Klasyczna definicja prawdy Alfreda Tarskiego i prawda w modelach

Klasyczna definicja prawdy Alfreda Tarskiego i
prawda w modelach skończonych
Marek Czarnecki
15 stycznia 2009
1
Twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności prawdy
arytmetycznej
1.1
Pojęcie spełniania
Słownikiem nazywamy czwórkę (P, F, C, ar), gdzie P jest zbiorem predykatów, F zbiorem symboli funkcyjnych, C zbiorem stałych, a ar : P ∪ F → N
jest funkcją arności. Zakładamy, że zbiory P, F, C są parami rozłączne.
Każdy słownik wyznacza zbiór termów oraz formuł.
Niech σ = ({Pi }i≤r , {fi }i≤s , {ci }i≤t , ar) będzie słownikiem. Przez Var oznaczać będziemy przeliczalny zbiór zmiennych indywiduowych. Zbiór Trmσ
termów nad słownikiem σ definiujemy indukcyjnie, jako najmniejszy zbiór
spełniający warunki:
• Każda zmienna jest termem,
• Każda stała ci , dla i ≤ t jest termem,
• Dla i ≤ s, jeżeli t1 , ..., tar(fi ) są termami, to f (t1 , ..., tar(fi ) ) również jest
termem.
Formułą atomową nad σ nazywamy dowolne wyrażenie postaci: t1 = t2 oraz
Pi (t1 , ..., tar(Pi ) ), gdzie i ≤ r, a t1 , t2 , ..., tar(Pi ) ∈ Trmσ . Zbiór Fσ formuł
słownika σ definiujemy jako najmniejszy zbiór spełniający warunki:
• Każda formuła atomowa jest formułą,
• Dla ϕ, ψ ∈ Fσ zachodzi ¬ϕ ∈ Fσ i ϕ ∨ ψ ∈ Fσ ,
• Dla v ∈ Var oraz ϕ ∈ Fσ również ∀vϕ ∈ Fσ .
Modelem słownika σ nazywamy czwórkę: A = (A, {Ri }i≤r , {Fi }i≤s , {ai }i≤t ),
gdzie A jest niepustym zbiorem zwanym uniwersum modelu i oznaczanym
przez |A|, Ri ⊆ Aar(Pi ) są relacjami na A dla i ≤ r interpretującymi odpowiednie predykaty, Fi : Aar(fi ) → A są funkcjami dla i ≤ s interpretującymi
odpowiednie symbole funkcyjne oraz ai ∈ A są elementam modelu interpetującymi odpowiednie stałe dla i ≤ t. Klasę modeli nad słownikiem σ
oznaczamy przez Modσ .
1
Wartościowaniem w modelu A nazywamy dowolną funkcję v : Var → |A|.
Przez v(xi /a) oznaczamy wartościowanie v 0 takie, że dla j 6= i zachodzi
v(xj ) = v 0 (xj ) oraz v 0 (xi ) = a. W naturalny sposób rozszerzamy pojęcie
wartościowania na termy:
• v(ci ) = ai dla i ≤ t,
• v(fi (t1 , ..., tar(fi ) )) = Fi (v(t1 ), ..., v(tar(fi ) )) dla i ≤ s.
Relacja spełniania |= jest relacją pomiędzy modelami, formułami i wartościowaniami. Dla danych A ∈ Modσ , ϕ(xi1 , ..., xik ) ∈ Fσ oraz wartościowania v przez indukcję definiujemy pojęcie A |= ϕ(xi1 , ..., xik )[v] spełniania
formuły ϕ(xi1 , ..., xik ) w modelu A przez wartościowanie v:
• A |= (t = t0 )[v], gdy v(t) = v(t0 ),
• A |= Pi (t1 , ..., tar(Pi ) )[v], gdy (v(t1 ), ..., v(tar(Pi ) )) ∈ Ri ,
• A |= ¬ϕ[v], gdy A 6|= ϕ[v],
• A |= ϕ ∨ ψ[v], gdy A |= ϕ[v] lub A |= ψ[v],
• A |= ∀xϕ[v], gdy dla dowolnego b ∈ |A| A |= ϕ[v(x/b)].
1.2
Klasyczna definicja prawdy i twierdzenie Tarskiego
W 1933 roku Alfred Tarski w swojej pracy Pojęcie prawdy w językach
nauk dedukcyjnych pokazał, jak można w naukowy sposób uprawiać semantykę. Był to wielki przełom w sposobie patrzenia na język nauki, zdominowany wówczas propagowanym przez Rudolfa Carnapa podejściem, polegającym na badaniu wyłącznie składni języka. Wynikało to w dużej mierze
z powszechnego przekonania, że badania nad semantyką w istotny sposób
wykraczają poza nasze możliwości poznawcze, i że jedynym aspektem języka dającym się sensownie opisywać jest składnia, ponieważ podczas rozważań na poziomie semantycznym wikłamy się w antynomie — takie jak na
przykład słynne antynomialne zdanie Eubulidesa: Ja teraz kłamię. Praca
Tarskiego doprowadziła do rewizji sposobu patrzenia na badania nad językiem, kładąc fundament dla badań z dziedziny semantyki, których pierwszym
ważnym wynikiem jest właśnie twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności
prawdy.
W 1931 roku Kurt Gödel podał przykład prawdziwego zdania arytmetycznego, które nie może być dowiedzione na gruncie systemu z Principia
Mathematica, oraz którego negacja również jest w nim niedowodliwa. Oczywiście twierdzenie o niezupełności nie odnosi się jedynie do tego jednego
systemu formalnego. Analizując klasyczny dowód twierdzenia o niezupełności arytmetyki można wyabstrahować warunki wystarczające, by móc przeprowadzić ten dowód. Jednym z ważniejszych lematów, z których Gödel
korzysta jest — wyodrębniony po raz pierwszy przez Carnapa — lemat
przekątniowy, pozwalający konstruować zdania samoodnoszące, dla dowolnej
formuły z co najmniej jedną zmienną wolną. To właśnie możliwość wykorzystania samoodniesienia jest jednym z kluczowych składników potrzebnych
2
do dowodu obu omawianych tutaj twierdzeń. Gödel pokazał, że w standardowej arytmetyce można udowodnić lemat przekątniowy. Podamy teraz
pewną wersję tego lematu.
Twierdzenie 1. (Lemat przekątniowy) Niech K będzie wystarczająco silną
klasą formuł arytmetycznych oraz niech ϕ(x) ∈ K będzie formułą z jedną
zmienną wolną x. Wtedy istnieje zdanie ψ ∈ K takie, że N |= ψ ≡ ϕ(pψq).
Powyższe twierdzenie niewiele mówi, dopóki nie wyjaśnimy co znaczy
wystarczająco silna klasa formuł arytmetycznych, oraz w jaki sposób można
nazywać zdania wewnątrz języka (klasy formuł), co oznaczaliśmy powyżej za pomocą symboli p q. Gödel wymyślił sposób w jaki można zarytmetyzować język, czyli kodować (nazywać) formuły za pomocą liczb oraz
pokazał, że gdy możemy skonstruować w języku formuły Name(x) oraz
Subst0 (x, y) takie, że Name(x) = y wyraża fakt, że y jest nazwą liczby
x oraz Subst0 (x, y) = z gdy z jest nazwą formuły powstającej z formuły
o nazwie x przez podstawienie w miejsce pierwszej zmiennej termu o nazwie y, wtedy też możemy udowodnić lemat przekątniowy. Idea zawarta w
dowodzie polega właśnie na próbie rekonstrukcji samoodnoszenia wyrażeń
języka — tak jak w przypadku, gdy rozważamy zdanie: Ja teraz kłamię —
wypowiadając to zdanie twierdzimy coś o naszej aktualnej wypowiedzi.
Drugą istotną własnością języka wykorzystywaną w dowodzie twierdzenia
Tarskiego jest domkniętość na negację. Zauważmy, że łatwo możemy skonstruować zdania samoodnoszące, które nie są antynomialne, jak na przykład:
To zdanie składa się z siedmiu słów. Zdanie to jest po prostu prawdziwe,
a jego wartość logiczna nie budzi naszych wątpliwości, mimo iż odnosi się
ono samo do siebie. Konieczność domknięcia na negację rozważanego języka
jest istotna — antynomia Eubulidesa opiera się na zdaniu, które orzeka o sobie, że nie jest prawdzie, zdanie Gödla orzeka o sobie, że nie jest dowodliwe
w danym systemie formalnym. Przedstawimy teraz twierdzenie Tarskiego
o niedefiniowalności prawdy.
Twierdzenie 2. (Tarskiego o niedefiniowalności prawdy) Dla dowolnej klasy
formuł arytmetycznych K zawierającej ∆00 oraz domkniętej na konstrukcje
pierwszego rzędu — w tym na negację — nie istnieje formuła ϕ(x) ∈ K
z jedną zmienną wolną x taka, że dla dowolnego zdania ψ ∈ K zachodzi
N |= ψ ≡ ϕ(pψq).
Zauważmy, że to co nazywaliśmy wystarczającą siłą wyrazu teorii zostało
wyeksplikowane jako ∆00 ⊆ K — faktycznie zarówno formułę Name(x) jak
i Subst0 (x, y) możemy zdefiniować jako ∆00 –formuły. Uwzględniona została
też konieczność domknięcia na negację klasy K — zauważmy, że klasy formuł
Σ0n i Π0n zawierają ∆00 dla dowolnego n ≥ 1, jednak mieszczą w sobie własne
definicje prawdy — nie są zatem domknięte na negację.
Twierdzenie Tarskiego dostarcza nam również bardzo użytecznego narzędzia do klasyfikacji języków pod względem ich siły semantycznej. Pokazuje
ono, że gdy staramy się określić semantykę, dla pewnego języka bazowego
L0 musimy posługiwać się pewnym silniejszym językiem L1 , oraz że L0 nie
może wystarczać do tego celu. Z drugiej strony, gdy rozważając siłę semantyczną dwóch różnych języków L0 i L1 skonstruujemy w L1 definicję prawdy
3
dla zdań z L0 , natychmiastowo możemy wywnioskować, że siła semantyczna
L1 musi znacząco przewyższać siłę semantyczną L0 .
1.3
Dowód twierdzenia Tarskiego o niedefiniowalności prawdy
arytmetycznej
Na początku udowodnimy odpowiednią wersję lematu przekątniowego.
Twierdzenie 3. Niech K będzie klasą wszystkich formuł arytmetycznych
pierwszego rzędu oraz niech ϕ(x) ∈ K będzie formułą z jedną zmienną wolną
x. Wtedy istnieje zdanie ψ ∈ K takie, że N |= ψ ≡ ϕ(pψq), gdzie N jest
standardowym modelem arytmetyki.
Dowód. Ustalmy ϕ(x) formułę aytmetyczną z jedną zmienną wolną x. W
klasie formuł K mamy funkcje Name(x) oraz Subst0 (x, y) o następujących
własnościach:
• N |= Name(n) = ps(...s( 0)...)q,
| {z }
n
• N |= Subst0 (pϕ(x)q, ptq) = pϕ(t)q,
gdzie p q jest funkcją zwracającą kod dowolnego ciągu symboli arytmetycznych, s jest funkcją następnika, t jest dowolnym termem arytmetycznym.
Wprowadzimy teraz kilka pomocniczych definicji:
• ζ(x) ≡df ϕ(Subst0 (x, Name(x))),
• m = pζ(x)q,
• ψ ≡df ζ(m).
Następujące wyrażenia są równoważne w N :
• ψ,
• ζ(m),
• ζ(pζ(x)q),
• ϕ(Subst0 (pζ(x)q, Name(m))),
• ϕ(pζ(m)q)
• ϕ(pψq).
Posiadając lemat przekątniowy z łatwością dowodzimy twierdzenia Tarskiego o niedefiniowalności prawdy arytmetycznej.
Twierdzenie 4. Nie istnieje formuła arytmetyczna ϕ(x) z jedną zmienną
wolną x taka, że dla dowolnego zdania arytmetycznego ψ zachodzi N |=
ϕ(pψq) ≡ ψ.
4
Dowód. Załóżmy przeciwnie, że istnieje formuła ϕ(x), o własnościach jak
w twierdzeniu. Zastosujemy lemat przekątniowy do formuły ¬ϕ(x) - niech
zdanie ψ0 będzie zdaniem przekątniowym, czyli N |= ψ0 ≡ ¬ϕ(pψ0 q). Z
drugiej jednak strony, z założenia wiadomo, że ϕ(x) jest definicją prawdy
dla zdań arytmetycznych, mamy więc w szczególności dla zdania ψ0 N |=
ψ0 ≡ ϕ(pψ0 q). Otrzymujemy zatem N |= ψ0 ≡ ¬ψ0 – co jest niemożliwe.
2
2.1
Definicje prawdy
Definicja prawdy dla arytmetyki pierwszego rzędu
Pokażemy teraz w jaki sposób w arytmetyce drugiego rzędu zdefiniować
prawdę dla wszystkich zdań arytmetycznych pierwszego rzędu.
Ustalmy pewne kodowanie składni arytmetycznej. Formuły rozumiemy
jako (zbudowane w odpowiedni sposób) ciągi nad alfabetem złożonym z symboli: s, +, ×, (, ), ¬, ⇒, ∀, v,0 , =, 0. Dla dowolnego symbolu α niech α będzie
kodem α (pewną liczbą naturalną). Skończone ciągi nazywamy w nastepujący sposób: pα0 , ..., αn q = pα0 0 +1 . . . pαnn +1 . Kodowanie, które otrzymujemy
jest różnowartościowe.
Niech value(x) będzie funkcją częściową, określoną jedynie dla nazw termów zamkniętych, zwracającą ich wartość. Niech Form(x) będzie predykatem prawdziwym o nazwach poprawnie zbudowanych formuł arytetycznych i
niech Form0 (x) będzie predykatem prawdziwym o nazwach formuł zamkniętych. Niech Term(x) będzie predykatem prawdziwym o nazwach termów
oraz niech Var(x) będzie predykatem prawdziwym o nazwach zmiennych.
Zbiory definiowane przez powyższe predykaty są pierwotnie rekurencyjne,
zatem wyrażalne w arytmetyce pierwszego rzędu. Trójargumentowa funkcja
Subst(x, y, z) działa podobnie do rozważanej wcześniej funkcji Subst0 (x, z),
z taką różnicą, że Subst(x, y, z) zwraca kod formuły będącej podstawieniem
o nazwie z do formuły o nazwie x za zmienną o nazwie y. Symbolem ∗
oznaczamy kontatenację ciągów.
Opiszemy teraz formułę Φ(P ) z dodatkowym predykatem P . Naszą intencją jest wyrażenie faktu, że P jest zbiorem (kodów) zdań prawdziwych
pierwszego rzędu.
∀x(P (x) ⇒ Form0 (x))∧
∀x∀y((Term(x) ∧ Term(y) ∧ Form0 (x ∗ = ∗ y)) ⇒
(P (x ∗ = ∗ y) ≡ value(x) = value(y)))∧
∀x(Form0 (x) ⇒ (P (¬ ∗ x) ≡ ¬P (x)))∧
∀x∀y((Form0 (x) ∧ Form0 (y)) ⇒
(P (( ∗ x ∗ ⇒ ∗ y ∗ )) ≡ (P (x) ⇒ P (y))))∧
∀x∀y((Form(x) ∧ Form0 (∀ ∗ y ∗ x) ∧ Var(y)) ⇒
(P (∀ ∗ y ∗ x) ≡ ∀zP (Subst(x, y, Name(z))))).
Przez indukcję ze względu na długość ciągów definiujących formuy możemy pokazać, że:
N |= ∀P ∀P 0 ((Φ(P ) ∧ Φ(P 0 )) ⇒ ∀x(P (x) ≡ P 0 (x))).
5
Zatem istnieje co najwyżej jeden zbiór P ⊂ N taki, że gdy zinterpretujemy P jako nazwę P, to formuła Φ(P ) będzie prawdziwa w N . Istnienie
takiego zbioru P pokazujemy przez przykład:
P = {pϕq : ϕ jest zdaniem pierwszego rzędu i N |= ϕ}.
Możemy zatem zdefiniować na dwa sposoby predykat arytmetyczny Tr(x)
prawdziwości dla zdań arytmetycznych pierwszego rzędu.
• ∀x(Tr(x) ≡ ∃P (Φ(P ) ∧ P (x))),
• ∀x(Tr(x) ≡ ∀P (Φ(P ) ⇒ P (x))).
Przez indukcję ze względu na długość ciągu definiującego zdanie ϕ możemy udowodnić następujące twierdzenie:
Twierdzenie 5. Dla dowolnego zdania arytmetycznego pierwszego rzędu ϕ
zachodzi N |= ϕ ≡ Tr(pϕq).
Zatem formuła Tr(x) jest definicją prawdy dla zdań arytmetycznych
pierwszego rzędu.
2.2
Klasy formuł zawierające własne definicjie prawdy
Wprowadzimy najpierw kilka oznaczeń. Przez ∆00 (również Σ00 i Π00 ) oznaczymy klasę formuł arytmetyki dodawania i mnożenia, w których wszystkie kwantyfikatory są ograniczone. Formuły Σ0n są następującej postaci:
∃x1 ∀x2 ...Qxn ϕ(x1 , ..., xn , y1 , ..., yk ), gdzie Q jest ∀ dla n parzystych, a ∃
dla n nieparzystych oraz ϕ(x1 , ..., xn , y1 , ..., yk ) jest formułą ∆00 . Podobnie
definiujemy klasę Π0n , z tą różnicą, że pierwszy kwantyfikator jest ogólny.
Na mocy twierdzenia o preneksowej postaci normalnej oraz możliwości
wyrażania rzutowań dla par uporządkowanych za pomocą formuł ∆00 wiemy,
że każda formuła arytmetyczna równoważna jest w modelu standardowym
pewnej formule Σ0n .
Podobnych oznaczeń używamy dla klasyfikowania relacji arytmetycznie
definiowalnych (definiowalnych za pomocą formuł pierwszego rzędu z dodawaniem i mnożeniem). Mówimy, że relacja jest Σ0n (Π0n ), dla n ≥ 1, jeżeli
jest definiowalna w modelu standardowym przez pewną formułę Σ0n (Π0n ).
Dla n ≥ 1 relacja jest ∆0n dokładnie wtedy, gdy jest zarazem Σ0n oraz Π0n .
W szczególności wiadomo, że Σ01 są to dokładnie relacje rekurencyjnie przeliczalne. Relacje ∆01 są to dokładnie relacje rekurencyjne. Relacje ∆02 określa
się też jako relacje rekurencyjne w granicy. W szczególności wiadomo, że
zbiór relacji ∆01 zawarty jest w zbiorze relacji Σ01 (każda relacja rekurencyjna
jest rekurencyjnie przeliczalna), wszystkie relacje Σ01 lub Π01 są również ∆02 .
Najpierw pokażemy w jaki sposób możemy wyrazić prawdę dla formuł
0
∆0 za pomocą formuły Σ01 (a również Π01 ), czyli pokażemy, że w klasach Σ01
oraz Π01 są definicje prawdy dla ∆00 .
Z dowolną formułą ψ ∈ ∆00 możemy związać jej drzewo składniowe.
Drzewo to jest skończone i możemy badać jego własności w języku arytmetyki, czyli: jednoznacznie kodować drzewa, definiować wierzchołki, liście,
korzeń, bycie potomkiem oraz bycie przodkiem, itp. Wszystkie powyższe
6
pojęcia związane z drzewami możemy wyrażać za pomocą formuł ∆00 . Na
podstawie drzewa składniowego budujemy indukcyjnie względem budowy
formuły kolejne drzewo. Modyfikujemy drzewo syntaktyczne ψ w następujący sposób:
• Dla spójników logicznych pozostawiamy drzewo bez zmian,
• Dla kwantyfikatorów organiczonych ∀x<n ϕ(x, y) oraz ∃x<n ϕ(x, y) kładziemy odpowiedni kwantyfikator jako etykietę wierzchołka oraz tworzymy n potomków – ϕ(0, y), . . . , ϕ(n − 1, y).
Liście uzyskanego w ten sposób drzewa to zamknięte formuły atomowe.
Tworzymy kopię uzyskanego drzewa zmieniając jedynie etykiety. Etykiety
liści są zerami i jedynkami w zależności od prawdziwości zdań, które są etykietami odpowiadających im liści pierwszego drzewa. Prawdziwość całego
zdania zależy od etykiety korzenia drugiego drzewa, którą poznamy etykietując w odpowiedni sposób całe drugie drzewo zerami i jedynkami. PredyΣ0
kat Tr∆10 , czyli Σ01 –definicją prawdy dla zdań z ∆00 definiujemy następująco.
Σ0
0
Tr∆10 (x) dokładnie wtedy, gdy x jest ∆00 zdaniem i istnieją drzewa y oraz z,
0
które spełniają odpowiednie warunki. Warunki te są czysto algorytmiczne –
dla pierwszego drzewa wynikają z jego indukcyjnej konstrukcji, dla drugiego
drzewa natomiast wynikają z warunków Tarskiego w definicji spełniania.
Π0
Π0
Analogicznie defniujemy predykat Tr∆10 . Tr∆10 (x) dokładnie wtedy, gdy
0
0
x jest ∆00 zdaniem i dla dowolnych drzew y oraz z, jeżeli spełniają one odpowiednie warunki, to korzeń drugiego drzewa ma etykietę 1.
Ponieważ wszystkie pojęcia potrzebne do ścisłego zapisu powyższych
definicji można wyrazić za pomocą ∆00 formuł otrzymujemy odpowiednio
Σ0
(po sprowadzeniu do postaci normanej) Tr∆10 (x) ≡df ∃y∃zϕ1 (x, y, z) oraz
Π0
Tr∆10 (x)
0
0
≡df ∀y∀zϕ2 (x, y, z), gdzie ϕ1 , ϕ2 ∈ ∆00 .
Pokażemy teraz, że klasy Σ01 oraz Π01 zawierają definicje własne prawdy.
Wiadomo, że można efektywnie sprowadzać formuły do postaci normalnej. Niech f : Σ01 → Σ01 będzie funkcją przyporządkowującą formułom Σ01
ich postaci normalne (aby f była funkcją przyjmujemy, że f zwraca formułę
o najmniejszym kodzie Gödla) takie, że f (θ) = ∃v0 ϕ, gdzie ϕ ∈ ∆00 . Ponieważ f jest rekurencyjna (∆01 ) istnieje Σ01 formuła ψ(x, y) reprezentująca
f . Niech ψ(x, y), wtedy przez ŷ oznaczymy ∆00 –formułę taką, że y = ∃v0 ŷ.
Podobnie dla funkcji f 0 : Π01 → Π01 sprowadzającej do postaci normalnej formuły Π01 istnieje Σ01 formuła ψ 0 (x, y) reprezentująca f 0 . Tu również przez ŷ
oznaczymy kod formuły powstającej z formuły o kodzie y przez pominięcie
kwantyfikatora.
Σ0
Definiujemy TrΣ01 (x) = ∃y(ψ(x, y) ∧ ∃zTr∆10 (Subst0 (ŷ, Name(z))).
0
Π0
Analogicznie TrΠ01 (x) = ∀y(ψ 0 (x, y) ⇒ ∀zTr∆10 (Subst0 (ŷ, Name(z))).
0
Po sprowadzeniu do postaci normalnych łatwo zauważyć, że TrΣ01 (x) ∈ Σ01
oraz TrΠ01 (x) ∈ Π01
Za pomocą indukcji możemy pokazać, że dla n > 1 Σ0n oraz Π0n zawierają
własne definicje prawdy. Z twierdzenia o postaci normalnej wiemy, że każdą
7
formułę Σ0n+1 (Π0n+1 ) można (rekurencyjnie) sprowadzić do postaci ∃xϕ1
(∀xϕ2 ), gdzie ϕ1 ∈ Π0n (ϕ2 ∈ Σ0n ), funkcję tłumaczącą do postaci normalnej
reprezentuje formuła ψn (ψn0 ). Założenie idukcyjne to: istnieje Σ0n definicja
prawdy TrΣ0n dla zdań z Σ0n oraz istnieje Π0n definicja prawdy TrΠ0n dla zdań
z Π0n . Niech ŷ będzie kodem formuły powstającej z formuły o kodzie y przez
usunięcie pierwszego kwantyfikatora. Mamy następujące definicje prawdy:
TrΣ0n+1 (x) = ∃y(ψn (x, y) ∧ ∃zTrΠ0n (Subst0 (ŷ, Name(z))),
TrΠ0n+1 (x) = ∀y(ψ 0 (x, y) ⇒ ∀zTrΣ0n (Subst0 (ŷ, Name(z))).
Inne przykłady klas, w których ograniczona została możliwość wyrażania
negacji to klasy Σ11 , Π11 , czy EFPL (Existential Fixed-Point Logic). Σ1 to
klasa formuł drugiego równoważnych logicznie formułom postaci ∃f1 ...∃fn ϕ,
gdzie ϕ jest pierwszego rzędu, a f1 , ..., fn są zmiennymi drugiego rzędu (Π11
definiujemy analogicznie zamieniając kwantyfikatory na ogólne). EFPL jest
rozszerzeniem EL (Existential Logic), w której negację można stosować jedynie do formuł atomowych, o operator najmniejszego punktu stałego. Wszystkie powyższe klasy zawierają własne definicje prawdy.
3
Prawda w modelach skończonych
Definicja 1. Niech K będzie pewną klasą formuł ustalonego słownika σ.
Powiemy, że σ–formuła ϕ(x) jest FM–definicją prawdy dla K, gdy dla dowolnego zdania ψ ∈ K i dla prawie wszystkich (wszystkich poza skończoną
liczbą) skończonych σ–modeli M zachodzi:
M |= ψ ≡ ϕ(pψq)
Niech R ⊆ ω r będzie relacją arytmetyczną, wtedy R(n) = R ∩ {0, ..., n −
1}n .
W naszych rozważaniach ograniczamy się do skończonych modeli (o słownikach relacyjnych), których uniwersa są segmentami początkowymi liczb
naturalnych. Dla dowolnego modelu A ustalonego słownika relacyjnego
σ = {R1 , ..., Rk } definiujemy FM–dziedzinę FM(A) = {An : n = 0, 1, 2, ...},
(n)
(n)
gdzie An = ({0, ..., n − 1}, R1 , ..., Rk ).
Wprowadzimy następujące oznaczenie:
FM(A) |=sl ψ wtedy i tylko wtedy, gdy ∃k∀n > k An |= ψ.
O zdaniu ψ powiemy w takim wypadku, że jest prawdziwe w FM–dziedznie
FM(A) (prawdziwe w dostatecznie dużych modelach z FM(A)).
Definicja 2. Niech R ⊆ ω k będzie relacją arytmetyczną. Powiemy, że R
jest FM–reprezentowana przez formułę ϕ(x1 , ..., xk ) w FM–dziedzinie FM(A)
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a1 , ..., ak ∈ ω spełnione są następujące warunki:
1. FM(A) |=sl ϕ[a1 , ..., ak ] wtedy i tylko wtedy, gdy R(a1 , ..., ak ),
2. FM(A) |=sl ¬ϕ[a1 , ..., ak ] wtedy i tylko wtedy, gdy ¬R(a1 , ..., ak ).
8
Powiemy, że R jest FM–reprezentowalna w FM(A), jeżeli istnieje formuła
ϕ, która FM–reprezentuje R w FM(A).
Twierdzenie 6. (Twierdzenie o FM–reprezentowalności dla FM(N )) Niech
R będzie relacją arytmetyczną. R jest FM–reprezentowalna w FM(N ) wtedy
i tylko wtedy, gdy R ∈ ∆02 .
Powyższe twierdzenie mówi nam, o jakich relacjach arytmetycznych można
sensownie mówić w modelach skończonych. Z naszego punktu widzenia ∆02
jest dużym zbiorem – równoważnie zawiera on relacje stopnia ≤ 00 , czy rekurencyjne z rekurencyjnie przeliczalną wyrocznią. Jak wspominaliśmy funkcje
Name(x) oraz Subst0 (x, y) są definiowalne przy pomocy ∆00 formuł – zatem
również należą do klasy ∆02 .
Twierdzenie 7. Nie istnieje formuła arytmetyczna ϕ(x) z jedną zmienną
wolną taka, że dla dowolnego zdania arytmetycznego ψ zachodzi FM(N ) |=sl
ψ ≡ ϕ(pψq).
Powyższe twierdzenie to FM–wersja twierdzenia Tarskiego o niedefiniowalności prawdy arytmetycznej. Jego dowód jest analogiczny do klasycznego: najpierw dowodzimy lematu przekątniowego w wersji skończonomodelowej, czyli że dla dowolnej formuły ϕ(x) z jedną zmienną wolną x istnieje zdanie ψ takie, że FM(N ) |=sl ψ ≡ ϕ(pψq). Ponieważ Name(x) i
Subst(x, y) są FM–reprezentowalne, od pewnego miejsca (dla dostatecznie
dużych modeli) ich wartość logiczna się ustala (i jest zgodna z ich wartością logiczną w modelu standardowym) – stąd dostajemy tezę. Przy pomocy
skończonej wersji lematu przekątniowego łatwo dowieść skończonej wersji
Twierdzenia Tarskiego.
Chcemy pokazać, że w przeciwieństwie do modelu standardowego, już
względna pierwszość wystarczy, by wyrażać własności semantyczne – i wystarczy, by udowodnić odpowiednią wersję twierdzenia o niedefiniowalności
prawdy. W modelu standardowym arytmetyka mnożenia jest rozstrzygalna.
To pociąga rozstrzygalność arytmetyk podzielności i względnej pierwszości.
W teoriach tych nie da się również zdefiniować predykatu prawdy – ich języki są zbyt ubogie. Czego brakuje zatem, by otrzymać pełną moc arytmetyki (bądź przynajmniej wystarczającą, by mówić o semantyce)? Odpowiedź brzmi – porządku. Przy pomocy mnożenia, w modelu standardowym,
nie możemy zdefinować porządku. Co zatem dają nam modele skończone?
Rozważmy następującą definicję: a ≺ b ≡ ∃c a × b ∧ ¬∃c c × b. Wykorzystujemy fakt, że pewne elementy nie mieszczą się w modelu ustalonej wielkości,
by odtworzyć porządek na pewnym fragmencie początkowym tego modelu.
Fragment ten rośnie nieograniczenie, gdy zwiększamy rozpatrywane modele.
Trochę trudniejszy trick da nam interpretację FM–dziedziny pełnej arytmetyki FM(N ) w FM((ω, ⊥)). Interpretację buduje się na indekach liczb
pierwszych. Co prawda 2 nie jest definiowalne w języku względnej pierwszości (bo nie sposób odróżnić 2 od 4, czy na przykład 8), jednak następujące
dwa lematy pokazują o czym możemy powiedzieć w tym języku.
Lemat 1. Następujące formuły są definiowalne w języku względnej pierwszości:
9
• P (x) ≡df ∀y∀z (¬z ⊥ x ∧ ¬y ⊥ x ⇒ ¬z ⊥ y) (x jest potęgą liczby
pierwszej),
• {p, q} ≡df ∀z (z ⊥ a ≡ (z ⊥ p ∧ z ⊥ q)) funkcja zdefiniowana dla par
liczb p i q, zwracająca jako wartość klasę elementu a ≈ pq.
Następujący lemat pokazuje wyrażalność w języku z samym predykatem
⊥ następujących predykatów, pozwalających na operowanie na klasach równoważności relacji ≈.
Lemat 2. Istnieją formuły ϕ∪ (x, y, z), ϕ∩ (x, y, z) oraz ϕ− (x, y, z) spełniające w dowolnym modelu względnej pierwszości M następujące warunki:
• M |= ϕ∪ [a, b, c] wtedy i tylko wtedy, gdy Supp(a) ∪ Supp(b) = Supp(c),
• M |= ϕ− [a, b, c] wtedy i tylko wtedy, gdy Supp(a)−Supp(b) = Supp(c),
• M |= ϕ∩ [a, b, c] wtedy i tylko wtedy, gdy Supp(a) ∩ Supp(b) = Supp(c),
dla dowolnych a, b, c ∈ |M |.
Możemy teraz zdefiniować bardzo ważną dla naszych potrzeb relację ≺,
którą wyrażać będzie następująca formuła:
ϕ≺ (x, y) ≡df ∃z (P (z) ∧ x ⊥ z ∧ y ⊥ z ∧ ∃w ϕ∪ (x, z, w) ∧ ¬∃w ϕ∪ (y, z, w))
Jest to szukany przez nas porządek na klasach indeksów liczb pierwszych. Porządek ten pozwala zdefiniować następnik. Następnie dowodzi się
twierdzenia, że formuły FM–reprezentowalne w FM((ω, ⊥)), gdy do języka
dołożymy pseudoporządek ≺ domknięte są na rekursję prostą. Otrzymujemy dodawanie i mnożenie na klasach indeksów liczb pierwszych. Dodatkowo pokazujemy, że jeżeli R jest relacją arytmetyczną to jej tłumaczenie
na indeksy liczb pierwszych R∗ jest FM–reprezentowalna w FM((ω, ⊥)), dokładnie wtedy, gdy R była FM–reprezentowalna w FM(N ).
Biorąc teraz dowolne kodowanie Gödla p q formuł arytmetycznych (dodatkowo z ⊥) i definiując GN(x) = ppxq otrzymujemy FM–wersję twierdzenia
Tarskiego o niedefiniowalności prawdy dla FM((ω, ⊥)).
Twierdzenie 8. (FM–wersja lematu przekątniowego dla FM((ω, ⊥))) Dla
dowolnej formuły w języku względnej pierwszości ϕ(x) z jedną zmienną wolną
x istnieje zdanie ψ spełniające następujący warunek:
FM((ω, ⊥)) |=sl ψ ≡ ϕ(GN(ψ)).
Dowód. Pokazaliśmy, że w FM(N ) FM–reprezentowalne są funkcje Name(x)
oraz Subst(x, z). Wiemy również, że dzięki istnieniu interpretacji skończonych modeli arytmetyki dodawania i mnożenia w skończonych modelach
względnej pierwszości, w FM((ω, ⊥)) FM–reprezentowalne są Name∗ (x)
oraz Subst∗ (x, z) — tłumaczenia tych funkcji na klasy równoważności relacji ≈ liczb pierwszych.
Jeżeli GN(ψ) jest kodem formuły ψ, takim jaki zdefiniowaliśmy w jednym z
wcześniejszych punktów niniejszej pracy: GN(ψ) = ppψq , to Name∗ (x) oraz
Subst∗ (x, z) spełniają następujące warunki:
10
• FM((ω, ⊥)) |=sl Subst∗ (GN(ϕ(x)), GN(t)) = GN(ϕ(t))
• FM((ω, ⊥)) |=sl Name∗ (x) = GN(s(s...s(0)))
| {z }
x
Przedstawimy teraz następujące pomocnicze definicje:
Niech ζ(x) ≡df ϕ(Subst∗ (x, Name∗ (x))),
Niech m =df GN(ζ(x)),
Niech ψ ≡df ζ(m).
Chcemy pokazać, że:
FM((ω, ⊥)) |=sl (ψ ≡ ϕ(GN(ψ))).
W dostatecznie dużych modelach z FM((ω, ⊥)) równoważne są następujące
formuły:
• ψ
• ζ(m)
• ζ(GN(ζ(x)))
• ϕ(Subst∗ (GN(ζ(x)), Name∗ (GN(ζ(x)))))
• ϕ(GN(ζ(Name∗ (GN(ζ(x))))))
• ϕ(GN(ζ(m)))
• ϕ(GN(ψ))
Twierdzenie 9. (FM–wersja twierdzenia Tarskiego dla FM((ω, ⊥))) Nie
istnieje formuła ϕ(x) z jedną zmienną wolną x w języku względnej pierwszości
taki, że dla dowolnego zdania ψ w języku względnej pierwszości zachodzi:
FM((ω, ⊥)) |=sl (ϕ(GN(ψ)) ≡ ψ)
Dowód. Załóżmy nie wprost, że ϕ(x) istnieje. Stosujemy FM–wersję lematu
przekątniowego dla FM((ω, ⊥)) i formuły ¬ϕ(x) i otrzymujemy istnienie takiego zdania ψ, że:
FM((ω, ⊥)) |=sl ψ ≡ ¬ϕ(GN(ψ))
Ponieważ ϕ jest FM–definicją prawdy, więc zachodzi:
FM((ω, ⊥)) |=sl ψ ≡ ϕ(GN(ψ))
Zatem:
FM((ω, ⊥)) |=sl ψ ≡ ¬ψ
Sprzeczność — ϕ(x), będące FM–definicją prawdy dla FM((ω, ⊥)) nie może
istnieć.
11