Kombinatoryka

Kombinatoryka – rozwiązywanie zadań (klasa IV).
1. Ile jest różnych 6 – cyfrowych liczb parzystych, utworzonych z cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6}, jeśli cyfry nie powtarzają się?
2. Na ile sposobów może ustawić w szeregu grupa 4 chłopców i 4 dziewcząt tak, aby dwie osoby tej samej płci nie stały
obok siebie?
3. Oblicz:
.4!
2! ∙ 3!; .5!
2! ∙ 4!; .
!
; !∙ !
.
!
; !∙ !
.
!∙ !
!
; .
!
!∙ !
;
4.
5.
6.
7.
8.
Na ile sposobów można ustawić 3 osoby w szeregu?
Ile jest liczb czterocyfrowych, podzielnych przez 5, utworzonych z cyfr 2, 3, 4, 5 (cyfry nie powtarzają się)?
Ile jest liczb pięciocyfrowych podzielnych przez 4, utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 (cyfry nie powtarzają się)?
W biegu uczestniczy 8 osób. Na ile sposobów mogą oni przekroczyć linię mety, jeśli wszyscy ukończą bieg?
Czterech kolegów pojechało na trzytygodniowy obóz. Postanowili, że każdego dnia będą pokonywali wyznaczoną
trasę, idąc jeden za drugim, ale za każdym razem w innym szyku. Czy udało się zrealizować pomysł?
9. Ile różnych wyrazów (mających lub nie mających sensu) można ułożyć przestawiając litery wyrazu:
a). TAK
b).BALON
c).SPANIEL
10.Siedem osób (A, B, C, D, E, F, G) ma zająć siedem sąsiednich miejsc w jednym rzędzie w kinie. Na ile sposobów mogą
usiąść tak, aby:
a) Osoby D, E siedziały obok siebie w podanym porządku;
b) Osoby D, E siedziały obok siebie w dowolnym porządku;
c) Osoby A, B, C siedziały obok siebie w podanym porządku;
a) Osoby A, B, C siedziały obok siebie w dowolnym porządku;
b) Między osobami F, G siedziały tylko dwie osoby;
c) Między osobami F, G siedziały co najmniej cztery osoby?
11. Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 5 chłopców i 4 dziewcząt tak, aby osoby tej samej płci nie stały
obok siebie?
12. Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 5 chłopców i 5 dziewcząt tak, aby osoby tej samej płci nie stały
obok siebie?
13. Przy okrągłym stole ustawiono 12 krzeseł. Na ile sposobów może usiąść przy stole 12 osób tak, aby:
a) Osoby A, B usiadły obok siebie;
b) Osoby A, B usiadły naprzeciwko siebie;
c) Między osobami A, B siedziały tylko dwie osoby;
d) Osoby A, B siedziały naprzeciwko siebie i jednocześnie osoby C, D siedziały
naprzeciwko siebie;
14. W pudełku jest 50 losów, w tym 6 wygrywających. Na ile sposobów można wyciągnąć 3 losy tak, by co najmniej 2
były wygrywające?
15. Na płaszczyźnie jest 7 punktów, z których dowolne 3 nie są współliniowe.
a) Ile różnych odcinków można otrzymać, łącząc te punkty?
b) Ile różnych trójkątów można otrzymać, których wierzchołkami są te punkty?
16. Spotkało się 12 osób. Każdy wita się z każdym. Ile nastąpiło powitań?
17. Na płaszczyźnie zaznaczono n (n>2) punktów, z których dowolne trzy nie były współliniowe. Punkty te wyznaczyły
36 prostych. Ile było punktów na płaszczyźnie?
18. W turnieju każdy zawodnik rozegrał z każdym dwie partie. Ilu było zawodników, jeśli rozegrano 42 partie?
19. W turnieju startowało 10 zawodników. W pierwszej fazie każdy rozegrał po dwie partie z każdym z pozostałych, po
czym pewna liczba zawodników wyjechała i w drugiej fazie każdy z pozostałych rozegrał z każdym po jednej partii.
Ilu uczestników wyjechało, jeśli w obu fazach rozegrano łącznie 111 partii?
20. Z grupy 3 kobiet i 4 mężczyzn wybieramy trzy osoby. Ile jest sposobów wyboru, aby:
a). były same kobiety; b). byli sami mężczyźni; c). były dwie kobiety i jeden mężczyzna?
21. Ile różnych kodów można otrzymać, przestawiając litery wyrazu: a). KOS; b). MAMA; c). DAMA; d). KARATEKA?
22. Ile jest różnych liczb trzycyfrowych:
a). o różnych cyfrach; b). podzielnych przez 10; c). mniejszych niż 400; d). większych od 759?
23. Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród nich mają być:
a). trzy kiery; b). co najwyżej trzy kiery; c). dwa kiery, jeden pik i jeden trefl.
24. Z talii 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród nich mają być:
a). dwie damy i dwa asy; b). trzy karty młodsze od dziewiątki i jeden król; c). trzy figury (as, dama, król i walet) i
jedna karta nie będąca figurą.
25. Ala ma 4 czapki w różnych kolorach, 5 szalików w różnych kolorach i 3 pary rękawiczek w różnych kolorach. Na ile
sposobów Ala może wybrać: a). czapkę, szalik i rękawiczki; b). czapkę i szalik.
26. Na peronie czeka na pociąg 5 osób, w którym jest 8 wagonów. Ile jest sposobów umieszczenia 5 osób w pociągu,
jeśli: a). każdy może wejść do dowolnego wagonu; b). wszystkie osoby mają być w dwóch wagonach.
27. Ile można wybrać pięcioosobowych delegacji z grupy 8 studentów i 7 studentek w skład, których wchodziłoby:
a). co najmniej 3 kobiety; b). co najmniej 2 kobiety i co najmniej 3 mężczyzn; c). co najwyżej 4 kobiety i co najmniej
3 mężczyzn;
28. Wyznacz n wiedząc, że
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
∈
! :
%
. # $%& ' 15; . $%)
&#$
%
%)
& ' 18.
Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez 25?
Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez 5?
Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, podzielnych przez 4?
Ile sześcioliterowych napisów można utworzyć z liter {A, B, C, D, E, F, G, H, I}, jeśli:
a). litery mogą się powtarzać; b). litery nie mogą się powtarzać.
Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Ile jest wyników doświadczenia, w których;
a). suma oczek na obu kostkach jest podzielna przez 3; b). suma oczek jest nie większa od 9.
Ile jest różnych czterocyfrowych (cyfry mogą się powtarzać): a). liczb; b). kodów PIN?
Ile jest różnych czterocyfrowych (cyfry nie mogą się powtarzać): a). liczb; b). kodów PIN?
Ile różnych czterocyfrowych liczb nieparzystych, w których wszystkie cyfry są różne, można utworzyć z cyfr:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
Ile różnych pięciocyfrowych liczb parzystych, w których wszystkie cyfry są różne, można utworzyć z cyfr:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?
Numer karty MasterCard składa się z 16 cyfr. Pierwszą cyfrą jest 5, drugą – jedna z cyfr:1, 2, 3, 4, 5. Pozostałe cyfry
mogą być dowolne. Ile jest numerów kart MasterCard?
Ile jest liczb trzycyfrowych większych od 567, o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr {4, 5, 6, 7, 8, 9}?
Ile jest liczb trzycyfrowych mniejszych od 755, o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?
W klasie jest 15 dziewcząt i 16 chłopców. Spośród nich trzeba wybrać czteroosobową delegację. Na ile sposobów
można to zrobić, by w delegacji znalazły się:
a). tylko dwie dziewczynki; b). co najmniej dwie dziewczynki; c). co najwyżej dwie dziewczynki.
W grupie 20 osób jest 12 kobiet. Ile jest sposobów wybrania pięcioosobowej delegacji z tej grupy tak, aby:
a). były co najwyżej 2 kobiety; b). była co najmniej jedna kobieta; c). były co najmniej 2 i nie więcej niż 4 kobiety?
W klasie jest 8 chłopców i 9 dziewcząt. Wybieramy 4 osoby. Ile jest możliwych sposobów wyboru, aby:
a). byli sami chłopcy; b). połowę stanowiły dziewczęta; c). były 3 dziewczynki; d). był co najmniej 1 chłopiec?
Odpowiedzi: 1).360; 2).1152; 3).12; 72; 15; 5,5; 4,9; 8,1; 4).6; 5).6; 6).24; 7).40320; 8).tak; 9).6; 120; 5040; 10).720; 1440;
120; 720; 960; 720; 11).2880; 12)28800; 13).2*10!; 10!; 2*10!; 10*8! 14).680; 15).21; 35; 16).66; 17).9; 18).7; 19).3;
20).1; 4; 12; 21). 6; 6; 12; 3360; 22). 648; 90; 300; 240; 23).11154; 270010; 13182; 24).36; 13104; 20160; 25).60; 20;
26).32768; 840; 27).1281; 1176; 1722; 28).5; 3; 29).924; 30).5712; 31).6720; 32).531441; 60480; 33).12; 30; 34).9000;
10000; 35). 4536; 5040; 36).480; 37).6720; 38).5*1014; 39).94; 40).368; 41).12600; 21245; 22820; 42).4592; 15448;
13816; 43).70; 1008; 672; 2254;