Trójkąty i ich własności

Trójkąty i ich własności
klasa V
Opracowała Barbara Wichowska
Nauczycielka matematyki
Szkoły Podstawowej z Oddziałami Integracyjnymi
Nr 9 w Sopocie
Listopad 2007 rok
SPIS TREŚCI
1. Temat: Z jakich odcinków można
zbudować trójkąt?
2. Temat: Rodzaje trójkątów i ich własności
3. Temat: Kąty w trójkątach
Z jakich odcinków można zbudować
trójkąt?
CO TO JEST TRÓJKĄT ?
Trójkąt - część płaszczyzny ograniczona
łamaną zamkniętą składającą się z trzech
odcinków, które stanowią boki trójkąta
C
A
B
CZY Z KAŻDYCH TRZECH ODCINKÓW MOŻNA
ZBUDOWAĆ TRÓJKĄT?
Przykład 1
a
b
c
SPRÓBUJ
Przykład 2
k
l
m
SPRÓBUJ
PRZYKŁAD 1
b
c
a
Z tych odcinków można zbudować trójkąt
Zastanów się dlaczego ?
CZY Z KAŻDYCH TRZECH ODCINKÓW MOŻNA
ZBUDOWAĆ TRÓJKĄT?
Przykład 1
a
b
c
SPRÓBUJ
Przykład 2
k
l
m
SPRÓBUJ
Przykład 2
l
k
m
Z tych odcinków nie można zbudować trójkąta
Zastanów się dlaczego?
podpowiedź
Budowanie trójkątów z zapałek
Uwaga: zapałek nie można łamać !!!
Zadanie 1
sprawdź czy można zbudować trójkąt z trzech,
czterech, pięciu …… zapałek? Swoje wyniki zapisz w
zeszycie w takiej tabeli:
BOKI TRÓJKĄTÓW
a
b
PORÓWNANIE BOKÓW
c
a+b
c
b+c
Czy można
zbudować
trójkąt?
a
a+c
b
Zadanie 2
z ilu zapałek nie można zbudować trójkąta ?
Tak/Nie
PORÓWNANIE BOKÓW TRÓJKĄTA
b
a
c
BOKI TRÓJKĄTÓW
PORÓWNANIE BOKÓW
Czy można
zbudować
trójkąt?
a
b
c
a+b
c
b+c
a
a+c
b
1
2
3
3
3
5
1
4
2
NIE
2
2
3
4
3
5
2
5
2
TAK
3
5
2
8
2
7
3
5
5
NIE
10
12
15
22 15 27 10 25 12
TAK
12
7
4
19
7
NIE
25
12
10
37 10 22 25 35 12
NIE
4
11 12 16
Wnioski z obliczeń
Przykłady, kiedy nie można było zbudować trójkąta:
a+b
=
8 >
37 >
c
a+c
b
3
4
2
5
10
35
> 2
= 5
> 12
3
b+c
a
> 1
7 > 3
22 < 25
5
Przykłady, kiedy można zbudować trójkąt:
a+b
c
> 3
22 > 15
4
więc:
a+b >
c
a+c
5
25
b
> 2
> 12
a+c >
b
b+c
5
27
a
> 2
> 10
b+c >
a
Przypomnijmy jeszcze raz
a+b >
c
a+c >
b
b+c >
Trójkąt możemy zbudować, gdy suma długości
dwóch boków jest większa od trzeciego boku
Jest to warunek konieczny
konstruowalności trójkątów
POWRÓT DO
SPRAWDZIANU
a
SPRAWDŹ SIĘ
Zadanie 1:
Sprawdź czy z podanych boków można zbudować trójkąt?
a) |AB| = 8 cm
|BC | = 10 cm
|CA| = 4 cm
|LM | = 35 dm
NIE
|MK| = 14 cm
TAK
c) |PR| = 2 m
|PS | = 3 m
NIE
|RP| = 6 m
TAK
d) |AB| = 2,8 cm
NIE
|BC | = 4,9 cm |CA| = 1,4 cm
TAK
b) |KL| = 23 dm
TAK
e) |AB| = 3,3 dm
TAK
f) |AB| = 389 mm
TAK
|BC | = 14 cm
|BC | = 0,82 m
NIE
|CA| = 0,187 m
NIE
|CA| = 5,14 dm
NIE
SOBIE
ŚWIETNIE
PORADZIŁEŚ
POWRÓT DO
SPRAWDZIANU
Widać, że
opanowałeś te
zagadnienia
POWRÓT DO
SPRAWDZIANU
PRZYKRO MI, ALE NIE UMIESZ JESZCZE TEGO
jak
POWRÓT DO
SPRAWDZIANU
SPRÓBUJ JESZCZE RAZ
POMOC
POWRÓT DO
RAWDZIANU
DZIĘKUJĘ ZA
WSPÓLNĄ NAUKĘ
Barbara Wichowska
Rodzaje trójkątów i ich własności
Wiemy już z jakich odcinków trójkąty mogą powstać.
Czy wszystkie trójkąty są takie same?
Czym się różnią?
Zbadajmy to
Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki
1.
Trójkąty o wszystkich bokach różnych
różnych + bokach = trójkąty różnoboczne
bok b = 10 cm
bok a = 5 cm
bok c = 13 cm
Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki
2.
Trójkąty o wszystkich bokach równych
równych + bokach = trójkąty równoboczne
bok k = 8 m
bok l = 8 m
bok m = 8 m
Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki
3. Trójkąty o dwóch bokach równych
ramię = ramię
k=7 cm
ramię
k=7 cm
ramię
podstawa
m= 5 cm
trójkąt równoramienny
Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty
A

kąt BAC
( kąt CAB )
kąt


B
kąty możemy oznaczać
za pomocą wierzchołków trójkąta
lub literami greckimi
Kąt ABC
( kąt CBA)
kąt
γ

C
kąt ACB
( kąt BCA )
kąt
γ
Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty
1.
Trójkąty, które mają wszystkie kąty ostre

kąty , , γ < 90º
ostre

γ
podstawa
kąty = trójkąty ostrokątne
Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty
2.
Trójkąty, które mają dwa kąty ostre i jeden kąt
prosty
przyprostokątna
prosty kąt = trójkąt prostokątny
 = 90º
przyprostokątna
Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty
3.
Trójkąty, które mają dwa kąty ostre i jeden kąt
rozwarty
rozwarty kąt =
trójkąt rozwartokątny

> 90º

< 90º
Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki
i kąty
Spróbuj, sklasyfikować podane trójkąty:
Trójkąt
różnoboczny
ze względu na boki (kliknij tutaj po pomoc)
ze względu na kąty (kliknij tutaj po pomoc)
Trójkąt
rozwartokątny
ze względu na boki (kliknij
ze względu na kąty (kliknij
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
równoramienny
)
pomoc)
tutaj po pomoc
tutaj po
Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki
i kąty
Trójkąt
różnoboczny
ze względu na boki (kliknij
ze względu na kąty (kliknij
Trójkąt
ostrokątny
ze względu na boki (kliknij
ze względu na kąty (kliknij
Trójkąt
prostokątny
)
pomoc)
tutaj po pomoc
tutaj po
Trójkąt
różnoboczny
)
pomoc)
tutaj po pomoc
tutaj po
Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki
i kąty
Trójkąt
równoramienny
ze względu na boki (kliknij
ze względu na kąty (kliknij
Trójkąt
prostokątny
tutaj po
Trójkąt
równoboczny
ze względu na boki (kliknij
ze względu na kąty (kliknij
Trójkąt
ostrokątny
)
pomoc)
tutaj po pomoc
)
pomoc)
tutaj po pomoc
tutaj po
Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki
i kąty
Trójkąt
równoramienny
ze względu na boki (kliknij
ze względu na kąty (kliknij
Trójkąt
rozwartokątny
)
pomoc)
tutaj po pomoc
tutaj po
Ile odpowiedzi było prawidłowych?
1 - 4
5 - 7
8 - 9
10 - 12
13 - 14
Otrzymałeś 1 - 4 dobre odpowiedzi
To nie jest
satysfakcjonujący
wynik !!!
Nie ma co rozpaczać
Proponuję wrócić i
przerobić ten
materiał jeszcze raz
powrót
Otrzymałeś 5 - 7 dobrych odpowiedzi
No, już nieźle … ale czy jesteś zadowolony ze
swojego wyniku?
Obudź się, stać cię na
więcej.
Pokaż co potrafisz!!!
Więc do pracy !!!
Wracamy jeszcze raz
Otrzymałeś 8 - 9 dobrych odpowiedzi
Jest trochę lepiej.
Masz się czym pochwalić.
Opanowałeś proponowany materiał na
ocenę dostateczną !!!
Jeżeli chcesz jeszcze
poćwiczyć, to :
powrót
Otrzymałeś 10 - 12 dobrych odpowiedzi
Ten wynik jest niezły !
Dużo się nauczyłeś podczas tej lekcji.
Cieszę się bardzo.
Masz prawo być z siebie dumny.
Możesz pochwalić się takim wynikiem !
Należy Ci się ocena
dobra
Otrzymałeś 13 - 14 dobrych odpowiedzi
To świetny wynik !!!
DZIĘKUJĘ ZA
WSPÓLNĄ NAUKĘ
KĄTY W TRÓJKĄTACH
Kąt -
część płaszczyzny ograniczona dwiema
półprostymi wychodzącymi z jednego punktu
A
Kąt ACB
lub kąt BCA

Wierzchołek
C
B
Ramię kąta
kąta
lub kąt

KĄTY W TRÓJKĄTACH
SUMA KĄTÓW W TRÓJKĄCIE
Zapamiętaj :
Suma kątów w
trójkącie wynosi

180º
γ

180º

γ

KĄTY W TRÓJKĄTACH
Trójkąt równoboczny jest też trójkątem
ostrokątnym
γ
 < 90º
 < 90º
γ < 90º


Bok a
Zapamiętaj :
Suma kątów w
trójkącie
wynosi
180º
Te kąty są sobie
równe, więc mają po:
180º : 3 = 60º
KĄTY W TRÓJKĄTACH
Trójkąt równoramienny ostrokątny
γ
oś symetrii dzieli trójkąt na
dwie identyczne części, więc:


Podstawa b
kąty  i  są takiej
samej miary
= 
Zapamiętaj :
kąty przy
podstawie trójkąta
równoramiennego
są sobie równe
Trójkąt prostokątny
równoramienny
Przyprostokątne są sobie
równe
Przyprostokątna
KĄTY W TRÓJKĄTACH

= 90º
γ
Przyprostokątna
Ponieważ w trójkącie jeden z kątów ma miarę 90º,
to z tego wynika, że suma dwóch pozostałych kątów
też wynosi 90º
Zapamiętaj :
Suma kątów w trójkącie wynosi
180º
Jeżeli kąt = 90º, to  + γ = 90º
KĄTY W TRÓJKĄTACH
PRZYKŁADY OBLICZANIA MIAR KĄTÓW W TRÓJKĄTACH
a)
115º
a
b
27º

c
b)
k
γ
k
54º
a)  = 180 º - ( 115 º+ 27 º) = 38º
b) γ = 180 º - 2 · 54º = 72º
54º
m
c)

c)  = 180 º - ( 90 º+ 32 º) = 58º
z
x 90º
32º
y
KĄTY W TRÓJKĄTACH
PRZYKŁADY OBLICZANIA MIAR KĄTÓW W TRÓJKĄTACH
d)
c
19º
a
d)
=
180 º - ( 19 º+ 31 º) =
130º
e)
=
γ = ( 180 º - 90º ) : 2 =
45º
31º

b
e)
k
90º

k

m
f)
p
57º
48º r
γ
s
f) γ = 180 º - ( 57 º+ 48 º) = 75º
KĄTY W TRÓJKĄTACH
SPRAWDŻ CZEGO SIĘ NAUCZYŁEŚ ?
a)
135º
a
15º

c
b)
k
γ
=
180º - ( 48º + 48º ) =
b)
48º
γ =
90º - 27º ) =
27º
y
84º
( kliknij tutaj, aby sprawdzić wynik )
z
x 90º
30º
( kliknij tutaj, aby sprawdzić wynik )
m
c)
a)
k
48º

180º - ( 135º + 15º ) =
b
c)
63º
 =
( kliknij tutaj, aby sprawdzić wynik )
KĄTY W TRÓJKĄTACH
PRZYKŁADY OBLICZANIA MIAR KĄTÓW W TRÓJKĄTACH
d)
180º - ( 22º + 37º ) =
c
22º
d)
a
37º

121º
=
( kliknij tutaj, aby sprawdzić wynik )
b
e)
k
86º


m
f)
p
48º
k
54º r
e)
=
(180º - 86º ): 2=
( kliknij tutaj, aby sprawdzić wynik )
180º - ( 48º + 54º ) =
f) γ
=
78º
( kliknij tutaj, aby sprawdzić wynik )
γ
s
47º
Ile odpowiedzi było prawidłowych?
1
2 - 3
4
5
6
Otrzymałeś 1 dobrą odpowiedź
Niestety,
musisz jeszcze raz przerobić ten temat
i nauczyć się jak obliczamy kąty w
trójkącie.
Więc, nie czekaj - powtarzamy
POWTÓRKA LEKCJI
Otrzymałeś 2 - 3 dobre odpowiedzi
To także
nie jest zbyt zadowalajacy wynik.
Trzeba jeszcze poćwiczyć
Ciągłe
ćwiczenie
uczyni z
ciebie mistrza
Otrzymałeś 4 dobre odpowiedzi
Wiem, że stać cię na lepszy rezultat.
Czy na pewno przerobiłeś ten temat
solidnie?
Może coś opuściłeś?
Warto do tego wrócić.
Pamiętaj tylko trening czyni mistrza.
Więc:
POWRÓT
Otrzymałeś 5 dobrych odpowiedzi
No, no….
To już jest sukces.
Potrafisz dobrze się uczyć sam.
Otrzymałeś 6 dobrych odpowiedzi
JESTEŚ MISTRZEM !!!
Dziękuję za wspólną naukę
Barbara Wichowska