Średnie błędy obserwacji w sieciach poziomych wyrównywanych z

Średnie błędy obserwacji w sieciach poziomych wyrównywanych z

PRA CE IN STY TU TU G EO D EZJI I K A R T O G R A FII
Т о т X X V , Zeszyt 3(60), 1978
ANDRZEJ HERM ANO W SKI
Ś r e d n i e
b ł ę d y
528.33:528.113:528.14
o b s e r w a c j i
w y r ó w n y w a n y c h
w
sieciach
z w a r u n k a m i
p o z i o m y c h
n a w i ą z a n i a
1. Wstęp
P aństw ow e sieci niższych klas w y ró w n u je się z przym usem naw ią­
zania do punktów sieci klas w yższych, przy czym w spółrzędne punktów
naw iązania p rzy jm u je się za bezbłędne lub za w ielkości obserw ow ane.
Z p u n k tu w idzenia p ra k ty k i geodezyjnej naw iązanie sieci je st niezbęd­
nym , ze w zględu na konieczność:
— u trzy m an ia w całej sieci państw ow ej tak iej sam ej skali i orien­
tacji, jak ą nadano osnowie I klasy;
— nadania w szystkim punktom sieci w spółrzędnych w jed n o lity m
państw ow ym układzie w spółrzędnych.
Założenie bezbłędności punktów naw iązania przyjm ow ane je st ze
w zględów p raktycznych, przede w szystkim m a ono na celu u trz y m an ie
w stanie niezm iennym skatalogow anych w spółrzędnych punktów sieci
państw ow ej.
P rzy jm u jąc w spółrzędne p u n k tó w naw iązania za bezbłędne, ty m sa­
m ym p rzy jm u jem y , że:
— błędy w yznaczenia ty ch w spółrzędnych nie spow odują znaczącej
deform acji m a te ria łu obserw acyjnego;
—• spow odow ane w prow adzeniem w arunków naw iązania zm iany
w ielkości w yznaczanych elem entów sieci oraz zm iany w ocenie ich
dokładności nie będą m iały praktycznego znaczenia.
W w ypadku gdy dokładność pom iaru sieci naw iązanej jest tego sa­
mego rzędu ja k dokładność pom iaru sieci, do k tó rej pun k tó w ją dow iązujem y, to celem ograniczenia w pływ u błędów w zajem nego położe­
nia punktów naw iązania na w ielkość popraw ek obserw acyjnych, po­
w inno się ją w yrów nać z odrzuceniem założenia bezbłędności punktów
naw iązania.
W prow adzenie p rzy w yrów naniu w arunków naw iązania, niezależnie
od tego, czy p u n k ty naw iązania przyjm ow ane są za bezbłędne, czy
też za wielkości obserw ow ane, je st założeniem rachunkow ym , k tó re nie
ma nic wspólnego z m etodą n ajm n iejszy ch kw adratów . P rzy jęcie do1 P r a c e IG iK z. 3 t. X X V
18
A. Hermanowski
datkow ego założenia przy w yrów naniu obserw acji pow oduje zm iany
oceny dokładności w yznaczanych elem entów sieci.
W opracow aniu tym przedstaw iono zm iany średnich błędów w yrów ­
nanych elem entów sieci, jak ie w ystępują przy w yrów ariniu z p rz y ję ­
ciem punktów naw iązania za bezbłędne, lub przyjęciem ich za w iel­
kości obserw ow ane, w stosunku do średnich błędów odpow iadających im
elem entów uzyskanych z w yrów nania niezależnego tej sam ej sieci, tj.
takiego w yrów nania przy k tó ry m nie w prow adza się żadnych do d at­
kow ych założeń rachunkow ych. P rzy w yrów naniu niezależnym prow a­
dzonym m etodą pośredniczącą zakłada się bezbłędność tylko tak iej licz­
by elem entów sieci, aby cały układ był w yznaczalny, a jednocześnie
aby nie pow stały dodatkow e w aru n k i w pływ ające na kształtow anie się
popraw ek obserw acyjnych.
P rzyjm iem y, że średni błąd w yrów nanej obserw acji m a postać:
mi = ± m 0 ]/ K u
(1)
gdzie m 0 je st średnim błędem pojedynczej obserw acji w układzie zrów ­
noważonym , zaś К jest czynnikiem zależnym od kształtu geom etrycz­
nego sieci, stosunków dokładności obserw acji oraz liczby i rozm ieszcze­
nia w sieci punktów naw iązania.
P rz y w yrów naniu sieci z w arunkam i naw iązania, obydw a czynniki
w zoru ( 1 ) w stosunku do odpow iadających im w artości uzyskiw anych
p rzy w yrów naniu niezależnym , zm ieniają się w zależności:
?nu — od błędów położenia punktów naw iązania, ich liczby oraz spo­
sobu rozm ieszczenia w sieci;
К — od liczby i sposobu rozm ieszczenia w sieci p u n k tó w n aw ią­
zania.
2. Wyrównanie przy założeniu bezbłędności punktów nawiązania
2.1. Średni błąd pojedynczej obserwacji po wyrównaniu
Zgodnie z m etodą najm niejszych kw adratów m 0 określa śred n i b łąd
typow ej obserw acji po w yrów naniu, a więc wielkość jego pow inna być
zależna od dokładności w prow adzonych do w yrów nania obserw acji.
W praktyce, przy w yrów naniu niezależnym , wielkość m 0 zależy od
popraw ek w yrów naw czych v t (błędów pozornych), k tó re ta k zniekształ­
cają obserw acje, aby spełnione były w szystkie w aru n k i geom etryczne
w yrów nyw anej sieci, przy jednoczesnym spełnieniu w a ru n k u [p v v ] =
= m in oraz od liczby obserw acji nadliczbow ych. W om aw ianym w y-
Średnie błędy obserwacji w sieciach z warunkami nawiązania
19
padku elem enty sieci m uszą dodatkow o spełniać w a ru n k i geom etryczne
narzucone przez przyjęcie punktów naw iązania za w ielkości bezbłędne.
W zw iązku z tym wielkości popraw ek w yrów naw czych v { zależą
od dokładności obserw acji oraz od dokładności w ielkości nie obserw o­
w anych, tj. od dokładności w zajem nego położenia punktów , do któ­
rych sieć je st naw iązyw ana. P rzedstaw im y to sym bolicznie w n astęp u ­
jący sposób:
Vi = V i+ 8h
(2 )
gdzie:
Vi — popraw ka jak ą uzyskałaby obserw acja przy w yrów naniu nieza­
leżnym ;
5t — popraw ka do obserw acji ze w zględu na błędność w zajem nego po­
łożenia punktów naw iązania.
Zgodnie z m etodą najm niejszych kw adratów , za popraw nie określo­
ny, należy przyjąć średni błąd pojedynczej obserw acji w yznaczony
z w yrów nania niezależnego sieci. Różnica m iędzy w ielkością m 0' o trzy ­
m aną w w yniku w yrów nania z w aru n k am i naw iązania, a w ielkością
tegoż błędu określonego w w yniku niezależnego w yrów nania m 0, będzie
w ielkością deform acji jakiej podlega om aw iany błąd pod w pływ em
w prow adzenia w arunków naw iązania. P rz y założeniach określonych
w zorem (2 ), śred n i błąd pojedynczej obserw acji p rzyjm ie postać:
[ v ' v ']
mn
0
[ ( u + 8) ( u + 8 ) ]
N 1
,
2 [ u o] +
[o o]
----->
Tl — = -----------П7--------- = —Пi---- 1--------------Пi--------- ’
w)
gdzie
= 1—2P' — liczba obserw acji nadliczbow ych;
l — liczba w szystkich obserw acji;
P' — liczba punktów w yznaczanych w sieci naw iązanej.
Jeżeli tą samą sieć w yrów nam y jako sieć niezależną, to liczba w y­
znaczanych punktów zwiększy się, a w konsekw encji zm niejszy się o r
liczba obserw acji nadliczbow ych. Ś redni błąd pojedynczej obserw acji
po w yrów naniu niezależnym m 0 obliczam y zgodnie z wzorem:
n
m l = ------- ,
u
n
(4)
gdzie n = 1—2P — liczba obserw acji nadliczbow ych.
W zór (3) tak przekształcim y, aby jego pierw szy w yraz był rów ny
średniem u błędowi pojedynczej obserw acji w kw adracie, jak i uzyskuje
się przy w yrów naniu niezależnym tej sam ej sieci. P odstaw iając do rów ­
nania (3) n = n + r oraz biorąc pod uw agę tożsam ość
1
_ 1
r
n+r
n
n (n + r)
2*
A. Hermanowski
20
otrzym am y
,2 =
[u u] _ [v u] _
m°
n
n
r
2 { v o] + [o 6]
(n + r)
n+r
Uwaga: w artość r zależy od rodzaju obserw acji w ykonanych w sieci
swobodnej, tj. od liczby elem entów niesw obodnych.
K olejne w y razy tak przekształconego w zoru na k w a d ra t średniego
błędu pojedynczej obserw acji w sieci w yrów nyw anej z przym usem n a ­
w iązania odpowiadają:
1)
\v
—
— w artości k w a d ra tu średniego błędu pojedynczej ob­
serw acji, ja k i uzyskalibyśm y przy w yrów naniu tej
sam ej sieci, jako sieci niezależnej,
[w ]
r
2 ) ——
,
— war t oś ć o jaką zm niejszy się wielkość m 0 ze w zglę­
du na zwiększenie o r liczby obserw acji nadliczbo­
wych,
3)
2[v S] + [o o]
—------ — w artości w pływ u popraw ek do obserw acji ze wzglę-
li I T
du na błędność w zajem nego położenia punktów n a­
w iązania.
W yrazy 2 i 3 w zoru (5) określają wielkość zniekształceń średniego
błędu pojedynczej obserw acji pod w pływ em w prow adzenia w arunków
naw iązania. W ielkość zniekształceń określonych w yrazem 2 w zoru (5)
je st fu n k cją liczby obserw acji nadliczbow ych przy w yrów naniu nie­
zależnym oraz liczby r o jak ą zwiększa się liczba obserw acji nadlicz­
bow ych przy w yrów naniu danej sieci z w arunkam i naw iązania,
r = 2Pn, gdzie P N liczba punktów naw iązania,
2 PN
\v v\
z, gdzie z
n+r
2 PN
F u n k cja z określa część k w ad ratu średniego błędu pojedynczej ob­
serw acji uzyskanego przy w yrów naniu niezależnym , o ja k i zm niejszy
się k w a d ra t średniego błędu pojedynczej obserw acji m 0'2, pod w pły­
wem przyjęcia P N punktów naw iązania. Zależność tą ilu s tru je w ykres
przedstaw iony a ry su n k u 1. Z w ykresu tego, dla dowolnego stosun2P
ku — — , m ożna odczytać w yrażoną w procentach w artość fu n k cji z.
2P
Np. p r z y ---- — = 0,3, z = 23,1%, oznacza to, że w w ypadku gdy trzeci
Średnie błędy obserw acji w sieciach z warunkami nawiązania
21
w yraz w zoru (5), tj.
2 M ]+ [o o ] ^ 0
n+r
to uzyska się
m0 = i /
\
n
— 0,231
n
= ± 0 ,8 8 m o
W ielkość zniekształcenia średniego błędu pojedynczej obserw acji
spowodow ana w pływ em trzeciego w yrazu w zoru (5), tj. zniekształceń
spow odow anych w pływ em błędów w zajem nego położenia punktów n a­
w iązania jest tru d n a do określenia drogą teoretyczną. W w ypadku gdy:
— p u n k ty naw iązania w yznaczone b y ły jednocześnie, z w yrów nania
dużej pow ierzchniow ej sieci o w iększej dokładności pom iaru od do­
kładności pom iaru sieci w yrów nyw anej;
— w sieci do k tó rej punktów n aw iązuje się pom iar oraz w sieci
obecnie w yrów nyw anej, centrow ano in stru m e n ty geodezyjne w zględnie
w yznaczano elm en ty m im ośrodów w sposób praw idłow y i z n ależytą
dokładnością;
— znaki pom iarow e punktów naw iązania nie zm ieniły swego p ie r­
w otnego położenia,
to w yrażenie
będzie bliskie zera, a więc nie będzie m iało
p rak ty c zn ie w pływ u na w artość m 0' 2.
W w ypadku gdy p u n k ty naw iązania w yznaczone b y ły w sieci o niż­
szej dokładności pom iaru od dokładności pom iaru sieci naw iązyw anej
A. Hermanowski
22
. . 2 [и о I-J- [о
. ,
. . . .
i
to w yrażenie ---- 'n i.r ---- moze przyjąć znaczną w artość, a jednocześnie
rzeczyw ista dokładność położenia punktów w yrów nanej sieci będzie niż­
sza od dokładności jak ą można osiągnąć przy danej dokładności po­
m iaru. W om aw ianym w ypadku, w w yniku w yrów nania z w aru n k am i
naw iązania uzyska się w artości elem entów w yznaczanych zniekształcone
w sposób nieuzasadniony oraz niepraw idłow ą c h a ra k te ry sty k ę ich do­
kładności.
2.2. Współczynnik wagowy wyrównanych obserwacji
W artość w spółczynnika K, na podstaw ie którego oblicza się błędy
średnie w yrów nanych obserw acji
m t = ± m 0\ ~ k [
wyznacza się na podstaw ie znajom ości krakow ianu odw rotności tabeli
w spółczynnikow ej układu rów nań norm alnych danej sieci. Porów nując
w spółczynniki wagowe w yrów nanych obserw acji lub ich fu n k cji obli­
czone dla tej sam ej sieci przy w yrów nani uniezależnym j к z odpo­
w iadającym i im w spółczynnikam i | к ' obliczonym i przy w yrów naniu
z w arunkam i naw iązania zauw ażym y, że w tym drugim w ypadku są
one m niejsze K 4> Kż', przy czym im większa jest liczba punktów p rzy ­
jęty c h w danej sieci za p u n k ty naw iązania, tym różnice te są większe.
K orzystając z tw ierdzenia O trębskiego, m ożna znaleźć zależność
m iędzy liczbą punktów przy jęty ch w danej sieci za p u n k ty naw iązania,
a w ielkością zm niejszenia przeciętnej w artości w spółczynnika K.
Zgodnie z tw ierdzeniem O trębskiego
m2
W
u
p = T •
(6)
gdzie
7Yl^
(m)2~ — przeciętna w artość stosunku k w ad ratu średniego błędu ob­
serw acji po w yrów naniu do k w ad ratu tejże obserw acji
przed w yrów naniem ,
p — przeciętne zm niejszenie k w ad ratu błędu obserw acji,
Z — liczba w szystkich obserw acji,
u — liczba obserw acji niezbędnych, czyli liczba rów nań norm al­
nych.
P rz y w yrów naniu niezależnym przeciętne zm niejszenie k w ad ratu
błędu obserw acji w yniesie
Średnie błędy obserwacji w sieciach z warunkami nawiązania
,
[K i:
0
1
mi-
23
P = -------m 5----2
P rzy w yrów naniu tej sam ej sieci z w aru n k am i naw iązania
-2
p^ = u' =
p
l
p'
^
p
____ I _
m2
u'
m 2-[K']\
u
m l - [K]J
T eoretycznie w artość m 0 zależy tylko od dokładności obserw acji,
w związku z tym , przy dalszym w yprow adzaniu w zorów p rzy jm iem y
m 0 = m 0'
p = m
Р
LK]f
Liczba rów nań norm aln y ch p rzy w yró w n an iu z w aru n k am i n aw iąza­
nia u' je st m niejsza od liczby rów nań przy w yrów naniu niezależnym u.
u —u +r,
wobec tego q =
u —T
> uw zględniając, że u — (l —n) otrzym am y
p'
—
p
l —n —r
=
q =
—
8
v’
,--------
( )
l —n
gdzie q je st to przeciętne zm niejszeni ek w ad ratu w spółczynnika wagowego w yrów nanych obserw acji, zachodzące pod w pływ em w prow adze­
nia w arunków naw iązania.
[K'][ = д .[К ]|
(9)
P rzeciętna w artość średniego błędu obserw acji w yrów nanej z w a­
runkam i naw iązania w yniesie:
r a 'V ’ec. = q - m 02-
łi-
(10)
W celu określenia całkow itego zm niejszenia średniego błędu p rze­
ciętnej obserw acji w yrów nanej z w aru n k am i naw iązania, w stosunku
do średniego błędu przeciętnej obserw acji uzyskanej z niezależnego w y­
rów nania tej sam ej sieci, do w zoru ( 10 ), na m iejsce m podstaw im y za2 [u 8] + [S 51
leżnosc określoną w zorem (5), p rzy jm u jąc że c z y n n i k -------------- - jest
A. Hermanowski
24
zaniedbyw alny (bliski zera).
тч
[и о]
[K]\
I
przec_
'
п
(
г
'{
n + r)'q
U w zględniając, że
[К] {
[и и]
— i— •
=
— —
г"p r z e ć
т
przeć, otrzym am y:
т
г аЧ
__ _
p rz e с
__ ,
Г - ]- Tl
gdzie t je st to przeciętne zm niejszenie k w ad ratu średniego błędu obser­
w acji wyznaczonego z w yrów nania z przyjęciem punktów naw iązania
za bezbłędne, w stosunku do k w ad ratu przeciętnego średniego błędu
obserw acji uzyskanego w drodze niezależnego w yrów nania tej sam ej
sieci. U w zględniając zależność (8) otrzym am y:
(l
n
t)
(l —те)
___ n __
(n + r )
{1 ’
Po uporządkow aniu i uproszczeniu otrzym am y
u'n
n
t = ----- r = q — 7— i—r
un
(n + r)
....
( 12)
W spółczynnik t uw zględnia zm niejszenie k w a d ra tu średniego błędu
po w yrów naniu oraz przeciętne zm niejszenie w spółczynnika wagowego
w yrów nanej obserw acji, jakie zachodzą pod w pływ em w prow adzenia
w arunków naw iązania.
K orzystając z w yprow adzonych wzorów, dla konk retn ej sieci można
obliczyć liczbę punktów naw iązania, ta k aby przeciętne zm niejszenie
średniego błędu elem entów w yrów nanej sieci, w stosunku do w yrów ­
nania niezależnej sieci, było rów ne a. Z w zoru (11) m am y:
=
(l
n
r) n
(l —n) (n + r)
2
U'
Po przekształceniu otrzym am y
(n2 —nl) (1 — a2)
—
a21—Ti ( 1 - a 2)
(13)
(14)
Średnie błędy obserwacji w sieciach z warunkami nawiązania
25
2.3. Przykłady
P odane niżej trz y p rzy k ład y ilu s tru ją różnice w ocenie dokładności
jaką uzyskuje się przy w yrów naniu niezależnym oraz przy w yrów naniu
tej sam ej sieci z założeniem bezbłędności punktów naw iązania. Z p rze d ­
staw ionej na ry su n k u 2 sieci, czworobok geodezyjny pełn y o p rzecięt­
nej długości boków 1400 m, wyznaczono w spółrzędne punktów А, В, С
i D, a następnie przyjm ow ano je jako p u n k ty naw iązania.
N iezależne w yrów nanie sieci przeprow adzono m etodą pośredniczącą
dla trzech różnych obserw acji polow ych (dane fikcyjne) o następującej
ch ara k te ry sty c e dokładności:
1. m a — ± 7 ", m L = ±0,04 m,
2. m a = ± 3 ", m L = ±0,015 m,
3. m u = ± 1 ", m L = ±0,005 m.
A. Hermanowski
26
P rzedstaw ioną na ry su n k u 3 sieć rozw iązyw ano w dwóch w a ria n ­
tach:
— jako sieć niezależną,
— jako sieć naw iązaną do punktów А, В, С i D.
Podobnie jak uprzednio w yrów nanie przeprow adzono dla trzech róż­
nych obserw acji polowych o następującej ch arak tery sty ce dokładności:
1. m 3 = ± 1 ", m L = ±0,005 m
2. m p = ± 3 ", m L — ±0,015 m
3. nip = ± 6 ", m L — ±0,03 m
Przykład
1
P u n k ty naw iązania wyznaczone w sieci w yjściow ej na podstaw ie
obserw acji o większej dokładności (m a = ± 1 ", m L = ±0,005 m) od do­
kładności obserw acji sieci w yrów nyw anej ( m & — ± 6 ", m L = ±0,03 m).
Przykład
2
P u n k ty naw iązania wyznaczone w sieci w yjściow ej o takiej sam ej
dokładności ( m a = ± 3", m L = ±0,15 m), ja k dokładność obserw acji sieci
w yrów nyw anej [ m ? = ± 3 ", m L = ±0,015 m).
Przykład 3
P u n k ty naw iązania wyznaczone w sieci w yjściow ej o dokładności
obserw acji niższej (m a — ± 7 ", m L = ±0,04 m) od dokładności sieci w y ­
rów nyw anej (m p = ± l ,r, m L = ±0,005 m).
W yniki uzyskane przy rozw iązaniu w /w trzech przykładów p rzed ­
staw iono w tablicach: przykład 1 (tablice 1, 2 i 3), przykład 2 (tablice 4,
5 i 6 ), przykład 3 (tablice 7, 8 i 9).
Tablica 1
Ocena dokładności wyrównanych elementów sieci wyjściowej
m0
punkt
A
В
С
D
± » lx
±m,
m
m
±mP
m
_
—
—
0,007
0,005
0,006
0,009
0,005
0,009
0,010
0 005
—
= ±1,19
L
±mL
m
AB
CD
CD
DA
AC
BD
0,007
0,007
0,005
0,009
0,004
0,006
—
L
106
6,864
5,322
4,167
6,000
2,082
3,658
kąt
«i
a2
«3
a4
*5
«6
»8
±m,
'»a „
— 106
p"
0,65
0,86
0,84
0,69
0,73
0,80
0,91
0,84
3,151
4,169
4,072
3,345
3,539
3,978
4,412
4,072
Średnie błędy obserwacji w sieciach z warunkami nawiązania
27
T ab lica 2
O cena d o k .ad n o ści elem entów sieci w y ró w n an ej
W yró w n an ie w n aw ią zan iu d o p u n k tó w А , В ,
С i D
rn0 = ± 0 ,8 9 6
W y rów nanie niezależne
Wq = -4-0.888
punkt
\' Q n
X
\ 'Q u
У
±m x
±m y
±wip
nt
m
]/q„
X
\/ Q n ~
m
0,0078
0,0089
P
0,0124
0,0228
0,011
0,020
0,023
В
С
0,0247
0,0281
0,022
0,025
D
—
0,0277
0,0365
0,0301
0,025
0,032
0,027
0,033
0,041
0,027
—
У
±w x
dum у
m
i ntp
ni
0,007
0,008
0,011
m
śred nie b łędy w yrów nanych obserw acji
L
AP
BP
CP
DP
kąt
ßi
P 2
ß 3
ß *
ß 5
ß 6
ß 7
ß 8
ß ę
ßio
ß ll
ßl2
±WIŁ
)/ Q u
0,0226
0,0194
0,0233
0,0222
0,020
0,017
0,021
0,020
:fcmß
1/ o i T
3,098
3,820
4,062
3,732
3,110
3,830
4,000
2,973
4,232
4,178
4,222
4,238
mL : L
in
2,75
3.39
3,61
3,31
2,76
3,40
3,53
2,64
3,76
3,71
3,75
3,76
1
1
1
1
: 43
: 41
: 51
: 48
000
000
000
000
mß
— io 6
P
13,332
16,435
17,502
16,047
13,381
16,484
17 211
12,799
18,229
17,986
18,180
18,229
±m L
Ml
—
■10.
23,250
24,042
19,755
21.200
} / Qu
0,0080
0,0089
0,0079
0,0090
/с »
2,077
2,077
2,269
2,269
1,705
1,705
1,657
1,657
2,140
2,738
3,051
2,994
:L
т
0,007
0,008
0,007
0,008
±m ß
1
1
1
1
:
:
:
:
119
88
152
116
000
000
000
000
-10.
8,138
11,313
6,585
8,480
mß
—
P
1,86
1,86
2,03
2,03
1,53
1,53
1,48
1,48
1,92
2,45
2,73
2,68
—
io 6
9,018
9,018
9,842
9,842
7,418
7,418
7,175
7,175
9,308
11,870
13,235
12,993
W tablicach 1, 4 i 7 podano c h a ra k te ry sty k ę dokładności w y ró w n a­
nych elem entów sieci w yjściow ej. W tablicach 2, 5 i 8 podano c h a ra k ­
te ry sty k ę dokładności elem entów sieci w yrów nyw anej niezależnie oraz
z założeniem bezbłędności punktów naw iązania. W tablicach 3, 6 i 9
podano porów nanie popraw ek uzyskanych z w yrów nania niezależnego
z popraw kam i uzyskanym i z w yrów nania z założeniem bezbłędności
punktów naw iązania oraz obliczenie średniego błędu pojedynczej obser­
w acji po w yrów naniu z rozbiciem na składow e (zgodnie ze w zorem 5).
We w szystkich trzech przykładach, p rzeciętne zm niejszenie k w a­
d ra tu średniego błędu obserw acji (tw ierdzenie O trębskiego) obliczone
7
dla sieci w yrów nanej niezależnie w ynosi p = — , a dla tej sam ej sieci
A. Hermanowski
28
Tablica 3
L bp
L cp
L dp
+0,82
-0,05
+ 1,06
-1,01
-0 ,8 4
—0,12
—0,14
+0,30
-0 ,7 8
+0,79
+0,54
-0 ,3 8
+0,83
+0,46
-0,7 9
0,73
-0 ,8 4
-0 ,5 4
+0,74
+ 1,06
+ 0,54
-0 ,8 4
+ 0,44
-0 ,3 7
+ 0,80
-0,41
-0 ,9 0
—1,28
+ 0,74
+ 1,03
-1 ,3 7
-1,55
0,79
-1 ,6 0
+ 1,75
+ 1,90
+0,06
-0 ,7 2
+0,58
-0 ,6 7
+ 1,58
-1 ,2 0
-1 ,4 4
-0 ,9 0
-0 ,0 9
4-0,57
-0 ,5 8
[pvv]
7,0717
[pv’v’l
11,2709
[68]
21,0558
oo
L ap
v’
in
cT
ß 1
ß 2
ß 3
ß 4
ß 5
ß 6
ß 7
ß ę
ß 9
ßio
ßn
ßl2
V
m
s
V
v'
m
m
2t» 5]
-16,8566
то = 0,886
m'о - ±0,897
п= 9
п = 14
/7,0717
т ’° = | / ~
+
-16,8566+21,0558
ir+5
,riо = | / 0,7857 hO,2999-0,2806
7,0717-5
9(9+5)
= ±0,897
Tablica 4
Ocena dokładności wyrównanych elementów sieci wyjściowej
nio = ±
Punkt
± ГПх
±llly
± Ulf
Hl
III
in
0,019
0,014
0,020
0,026
0,015
0,026
0,030
0,015
A
В
С
D
—
1,161
L
±"Il
AB
BC
CD
DA
AC
BD
0,020
0,020
0,014
0,026
0,011
0,019
III
—
L
106
19,612
15,206
11,667
17,333
5,726
11,585
kąt
«2
“3
a4
a5
<*6
a7
«8
± '” a
1,89
2,51
2,45
2,03
2,13
2,35
2,67
2,46
— —
P
I06
9,163
12,169
11,878
9,841
10,326
11,393
12,945
11,926
Średnie błędy obserw acji w sieciach z warunkami nawiązania
29
T a b lic a 5
Ocena dokładności elementów sieci wyrównywanej
W y ró w n an ie w n aw ią zan iu d o p u n k tó w A , B ,
С i D
т о = ± 1 ,0 6 3
W yrów nanie niezależne
m Q = ± 1 ,0 9 8
punkt
V
Qu
X
✓
ö«
У
dtzm x
±m y
± Wp
m
m
m
P
0,0062
0,0114
0,007
0,012
0,014
В
С
0,0123
0,0141
0,014
0,015
D
—
0,0138
0,0182
0,0153
0,015
0,020
0,017
0,050
,0,025
0,017
—
1/ Q u
V
Qu
X
у
0,0039
0,0044
±m x
±m y
±m P
m
m
m
0,004
0,005
0,006
średn ie b łędy w yrów n any ch obserw acji
L
±M L
1/
Qn
k ąt
1!
BP
CP
0,012
0011
0,013
0,012
± m ß
q
1
1
1
1
69
67
: 83
. 77
:
:
L
000
000
000
000
W|J
~
106
mL
1/
13,950
15,556
12,230
12,720
Qu
0,0040
0,0044
0,0039
0,0045
1 Oi
DP
0,0113
0,0097
0,0114
0,0111
AP
mL
m
mL
m
ß 2
ß 3
ß 4
ß 5
ß 6
ß 7
ß »
ß ę
ß io
ß ll
ß l2
1,549
1,901
2,031
1,866
1,555
1,915
2,000
1,487
2,116
2,089
2,111
2,119
1,70
2,10
2,23
2,05
1,71
2,10
2,20
1,63
2,32
2,29
2,32
2,33
8,242
10,181
10,811
9,939
8,290
10,181
10,666
7,902
11,248
11,102
11,248
11,296
0,004
0,005
0,004
0,005
205 000
1 : 150 000
1 : 253 000
1 : 196 000
1 :
*
4 ,650
7,071
3,763
5,300
± W (|
p"
1,039
1,039
1,134
1,134
0,852
0,852
0,829
0,829
1,070
1,369
1,526
1,497
>nL
-г ™
P"
э i
L
106
5.381
5,381
5,818
5,818
4 ,412
4,412
4,266
4,266
5,527
7,078
7,854
7,709
1.11
1.11
1,20
1,20
0,91
0,91
0,88
0,88
1.14
1,46
1,62
1,59
w yrów nanej z w aru n k am i naw iązania w ynosi p — — . S tosunek p rze ­
ciętnej w artości k w a d ra tu w spółczynnika wagowego w yrów nanej obser­
w acji uzyskanego z w yrów nania sieci niezależnej od uzyskanego z nie2
zależnego w yrów nania tej sam ej sieci w ynosi q = — (tabl. 8).
Należy się więc spodziewać znacznego zm niejszenia średnich błędów
w yrów nanych obserw acji uzyskanych przy w y rów naniu z w aru n k am i
naw iązania w stosunku do odpow iadających im błędów uzyskanych przy
w yrów naniu niezależnym . Z m niejszenia te pow odują, że w w ypadku
w yrów nania z przyjęciem bezbłędności punktów naw iązania, ocena do­
kładności w yrów nanych elem entów sieci przestaje być logiczną. Np.
A. Hermanowski
30
Tablica 6
ß 1
ß 2
ß 3
ß 4
ß 5
ß 6
ß 7
ßę
ß 9
ßio
ßix
ß 12
L ap
L Bp
L cp
L dp
V
v’
v’
V
m
in
m
— 1,13
— 1,29
4-0,32
-0,74
- 0,12
+ 1,31
+ 0,27
-0,02
+0,75
-0,47
-0,23
-0,52
-1,57
+ 0,96
+0,93
— 0,32
+ 1,63
+0,37
+0,73
+ 1,00
-0,31
-1,19
-1,08
+ 0,25
-0,06
+ 0,64
+0,10
-0,25
— 2,22
+ 1,32
+0,44
-1,19
+ 2,76
+ 1,66
+0,41
+ 1,74
-0,19
-2,50
-1,35
+ 0,27
-,081
+ 1,11
+ 0,33
+0,27
-0,65
+0,36
-0,49
-0,87
[pvv]
10,855
[pW]
15,834
[85]
25,369
m
2[v5] = -20,391
„ = 9
m0
n
= 14
— + 1,098
in'о=
m'o
— + 1,063
± )/ 1,2061 +0,3556— 0,4308 = +1,063
Tablica 7
Ocena dokładności wyrównanych elementów sieci wyjściowej
m0 =-
Punkt
+ mx
±my
±nip
m
m
m
A
_
_
В
С
D
0,020
0,030
—
0,034
0,051
0,033
0,039
0,059
0,033
+0,943
L
AB
BC
CD
DA
AC
BD
± mL
in
0,040
0,040
0,030
0,051
0,023
0,039
mL
L
106
39,223
30,411
25,000
34,000
11,974
23,779
kąt
+ l>h
m, 106
P"
=4
a.
а
з
a4
«5
«6
«7
«8
3,68
4,75
4,70
3,96
4,05
4,50
5,06
4,67
17,841
23,029
22,786
19,199
19,635
21,817
24,532
22,641
Średnie błędy obserw acji w sieciach z warunkami nawiązania
31
T a b lic a 8
Ocena dokładności elementów sieci wyrównywanej
W yrów nanie z n aw iązan iem d o p u n k tó w A . B,
С i D
то = ± 1 ,8 9 4
W yrów nanie niezależne
m 0 = ± 0 ,9 8 9
punkt
] /
Q u
±m ,
m
0,0038
0,002
0,004
0,004
0,0046
0,0061
0,0051
0,004
0,005
0,005
0,006
0,005
0,006
0,008
0,005
0„
У
P
0,0021
В
С
D
0,0041
0,0047
—
mP
m
m
/
X
±ш ,
—
±
|/
Q u
у
о ,Г
X
У
0,0013
0,0014
±m x
m
± m y
m
±m P
m
0,002
0,003
0,004
średnie błędy w yrów nanych obserw acji
±m L
L
V
ntL : L
Q u
mL
— 106
±m L
]/
Q ii
m
0,0038
0,0032
0,0039
0,0037
AP
BP
CP
DP
1
1
1
1
: 232
: 221
: 280
: 262
l / Ź ~
p"
0 ,5 1 6
ß
i
ß
2
ß
3
ß
*
ß
5
ß
6
ß
7
ß
,
ß
ę
0,637
0,677
0,622
0,518
0,638
0,677
0,496
0,705
0,696
0,704
0,706
ß n
P ia
0,51
0,62
0,66
0,61
0,51
0,62
0,65
0,48
0,69
0,68
0,69
0,69
000
000
000
000
106
2,472
3,006
3,200
2,957
2,473
3,006
3,151
2,327
3,345
3,297
3,345
3,345
4,650
4,243
3,763
4,240
0,0013
0,0015
0,0013
0,0015
lö J
kąt
0,004
0,003
0,004
0,004
mL
L
344
253
: 425
: 337
000
000
000
000
mL
—— 106
т
1
1
1
1
0,003
0,003
0,003
0,003
:
:
3,488
4,243
2,822
3,180
± m ß
106
p "
0,346
0,346
0,378
0,378
0,284
0,284
0,276
0,276
0,356
0,456
0,508
0,499
3,200
3,200
3,491
3,491
2,618
2,618
2,521
2,521
3,200
4,169
4,654
4,606
0,66
0,66
0,72
0,72
0,54
0,54
0,52
0,52
0,66
0,86
0,96
0,95
Przeciętne zmniejszenie kwadratu średniego błędu obserwacji
7
Тб
(
T ,
* m* 7-----------------J 1 _ 7,0022
’
ll « 8
___
=_ 0,458
/ 1
6
1,992
L----- —Ji
-Ш
— t ^ — = - V - = 0,125
' 1
6
Przeciętne zmniejszenie kwadratu współczynnika wagowego uzyskanego z sieci wyrównanej z wa­
runkami nawiązania w stosunku do kwadratu współczynnika wagowego uzyskanego z wyrównania
sieci niezależnej
0,125
a = — ----- = 0,285
0,438
A. Hermanowski
32
Tablica 9
p .
ß
2
P 3
P 4
P 5
P 6
P 7
P ę
P 9
Pio
Pu
Pl2
L ap
L BP
L Cp
L dp
V
v'
V'
V
tn
ni
m
m
-1,08
+0,65
+ 0,76
-0,68
-0,55
+ 0,21
+ 1,15
+0,53
+0,63
-0,77
+0,59
-0,46
-0,72
+0,01
-0,60
+ 1,28
-2,95
-0,05
+ 1,70
-2,40
-0,39
+ 2,39
+ 2,61
-0,01
+ 3,00
+0,69
+0,34
+ 1,96
+ 1,25
+0,54
-1,23
+ 2,02
-1,87
-0,70
+0,94
-1,72
+0,16
+ 2,18
+ 1,46
-0,54
+ 2,37
+ 1,46
-0,25
+ 2,42
+ 1,97
+0,53
-0,63
+0,74
[pvv]
1>vV]
50,91
33,81
8,65
8
[88]
2[v6] = +8,46
n —
9
ntо=
n —
±0,98
14
rri о=
±1,91
m’
o = ± )/ 0,961+3,019-0,343 = ±1,91
średni błąd k ąta A B C wyznaczony z w yrów nania sieci naw iązanej uzy­
skuje m niejszy błąd od błędu tego samego kąta uzyskanego z w yrów ­
nania sieci do której dana sieć została naw iązana
Sieć w yjściow a
Sieć naw iązana
K ąt A B C = ot3 + a 4
K ąt ABC = ß3 + ß4
Dane z przykładu 2
m( x 3+ <*.,) = j /2 ,4 5 2+ 2,032 = ± 3,2"
п гф 3+ р4) = v / l,2 2 + l , 2 2 = ± 1 ,7 '
D ane z przy k ład u 3
m (a 3+ a4) = |/4 ,7 0 2+ 4 ,7 5 2_= ± 6 ,7 '
m (ß3± ß j = у /0,722+ 0 ,7 2 2_= ± 1,0"
Podobne nielogiczności zachodzą rów nież przy ocenie dokładności
długości boków.
Średnie błędy obserw acji w sieciach z warunkami nawiązania
33
D ane z przy k ład u 2 — długości boków B P i D P zm ierzone zostały
z błędem w zględnym 1 : 60 000 i następnie w w yniku w yrów nania z za­
łożeniem bezbłędności punktów naw iązania zostały w pasow ane do p u n k ­
tów sieci w yjściow ej ch a ra k te ry z u ją c ej się średnim błędem w y ró w n an e­
go boku rzędu 1 : 80 000 , a w w yniku w yrów nania z w aru n k am i n aw ią­
zania uzyskano błędy w zględne długości B P — 1 : 150 000 i długości
D P — 1 : 196 000.
Załączone do niniejszego opracow ania p rzy k ład y dotyczą m ałych
sieci, w zw iązku z tym przedstaw ione w yniki p rze jask ra w iają om ówione
zagadnienie. N iem niej w skazują one w yraźnie, że przy pro jek to w an iu
sieci rozw iązyw anych z założeniem bezbłędności pun k tó w naw iązania
nie m ożna pom ijać problem u zm niejszenia średnich błędów w y ró w n a­
nych elem entów sieci zachodzących pod w pływ em założeń rach u n k o ­
wych, tra d y c y jn ie p rzy ję ty c h w p rodukcji geodezyjnej, a niezgodnych
z teorią m etody najm niejszych kw adratów . P onadto p rzy k ład y te w sk a­
zują, że należy ostrożnie podchodzić do oceny dokładności elem entów
osnow y poziom ej w yznaczonych za pomocą w ielokrotnych wcięć poje­
dynczych punktów lub grup punktów w y rów nanych z założeniem bez­
błędności punktów naw iązania, w któ ry ch to k o n stru k cjach z reg u ły
w ystępuje znaczna liczba pu nktów naw iązania w stosunku do liczby ob­
serw acji oraz liczby pun k tó w w yznaczanych.
3. Wyrównanie z odrzuceniem założenia bezbłędności punktów
3.1. Średni błąd pojedynczej obserwacji po wyrównaniu
P rz y w yrów naniu z odrzuceniem założenia bezbłędności punktów
naw iązania, w yrów naniu podlegają m ierzone elem enty sieci, a więc k ą ­
ty, długości i az y m u ty oraz p rzy ję te za w ielkości m ierzone w spółrzędne
p unktów naw iązania (tz. fik cy jn e obserw acje). Zgodnie z ty m zało­
żeniem śred n i błąd pojedynczej obserw acji, w ty m w ypadku c h a ra k te ­
ry zu je łącznie dokładność pom iaru i dokładność w zajem nego położenia
punktów naw iązania. Podobnie jak w punkcie 2.1 w zór na śred n i błąd
pojedynczej obserw acji po w yrów naniu m 0'2 przedstaw im y w form ie
rozw iniętej.
P rz y ję te oznaczenia
— popraw ka do w spółrzędnych punktów naw iązania,
P, P" — liczba w yznaczanych punktów w sieci niezależnej (P), w sieci
naw iązanej (P"),
3 P r a c e IG iK z. 3 t. X X V
A. Hermanowski
34
r — liczba fikcyjnych obserw acji rów na liczbie o k tó rą zw iększy
się liczba obserw acji nadliczbow ych n przy w yrów naniu tej
sam ej sieci z odrzuceniem założenia bezbłędności punktów
naw iązania.
W w ypadku gdy w sieci m ierzone są długości boków, k ą ty i azy­
m uty, to
P" = P + l
Dla dużych pow ierzchniow ych sieci można przyjąć, że P" = P. Zało­
żenie to znacznie uprości w yprow adzane wzory, przy czym nie będzie
m iało praktycznego w pływ u na w yniki w stępnych analiz, do prow adze­
nia któ ry ch w zory te są przeznaczone.
P rz y w yrów naniu z odrzuceniem założenia bezbłędności punktów
naw iązania:
— liczba w szystkich obserw acji l" = l + r;
— liczby obserw acji nadliczbow ych n" = n + r;
— błędy w zajem nego położenia punktów naw iązania, w zależności
od p rzy jęty ch przy w yrów naniu średnich błędów w spółrzędnych p u n k ­
tów naw iązania, częściowo w płyną na wielkości popraw ek obserw acyj­
nych
v" = v + 5
a częściowo na wielkości popraw ek d t do p rzy jęty ch za wielkości obser­
w ow ane w spółrzędnych punktów naw iązania;
— średni błąd pojedynczej obserw acji po w yrów naniu, przedstaw io­
ny w form ie rozw iniętej m a postać
"
[tw]
[u u]
r
, 2 [u 6[+[S o]+[dd]
= ------------------- —r- H----------------:
n
n
(n + r)
n+r
, 1КЛ
l-ioj
K olejne w yrazy w zoru (15) przedstaw iają:
— średni błąd w kw adracie jak i uzyskanoby przy w yrów naniu nie­
zależnym ,
— w pływ zwiększenia liczby obserw acji nadliczbow ych na w ielkość
k w ad ratu błędu,
— w pływ błędów w zajem nego położenia punktów naw iązania na
wielkość k w ad ratu błędu.
3.2. Współczynik wagowy wyrównanych obserwacji
W celu określenia stosunku przeciętnych w artości k w adratów współ­
czynników w agow ych w yrów nanych obserw acji, w sieci naw iązanej K"
oraz w sieci niezależnej K , w yjdziem y z tw ierdzenia O trębskiego
Średnie błędy obserwacji w sieciach z warunkami nawiązania
P" =
l"
35
P = -u-
’
y
l
Zgodnie z założeniem u — u", l" — l + r,
Stosunek kw adratów przeciętnych w artości średnich błędów w yrów ­
nanych obserw acji w sieci naw iązanej i w sieci niezależnej określim y
jak poprzednio (w punkcie 2 .2 ) przy założeniu, że
2[«8] + | 8e] + [dd]
„
-----------------------« o
n+ r
m p rz e ć
/,
\
Г
\
^+W 9 ~
^ ________
(n+r) (l+r)
<\4\
1 '
K o rzy stając z w zoru (17), dla k o n k retn ej sieci, m ożna obliczyć liczT
bę punktów naw iązania P N = y , tak, aby przeciętne zm niejszenie śre d ­
niego błędu elem entów w yrów nanej sieci z odrzuceniem założenia bez­
błędności punktów naw iązania było rów ne a.
f -
ln
(n + r) (l+r)
Po uporządkow aniu i uproszczeniu otrzym am y
ra+ r ( n + l ) + n l j l — ~ J = 0
r = y j - ( n + l ) + - | / (n+l) S_ 4 nI | 1 _ J_j J
(18)
4. Zastosowania
P rz y l — constans oraz a = constans, w zory (13) i (18) przed staw iają
zależność m iędzy liczbą obserw acji nadliczbow ych przy niezależnym
w yrów naniu n = I —2P oraz liczbą r, o k tó rą zwiększa się liczba obser­
w acji nadliczbow ych przy w yrów naniu tej sam ej sieci z w aru n k am i n a­
wiązania.
W geodezyjnej p rak ty c e w zory te m ogą być w ykorzystyw ane przy
projektow aniu sieci poziom ych naw iązanych do pun k tó w w yższych klas.
Dla sieci o konkretnej liczbie obserw acji l, oraz dla różnych w artości
A. Hermanowski
36
1= 10
Rys. 4a
1= 20
Rys. 4b
Średnie błędy obserwacji w sieciach z warunkami nawiązania
37
Rys. 4c
w spółczynnika a, na rysunkach: 4a — (Z = 10), 4b — (Z = 20) i 4C —
(Z = 400) przedstaw iono w ykresy fu n k cji określonych wzorami:
— (13), tj. przy założeniu bezbłędności punktów naw iązania — linie
ciągłe,
— (18), tj. przy odrzuceniu założenia bezbłędności punktów n aw ią­
zania — linie p rzeryw ane.
A.
Sieci
małe
—
wcięcia
pojedynczych
punktów
R ozpatrzym y sieć przedstaw ioną na ry su n k u 5, w k tórej w yznaczane
są p u n k ty P i i P 2 na podstaw ie 10 kątów zaobserw ow anych ze śred n im
błędem m ± 1 2 cc. Sieć ta m a być naw iązana do punktów А, В i С w y ­
znaczonych w sieci c h a rak tery zu jącej się przeciętną w artością średniego
błędu w yrów nanego kąta m = ± 6CC.
P rzy w yrów naniu niezależnym om aw ianej sieci trzeba przy jąć dw a
p u n k ty za bezbłędne, a więc n = 10 —6 = 4. P rz y sieci naw iązanej do
punktów А, В i С liczba obserw acji nadliczbow ych w zrośnie o 2. Z r y ­
sunku 4a, dla r = 2 i n = 4, odczytam y a = 0,6.
P rzy w yrów naniu niezależnym , zgodnie z tw ierdzeniem O trębskiego,
przeciętne zm niejszenie k w a d ra tu średniego błędu obserw acji, dla sieci
przedstaw ionej na ry su n k u 5, w yniesie
a więc, r nl DTzec = 0M™-ß )2
38
A. Hermanowski
С
p
2
Rys. 5
P odstaw iając dane dla sieci przedstaw ionej na ry su n k u 5, o trz y ­
m am y
m przcc = 0,77 12cc = 9CC.
P rzy w yrów naniu z założeniem bezbłędności punktów naw iązania
то p r z e ć
= a 9CC = 5,4CC.
W w yniku w yrów nania sieci przedstaw ionej na ry su n k u 5 z założe­
niem bezbłędności punktów naw iązania (A , В, C) uzyskuje się przecięt­
ną w artość średniego błędu w yrów nanej obserw acji m niejszą od śre d ­
niego błędu w yrów nanego kąta charakteryzującego dokładność sieci
w yjściow ej oraz dwa razy m niejszą od średniego błędu niew yrów nanych obserw acji. W ynik ten jest mało praw dopodobny, tak duże zm niej­
szenie średnich błędów obserw acji w yrów nanych z w arunkam i n aw ią­
zania, można uznać za logiczne tylko w w ypadku, gdy w szystkie ele­
m en ty sieci w yjściow ej są bezbłędne. W rzeczyw istości elem enty sieci
w yjściow ej wyznaczone są na podstaw ie pom iarów, a dokładność ich
określona jest na podstaw ie w yrów nania. N ielogicznym jest, jeżeli śre d ­
nie błędy w yrów nanych elem entów sieci naw iązanej uzy sk u ją m niejsze
średnie błędy w yrów nanych obserw acji od średnich błędów w yrów na­
nych elem entów sieci w yjściow ej.
A nalizując w ykresy przedstaw ione na rysunkach 4a i 4b nasuw a się
wniosek, że w większości w ypadków m ałych sieci w yrów nyw anych z za­
łożeniem bezbłędności punktów naw iązania, ocena dokładności w yrów ­
nanych obserw acji jest zawyżoną. W zw iązku z tym , ze szczególną
Średnie błędy obserw acji w sieciach z warunkami nawiązania
39
ostrożnością należy podchodzić do oceny dokładności uzyskanej przy za­
gęszczeniu sieci m etodą w ielokrotnych wcięć pojedynczych punktów lub
grup punktów w yrów nyw anych z założeniem bezbłędności punktów n a ­
wiązania.
B.
P ow ierzchniow e sieci poziome nawiązane
do p u n k t ó w w y ż s z y c h k l a s
R ozpatrzym y
sieć
kątow ą,
w
k tórej
liczba
w szystkich
punktów
P = 80, liczba obserw acji l = 400 oraz śred n i błąd k ą ta przed w yrów ­
naniem (m ) = 10 cc.
Sieć tę można rozw iązać p rzy jm u jąc z w szystkich 80 punktów :
1) 5 punktów naw iązania, przy czym są to p u n k ty sieci I klasy cha­
rak tery zu jące się przeciętną w artością średniego błędu w yrów naw czego
kąta m — 3CC,
2) 30 punktów , tj. w szystkie p u n k ty w yższych klas przy pom iarze
włączone do analizow anej sieci, przy czym w ty m w ypadku sieć p u n k ­
tów naw iązania c h a ra k te ry z u je przeciętna w artość średniego błędu w y­
rów nanego kąta m — 6CC.
P rz y w yrów naniu niezależnym om aw ianej sieci otrzym am y
czyli m przec. = 0,6 m = 6CC.
P rz y w yrów naniu z przyjęciem punktów naw iązania za bezbłędne,
z ry su n k u 4c odczytam y dla n = 240:
1) a = 0,95,
W-przec. =
0,95 • 6 CC = 5,7CC
2) a = 0,7
m Przec. = 0,7 • 6CC = 4,2CC
W pierw szym w ypadku, uzyskana ocena dokładności je s t logiczną.
W drugim w ypadku uzyskam y średnie błędy w y rów nanych obser­
w acji m niejsze od średnich błędów ch ara k te ry z u ją c y ch sieć, do k tórej
punktów naw iązano sieć w yrów nyw aną. P ro je k tu ją c sieć należy więc
przyjąć za praw idłow e rozw iązanie 1, tj. naw iązanie sieci do 5 punktów
I klasy.
W ykorzystując p rzy pro jek to w an iu sieci w zory (13) i (18), należy
pam iętać że:
1)
współczynnik t = a2 c h a ra k te ry z u je przeciętne zm niejszenie w a r­
tości kw ad ratu średniego błędu w yrów nanej obserw acji. Jeżeli chcem y,
a b y zm niejszenie średnich błędów poszczególnych obserw acji nieznacz-
40
A. Hermanowski
n ie odbiegało od założonego przeciętnego zm niejszenia a, to m usi być
spełniony w arunek rów nom iernego rozm ieszczenia punktów naw iązania
w w yrów nyw anej sieci;
2)
om aw iane w zory w yprow adzono przy założeniu, że w pływ błędów
w zajem nego położenia punktów odniesienia na wielkość średniego błędu
pojedynczej obserw acji je st pom ijalny. Założenie to może być speł­
nione tylko w w ypadku gdy p u n k ty naw iązania wyznaczone b y ły je d ­
nocześnie z w yrów nania dużej pow ierzchniow ej sieci o dokładności po­
m ia ru znacznie wyższej od dokładności pom iaru naw iązyw anej sieci oraz
gdy znaki pom iarow e punktów naw iązania nie zm ieniły pierw otnego
położenia.
W w ypadku gdy p u n k ty naw iązania wyznaczone były m etodą wcięć,
to uzyskana z w yrów nania ch a ra k te ry sty k a dokładności ich w zajem ­
nego położenia może być znacznie zawyżona. Oznacza to, że dokładność
w zajem nego położenia punktów naw iązania może być niższa od dokład­
ności pom iaru sieci w yrów nyw anej, co w konsekw encji spow oduje znie­
kształcenie dobrego m ateriału obserw acyjnego.
W om aw ianym w ypadku m ożna zastosować w yrów nanie z o drzu­
ceniem założenia bezbłędności punktów naw iązania, wówczas w spółczyn­
nik a będzie znacznie w iększy niż w w ypadku przyjęcia założenia bez­
błędności punktów odniesienia (rys. 4C), a w konsekw encji uzyska się
lepszą, bardziej logiczną ocenę dokładności w yrów nanych obserw acji.
Biorąc pod uwagę, że przy dużych (w stosunku do dokładności sieci w y ­
rów nyw anej) błędach w zajem nego położenia punktów naw iązania, w y ­
rażenie
2 [o u] + [o S ] H d d )
n+ r
w zoru (15), może znacznie przekroczyć
y'ü v\
, tj. w artość k w ad ratu śre d ­
niego błędu pojedynczej obserw acji przy niezależnym w yrów naniu tej
sam ej sieci, powinno się przyjąć jako obow iązującą zasadę, naw iązyw a­
nie pow ierzchniow ych sieci poziom ych do punktów w yznaczonych z w y­
rów nania pow ierzchniow ej sieci wyższej klasy.
Recenzował prof, dr hab. inż. W ojciech Janusz
Średnie błędy obserwacji w sieciach z warunkami nawiązania
41
А Н Д Ж Е Й ХЕРМ А Н О ВСКИ
СРЕДН ИЕ КВ А Д РА ТИ ЧЕС К И Е О Ш И БК И Н А БЛЮ ДЕН И Й
В П ЛА НОВЫ Х СЕТЯХ У РАВНИ ВАЕМ Ы Х В УСЛОВИЯХ У В Я ЗК И
Р е з юме
Введение условий у в язк и при уравнивании наблю дений влечёт к ум еньш е­
нию средних квад рати чески х ошибок уравн иваем ы х элементов сети. В сети
с больш им количеством пунктов данны х относительно к коли честву оп ред ел яе­
мых пунктов уменьш ение величи н ы средних квад р ати чески х ошибок та к з н а ­
чительное, что оценка точности уравн и ваем ы х наблю дений п ерестаёт бы ть л о ­
гической.
В работе представлено ф орм улы , у к азы ваю щ ие чётко на невероятное ум ень­
ш ение средних к вад рати ческ и х ош ибок уравни ваем ы х наблю дений под вли ян и ем
увеличения в данной сети количества данны х пунктов. П ри проектировании
уравниваем ы х сетей ф орм улы эти могут быть использованы д л я определения ч и ­
сла пунктов при вязки.
В разработке указано такж е, что следует особенно осторожно подходить
к оценке точности элементов плановой сети, определяемой с помощью много­
кр атн ы х засечек единичны х пунктов или группы пунктов, в к о н стр у к ц и ях к о ­
торы х, к ак правило, вы ступ ает зн ачительное число пунктов дан н ы х по отнош е­
нию к числу определяем ы х пунктов.
Перевод: Róża T ołstikow a
42
A. Hermanowski
A ND RZ E J H E R M A N O W S K I
STANDARD DEVIATIONS OF OBSERVATIONS IN HORIZONTAL
NETS A D JUSTED W ITH CONNECTION CONDITIONS
Summa r y
In itiatio n of connection conditions during the ad ju stm e n t of observations
causes decrease of sta n d a rd deviations of ad ju ste d elem ents of a net. In a n et
w ith a lot of d ata points com p arativ ely to th e n u m b er of d eterm in ed points, th e
decrease of th e sta n d ard deviations values is so high, th a t th e accuracy es tim a ­
tion of ad justed observations stops to be logical.
In this elaboration sev eral fo rm u las w ere initiated. T hey clearly p o in t out
th e im probable decrease of stan d ard deviations of ad ju sted observations u n d er
th e influence of the increase of th e n um ber of d ata points in th e p a rtic u la r net.
D uring th e designing of the connected nets these fo rm u las can be applied for
determ ination of th e n u m ber of connection points.
I t is also pointed out, th a t one should v e ry carefully consider th e estim ation
of th e accuracy of th e horizontal net elem ents, by m ean of m u ltip le interesections
of single points or groups of points, in w hich constructions th e re is u su ally
a lo t of d ata points com parison to the nu m b er of d eterm ined points.
T ran slatio n : Ja ce k D om ański