Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy

Jednorazowa skladka netto w przypadku
stochastycznej stopy procentowej
Ubezpieczenie na cale życie z n-letnim okresem odroczenia
Wartość obecna wyplaty

0,
Y = QKx+1

t=1 vt ,
Kx = 0, 1, . . . , n − 1,
Kx ≥ n.
Zatem
JSN =
=
∞
X
k=n
∞
X
k=n
E
E
KY
x +1
vt|Kx = k P (Kx = k)
t=1
k+1
Y
vt P (Kx = k)
t=1
1
Renta platna z góry na poczatku
każdego
,
roku w wysokości ck
Wartość obecna wyplaty
Y =
Kx
X
ck
k=0
k
Y
vt.
t=1
Zatem
JSN =
=
∞ X
k
X
k=0 j=0
∞ X
k
X
k=0 j=0
cj E
cj E
K
Yx
t=1
Y
k
vt|Kx = k P (Kx = k)
vt P (Kx = k)
t=1
2
Modele skladek i umów
Rozróżnia sie, nastepuj
ace
warianty oplacania
,
,
umowy
• P1 – jednorazowa skladka wnoszona w momencie zawierania umowy.
• P2 – skladki o stalej wysokości, placone
dyskretnie z góry na poczatku
każdego podokresu
,
trwania umowy.
• P3 – skladki o stalej intensywności, placone
w sposób ciag
, ly przez caly czas trwania
umowy.
• P4 – skladki o zmiennej wysokości, placone
dyskretnie.
• P5 – skladki o zmiennej intensywności placone
w sposób ciag
, ly.
3
Modele umowy:
1. calkowicie dyskretny
2. calkowicie ciag
, ly
3. mieszany.
4
Calkowita strata ubezpieczyciela
L = OW wyplat z tytulu umowy − OW skladki.
Wartość obecna liczona jest na poczatek
umowy.
,
L jest zmienna, losowa,
, zmienna, losowa, jest
zarówno OW wyplat, jak i OW skladki.
Skladke, nazywa sie, skladka, netto, jeżeli spelnia
warunek równoważności
EL = 0.
5
Problem
Zalóżmy, że skladki w ubezpieczeniu na cale
życie oplacane sa, dyskretnie z góry na poczatku
,
roku. Wyznaczyć wysokość skladki P (Ax)
OW skladki = P (Ax) ·
Kx
X
vk
k=0
OW wyplaty = v Kx+1
Zatem warunek EL = 0 oznacza po prostu
h
i
Ax = E v Kx+1 = P (Ax)·E
X
Kx
v k = P (Ax)äx.
k=0
Zatem
P (Ax) =
Ax
d · Ax
=
.
äx
1 − Ax
6
Prospektywna strata
t L :=
bieżaca
wartość w chwili t przyszlych wyplat
,
− bieżaca
wartość w chwili t przyszlej skladki
,
Oczywiście
0L
jest calkowita, strata.
,
Jeżeli Tx < t, to
t L = 0.
7
Przyklad 1
Ubezpieczenie na cale życie (x) z suma, ubezpieczenia platna, na koniec roku śmierci ze skladka,
platna, w momencie podpisania umowy, t < Kx

v Kx+1−t,
t L =  Kx +1
v
− Ax ,
t > 0,
t = 0.
8
Przyklad 2
Ubezpieczenie na cale życie z suma, ubezpieczenia
platna, na koniec roku śmierci ze skladka, P (Ax)
platna, na poczatku
każdego roku, t < Kx
,
Kx +1−t − P (A )
x
tL = v
Kx
X
v k−t,
k=t
w szczególności
Kx +1 − P (A )
x
0L = v
Kx
X
vk .
k=0
9
Przyklad 3
Odroczone na n > 1 lat ubezpieczenie na cale
życie ze skladka, platna, przez caly czas
trwania
umowy, w jednakowej wysokości P n|Ax , poza
pierwszym rokiem.
K
+1−t
x
−P n|Ax
t L = χ{Kx ≥ n}v
Kx
X
v k−t
k=max{1,t}
10
Zmienna losowa, której wartościa, jest zysk ubezpieczyciela w chwili t.
Dokladniej: wartość obecna na moment podpisania umowy zysku z ubezpieczenia w chwili
t
retro
tL
= OW skladki zaplaconej od 0 do chwili t
− OW wyplat ubezpieczyciela
od chwili 0 do chwili t
11
Przyklad 1
retro = A − v Kx
x
tL
Przyklad 2
retro = P (A )
x
tL
t
X
v k − v Kx
k=0
12
E(tLretro)
= E OW skladki zaplaconej od 0 do chwili t
− OW wyplat ubezpieczyciela
od chwili 0 do chwili t
= E (OW calej skladki − OW skladki po t)
− (OW wszystkich wyplat − OW wyplat po t)
= −EL + E OW wyplat po t latach
− OW skladki po t latach
t
= 0 + E v tL
= v ttpxE(tL|Tx ≥ t).
13
Ostatnia równość wynika oczywiście z zależności
h
i
E tL = E E(tL|G) ,
gdzie G jest σ-algebra,
{∅, {t < Kx}, {t ≥ Kx}, Ω}.
Zatem
h
i
E tL = P (Kx > t) · 0 + P (Kx < t) · E tL|Kx ≥ t
h
i
= tpxE tL|Kx ≥ t
14
Wniosek
h
i
retro
t
E(tL
) = v tpxE tL|Kx ≥ t
Wyrażenie
t
t Ex := v t px
nazywa sie, aktuarialnym czynnikiem dyskonta.
Wyrażenie
h
t V := E t L|Kx ≥ t
i
nazywa sie, prospektywna, rezerwa, skladki netto.
Oczywiście także
tV =
1
P (Tx ≥ t)
E(tL)
=
.
p
t x
h
i
E tL · χ{Tx ≥ t}
15
Skladki i rezerwy dla wybranych polis
Ubezpieczenie na cale życie
Px := P (Ax) =
Ax
,
äx
Dla momentu k wartość oczekiwana wartości
bieżacej
przyszlej wyplaty
,
E(v Kx+1−k ) =
∞
X
v m+1−k P (Kx = m),
m=k
Dla momentu k wartość oczekiwana wartości
bieżacej
przyszlej skladki
,
E(Px
Kx
X
m=k
v m+1−k ) = Px
∞ X
m
X
v t−k P (Kx = m)
m=k t=k
16
Zatem rezerwa w tym przypadku wynosi
k Vx =
∞
X
v m+1−k P (Kx = m|Kx ≥ k)
m=k
∞ X
m
X
− Px
v t−k P (Kx = m|Kx ≥ k)
m=k t=k
:= A[x]+k − Pxä[x]+k
17
Ubezpieczenie terminowe na n lat
Skladka netto placona w jednakowej wysokości
na poczatku
każdego roku trwania umowy ubez,
pieczeniowej P 1
.
x : n̄|
Wartość obecna skladki
P1
x : n̄|
min{K
x ,n−1}
X
v m.
m=0
Wartość obecna wyplaty
χ{Kx ≤ n − 1}v Kx+1.
18
Zatem

E χ{Kx ≤ n−1}v Kx+1−P 1
min{K
x ,n−1}
X
x : n̄|

v m = 0,
m=0
czyli
A1
x : n̄|
− P1
x : n̄|
äx : n̄| = 0.
Ostatecznie skladka netto w terminowym ubezpieczeniu n-letnim wynosi
A1
P1
x : n̄|
=
x : n̄|
äx : n̄|
.
19
Wartość bieżaca
w momencie k przyszlych wyplat
,
χ{Kx ≤ n − 1}v Kx+1−k .
Wartość bieżaca
w momencie k przyszlych skladek
,
P1
min{K
x ,n−1}
X
x : n̄|
v m−k
m=k
Zatem rezerwa w momencie k

X
1  n−1
=
v m+1−k P (Kx = m)
k V1
x : n̄|
k px m=k
− P1
n−1
m
X X

v t−k P (Kx = m)
x : n̄|
m=k t=k
n−1
X
=
v m+1−k P (Kx = m|k ≤ Tx)
m=k
n−1
m
X X
− P1
v t−k P (Kx = m|k ≤ Tx)
x : n̄|
m=k t=k
20
Ubezpieczenie na cale życie, ze skladka,
placona, przez pierwsze h lat
Wartość obecna wyplaty
v Kx+1
Wartość obecna skladki
h Px
min{K
Xx,h}
vm
m=0
Skladka netto
E(v Kx+1) − hPxE
min{K
Xx,h}
v m = 0.
m=0
Zatem
h Px =
Ax
äx : h̄|
.
21
Ogólny model dyskretny
Ubezpieczenie gwarantuje wyplate, sumy bk+1,
jeśli Kx = k. Skladki sa, placone z góry w
wysokości Πk za każdy rozpoczety
rok umowy.
,
Prospektywna strata

0,
kL = 
b
PKx
j−k ,
j=k Πj v
Kx +1−k −
Kx +1 v
Kx < k,
Kx ≥ k.
Obserwacja
kV =
∞
X
j=0

b
k+j+1 v
j+1 −
j
X

Πi+k v ij p[x]+k ·q[x]+k+j
i=0
22
Równoważne sformulowanie obserwacji
kV =
∞
X
bk+j+1v j+1p[x]+k q[x]+k+j
j=0
−
∞
X
Πk+j v j · j p[x]+k .
j=0
23
Ważny wniosek
Zachodza, nastepuj
ace
zależności
,
,
k V = vbk+1 q[x]+k − Πk + v · k+1 Vp[x]+k
oraz
k V − v · k+1 V + Πk = v(bk+1 − k+1 V)q[x]+k .
24
Podejście deterministyczne
Rozważmy kohorte, x-latków liczac
, a, poczatkowo
,
l[x] osób, z których każdy zawiera umowe, o
ubezpieczenie, gwarantujac
, a, wyplate, kwoty bk+1
na koniec jego śmierci, jeśli umrze w roku k trwania umowy.
Umowa jest oplaca skladka, w rocznych ratach o wysokości Πk , placonych przez każdego
z żyjacych
na poczatku
każdego roku umowy.
,
,
25
Na poczatku
ubezpieczyciel zgromadzil kwote,
,
l[x]Π0.
Po uplywie roku ubezpieczyciel wyplaci kwote,
b1d[x] = b1 l[x] − l[x]+1 .
W k-ta, rocznice, ubezpieczyciel wyplaci lacznie
,
sume,
bk d[x]+k−1 = bk (l[x]+k−1 − l[x]+k ),
otrzyma także skladke,
l[x]+k Πk .
26
Bieżaca
wartość przyszlych wydatków
,
oraz wplywów w roku k
∞
X
bk+h+1
v h+1d
[x]+k+h −
∞
X
Πk+hv hl[x]+k+h.
h=0
h=0
Średnia strata w roku k na jednego ubezpieczonego
1

∞
X

l[x]+k h=0
−
bk+h+1v h+1d[x]+k+h
∞
X

Πk+hv hl[x]+k+h
h=0
W roku k ubezpieczyciel zgromadzil kwote,
k−1
X
Πh(1 + i)k−hl[x]+h
h=0
−
k−1
X
bh+1(1 + i)k−(h+1)d[x]+h.
h=0
27
Wniosek
∞
X
h=0
bh+1v h+1d[x]+h =
∞
X
Πhv hl[x]+h.
h=0
Zatem jeżeli skladka ma równoważyć przeplywy,
to musi być skladka, netto.
28