Rozciąganie i ściskanie prętów – projektowanie

Rozciąganie i ściskanie prętów –
projektowanie
3
Sposób rozwiązywania prętów rozciąganych/ściskanych został omówiony w rozdziale 2. Zadania projektowe sprowadzają się do określenia wymiarów przekroju poprzecznego pręta na podstawie warunku nośności i/lub warunku użytkowania.
Warunek nośności – sprawdzenie, czy naprężenia w projektowanym elemencie nie
przekraczają naprężeń dopuszczalnych. W przypadku prętów rozciąganych/ściskanych warunek nośności możemy zapisać w postaci:
|σ |max ≤ k
(3.1)
gdzie:
|σ |max — maksymalna wartość naprężeń normalnych rozciągających/ściskających
w rozpatrywanym elemencie,
k
— naprężenia dopuszczalne na rozciąganie kr lub ściskanie kc
dla przyjętego materiału.
Warunek użytkowania – sprawdzenie, czy przemieszczenia projektowanego elementu nie przekraczają przemieszczeń dopuszczalnych. W przypadku prętów rozciąganych/ściskanych warunek użytkowania możemy zapisać w postaci:
| λ |max ≤ λdop
gdzie:
| λ |max — maksymalne przemieszczenie rozpatrywanego elementu,
λdop
— przemieszczenie dopuszczalne.
(3.2)
3.2
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 3.1.
Zaprojektować pręt o przekroju kołowym (rys. 3.1) z warunku nośności i/lub warunku użytkowania. Dopuszczalne naprężenia na rozciąganie są równe kr = 180 MPa ,
natomiast wydłużenie pręta nie może przekroczyć λdop = 2 mm . Dane: P = 60 000 N ,
E = 210 000 MPa , l = 2 m .
Rys. 3.1
Rozwiązanie
Siła osiowa N (rys. 3.2) w dowolnym przekroju pręta jest równa:
N = P = 60 000 N
Rys. 3.2
Naprężenia normalne określamy na podstawie zależności (2.3):
σ =
N
A
gdzie A jest polem powierzchni przekroju poprzecznego pręta, równym:
A=
π d2
4
Warunek nośności zapiszemy zatem w postaci:
σ max =
N
4N
=
≤ kr
A π d2
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę pręta:
d2 ≥
d ≥2
4N
π kr
N
π kr
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
d≥2
60 000
= 20,60 mm
π ⋅ 180
Wydłużenie pręta pod działaniem siły osiowej N opisuje zależność (2.4):
λ=
Nl
EA
3.3
Rozciąganie i ściskanie prętów – projektowanie
Warunek użytkowania zapiszemy zatem w postaci:
λ max =
Nl
4N l
=
≤ λdop
EA E π d 2
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę pręta:
d2 ≥
d≥2
4N l
E π λdop
Nl
E π λdop
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
d ≥2
60 000 ⋅ 2000
= 19,07 mm
210 000 ⋅ π ⋅ 2
Decydujący jest warunek nośności, dlatego należy przyjąć minimalną średnicę
pręta równą 20,6 mm. Warunek użytkowania będzie spełniony, a wydłużenie pręta
będzie równe:
λ=
4N l
Eπd
2
=
4 ⋅ 60 000 ⋅ 2000
210 000 ⋅ π ⋅ (20,6)2
= 1,7 mm < λdop
3.4
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 3.2.
Zaprojektować z warunku nośności pręt o przekroju pierścieniowym ( dz /dw = 1,5 )
obciążony siłą P = 60 000 N (rys. 3.3). Dopuszczalne naprężenia na rozciąganie wynoszą kr = 150 MPa .
Rys. 3.3
Rozwiązanie
Siła osiowa N (rys. 3.4) w dowolnym przekroju pręta jest równa:
N = P = 60 000 N
Rys. 3.4
Naprężenia normalne określamy na podstawie zależności (2.3):
σ =
N
A
gdzie A jest polem powierzchni przekroju poprzecznego pręta, równym:
A=
2
2
π (d z2 − dw
) π [(1,5dw )2 − dw
]
2
=
= 0,3125 π dw
4
4
Warunek nośności zapiszemy zatem w postaci:
σ max =
N
N
=
≤ kr
2
A 0,3125 π dw
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę wewnętrzną
pręta:
2
≥
dw
dw ≥
N
0,3125 π kr
N
0,3125 π kr
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
dw ≥
60 000
= 20,19 mm
0,3125 ⋅ π ⋅ 150
Średnica zewnętrzna pręta jest równa:
dz = 1,5 dw = 30,28 mm
3.5
Rozciąganie i ściskanie prętów – projektowanie
Uzyskane wyniki zaokrąglamy do wartości całkowitych – średnicę wewnętrzną
w dół do wartości dw = 20 mm , natomiast średnicę zewnętrzną w górę do wartości
dz = 31 mm . Dla tak zaprojektowanego pręta naprężenia normalne są równe:
σ max =
4N
π (d z2
2
− dw
)
=
4 ⋅ 60 000
π (312 − 202 )
= 136,2 MPa < kr
3.6
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 3.3.
Zaprojektować z warunku użytkowania pręt o przekroju prostokątnym ( b /h = 3 )
obciążony siłami jak na rys. 3.5. Wydłużenie całkowite pręta nie może przekroczyć
λdop = 1,5 mm . Dane: P = 20 000 N , E = 70 000 MPa , l = 600 mm .
Rys. 3.5
Rozwiązanie
Siły osiowe N (rys. 3.6) w poszczególnych odcinkach pręta są równe:
N BC = 2P
N CD = P
Rys. 3.6
Wydłużenie pręta pod działaniem sił osiowych jest zatem równe, zgodnie z zależnością (2.4):
λ=
N BC l N CD l 2P l P l
3P l
+
=
+
=
EA
EA
EA EA EA
gdzie A jest polem powierzchni przekroju poprzecznego pręta, równym:
A = bh = b
b 1 2
= b
3 3
Warunek użytkowania zapiszemy zatem w postaci:
λ max =
3P l
9P l
=
≤ λdop
EA E b2
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną szerokość pręta:
b2 ≥
b≥3
9P l
E λdop
Pl
E λdop
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
b≥3
20 000 ⋅ 600
= 32,07 mm
70 000 ⋅ 1,5
Po zaokrągleniu do wartości całkowitych, otrzymujemy wymiary przekroju poprzecznego pręta równe:
b = 33 mm
h = 11 mm
Rozciąganie i ściskanie prętów – projektowanie
Dla tak zaprojektowanego pręta, wydłużenie będzie równe:
λ max =
3P l
3 ⋅ 20 000 ⋅ 600
=
= 1,42 mm < λdop
E bh 70 000 ⋅ 33 ⋅ 11
3.7
3.8
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 3.4.
Zaprojektować z warunku nośności pręt 3-stopniowy o przekroju kołowym obciążony jak na rys. 3.7. Dopuszczalne naprężenia na rozciąganie są równe kr = 180 MPa .
Przy stopniowaniu średnic wału przyjąć założenie D /d ≤ 1,2 oraz przyjąć średnice
uprzywilejowane, wg PN-M-02041. Dla zaprojektowanego pręta obliczyć wydłużenie
całkowite. Dane: P = 90 000 N , E = 210 000 MPa , l = 500 mm .
Rys. 3.7
Rozwiązanie
Siły osiowe N (rys. 3.8) w poszczególnych odcinkach pręta są równe:
N 1 = 3P = 270 000 N
N 2 = 2P = 180 000 N
N 3 = P = 90 000 N
Rys. 3.8
Najbardziej obciążonym jest odcinek 1. pręta. Naprężenia normalne w tym odcinku
określamy na podstawie zależności (2.3):
σ1 =
N1
A1
gdzie A1 jest polem powierzchni przekroju poprzecznego pręta, równym:
A1 =
π d12
4
Warunek nośności zapiszemy zatem w postaci:
σ max =
N 1 4N 1
=
≤ kr
A1 π d12
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę pręta:
d12 ≥
d1 ≥ 2
4N 1
π kr
N1
π kr
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
d1 ≥ 2
270 000
= 43,70 mm
π ⋅ 180
3.9
Rozciąganie i ściskanie prętów – projektowanie
Dobieramy najbliższą, większą od wyznaczonej, średnicę uprzywilejowaną. Zgodnie
z normą przyjmujemy d1 = 45 mm .
Określamy średnice kolejnych stopni pręta. Dla odcinka 2. mamy:
d1
≤ 1,2
d2
d2 ≥
d1 45
=
= 37,5 mm
1,2 1,2
Na podstawie normy przyjmujemy d2 = 38 mm .
Dla odcinka 3. otrzymujemy:
d2
≤ 1,2
d3
d3 ≥
d2 38
=
= 31,67 mm
1,2 1,2
Na podstawie normy przyjmujemy d3 = 32 mm .
Dla tak zaprojektowanego pręta naprężenia normalne (rys. 3.9) są równe:
σ1 =
σ2 =
4N 1
=
4N 2
=
π d12
π d22
σ3 =
4N 3
π d32
4 ⋅ 270 000
=
= 169,8 MPa < kr
π ⋅ 452
4 ⋅ 180 000
= 158,7 MPa < kr
π ⋅ 382
4 ⋅ 90 000
π ⋅ 322
= 111,9 MPa < kr
Wydłużenie całkowite pręta (rys. 3.9) jest równe sumie wydłużeń poszczególnych
odcinków:
N l
4N 1 l
4 ⋅ 270 000 ⋅ 500
λ1 = 1 =
=
= 0,4042 mm
2
E A1 E π d1
210 000 ⋅ π ⋅ 452
λ2 =
4N 2 l
N2 l
4 ⋅ 180 000 ⋅ 500
=
=
= 0,3779 mm
2
E A2 E π d2 210 000 ⋅ π ⋅ 382
λ3 =
N3 l
4N 3 l
4 ⋅ 90 000 ⋅ 500
=
=
= 0,2664 mm
2
E A3 E π d3 210 000 ⋅ π ⋅ 322
λ max = λ1 + λ2 + λ3 = 0,4042 + 0,3779 + 0,2664 = 1,0485 mm
Rys. 3.9