Pomiar wielkości charakterystycznych wypływu cieczy ze zbiornika

Ćwiczenie 8
Pomiar wielkości charakterystycznych wypływu cieczy ze zbiornika
1. Wprowadzenie
1.1.
Wypływ ustalony
Rozpatrzmy wypływ cieczy z zamkniętego zbiornika (rys. 1), w którym jej
zwierciadło o powierzchni F znajduje się na wysokości H ponad osią otworu
wylotowego o przekroju f. Ciśnienie nad zwierciadłem wynosi p, a na zewnątrz
zbiornika po. Jeśli ciśnienia te, jak równieŜ wysokość H nie ulegają zmianie
z upływem czasu, to wypływ taki określamy jako ustalony.
Rys. 1. Ustalony wypływ cieczy ze zbiornika
Równanie Bernoulliego bez uwzględniania strat energii oraz równanie ciągłości dla
przekrojów 1-1 i 2-2 przyjmą zgodnie z oznaczeniami z rysunku 1 postać:
p
U12
p
U2
+
+H =
+ o
(1)
2g ρ ⋅ g
2g ρ ⋅ g
U1 ⋅ F = U ⋅ f
(2)
Rozwiązując układ równań (1) i (2), otrzymamy zaleŜność określającą prędkość
strumienia w przekroju wylotowym:
U=
2g
1 − n2

p − p0 
 H +
, m/s
ρ
⋅
g


(3)
w której n = f/F.
Jeśli powierzchnia zwierciadła F jest znacznie większa od powierzchni otworu (F>>
f) oraz ciśnienie p = p0 , to prędkość wypływu wyznaczyć moŜna z prostej zaleŜności:
U = 2gH , m/s
(4)
zwanej wzorem Torricelliego.
Lepkość cieczy (i związane z nią straty energii pomiędzy przekrojami kontrolnymi)
powoduje, Ŝe rzeczywista prędkość wypływu Urz jest mniejsza od określonej
zaleŜnością (4). Związek pomiędzy prędkością rzeczywistą Urz i teoretyczną U
wyznaczoną ze wzoru Torricelliego przyjęto wyraŜać w formie iloczynu:
U rz = α ⋅ U = α 2 gH
(5)
72
w którym występuje współczynnik korygujący α (α < 1) zwany współczynnikiem
prędkości. Jego wartość mieści się w granicach α = 0,96 ÷ 0,99 [1], a w praktycznych
obliczeniach przyjmuje się zazwyczaj α = 0,99 [2]. Obserwacje wypływającego
strumienia wskazują, Ŝe w niewielkiej odległości za otworem następuje jego
przewęŜenie (rys. 2) spowodowane bezwładnością poruszających się elementów
płynu.
Rys. 2. Wypływ cieczy przez otwór o ostrych krawędziach
Zjawisko to nazywamy kontrakcją strumienia, a ilościowo określa je bezwymiarowy
współczynnik kontrakcji β będący stosunkiem najmniejszego przekroju strumienia f0
do przekroju samego otworu f:
f
β= 0
(6)
f
Dane doświadczalne wskazują, Ŝe na jego wartość wpływają głównie kształt i
usytuowanie otworu, a przede wszystkim ostrość jego krawędzi. Dla otworów
kołowych o ostrych krawędziach β = 0,60 ÷ 0,64 [1]. NaleŜy podkreślić, Ŝe
nieznaczne nawet stępienie, czy teŜ zaokrąglenie krawędzi powoduje gwałtowny
wzrost wartości współczynnika β .
Rzeczywisty strumień objętości wypływu moŜna określić z równania ciągłości dla
strugi płynu nieściśliwego:
V&rz = U rz f 0 , m 3 /s
(7)
co po uwzględnieniu zaleŜności (5) i (6) prowadzi do związku:
V&rz = α β f 2 gH = α β V
(8)
Iloczyn współczynników prędkości i kontrakcji nazywamy współczynnikiem
przepływu µ , który jest definiowany jako stosunek rzeczywistego strumienia
objętości do strumienia teoretycznego:
V&
V&rz
µ = α β = &rz =
(9)
V
f 2 gH
Wartość współczynnika przepływu przy wypływie z otworu o ostrych krawędziach
wykonanego w cienkiej ścianie zbiornika zaleŜy głównie od współczynnika kontrakcji
i mieści się w granicach µ = 0,60 ÷ 0,62 [1].
1.2.
Wypływ nieustalony
73
RozwaŜmy obecnie przypadek opróŜniania zbiornika przy nieustalonym wypływie
przez mały otwór tj. przy zmiennym poziomie zwierciadła cieczy (rys. 3). Oznaczmy
przez Ho początkowe połoŜenie zwierciadła cieczy nad otworem o przekroju f i
współczynniku przepływu µ, przez z wysokość połoŜenia dowolnego, zmiennego
przekroju zbiornika F(z), a przez H1 końcowy poziom zwierciadła cieczy.
Przypomnijmy, Ŝe w pewnej chwili poziom cieczy osiągnął wysokość z, a po czasie dτ
obniŜył się jeszcze o dz. Jeśli stosunek f/F(z) << 1, to wypływ moŜna traktować jako
quasi-stacjonarny [3], tzn. taki, w którym w nieskończenie małych odcinkach czasu dτ
przepływ ma charakter ustalony.
Przy chwilowym strumieniu objętości równym V& ( z ) = µ f 2 gz objętość cieczy
wypływającej w czasie dτ wyraŜa się wówczas zaleŜnością:
d V = µ f 2g z d τ
(10)
i równa jest objętości warstwy elementarnej:
d V = F ( z )(− dz )
(11)
Rys. 3. Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika
Porównując zaleŜności (10) i (11) otrzymamy:
µ f 2 g z ⋅ dτ = − F ( z ) dz
(12)
a stąd:
− F ( z )dz
dτ =
(13)
µ f 2g z
Czas potrzebny na obniŜenie się zwierciadła od poziomu początkowego z = Ho do
dowolnego końcowego z = H1 określa wzór:
H0
1
F (z )
dz , s
(14)
τ=
∫
µ f 2 g H1 z
a czas całkowitego opróŜnienia zbiornika:
F (z )
dz , s
(15)
µ f 2g 0 z
W szczególnym przypadku, gdy przekrój zbiornika jest stały (F = const), otrzymamy:
1
H0
−
F
τ=
z 2 dz ,
(16)
∫
µ f 2 g H1
τc =
1
H0
∫
74
lub po scałkowaniu:
2F
τ=
µ f 2g
1
 1

2
 H 0 − H12 , s




(17)
2. Metodyka pomiarów i obliczeń
Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie współczynników: prędkości α,
kontrakcji β i przepływu µ oraz czasu obniŜania się poziomu cieczy w zbiorniku i
porównanie go z wynikiem uzyskanym na drodze analitycznej.
Zjawisko wypływu cieczy z otworu wykonanego w pionowej ścianie zbiornika moŜe
być traktowane jako rzut poziomy poszczególnych elementów cieczy tworzących
strumień, przy czym prędkość początkowa jest równa rzeczywistej prędkości wypływu
Urz.
Rys. 4. Schemat pomiaru współrzędnych toru strumienia
Równania drogi w kierunkach x oraz y przyjętego układu współrzędnych (rys. 4) przy
pominięciu oporu powietrza przyjmują postać:
x = U rz ⋅ τ
(18)
gτ 2
y=
2
Eliminując z nich czas τ, uzyskujemy równanie toru strumienia:
g
y=
x2
(19)
2
2U rz
z którego po wprowadzeniu wartości xo i yo określić moŜemy rzeczywistą prędkość
wypływu:
g
,
(20)
U rz = xo
2 yo
a stąd po wykorzystaniu zaleŜności (5), współczynnik prędkości
U rz
xo
α=
=
(21)
2 g H 2 yo H
Rzeczywisty strumień objętości określamy jako stosunek objętości wypływającej
cieczy V do czasu trwania wypływu τo:
75
V
V&rz = ,
m3/s
τo
(22)
Współczynnik przepływu µ będący stosunkiem rzeczywistego strumienia objętości do
strumienia teoretycznego wyznaczamy zgodnie z zaleŜnością (9) jako:
V&rz
4
V&rz
=
(23)
µ=
f 2g H π d 2 2g H
gdzie d – średnica otworu, mm,
natomiast współczynnik kontrakcji β ze wzoru:
β=
µ
α
(24)
Zmierzony czas τrz obniŜania się zwierciadła cieczy między poziomami Ho i H1
porównujemy następnie z wartością obliczoną z zaleŜności (17):
τ=
8F
µ π d 2 2g
(
)
H 0 − H1 , s
(25)
określając róŜnicę względną:
ε=
τ rz − τ
100%
τ rz
(26)
3. Opis stanowiska pomiarowego
Stanowisko pomiarowe przedstawione schematycznie na rysunku 5 składa się z
prostopadłościennego zbiornika 1, w którego bocznej ścianie wykonany jest kołowy
otwór o ostrych krawędziach 2. Powierzchnia poziomego przekroju zbiornika równa
jest F, a średnica otworu wypływowego d. Na poziomej listwie 3 z naniesioną
podziałką milimetrową zamocowany jest przesuwny wskaźnik 4 zakończony cienką
struną, która odległa jest o yo od osi otworu wylotowego. Listwa i wskaźnik słuŜą do
określania współrzędnych xo i yo punktu, przez który przebiega oś strumienia. Woda
dopływa do zbiornika przewodem 5 poprzez zawór regulacyjny 6, a jej stały poziom,
utrzymywany przez jedną z trzech rur przelewowych 7, kontrolowany jest na
wodowskazie rurkowym 8.
Rys. 5. Schemat stanowiska pomiarowego
76
Objętość wody V wypływającej ze zbiornika w czasie τo mierzonym stoperem 9
określana jest za pomocą szklanego cylindra mierniczego 10.
4. Szczegółowy przebieg pomiarów
Po napełnieniu zbiornika odsłaniamy otwór wylotowy i za pomocą zaworu 6 i rury
przelewowej 7 ustalamy poziom zwierciadła wody na wysokości H. Wskaźnik 4
przesuwamy tak, aby jego struna przecięła oś wypływającego strumienia i w połoŜeniu
tym odczytujemy na podziałce poziomej listwy 3 współrzędną xo. Po wycofaniu
wskaźnika ustawiamy cylinder 9 tak, aby wpłynęła do niego woda o objętości V w
czasie τo mierzonym stoperem. Ustaloną wysokość H oraz zmierzone wartości xo, V i
τo wpisujemy do tabeli 1.
Pomiary naleŜy przeprowadzić dla trzech róŜnych wysokości poziomu cieczy H.
Współczynnik prędkości α obliczamy z zaleŜności (21), a rzeczywisty strumień
objętości wypływu ze wzoru (22). Natomiast współczynniki przepływu µ oraz
kontrakcji β wyznaczamy wykorzystując zaleŜności (23) i (24).
Po zamknięciu zaworu regulacyjnego 6 mierzymy rzeczywisty czas τrz, w którym
zwierciadło cieczy obniŜy się od wysokości Ho do H1. Wysokości te, jak i czas τrz
wpisujemy do tabeli 2. Pomiar jest wykonywany dla trzech róŜnych wartości Ho i H1, a
uzyskane wyniki porównujemy z wartościami obliczonymi z zaleŜności (25), przy
czym występujący w niej współczynnik przepływu przyjmujemy jako średnią
arytmetyczną z pomiarów w pierwszej części ćwiczenia.
Wielkości charakterystyczne dla tego stanowiska wynoszą:
- powierzchnia zwierciadła
F = 0.23 m2
- średnica otworu
d = 0.0048 m
- współrzędna pionowa osi strumienia
yo = 0.1 m.
Literatura
1. Duckworth R.A.: Mechanika płynów, WNT, Warszawa 1983
2. Puzyrewski R., Sawicki J.: Podstawy mechaniki płynów i hydrauliki, PWN, Warszawa
1987
3. Walden H., Stasiak J.: Mechanik cieczy i gazów, Arkady, Warszawa 1971.
77
Tabele pomiarowo-obliczeniowe
Tabela 1
Wyniki pomiarów
Nr
pomiaru
Wyniki obliczeń
Wysokość
zwierciadła
Współrzędna
Objętość
cieczy
Czas
wypływu
Strumień
objętości
H
xo
103V
τo
V&rz
3
Współczynnik
prędkości
α
Współczynnik
kontrakcji
β
Współczynnik
przepływu
µ
-
m
m
m
s
m3/s
-
-
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
Wartości średnie
Tabela 2
Wyniki pomiaru
Wysokość
początkowa
Wysokość
końcowa
Czas
rzeczywisty
Ho
H1
τrz
-
m
m
s
1
2
3
4
Nr
pomiaru
1
2
3
78
Wyniki obliczeń
Czas
RóŜnica
obliczony
względna
z (25)
τ −τ
ε = rz
τ rz
τ
s
5
6