Transport masy w ośrodkach porowatych

Transkrypt

grudzień 2013
Dyspersja. . .
dyspersja jest pojęciem niesłychanie uniwersalnym.
Możemy zrekapitulować: dyspersja to – w ogólnym znaczeniu –
rozproszenie, rozrzut, rozcieńczenie.
Możemy nazywać dyspersją roztwór emulsyjny (cząsteczki
rozproszone w nośniku, będącym jakimś płynem).
Niemniej jednak dyspersja w ośrodkach porowatych to termin nieco
specjalny: często dla wyróżnienia go dodajemy dyspersja
(hydro)mechaniczna– patrz niżej.
Dla prostoty będziemy mówić o jednowymiarowych problemach, w
ośrodkach nasyconych, czyli takich, w których podróżujący płyn
wypełnia całkowicie wolną przestrzeń pomiędzy ziarnami (włóknami)
ośrodka. Ponieważ odległości pomiędzy takimi ziarnami są (zwykle)
bardzo małe ograniczamy się w pierwszym rzędzie do przepływów
laminarnych
Na rysunku widzimy dyspersję znacznika w czasie (przy injekcji
punktowej) w: (a) laminarnym przepływie w rurce; (b) przepływie
turbulentnym w rurze; (c) jednowymiarowym przepływie przez
ośrodek porowaty.
Trzy profile koncentracji (krzywe Gaussa) są podobne, a więc
pomiędzy transportem w ośrodku porowatym i transportem w
jednorodnych mediach muszą zachodzić spore podobieństwa.
Wiemy na przykład, że w przepływie turbulentnym za dyspersję
znacznika są w znacznym stopniu odpowiedzialne, zachodzące w
mikroskali, fluktuacje prędkości (bardziej niż jego „naturalna” dyfuzja
molekularna).
W ośrodkach porowatych, jak już powiedzieliśmy mamy zwykle do
czynienia z przepływem laminarnym. Towarzysząca mu dyfuzja
molekularna jest istotnym mechanizmem dyspersyjnym, ale często
sama ona nie tłumaczy ilościowo obserwowanej dyspersji.
Ta ostatnia wynika z mechanizmu dyspersji mechanicznej – śledząc
mikro-obrazy przepływu przez ośrodek porowaty widzimy, że taki
„ jedno-wymiarowy” przepływ to suma wielu przepływów po
krzywoliniowych torach – linie prądu rozdzielają się pomiędzy
poszczególnymi ziarnami. Mamy do czynienia z ciągłym rozdzielaniem
się i powtórnym mieszaniem się małych objętości płynu,
zachodzącymi losowo.
Tu z kolei pojawia się analogia z turbulencją, w której mieliśmy też do
czynienia z rozmaitością wirowych ruchów, zachodzących w różnych
skalach (od mniejszych do większych).
Porowatość, prędkość, ośrodek porowaty
stosunek objętości porów Vv do całkowitej objętości VT próbki
ε=
(1)
Vv
;
VT
tzw. frakcja stała s to stosunek objętości części próbki „zajętej”
przez ośrodek Vs do całkowitej objętości VT próbki ośrodka
(2)
s=
Vs
VT − Vv
VT − εVT
=
=
= 1 − ε.
VT
VT
VT
Pojęcie porowatości wymaga uściślenia.
czy porowatość „objętościowa” jest równa „porowatości „płaskiej” (w
płaszczyźnie prostopadłej do przepływu)? W sytuacjach praktycznych
odpowiedź brzmi: tak.
Po drugie: niektóre „ścieżki” w ośrodku porowatym są „ślepymi
uliczkami” i przepływ w nich nie zachodzi (np. kawerny, pory na
powierzchni ziaren).
wprowadza się pojęcie porowatości efektywnej, reprezentującej tę część
„pustych” przestrzeni, przez które przepływ może zachodzić.
Pojęcie ośrodka porowatego funkcjonuje w kontekście pojęcia ośrodka
ciągłego. Mówiąc o parametrach ośrodka: gęstości i porowatości
mamy na myśli parametry uśrednione po odpowiednio dużej objętości,
tzw. reprezentatywnej objętości elementarnej (ang. representative
elementary volume – REV). Definicja prędkości w ośrodku
porowatym powinna więc zawierać aspekty „uśredniające”. Np.
(3)
u=
Q
,
A
gdzie Q to przepływ (wydatek) w REV, a A – to powierzchnia
prostopadła do lokalnego kierunku przepływu. Taką prędkość nazywa
się wydatkiem właściwym (ang. specific discharge) – będzie to wydatek
na jednostkę powierzchni. Sam płyn, poruszający się (krętymi
ścieżkami) pomiędzy ziarnami podróżuje z większą prędkością, tzw.
średnią prędkością liniową (prawo Darcy’ego!)
(4)
v=
u
,
ε
przy czym v będzie zwykle wektorem o trzech współrzędnych:
(5)
v = v1 i + v2 j + v3 k.
Współczynniki dyspersji: mechanicznej, molekularnej i
hydrodynamicznej
Z powodu analogii pomiędzy transportem w ośrodku porowatym i
przepływami turbulentnymi definiujemy (uśrednianie Reynoldowskie)
gęstość PA i prędkość V ≡ {Vi }; i = 1, 2, 3 pewnego składnika A jako
sumę odpowiednich wartości średnich (po objętości REV) i ich
fluktuacji (wielkości primowane)
PA = ρA + ρ0A ;
(6)
Vi = vi + vi0 .
Średni strumień masy A to średnia z iloczynu całkowitej koncentracji
(gęstości) i prędkości
nA,i
=
(7) =
PA Vi = (ρA + ρ0A )(vi + vi0 ) = (ρA vi ) + (ρA vi0 ) + (ρ0A vi ) + (ρ0A vi0 )
ρA vi + ρA (vi0 ) + vi (ρ0A ) + (ρ0A vi0 ).
Średnie z fluktuacji to – zgodnie z ich pojęciem – zero, tak więc
(8)
nA,i = ρA vi + (ρ0A vi0 ).
Powstaje problem (analogiczny jak w rozdz. 5. i 7.): jak uwzględniać
(wyrazić) drugi wyraz po prawej stronie (8)? Eksploatujemy znowu
ten sam pomysł: zakładamy, że jest on proporcjonalny do gradientu
średniej koncentracji w REV:
(9)
(ρ0A vi0 ) = −Dij
∂ρA
∂xj
co daje
(10)
nA,i = ρA vi − Dij
∂ρA
,
∂xj
albo w jednostkach koncentracji molowej (cA – średnia koncentracja
molowa)
(11)
NA,i = cA vi − Dij
∂cA
.
∂xj
Występujący w tych równaniach tensor dyspersji mechanicznej Dij to
tensor drugiego rzędu


(12)
Dij ≡
D11 D12 D13
D22 D23 
.
D31 D32 D33

D21
Ale —
transport A może też odbywać się za sprawą dyfuzji molekularnej;
definiujemy dyspersję hydrodynamiczną jako sumę efektów dyspersji
mechanicznej i dyfuzji. Dla jednorodnego i izotropowego ośrodka
porowatego
(13)
(h)
Dij = Dij + Def ,
gdzie Def jest efektywnym współczynnikiem dyfuzji, zdefiniowanym
(por. rozdz.6) jako
(14)
Def = DAB τ 0 .
Równ.(10) możemy więc zapisać
(15)
(h)
∂ρA
.
∂xj
Tensor dyspersji hydrodynamicznej – c.d.
(h)
(16)
∂ρA
.
∂xj
(h)
Z definicji i z faktu, że ośrodek jest izotropowy wynika, że tensor Dij
jest tensorem symetrycznym; możemy go więc reprezentować w
(h)
układzie osi własnych – będzie to tensor D̃ij :

(h)
D̃ij
(17)

(h)
D̃
 11
=
 0
0
D̃11 + Def
=
0
0

0
0

(h)
D̃22
0 

(h)
0
D̃33
0
D̃22 + Def
0

0
.
0
D̃33 + Def
Można wykazać, że w jednorodnym i izotropowym ośrodku układem
własnym jest taki układ kartezjański, którego jedna z osi (np. 0x)
pokrywa się z kierunkiem lokalnej prędkości średniej v. Wówczas
składowe diagonalne tensora dyspersji mechanicznej to


(18)
D̃ij =


aL |v|
0
0
0
aT |v|
0 
,
0
0
aT |v|
gdzie aL i aT to podłużny (równoległy do v) i poprzeczny
(prostopadły do v) współczynnik dyspersji mechanicznej; zwykle aL
jest kilkakrotnie (3 – 10) większy od aT .
Składowe tensora dyspersji hydrodynamicznej (w układzie osi
własnych) to


(19)
(h)
D̃ij

D̃11 + Def
0
0


=
0
D̃22 + Def
0

0
0
D̃33 + Def
aL |v| + Def
0
=
0
0
aT |v| + Def
0

0
.
0
aT |v| + Def
Równanie dyspersji w jednorodnym, izotropowym
ośrodku porowatym
Przepiszmy raz jeszcze równanie bilansu masy
∂
(ρa ε∆x∆y∆z + SA ρb ∆x∆y∆z) =
∂t
(nA,x − nA,x+∆x )ε∆y∆z + (nA,y − nA,y+∆y )ε∆z∆x + (nA,z − nA,z+∆z )ε
gdzie nA to wektor strumienia masy. Podobnie równanie „wynikowe”
"
#
(20)
∂ρA
1
∂ρA 1
+
∇ · nA ≡
∇ · nA = 0.
∂t
1 + kd ρb /ε
∂t R
Za nA podstawiamy teraz z (15) co prowadzi do dość
skomplikowanego równania:
∂ρA
∂t
+
−
−
−
1
R
1
R
1
R
1
R
∂v1
∂v2
∂v3
∂ρA
∂ρA
∂ρA
ρA
+
+
+ v1
+ v2
+ v3
∂x1
∂x2
∂x3
∂x1
∂x2
∂x3
∂
(h) ∂ρA
(h) ∂ρA
(h) ∂ρA
D̃11
+ D̃12
+ D̃13
∂x1
∂x1
∂x2
∂x3
∂
(h) ∂ρA
(h) ∂ρA
(h) ∂ρA
D̃21
+ D̃22
+ D̃23
∂x2
∂x1
∂x2
∂x3
∂
(h) ∂ρA
(h) ∂ρA
(h) ∂ρA
D̃31
+ D̃32
+ D̃33
= 0.
∂x3
∂x1
∂x2
∂x3
Na szczęście można to równanie znacznie uprościć. Po pierwsze: drugi
wyraz (pierwszy wiersz) jest równy zeru dla płynów nieściśliwych. Po
drugie: przechodzimy do układu osi własnych, którego oś x-ów jest
równoległa do v. Oczywiście v2 = v3 = 0; znikają też niediagonalne
składowe tensora:
(21)
!
!
1
∂ρA
1 ∂
1 ∂
∂ρA
(h) ∂ρA
(h) ∂ρA
+ v1
=
D̃11
+
D̃22
∂t
R ∂x1
R ∂x1
∂x1
R ∂x2
∂x2
+
1 ∂
R ∂x3
(h)
D̃33
∂ρA
∂x3
.
Wreszcie, dla przypadku jednowymiarowego i dla v ≡ v1 = constans
(h)
(h)
(h)
składowe D̃22 = D̃33 = 0; D̃11 = constans:
(22)
∂ρA
1
∂ρA
1 (h) ∂ 2 ρA
+ v1
= D̃11
.
∂t
R ∂x1
R
∂x1 2
Jednowymiarowe równanie dyspersji w jednorodnym
ośrodku nieskończonym
Zaczynamy od równ.(22) przy założeniu, że nie ma dyspersji:
(23)
∂ρA v1 ∂ρA
+
= 0.
∂t
R ∂x1
W chwili t = 0, w punkcie x1 = 0 następuje injekcja (punktowa w
czasie i przestrzeni) masy M ; wydatek właściwy to Q. Warunek
brzegowy ma więc postać:
(24)
ρA (x, t = 0) =
M
δ(t).
Q
(w przypadku jednowymiarowym jednostki ρ to [M/L]!) Proste
zastosowanie transformaty Laplace’a daje:
(25)
ρA (t) =
M
δ(t − t̄);
Q
t̄ =
x1 R
.
v1
Dirakowski impuls injekcji, przesuwa się wzdłuż osi x1 z prędkością
v1 /R – por. rysunek – 1(a).
Rysunek: Dyspersja znacznika: (a) brak dyspersji; (b) R = 1 dla różnych
wartości t; (c) ten sam czas, różne wartości R.
Opóźnienie (w różnym stopniu) wynika z partycji do fazy stałej
ośrodka.
Rozwiązanie (22) z uwzględnieniem dyspersji otrzymujemy stosując
transformację (układ współrzędnych poruszający się z prędkością
v1 /R)
x = x1 −
(26)
v1
t.
R
Równ. (22) przechodzi w
(27)
∂ρA
1 (h) ∂ 2 ρA
.
= D̃11
∂t
R
∂x2
Jest to równanie, które występowało w poprzednich rozdziałach (6. i
7.). Jego rozwiązanie to krzywa gaussowska
v1 2 
t)
1
M/ε

R 
ρA (x1 , t) = q
exp −
,
(h)
R 4π(D̃(h) /R)t
4(
D̃
/R)t
11
11

(28)
(x1 −
pokazana na rysunku – 1(b) i (c).
Z rozwiązania wynika, że maksimum koncentracji wskaźnika
wartościom (xc , tc ), dla których
xc −
v1
tc = 0,
R
albo
(29)
v1
xc
=
≡ vc .
R
tc
Wielkość vc to prędkość z jaką podróżuje maksimum koncentracji,
związana ze średnią prędkością v1 prostym
(30)
v1
= R.
vc
(por. rys.1(c).)
Opóźnienie znacznika, wynikające z różnych od jedności wartości R to
m.in. podstawa metod chromatografii.

Transport masy w ośrodkach porowatych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Nie tylko medycyna... Postaw na przyszłościowy zawód, stabilną i

Fizyka ośrodków porowatych - Wydział Budownictwa i Inżynierii

Więcej - Instytut Agrofizyki PAN

FIRECRYL FR

informacja techniczna

Migracja to nie przestępstwo. Sytuacja cudzoziemców w ośrodkach

Dlog - rejestrator danych oraz laboratoryjny/polowy system z

VIROCID