Technika regulacji automatycznej 0.5cm Wykład 5

Technika regulacji automatycznej
Wykład 5
Wojciech Paszke
Instytut Sterowania i Systemów
Informatycznych,
Uniwersytet Zielonogórski
1 z 38
Plan wykładu
Kompensator wyprzedzający
Kompensator opóźniający
2 z 38
Plan wykładu
Kompensator wyprzedzający
Kompensator opóźniający
2 z 38
Kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej
Podstawowe założenia:
• kształtujemy charakterystykę układu otwartego aby uzyskać:
◦ pożądane (duże) wzmocnienie w zakresie niskich częstotliwości
aby minimalizować błąd w stanie ustalonym i minimalizację wpływu
zakłóceń
◦ odpowiednią częstotliwość graniczną wzmocnienia
aby otrzymać pożądane pasmo przenoszenia (szybkość odpowiedzi)
◦ odpowiednie zapasy fazy i wzmocnienia
3 z 38
Kompensator wyprzedzający
Transmitancja
C (s) =
1 + sT
1 + sαT
gdzie α < 1.
Zadanie
Dobrać parametry α i T tak aby uzyskać dla układu otwartego
założony zapas fazy PM = ϕ. Dzięki temu możliwa będzie redukcja
oscylacji na wykresie odpowiedzi skokowej.
4 z 38
Kompensator wyprzedzający
Własności kompensatora
• maksymalne przesuniecie fazy w przód to
φm = sin−1
1−α
1+α
• maksymalne przesuniecie fazy w przód dla częstotliwości
1
ωm = √
αT
• maksymalne wzmocnienie dla ωm wynosi
√
20 log( α) = 10 log(α)
5 z 38
Kompensator wyprzedzający (T = 1, α = 0.125)
Bode Diagram
Magnitude (dB)
20
15
10
5
Phase (deg)
0
60
30
0
−2
10
6 z 38
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Kompensator wyprzedzający
Własności kompensatora
1
• T1 ¬ ωm ¬ αT
• maksymalne wzmocnienie dla ωm to połowa sumy wzmocnienia
początkowego i końcowego
w praktyce możemy użyć tabeli
α
φm
Gm [dB]
7 z 38
1/2
19.5
3.01
1/3
30
4.77
1/4
38.9
6.02
1/5
41.8
6.99
1/6
45.6
7.78
1/8
51.1
9.03
1/10
54.9
10.0
Kompensator wyprzedzający
Procedura projektowania dla wymaganego PM=ϕ
• wyznacz zapas fazy układu bez kompensatora φ
• biorąc pod uwagę margines bezpieczeństwa , określ wymagany
zapas fazy do uzyskania przez kompensator
φm = ϕ − φ + gdzie = 5 ÷ 18
• Dobierz parametr α z odpowiednich równań lub tabeli
• Wyznacz wartość 10 log α (albo odczytaj z tabeli) i określ
częstotliwość gdzie wzmocnienie układu bez kompensatora jest
−10 log α [dB]. Ta częstotliwość to ωBW
• wykreśl wykresy Bode’go i ewentualnie powtórz całą procedurę
8 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład
Dana jest transmitancja obiektu
G (s) =
6
s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)
Dla tego obiektu:
• Zapas fazy jest mały, PM=15 [deg]
• Pożądane jest zwiększenie PM do ok. 40 [deg] (przeregulowanie
η = 25%)
9 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład
Bode Diagram
Gm = 6.02 dB (at 4.47 rad/sec) , Pm = 15.6 deg (at 3.1 rad/sec)
Magnitude (dB)
50
0
−50
−100
−150
−90
Phase (deg)
−135
−180
−225
−270
−1
10
10 z 38
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Kompensator wyprzedzający - przykład
Projektowanie kompensatora
• Wymagane przesuniecie fazowe to ok. 40 [deg]
(40 − 15.6 + ) = 40 gdy = 15.6
i kompensator musi przesuwać fazę o 40 [deg].
• = 5 − 10 [deg] dla obiektów względnego stopnia 2, = 12 − 18
[deg] dla obiektów względnego stopnia 3.
• Z tabeli α może być 1/4 lub 1/5. Przykładowo wybieramy α = 1/5
czyli = 17.4 i wzmocnienie to 6.99[dB].
11 z 38
Kompensator wyprzedzający - przykład
Projektowanie kompensatora
• Z charakterystyki obiektu (G(s)) odczytujemy, że
|G (jω)| ' −7[dB] dla ω = 4.74
• Oznacza to, że
4.74 =
1
czyli T = 0.472
T 1/5
p
• transmitancja kompensatora to
C (s) =
12 z 38
1 + 0.472s
1 + 0.094s
Kompensator wyprzedzający - przykład
Bode Diagram
Gm = 11 dB (at 10.2 rad/sec) , Pm = 39.6 deg (at 4.72 rad/sec)
20
Magnitude (dB)
0
−20
−40
−60
−80
−90
z kompensacja
bez kompensacji
Phase (deg)
−135
−180
−225
−270
0
10
13 z 38
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
Kompensator wyprzedzający - przykład
Step Response
1.8
bez kompensacji
z kompensacja
1.6
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
14 z 38
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna
Cel metody
Chcemy aby układ otwarty C (s)G (s) miał wzmocnienie
|C (s)G (s)| = 1 i przesunięcie fazowe ϕ − 180o + PM dla
częstotliwości s = jωgc
K (jωgc )G (jωgc ) = Kc
jωgc τz + 1
MG e jθG = 1e j(−180+PM)
jωgc τp + 1
gdzie MG i θG to wzmocnienie (ale nie w dB) i faza G (jω) dla
ω = ωgc
15 z 38
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna
Cel metody
Dokonując separacji równania na część rzeczywistą i urojoną
otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi: τz i τp
Rozwiązanie:
1 + Kc MG cos(PM − θG )
−ωgc Kc MG sin(PM − θG )
cos(PM − θG ) + KC MG
τp =
ωgc sin(PM − θG )
τz =
16 z 38
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna-przykład
Dany jest obiekt
G (s) =
400
s(s 2 + 30s + 200)
Należy zaprojektować kompensator wyprzedzający tak aby uzyskać
następujące wskaźniki jakościowe:
• essramp ¬ 10% - błąd w stanie ustalonym dla sygnału liniowo
narastającego
• ωgc = 14 [rad/sec]
• PM = 45o
17 z 38
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna-przykład
Błąd w stanie ustalonym
essramp =
1
gdzie Kv = lim s(Kc G )
s→0
Kv
Aby essramp ¬ 0.1 to Kv = 10. Oznacza to, że Kc = 5, gdyż
lim s(G ) =
s→0
18 z 38
400
=2
200
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna-przykład
Dla ω = ωgc = 14[rad/sec]
• MG = 0.068
• θG = −180o
Wynik obliczeń:
• τz = 0.227
• τp = 0.038
Kompensator
C (s) = 5
19 z 38
0.227s + 1
0.038s + 1
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna-przykład
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
−50
−100
−150
−45
bez kompensacji
z kompensatorem
Phase (deg)
−90
−135
−180
−225
−270
−1
10
20 z 38
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna-przykład
Step Response
1.4
bez kompensacji
z kompensatorem
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
21 z 38
2
2.5
PD versus kompensator wyprzedzający
Idealny i rzeczywisty PD
Kp + Kd s
Kp +
Kd s
sTd + 1
W przypadku rzeczywistego PD
PD(s) = Kp
Td +
Kd
Kp
s +1
Tds + 1
Wnioski:
• PD jest bardzo podobny do kompensatora wyprzedzającego
• PD ma biegun w nieskończoności
22 z 38
Kompensator opóźniający
Transmitancja
C (s) =
1 + sT
1 + sαT
gdzie α > 1.
Własności:
• wprowadza opóźnienie więc zmniejsza PM (tendencja destabilizacji)
• nie używamy dla układów niestabilnych
• zmniejsza błąd w stanie ustalonym
• zmniejsza częstotliwość graniczną wzmocnienia (ωgc ) -
spowolnienie odpowiedzi układu.
23 z 38
Kompensator opóźniający
Metoda analityczna
Cel metody
Chcemy aby układ otwarty C (s)G (s) miał wzmocnienie
|C (s)G (s)| = 1 i przesunięcie fazowe ϕ − 180o + PM dla
częstotliwości s = jωgc
K (jωgc )G (jωgc ) = Kc
jωgc τz + 1
MG e jθG = 1e j(−180+PM)
jωgc τp + 1
gdzie MG i θG to wzmocnienie (ale nie w dB) i faza G (jω) dla
ω = ωgc
24 z 38
Kompensator opóźniający
Metoda analityczna
Dokonując separacji równania na część rzeczywistą i urojoną
otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi: τz i τp
Rozwiązanie:
1 + Kc MG cos(PM − θG )
−ωgc Kc MG sin(PM − θG )
cos(PM − θG ) + KC MG
τp =
ωgc sin(PM − θG )
τz =
25 z 38
Kompensator opóźniający
Metoda analityczna-przykład
Dany jest obiekt
G (s) =
10
s(s + 5)
Należy zaprojektować kompensator opóźniający, tak aby uzyskać
następujące wskaźniki jakościowe:
• essramp ¬ 5% - błąd w stanie ustalonym dla sygnału liniowo
narastającego
• ωgc = 2 [rad/sec]
• PM = 40o
26 z 38
Kompensator opóźniający
Metoda analityczna-przykład
Błąd w stanie ustalonym
essramp =
1
gdzie Kv = lim s(Kc G )
s→0
Kv
Aby essramp ¬ 0.05 to Kv = 20. Oznacza to, że Kc = 10, gdyż
lim s(G ) =
s→0
27 z 38
10
=2
5
Kompensator opóźniający
Metoda analityczna-przykład
Dla ω = ωgc = 2[rad/sec]
• MG = 0.9285
• θG = −111.8014o
Wynik obliczeń:
• τz = 0.8186
• τp = 8.8920
Kompensator
C (s) = 10
28 z 38
0.8186s + 1
8.8920s + 1
Kompensator opóźniający
Metoda analityczna-przykład
Bode Diagram
100
Magnitude (dB)
bez kompensacji
z kompensatorem
50
0
−50
Phase (deg)
−100
−90
−135
−180
−3
10
29 z 38
−2
10
−1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
PI versus kompensator opóźniający
Transmitancja regulatora PI
Kp +
Ki
s
Sprowadzając do wspólnego mianownika otrzymujemy
s + KKpi
Kp s + Ki
PI (s) =
= Kp
s
s
Wnioski:
• PI jest bardzo podobny do kompensatora opóźniającego
• PI ma biegun w zerze
30 z 38
Projektowanie kompensatora
Metoda analityczna 2
Metoda dla kompensatora postaci
C (s) =
1 + αTs
1 + Ts
gdzie α < 1 daje wyprzedzenie a α > 1 opóźnienie.
Własności:
• Przesunięcie fazowe dla częstotliwości ω
p = tg φ =
αωT − ωT
1 + (ωT )2 α
• Wzmocnienie (w [dB]) dla częstotliwości ω
M
c = 10 10 =
31 z 38
1 + (ωαT )2
1 + (ωT )2
Projektowanie kompensatora
Metoda analityczna 2
Możemy sprawdzić, że
(p 2 − c + 1)α2 + 2p 2 cα + p 2 c 2 + c 2 − c = 0
gdzie wymagane jest aby c > p 2 + 1.
Rozwiazując powyższe równanie otrzymujemy
1
T =
ω
s
1−c
c − α2
Uwaga! dla opóźnienia φ < 0, M < 0 i c <
32 z 38
1
1+p 2
Projektowanie kompensatora
Metoda analityczna 2
Procedura postępowania (wyprzedzenie)
1. Wybrać częstotliwość ω = ωgc
2. Określić wymagany PM a przez to wymagany φ
3. Sprawdzić czy φ > 0 i M > 0
4. Sprawdzić zależność c > p 2 + 1
5. Określić parametr α
6. Określić parametr T
7. Powtórzyć całą procedurę jeśli to jest wymagane
33 z 38
Projektowanie kompensatora
Metoda analityczna 2 - przykład
Dany jest układ
G (s) =
10
s2
Wymagania jakościowe:
• PM = 45o
• Częstotliwość graniczna fazy ωgc = 5[rad/sec]
34 z 38
Projektowanie kompensatora
Metoda analityczna 2 - przykład
Bode Diagram
30
Magnitude (dB)
20
10
0
−10
−20
−179
Phase (deg)
−179.5
−180
−180.5
−181
1
35 z 38
2
3
4
5
6
Frequency (rad/sec)
7
8
9
10
Projektowanie kompensatora
Metoda analityczna 2 - przykład
Wymagane φ = 45o i M = 8[dB]
p = tg(45o ) = 1;
8
c = 10 10 = 6.31
Rozwiązując odpowiednie równania otrzymujemy
α = 5.84;
T = 0.087
Transmitancja kompensatora
C (s) =
36 z 38
1 + 0.515s
1 + 0.087s
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna 2 - przykład
Bode Diagram
Magnitude (dB)
100
50
0
−50
−100
−120
Phase (deg)
bez kompensacji
z kompensatorem
−150
−180
−1
10
37 z 38
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Kompensator wyprzedzający
Metoda analityczna 2 - przykład
Step Response
2
bez kompensacji
z kompensatorem
1.8
1.6
Amplitude
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
38 z 38
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
3
3.5
4
4.5
5