Elementy teorii gier

Elementy teorii gier
1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne.
(a)
U
D
L
2,3
6,-5
R
-2,7
0,-1
U
D
(b)
L
2,3
6,-5
R
-2,7
3,5
2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia im 1000 zł w spadku. Testament jest
następujący: każdy z synów musi podać sumę si jaką chciałby otrzymać. Jeśli s1 + s2 ¬
1000, to każdy otrzymuje to o co prosił, a reszta przechodzi na cele charytatywne. Jeśli
s1 + s2 > 1000, to żaden z synów nic nie otrzymuje i cała kwota przekazana jest na cele
charytatywne. Załóżmy, że każdy z synów troszczy się tylko o swoją cześć spadku i kwota
jaką może podać musi być w wyrażona w pełnych zł. Podaj wszystkie czyste równowagi
Nasha w tej grze.
3. Podaj wszystkie równowagi Nasha w podanych grach. Narysuj graf najlepszych odpowiedzi
dla pierwszej gry.
(a)
U
D
L
6,0
6,1
R
5,3
0,0
(b)
U
D
L
5,0
5,3
M
-1,1
-2,3
(b)
1
2
R
2,0
2,3
4. Podaj wszystkie równowagi Nasha w grze:
(a)
1
2
A
-4,5
3,-3
B
3,-3
-6,7
C
2,-5
6,4
D
-1,4
0,0
E
1,1
3,-2
A
-0,2
1,0
B
3,1
2,1
C
2,0
0,2
5. Rozważmy następujący problem aukcji. Dwóch graczy chce nabyć wartościowy przedmiot.
Każdy gracz składa swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Kwoty jakie gracze mogą podać
to: 100, 200, 300, 400 i 500 zł. Przedmiot jest warty 400 zł dla gracza 1 i 300 zł dla gracza
2. Gracz, który składa najwyższą ofertę dostaje ten przedmiot. Zwycięzca płaci cenę p.
Zatem, jeśli wartość przedmiotu dla zwycięzcy wynosi x, to jego wypłata jest x-p. Dla
drugiego gracza wypłata wynosi 0. Jeśli obaj podają cenę p, to zwycięzca jest losowany i
płaci p.
Przypadek (I): First Price Auction Cena p jest równa ofercie jaką złożył zwycięzca.
Przypadek (II): Second Price Auction Cena p jest równa ofercie jaką złożył drugi gracz.
Podaj macierz wypłat dla obu graczy. Zastosuj algorytm eliminacji strategii zdominowanych. Znajdź czyste równowagi Nasha.
1
6. Second Price Auction. Sprzedawca posiada wartościowy obraz i chce go sprzedać na aukcji.
Do aukcji przystępuje n potencjalnych nabywców. Każdy nabywca k posiada swoją własną
ocenę vk > 0. Potencjalni nabywcy składają swoją ofertę w zaklejonej kopercie. Niech
nabywca k składa ofertę bk ∈ (0, ∞). Ten kto podał najwyższą ofertę kupuje przedmiot za
drugą co do wielkości ofertę. Jeśli jest więcej nabywców niż jeden z najwyższą ofertą, to
kupiec jest losowany według równomiernego rozkładu i płaci za przedmiot najwyższą cenę.
Reszta otrzymuje wypłatę zero. Pokaż, że profil strategii (v1 , v2 , ..., vn ) jest równowagą
Nasha w tej grze n-osobowej.
7. Rozważmy grę ”Skała-Nożyczki-Papier”, w której 2 dzieci jednocześnie pokazuje za pomocą
dłoni element tej gry. Skała (S) bije Nożyczki (N), Nożyczki biją Papier (P), and Papier
bije Skałę. Jeśli dzieci grają ten sam element (obydwoje S, obydwoje N lub obydwoje P)
to jest remis.
(a) Skonstruuj macierz wypłat dla tej gry, jeśli +1 to wygrana, -1 przegrana i 0 to remis.
(b) Rozwiąż tą grę.
8. Każdy z dwóch kandydatów na prezydenta musi zdecydować, o której godzinie w TVP
chce wygłosić swoje godzinne przemówienie. Każdy może wybrać dzień, dwa dni lub trzy
dni przed wyborami.Jeśli zdecydują się na przemówienie tego samego dnia, to żaden z
kandydatów nic nie zyskuje. Jeśli wybiorą inne dni, to kandydat, którego przemówienie
jest bliższe dnia, w którym są wybory ma przewagę. Jeden dzień różnicy: kandydat, który
wygłasza przemówienie bliżej dnia wyborów zyskuje 30% głosów osób niezdecydowanych;
dwa dni różnicy-taki kandydat zyskuje 50% głosów osób niezdecydowanych. Podaj macierz
wypłat oraz zdecyduj jak powinni zachować się kandydaci. Czy gra jest fair?
9. Rozważ następującą grę:
1
2
3
4
A
0,0
-2,2
3,-3
0,0
B
2,-2
0,0
0,0
-3,3
C
-3,3
0,0
0,0
4,-4
D
0,0
3,-3
-4,4
0,0
(a) Sprawdź, że para strategii ((0, 4/7, 3/7, 0), (0, 3/5, 2/5, 0)) jest optymalna.
(b) Sprawdź, że para strategii ((0, 3/5, 2/5, 0), (0, 4/7, 3/7, 0)) jest także optymalna.
(c) Dlaczego punkty (a) oraz (b) pozwalają stwierdzić, że ((0, 4/7, 3/7, 0), (0, 4/7, 3/7, 0))
musi być także optymalna?
(d) Jakie są wypłaty graczy w punkcie (c)?
(e) Czy gra jest fair?
Uwaga: Grę o sumie zerowej nazywamy fair jeśli wypłata oczekiwana dla strategii równowagi wynosi zero.
10. Rozważamy ciągłą grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym z funkcją wypłaty
r(x, y) = 16(x − y)2 . Pokaż, że optymalna strategia dla gracza A opisana jest za pomocą
rozkładu
(
1
, 0 ¬ x < 1,
2
F0 (x) =
1 , x = 1,
2
a gracza B
(
G0 (y) =
0
1
, 0 ¬ y < 21 ,
, 12 ¬ y ¬ 1.
Znajdź wartość gry.
11. Gracze A i B grają w grę o sumie zerowej na kwadracie jednostkowym. Gracz A wybiera
liczbę x ∈ [0, 1], a gracz B, nie znając wyboru gracza A wybiera y ∈ [0, 1]. Wypłata gracza
A wynosi
1
7
5
P (x, y) = y 2 − 2x2 − 2xy + x + y.
2
2
4
(a) Rozwiąż tą grę.
(b) Po jakimś czasie gracz A jest znudzony ciągłym wygrywaniem i decyduje się zbić z
tropu gracza B grając zrandomizowaną strategię używając gęstości 3ξ 2 , tzn. że prawdopodobieństwo że gracz A wybierze x ∈ [ξ, ξ + dξ] wynosi 3ξ 2 dξ. Dlaczego nie jest to głupia
strategia dla gracza A? Jak dużo gracz A może stracić grając tą strategię?
12. Gracze A i B grają grę różniczkową. Gracz A wybiera y = y(t, x), gdzie y jest ciągłą,
różniczkowalną funkcją taką, że 0 ¬ y ¬ 1 dla wszystkich wartości t i x. Gracz B wybiera
z = z(t, x), gdzie znowu z jest funkcją o tych samych własnościach co y. Dane jest równanie:
dx
= (y − z)2 ,
dt
x(0) = x0 .
Gra kończy się o czasie t = T. Gracz A maksymalizuje
całkę. Sprawdź, że
y
z
0
Z T
Z T
xdt = x0 T
max min
RT
oraz
0
min max
z
y
0
xdt, a gracz B minimalizuje tą
1
xdt = x0 T + T 2 .
8
Zatem gra różniczkowa nie posiada czystych strategii optymalnych (L.D. Berkovitz).
13. Narysuj drzewo gry ”Matching Pennies”, w przypadku gdy każdy z graczy rzuca monetą.
Jeśli możliwe, podaj czyste strategie graczy i postać normalną gry.
14. Antek i Bartek grają w następującą grę: Antek ma prawdziwy samolot i fałszywy samolot.
Bartek ma urządzenie do strącania samolotu i chce nim trafić w prawdziwy samolot. Antek
kładzie na stole prawdziwy lub fałszywy samolot i zakrywa go ręką. Bartek decyduje czy
użyć swojego urządzenia. Na sygnał Antek odkrywa samolot, a Bartek decyduje co zrobić.
Jeśli Bartek zestrzeli samolot, to wygrywa 1, jeśli samolot był prawdziwy i przegrywa
1, jeśli jest fałszywy. Jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był prawdziwy, to gra
się kończy i nie ma wypłat.Jeśli Bartek nie użyje urządzenia, a samolot był fałszywy to
gra się powtarza - tym razem stawka jest podwójna. W przypadku, gdy Bartek nie użyje
urządzenia, a samolot był fałszywy to gra się kończy i Bartek wygrywa 2. Narysuj drzewo
gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość
gry.
3
15. Sasza i Masz kupili zestaw, który zawiera pistolet ”Colt 45-six shooter”, jeden nabój,
karton papierosów i zasady gry w rosyjską ruletkę. Każdy z graczy kładzie na stole po
paczce papierosów. Sasza gra pierwszy: może dodać dwie paczki papierosów i przekazać
pistolet Maszy albo dodać jedną paczkę, naładować rewolwer i strzelić sobie w głowę. Jeśli
ma szczęście, to przekaże rewolwer Maszy. Masza ma te same opcje co Sasza. Gra się
kończy. Każdy bierze po połowie papierosów, jeśli obaj żyją, albo ten co przeżył zabiera
wszystkie paczki ze stołu. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz
wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry.
16. Do gry użyto trzech kart: Króla, ”10” i ”2”. Antek wybiera jedną kartę nie pokazując
Piotrowi. Piotr mówi: ’High’ lub ’Low’. Jeśli ma rację (Król=High, ”2”=Low), wygrywa
3zł od Antka. Jeśli nie ma racji traci 2zł. Jeśli kartą jest ”10”, to Piotr wygrywa 2zł, gdy
wołał Low, ale Antek musi wybrać pomiędzy Królem a ”2”, gdy Piotr wołał High. Tym
razem po wybraniu karty, Piotr znów woła High lub Low i wygrywa 1zł, gdy ma rację oraz
traci 3zł, gdy nie ma racji. Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz
wypłat. Znajdź optymalne strategie i wartość gry.
17. Antek i Bartek grają w grę z dwoma kartami oznaczonymi literami H=High i L= Low.
Każdy z graczy kładzie na stół po 1zł. Antek losuje kartę, patrzy i zakłada się o 2zł lub
4zł. Bartek może zrezygnować lub popatrzyć. Jeśli zrezygnuje, to Antek zabiera wygraną ze stołu. Jeśli zdecyduje się popatrzyć, to musi dopasować się do Antka zakładu. W
tym przypadku Antek wygra, jeśli ma kartę High, w przeciwnym wypadku wygra Bartek.
Narysuj drzewo gry, podaj czyste strategie graczy i macierz wypłat. Znajdź optymalne
strategie i wartość gry.
18. Rozważmy asymetryczny model duopolu gry Cournota. Koszt produkcji dla Firmy 1 wynosi c1 , a dla Firmy 2 c2 . Jeśli 0 < ci < P0 /2 dla i = 1, 2, to jaka jest równowaga Nasha?
Jeśli c1 < c2 < P0 , ale 2c2 > P0 + c1 , to jaka jest równowaga Nasha?
19. Rozważmy model oligopolu gry Cournota: n identycznych firm (tzn. z identycznymi kosztami) produkuje ilości q1 , q2 , ..., qn pewnego dobra. Cena na rynku opisana jest funkcją
P
P (Q) = P0 (1 − Q/Q0 ), gdzie Q = ni=1 qi . Znajdź symetryczną równowagę Nasha. Do
czego dąży zysk każdej firmy gdy n → ∞?
20. Przypuśćmy, że firma E (’Entrant’) rozważa wejście na pewien rynek, który obecnie jest
zmonopolizowany przez inną firmę I (’Incumbent’). Cena na rynku danego dobra opisana
jest przez funkcję
Q
P (Q) = P0 1 −
,
Q0
gdzie Q = qI + qE . Koszt produkcji jednostki tego dobra dla każdej firmy wynosi c i koszt
Firmy E budowy fabryki, infrastruktury wynosi CE . Czy Firma E powinna wejść na rynek?
Jeśli Firma E wejdzie na rynek, to czy Firma I powinna odkryć swoje plany produkcji czy
nie?
21. Rozważmy model duopolu gry Cournota. Niech zysk Firmy i0 będzie dany funkcją:
ri (q1 , q2 ) = qi ∗ (2 − qi − q2 ) −qi ∗
|
{z
}
cena dobra
4
θ
i
|{z}
koszt produkcji
,
gdzie qi jest wielkością produkcji Firmy i. Wiadomo, że Firma 1 może być tylko jednego
typu θ1 = 1. Firma 1 wierzy, że θ2 = 54 z prawdopodobieństwem 21 i θ2 = 34 z prawdopodobieństwem 12 . Zatem Firma 2 może być dwóch typów: ”high-cost type” (θ2 = 54 ) oraz
”low-cost type” (θ2 = 43 ). Znajdź czystą bayesowską równowagę Nasha w tej grze. Oblicz
oczekiwane wypłaty dla graczy, gdy grają równowagę.
AJ
5