Plastyczność polikryształów metali

Plastyczność polikryształów metali
- materiały do wykładu
Katarzyna Kowalczyk-Gajewska
Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN,
Świętokrzyska 21, 00 049 Warszawa, [email protected]
1
Fizyczne podstawy teorii plastyczności dla metali
Metale są materiałami polikrystalicznymi. Reprezentacyjny element objętości dla takich
materiałów składa się z dużej liczby pojedynczych ziaren krystalicznych. Średni wymiar
wielkości ziarna to 10−2 − 10−1 mm. Mikrostruktura pojedynczego kryształu charakteryzowana jest przez budowę sieci krystalograficznej. Najczęściej spotykane typy sieci dla metali
to (rysunek 1):
• sieć A1 (RSC) - regularna ściennie centrowana (miedź, aluminium)
• sieć A2 (RPC) - regularna przestrzennie centrowana (żelazo α, wolfram)
• sieć A3 - heksagonalna zwarta (cynk, magnez).
Rysunek 1: Typowe sieci kryształów metali: a) A1 (RSC) b) A2 (RPC) c) A3 wraz z
zaznaczonymi płaszczyznami poślizgu
W badaniach doświadczalnych stwierdzono, że o ile podczas deformacji sprężystych kierunki materialne i sieciowe deformują się tak samo o tyle deformacja plastyczna zachodzi
1
przez ruch dyslokacji (poślizg) na pewnych, ściśle określonych dla danego typu sieci, płaszczyznach sieciowych wzdłuż ściśle określonych kierunków sieciowych. Deformacja taka pozostawia sieć niezmienioną (rysunek 2). Deformację plastyczną możemy więc opisać jako
sumę prostych ścinań zadanych przez dwa ortogonalne do siebe wektory:
• n - unormowany wektor prostopadły do płaszczyzny ścinania (płaszczyzny poślizgu)
• m - unormowany wektor równoległy do kierunku ścinania (kierunku poślizgu)
Rysunek 2: Porównanie deformacji plastycznej a) włókien materialnych i b) kierunków
sieciowych. Deformacja sztywno-plastyczna pojedynczego kryształu o jednym systemie
poślizgu przy jednosiowym rozciąganiu c)
Parę tych wektorów nazywamy systemem poślizgu. Należy wspomnieć, że dla silnie
zaawansowanych deformacji plastycznych (ε > 100%) oprócz powyżej opisanego podsta2
wowego mechanizmu deformacji mamy często doczynienia z bliźniakowaniem oraz pasmami
ścinania.
Aby opisać plastyczność polikryształów metali oprócz sformułowania modelu konstytutywnego opisującego deformację pojedynczego kryształu pod wpływem zadanych obciążeń
należy również rozważyć zachowanie się agregatu ziaren. Zwykle reprezentatywny element
polikryształu stanowi agregat składający się z ok. 1000 ziaren wypełniających objętość
1 mm3 . Rozważając zachowanie agregatu należy odpowiedzieć na pytanie w jaki sposób
globalne obciążenie jakiemu poddany jest agregat jest dystrybuowane pomiędzy ziarnami,
których sieć może być różnie zorientowana w przestrzeni fizycznej. Jeżeli pominiemy wpływ
wielkości i kształtu ziaren, to znaczy uznamy, że wszystkie ziarna mają ten sam wymiar i
kształt kulisty, to dwa najczęściej stosowane modele odpowiadające na postawione pytanie
to (rysunek 3):
• model Sachsa zakładający , że stan naprężenia jest w każdym ziarnie taki sam i
równy globalnemu stanowi naprężenia. Przy takim założeniu nie spełnione są warunki
ciągłości na granicach ziaren,
• model Taylora zakładający, że odkształcenie w każdym ziarnie jest takie same i równe
globlanemu odkształceniu agregatu. W tym przypadku nie spełnione są równania
równowagi na granicach ziaren.
Rysunek 3: Deformacja agregatu ziaren podczas jednoosiowego rozciągania: a) początkowy
stan agregatu b) po dużym odkształceniu plastycznym według modelu Sachsa c)według
modelu Taylora
Stwierdzono, że założenie Taylora jest bliższe rzeczywistości obserwowanej w eksperymentach. Bardziej zaawansowane modele dla polikryształu polegają bądź na uwolnieniu niektó3
rych więzów nałożonych przez powyższe modele (np. na przyjęciu założenia, że tylke pewne
składowe stanu naprężenia lub odkształcenia są sobie równe) lub na zastosowaniu teorii
homogenizacji do wyznaczenia rozkładów odkształceń i naprężeń w agregacie poddanym
jednorodnemu stanowi naprężenia.
2
2.1
2.1.1
Plastyczność pojedynczych kryształów metali - model
sztywno-idealnie plastyczny
Kinemtyka pojedynczego kryształu
Gradient deformacji
Rozpatrujemy następujące konfiguracje ciała (pojedynczego kryształu metalu): konfigurację początkową, konfigurację aktualną i konfigurację pośrednią (rysunek 4). Obecność
konfiguracji pośredniej wynika z rozbicia deformacji na jej część sprężystą i plastyczną.
W teorii dużych deformacji, w miejsce addytywnego rozbicia odkształceń charakterystycznego dla teorii małych odkształceń, przyjmuje się multiplikatywny rozkład całkowitego gradientu deformacji F na część sprężystą i część plastyczną Fp . W modelu sztywno-idealnie
plastycznym ograniczamy część sprężystą gradientu deformacji do sztywnego obrotu Re ,
a zatem (objaśnienia dotyczące wyrażeń matematycznych znajdują się w ostatniej części
materiałów )
p
e
(2.1)
Fij = Rik
Fkj
.
Rysunek 4: Rozkład gradientu deformacji pojedynczego ziarna
Zgodnie z obserwacjami doświadczalnymi przytoczonymi w poprzedniej części wykładu
ruch włókien materialnych opisany powyżej jest inny od ruchu sieci. Ruch sieci opisany
4
jest przez sztywny obrót R∗ , który równy jest sprężystej części gradientu deformacji Re :
∗
e
Rij
= Rij
(2.2)
2.1.2
Gradient prędkości
Dla teorii plastyczności charakterystyczny jest zapis prędkościowy (podstawowe pole
jakim się posługujemy, to pole prędkości v ciała). Wyznaczmy zatem gradient prędkości
materiału i sieci. Dla materiału otrzymujemy
(2.3)
Lij =
∂vi
p −1 ∗
−1
∗
∗
∗
= Ḟik Fkj
= Ṙik
Rjk
+ Rik
Ḟklp (Flm
) Rjm ,
∂xj
| {z } |
{z
}
Lpij
Leij
natomiast dla sieci
(2.4)
L∗ij =
˙ = d ()
gdzie ()
dt
∂v ∗
∗
∗
= Ṙik
Rjk
= Leij .
∂xj
Jak mówiliśmy w poprzedniej części wykładu deformacja plastyczna zachodzi przez poślizg
na określonych dla danego typu sieci systemach poślizgu. Oznaczmy przez M liczbę systemów poślizgu charakterystyczną dla danego typu sieci (np.: A1 - M = 12, A2 - M = 48).
Dla każdego systemu poślizgu r, r = 1, . . . , M znane są wektory nr i mr definiujące system
poślizgu. Część plastyczna gradientu prędkości Lp będzie zatem sumą prędkości prostego
ścinania na wszystkich systemach poślizgu:
(2.5)
Lpij =
M
X
γ̇ r mri nrj
r=1
Skalarne wielkości γ̇ r to prędkości poślizgu na poszczególnych systemach odniesione do
początkowej orientacji sieci. Oznacza to, że definiowane są w taki sposób, aby spełniały
warunek (patrz rysunek 4)
M
X
p
p −1
(2.6)
γ̇ r mrio nrjo
Ḟik (Fkj ) =
r=1
2.1.3
Tensor prędkości odkształceń plastycznych i tensory spinu
Możemy dokonać podziału zarówno całkowitego gradientu prędkości L jak i jego części
związanej ze sztywnym sprężystym obrotem L∗ i plastycznej Lp na część symetryczną i antysymetryczną. Dla części związanej ze sztywnym sprężystym obrotem część symetryczna
jest równa zeru. Pozostaje część antysymetryczna nazywana tensorem spinu sprężystego
Ω∗ . Dla części związanej z deformacją plastyczną niezerowe mogą być obie części. Część
symetryczna nazywana jest tensorem prędkości odkształceń plastycznych Dp , natomiast
część antysymetryczna tensorem spinu plastycznego Ωp . Dla deformacji sieci mamy wyłącznie do czynienia ze spinem sieci równym spinowi materiału związanemu ze sztywnym
5
obrotem Ω∗ . Odpowiednio otrzymujemy następujące wyrażenia
(2.7)
∗
∗
Ω∗ij = Ṙik
Rjk
M
(2.8)
Ωpij
X
1
1
γ̇ r Wijr gdzie Wijr = (mri nrj − nri mrj )
= (Lpij − Lpji ) =
2
2
r=1
M
(2.9)
p
Dij
X
1
1
= (Lpij + Lpji ) =
γ̇ r Pijr gdzie Pijr = (mri nrj + nri mrj )
2
2
r=1
Powyżej wykorzystaliśmy równania (2.5).
Można zauważyć, że pojedynczy kryształ sztywno-plastyczny jest materiałem plastycznie
nieściśliwym, ponieważ
M
∂vi X r r r
(2.10)
=
γ̇ mi ni = 0.
∂xi
r=1
2.2
2.2.1
Związki konstytutywne
Warunek uplastycznienia
Poniżej przedstawimy dwa warunki uplastycznienia dla pojedynczego kryształu, a mianowicie
• warunek oparty o klasyczne prawo Schmida
• warunek oparty o regularyzowane prawo Schmida
Klasyczne prawo Schmida mówi, że poślizg na danym systemie poślizgu rozpoczyna
się w momencie, gdy wartość efektywnego naprężenia ścinającego τ r osiągnie wartość krytyczną τcr . Efektywne naprężenie ścinające obliczamy jako rzut tensora naprężenia σ na
płaszczyznę i kierunek ścinania:
(2.11) τ r = mri σij nrj
Rysunek 5: Definicja efektywnego naprężenia ścinającego.
W modelu sztywno-idealnie plastycznym wartość τcr jest stałą materiałową.
Warunek uplastycznienia pojedynczego kryształu możemy zatem zapisać w postaci
(2.12)
max |τ r | = τcr .
r
6
Według powyższego warunku pojedynczy kryształ uplastycznia się (rozpoczyna się poślizg
na systemach poślizgu) w momencie, gdy wartość maksymalnego z efektywnych naprężeń
ścinających na systemach poślizgu osiągnie wartość krytyczną.
Warunki obciążenie-odciążenie możemy sformułować w następujący sposób
^
(2.13)
|τ r | < τcr =⇒ element pozostaje sztywny
r
(2.14)
_
|τ r | = τcr
i τ̇ r < 0 =⇒ element ulega odciążeniu
|τ r | = τcr
i τ̇ r = 0 =⇒ element ulega uplastycznieniu
r
(2.15)
_
r
Powyższy warunek uplastycznienia tworzy w przestrzeni naprężeń powierzchnię plastyczności. Jest to warunek odcinkowo-liniowy, a więc powierzchnia ta charakteryzuje się
występowaniem naroży (rysunek 6).
Rysunek 6: Kształt powierzchni plastyczności dla prawa Schmida i regularyzowanego prawa
Schmida (n = 1 i n = 6) dla płaskiego stanu naprężenia o osiach głównych zorientowanych
w różny sposób względem kierunków sieciowych
W 1991 Gambin zaproponował regularyzowany warunek Schmida jako warunek
uplastycznienia pojedynczego kryształu. Według tego warunku kryształ uplastycznia się
7
w momencie, gdy spełnione jest równanie
(2.16)
f (σ) − m =
M µ r ¶2n
X
τ
τcr
r=1
− m = 0.
Oprócz wielkości
stałymi materiałowymi są tu również wykładnik n > 1 i wielkość
m > 0.
W tym przypadku warunki obciążenie-odciążenie przyjmują postać
τcr
(2.17)
(2.18)
(2.19)
f (σ) < m =⇒ element pozostaje sztywny
f (σ) = m i f˙ < 0 =⇒ element ulega odciążeniu
f (σ) = m i f˙ = 0 =⇒ element ulega uplastycznieniu
Kształty powierzchni plastyczności opisanych przez oba warunki są sobie bliskie dla
dużych wartości wykładnika n. Dla niskich wartości n naroża na powierzchni plastyczności
ulegają coraz większemu zaokrągleniu dla regularyzowanego prawa Schmida.
2.2.2
Prawa płynięcia i prawa spinu plastycznego
W modelu wykorzystującym klasyczne prawo Schmida rozpatrujemy poszczególne
systemy poślizgu oddzielnie. Jak zauważono w części wykładu poświęconej kinematyce
pojedynczego ziarna tensor prędkości deformacji plastycznej i tensor spinu możemy rozbić
na części związane z prostymi ścinaniami na poszczególnych systemach poślizgu
(2.20)
p
Dij
=
M
X
p,r
Dij
Ωpij
r=1
=
M
X
Ωp,r
ij
r=1
Zakłada się, że funkcja opisująca prawo Schmida dla rozważanego systemu poślizgu r
jest potencjałem dla wielkości Dp,r , a zatem
µ r
¶
∂τ
∂τ r
p,r
r1
(2.21)
+
= λr Pijr .
Dij = λ
2 ∂σij ∂σji
Funkcja λr jest tzw. mnożnikiem plastycznym i jest niezerowa wyłącznie wtedy, gdy spełniony jest warunek (2.15). Systemy poślizgu spełniające ten warunek nazywamy aktywnymi systemami poślizgu.
Analogicznie możemy sformułować prawo spinu plastycznego zakładając, że
¶
µ r
∂τ
∂τ r
p,r
r1
Ωij = λ
−
(2.22)
= λr Wijr .
2 ∂σij
∂σji
Dla regularyzowanego prawa Schmida wszystkie systemy poślizgu rozpatrywane są
równocześnie. Przyjmując, że funkcja f (σ) jest potencjałem dla tensora prędkości odkształceń plastycznych Dp otrzymujemy stowarzyszone prawo płynięcia postaci
¶
µ
M µ r ¶2n−1
X
2n r
∂f
τ
1 ∂f
p
(2.23)
+
=λ
P
Dij = λ
r
2 ∂σij ∂σji
τc
τcr ij
r=1
8
Analogicznie prawo spinu plastycznego przyjmuje postać
(2.24)
Ωpij
1
=λ
2
µ
∂f
∂f
−
∂σij
∂σji
¶
M µ r ¶2n−1
X
τ
2n r
=λ
Wij
r
r
τ
τ
c
c
r=1
Również i w tym przypadku funkcja λ nazywana jest mnożnikiem plastycznym. Funkcja
ta jest różna od zera jeżeli spełniony jest warunek (2.19).
2.3
Zamknięty układ równań teorii plastyczności pojedynczych
kryształów
Własności kryształu opisane są przez następujące wielkości:
• dla klasycznego prawa Schmida: krytyczne naprężenia ścinające τcr , systemy poślizgu
{nr , mr }
• dla regularyzowanego prawa Schmida przez: krytyczne naprężenia ścinające τcr , systemy poślizgu {nr , mr } oraz stałe n i m
W tabeli zestawione zostały poszukiwane pole oraz równania teorii plastyczności pojedynczego ziarna, które tworzą zamknięty układ 12 + M lub 12 + 1 równań z 12 + M lub
12 + 1 niewiadomymi.
Do opisania konkretnego problemu brzegowego potrzebne będą jeszcze warunki brzegowe
i warunki poczatkowe.
Poszukiwane pola
pole prędkości vi (3)
pole naprężeń σij (6)
aktualna orientacja sieci φi (3)
mnożniki λr (M) mnożnik λ (1)
P
P
= 12 + M
= 12 + 1
Równania teorii
równania równowagi (3)
prawo płynięcia (2.21) lub (2.23) (6)
prawo spinu plastycznego (2.22) lub (2.24) (3)
war. plast. (2.15) (M) war. plast. (2.19) (1)
P
P
= 12 + M
= 12 + 1
Tablica 1: Zestawienie poszukiwanych pól i równań jakimi dysponujemy w modelu plastyczności pojedynczego ziarna.
3
Rozwój tekstury krystalograficznej
Rozpatrzmy agregat ziaren składający się z N grup ziaren o takiej samym typie sieci (np.
A1) ale o różnej orientacji kierunków sieciowych, a tym samym kierunków definiujących
systemy poślizgu wobec układu globalnego. Przyjmiemy założenie Taylora w następującej
postaci:
(3.25)
L = Lg dla każdego ziarna g = 1, . . . , N
9
gdzie
1
1
D = Dp = Dp,g = (L + LT ), Ω = Ωg = (L − LT ).
2
2
W procesie zaawansowanych deformacji plastycznych (ε ≥ 30%) orientacja sieci poszczególnych ziaren zmienia się dążąc do pewnych, uprzywilejowanych dla danego procesu deformacji, orientacji. Zjawisko to nazywamy rozwojem tekstury krystalograficznej. Rozwój
tekstury krystalograficznej manifestuje się na poziomie makroskopowym anizotropią in.
kierunkowością właściwości materiału.
Rysunek 7: Rozwój tekstury w procesie walcowania w agregacie ziaren o początkowo losowym rozkładzie orientacji. Pojedyncza kropka na powyższym wykresie zwanym figurą
biegunową reprezentuje orientację poszczególnych ziaren.
Zakładając, że mamy dany gradient prędkości L(t) możemy wyznaczyć rozwój tekstury
w agregacie ziaren.
Program obliczeń jest następujący:
• Dla chwili t na początku rozpatrywanego kroku obliczeń mamy dane dla każdego
ziarna g
L(t), Rg (t) = Rg (φ1 (t), φ2 (t), φ3 (t))
gdzie Rg (t) opisuje orientację kierunków sieciowych rozpatrywanego ziarna g względem układu globalnego. Orientację taką można opisać przez 3 kąty Eulera φi (t).
• Korzystając z jednego z przedstawionych modeli pojedynczego kryształu na podstawie danych obliczamy
σ g (t), Ωp,g (t), Ω∗,g (t)
• Na podstawie Ω∗,g (t) możemy wyznaczyć zmianę kątów Eulera korzystając z przekształcenia
Ωp,g (t) = Ṙ(t)RT (t) ⇒ Ṙ(t) = Ωp,g (t)R(t) ⇒ φ˙1 (t), φ˙2 (t), φ˙3 (t)
10
• Na zakończenie kroku obliczeń dla chwili t obliczamy dane do następnego kroku
obliczeń
L(t + △t),
Rg (t + △t) = Rg (φ1 (t) + φ˙1 (t)△t, φ2 (t) + φ˙2 (t)△t, φ3 (t) + φ˙3 (t)△t)
Na rysunku 7 pokazaliśmy zmianę tekstury dla agregatu ziaren poddanego procesowi walcowania. Na początku agregat ten miał losowy rozkład orientacji.
4
Powierzchnia plastyczności dla polikryształu
Opisując zachowanie polikryształu traktujemy reprezentacyjny agregat ziaren jak punkt
materialny. W punkcie tym możemy szukać zależności między globalnym polem prędkości
v i globalnym polem naprężenia σ. Wiążąc te wielkości z lokalnym pole prędkości vg i
naprężenia σ g wprowadzamy pewną procedurę uśredniania i określamy L i σ jako średnie
po agregacie z wielkości lokalnych. Procedura uśredniania może wyglądać następująco
(4.26)
σ=
N
X
g
γg σ ,
L=
N
X
γ g Lg
g=1
g=1
gdzie γg oznacza udział objętościowy ziarna g w reprezentacyjnym agregacie ziaren.
Rysunek 8: Powierzchnie plastyczności dla polikryształu o losowym rozkładzie ziaren
(makroskopowo materiał jest izotropowy) a) fizyczna b) fiz.-fenomenologiczna c) HuberaMisesa
Wykorzystując pojęcie globalnego uśrednionego naprężenia i gradientu prędkości możemy zdefiniować powierzchnię plastyczności dla polikryształu. W zależności od tego w
jaki sposób przy definicji tej powierzchni wprowadzamy mikrostrukturę polikryształu powierzchnie plastyczności dla polikryształu możemy podzielić na
11
• fizyczne powierzchnie plastyczności - np. powierzchnia Taylora-Bishopa-Hilla
zdefiniowana jako obwiednia lokalnych powierzchni plastyczności Schmida dla pojedynczego ziarna i powstała przy wykorzystaniu stowarzyszoności prawa płynięcia i
założenia Taylora,
• fizyczno-fenomenologiczne powierzchnie plastyczności, gdzie proponując równanie opisujące powierzchnię wprowadza się do niego informację o mikrostrukturze
N
X
g=1
γg
¶2n
M µ r,g
X
n · σ · mr,g
r=1
τcr,g
−K =0
gdzie γg , nr,g , mr,g i τcr,g są zdefiniowane jak poprzednio (dodatkowy indeks g oznacza,
że wielkości te mogą być różne w poszczególnych ziarnach). Wielkość K i wykładnik
n są stałymi materiałowymi,
• fenomenologiczne powierzchnie plastyczności np. powierzchnia Hubera-Misesa
dla metali. W przypadku takich powierzchni mikrostruktura występuje w teorii w
sposób mocno uproszczony np. teksturę materiału uwzględniamy przyjmując anizotropową powierzchnię plastyczności i poszukując parametrów ją określających w
testach wytrzymałościowych. Taki typ powierzchni plastyczności prowadzi nas do
klasycznego sformułowania teorii plastyczności.
Rysunek 8 przedstawia trzy z powyższych typów powierzchni plastyczności dla przypadku agregatu o losowym rozkładzie orientacji ziaren. Wszystkie ziarna są ziarnami typu
A1. Jak można zauważyć otrzymujemy zbliżone kształty powierzchni. Sytuacja komplikuje się w przypadku materiałów z teksturą. W wyniku procesu walcowania dla różnych
kierunków w materiale otrzymujemy różne wartości naprężeń uplastyczniających.
5
Literatura
1. W. Gambin, K. Kowalczyk Plastyczność metali, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa
2003
2. K. Przybyłowicz Podstawy teoretyczne metaloznastwa, WNT, Warszawa 1999
3. S. Erbel, K. Kuczyński, M. Marciniak Obróbka plastyczna, PWN Warszawa 1986
4. W. Olszak, P. Perzyna, A.Sawczuk Teoria plastyczności, PWN Warszawa, 1965
5. M. Życzkowski Obciążenia złożone w teorii plastyczności
12
6
Objaśnienia do sformułowań matematycznych
1. W miejsce tradycyjnego (inżynierskiego) oznaczania osi układu współrzędnych
przez {x, y, z} stosujemy oznaczenia {x1 , x2 , x3 }. Powoduje to następującą zmianę
poszczególnych oznaczeń
x → x1 ,
vx → v1 ,
σxx → σ11 ,
y → x2 ,
vy → v2 ,
σxy → σ12 ,
z → x3
i.t.p.
vz → v3 ,
...,
i.t.p.
σzz → σ33 ,
2. Czcionką pogrubioną i wielkimi literami oznaczamy tensory. Tensor możemy utożsamiać z jego współrzędnymi w rozważanym układzie współrzędnych. Współrzędne
te możemy zapisać jako macierz o wymiarze 3 x 3


F11 F12 F13
F −→ Fij , i, j = 1, 2, 3 −→  F21 F22 F23 
F31 F32 F33
3. W sformułowanym modelu często mamy do czynienia z operacją nasunięcia dwóch
tensorów. Operację tą możemy utożsamiać z mnożeniem macierzy współrzędnych np.:
  e

 p
p
p 
e
e
R11 R12
F11 F12 F13
R13
F11 F12
F13
p
p
p 
e
e
e 
R22
F21
F22
F23
R23
F = Re Fp −→  F21 F22 F23  =  R21
,
p
p
p
e
e
e
F31 F32 F33
R31
R32
R33
F31
F32
F33
a więc F11 =
p
e
R11
F11
+
p
e
R12
F21
+
p
e
R13
F31
=
3
X
p
e
R1k
Fk1
k=1
p
p
p
e
e
e
=
+ Ri3
F3j
+ Ri2
F2j
i ogólnie Fij = Ri1
F1j
3
X
p
e
Rik
Fkj
,
i, j = 1, 2, 3.
k=1
4. Dla skrócenia zapisu stosujemy konwencję sumacyjną. Według tej konwencji jeżeli
jakiś indeks powtarza się we wzorze dwa razy, to należy wykonać po nim sumowanie
od 1 do 3. Według tej konwencji powyższy wzór możemy zapisać (opuszczamy znak
sumy):
3
X
p
p
e
e
Fij =
Rik
Fkj
, i, j = 1, 2, 3 −→ Fij = Rik
Fkj
.
k=1
5. Tensor opisujący sztywny obrót jest tzw. tensorem
warunek


R11 R21
R11 R12 R13
RRT = I −→  R21 R22 R23   R12 R22
R13 R23
R31 R32 R33
13
ortogonalnym t.zn. spełnia

 
1 0 0
R31
R32  =  0 1 0  .
0 0 1
R33