwartych wartościach jest odwzorowaniem Carathéodory’ego wtedy i tylko wtedy gdy ma
własność Scorza-Dragoni, tzn. dla dowolnego ε > 0 istnieje zbiór domknięty (w RN ) F ⊂ Ω
taki, że µ(Ω \ F) < ε oraz φ|F × X jest funkcją ciągłą.
3.5.7 UWAGA: Przy założeniu, że dla każdego x ∈ X, odwzorowanie φ(·, x) : Ω → Y jest silnie
mierzalne oraz µ(Ω) < ∞, to założenie ośrodkowości (w odniesieniu do X oraz Y ) nie jest
potrzebne.
Rozdział
4
Całka Bochnera i dodatkowe informacje
4.1
Mierzalność, silna mierzalność i całka Bochnera
Niech, jak wyżej, (Ω, A, µ) będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną i niech E będzie przestrzenią Banacha. Przypomnijmy, że funkcja u : Ω → E jest mierzalna (odp. silnie mierzalna) jeśli,
dla dowolnego zbioru borelowskiego B ⊂ E, u−1 (B) ∈ A (odp. istnieje ciąg un : Ω → E funkcji
prostych mierzalnych taki, że un → u p.w. na Ω). Oczywiście każda funkcja prosta i mierzalna
P
S
(tj. taka, że u = ni=1 χAi ai gdzie Ai ∈ A, dla i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅, Ω = ni=1 Ai oraz ai ∈ E,
P∞
i, j = 1, ..., n) jest silnie mierzalna; ogólniej jeśli u = i=1 χAi ai gdzie Ai ∈ A, Ai ∩ Aj = ∅ przy
S
i 6= j, Ω = ∞
i=1 Ai oraz ai ∈ E dla i, j ∈ N, to u jest silnie mierzalna. Suma, iloczyn funkcji silnie
mierzalnych jest silnie mierzalny. Granica p.w. funkcji silnie mierzalnych jest silnie mierzalna
Mówimy również, że funkcja u jest słabo mierzalna, gdy dla dowolnego p ∈ E∗ , funkcja
Ω 3 ω 7Ï hp, u(ω)i ∈ R jest mierzalna. Jest jasne, że funkcja silnie mierzalna jest mierzalna,
zaś funkcja mierzalna jest słabo mierzalna.
4.1.1 TWIERDZENIE (Pettisa): Funkcja u : Ω → E jest silnie mierzalna wtedy i tylko wtedy,
gdy p.w. przyjmuje wartości w przestrzeni ośrodkowej (tzn. istnieje zbiór N ∈ A, µ(N) = 0
taki, że zbiór u(Ω \ N) jest ośrodkowy) i u jest słabo mierzalna. W szczególności, gdy E jest
przestrzenią ośrodkową, to pojęcia silnej mierzalności, mierzalności i słabej mierzalności są
równoważne. Wynika stąd również, że jeśli E jest ośrodkowa, u : Ω → E oraz istnieje ciąg
un : Ω → E funkcji silnie mierzalnych taki, że dla p.w. x ∈ Ω,
un (x) * u(x),
(słaba zbieżność) to u jest silnie mierzalna.
Załóżmy, że funkcja u : Ω → E jest prosta i mierzalna, tzn.
u=
n
X
χAi ai ,
i=1
Sn
gdzie Ai ∈ A, ai ∈ E dla i = 1, ..., n, oraz i=1 Ai = Ω. Jeśli, dla dowolnego i = 1, ..., n takiego,
że ai 6= 0, mamy µ(Ai ) < ∞, to mówimy, że u jest całkowalna a wyrażenie
Z
n
X
u(x) dx =
µ(Ai )ai ∈ E
Ω
nazywamy całką funkcji u na Ω.
i=1
46
4. CAŁKA BOCHNERA I DODATKOWE INFORMACJE
Mówimy, że silnie mierzalna funkcja u : Ω → E jest całkowalna w sensie Bochnera na
Ω, jeżeli istnieje ciąg (un : Ω → E)∞
n=1 funkcji prostych mierzalnych i całkowalnych taki, że
un → u p.w. na Ω oraz
Z
lim
n→∞ Ω
Wówczas też kładziemy
ku(x) − un (x)k dx = 0.
Z
Z
u(x) dx := lim
n→∞ Ω
Ω
un (x) dx.
Definicja ta jest poprawna: ponieważ u − un jest funkcją mierzalną, to ku − un k jest funkcja
mierzalną; zatem warunek z definicji ma sens. Ponadto
Z
Z
Z
un (x) dx −
um (x) dx = (un (x) − um (x)) dx ≤
Ω
Ω
Ω
Z
Z
Z
≤
kun (x) − um (x)k dx ≤
ku(x) − un (x)k dx +
ku(x) − um (x)k dx.
Ω
Ω
Ω
Zatem ciąg całek
Z
un (x) dx
Ω
jest ciągiem Cauchy’ego, co dowodzi, że jest on zbieżny. Jest również jasne, że granica nie
zależy od ciągu (un ) bo dowolne dwa ciągi aproksymujące mogą być „skombinowane” do
jednego ciągu.
4.1.2 TWIERDZENIE (Bochnera): Silnie mierzalna funkcja u : Ω → E jest całkowalna wtedy i
tylko wtedy, gdy funkcja kuk : Ω → R jest całkowalna. Ponadto, wtedy
Z
Z
u(x) dx ≤
ku(x)k dx.
Ω
Ω
Ogólniej, jeśli A ⊂ Ω, A ∈ A, to można rozważać całkowalność funkcji silnie mierzalnych
u : A → E. Mówimy mianowicie, że u jest całkowalna, gdy całkowalna (na Ω) jest funkcja
u(x) dla x ∈ A;
∗
u (x) =
0
dla x ∈ Ω \ A.
Piszemy wówczas
Z
A
Z
u(x) dx :=
u∗ (x) dx.
Ω
Jest jasne, że jeśli u : Ω → E jest całkowalna w sensie Bochnera na Ω, to jest u|A : A → E
całkowalna na A oraz
Z
Z
Z
u(x) dx :=
u|A (x) dx =
χA (x)u(x) dx.
A
A
Ω
4.1.3 TWIERDZENIE (Bochnera): Jeśli T ∈ L(E, E0 ), gdzie E0 jest przestrzenią Banacha (tzn. T
jest operatorem liniowym i ciągłym), A ∈ A, funkcja u : A → E jest całkowalna, to funkcja
T ◦ u jest też całkowalna oraz
Z
Z
T ◦ u(x) dx = T
u(x) dx .
A
A
4.1. MIERZALNOŚĆ, SILNA MIERZALNOŚĆ I CAŁKA BOCHNERA
47
W szczególności, dla dowolnego funkcjonału p ∈ E∗ , funkcja hp, u(·)i jest całkowalna oraz
Z
Z
hp, u(x)i dx = p, u(x) dx .
A
A
Jeśli E jest przestrzenią ośrodkową, to całkowalność u : Ω → E jest równoważna całkowalności hp, u(·)i dla dowolnego p ∈ E∗ .
4.1.4 TWIERDZENIE: Jeśli un : A → E są funkcjami całkowalnymi, un → u p.w. na A oraz
istnieje funkcja g : A → R całkowalna (w sensie Lebesgue’a) taka, że kun k ≤ g p.w. na A, to
u jest całkowalna w sensie Bochnera na A oraz
Z
Z
Z
un (x) dx.
u(x) dx = lim
ku(x) − un (x)k dx = 0,
lim
n→∞ A
n→∞ A
A
Jeśli przestrzeń E jest ośrodkowa oraz un * u p.w. na A, to zachodzi ta sama teza.
Jeśli funkcje un są całkowalne na A, un * u p.w. na A i
Z
sup kun (x)k dx < ∞,
n∈N
A
to funkcja u jest całkowalna oraz
Z
Z
ku(x)k dx ≤ lim inf kun (x)k dx.
n→∞
A
A
Dla 1 ≤ p ≤ ∞, symbolem Lp (Ω, E) oznaczamy przestrzeń (klas równoważności względem
relacji równości prawie wszędzie) funkcji silnie mierzalnych u : Ω → E takich, że kuk ∈
Lp (Ω, R) wraz z normą
Z
p1
kukLp :=
ku(x)kp dx
, 1 ≤ p < ∞;
Ω
kukL∞ := ess sup ku(x)k :=
x∈Ω
inf
sup ku(x)k.
Z⊂Ω, µ(Z)=0 x∈Ω\Z
Wraz z tymi normami przestrzenie Lp (Ω, E) są przestrzeniami Banacha; dla 1 ≤ p < ∞,
Lp (Ω, E) jest także słabo zupełna, o ile taka jest przestrzeń E. W dowodzie zupełności istotną
rolę odgrywa następujący ważny wariant twierdzenia Marcinkiewicza
4.1.5 TWIERDZENIE: Jeśli dany jest ciąg (un ) ⊂ Lp (Ω, E) spełniający warunek Cauchy’ego
względem normy k · kLp , 1 ≤ p ≤ ∞, to istnieje podciąg (unk ) oraz funkcje u ∈ Lp (Ω, E) i
g ∈ Lp (Ω, R) takie, że unk → u prawie wszędzie i kunk k ≤ g prawie wszędzie dla dowolnego
k ∈ N.
Dla 1 ≤ p < ∞, funkcje proste mierzalne całkowalne tworzą zbiór gesty w Lp (Ω, E); zatem
– przy założeniu, że E jest przestrzenią ośrodkową – Lp (Ω, E) jest też ośrodkowa.
Warto też zauważyć, że – w szczególnej sytuacji, gdy Ω jest przedziałem na prostej:
Pn
4.1.6 LEMAT: Funkcje schodkowe (tzn. funkcje proste postaci u =
i=1 χΩi ei , gdzie Ωi są
przedziałami, ei ∈ E, i = 1, ..., n) tworzą gęsty podzbiór w Lp (Ω, E), 1 ≤ p < ∞.
DOWÓD: Niech u ∈ Lp (Ω, E). Ponieważ
funkcji prostych taki, że un → u prawie
(
un (s)
vn (s) =
0
u jest funkcja silnie mierzalną, to istnieje ciąg (un )
wszędzie. Niech
gdy kun (s)k ≤ 2ku(s)k,
w przeciwnym przypadku.
48
Jest jasne, że vn jest też funkcja prostą oraz vn → u prawie wszędzie. Co więcej
kvn (s) − u(s)kp ≤ 3p ku(s)kp
dla dowolnego s ∈ Ω. Stąd i z twierdzenia Lebesgue’a
Z
p
kvn (s) − u(s)kp ds = 0.
lim kvn − ukLp = lim
n→∞ Ω
n→∞
Wystarczy teraz pokazać, że każda funkcja prosta jest granicą (w Lp ) ciągu funkcji schodkowych, a więc, że te własność ma dowolna funkcja postaci χB e, gdzie B ⊂ Ω jest zbiorem
mierzalnym, |B| < ∞, zaś e ∈ E. Regularność miary Lebesgue’a implikuje, że dla dowolnego
ε > 0 istnieje zbiór otwarty U, że |U \ B| < ε. Z kolei U jest przeliczalną sumą rozłącznych
S
Sm
odcinków Ii ; U = ∞
i=1 Ii . Niech um (s) := e dla s ∈ Jm :=
i=1 Ii . Oczywiście εm := |U \ Jm | → 0,
gdy m → ∞ oraz um jest funkcja schodkową. Wtedy
Z
Z
p
p
kekp ds ≤ kekp (|Ω \ Jm | + |Jm \ Ω|) < kekp (εm + ε).
kek ds +
ku − um kLp =
Jm \Ω
Ω\Jm
To kończy dowód.
4.1.7 TWIERDZENIE (Nierówność Höldera): Jeżeli u ∈ Lp (Ω, E), 1 ≤ p ≤ ∞, v ∈ Lq (Ω, E∗ ) oraz
1
1
1
p + q = 1, to funkcja hv(·), u(·)i ∈ L (Ω, R) oraz
Z
hv(x), u(x)i dx ≤ kvkLq kukLp .
Ω
Jeśli H jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym h·, ·i, to L2 (Ω, H) jest przestrzenią
Hilberta z iloczynem skalarnym
Z
hu, viL2 := hu(x), v(x)i dx.
Ω
4.1.8 UWAGA: Oczywiście, jeśli E ,Ï F, gdzie F jest przestrzenią Banacha (tzn. E ⊂ F i włożenie
jest ciągłe (1 )), to Lp (Ω, E) ,Ï Lp (Ω, F) dla 1 ≤ p ≤ ∞; jeśli dodatkowo µ(Ω) < ∞, to Lp (Ω, E) ,Ï
Lq (Ω, F) o ile 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞.
4.1.9 TWIERDZENIE (Phillipsa): Niech przestrzeń (Ω, A, µ) będzie σ-skończona. Jeśli przestrzeń
E jest refleksywna lub ośrodkowa, 1 ≤ p < ∞, to przestrzenią sprzężoną do Lp (Ω, E) jest
przestrzeń Lq (Ω, E ∗ ) gdzie p−1 + q −1= 1.
∗
Dokładniej, dla dowolnego φ ∈ Lp (Ω, E) , istnieje v ∈ Lq (Ω, E ∗ ) taka, że dla każdego
u ∈ Lp (Ω, E),
Z
hφ, ui =
hv(x), u(x)i dx.
Ω
Lp (Ω, E) jest przestrzenią refleksywną, o ile 1 < p < ∞ i E jest refleksywna.
Można tez dowieść, że jeśli E jest przestrzenią jednostajnie wypukłą, to Lp (Ω, E) jest też
jednostajnie wypukła, gdy 1 > p < ∞ .
1
Tzn. istnieje taka stała C ≥ 0, że kxkF ≤ CkxkE dla każdego x ∈ E.
4.2. ABSOLUTNA CIĄGŁOŚĆ I PRZESTRZENIE SOBOLEWA
4.2
49
Absolutna ciągłość i przestrzenie Sobolewa
Zajmiemy się teraz szczególnym przypadkiem: Niech Ω = J ⊂ R będzie przedziałem. Wtedy
wraz z σ-ciałem swych mierzalnych (w sensie Lebesgue’a) podzbiorów oraz miarą Lebesgue’a
mamy przestrzeń z zupełną i σ-skończoną miarą.
Jeśli A = [a, b] ⊂ J, to piszemy
Z b
Z
u(x) dx :=
u(x) dx
a
oraz
Z
b
A
a
Z
u(x) dx := −
b
u(x) dx.
a
Niech u : J → E i t ∈ J. Jeśli istnieje granica
u0 (t) :=
lim
h→0, t+h∈J
u(t + h) − u(t)
,
h
to mówimy, że funkcja u jest różniczkowalna w punkcie t i u0 (t) jest pochodną funkcji u w
punkcie t. Jeśli u jest różniczkowalna w każdym punkcie, to mówimy, że u jest różniczkowalna
i funkcję J 3 t 7Ï u0 (t) ∈ E nazywa się pochodną.
Jeżeli istnieje x ∈ E takie, że dla dowolnego p ∈ E∗
u(t + h) − u(t)
lim
p,
− x = 0,
h→0, t+h∈J
h
to mówimy, że funkcja u jest słabo różniczkowalna w punkcie t i x jest słabą pochodną
funkcji u w punkcie t. Piszemy również u0 (t). Jeśli u jest słabo różniczkowalna w każdym
punkcie, to mówimy, że u jest słabo różniczkowalna i funkcję J 3 t 7Ï u0 (t) ∈ E nazywa się
słabą pochodną.
Oczywiście różniczkowalność w punkcie t ∈ J pociąga słabą różniczkowalność i słaba
pochodna jest równa pochodnej w punkcie t.
Piszemy u ∈ C 1 (J, E), gdy funkcja u jest różniczkowalna oraz pochodna u0 : J → E jest
ciągła. Podobnie, piszemy u ∈ Cw1 (J, E), gdy u jest słabo różniczkowalna i słaba pochodna
u0 : J → E jest ciągowo słabo ciągła, tzn. dla dowolnego p ∈ E∗ , funkcja J 3 t 7Ï hp, u0 (t)i jest
ciągła. Jasne, że C 1 (J, E) ⊂ Cw1 (I, E).
4.2.1 UWAGA: (1) Jeśli istnieje słaba pochodna u0 (t), to dla dowolnego p ∈ E∗ funkcja hp, u(·)i
jest różniczkowalna w punkcie t oraz
d
hp, u(·)i = hp, u0 (·)i.
dt
Jeśli u ∈ Cw1 (J, E), to dla dowolnego p ∈ E ∗ , hp, u(·)i ∈ C 1 (J, E).
Przy założeniu, że przestrzeń E jest słabo ciągowo zupełna (tzn. każdy ciąg Cauchy’ego w
słabym sensie, a więc ciąg (xn ) taki, że ciąg (hp, xn i) jest Cauchy’ego dla dowolnego p ∈ E ∗ ,
jest słabo zbieżny), to ma miejsce fakt odwrotny: jeśli dla dowolnego p ∈ E∗ funkcja hp, u(·)i
jest różniczkowalna, to istnieje słaba pochodna. Jeśli funkcja hp, u(·)i ∈ C ( J), to u ∈ Cw1 (J, E).
(2) Jest jasne, że gdy J jest przedziałem zwartym, to C 1 (J, E) jest przestrzenią Banacha z
normą
kukC 1 := max{sup ku(t)k, sup ku0 (t)k}, u ∈ C 1 (J, E),
t∈J
t∈J
50
zaś Cw1 (J, E) jest przestrzenią lokalnie wypukłą z generująca rodziną półnorm
e(u) := max{sup |hp, u(t)i|, sup |hp, u0 (t)i|}, u ∈ Cw1 (J, E),
p
t∈J
t∈J
gdzie p ∈ E∗ .
(3) Warto jeszcze zwrócić uwagę, że przestrzeń lokalnie wypukła Cw1 (J, E) jest ciągowo
zupełna o ile przestrzeń E jest słabo ciągowo zupełna.
4.2.2 ĆWICZENIE: Opisać topologię w C 1 (J, E) (odp. Cw1 (J, E)), gdy J nie jest przedziałem zwartym.
Dla funkcji słabo różniczkowalnych ma miejsce twierdzenie o przyrostach.
4.2.3 LEMAT: Niech u : J → E będzie funkcją słabo różniczkowalną. Dla dowolnych s < t ∈ J,
ku(t) − u(s)k ≤ (t − s) sup ku0 (τ)k.
τ∈[s,t]
DOWÓD: Weźmy p ∈ E∗ , kpk ≤ 1. Z twierdzenie Lagrange’a istnieje takie τ ∈ [s, t], że
hp, u(t) − u(s)i = hp, u0 (τ)i(t − s) ≤ (t − s)ku0 (τ)k ≤ (t − s)M,
gdzie M := supτ∈[s,t] ku0 (τ)k. Dalej
ku(t) − u(s)k = sup hp, u(t) − u(s)i ≤ (t − s)M.
kpk≤1
4.2.4 UWAGA: Jeśli u ∈ Cw1 (J, E), to M = supτ∈[s,t] ku0 (τ)k < ∞. W przeciwnym razie istnieje ciąg
(τk ) ⊂ [s, t] takie, że ku0 (τk )k → ∞. Można założyć, że τk → τ ∈ [s, t]. Zatem, wykorzystując
słabą ciągłość u0 : J → E, u0 (tk ) * u0 (τ). Z twierdzenia Banacha-Steinhausa ciąg słabo zbieżny
jest ograniczony: sprzeczność.
4.2.5 TWIERDZENIE: Przypuśćmy, że J jest zwartym przedziałem. Jeśli u ∈ Cw (J, E) (przestrzeń
funkcji słabo ciągłych), to u jest funkcją silnie mierzalną i ograniczoną. Stąd u ∈ Lp (J, E) dla
dowolnego 1 ≤ p ≤ ∞.
DOWÓD: Funkcja u – jako słabo ciągła – jest słabo mierzalna. Niech {ti }∞
i=1 będzie ośrodkiem
w J i niech vi := u(ti ), i ∈ N. Jeśli v ∈ u(J), to v jest słabą granicą ciągu o wyrazach ze zbioru
V := {vi }, zatem – z twierdzenia Mazura – v jest granicą ciągu kombinacji wypukłych elementów zbioru V . Zatem v jest również granicą ciągu kombinacji wypukłych o współczynnikach
wymiernych elementów ze zbioru V . Oczywiście zbiór kombinacji wypukłych o współczynnikach wymiernych elementów zbioru V jest przeliczalny. Ten zbiór jest więc ośrodkiem w
u(J). Z twierdzenie Pettisa funkcja u – jako słabo mierzalna i przyjmująca wartości w zbiorze
ośrodkowym – jest silnie mierzalna.
Zbiór u(J) jest słabo zwarty (obraz słabo ciągły zbioru zwartego). Jest więc ograniczony.
Stąd ku(·)k ∈ Lp (J, R) dla dowolnego 1 ≤ p ≤ ∞.
p
4.2.6 WNIOSEK: Jeśli J jest dowolnym przedziałem, u ∈ Cw (J, E), to u ∈ Lloc (J, E), tzn. u ∈
Lp ([a, b], E) dla każdego zwartego przedziału [a, b] ⊂ J.
Mówimy, że funkcja u : J → E jest absolutnie ciągła, gdy dla dowolnego ε > 0, istnieje
P
δ > 0 taka, że jeśli {(αi , βi )}ki=1 jest rodziną przedziałów rozłącznych, zawartych w J, ki=1 (βi −
4.2. ABSOLUTNA CIĄGŁOŚĆ I PRZESTRZENIE SOBOLEWA
αi ) < δ, to
k
X
51
ku(βi ) − u(αi )k < ε.
i=1
Jest jasne, że funkcja absolutnie ciągła jest ciągła. Suma i iloczyn (rozumiany we właściwy
sensie) funkcji absolutnie ciągłych jest funkcją absolutnie ciągłą; ogólniej jeśli φ : E × E → E
jest funkcja spełniającą lokalnie warunek Lipschitza, u, v : [a, b] → E są absolutnie ciągłe, to
funkcja [a, b] 3 x 7Ï φ(u(x), v(x)) jest absolutnie ciągła.
1
Niech teraz v ∈ Lloc
(J, E) (tzn. v jest całkowalna na dowolnym zwartym odcinku zawartym
w J) i a ∈ J. Zdefiniowana jest wówczas funkcja pierwotna
Z
u(t) :=
t
v(s) ds, t ∈ J.
a
Nazwę tę uzasadnia następujący analogon twierdzenia Lebesgue’a.
4.2.7 TWIERDZENIE: (1) Funkcja pierwotna u jest ciągła i różniczkowalna prawie wszędzie,
tzn. dla p.w. t ∈ J,
u(t + h) − u(t)
u0 (t) =
lim
h→0, t+h∈J
h
istnieje oraz u0 (t) = v(t). Jeśli v ∈ C(J, E), to u ∈ C 1 (J, E) i u0 (t) = v(t) dla dowolnego t ∈ J.
(2) Jeśli v ∈ Cw (J, E), to u jest słabo różniczkowalna i słaba pochodna u0 (t) = v(t) dla
dowolnego t ∈ J; w konsekwencji u ∈ Cw1 (J, E).
1
DOWÓD: Cześć (1) ma dowód podobny do klasycznego. Jeśli v ∈ Cw (J, E), to v ∈ Lloc
(J, E); zatem
∗
u jest określona poprawnie. Niech p ∈ E ; z twierdzenia Bochnera
Z
g(t) := hp, u(t)i =
t
hp, v(s)i ds, t ∈ J.
a
Funkcja podcałkowa po prawej stronie jest ciągła, więc g jest klasy C 1 i g 0 (t) = hp, v(t) dla
t ∈ J. Ponadto dla dowolnego t ∈ J i h ∈ R takiego, że t + h ∈ J
u(t + h) − u(t)
g(t + h) − g)t)
− v(t) =
− hp, v(t)i → 0,
p,
h
h
gdy h → 0. Dowodzi to części (2).
4.2.8 WNIOSEK: Jeśli u ∈ Cw1 (J, E), to u jest ciągła i prawie wszędzie różniczkowalna (i jej
pochodna jest p.w. równa słabej pochodnej).
Rt
DOWÓD: Widzimy, że g(t) := a u0 (s) ds jest poprawnie określona i ciągła; dla dowolnego t ∈ J,
słaba pochodna g 0 (t) = u0 (t). Z wyżej wymienionej wersji twierdzenia o przyrostach wynika,
że u = g na J. Zatem u jest pierwotną swej słabej pochodnej; dowodzi to, że u jest p.w.
różniczkowalna.
Mówimy, że u ∈ W 1,p (J, E), gdzie 1 ≤ p ≤ ∞, gdy u ∈ Lp (J, E) oraz istnieje v ∈ Lp (J, E)
taka, że
Z t
u(t) = u(a) +
v(s) ds, t ∈ J.
a
52
Rt
4.2.9 UWAGA: (1) Jest jasne, że gdy |J| < ∞, u = u(a) + a v(s) ds, gdzie v ∈ Lp (J, E) ⊂ L1 (J, E),
to u jest ciągła. Zatem u jest silnie mierzalna i ograniczona:
Z t
sup ku(t)k ≤ ku(a)k +
kv(s)k ds ≤ ku(a)k + kvkL1 < ∞.
t∈J
a
Zatem u ∈ Lp (J, E).
(2) Funkcja v w definicji przestrzeni W 1,p (J, E) wyznaczona jest z dokładnością do równości
p.w.
Przestrzeń W 1,p (J, E), 1 ≤ p < ∞ jest przestrzenią Banacha z normą
kukW 1,p := kukLp + kvkLp , u ∈ W 1,p (J, E).
Podobnie, gdy p = ∞ oraz |J| < ∞. Zauważmy, że norma kukW 1,p jest poprawnie określona,
gdyż funkcja v jest wyznaczona z dokładnością do równości p.w.
Gdy |J| < ∞, 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞, to W 1,p (J, E) ,Ï W 1,q (J, E) (włożenie jest ciągłe).
Jeśli u ∈ W 1,p ([a, b], E), 1 ≤ p ≤ ∞, to u jest różniczkowalna p.w. oraz u0 (t) = v(t) dla p.w.
t ∈ [a, b]. Ponadto, dla dowolnych t, s ∈ [a, b],
Z
t
ku(t) − u(s)k ≤ ku0 (τ)k dτ .
s
Zatem u jest absolutnie ciągła.
Podobnie, gdy u ∈ W 1,∞ (J, E) (J dowolny przedział), to
ku(t) − u(s)k ≤ C|t − s|.
Jeśli u ∈ W 1,p (J, E), gdzie 1 < p < ∞, to ku(t) − u(s)k ≤
jest wykładnikiem sprzężonym z p (tj. 1/p + 1/p∗ = 1).
Rs
t
ku0 (ξ)kp dξ
1/p
∗
|t − s|1/p , gdzie p∗
4.2.10 TWIERDZENIE: Niech |J| < ∞. Funkcja u ∈ W 1,p (J, E) 1 ≤ p < ∞) wtedy i tylko wtedy,
gdy u jest słabo absolutnie ciągła (tzn. dla dowolnego p ∈ E∗ , funkcja hp, u(·)i jest absolutnie
ciągła), u jest p.w. słabo różniczkowalna oraz u0 ∈ Lp (J, E).
DOWÓD: Konieczność jest natychmiastowa. Udowodnimy dostateczność. Niech u0 : J → E oznacza (zdefiniowaną p.w.) słabą pochodną; u0 ∈ Lp (J, E). Połóżmy
Z t
U(t) = u(a) +
u0 (s) ds, t ∈ J.
a
Oczywiście, dla każdego p ∈
E∗ ,
funkcja hp, u(·)i jest różniczkowalna p.w. oraz
d
hp, u(t)i = hp, u0 (t)i
dt
p.w. na J. Dzięki słabej absolutnej ciągłości, dla dowolnego p ∈ E ∗ oraz dla każdego t ∈ J,
Z t
hp, u(t)i = hp, u(a)i +
hp, u0 (s)i ds = hp, U(t)i.
a
Tak więc, U(t) = u(t); czyli u ∈ W 1,p (J, E).
53
4.3. ZWARTOŚĆ W PRZESTRZENIACH FUNKCYJNYCH
W dowodzie wykorzystaliśmy twierdzenie Lebesgue’a w następującym brzmieniu: Funkcja
f : [a, b] → R jest absolutnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g ∈ L1 ([a, b], R) taka, że
Z t
g(s) ds.
f(t) = f(a) +
a
f 0 (t)
Ponadto wtedy f jest różniczkowalna p.w. i
= g(t) p.w. na [a, b]. Powyższe twierdzenie
Lebesgue’a można udowodnić też w przypadku refleksywnych przestrzeni Banacha.
4.2.11 TWIERDZENIE (Komura): Załóżmy, że E jest przestrzenią refleksywną, |J| < ∞ Funkcja
u : J → E jest absolutnie Rciągła wtedy i tylko wtedy, gdy u jest różniczkowalna p.w., u0 ∈
t
L1 (J, E) oraz u(t) = u(0) + a u0 (s) ds dla dowolnego t ∈ J.
Tak więc, gdy E jest przestrzenią refleksywną, to W 1,1 (J, E), |J| < ∞, pokrywa się z przestrzenią AC(J, E) funkcji absolutnie ciągłych
4.2.A
Pochodne dystrybucyjne
1
Powiemy, że funkcja v ∈ Lloc
(J, E) jest pochodną dystrybucyjną funkcji lokalnie całkowalnej
u jeśli, dla dowolnej funkcji próbnej, tzn. φ ∈ C0∞ (J, R) (tj. funkcji nieskończenie wiele razy
różniczkowalnej o zwartym nośniku i takiej, że jeśli α ∈ J jest krańcem (lewym lub prawym)
przedziału J, to φ(α) = 0) zachodzi
Z
Z
0
φ (t)u(t) dt = − φ(t)v(t) dt.
J
J
1
Przypuśćmy, że u ∈ Wloc (J, E), tzn. istnieje taka funkcja v ∈ Lloc
(J, E), że u(t) = u(a) +
a v(s) ds, gdzie a ∈ J jest ustalonym punktem.
Wykażemy, że v jest pochodną dystrybucyjną funkcji u. Niech φ ∈ C0∞ (J, R) i wybierzmy
a, b ∈ J tak, aby a < b i supp φ ⊂ [a, b]. Wówczas
Z
Z b
Z bZ t
0
0
φ (t)u(t) dt =
φ (t)x(a) dt +
φ0 (t)v(s) ds dt =
1,1
Rt
J
Z
a
4.3
b
Z
s
a
a
b
φ0 (t)v(s) dt ds = −
Z
a
a
b
Z
φ(s)yv(s) ds = −
φ(s)v(s) ds.
J
Zwartość w przestrzeniach funkcyjnych
Omówimy kilka twierdzeń o zwartości podzbiorów przestrzeni funkcyjnych. Podobnie jak
poprzednio E oznacza przestrzeń Banacha. Symbolem C(J, E) oznaczamy zbiór wszystkich
funkcji ciągłych J → E. Jest to oczywiście przestrzeń wektorowa. W przestrzeni tej rozważa się
topologię zbieżności niemal jednostajnej. Jest to topologia metryzowalna: dla u, v ∈ C(J, E),
d(u, v) := sup
n∈N
supt∈Jn ku(t) − v(t)k
,
1 + supt∈Jn ku(t) − v(t)k
gdzie {Jn } jest wstępującym ciągiem zwartych podzbiorów J takim, że
znana, lecz równoważna metryka dana jest wzorem
d(u, v) :=
∞
X
1 supt∈Jn ku(t) − v(t)k
.
2n 1 + supt∈Jn ku(t) − v(t)k
n=1
S
n∈N Jn
= J. Lepiej
54
Ciąg (un ) ⊂ C(J, E) jest zbieżny w tej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny niemal jednostajnie, tzn. jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze przedziału J. Topologia zbieżności
niemal jednostajnej jest tez zwana topologią zwarto-otwartą.
Topologia zwarto-otwarta w C(J, E) jest lokalnie wypukła: generującą rodziną półnorm jest
{pn }n∈N , gdzie
pn (u) := sup ku(t)k, u ∈ C(J, E).
t∈Jn
4.3.1 TWIERDZENIE (Ascoli-Arzela): Niech J będzie dowolnym przedziałem i niech U będzie
rodziną funkcji ciągłych J → E. Jeśli rodzina U jest jednakowo ciągła (tzn. dla dowolnych
u ∈ U, t ∈ J oraz ε > 0, istnieje δ > 0 taka, że ku(t) − u(s)k < ε o ile |t − s| < δ) oraz,
dla dowolnego t ∈ J, zbiór U(t) := {u(t) | u ∈ U} ⊂ E jest względnie zwarty, to zbiór U
jest względnie zwarty w przestrzeni C(J, E) funkcji ciągłych (z metryką zbieżności niemal
jednostajnej) .
Oczywiście (względna) zwartość zbioru U oznacza, że z każdego ciągu (un ) ⊂ U można
wybrać podciąg zbieżny.
Zacznijmy od ogólnego kryterium (zwanego twierdzeniem Eberleina-Schmulyana-Grothendiecka).
4.3.2 TWIERDZENIE: Niech A ⊂ E. Następujące warunki są równoważne:
(1) zbiór A jest względnie słabo zwarty;
(2) zbiór jest względnie słabo ciągowo zwarty, tzn. każdy ciąg (xn ) ⊂ A zawiera słabo zbieżny
podciąg;
(3) dla dowolnego ciągu (xn ) ⊂ A istnieje ciąg (yn ) ⊂ conv {xk | k ≥ n}, który jest zbieżny;
(4) dla dowolnego ciągu (xn ) ⊂ A istnieje ciąg (yn ) ⊂ conv {xk | k ≥ n}, który jest słabo
zbieżny;
(5) (Grothendieck) dla dowolnego ε > 0 istnieje zbiór względnie słabo zwarty Hε taki, że
A ⊂ Hε + εB, Gdzie B jest kula jednostkową w E.
W dowodzie trudność polega na wykazaniu, że (4) (lub (5)) implikuje (1).
Interesować nas będą obecnie kryteria słabej zwartości w przestrzeniach Lp (Ω, E).
Zaczniemy od klasycznego twierdzenia Dunforda-Pettisa (dla E = Rk ).
4.3.3 TWIERDZENIE (Dunford-Pettis): Zbiór A ⊂ L1 (Ω, Rk ) jest względnie słabo zwarty wtedy i
tylko wtedy, gdy:
(a) A jest ograniczony;
R
(b) dla każdego ε > 0 istnieje δ taka, że jeśli B ∈ A, µ(B) < δ, to B |w(x)| dx < ε dla
wszystkich w ∈ A;
R
(c) istnieje rodzina {Bn } zbiorów mierzalnych taka, że µ(Bn ) < ∞ i limn→∞ Ω\Bn |w(x)| dx =
0 jednostajnie ze względu na w ∈ A.
4.3.4 UWAGA: (1) Warunek (c) nie jest potrzebny, gdy µ(Ω) < ∞.
(2) Warunek (b) nazywa się jednostajną całkowalnością zbioru A. Jeśli Ω ⊂ RN ma miarę
skończoną, to jednostajna całkowalność zbioru A implikuje jego ograniczoność (gdyż wówczas
Ω można rozbić na skończoną liczbę zbiorów dowolnie małej miary). Zatem, w takiej sytuacji
(tzn. gdy Ω jest mierzalnym w sensie Lebesgue’a podzbiorem RN skończonej miary), to: A ⊂
L1 (Ω, Rk ) jest względnie słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednostajnie całkowalny.
(3) Przypuśćmy, że zbiór A jest całkowo ograniczony, tzn. istnieje funkcja c ∈ L1 (Ω, R)
taka, że |w(x)| ≤ c(x) dla p.w. x ∈ Ω. Wtedy zbiór A spełnia warunki (a), (b) i (c). Zatem zbiory
całkowo ograniczone w L1 (Ω, Rk ) są względnie słabo zwarte.
55
Jak wiadomo, gdy przestrzeń E jest refleksywna, to względna słaba zwartość jest równoważna ograniczoności; tak więc jeśli E jest przestrzenią refleksywną i 1 < p < ∞, to zbiór
A ⊂ Lp (Ω, E) jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.
Dla przestrzeni refleksywnych mamy też analogon stwierdzenie z punktu (3) powyższej
uwagi.
4.3.5 TWIERDZENIE: Niech E będzie przestrzenią refleksywną. Jeżeli A ⊂ L1 (Ω, E) jest całkowo
ograniczony, tzn. istnieje funkcja c ∈ L1 (Ω, R) taka, że kw(t)k ≤ c(t) dla p.w. t ∈ J oraz
dowolnego w ∈ A, to zbiór A jest względnie słabo zwarty.
DOWÓD: Można założyć, że c > 0 na J. Określmy przekształcenie T : L∞ (Ω, E) dane wzorem
T(u) = cu. Jest jasne, że T jest operatorem liniowym ograniczonym (kTk ≤ kckL1 ). Jest również
ciągły, gdy w L∞ (Ω, E) rozważyć słabą∗ -topologię (zauważmy, że L∞ (Ω, E) jest przestrzenią dualna do L1 (Ω,R E∗ )), zaś w L1 (Ω, E) słabą
p ∈ (L1 (Ω, E))∗ mamy
R topologię: istotnie, dla dowolnego
hp, T(w)i = Ω hg(x), c(x)w(x)i dx = Ω hc(x)g(x), w(x) dx, gdzie g ∈ L∞ (Ω, E∗ ); zauważmy, że
c · g ∈ L1 (Ω, E∗ ).
Z twierdzenie Alaoglu kula jednostkowa D ⊂ L∞ (Ω, E) jest słabo∗ -zwarta; zatem zbiór T(D)
jest słabo zwarty. Oczywiście A ⊂ T(D). To kończy dowód.
4.3.6 UWAGA: Pokazaliśmy, że całkowa ograniczoność implikuje tezę. Wiadomo, że zbiory całkowo ograniczone są ograniczone i jednostajnie całkowalne. Okazuje się, że ma miejsce twierdzenie Diestela: jeśli Ω ma miarę skończoną i E jest przestrzenią refleksywną, to A ⊂ L1 (Ω, E)
jest względnie zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony i jednostajnie całkowalny.
4.3.7 WNIOSEK: Rozważmy ciąg (uk ) funkcji w przestrzeni Wloc (J, E) (2 ) taką, że dla dowolnego
1
t ∈ J, zbiór {uk (t)} jest względnie zwarty, istnieje funkcja c ∈ Lloc
(J, R) taka, że kuk0 (t)k ≤ c(t)
1,1
p.w. na J, to istnieje podciąg (nadal oznaczany przez) (uk ) oraz funkcja u ∈ Wloc (J, E) takie,
że
(i) uk → u w C(J, E);
(ii) uk0 * u0 (słabo) w L1 (J, E).
1,1
DOWÓD. Zauważmy, że rodzina {uk } jest jednakowo (jednostajnie) ciągła: dla dowolnego ε > 0
istnieje δ > 0 taka, że jeśli A ⊂ J jest zbiorem mierzalnym oraz µ(A) < δ, to
Z
c(s) ds < ε;
A
stąd dla każdego k ∈ N oraz t, s ∈ J,
Z
kuk (t) − u(s)k ≤
s
t
kuk0 (τ)k dτ
Z
≤
t
c(τ) dτ < ε
s
o ile |t −s| < δ. Z twierdzenie Ascoliego-Arzeli istnieje podciąg (znaczony tak samo) uk zbieżny
niemal jednostajnie do pewnej funkcji ciągłej u : J → E.
Ustalmy teraz pewien zwarty przedział I ⊂ J. Z twierdzenia 4.3.5 z ciągu (uk0 ) można wybrać
(tak samo oznaczony) podciąg (uk0 ) słabo zbieżny do pewnej funkcji v ∈ L1 (I, E). Skoro, dla
dowolnych a, t ∈ J,
Z t
uk (t) − uk (s) =
uk0 (s) ds,
s
to przechodząc do granicy z k → ∞ otrzymamy, że dla dowolnego t ∈ J, istnieje granica
Z t
lim
uk0 (s) ds = u(t) − u(a).
k→∞ a
2
Na mocy refleksywności i twierdzenia Komury, równoważnie: uk jest absolutnie ciągła.
56
Niech p ∈ E ∗ . Wtedy funkcja J 3 s 7Ï ξ(s) = χ[a,t] (s)p należy do L∞ (J, E ∗ ). Skoro uk0 * v, to
na mocy drugiego twierdzenia Bochnera,
* Z
+
Z t
t
0
hp, u(t) − u(a)i = lim p,
uk (s) ds = lim
hp, uk0 (s)i ds
k→∞
Z
= lim
k→∞ J
hξ(s), uk0 (s)i ds =
Z
J
k→∞ a
a
hξ(s), v(s)i ds =
*
t
Z
a
hp, v(s)i ds =
Z
t
+
v(s) ds .
p,
a
Z dowolności p wynika stąd, że
Z
u(t) − u(a) =
t
v(s) ds.
a
W takim razie u jest w W 1,1 (I, E) oraz u0 = v p.w. Dowolność podprzedziału I kończy dowód.
4.3.8 UWAGA: Powyższy wniosek stanowi bardzo częstą ilustrację zastosowań twierdzeń o słabej
zwartości w teorii równań i inkluzji różniczkowych.
Jeśli przestrzeń Banacha nie jest refleksywna, to w celu stwierdzenia słabej zwartości ciągu
(uk ) można posłużyć się jednym z twierdzeń Diestela o słabej zwartości w L1 (I, E). Mamy
mianowicie:
4.3.9 TWIERDZENIE (Ülger, Diestel): Przypuśćmy, że Ω ma miarę skończoną. Jeśli zbiór A ⊂
L1 (Ω, E) jest ograniczony, to następujące warunki są równoważne:
(a) A jest względnie słabo zwarty;
(b) A jest jednostajnie całkowalny (3 ) oraz dla dowolnego ciągu (un ) ⊂ A istnieje ciąg
(vn ) ⊂ conv {uk | k ≥ n}, który jest prawie wszędzie zbieżny.
(c) A jest jednostajnie całkowalny oraz dla dowolnego ciągu (un ) ⊂ A istnieje ciąg (vn ) ⊂
conv {uk | k ≥ n}, który jest prawie wszędzie słabo zbieżny (tzn. dla p.w. t ∈ Ω, ciąg (vn (t))
jest słabo zbieżny).
(d) Dla dowolnego ε > 0 istnieje α ≥ 0 oraz względnie słabo zwarty zbiór H ⊂ {u ∈
1
L (Ω, E) | kuk ≤ α} taki, że A ⊂ H + B(0, ε).
Szczególnie cenna jest implikacja (c) Ñ (a). Oczywiście implikacja (d) Ñ (a) wynika natychmiast z twierdzenia Grothendiecka. Implikacja (a) Ñ (d) pochodzi od Ülgera.
Mamy w związku z tym następujące wnioski.
4.3.10 TWIERDZENIE: Załóżmy, że Ω ma miarę skończoną. Jeśli zbiór W ⊂ L1 (Ω, E) jest
ograniczony i jednostajnie całkowalny (a więc np. całkowo ograniczony) oraz
(A) dla p.w. t ∈ Ω zbiór W (t) := {w(t) | w ∈ W } jest względnie słabo zwarty,
to W jest względnie słabo zwarty.
4.3.11 WNIOSEK: Jeśli Ω ma miarę skończoną, W ⊂ L1 (Ω, E) i
(B) istnieje zbiór względnie słabo zwarty C ⊂ E taki, że dla p.w. t ∈ Ω i dla dowolnej
funkcji w ∈ W , w(t) ∈ C,
to W jest względnie słabo zwarty.
R
Tzn. dla każdego ε > 0 istnieje δ taka, że jeśli B ∈ A, µ(B) < δ, to supw∈A B kw(x)k dx < ε. Tak jak poprzednio
całkowa ograniczoność implikuje jednostajną całkowalność. Jednostajna całkowalność implikuje ograniczoność
np. gdy Ω ⊂ RN jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a.
3
57
Jeśli miara Ω nie jest skończona, to dodatkowo należ przyjąć założenie analogiczne do (c)
w twierdzeniu Dunforda-Pettisa.
4.3.12 TWIERDZENIE: Przypuśćmy, że W ⊂ L1 (Ω, E) spełnia założenia twierdzenie 4.3.10 lub
wniosku 4.3.11 i dodatkowo, że istnieje ciąg (Ak ) ⊂ A taki, że µ(Ak ) < ∞ i
Z
lim
kw(t)k dt = 0
k→∞ Ω\Ak
jednostajnie ze względu na w ∈ W .
DOWÓD: Rozważmy ciąg (wn ) ⊂ W . Oczywiście można założyć, że ciąg (Ak ) jest wstępujący.
(0)
(0)
Niech wn := wn , n = 1, 2, .. Dla k = 1 wybierzmy podciąg ciągu (wn ), oznaczając go symbolem
(1)
1
(wn )∞
n=1 , taki, że – po obcięciu do A1 – jest słabo zbieżny w L (A1 , E) do pewnej funkcji
1
f1 ∈ L (A1 , E). Taka możliwość wynika z Twierdzenia 4.3.10 lub wniosku 4.3.11 zastosowanych
(k)
do przestrzeni L1 (A1 , E). Przypuśćmy, że podciąg (wn ) został już wybrany. Wybieramy teraz
(k) ∞
(k+1)
podciąg ciągu (wn )n=1 , oznaczając go symbolem (wn ), który – po obcięciu – jest słabo
zbieżny w L1 (Ak+1 , E) do pewnej funkcji fk+1 ∈ L1 (Ak+1 , E) (poprawność uzasadniona tak jak
(k)
k
przed chwilą). Otrzymaliśmy rodzinę ciągów (wn )∞
n=1 , k ∈ N, w której (wn ) jest podciągiem
ciągu (wn ) i jest zbieżny do pewnej funkcji fk ∈ L1 (Ak , Ω). Oczywiście fk+1 |Ak = fk p.w.
S∞
Zatem zdefiniowaliśmy funkcję f∞ : A∞ :=
R k=1 Ak → E. Jest ona oczywiście silnie mierzalna.
Z drugiej części twierdzenie 4.1.4, supk∈N Ak kfk k < ∞. Stąd (i z twierdzenie o monotonicznym
przejściu do granicy Beppo-Leviego) otrzymujemy, że f∞ jest całkowalna na A∞ . A więc funkcja
f : Ω → E równa f∞ na A∞ i 0 poza tym zbiorem jest silnie mierzalna i całkowalna w sensie
Bochnera. Oczywiście
Z
Z
lim
kfk dµ = lim
kfk dµ = 0.
(∗)
(k−1)
k→∞ Ω\Ak
k→∞ A∞ \Ak
Pokażemy, że wn * f. Weźmy dowolny p ∈ [L1 (Ω, E)]∗ (uwaga: nie wiemy, czy przestrzeń E
jest refleksywna lub ośrodkowa, a więc nie wiemy czy przestrzenią sprzężoną jest L∞ (Ω, E∗ )).
Mamy pokazać, że
hp, wn − fi → 0 gdy n → ∞.
Wybierzmy ε > 0 i takie N ∈ N, by
Z
Z
kfk dµ, sup
Ω\AN
w∈W
kwk dµ < ε/3.
Ω\AN
Rozważmy przekształcenia φ : L1 (AN , E) → L1 (Ω, E) oraz ψ : L1 (Ω \ AN , E) → L1 (Ω, E) dane
następująca: dla u ∈ L1 (AN , E), φ(u) jest funkcja równą u na zbiorze AN i 0 poza nim; dla
v ∈ L1 (Ω \ AN , E), ψ(v) jest funkcją równą v na Ω \ AN i 0 na AN . Jest jasne, że φ i ψ są
operatorami liniowymi i ograniczonymi; kφk, kψk ≤ 1. Dodatkowo: dla dowolnego u ∈ L1 (Ω, E)
u = χAN u + χΩ\AN u = φ(u|AN ) + ψ(u|Ω\AN ).
Stąd
hp, wn − fi = hp, φ((wn − f)|AN ) + ψ((wn − f)|Ω\AN )i = hφ∗ (p), (wn − f)|AN i + hψ ∗ (p), (wn − f)|Ω\AN i,
gdzie φ∗ i ψ ∗ sa operatorami sprzężonymi. Oczywiście hφ∗ (p), (wn − f)|AN i → 0. Zatem dla
n ≥ N1 ,
|hφ∗ (p), (wn − f)|AN i| < ε/3.
58
Z drugiej strony
Z
|hψ ∗ (p), (wn − f)|Ω\AN i| ≤ kψ ∗ kk(wn − f)|Ω\AN kL1 (Ω\AN ,E) ≤
Z
Z
(kwn (t)k + kf(t)k) dt =
kwn (t)k dt +
kf(t)k dt < 2ε/3.
Ω\AN
Ω\AN
Zatem, dla n ≥ N1 ,
Ω\AN
|hp, wn − fi| < ε.
To kończy dowód.
Rozważymy teraz sytuację nierefleksywnej (ani nie koniecznie ośrodkowej) przestrzeni E
i przestrzeni Lp (J, E), gdzie 1 < p < ∞,
4.3.13 TWIERDZENIE (Diestel, Ruess): Jeśli W ⊂ Lp (Ω, E), gdzie 1 < p < ∞ i µ(Ω) < ∞, jest
zbiorem ograniczonym, to następujące warunki są równoważne:
(a) zbiór W jest względnie słabo zwarty;
(b) dowolnego ciągu (un ) ⊂ W istnieje ciąg (vn ) ⊂ conv {uk | k ≥ n}, który jest prawie
wszędzie zbieżny.
(c) dla dowolnego ciągu (un ) ⊂ A istnieje ciąg (vn ) ⊂ conv {uk | k ≥ n}, który jest prawie
wszędzie słabo zbieżny (tzn. dla p.w. t ∈ Ω, ciąg (vn (t)) jest słabo zbieżny).
4.3.14 UWAGA: (i) Przypuśćmy, że przestrzeń Ω ma miarę skończoną i niech W ⊂ Lp (Ω, E),
1 < p < ∞, będzie zbiorem ograniczonym. Oczywiście można uważać, że W ⊂ L1 (Ω, E).
Wtedy W jest jednostajnie całkowalny: weźmy ε > 0 i ustalmy δ > 0 takie, że δ 1−1/p m < ε,
gdzie m = supw∈W kwkLp . Jeśli B ⊂ Ω jest zbiorem mierzalnym o mierze µ(B) < δ, to dla
dowolnego w ∈ W ,
Z
Z
kwk dµ ≤ µ(B)
B
p
kwk dµ
1−1/p
B
1
/p = δ 1−1/p kwkLp < ε.
Jeśli W jako podzbiór L1 (Ω, E) jest względnie słabo zwarty, to jest również względnie słabo
zwarty w Lp (Ω, E). Rzeczywiście z twierdzenia 4.3.9 wynika, że spełnione są warunki (a), (b)
twierdzenie 4.3.13.
Oczywiście każdy względnie słabo zwarty zbiór W ⊂ Lp (Ω, E) jest tez względnie słabo
zwarty w L1 (Ω, E).
(ii) Przypuśćmy, że Ω ⊂ Rn jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a (dowolnej miary).
1
Łatwo dostrzec, że jeśli zbiór A ⊂ Lloc
(Ω, E) (a zatem zbiór składający się z funkcji lokalnie
całkowalnych w sensie Bochnera, tzn. całkowalnych na każdym zwartym podzbiorze zbioru Ω)
1
jest całkowo ograniczony przez funkcję w ∈ Lloc
(Ω, R) i dla p.w. t ∈ Ω istnieje zbiór względnie
słabo zwarty C(t) ⊂ E taki, że u(t) ⊂ C(t) dla p.w. t ∈ Ω i dowolnej funkcji u ∈ A, to A jest
względnie słabo zwarty.
4.4
Odwzorowania wielowartościowe o wypukłych i domkniętych
wartościach
Niech X będzie przestrzenią metryczną, E przestrzenią Banacha. Rozważmy odwzorowanie
φ : X ( E.
4.4.1 DEFINICJA: Powiemy, że odwzorowanie φ jest górnie hemiciągłe w punkcie x0 ∈ X jeśli,
4.4. ODWZOROWANIA WIELOWARTOŚCIOWE O WYPUKŁYCH I DOMKNIĘTYCH WARTOŚCIACH
59
dla dowolnego p ∈ E∗ funkcja
X 3 x 7Ï σφ(x) (p) := sup hp, yi ∈ R ∪ {+∞}
y∈φ(x)
jest (jako funkcja liczbowa) półciągła z góry w punkcie x0 . Jeśli φ jest górnie hemiciągła w
każdym punkcie x ∈ X, to mówimy, że φ jest górnie hemiciągła: skrótowo uhc.
4.4.2 UWAGA: Jeśli odwzorowanie φ jest górnie półciągłe, to jest ono górnie hemiciągłe. Niech
j : E → Ew , gdzie Ew oznacza przestrzeń E ze słabą topologią, będzie identycznością. Jest to
odwzorowanie ciągłe. Zatem odwzorowanie ψ := j ◦ φ : X → Ew jest usc. Za chwilę pokażemy,
że to implikuje hemiciągłość φ.
4.4.3 FAKT: Jeśli w E rozważymy słabą topologię, to odwzorowanie φ : X ( E górnie półciągłe
w x0 ∈ X (mówimy wówczas, że φ jest słabo usc lub demiciągłe (4 )) jest tam górnie hemiciągłe.
DOWÓD: Niech p ∈ E ∗ , p 6= 0 i ε > 0. Zbiór B := {y ∈ E | hp, yi < ε/2} jest otoczeniem zera
w słabej topologii. Górna półciągłość (względem rozpatrywanej słabej topologii) w punkcie x0
implikuje, że istnieje otoczenie V ⊂ X punktu x0 takie, że
φ(x) ⊂ φ(x0 ) + B
dla dowolnego x ∈ V . Zatem, dla dowolnego y ∈ φ(x) istnieje y0 ∈ φ(x0 ) takie, że hp, y − y0 i <
ε/2. Czyli
hp, yi < σφ(x0 ) (p) + ε
a więc
σφ(x) (p) < σφ(x0 ) (p) + ε.
To oznacza, że φ jest górnie hemiciągłe w punkcie x0 .
4.4.4 UWAGA: Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Wystarczy rozważyć odwzorowanie
φ : R ( R2 dane wzorem
φ(x) = {(y1 , y2 ) ∈ R2 | y2 ≥ (1 + x)y1 }
dla x ∈ R. Jest ono górnie hemiciągłe w punkcie x = 0. Istotnie, niech p = (p1 , p2 ). Jeżeli
p2 > 0, to σφ(0) (p) = +∞ i nie ma czego dowodzić. Jeśli p2 < 0, to
σφ(x) (p) =
3 2
p [p2 (1 + x)]−1 .
4 1
Funkcja ta jest ciągła w x = 0. Jednak łatwo zauważyć, że φ nie jest górnie półciągła w 0.
Jednak, przy dodatkowym założeniu słabej zwartości i wypukłości wartości odwzorowania
górnie hemiciągłe są słabo usc.
4.4.5 TWIERDZENIE (Castaing): Jeśli φ : X ( E jest górnie hemiciągłe w punkcie x0 ∈ X
oraz zbiór φ(x0 ) jest wypukły i słabo zwarty, to φ jest słabo górnie półciągłe w x0 . Zatem
odwzorowanie hemiciągłe o słabo zwartych i wypukłych wartościach jest słabo usc.
DOWÓD: Mamy pokazać, że jeśli U jest (słabym) otoczeniem K := φ(x0 ), to φ+1 (U) jest otoczeniem (w X) punktu x0 . Dla skończonego układu P ⊂ E∗ i ε > 0 niech
U(P, ε) := {y ∈ E | |hp, yi| < ε, p ∈ P}.
4
Odwzorowanie jest słabo usc, gdy dla dowolnego słabo domkniętego A ⊂ E przeciwobraz φ−1 (A) jest domknięty.
60
Wtedy {U(P, ε) | P ⊂ E∗ , #P < ∞, ε > 0} tworzy bazę otoczeń 0 w E (ze słabą topologią).
Zwartość K implikuje, że istnieje P ⊂ E∗ i ε > 0 takie, że V := K + U(P, ε) ⊂ U (sprawdzić to
stwierdzenie).
T
Niech Y := p∈P ker p; Y jest domkniętą podprzestrzenią skończonego kowymiaru, zatem
znajdzie się podprzestrzeń liniowa X ⊂ E, dim X < ∞ taka, że X ⊕ Y = E. Niech π : E → X
będzie rzutem równoległym do Y ; zbiór VX := π(V ) jest otwarty, zbiór KX := π(K) jest zwarty i
wypukły (jako ciągły rzut zbioru słabo zwartego jest słabo zwarty w X, lecz X jest skończonego
wymiaru).
Twierdzę teraz, że znajdą się funkcjonały q1 , ..., qm ∈ X ∗ oraz δ > 0, że
m
\
(KX + V (qi , δ)) ⊂ VX ,
i=1
gdzie, dla q ∈ X ∗ , V (q, δ) := {x ∈ X | hq, xi < δ}. Zauważmy, że
y ∈ KX + V (q, δ) ⇔ inf hp, y − ki < δ.
k∈KX
Zwartość KX pozwala założyć, że VX = KX + B(0, 1) (dla uproszczenia). Niech Z = KX +
D(0, 2) \ VX ; jest to zbiór zwarty (sprawdzić). Dla dowolnego q ∈ X ∗ , kqk = 1 i δ > 0, zbiór
(względnie) zwarty
KX + V (p, δ) ∩ Z 6= ∅.
Aby to zobaczyć wystarczy wziąć y ∈ KX taki, że hq, yi = inf k∈KX hq, ki i z ∈ X takie, że
hq, zi = kzk = 1. Wówczas d(y − 2z, KX ) ≤ ky − 2z − yk = 2. Tak więc y − 2z ∈ Z; jednocześnie
hq, y − 2zi = inf −2 < infk∈KX hq, ki + δ,
k∈KX
czyli y − 2z ∈ KX + Vq,δ .
Zaprzeczmy teraz postawionej tezie: dla każdego skończonego układy {q1 , ..., qm } funkcjonałów o normie 1 i dla każdego δ > 0,
m
\
[(KX + V (qi , δ)) ∩ Z] 6= ∅.
i=1
Zwartość KX implikuje, że przecięcie
\
[(KX + V (q, δ)) ∩ Z] 6= ∅.
q∈X ∗ , kqk=1, δ>0
Niech z będzie elementem tego zbioru. Oczywiście z ∈ Z więc, z 6∈ KX . Z twierdzenie o
oddzielaniu znajdzie się funkcjonał q ∈ X ∗ , kqk = 1, i δ > 0 takie, że
hq, zi + δ < inf hq, ki.
k∈KX
Lecz z ∈ KX + V (q, δ), a to oznacza, że mamy sprzeczność.
Mam więc rodzinę q1 , ..., qm ∈ X ∗ oraz δ > 0, że
m
\
(KX + V (qi , δ)) ⊂ VX .
i=1
61
Przedłużmy qi dla funkcjonału pi ∈ E∗ kładąc
hpi , x + yi = hqi , xi, x ∈ X, y ∈ Y , i = 1, ..., m.
Twierdzę teraz, że
m
\
W :=
(K + U(pi , δ)) ⊂ U,
i=1
gdzie
U(p, δ) := {y ∈ E | hp, yi < δ}, p ∈ E∗ .
Rzeczywiście: niech x ∈ W ; dla dowolnego i = 1, .., m i k ∈ K,
delta > hpi , x − ki = hqi , π(x) − π(k)i.
Stąd π(x) ∈ VX = π(V ); zatem π(x) = π(v), gdzie v = k + u ∈ V , k ∈ K i u ∈ U(P, ε) ⊂ U, tzn.
x = v + y = k + u + y, gdzie y ∈ V . Ale hp, yi = 0 dla dowolnego p ∈ P, więc u + y ∈ U(P, ε).
Stąd ∈ K + U(P, ε) ⊂ U.
Mamy więc: dla pewnych p1 , ..., pm ∈ E∗ i pewnego δ > 0
W := {y ∈ E | inf hpi , y − ki < δ, i = 1, ..., m} ⊂ U.
k∈K
Dla każdego i = 1, ..., m,
Wi := {y ∈ E | inf hpi , y − ki < δ} = {y ∈ E | hpi , yi < suphpi , ki + δ}
k∈K
k∈K
oraz φ(x) ⊂ Wi . Założone górna hemiciągłość φ oznacza, że znajdzie się ηi > 0, że dla x ∈
B(x , η ), φ(x) ⊂ Wi . Wziąwszy η := min{ηi | i = 1, ..., m} i x ∈ B(x0 , η) widać, że φ(x) ⊂
Tm 0 i
i=1 Wi = W ⊂ U.
Podamy teraz kilka dodatkowych własności odwzorowań hemiciągłych i słabo usc.
4.4.6 TWIERDZENIE: Jeśli X jest przestrzenią zwartą, φ :( E jest górnie hemiciągłe i ma ograniczone wartości, to obraz φ(X) jest zbiorem ograniczonym. Jeśli wartości są słabo zwarte,
to obraz φ(X) jest słabo zwarty.
DOWÓD: Dla dowolnego x ∈ X, zbiór φ(x) jest ograniczony; zatem, dla dowolnego p ∈ E∗ ,
σφ(x) (p) ∈ R. Tak więc, na mocy zwartości i górnej półciągłości funkcji X 3 x 7Ï σφ(x) (p) ∈ R
(każda funkcja górnie półciągła na przestrzeni zwartej przyjmuje kres górny), mamy
f(p) := sup σφ(x) (p) = sup hp, yi < ∞.
x∈X
y∈φ(X)
Wobec tego f : E∗ → R jest poprawnie określona funkcją. Jest ona dodatnio jednorodna,
wypukła i półciągła z dołu (dolna półciągłość jest konsekwencja rozważań o odwzorowaniach
marginalnych). Oczywiście, dla dowolnego p ∈ E ∗ ,
φ(X) ⊂ K := {y ∈ E | hp, yi ≤ f(p)}.
Dla dowolnego y ∈ K oraz p ∈ E ∗ , hp, yi ≤ f(p). Tak więc, z twierdzenia Banacha-Steinhausa,
supy∈K kyk < ∞. Dowodzi to, że zbiór K, a zatem i zbiór φ(X) jest ograniczony.
Druga część jest natychmiastowa, bo φ jest słabo usc o słabo zwartych wartościach.
4.4.7 TWIERDZENIE: Niech φ : X ( E ma wypukłe wartości. Na to by φ było słabo usc o słabo
zwartych wartościach potrzeba i wystarcza, aby dla dowolnego ciągu (xn , yn ) ⊂ Gr (φ), jeśli
xn → x, to istnieje podciąg (ynk ) ciągu (yn ) taki, że ynk → y ∈ φ(x).
62
DOWÓD: Dostateczność podanego warunku jest natychmiastowa: oczywiście wartości sa słabo
zwarte i jeśli A ⊂ E jest zbiorem słabo domkniętym, (xn ) ⊂ φ−1 (A) (czyli znajdzie się yn ∈
φ(xn ) ∩ A dla n ∈ N) oraz xn → x0 , to – zgodnie z założeniem – ynk → y0 ∈ φ(x0 ) ∩ A, czyli
x0 ∈ φ−1 (A).
Załóżmy, że vp jest słabo usc o słabo zwartych wartościach i weźmy ciąg (xn , yn ) ⊂ Gr (φ)
i niech xn → x0 ; zwartość zbioru {xn }∞
n=0 implikuje słabą zwartość obrazu i, w konsekwencji,
ciąg (yn ) ma podciąg ynk * y0 . Trzeba pokazać, że y0 ∈ φ(x0 ). Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn.
y0 6∈ φ(x0 ). Z twierdzenia o oddzielaniu istnieje funkcjonał p ∈ E∗ taki, że
sup hp, yi < hp, y0 i − ε
y∈φ(x0 )
dla pewnego ε > 0. Odwzorowanie φ jako słabo ciągłe jest uhc, czyli znajdzie się δ > 0
tak, że dla x ∈ B(x0 , δ), supy∈φ(x) hp, yi < hp, y0 i − ε. Zatem dla dostatecznie dużych k ∈ N,
hp, ynk i < hp, y0 i − ε:przeczy to słabej zbieżności ynk * y0 .
4.4.8 TWIERDZENIE: Jeśli odwzorowanie φ : X ( E ma słabo zwarte wartości i jest H-usc, to
jest słabo usc.
DOWÓD: Niech A ⊂ E będzie słabo domknięty, (xn ) ⊂ φ−1 (A) będzie zbieżny do x0 ∈ X. Aby
dowieść, że x0 ∈ φ−1 (A), czyli, że vp(x0 ) ∩ A 6= ∅, niech ε := inf y∈φ(x0 ) d(y, A). Jeśli ε > 0 to
otrzymujemy sprzeczność, gdyż wówczas znajdzie się δ > 0 taka, że dla x ∈ X, jeśli d(x, x0 ) < δ,
to φ(x) ⊂ B(φ(x0 ), ε), więc dla dostatecznie dużych n, vp(xn ) ∩ A = ∅, czyli xn 6∈ φ−1 (A). Skoro
więc ε = 0, to istnieją ciągi yn ∈ φ(x0 ) i zn ∈ A takie, że kyn − zn k → 0. Słaba zwartość φ(x0 )
pozwala przyjąć, że yn * y0 ∈ φ(x0 ). Lecz wówczas, dla dowolnego p ∈ E∗ ,
|hp, zn − y0 i| ≤ |hp, zn − yn i| + |hp, yn − y0 i| ≤ kpkkyn − zn k + |hp, yn − y0 i| → 0.
Słaba domkniętość A implikuje, że y0 ∈ A; zatem y0 ∈ φ(x0 ) ∩ A.
4.4.9 TWIERDZENIE: Wykres odwzorowania górnie hemiciągłego φ : X ( E o domkniętych
i wypukłych wartościach jest zbiorem domkniętym w X × E o ile w E rozważymy słabą
topologię.
DOWÓD: Przypuśćmy, że (xλ , yλ )λ∈L jest uogólnionym ciągiem w Gr (φ) zbieżnym (w danej
topologii) do punktu (x, y). Zauważmy, że dla dowolnego p ∈ E∗ ,
hp, yλ i ≤ σφ(xλ ) (p).
Zatem
hp, yi = limhp, yλ i ≤ lim sup σφ(xλ ) (p) ≤ σφ(x) (p)
λ∈L
λ∈L
na mocy półciągłości z góry odwzorowania σφ(·) (p). Stad wynika, że y ∈ cl conv φ(x) = φ(x).
Gdyby tak nie było, to — na mocy twierdzenia o oddzielaniu, istniałby funkcjonał p ∈ E ∗ taki,
że hp, yi > supz∈φ(x) hp, zi = σφ(x) (p): sprzeczność.
Udowodnimy obecnie najważniejsze z punktu widzenia zastosowań twierdzenie o zbieżności.
4.4.10 TWIERDZENIE (o zbieżności): Niech E, F będą przestrzeniami Banacha, (Ω, A, µ) przestrzenią z miarą a φ : Ω × E ( F odwzorowaniem o wypukłych i domkniętych wartościach
takim, że dla p.w. ω ∈ Ω, φ(ω, ·) : E ( F jest górnie hemiciągłe. Przypuśćmy, że dane są ciągi
funkcji (un ) w Lp (Ω, E) oraz (wn ) w Lq (Ω, F) (1 ≤ p, q < ∞) takie, że: dla prawie wszystkich
ω ∈ Ω i dowolnego ε > 0, istnieje N ∈ N takie, że
wn (ω) ∈ cl conv B(φ(ω, B(un (ω), ε)), ε)
63
dla n ≥ N. Jeśli un → u w Lp (Ω, E) oraz wn * w słabo w Lq (Ω, F), to
w(ω) ∈ φ(ω, u(ω))
dla p.w. ω ∈ Ω.
DOWÓD: Przypomnijmy, że dla zbioru wypukłego w przestrzeni Banacha domknięcie i słabe
domknięcie pokrywają się. Użyjemy tego faktu w odniesieniu do przestrzeni Lq (Ω, F). Dla
dowolnego n ∈ N, funkcja w należy do słabego domknięcia zbioru conv {wm }m≥n (po. również
twierdzenia o charakteryzacji słabej zwartości w L1 ). Wobec tego w należy też do domknięcia
tego zbioru. Zatem, dla każdego n ∈ N, istnieje zn ∈ conv {wm }m≥n taki, że
X
zn =
anm wm
m≥n
(współczynniki anm = 0 dla p.w. m ≥ n oraz
P
m≥n
anm = 1) taki, że
kzn − wkLq <
1
.
n
Innymi słowy zn → w w Lq (Ω, F). Wówczas też (ewentualnie przechodząc do podciągu) zn (ω) →
w(ω) dla p.w. ω ∈ Ω. Rozumując analogicznie można przyjąć, że un (ω) → u(ω) dla p.w. ω ∈ Ω.
Ustalmy zbiór N ⊂ Ω miary pełnej, na którym obie te zbieżnośći mają miejsce. Bez straty
ogólności można również założyć, że dla ω ∈ N ma miejsce założenie o związku pomiędzy un
oraz wn oraz φ(ω, ·) jest górnie hemiciągłe.
Niech ω ∈ N będzie ustalone. Weźmy dowolne ε > 0 i p ∈ F ∗ . Ponieważ odwzorowanie
φ(ω, ·) jest górnie hemiciągła, to istnieje η ∈ (0, kpk−1 ε/3) taka, że dla dowolnego x ∈ E, jeśli
kx − u(ω)k < η, to
ε
σφ(ω,x) (p) < σφ(ω,u(ω)) (p) + .
3
Z kolei istnieje N ∈ N takie, że dla n ≥ N,
wn (ω) ∈ cl conv B(φ(ω, B(un (ω), η)), η).
Niech n ≥ N i weźmy yn ∈ conv B(φ(ω, B(un (ω), η)), η) takie, by kwn (ω) − yn k < η. Oczywiście
yn =
kn
X
λin vin ,
i=1
P n n
gdzie ki=1
λi = 1 oraz vin ∈ B(φ(ω, B(un (ω), η/2)), η). W taki razie znajdziemy xin ∈ B(un (ω), η/2)
oraz tin ∈ φ(ω, xin ) takie, że kvin − tin k < η. Istnieje N1 ≥ N takie, że dla n ≥ N1 ,
kun (ω) − u(ω)k < η/2;
stąd też ku(ω) − xin k < η dla n ≥ N1 . Zatem, dla n ≥ N1 ,
hp, wn (ω)i = hp, wn (ω) − yn i + hp, yn i ≤ kpkkwn (ω) − yn k +
kn
X
λin hp, vin i.
i=1
Z kolei, dla każdego i = 1, ..., kn ,
hp, vin i = hp, vin − tin i + hp, tin i ≤ kpkkvin − tin k + σφ(ω,xin ) (p) < kpkη + σφ(ω,u(ω)) (p) + ε/3.
64
Biorąc to wszystko pod uwagę otrzymamy, że dla n ≥ N1 ,
hp, wn (ω)i < σφ(ω,u(ω)) (p) + ε.
Niech n ≥ N1 . Mnożąc powyższą nierówność przez anm dla m ≥ n i dodając stronami otrzymamy
hp, zn (ω)i < σφ(ω,u(ω)) (p) + ε.
Przechodząc do granicy z n → ∞, dostajemy
hp, w(ω)i ≤ σφ(ω,u(ω)) (p) + ε.
Z uwagi na dowolność ε > 0 oznacza to, że dla dowolnego p ∈ F ∗ ,
hp, w(ω)i ≤ σφ(ω,u(ω)) (p).
Dowodzi to, że
w(ω) ∈ cl conv φ(ω, u(ω)) = φ(ω, u(ω)).
To kończy dowód.
4.5
Nierówność Gronwalla
Najpierw omówimy postać różniczkową tej nierówności.
4.5.1 TWIERDZENIE (nierówność Gronwalla): Niech J będzie dowolnym przedziałem, oraz roz1
ważmy funkcje f, g, h : J → R takie, że f jest absolutnie ciągła, zaś g, h ∈ Lloc
(J, R) oraz
g ≥ 0. Jeśli, dla p.w. t ∈ J
f 0 (t) ≤ g(t)f(t) + h(t),
to, dla dowolnego a, t ∈ J, ma miejsce nierówność Gronwalla
!"
#
Z t
Z t
f(t) ≤ exp
g(s) ds
f(a) +
h(s) ds .
a
a
DOWÓD Dla p.w. s ∈ J
Z s
Z s
d
0
f(s) exp −
g(z) dz
= f (s) exp −
g(z) dz −
ds
a
Z s a
f(s) exp −
g(z) dz g(s) =
a
Z s
Z s
0
= exp −
g(z) dz [f (s) − f(s)g(s)] ≤ exp −
g(z) dz h(s).
a
Zatem dla dowolnego t ∈ J,
!
Z
t
f(t) exp −
g(s) ds
a
a
Z s
d
= f(a) +
f(s) exp −
g(z) dz
ds ≤ f(a) +
a ds
a
Z s
Z t
Z t
exp −
g(z) dz h(s) ds ≤ f(a) +
h(s) ds.
Z
a
t
a
a
65
4.5. NIERÓWNOŚĆ GRONWALLA
To oczywiście kończy dowód.
4.5.2 WNIOSEK: Przy powyższych założeniach, dla dowolnych a, t ∈ J
f(t) ≤ ψ(t)
gdzie ψ(a) = f(a) oraz ψ 0 (t) = g(t)ψ(t) + h(t) dla p.w. t ∈ J.
DOWÓD: Dla t ∈ J, połóżmy
Z t
Z t
Z t
ρ(t) :=
g(s)f(s) ds, ξ(t) := f(a) +
h(s) ds, G(t) :=
g(s) ds.
a
a
a
Nierówność z twierdzenia 4.5.1 orzeka więc, że
f(t) ≤ eG(t) ξ(t).
Mamy oczywiście
Z
f(t) = f(a) +
Stąd
t
f 0 (s) ds.
a
f(t) ≤ ρ(t) + ξ(t).
Dalej, dla p.w. s ∈ J,
ρ(s)e−G(s)
0
= ρ0 (s)e−G(s) − ρ(s)g(s)e−G(s) =
g(s)e−G(s) (f(s) − ρ(s)) ≤ g(s)ξ(s)e−G(s) .
W takim razie, dla p.w. t ∈ J,
ρ(t)e
−G(t)
= ρ(a)e
Z t
−G(0)
+
ρ(s)e
−G(s)
0
Z
t
ds ≤
a
ξ(s)g(s)e−G(s) ds.
a
Czyli
f(t) ≤ ξ(t) + ρ(t) ≤= ξ(t) + e
G(t)
t
Z
a
ξ(s)g(s)e−G(s) ds := ψ(t).
Bezpośrednio ψ(a) = f(a) oraz, dla p.w. t ∈ J,
0
ψ (t) = h(t) +
g(t)e
G(t)
= h(t) + g(t) ξ(t) + e
Zauważmy, że
Z
!
t
ξ(s)g(s)e
−G(s)
a
G(t)
Z
ds + e
G(t)
ξ(t)g(t)e
−G(t)
!
t
ξ(s)g(s)e
−G(s)
a
ds
= g(t)ψ(t) + h(t).
ψ(t) ≤ eG(t) ξ(t).
Zatem nierówność powyższa jest nieco silniejsza od nierówności z twierdzenia 4.5.1.
Teraz omówimy postać całkową tej nierówności.
1
4.5.3 TWIERDZENIE (Nierówność Gronwalla): Niech p ∈ L∞ (J, R), q ∈ Lloc
(J, R), q ≥ 0 oraz
niech α : J → R będzie absolutnie ciągła. Jeśli, dla dowolnego t ∈ J,
Z t
p(t) ≤ α(t) +
p(s)q(s) ds,
a
66
to, dla dowolnego t ∈ J,
Z
p(t) ≤ α(t) exp
DOWÓD: Niech
Z
f(t) := α(t) +
!
t
q(s) ds .
a
t
p(s)q(s) ds, t ∈ J.
a
wtedy f jest absolutnie ciągła oraz dla p.w. t ∈ J,
f 0 (t) = α0 (t) + p(t)q(t) ≤ α0 (t) + f(t)q(t).
Tak więc
Z
p(t) ≤ f(t) ≤ exp
!"
t
q(s) ds
a
α(a) +
Z
a
#
t
0
α (s) ds = α(t) exp
Z
t
!
q(s) ds .
a
Rozdział
5
5.1
Wstęp
Rozważmy przedział J ⊂ R; niech E będzie przestrzenią Banacha i niech φ : J × E ( E będzie
odwzorowaniem o zwartych (1 ) i wypukłych wartościach takim, że:
(i) dla dowolnego x ∈ E, φ(·, x) posiada silnie mierzalną selekcję;
(ii) dla p.w. t ∈ J, odwzorowanie φ(t, ·) jest usc.
Jest jasne, że jeśli E jest przestrzenią ośrodkową, to warunki (i), (ii) są spełnione np., gdy φ jest
odwzorowaniem górnie Carathéodory’ego.
Niech a ∈ J oraz x0 ∈ E. Interesuje nas istnienie rozwiązań problemu Cauchy’ego postaci
0
u ∈ φ(t, u);
(∗)
u(a) = x0 .
Rozwiązaniem tego zagadnienia nazwiemy funkcję u ∈ W 1,1 (I, E), gdzie I jest przedziałem
zawierającym a taką, że u(a) = x0 oraz u0 (t) ∈ φ(t, u(t)) dla p.w. t ∈ I.
5.1.1 UWAGA: Funkcja u : I → E jest rozwiązaniem problemu (∗) wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje funkcja v ∈ L1 (I, E) taka, że
v(t) ∈ φ(t, u(t))
dla p.w. t ∈ I oraz
Z
u(t) = x0 +
t
v(s) ds
a
dla dowolnego t ∈ I.
1
Załóżmy dodatkowo, że istnieje funkcja c ∈ Lloc
(J, R) taka, że dla p.w. t ∈ J oraz x ∈ E,
(iii) supy∈φ(t,x) kyk ≤ c(t)(1 + kxk).
5.1.A
Operator Niemyckiego
Zdefiniujemy obecnie jedno z podstawowych pojęć: operator Niemyckiego (inaczej operator
podstawienia) Nφ wyznaczony przez odwzorowanie φ. Rodzinę funkcji silnie mierzalnych z J
1
Założenie zwartości wartości będzie później osłabiane i będzie przedmiotem dyskusji.
68
5. INKLUZJE RÓŻNICZKOWE
do E oznaczamy symbolem M(J, E).
Dla dowolnej funkcji silnie mierzalnej u : J → E, definiujemy
Nφ (u) = {v ∈ M(J, E) | v(t) ∈ φ(t, u(t)) dla p.w. t ∈ J}.
Z przyjętych założeń wynika, że Nφ (u) 6= ∅. Istotnie: istnienie silnie mierzalnej funkcji v : J → E
takiej, że v(t) ∈ φ(t, u(t)) dla p.w. t ∈ J wynika z uwagi 3.5.5.
q
5.1.2 TWIERDZENIE: Przy powyższych założeniach, przypuśćmy, że istnieje funkcja α ∈ Lloc (J, R)
oraz stała β takie, że
sup kyk ≤ α(t) + βkxkp/q ,
y∈φ(t,x)
p
dla p.w. t ∈ J i dla dowolnego x ∈ E, gdzie 1 ≤ p, q < ∞. Wówczas dla dowolnego u ∈ Lloc (J, E),
q
p
q
Nφ (u) ∈ Lloc (J, E) i odwzorowanie Nφ : Lloc (J, R) → P(Lloc (J, E)) ma wypukłe, słabo zwarte
wartości i jest górnie demiciągłe (słabo usc) i uhc.
p
DOWÓD: Niech u ∈ Lloc (J.E) i v ∈ Nφ (u). Wtedy v jest funkcja silnie mierzalną i ponieważ
v(t) ∈ φ(t, u(t)) dla p.w. t ∈ J, to
kv(t)kq ≤ 2q−1 (αq (t) + β q ku(t)kp )
q
dla p.w. t ∈ J. Stąd wnosimy, że v ∈ Lloc . Wypukłość obrazów φ implikuje, że zbiór Nφ (u)
jest również wypukły. Ponadto Nφ (u) jest zbiorem domkniętym: jeśli vn ∈ Nφ (u) i vn → v
q
w przestrzeni Lloc (J, E), to znajdziemy podciąg (oznaczony tym samym symbolem) taki, że
vn (t) → v(t) dla p.w. t. Zatem (z domkniętości φ(t, u(t))) wynika, że v(t) ∈ φ(t, u(t)) dla p.w.
t ∈ J, czyli v ∈ Nφ (u).
q
Twierdzenie Mazura implikuje, że Nφ (u) jest też zbiorem słabo domkniętym w Lloc (J, E).
Pokażemy teraz, że Nφ (u) jest zbiorem słabo zwartym. W tym celu wystarczy pokazać, że jest
to zbiór słabo zwarty w L1 (I, E), gdzie I jest zwartym podprzedziałem w J (patrz twierdzenie
4.3.13 i uwaga 4.3.14). Jest raczej oczywiste, że zbiór W := Nφ (u)|I jest całkowo ograniczony
(jeśli v ∈ Nφ (u), kv(t) ≤ α(t) + βku(t)kp/q ; funkcja po prawej stronie jest całkowalna z q-tą
potęgą, jest więc całkowalna na I); jest zatem ograniczony i jednostajnie całkowalny. Dla dowolnego t ∈ J, W (t) = {v(t) | v ∈ Nφ (u)} ⊂ φ(t, u(t)) dla p.w. t. Jest to więc zbiór zwarty. Z
twierdzenia 4.3.10 widzimy, że zbiór W jest słabo zwarty w L1 (I, E), to oznacza, że jest słabo
1
zwarty w Lloc
(J, E).
Aby udowodnić słabą górna półciągłość Nφ wystarczy wziąć ciąg un zbieżny do u w
p
q
Lloc (J, E), ciąg vn ∈ Lloc (J, E) taki, że vn ∈ Nφ (un ), n ∈ N i pokazać istnienie podciągu
vnk * v ∈ Nφ (u). Ciąg (un ) – jako zbieżny – ma podciąg (bez zmniejszenia ogólności można
p
zakładać, że sam ciąg ma tę własność) ograniczony przez pewną funkcję ū ∈ Lloc (J, R) (tzn.
kun (t)k ≤ ū(t) dla p.w. t ∈ J). Stąd
kvn (t)k ≤ α(t) + β ū(t)p/q ,
czyli jest ograniczony przez pewną funkcję lokalnie całkowalną z q-ta potęgą, a więc też lo1
kalnie całkowalną. Tak więc ciąg (vn ) jest względnie słabo zwarty w Lloc
(J, E) (a więc też w
q
Lloc (J, E)), bo dla p.w. t, {vn (t)} ⊂ φ(t, {un (t)}) a ten zbiór jest względnie zwarty. Zatem istnieje
q
podciąg (vnk ) słabo zbieżny do funkcji v ∈ Lloc (J, E). Z twierdzenie o zbieżności v(t) ∈ φ(t, u(t))
dla p.w. t ∈ J; zatem v ∈ Nφ (u).
Podsumowując: udowodniliśmy, że dla dowolnej funkcji ciągłej u : J → E, zbiór Nφ (u) jest
1
wypukły i słabo zwarty w Lloc
(J, E).
69
5.1. WSTĘP
Rozważmy odwzorowanie
1
(J, E).
Nφ : C(J, E) ( Lloc
1
1
Udowodnimy, że odwzorowanie to ma domknięty wykres w C(J, E) × Lloc
(J, E) o ile w Lloc
(J, E)
rozważyć słabą topologię. Jeśli vn ∈ Nφ (uk ) (tzn. dla dowolnego n ∈ N, vn ∈ φ(t, un (t)) dla
1
1
p.w. t ∈ J), vn * v in Lloc
(J, E) oraz un → u w C(J, E) (zatem także un → u w Lloc
(J, E)), to
v(t) ∈ φ(t, u(t)) na mocy poprzednio udowodnionego twierdzenia o zbieżności.
Załóżmy obecnie, że dla dowolnego ograniczonego zbioru B ⊂ E i t ∈ J, istnieje zbiór
słabo zwarty CB (t) taki, że
(iv)’ φ(t, B) ⊂ CB (t).
Jest jasne, że jeśli E jest przestrzenią refleksywna, to założenie (iv)’ jest spełnione automatycznie na mocy założenia (iii).
1
Niech teraz K : Lloc
(J, E) → C(J, E) będzie operatorem danym wzorem
Z t
Kv(t) =
v(s) ds, t ∈ J
a
1
dla v ∈ Lloc
(J, E). Jest to oczywiście operator liniowy i ciągły. Zauważmy, że wykres odwzorowania Φ : C(J, E) → (C(J, E)) danego wzorem
Φ(u) = K ◦ Nφ (u), u ∈ C(J, E)
(tak więc w ∈ Φ(u) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja v ∈ Nφ (u) taka, że w(t) =
Rt
a v(s) ds, t ∈ J) jest domknięty Istotnie niech wn ∈ Φ(un ), wn → w oraz un → u in C(j, E). Zatem, dla
R t dowolnego zwartego podprzedziału, un → u oraz wn → w jednostajnie na I. Ponadto
wn = a vn (s) ds gdzie vn ∈ Nφ (un ). Analogicznie jak poprzednio — korzystając z twierdzenia
1
o słabej zwartości Diestela — dowodzimy, że (ewentualnie dla podciągu) vn * v ∈ Lloc
(J, E)
1
słabo w Lloc (J, E) oraz v ∈ Nφ (u). Tak więc, dla dowolnego t ∈ J,
Z t
Z t
w(t) = lim wn (t) = lim
vn (s) ds =
v(s) ds.
n→∞
n→∞ a
a
To znaczy, że w ∈ Φ(u).
W szczególności widać, że dla dowolnego u ∈ C(J, E), zbiór Φ(u) jest domknięty i wypukły.
Założenie (iv)’ wynika z następującego, silnieszego założenia:
(iv) Dla dowolnego t ∈ J i ograniczonego zbioru B ⊂ E, zbiór φ([a, t] × B) jest względnie
zwarty.
Przypuśćmy, że B jest zbiorem ograniczonym w C(J, E). Udowodnimy, że Φ(B) jest zbiorem względnie zwartym (w C(J, E)). Wykorzystamy oczywiście twierdzenie Ascoli-Arzeli. Pokażemy najpierw, że zbiór Φ(B) jest jednakowo ciągły. Weźmy t0 ∈ J. Istnieje δ0 > 0 takie, że
I := [t0 −δ0 , t0 +δ0 ] ⊂ J (lub też, jeśli t0 jest jednym z krańców przedziału J, to I := [t0 , t0 +δ0 ] ⊂ J
lub I0 := [t0 − δ0 , t0 ] ⊂ J). Ponieważ zbiór B jest ograniczony, to r := supu∈B supt∈I ku(t)} < ∞.
Wybierzmy ε > 0; istnieje δ ∈ (0, δ0 ) takie, że jeśli A ⊂ J oraz µ(A) < δ, to
Z
c(s)(1 + r) ds < ε.
A
Niech w ∈ Φ(B). Zatem, dla dowolnego t ∈ I,
Z
w(t) =
t
v(s) ds
a
70
gdzie v(t) ∈ φ(t, u(t)) na J dla pewnej funkcji u ∈ B. Stąd, dla t ∈ I, jeśli |t − t0 | < δ, to
Z
t
Z
t
kv(s)k ds ≤
kw(t) − w(t0 )k ≤
c(s)(1 + r) ds < ε.
t0
t0
Przejdziemy teraz do dowodu względnej zwartości orbit Φ(B)(t) dla t ∈ J. Ustalmy t ∈ J i niech
w ∈ Φ(B). Wtedy
Z t
w(t) =
v(s) ds ∈ |t − a|cl conv v([a, t]) ⊂ |t − a|cl conv φ([a, t] × B)
a
gdzie B = D(0, r) zaś r = supu∈B supa≤s≤t ku(s)k. Stąd, na mocy założenia (iv), orbita Φ(B)(t)
jest względnie zwarta.
Pokazaliśmy, że odwzorowanie Φ : C(J, E) ( C(J, E) jest pełnociągłe (tzn. przekształca
zbiory ograniczone we względnie zwarte i jest usc – bo posiada domknięty wykres). Ma więc
też zwarte wartości.
Istnienie rozwiązań
Wracamy do naszych rozważań dotyczących inkluzji różniczkowej. Przypuśćmy, że u : I →
E jest jej rozwiązaniem. Wtedy istnieje funkcja v ∈ L1 (I, E) taka, że dla t ∈ I.
Z t
u(t) = x0 +
v(s) ds
a
oraz v(t) ∈ φ(t, u(t)) p.w. na I. Zatem, dla dowolnego t ∈ I,
Z
ku(t)k ≤ kx0 k +
a
t
Z
c(s)(1 + ku(s)k) ds =
kx0 k +
!
t
c(s) ds
a
Z
+
t
c(s)ku(s)k ds.
a
Na mocy (całkowej) nierówności Gronwalla, mamy
ku(t)k ≤ µ(t), t ∈ I
gdzie funkcja ciągła µ : J → [0, +∞) dana jest wzorem
!
Z
Z
t
µ(t) =
kx0 k +
a
c(s) ds exp
!
t
c(s) ds , t ∈ J.
a
Rozważmy ciągłą funkcję f : J × [0, +∞) → [0, 1] taką, że
1 gdy 0 ≤ x ≤ µ(t)
f(t, x) =
0 gdy x ≥ µ(t) + 1.
Zmodyfikujemy obecnie φ. Mianowicie zdefiniujmy ψ : J × E ( E wzorem
ψ(t, x) = f(t, kxk)φ(t, x), t ∈ J, x ∈ E.
Wtedy funkcja ψ spełnia podobne własności jak φ (dla p.w. t ∈ J ψ(t, ·) jest usc oraz dla
dowolnego x ∈ E, ψ(·, x) ma silnie mierzalną selekcję). Ponadto, dla dowolnego t ∈ J oraz
zbioru ograniczonego B ⊂ E, ψ([a, t] × B) jest zbiorem względnie zwartym. Ponadto, jeśli
u : I → E jest rozwiązaniem wyjściowej inkluzji, to na I, ku(t)k ≤ µ(t), zatem u jest także
rozwiązaniem inkluzji, w której φ zastąpimy przez ψ. Na odwrót, każde rozwiązanie tej drugiej
inkluzji jest również rozwiązanie wyjściowej.
71
5.1. WSTĘP
Niech t ∈ J, x ∈ E i y ∈ ψ(t, x). Wtedy y = f(t, kxk)z gdzie z ∈ φ(t, x). Zatem kyk ≤
c(t)(1 + kxk). Jeżeli kxk ≤ µ(t) + 1, to
kyk ≤ c(t)[1 + (µ(t) + 1)];
gdy kxk ≥ µ(t) + 1, to y = 0. Zatem
kyk ≤ k(t)
dla dowolnego y ∈ ψ(t, x), t ∈ J oraz x ∈ E, gdzie
k(t) = c(t)(2 + µ(t)).
1
Jest jasne, że k ∈ Lloc
(J, R). Innymi słowy ψ spełnia warunek (iii), w którym brak czynnika
(1 + kxk).
W związku z tym bez zmniejszenia ogólności można zakładać, że przyjęty warunek (iii)
ma postać
(iii) dla dowolnych t ∈ J, x ∈ E,
sup kyk ≤ c(t).
y∈φ(t,x)
Jeśli jest taka potrzeba, to w dalszym ciągu modyfikując φ można nawet zażądać by c ≡ 1.
Istotnie: przede wszystkim przypuśćmy, że spełniony jest warunek (iii) powyżej i c(t) ≥ 1
(jeśli
tak nie jest to w miejsce c bierzemy funkcję max{1, c(t)}). Funkcja J 3 t → α(t) :=
Rt
c(s)
ds jest ciągła i rosnąca; jej obrazem jest również przedział w ∗ J oraz istnieje ciągła
a
funkcja β : w ∗ J → J do niej odwrotna. Rozważmy odwzorowanie w ∗ φ : w ∗ J × E ( E daną
wzorem
1
φ(βc(s), y); s ∈ w ∗ J, y ∈ E.
w ∗ φ(s, y) =
c(β(s))
Wykażemy, że odwzorowanie w ∗ φ spełnia wszystkie potrzebne założenia. Jasne, że dla p.w.
s ∈ w ∗ J, odwzorowanie w ∗ φ(s, ·) jest usc. Ustalmy dowolne y ∈ E. Wykażemy, że w ∗ φ(·, y)
posiada silnie mierzalną selekcję. Niech v : J → E będzie silnie mierzalną selekcją φ(·, y).
Wtedy oczywiście v ◦ β : w ∗ J → R jest selekcją odwzorowania φ(β(·), y). Pokażemy, że funkcja
v ◦ β jest silnie mierzalna. W tym celu wystarczy pokazać, że jest silnie mierzalna po obcięciu
jej do podprzedziału w ∗ I ⊂ w ∗ J skończonej miary. Niech ε > 0. Oczywiście I = β(w ∗ I) jest
też podprzedziałem w J skończonej miary. Na I funkcja v jest silnie mierzalna; zatem spełnia
własność Łuzina: tzn. istnieje domknięty zbiór Iw ∗ ε ⊂ I taki, że µ(I \ Iw ∗ ε ) < ε oraz v|Iw ∗ ε
jest ciągła. Oczywiście w ∗ Iw ∗ ε = β −1 (Iw ∗ ε ) = α(Iw ∗ ε ) jest zbiorem domkniętym w w ∗ I. Z
twierdzenia 7 str 174 (Łojasiewicz)
Z
∗
∗
∗
µ(w Iw ε ) = µ(α(Iw ε )) =
c(z) dz.
Iw ∗
ε
Tak więc jeśli tylko wyjściowe w ∗ ε jest dostatecznie małe, to widzimy że µ(w ∗ I \ Iw ∗ ε ) < ε.
Ponadto, na w ∗ Iw ∗ ε funkcja v ◦ β jest ciągła. Stąd jest na przedziale w ∗ I silnie mierzalna.
Zauważmy dalej, że dla dowolnego s ∈ J, y ∈ E,
sup
z∈w ∗ φ(s,y)
kzk ≤ 1.
Następnie dowiedziemy, że jeśli I ⊂ J, w ∗ I = α(I), to rozwiązania na I wyjściowej inkluzji są
we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z rozwiązaniami inkluzji, w której φ zamienione
72
zostało przez w ∗ φ. Istotnie niech u : I → E będzie rozwiązaniem wyjściowej inkluzji. Połóżmy
w(s) = u(β(s)) dla s ∈ w ∗ I. Udowodnimy, że w ∈ W 1,1 (w ∗ I, E). Funkcja w, jako złożenie
funkcji absolutnie ciągłych, jest absolutnie ciągła i p.w. różniczkowalna: dla p.w. s ∈ w ∗ I,
w 0 (s) =
u0 (β(s))
u0 (β(s))
=
.
α0 (β(s))
c(β(s))
Poza tym istnieje v ∈ L1 (I, E) taka, że u0 (t) = v(t) na I oraz v(t) ∈ φ(t, u(t)) dla p.w. t ∈ I. Stąd
też, dla p.w. s ∈ w ∗ I,
w 0 (s) =
v(β(s))
1
∈
φ(β(s), u(β(s))) = w ∗ φ(s, w(s)).
c(β(s)) c(β(s))
Wystarczy teraz udowodnić, że w 0 ∈ L1 (w ∗ I, E). Skoro v ∈ L1 (I, E), to kv(·)k ∈ L1 (I, R). Z
twierdzenia 8, str. 175 – Łojasiewicz), funkcja
kw 0 (·)k = kv(β(·))β 0 (·)k = kv(β(·))kβ 0 (s)
jest całkowalna. Dowodzi to, że w ∈ W 1,1 (w ∗ I, E).
Jeśli zaś w ∈ W 1,1 (w ∗ I, E) jest rozwiązaniem na w ∗ I tej drugiej inkluzji, to rozumując
analogicznie u(t) = w(α(t)) jest rozwiązaniem wyjściowej inkluzji.
Koniec końców wykazaliśmy, że w miejsce warunku (iii) można zakładać, że dla dowolnego
t ∈ J, x ∈ E,
sup kyk ≤ 1.
y∈φ(t,x)
Przy tym założeniu pokażemy, że obraz odwzorowania Φ jest ograniczony w C(J, E). Weźmy zwarty podprzedział I ⊂ J oraz u ∈ C(J, E). Niech w = Φ(u), tzn.
Z t
w(t) =
v(s) ds
a
1
gdzie v(s) ∈ φ(s, u(s)) dla p.w. s ∈ J oraz v ∈ Lloc
(J, E). Na mocy założenia (iii), kv(s)k ≤ 1. Stąd,
dla każdego t ∈ I,
Z t
kw(t)k ≤
kv(s)k ds ≤ µ(I).
a
Innymi słowy Φ(C(J, E)) leży w pewnym zbiorze domkniętym ograniczonym i wypukłym B;
tak więc Φ : B ( B i jest zwarte. Z twierdzenia Fana-Gliksberga, Φ posiada punkt stały: jest
on rozwiązaniem wyjściowego problemu dla inkluzji różniczkowej.
Wykorzystaliśmy tutaj następujące twierdzenie o punkcie stałym:
Jeśli B jest wypukłym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni E oraz Φ : B ( B ma
wypukłe zwarte wartości, jest usc i zwarte (tzn. Φ(B) jest zawarte w zwartym podzbiorze B),
to Φ posiada punkt stały.
Zajmiemy się teraz inną sytuacją: nadal rozważamy inkluzję
0
u ∈ φ(t, u);
u(a) = x0
gdzie jak poprzednio φ : J × E ( jest odwzorowaniem o zwartych i wypukłych wartościach
takim, że
5.1. WSTĘP
73
(i) dla p.w. t ∈ J, φ(t, ·) jest usc;
(ii) dla dowolnego x ∈ E, φ(·, x) posiada silnie mierzalną selekcję;
1
(iii) φ ma wzrost subliniowy, tzn. istnieje funkcja c ∈ Lloc
(J, R) taka, że
sup kyk ≤ c(t)(1 + kxk)
y∈φ(t,x)
dla dowolnych t ∈ J oraz x ∈ E.
Podobnie jak wyżej, poprzez odpowiednia modyfikacje prawej strony, można założyć, że
założenie (iii) ma w istocie postać
(iii) supy∈φ(t,x) kyk ≤ 1.
Tym razem jednak w miejsce założenia (iv) przyjmiemy słabsze warunki zwartości. Mianowicie załóżmy, że
1
(iv) istnieje funkcja k ∈ Lloc
(J, R) taka, że dla dowolnego zbioru ograniczonego B ⊂ E,
β(φ(t, B)) ≤ k(t)β(B),
gdzie β oznacza miarę niezwartości Hausdorffa.
Aby pójść dalej przypomnijmy definicje i podstawowe własności miary niezwartości.
Niech E będzie (nieskończenie wymiarową) przestrzenią Banacha i niech B(E) oznacza
rodzinę zbiorów ograniczonych w E. Dla dowolnego B ∈ B(R), definiujemy miarę niezwartości
Kuratowskiego α : B(E) → R wzorem
α(B) := inf{d > 0 | B można pokryć skończoną ilością zbiorów o średnicy ≤ d}
oraz miarę Hausdorffa wzorem
β(B) := inf{r > 0 | B można pokryć skończoną ilością kul o promieniu ≤ r}.
Twierdzenie: Niech γ : B(E) → R oznacza miarę niezwartości Kuratowskiego lub Hausdorffa. Wówczas:
(i) dla dowolnego B ∈ B(E), γ(B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór B jest względnie
zwarty;
(ii) Dla dowolnych B, B1 , B2 ∈ B(E) oraz λ ∈ R,
γ(λB) = |λ|γ(B),
γ(B1 + B2 ) ≤ γ(B1 ) + γ(B2 ),
γ(B1 ∪ B2 ) ≤ max{γ(B1 ), γ(B2 )};
(iii) jeśli B1 ⊂ B2 , to γ(B1 ) ≤ γ(B2 );
(iv) dla dowolnego B ∈ B(E), γ(cl B) = γ(B) = γ(conv B);
(v) γ jest funkcją ciągłą względem metryki Hausdorffa, tzn. jeśli dH (Bn , B) → 0, to γ(Bn ) →
γ(B);
74
(vi) α(B(x, r)) = 2r, β(B(x, r)) = r. Ogólnie, dla dowolnego B ∈ B(E), β(B) ≤ α(B) ≤ 2α(B).
Uwaga. (i) Zauważmy, że miara Hausdorffa zależy istotnie od zbioru, w którym leżą środki
kul pokrywających zbiór. W definicji chodzi o kule o środkach w przestrzeni E (bez dodatkowych ograniczeń. Jeśli X ⊂ E i środki są wybierane w X, to piszemy βX (B) i wówczas
β(B) ≤ βX (B) dla dowolnego B ∈ B(E).
(ii) Miarę βX , gdzie X ⊂ E, można też zdefiniować następująco:
βX (B) = inf{r > 0 | w X istnieje skończona r − sieć dla zbioru B}.
Innymi słowy βX (B) ≤ r wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ε > 0, istnieją punkty
x1 , ..., xn ∈ X takie, że
n
[
B⊂
B(xi , r + ε).
i=1
Niekiedy wygodnie jest skorzystać z następującego, łatwego w dowodzie faktu: β(B) ≤ r wtedy
i tylko wtedy gdy, dla dowolnego ε > 0, istnieją zbiory zwarte Z1 , ..., Zn ⊂ E takie, że
B⊂
n
[
B(Zi , r + ε).
i=1
Twierdzenie: Załóżmy, że dana jest filtracja {En }∞
w E, tzn. wstępująca rodzina skończeS n=1 2
nie wymiarowych podprzestrzeni taka, że E = cl ∞
E
n=1 n ( ). Wtedy, dla dowolnego B ⊂ B(E),
mamy
β(B) = lim sup d(x, En ).
n→∞ x∈B
Dowód. Niech ε > 0 i niech δ(B) oznacza prawą stronę powyższej równości. Wtedy, dla
pewnego dostatecznie dużego m ∈ N,
sup d(x, Em ) ≤ δ(B) + ε.
x∈B
Niech
C := {y ∈ Em | d(x, Em ) = kx − yk dla pewnego x ∈ B}.
Skoro zbiór B jest ograniczony oraz dim Em < ∞, to C jest zbiorem ograniczonym (więc też
S
względnie zwartym); zatem C ⊂ ni=1 B(yi , ε) dla pewnych y1 , ..., yn ∈ Em . Wobec tego
B⊂
m
[
B(yi , δ(B) + ε).l
i=1
Stąd β(B) ≤ δ(B).
Z drugiej strony przypuśćmy, że β(B) = r. Zatem, dla dowolnego ε > 0, istnieją punkty
x1 , ..., xn ∈ E takie, że
n
[
B⊂
B(xi , r + ε/2).
i=1
S∞
Ponieważ przestrzeń j=1 jest gęsta w E, to istnieje m ∈ N oraz punkty yi ∈ Em takie, że
kxi −yi k < ε/2. Wobec tego, dla dowolnego x ∈ B istnieje i = 1, ..., n takie, że kx −xi k < r +ε/2
Przy założeniu, że E jest przestrzenią ośrodkową, taka filtracja zawsze istnieje. Istotnie wystarczy rozważyć
ośrodek {zj }∞
j=1 w E, tzn. taki zbiór, że cl {zj } = E i położyć En := span{zj | 1 ≤ j ≤ n}.
2
75
5.1. WSTĘP
i stąd kx − yi k < r + ε; w takim razie supx∈B d(x, Em ) < r + ε. W konsekwencji (Em ⊂ Ej przy
j ≥ m),
δ(B) ≤ r + ε.
Zatem δ(B) ≤ β(B) z uwagi na dowolność ε > 0.
Wniosek: Przy powyższych założeniach, niech B = {xk }∞
k=1 . Wtedy
β(B) = lim lim sup d(xk , En ).
n→∞
k→∞
Dowód. Niech γ oznacza prawe stronę tej równości. Jest jasne, że dla dowolnego n ∈ N,
lim sup d(xk , En ) ≤ sup d(xk , En ) = sup d(x, En ).
k→∞
k∈N
Zatem
x∈B
γ ≤ δ(B) = β(B).
Z drugiej strony, dla dowolnego ε > 0, istnieje m ∈ N oraz j ∈ N takie, że d(xk , Em ) < γ + ε o
ile k ≥ j. Analogicznie jak wyżej
β({xk | k ≥ j}) = δ({xk | k ≥ j}) ≤ γ + ε.
Zatem
β(B) = β({x1 , ..., xj−1 } ∪ {xk | k ≥ j}) = β({xk | k ≥ j}) ≤ γ + ε.
Z uwagi na dowolność ε > 0 otrzymujemy, że β(B) ≤ γ.
Twierdzenie. Niech E będzie przestrzenią ośrodkową i niech {vi }∞
i=1 będzie całkowo ogra1
niczoną rodziną funkcji (silnie) mierzalnych vi : J → E, tzn. istnieje c ∈ Lloc
(J, R) taka, że
supi∈N kvi (s)k ≤ c(s) dla p.w. s ∈ J. Wówczas funkcja J 3 s 7Ï β({vi (s)}) jest lokalnie całkowalna oraz, dla dowolnego t ∈ J,
(Z
)! Z
t
β
a
t
vi (s) ds
≤
a
β({vi (s)}) ds.
Dowód. Na mocy poprzedniego wniosku, dla dowolnego s ∈ J,
β({vi (s)}) = lim lim sup d(vi (s), En ).
n→∞
i→∞
Oczywiście d(vi (s), En ) = infy∈En kvi (s)−yk = infj∈N kvi (s)−yj k gdzie {yj } jest ośrodkiem w En .
Zatem funkcja J 3 s 7Ï d(vi (s), En ) jest mierzalna; w konsekwencji funkcja J 3 s 7Ï β({vi (s)})
jest mierzalna. Funkcja ta jest także całkowalna. Istotnie: dla dowolnego n ∈ N, oraz s ∈ J,
lim sup d(vi (s), En ) = inf sup d(vi (s), En ).
j∈N i≥j
i→∞
Dla każdego j ∈ N,
sup d(vi (s), En ) ≤ sup kvi (s)k ≤ sup kv( s)k ≤ c(s).
i≥j
i≥j
i≥j
Zatem z twierdzenia Lebesgue’a,
Z t
Z t
Z t
Z t
β({vi (s)} ds =
lim lim sup d(vi (s), En ) ds = lim
lim sup d(vi (s), En ) ds ≤
c(s) ds.
a
a n→∞
i→∞
a
i→∞
a
76
Z drugiej strony
(Z
)!
t
β
a
vi (s) ds
= lim lim sup d
n→∞
i→∞
!
t
Z
a
.
vi (s) ds, En
Zauważmy, że jeśli w : J → E jest funkcja prostą, to dla dowolnego n ∈ N,
! Z
Z t
t
d(w(s), En ) ds.
d
w(s) ds, En ≤
a
a
Zatem dla dowolnej funkcji lokalnie całkowalnej v : J → E, która jest granicą ciągu (wk )
funkcji prostych, na mocy lematu Fatou, mamy
!
Z t
Z t
wk (s) ds, En )
d
v(s) ds, En = lim d(
k→∞
a
t
Z
Z
d(wk (s), En ) ds ≤
= lim
k→∞ a
t
lim sup d(wk (s), En ) ds =
k→∞
a
Tak więc, znowu na mocy lematy Fatou,
(Z
)!
t
β
a
Z
lim lim sup
n→∞
i→∞
a
Z
d(vi (s), En ) ds ≤
t
d(v(s), En ) ds.
a
Z
vi (s) ds
t
a
Z
= lim lim sup d
n→∞
i→∞
!
t
a
t
vi (s) ds, En
Z
lim lim sup d(vi (s), En ) ds =
a n→∞
i→∞
a
≤
t
β({vi (s)} ds.
Przypomnijmy założenia (i), (ii), (iii) oraz (iv), ustalmy x0 ∈ E. Dowiedziemy, że
I. Zbiór S(x0 ) wszystkich rozwiązań inkluzji jest niepustym zwartym zbiorem typu Rδ ;
II. Przekształcenie E 3 x0 7Ï S(x0 ) jest usc.
Ustalmy n ∈ N. Dla dowolnego x ∈ E, niech vx : J → E będzie silnie mierzalna selekcją
1
odwzorowania φ(·, x). Na mocy (iii), kvx (t)k ≤ 1 dla t ∈ J (tak więc vx ∈ Lloc
(J, E)). Niech dalej
{λs }s∈S będzie rozkładem jedności podporządkowanym pokryciu {B(x, n−1 )}x∈E przestrzeni
E, tzn. dla dowolnego s ∈ S, istnieje punkt xs ∈ E taki, że supp λs ⊂ B(xs , n−1 ). Połóżmy
vs := vxs i zdefiniujmy funkcję fn : J × E → E wzorem
X
fn (t, x) =
λs (x)vs (t)
s∈S
dla t ∈ J oraz x ∈ E. Jest jasne, że dla dowolnego x ∈ E, zbiór S(x) := {s ∈ S | λs (x) 6= 0} jest
P
skończony. Zatem funkcja fn (·, x) = s∈S(x) λs (x)vs jest, jako skończona suma funkcji lokalnie
całkowalnych , również lokalnie całkowalna. Ponadto, z racji na to, że rodzina {supp λs }s∈S
jest lokalnie skończona oraz każda z funkcji λs (s ∈ S) lokalnie spełnia warunek Lipschitza,
to widać, że dla dowolnego x ∈ E istnieje rx > 0 oraz stała Lx ≥ 0 taka, że dla x 0 , x 00 ∈ B(x, rx )
oraz t ∈ J,
kfn (t, x 0 ) − fn (t, x 00 )k ≤ Lx kx 0 − x 00 k.
Zauważmy dalej, że dla każdego t ∈ J oraz x ∈ E,
fn (t, x) ∈ φn (t, x) := cl conv φ(t, B(x, n−1 )).
5.1. WSTĘP
77
Istotnie: jeśli λs (x) 6= 0, to s ∈ S(x) oraz x ∈ supp λs ⊂ B(xs , n−1 ); zatem xs ∈ B(x, n−1 ). Tak
więc
vs (t) ∈ φ(t, xs ) ⊂ φ(t, B(x, n−1 ))
oraz
fn (t, x) =
X
λs (x)vs (t) ∈ conv φ(t, B(x, n−1 )) ⊂ φn (t, x).
s∈S(x)
Stąd
kfn (t, x)k ≤ 1
dla wszystkich t ∈ J, x ∈ E.
Wymienione własności funkcji pozwalają na następujący wniosek: dla dowolnego n ∈ N,
t0 ∈ J oraz y ∈ E, problem
0
u = fn (t, u);
u(t0 ) = y
posiada dokładnie jedno rozwiązanie un (·; t0 , y) : J → E. Dodatkowo rozwiązanie un (·; t0 , y)
zależy w sposób ciągły od parametrów t0 i y.
Niech teraz Sn (x0 ) oznacza zbiór rozwiązań zagadnienia
0
u ∈ φn (t, u);
u(a) = x0 .
Jest jasne, że dla dowolnych n ≥ 1, t ∈ J oraz x ∈ E,
φ(t, x) ⊂ φn+1 (t, x) ⊂ φn (t, x).
Zatem
S(x0 ) ⊂
∞
\
Sn (x0 ).
n=1
Oczywiście zbiór Sn (x0 ) jest niepusty bo na przykład un (·; x0 ) ∈ Sn (x0 ).
Udowodnimy następujące twierdzenie:
Lemat. Niech un ∈ Sn (x0 ), n ≥ 1. Wówczas ciąg (un ) posiada podciąg zbieżny niemal
jednostajnie do pewnego rozwiązania u0 ∈ S(x0 ).
Nim przystąpimy do dowodu zauważmy, że fakt ten implikuje, że S(x0 ) jest zbiorem zwartym. Ponadto wynika z niego, że
\
S(x0 ) =
cl Sn (x0 ).
n≥1
T
Istotnie, jeśli w ∈ n≥1 cl Sn (x0 ), to w ∈ cl Sn (x0 ) dla każdego n ≥ 1. Zatem kula B(w, n−1 ) (w
przestrzeni C(J, E)) zawiera funkcję un ∈ Sn (x0 ). Oczywiście un → w. Tak więc w ∈ S(x0 ). Stąd
\
S(x0 ) ⊂
cl Sn (x0 ) ⊂ S(x0 )
n≥1
czyli
S(x0 ) =
\
n≥1
cl Sn (x0 ).
78
Ponadto widzimy, że ρn := supv∈Sn (x0 ) d(v, S(x0 )) → 0; zatem Sn (x0 ) ⊂ S(x0 ) + D(0, ρn ) (kula w
C(J, E)). Stąd β0 (cl Sn (x0 )) = β0 (Sn (x0 )) ≤ ρn → 0, gdzie β0 oznacza miarę Hausdorffa w C(J, E).
Dowód lematu. Niech un ∈ Sn (x0 ), tzn. dla t ∈ J,
Z t
vn (s) ds
un (t) = x0 +
a
gdzie vn : J → E jest całkowalną selekcją φn (·, un (·)). Udowodnimy, że rodzina {un } jest względnie zwarta. Wystarczy pokazać, że dla dowolnego t ∈ J, orbita {un (t)} jest zbiorem względnie
zwartym bo jednakowa ciągłość rodziny {un } jest oczywista:
Z t0
0
kvn (s)k ds ≤ |t − t 0 |.
kun (t) − un (t )k ≤
t
S
Niech X będzie domkniętą przestrzenią liniową rozpiętą przez zbiór n≥1 [un (J) ∪ vn (J)].
Ponieważ funkcje un , vn są silnie mierzalne, to – bez zmniejszenia ogólności – można uważać,
że X jest przestrzenią ośrodkową. Niech, dla t ∈ J,
ξ(t) := βX ({vn (t)}n≥1 ), ρ(t) := βX ({un (t)}n≥1 ).
Ponieważ rodzina {vn } jest całkowo ograniczona, to
(Z
)!
t
ρ(t) = βX
a
vn (s) ds
Z
≤
t
ξ(s) ds.
a
Pokażemy, że dla dowolnego s ∈ J,
ξ(s) ≤ 2k(s)ρ(s).
Skoro vn (s) ∈ φn (s, un (s)), to
vn (s) ∈ cl conv φ({s} × B(un (s), n−1 ).
Weźmy dowolne m ≥ 1 oraz niech B := B({un (s)}n≥m , m−1 ). Ponieważ β ≤ βX ≤ 2β (na
zbiorach leżących w X), to mamy
ξ(s) = β({vn (s)}n≥m ) ≤ 2β({vn (s)}n≥m ) ≤ 2β(φ({s} × B))
≤ 2k(s)β(B) ≤ 2k(s)(β({un (s)}n≥m ) + m−1 ) = 2k(s)(ρ(s) + m−1 ).
Przechodząc z m → ∞ otrzymamy żądaną nierówność. Zatem
Z t
Z t
ρ(t) ≤
ξ(s) ds ≤ 2
k(s)ρ(s) ds.
a
a
Z nierówności Gronwalla otrzymujemy, że ξ(t) = ρ(t) ≡ 0. Tak więc orbity {un (t)} oraz {vn (t)}
są względnie zwarte co, wobec jednakowej ciągłości rodziny {un } oraz całkowej ograniczoności rodziny {vn } implikuje, że (ewentualnie przechodząc do podciągów) un → u0 (w C(J, E))
1
oraz vn * v0 słabo w Lloc
(J, E). Ponieważ vn (t) ∈ cl conv φ(t, B(un (t), n−1 )), to z twierdzenia
o zbieżności,R otrzymujemy, że v0 ∈ φ(t, u0 (t) p.w. na J. Tak więc u0 ∈ S(x0 ) bo oczywiście
t
u0 (t) = x0 + a v0 (s) ds.
W szczególności otrzymaliśmy, że zbiór S(x0 ) jest niepusty, zwarty oraz
\
S(x0 ) =
cl Sn (x0 ).
n≥1
5.1. WSTĘP
79
Pokażemy obecnie, że przekształcenie S : J × E ( C(J, E), które punktom a ∈ J oraz
x ∈ E przyporządkowuje zbiór S(a, x) rozwiązań inkluzji
0
u ∈ φ(t, u)
u(a) = x
jest półciągłe z góry.
W tym celu weźmy ciąg (an , xn , un ) ∈ Gr S taki, że an → a ∈ J oraz xn → x ∈ E. Wtedy,
dla t ∈ J,
Z t
un (t) = xn +
vn (s) ds
an
gdzie vn (s) ∈ φ(s, un (s)) p.w. na J. Jest jasne, że rodzina {un } jest jednakowo ciągła. Poza tym,
dla dowolnego n ∈ N
Z
un (t) = xn +
a
t
Z
vn (s) ds −
Zauważmy, że
Z
kzn k ≤
a
a
an
vn (s) ds := xn + wn (t) − zn .
an
kvn (s)k ds ≤ |an − a| → 0.
Rt
Wystarczy wobec tego pokazać, że wn → w0 (w przestrzeni C(J, E)), gdzie w0 (t) = a v0 (s) ds
oraz v0 jest całkowalną (lokalnie) selekcją φ(·, x + w0 (·)). Analogicznie jak poprzednio pokazujemy, że dla dowolnego t ∈ J, orbity {vn (t)} oraz {wn (t)} są względnie zwarte, co – wobec
całkowej ograniczoności rodziny {vn } oraz jednakowej ciągłości rodziny {wn } – implikuje, że
1
istotnie (po ewentualnym przejściu do podciągu) wn → w0 oraz vn * v0 w Lloc
(J, E). Zatem
un → u0 = xR+ w0 (·) oraz, ano mocy twierdzenia
o zbieżności, v0 (t) ∈ φ(t, u0 (t)) dla p.w. t ∈ J
Rt
t
oraz w0 (t) = a v0 (s) ds, czyli u0 (t) = x + a v0 (s) ds.
W następnym kroku pokażemy, że S(x0 ) jest zbiorem typu Rδ .

Inkluzje różniczkowe

Transkrypt

Podobne dokumenty

rekrutacja bis

Ślub cywilny w USC (Trogir lub Split) – pakiet klasyczny

Środowisko-inżynierskie-LabVIEW Projektowanie

Opis GateBox

dr hab. Marian Turzański, prof UKSW

CA Blue`n`bass Norco CA-1507 czerwono-czarny

Skrócenie terminu oczekiwania na ślub.