C:\Users\Seven\Documents\Moje d

Ekonomia matematyczna - 2.1
Przestrzeń produkcyjna
Zakładamy, że w gospodarce występuje n towarów, każdy jako nakład (”surowiec”) lub
wynik (”produkt”) w procesach produkcji. Konkretny proces produkcji jest reprezentowany
przez wektor
x, y = x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n  ∈ R n+ × R n+ ,
gdzie:
x j jest ilością j −tego towaru zużywaną w procesie produkcji,
y j jest ilością j −tego towaru wytwarzaną w procesie produkcji
x - wektor nakładów,
y - wektor wyników.
Uwaga.
Gdy x j > 0, y j > 0, j −ty towar jest zużywany i wytwarzany (np. energia w elektrowni).
Gdy x j > 0, y j = 0, j −ty towar jest tylko zużywany (np. energia w piekarni).
Gdy x j = 0, y j > 0, j −ty towar jest tylko wytwarzany (np. chleb w piekarni).
Definicja.
Przestrzenią p-produkcyjną nazwiemy podzbiór Z ⊂R n+ × R n+ , wszystkich technologicznie
dopuszczalnych procesów produkcji x, y (z normą ‖x, y‖ ∞ = max i |x i |, |y i |).
Przestrzenią c-produkcyjną nazwiemy podzbiór C =y − x : x, y ∈ Z⊂R n , wszystkich
wektorów ”czystej produkcji” c = y − x (z normą ‖c‖ 1 = max i |q i |).
Przykład.
W klasycznym modelu Leontiewa proces produkcji w gospodarce n − sektorowej (zamkniętej)
jest scharakteryzowany przez macierz A wymiaru n × n, nazywaną macierzą
”nakładów-wyników” i opisującą produkcję równaniem x ⊺ = Ay ⊺ , podającym jakie nakłady x
potrzebne są na wynik ”brutto” y.
1
A = a ij  n×n
a ij ≥ 0 - ilość i-tego towaru zużywana w produkcji 1 jednostki j-tego towaru;
n
x i = ∑ j=1 a ij y j - ilość i-tego towaru zużywana w produkcji wektora towarów y = y 1 , . . . , y n .
W tym przypadku wynik ”netto” (”czysta produkcja”) to y − Ay.
Podstawowe równanie w modelu Leontiewa
I − Ay = y − Ay = c
gdzie c ≥ 0 jest popytem konsumpcyjnym.
Problem wyjściowy:
dla jakich macierzy A, przy dowolnym c ≥ 0 istnieje y ≥ 0 spełniające powyższe
równanie?
Macierz A opisuje wtedy gospodarkę produktywną.
Przestrzenie:
Z = Ay, y : y ≥ 0,
C = y − Ay : y ≥ 0
są wypukłymi stożkami wielościennymi. Problem wyjściowy formułuje się jako pytanie czy
C ⊇R n+
I − A ⊺ p = v
W ogólnej teorii o przestrzeni p-produkcyjnej zakłada się, że spełnia niektóre z poniższych
aksjomatów:
1) prawo ”proporcjonalnych przychodów”:
⋀ λZ =λx, λy : x, y ∈ Z ⊆ Z;
λ≥0
2) prawo ”malejących przychodów”:
⋀
λZ ⊆ Z
∧
⋁ μZ ⊈ Z;
μ>1
0≤λ≤1
3) prawo ”rosnących przychodów”:
⋀ λZ ⊆ Z
λ>1
∧
⋁
μZ ⊈ Z;
0<μ<1
4) addytywność:
x, y, u, v ∈ Z  x + u, y + v ∈ Z;
2
5) brak ”rogu obfitości”:
0, y ∈ Z  y = 0
6) nieodwracalność:
x, y ∈ Z
∧
x ≠ y  y, x ∉ Z;
7) możliwość marnotrawstwa:
x, y ∈ Z
∧
x ≤ u, v ≤ y  u, v ∈ Z;
8) domkniętość (ciągłość):
zbiór Z jest domknięty w
R n+ × R n+
Ćwiczenie.
Wykazać, że jeśli Z spełnia aksjomaty 1) i 4) to jest stożkiem wypukłym w R n+ × R n+ .
Ćwiczenie.
Podać równoważne sformułowania aksjomatów 1) - 8) dla przestrzeni c-produkcyjnej C.
Procesy technologicznie efektywne
Definicja.
Proces x, y ∈ Z nazwiemy bardziej technologicznie efektywnym niż proces u, v ∈ Z gdy
−u, v ≤−x, y.
Proces x, y ∈ Z nazwiemy technologicznie efektywnym, gdy nie istnieje proces
u, v ∈ Z, u, v ≠x, y bardziej technologicznie efektywny niż proces x, y, tzn.
⋀
 −x, y ≤−u, v.
u,v∈Z
u,v≠x,y
Analogiczna definicja dla procesów czystej produkcji:
Definicja.
Proces c = y − x ∈ C, nazwiemy bardziej technologicznie efektywnym niż proces b ∈ C
gdy
b ≤ c.
Proces c ∈ C, nazwiemy technologicznie efektywnym, gdy nie istnieje proces b ∈ C, b ≠ c
bardziej technologicznie efektywny niż proces c ∈ C, tzn.
3
⋀
 c ≤ b.
b∈C
b≠c
Ćwiczenie.
Niech c = y − x ∈ C. Czy c jest technologicznie efektywny, wtedy i tylko wtedy gdy x, y ∈ Z
jest technologicznie efektywny?
Kolejne twierdzenia wiążą pojęcie technologicznej efektywności procesu czystej produkcji z
pojęciem rentowności takiego procesu - w tym sensie, że przy pewnej wycenie towarów
technologicznie efektywny proces czystej produkcji jest procesem najbardziej opłacalnym.
Twierdzenie.
Niech C ⊂ R n będzie przestrzenią c-produkcyjną i niech c ∈ C.
1) Jeśli istnieje wektor cen p ∈ R n+ , p >> 0 taki, że
〈c, p〉 = σ C p : = max〈b, p〉 : b ∈ C,
to c jest procesem technologicznie efektywnym.
2) Załóżmy dodatkowo, że C jest zbiorem wypukłym. Jeśli c jest procesem
technologicznie efektywnym, to istnieje wektor cen p ∈ R n+ \0, p > 0 taki, że
〈c, p〉 = σ C p : = max〈b, p〉 : b ∈ C.
Dowód.
1) Przypuścmy, ze c nie jest procesem technologicznie efektywnym, tzn. istnieje proces
n
n
d ∈ C taki, że c < d. Ponieważ p >> 0, to wtedy 〈c, p〉 = ∑ i=1 c i p i < ∑ i=1 d i p i = 〈d, p〉,
sprzeczność z założeniem, że 〈c, p〉 = max〈b, p〉 : b ∈ C.
2) Niech D = C − c =b − c : b ∈ C. Zbiór D jest wypukły oraz na mocy założenia, że proces
c jest efektywny mamy D ∩R n+ = 0. Na mocy twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych,
istnieje wektor (funkcjonał) p ≠ 0 taki, że D ⊆d : 〈d, p〉 ≤ 0 oraz R n+ ⊂ d : 〈d, p〉 ≥ 0. W
szczególności dla każdego wektora e i ∈ R n+ z bazy standartowej w R n mamy 〈e i , p〉 = p i ≥ 0, a
zatem p > 0. Jeśli teraz b ∈ C, to b − c ∈ D, więc 〈b − c, p〉 ≤ 0, a zatem
〈b, p〉 ≤ 〈c, p〉 dla b ∈ C.
4
Uwaga. W części 2) powyższego twierdzenia mamy zagwarantowaną jedynie własność p > 0
dla wektora wyceny procesu technologicznie efektywnego.
Własność p >> 0 można zagwarantować przyjmując silniejsze
założenia o przestrzeni c-produkcyjnej. Można udowodnić np. następujące twierdzenie.
Twierdzenie.
Niech C ⊂ R n będzie przestrzenią c-produkcyjną i niech c ∈ C. Jeśli C jest wielościennym
stożkiem wypukłym, a c jest procesem technologicznie efektywnym, to istnieje wektor cen
p ∈ R n+ , p >> 0 taki, że
〈c, p〉 = max〈b, p〉 : b ∈ C = 0.
Uwaga. Brak ”rogu obfitości” oznacza, że proces 0 ∈ C jest technologicznie efektywny.
Dla przestrzeni p-produkcyjnej mamy następujące odpowiedniki powyższych twierdzeń.
Twierdzenie.
Niech Z ⊂ R n+ × R n+ będzie przestrzenią p-produkcyjną i niech x, y ∈ Z
1) Jeśli istnieją wektory cen p ∈ R n+ , q ∈ R n+ p >> 0, q >> 0 odpowiednio dla nakładów i
wyników takie, że
〈y, q〉 − 〈x, p〉 = max〈v, q〉 − 〈u, p〉 : u, v ∈ Z,
to x, y ∈ Z jest procesem technologicznie efektywnym.
2) Załóżmy dodatkowo, że Z jest zbiorem wypukłym. Jeśli x, y ∈ Z jest procesem
technologicznie efektywnym, to istnieją wektory cen p > 0, q > 0 odpowiednio dla nakładów i
wyników takie, że
〈y, q〉 − 〈x, p〉 = max〈v, q〉 − 〈u, p〉 : u, v ∈ Z.
Twierdzenie.
Niech Z ⊂ R n+ × R n+ będzie przestrzenią p-produkcyjną i niech x, y ∈ Z. Jeśli Z jest
wielościennym stożkiem wypukłym, a x, y ∈ Z jest procesem technologicznie efektywnym,
to istnieją wektory cen p >> 0, q >> 0 odpowiednio dla nakładów i wyników takie, że
〈y, q〉 − 〈x, p〉 = max〈v, q〉 − 〈u, p〉 : u, v ∈ Z = 0.
5