uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego

PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
z. 95
Transport
2013
Marek Maciejewski
Politechnika Poznaska, Instytut Maszyn Roboczych i Pojazdów Samochodowych
Tomasz Maciejewski
Politechnika Poznaska, Instytut Informatyki
UWARUNKOWANIE MAKROSKOPOWYCH
MODELI RUCHU DROGOWEGO
Rkopis dostarczono, kwiecie 2013
Streszczenie: W artykule zebrano podstawowe równania makroskopowych modeli przepywu ruchu
drogowego i przedstawiono je w jednolitej macierzowej formie, zaniedbujc przy tym oddziaywania
o charakterze dyfuzyjnym. Na bazie tego przegldu zdefiniowano wszystkie elementy macierzy dla
rónych modeli przepywu ruchu. Okrelenie wartoci wasnych dla poszczególnych klas i podklas
modeli byo podstaw do wyznaczenia miar uwarunkowania macierzy: promieni spektralnych oraz
wskaników uwarunkowania. Miary te zostay wykorzystane do porównania sformuowa modeli
ruchu i oceny potencjalnej efektywnoci obliczeniowej makroskopowych modeli ruchu drogowego.
Sowa kluczowe: modele makroskopowe ruchu, uwarunkowanie modeli
1. WPROWADZENIE
Modele ruchu drogowego przedstawiaj zjawiska i procesy ruchu w formie zalenoci
matematycznych. Modele te klasyfikuje si zwykle wedug stopnia idealizacji (lub
poziomu abstrakcji) opisu ruchu, wyróniajc przy tym dwie formy podstawowe, tj.
modele makroskopowe i mikroskopowe. Modele mikroskopowe (zindywidualizowane)
opieraj si na interakcji pojazdów (kierowców) midzy sob, a take z otoczeniem,
natomiast modele makroskopowe (zagregowane) w ogóle nie odnosz si bezporednio do
tego typu zalenoci, lecz opisuj ruch jako przepyw pewnego (fikcyjnego) orodka
cigego, przedstawiany w ujciu fenomenologicznym, tj. bez wnikania w jego dyskretn
(mikroskopow) struktur. W mechanice pynów t niewidoczn, dyskretn struktur
wewntrzn stanowi molekuy, a odpowiednio w ruchu drogowym – pojazdy. Dalsze
rozwaania niniejszego artykuu dotycz wycznie modeli makroskopowych.
W modelach makroskopowych, przepyw (ruch) wspomnianego cigego orodka
charakteryzuje si pewnymi swoistymi wasnociami, co opisuje si zazwyczaj w ramach
310
Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski
rachunku róniczkowego (lub cakowego), przy czym wykorzystuje si do tego celu takie
zagregowane wielkoci (zmienne), jak natenie, gsto oraz prdko. Z uwagi na cigy
charakter opisu orodka, bezporednie rozwizanie zagadnienia przepywowego jest
moliwe jedynie w oparciu o zastosowanie metod analizy matematycznej. Nie jest to
jednak podejcie realne w sytuacji rozwaania bardziej zoonych ukadów drogowych.
Wówczas jedynym wyjciem pozostaje dyskretyzacja zagadnienia (opisanie jego
zachowania nie w odniesieniu do wszystkich, nieskoczenie wielu punktów obszaru, lecz
tylko do wybranych punktów ukadu zdefiniowanego zazwyczaj siatk obliczeniowa) oraz
jego aproksymacja (wyraenie dziaania operatorów róniczkowych za porednictwem
odpowiadajcych dziaa na funkcjach), co w rezultacie prowadzi do rozwizania ukadu
równa algebraicznych (przybliajcych wyjciowy ukad równa róniczkowych). Takie
przyblione rozwizania otrzymuje si zwykle przy wykorzystaniu metod numerycznych,
przez co charakteryzuj si one du efektywnoci obliczeniow (w porównaniu do
metod analitycznych).
O jakoci makroskopowych modeli ruchu decyduje przede wszystkim adekwatno
uzyskiwanych rezultatów, natomiast o jakoci rozwiza symulacyjnych stanowi
dokadno i stabilno opracowanych metod rozwizania i zastosowanych algorytmów
numerycznych. Oznacza to jednoczenie, e wpyw na jako procesu rozwizania ma z
jednej strony posta sformuowa wyjciowych modelu, a z drugiej strony – przyjta
dyskretyzacja i aproksymacja zagadnienia. W niniejszej publikacji odniesiemy si
wycznie do pierwszej z obu kwestii, a wic do potencjalnej zdolnoci ukadu
wyjciowych równa modelu do „krzepkiego” i efektywnego rozwizania.
W zakresie makroskopowym do opisu przepywu ruchu stosuje si wiele rozmaitych
modeli charakteryzujcych si rónymi formami równa i tym samym bardzo rónymi
moliwociami uzyskania dokadnego, stabilnego i efektywnego rozwizania. Moliwo
uzyskania wymienionych cech rozwizania na poziomie satysfakcjonujcym zaley zatem
równie od oceny samych sformuowa wyjciowych (na poziomie cigym). Do takiego
oszacowania uzasadnione jest wykorzystanie standardowych miar uwarunkowania jakimi
s promie spektralny i wskanik uwarunkowania.
W pierwszej kolejnoci, w artykule zostan zebrane i przedstawione w jednolitej postaci
podstawowe sformuowania rónych modeli przepywu ruchu drogowego. Na tej bazie
zostan zdefiniowane wszystkie elementy macierzy wspóczynników dla rónych modeli
przepywu ruchu. Okrelenie wartoci wasnych dla poszczególnych klas i podklas modeli
bdzie podstaw do wyznaczenia miar uwarunkowania macierzy: promieni spektralnych
oraz wskaników uwarunkowania. Miary te zostan wykorzystane do przeprowadzenia
porówna modeli, a tym samym równie oceny potencjalnej efektywnoci obliczeniowej
makroskopowych modeli ruchu drogowego.
2. PRZEGLD MODELI MAKROSKOPOWYCH
Celem modeli makroskopowych jest moliwie wierne opisanie wszelkich zjawisk
zwizanych z przebiegiem ruch drogowego poprzez wyraenie ich za porednictwem
zagregowanych wielkoci (tj. natenia, gstoci i prdkoci) charakteryzujcych przepyw
Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego
311
ruchu w oderwaniu od zachowania si pojedynczych pojazdów. Proces powstawania i
doskonalenia modeli ruchu by procesem dugotrwaym i stopniowo prowadzi do coraz
doskonalszych matematycznych opisów przepywu ruchu. Pocztkowe modele odnosiy
si jedynie do standardowych sytuacji ruchowych i zawodziy w obliczu bardziej
zoonych warunków ruchu i konfiguracji ukadów drogowych. Byy to tzw. modele
jednorównaniowe, nazywane pocztkowo modelami pierwszego rzdu. Sprowadzay si
zwykle do prostego zwizku róniczkowego definiujcego równanie równowagi, czyli
równanie cigoci ruchu, zapewniajce zachowanie „masy przepywu”, co w ujciu
dyskretnym oznacza, e zmiana liczby pojazdów w ukadzie jest zalena jedynie od
zadeklarowanych warunków brzegowych. Równanie to, nazywane modelem LWR
(Lighthill–Whitham–Richards) [1, 2], jest standardowo uzupeniane ogólnym zwizkiem
pomidzy zmiennymi (parametrami ruchu), a take dodatkow zalenoci wynikajc z
wykresu podstawowego (diagramu fundamentalnego), zwykle zalenoci prdkoci (lub
natenia) od gstoci. Odpowiednio do formy tego zwizku, mona mówi o modelach:
Greenshieldsa, Greenberga, Underwooda, Drewa, Pipesa–Munjala albo innych. Niestety,
model jednorównaniowy okaza si uomny, gdy wyraa lokalne warunki równowagi w
sposób „statyczny”, tj. zmiana warunków brzegowych natychmiastowo skutkowaa nowym
stanem równowagi ukadu, bez jakiejkolwiek ewolucji poprzedniego stanu ruchu do stanu
nowego, a wic bez odzwierciedlenia dynamiki przebiegu ruchu.
Z myl o usuniciu nieprawidowoci modelu LWR powstay modele dwurównaniowe
(„drugiego rzdu”), które zawieraj dodatkowe równanie róniczkowe (odpowiednik
równania zachowania pdu z dynamiki pynów) wyraajce dynamik ruchu, a konkretnie
opisujce proces dostosowywania si prdkoci do warunków ruchu. W tej sytuacji forma
modeli dwurównaniowych wykazuje istotne podobiestwo do opisu przepywu pynów
ciliwych (gazów). Nie jest to jednak pene podobiestwo z uwagi na:
x wyprzedzajc reakcj kierowców w stosunku do warunków ruchu w dole drogi,
x asymetryczno („anizotropowo”) reakcji kierowców w odniesieniu do stanu ruchu
w dole i górze drogi.
Opisane zachowania kierowców modyfikuj standardowe oddziaywania o charakterze
konwekcyjnym, a oprócz tego uwzgldniaj równie oddziaywania dyfuzyjne okrelane
jako relaksacja ruchu, tj. tonowanie denia do szybkiego osignicia stanu równowagi.
Z uwagi na to, e oszacowanie jakoci i efektywnoci sformuowa modeli ruchu (cel
artykuu) jest w gównej mierze uzalenione od oddziaywa konwekcyjnych, w dalszych
rozwaaniach nad modelami ruchu pominite zostan oddziaywania dyfuzyjne, co
niekiedy bdzie skutkowa pewn zmian opisu teoretycznego modeli wzgldem ich
sformuowa oryginalnych. Ujte w takiej formie podstawowe modele ruchu zostan
zwile przedstawione w kolejnych akapitach jako przypadki szczególne uogólnionego i
ujednoliconego opisu ruchu.
Wyjciowy model przepywu ruchu przyjto w nastpujcej ogólnej formie:
൤
ܽଵଵ
߲௧ ߩ
൨ ൅ ቂܽ
߲௧ ‫ݑ‬
ଶଵ
ܽଵଶ ߲௫ ߩ
Ͳ
ܽଶଶ ቃ ൤߲௫ ‫ݑ‬൨ ൌ ቂͲቃ ,
(1)
przy czym poszczególne symbole oznaczaj: ‫ – ݐ‬czas, ‫ – ݔ‬przestrze (droga), ߩ – gsto,
డሺȉሻ
†ሺȉሻ
‫ – ݑ‬prdko, ߲ఈ ሺȉሻ ൌ
i ሺȉሻఉ ൌ
(gdzie ߙwynosi‫ݐ‬lub‫ݔ‬, a ߚȂߩl—b ‫ – )ݑ‬operatory
డఈ
†ఉ
312
Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski
róniczkowania (zwyczajny i czstkowy). Z kolei wielkoci ܽଵଵ ǡ ܽଵଶ ǡ ܽଶଵ ǡ ܽଶଶ s pewnymi
uogólnionymi (w tym momencie jeszcze nieokrelonymi) parametrami modeli ruchu.
Dwurównaniowe modele ruchu skadaj si z równania cigoci przepywu (model
LWR) jako staego elementu tego ukadu, oraz z równania dynamiki ruchu, które decyduje
o ostatecznym ksztacie i wasnociach ukadu. Model LWR ma nastpujc standardow
posta:
߲௧ ߩ ൅ ‫߲ݑ‬௫ ߩ ൅ ߩ߲௫ ‫ ݑ‬ൌ Ͳ ,
(2)
co powoduje, e w ukadzie równa (1) ܽଵଵ ൌ ‫ݑ‬, a ܽଵଶ ൌ ߩ, i tym samym przyjmuje on
posta:
‫ݑ‬
ߩ ߲௫ ߩ
߲ߩ
Ͳ
൤ ௧ ൨ ൅ ቂܽ
ቃ൤
൨ൌቂ ቃ.
(3)
ܽ
߲௧ ‫ݑ‬
Ͳ
ଶଵ
ଶଶ ߲௫ ‫ݑ‬
Powysza, ogólna posta dwurównaniowego modelu makroskopowego jest podstaw do
opisu i analizy wielu istniejcych rozwiza w tym zakresie. Poszczególne modele zostan
poniej zdefiniowane w zalenoci od formy wielkoci ܽଶଵ i ܽଶଶ .
Podobnie jak równanie cigoci, równanie dynamiki ruchu drogowego nawizuje do
wyranie do równania zachowania pdu, przez co w jego sformuowaniu wystpuj
wielkoci i czony charakterystyczne dla równania Naviera–Stokesa (przepyw lepki).
Poniewa w niniejszej publikacji z zaoenia pominito oddziaywania dyfuzyjne,
równanie dynamiki ruchu wykazuje istotne podobiestwo do równania Eulera dla orodka
ciliwego. Z tej przyczyny, do opisu dynamiki ruchu wprowadza si pojcie cinienia ‫݌‬,
które charakteryzuje antycypacj, a take prdko dwiku ܿ଴ rozumian jako prdko
propagacji zaburze ruchu drogowego. Cinienie ‫( ݌‬jako czynnik antycypacyjny) zaley
od gstoci (i ewentualnie prdkoci) ruchu, co moe mie stosowne konsekwencje dla
prdkoci dwiku ܿ଴ . Formalnie (zgodnie z dynamik pynów), prdko dwiku jest
definiowana jako:
ܿ଴ ൌ ට
†௣
†ఘ
‫ ؠ‬ඥ‫݌‬ఘ
(4)
i naley do jednych z istotnych wyróników modeli ruchu, które poniej zostan pokrótce
przedstawione.
Model PW (Payne–Whitham) [3, 4], w wersji bez czonów dyfuzyjnych, charakteryzuje
si nastpujcymi formami wielkoci ܽଶଵ iܽଶଶ (3):
ܽଶଵ ൌ െ
ଵ
ଶఛ
‫ݑ‬ఘ ܽଶଶ ൌ ‫ ݑ‬,
(5)
gdzie ߬ jest sta czasow. W póniejszych sformuowaniach modelu PW przyjmuje si
alternatywnie:
ଵ
௖బమ
ఘ
ఘ
ܽଶଵ ൌ ‫݌‬ఘ ൌ
,
(6)
gdzie ܿ଴ ma zwykle sta warto. Istotn wad modeli PW jest m.in. ich niestabilno,
szczególnie przy duych gstociach ruchu.
Model PH (Phillips) [5] uwzgldniajc dodatkowo zachowanie energii, mia w swoim
Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego
313
zamierzeniu poprawi niedomagania modeli PW, m.in. poprzez zdefiniowanie cinienia w
funkcji gstoci:
ఘ
(7)
‫ ݌‬ൌ ߩߠ଴ ቀͳ െ ቁ ,
ఘ೘
gdzie ߠ଴ jest staym (obieranym) parametrem, a ߩ௠ jest gstoci maksymaln. Wobec
powyszego wielko ܽଶଵ (3) przyjmuje teraz posta:
ଵ
ଶ
ఘ
ఘ೘
ܽଶଵ ൌ ߠ଴ ቀ െ
ቁ,
(8)
a wielko ܽଶଶ pozostaje niezmienione (5). Niestety, nie usuwa to problemów modelu PW,
a nawet przysparza nowych (jak np. przyspieszanie przy duych gstociach).
Model KK (Kerner–Konhäuser) [6] stanowi kolejn prób poprawy modeli PW i PH,
przy czym polega ona w zasadzie na wprowadzeniu dodatkowej lepkoci do równania
dynamiki ruchu, co niewtpliwie poprawia stabilno przy maych i duych gstociach
(chocia nie przy rednich), i nie usuwa problemów wynikajcych z izotropowoci ruchu.
Z perspektywy niniejszej publikacji (zaniedbanie oddziaywa dyfuzyjnych w opisach
modeli), model KK nie wnosi niczego szczególnego wzgldem modelu PW, a w stosunku
do modelu PH skutkuje sta prdkoci dwiku.
Model Z1 (Zhang, wersja 1) [7] definiuje prdko dwiku w postaci:
ܿ଴ ൌ ߩ‫ݑ‬ఘ ,
(9)
co jest równowane przyjciu wyraenia na cinienie:
ଶ
ଵ
‫ ݌‬ൌ ߩଷ ൫‫ݑ‬ఘ ൯ ,
ଷ
(10)
i tym samym wielko ܽଶଵ (3) wynosi odpowiednio:
ଶ
ܽଶଵ ൌ ߩ൫‫ݑ‬ఘ ൯ ,
(11)
podczas gdy ܽଶଶ zachowuje tak sam posta jak w modelu PW i innych wymienionych
powyej. Model Z1 usuwa niektóre wady modelu PW, gdy wielko ܽଶଵ jest tu wprost
proporcjonalna do gstoci (a nie odwrotnie proporcjonalna, jak w modelu PW), niemniej
wiele niedomaga modelu pozostaje nadal aktualnych.
Model MYL (Michalopoulos–Yi–Lyrintzis) [8] mona zdefiniowa za porednictwem
nastpujcych charakterystycznych wielkoci:
‫݌‬ൌ
ణ
ఊାଶ
ߩఊାଶ ,
ܽଶଵ ൌ ߴߩఊ ,
(12)
(13)
przy czym ߴ jest parametrem antycypacji, a ߛ – sta. Model ten nie wykorzystuje zwizku
równowagi prdko – gsto, lecz odnosi si do prdkoci ruchu swobodnego. Przy
314
Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski
odpowiednim doborze ߴiߛ, model MYL przyjmuje posta modelu Z1.
Model AR (Aw–Rascle) [9] jest pierwszym asymetrycznym (anizotropowym) modelem
ruchu. Zadecydowaa o tym gównie nowa forma zdefiniowania równania dynamiki ruchu:
߲௧ ሺ‫ ݑ‬൅ ‫݌‬ሻ ൅ ‫߲ݑ‬௫ ሺ‫ ݑ‬൅ ‫݌‬ሻ ൌ Ͳ ,
(14)
przy czym cinienie ‫ ݌‬zostao tu okrelone inaczej ni w innych modelach. Przemnoenie
równania cigoci (2) przez ൫െ‫݌‬ఘ ൯ i dodanie go do równania ruchu (14) prowadzi do
standardowej postaci modelu AR, w której wielkoci ܽଶଵ iܽଶଶ (3) wynosz odpowiednio:
ܽଶଵ ൌ Ͳܽଶଶ ൌ ‫ ݑ‬െ ߩ‫݌‬ఘ .
(15)
Aw i Rascle [9] sugerowali jednoczenie wyraenie cinienia jako:
‫ ݌‬ൌ ߩఊ ሺߛ ൐ Ͳሻ ,
(16)
co odpowiednio modyfikuje wielko ܽଶଶ do postaci:
ܽଶଶ ൌ ‫ ݑ‬െ ߛߩఊ .
(17)
Zalety modelu AR (w stosunku do modeli przedstawionych wczeniej) s niewtpliwe,
niemniej przy bardzo maych gstociach rozwizanie moe by niestabilne.
Model Z2 (Zhang, wersja 2) [10] nie odnosi prdkoci dwiku ܿ଴ do pozycji ܽଶଵ (3)
(zwizanej z pochodn przestrzenn gstoci), lecz do pozycji ܽଶଶ (zwizanej z pochodn
prdkoci). W tej sytuacji obie te wielkoci wynosz odpowiednio:
ܽଶଵ ൌ Ͳܽଶଶ ൌ ‫ ݑ‬൅ ܿ଴ ,
(18)
przy czym prdko dwiku ܿ଴ okrelana jest nastpujco:
ܿ଴ ൌ ߩ‫ݑ‬ఘ ൫‫ݑ‬ఘ ൏ Ͳ൯ .
(19)
Jak mona zauway, modele AR i Z2 s ze sob bardzo blisko zwizane – rónica wynika
tylko z okrelania pochodnych ‫݌‬ఘ oraz‫ݑ‬ఘ odpowiednio na podstawie rónych zwizków
równowagi, natenie – gsto lub prdko – gsto.
Model JWZ (Jiang–Wu–Zhu) [11], podobnie jak model Z2, opisuje antycypacj przy
wykorzystaniu gradientu prdkoci, a nie gradientu gstoci. W rezultacie wielkoci
ܽଶଵ iܽଶଶ (3) s tutaj definiowane nieco podobnie jak w zalenociach (18), a konkretnie:
ܽଶଵ ൌ Ͳܽଶଶ ൌ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ .
(20)
Jeli przyj wedug (15), e prdko dwiku wynosi ܿ଴ ൌ ߩ‫݌‬ఘ , to wówczas mona na
tej podstawie wyznaczy cinienie ‫ ݌‬jako:
‫ ݌‬ൌ ܿ଴ Ž ߩ .
(21)
Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego
315
Wasnoci modelu JWZ s zblione jak modeli AR i Z2.
Zamieszczona powyej zwiza prezentacja makroskopowych modeli ruchu zostaa
ograniczona do modeli najpopularniejszych, a zarazem takich, które stanowiy podstaw
do dalszego rozwoju specyficznych odmian i wariantów. Zebrane i zarysowane (w
powyszych akapitach) charakterystyczne cechy opisu matematycznego modeli oraz
wynikajce std wasnoci rozwiza, stanowi wystarczajc baz do przeprowadzenia
porówna uwarunkowania sformuowa poszczególnych rodzajów modeli, a take oceny
ich jakoci i efektywnoci wynikajcej jedynie ze sformuowa wyjciowych, czyli bez
uwzgldniania formy dyskretyzacji (i aproksymacji) definiujcej rozwizanie numeryczne.
2. ROZWAANIA NAD UWARUNKOWANIEM
MODELI RUCHU
Rozwaania nad uwarunkowaniem rónych sformuowa makroskopowych modeli
ruchu drogowego zostan przeprowadzone najpierw w ujciu ogólnym, tj. wzgldem
sformuowania macierzowego (3), gdzie konkretne, róne wielkoci ܽଶଵ iܽଶଶ odpowiadaj
sformuowaniom poszczególnych modeli ruchu. Po rozwaaniach na ukadzie
uogólnionym oraz po zdefiniowaniu miar uwarunkowania modeli, dalsze rozwaania bd
obejmowa odniesienia do poszczególnych rodzajów modeli ruchu.
Wielomian charakterystyczny ogólnego sformuowania modeli ruchu (3) ma posta:
ฬ
‫ݑ‬െߣ
ܽଶଵ
ߩ
ฬ ൌ ߣଶ െ ሺ‫ ݑ‬൅ ܽଶଶ ሻߣ ൅ ‫ܽݑ‬ଶଶ െ ߩܽଶଵ ൌ Ͳ ,
ܽଶଶ െ ߣ
(22)
a jego rozwizania wzgldem ߣ (wartoci wasne) wynosz:
ଵ
ߣଵǡଶ ൌ ൫‫ ݑ‬൅ ܽଶଶ േ ඥሺ‫ ݑ‬െ ܽଶଶ ሻଶ ൅ Ͷߩܽଶଵ ൯ .
ଶ
(23)
Niezwykle istotne w kontekcie póniejszych rozwaa, jest wyraenie wielkoci ܽଶଵ iܽଶଶ
w funkcji wartoci wasnych ߣଵ iߣଶ , co mona opisa zalenociami:
ଵ
ܽଶଵ ൌ ሺߣଵ െ ‫ݑ‬ሻሺ‫ ݑ‬െ ߣଶ ሻ
(24)
ܽଶଶ ൌ ߣଵ ൅ ߣଶ െ ‫ ݑ‬.
(25)
ఘ
Do porówna uwarunkowania makroskopowych modeli ruchu, prowadzonej na
poziomie sformuowa matematycznych modeli, czyli bez wzicia pod uwag sposobu
przeprowadzenia dyskretyzacji i aproksymacji zagadnienia, oraz bez odniesie do jakoci
opracowania numerycznego i implementacji komputerowej, przyjto nastpujce miary:
x promie spektralny,
x wskanik uwarunkowania.
316
Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski
Promie spektralny ߩௌ macierzy ukadu równa modelu jest definiowany przez
najwiksz warto wasn ߣ tego ukadu. Tym samym jest on okrelany nastpujco:
ߩௌ ൌ ƒšሺߣଵ ǡ ߣଶ ሻ ,
(26)
gdzie wartoci wasne ߣଵ iߣଶ s ogólnie okrelone zalenoci (23). Jeli wszystkie
rozwaane prdkoci ruchu s dodatnie ሺ‫ ݑ‬൐ Ͳሻ, to promie spektralny wynosi wówczas:
ଵ
ߩௌ ൌ ൫‫ ݑ‬൅ ܽଶଶ ൅ ඥሺ‫ ݑ‬െ ܽଶଶ ሻଶ ൅ Ͷߩܽଶଵ ൯ .
ଶ
(27)
Wobec powyszego okrelenia promienia ߩௌ , mona si ju odnie bardziej konkretnie
do modeli ruchu. Aby nie analizowa po kolei wszystkich przedstawionych wczeniej
modeli, ograniczymy si jedynie do rozwaenia ich dwóch gównych klas:
x modeli symetrycznych (izotropowych), w tym modeli: PE, PH, KK, Z1 i MYL,
x modeli asymetrycznych (anizotropowych), obejmujcych modele: AR, Z2, i JWZ.
Modele izotropowe charakteryzuj si wartociami wasnymi okrelanymi ogólnie jako:
ߣଵ ൌ ‫ ݑ‬൅ ܿ଴ ߣଶ ൌ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ ,
(28)
gdzie ܿ଴ jest prdkoci dwiku swoist dla danego modelu symetrycznego. Wstawienie
obu powyszych zwizków do zalenoci (24) i (25) skutkuje nastpujcymi wyraeniami
na wielkoci ܽଶଵ iܽଶଶ :
ଵ
ܽଶଵ ൌ ܿ଴ଶ ܽଶଶ ൌ ‫ ݑ‬.
(29)
ఘ
W tej sytuacji promie spektralny modeli symetrycznych (izotropowych) wynosi zawsze:
ߩௌௌ ൌ ‫ ݑ‬൅ ܿ଴ ,
(30)
przy czym poszczególne modele izotropowe charakteryzuj si wasnymi okreleniami
prdkoci dwiku ܿ଴ (podanymi przy okazji przeprowadzonego wczeniej ich przegldu).
Mona zatem stwierdzi, e im mniejsza jest prdko ܿ଴ okrelona dla danego modelu
izotropowego, tym potencjalnie lepiej jest on uwarunkowany.
Modele anizotropowe z zaoenia przyjmuj, e najwiksza prdko falowa ߣଵ nie
moe by wiksza ni prdko ruchu – w praktyce przyjmuje si po prostu, e:
ߣଵ ൌ ‫ ݑ‬.
(31)
Uwzgldnienie powyszego zwizku w zalenociach (24) i (25) pozwala okreli
wielkoci ܽଶଵ iܽଶଶ jako:
ܽଶଵ ൌ Ͳܽଶଶ ൌ ߣଶ .
(32)
Oznacza to, e promie spektralny modeli asymetrycznych (anizotropowych) wynosi w
takiej sytuacji:
ߩௌ஺ ൌ ‫ ݑ‬,
(33)
Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego
317
i tym samym jest równy dla wszystkich modeli anizotropowych, a wic uwarunkowanie
tych modeli jest jednakowe.
Wskanik uwarunkowania ߢ macierzy ukadu równa jest definiowany w ogólnoci
jako iloczyn normy macierzy i normy jej odwrotnoci, co oznacza zaleno wskanika od
przyjtej normy macierzowej. Jeli wszystkie wartoci wasne macierzy ukadu s
rzeczywiste, to przy indukowanej normie macierzowej ԡ‫ڄ‬ԡଶ wskanik przyjmuje ogóln
posta:
ȁఒ
ȁ
ߢ ൌ ȁఒ೘ೌೣȁ
(34)
೘೔೙
i jest okrelany jako spektralny wskanik uwarunkowania. W odniesieniu do rozwaanych
ukadów równa posiadajcych dwie wartoci wasne, gdzie jednoczenie prdkoci ruchu
s dodatnie ሺ‫ ݑ‬൐ Ͳሻ, spektralny wskanik uwarunkowania mona zdefiniowa jako:
ȁఒ ȁ ȁఒ ȁ
ఒ
ߢ ൌ ƒš ቀȁఒభ ȁ ǡ ȁఒమ ȁቁ ൌ ȁఒభ ȁ
మ
భ
(35)
మ
lub po uwzgldnieniu zalenoci (23), jako:
ߢൌ
௨ା௔మమ ାඥሺ௨ି௔మమ ሻమ ାସఘ௔మభ
ቚ௨ା௔మమ ିඥሺ௨ି௔మమ ሻమ ାସఘ௔మభ ቚ
.
(36)
W odniesieniu do modeli symetrycznych (izotropowych) charakteryzujcych si
wartociami wasnymi okrelonymi zalenociami (28), a tym samym równie zwizkami
(29), wskanik uwarunkowania wynosi:
௨ା௖
ߢௌ ൌ ȁ௨ି௖బȁ ,
బ
(37)
gdzie prdko dwiku ܿ଴ jest wielkoci charakterystyczn danego modelu. Oznacza to,
e im mniejsza jest prdko ܿ଴ zwizana z danym modelem izotropowym, tym lepiej jest
on uwarunkowany.
W przypadku modeli asymetrycznych (anizotropowych), gdzie najwiksza prdko
falowa odpowiada prdkoci ruchu (31), a w konsekwencji obowizuj równie zwizki
(32), wskanik uwarunkowania wynosi:
௨
ߢ஺ ൌ ȁ௔
మమ ȁ
.
(38)
Poniewa w ogólnoci wielko ܽଶଶ dla dodatniego ܿ଴ jest opisana zwizkiem (20), a dla
ujemnego ܿ଴ – zwizkiem (18), to przyjmujc dalej prdko dwiku ܿ଴ jako wielko
dodatni, wskanik uwarunkowania zostaje okrelony nastpujco:
௨
ߢ஺ ൌ ȁ௨ି௖ ȁ .
బ
(39)
Wynika std wyranie, e modele anizotropowe charakteryzujce si mniejsz prdkoci
ܿ଴ s lepiej uwarunkowane ni modele o wikszej prdkoci dwiku.
318
Marek Maciejewski, Tomasz Maciejewski
3. PODSUMOWANIE
Na podstawie przeprowadzonych analiz uwarunkowania rónych makroskopowych
modeli przepywu ruchu, mona sformuowa nastpujce wnioski:
1. Promie spektralny symetrycznych (izotropowych) modeli ruchu (30) zaley od
wielkoci prdkoci propagacji zaburze ruchu (prdkoci dwiku). Im jest ona
mniejsza, tym dany model jest lepiej uwarunkowany.
2. Promie spektralny asymetrycznych (anizotropowych) modeli ruchu (33) jest równy
dla wszystkich modeli, a wic ich uwarunkowanie jest identyczne.
3. Wszystkie anizotropowe modele ruchu s lepiej uwarunkowane (w aspekcie promieni
spektralnych) ni modele izotropowe.
4. Wskanik uwarunkowania symetrycznych modeli ruchu (37) zaley od prdkoci
dwiku – im jest ona wiksza, tym wskanik jest gorzej uwarunkowany.
5. Wskanik uwarunkowania asymetrycznych modeli ruchu (39) zaley równie od
prdkoci dwiku, jednak zaleno ta jest inna ni w modelach izotropowych.
Niemniej nadal obowizuje zasada, e zwikszenie prdkoci dwiku pogarsza
uwarunkowanie.
6. Wszystkie anizotropowe modele ruchu charakteryzuj si lepszym uwarunkowaniem
(w aspekcie wskaników uwarunkowania) ni modele izotropowe.
7. Pod wzgldem poziomu uwarunkowania mona porównywa nie tylko rodzaje (klasy i
podklasy) makroskopowych modeli ruchu, ale równie dowolne, indywidualne modele
ruchu. Naley jednak przy tym pamita (szczególnie przy prowadzeniu oceny wedug
wskanika uwarunkowania), e uwarunkowanie modeli moe si zmienia wraz ze
zmian stosunku ekwiwalentu prdkoci dwiku do prdkoci ruchu (lub odwrotnie,
prdkoci ruchu do prdkoci dwiku).
Bibliografia
1.
Lighthill M.J., Whitham G.B.: On kinematic waves: II. A theory of traffic flow on long crowed roads.
Proceedings of the Royal Society of London, Series A 229 (1955), 1178, 317-345.
2. Richards P.I.: Shockwaves on the highway. Operations Researches 4 (1956), 1, 42-51.
3. Payne H.J.: Models of freeway traffic and control. In: Mathematical Models of Public Systems.
Simulation Councils Proc. Ser. 1 (1971), 51-61.
4. Whitham G.B.: Linear and nonlinear waves. John Wiley and Sons, New York 1974.
5. Phillips W.F.: A kinetic model for traffic flow with continuum implications. Transportation Planning
and Technology 5 (1979), 131-138.
6. Kerner B.S., Konhäuser P.: Cluster effect in initially homogeneous traffic flow. Physical Review E 48
(1993), 2335-2338.
7. Zhang H.M.: A theory of nonequilibrium traffic flow. Transportation Research B 32 (1998), 485-498.
8. Michalopoulos P.G., Yi P., Lyrintzis A.S.: Continuum modeling of traffic dynamics for congested
freeways. Transportation Research B 27 (1993), 315-332.
9. Aw A., Rascle M.: Resurrection of second order models of traffic flow. SIAM Journal of Applied
Mathematics 60 (2000), 916-938.
10. Zhang H.M.: A non-equilibrium traffic model devoid of gas-like behavior. Transportation Research B
36 (2002), 275-290.
11. Jiang R., Wu Q.-S., Zhu Z.-J.: A new continuum model for traffic flow and numerical tests.
Transportation Research B 36 (2002), 405-419.
Uwarunkowanie makroskopowych modeli ruchu drogowego
319
MATRIX CONDITIONING OF MACROSCOPIC ROAD TRAFFIC MODELS
Summary: In the article, the fundamental equations of macroscopic road traffic flow models are assembled
and presented in an unified form, with neglecting all diffusive effects. Based on this review, all matrix entries
(coefficients) for different traffic flow models are defined. The determination of eigenvalues for particular
classes and subclasses of models is the basis for calculation of matrix condition measures: the spectral
radiuses and the spectral condition numbers. These measures are used for comparison of traffic flow model
formulations and estimation of the potential computational efficiency for macroscopic road traffic models.
Keywords: macroscopic traffic models, matrix conditioning of models