silniki prądu stałego - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Transkrypt
silniki prądu stałego - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
POLITECHNIKA GDAŃSKA Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Energoelektroniki i Maszyn Elektrycznych PROJEKT/LABORATORIUM SYSTEMY ELEKTROMECHANICZNE TEMATYKA SILNIKI PRĄDU STAŁEGO WYZNACZANIE PARAMETRÓW DYNAMICZNEGO MODELU OBWODOWEGO Materiały pomocnicze Kierunek Elektrotechnika Studia stacjonarne 2-giego stopnia semestr 1 Opracował Mieczysław Ronkowski Grzegorz Kostro Michał Michna Gdańsk 2010-2011 M. Ronkowski G Kostro, M. Michna: Silniki prądu stałego…. 1 SILNIKI PRĄDU STAŁEGO WYZNACZANIE PARAMETRÓW DYNAMICZNEGO MODELU OBWODOWEGO Program zajęć 1. CEL ZAJĘĆ................................................................................................................................................................ 1 2. DYNAMICZNY MODEL OBWODOWY SILNIKA PRĄDU STAŁEGO.............................................................. 1 3. WYZNACZANIE WARTOŚCI PARAMETRÓW DYNAMICZNEGO MODELU OBWODOWEGO SILNIKA PRĄDU STAŁEGO ........................................................................................................................................................... 2 3.1. Wyznaczanie wartości parametrów modelu liniowego na podstawie danych katalogowych............................. 2 3.2. Wyznaczanie wartości parametrów modelu nieliniowego na podstawie danych doświadczalnych................... 3 4. PYTANIA................................................................................................................................................................... 9 5. SPRAWOZDANIE................................................................................................................................................... 10 6. LITERATURA ......................................................................................................................................................... 10 1. CEL ZAJĘĆ Celem zajęć jest wyznaczanie wartości parametrów dynamicznego modelu obwodowego silnika prądu stałego na podstawie: • danych katalogowych, • danych doświadczalnych. 2. DYNAMICZNY MODEL OBWODOWY SILNIKA PRĄDU STAŁEGO Dynamiczny model obwodowy silnika prądu stałego przedstawia rys. 1, gdzie sem rotacji oraz moment elektromagnetyczny modelowane są odpowiednio sterowanymi źródłami napięciowymi. a + ua La Ra ia ea + _ _ Rf f if + uf Lff _ ea = Gaf if ωrm L=J Te + _ m R = Bm iL = ωrm + _ + T _ L Te = Gaf if ia Rys. 1. Dynamiczny model obwodowy (analog elektryczny) silnika prądu stałego — wzorcowego sprzężenia elektromechanicznego Uwaga: Strzałkowanie na rys. 1. przyjęto wg konwencji silnikowej (odbiornikowej). 1. Wielkości modelu na rys. 1. ua - napięcie twornika uf - napięcie wzbudzenia ia - prąd twornika if - prąd wzbudzenia ea - sem rotacji Te - moment elektromagnetyczny (wewnętrzny) ωrm - prędkość kątowa (mechaniczna) wirnika - moment obciążenia (zewnętrzny) TL 2. Parametry modelu na rys. 1. Ra - rezystancja obwodu twornika Rf - rezystancja obwodu wzbudzenia La - indukcyjność obwodu twornika Lf - indukcyjność obwodu wzbudzenia Gaf - indukcyjność rotacji (sprzężenia elektromechanicznego) J - moment bezwładności Bm - współczynnik tarcia lepkiego 3. WYZNACZANIE WARTOŚCI PARAMETRÓW DYNAMICZNEGO MODELU OBWODOWEGO SILNIKA PRĄDU STAŁEGO Rozważono dwa przypadki wyznaczania wartości parametrów dynamicznego modelu obwodowego silnika prądu stałego: ♦ modelu liniowego (modelu o parametrach stałych) na podstawie danych katalogowych; ♦ modelu nieliniowego (modelu o parametrach zmiennych) na podstawie danych doświadczalnych. 3.1. Wyznaczanie wartości parametrów modelu liniowego na podstawie danych katalogowych Wartości parametrów modelu obwodowego silnika można obliczyć z wystarczającą dokładnością dla obliczeń inżynierskich na podstawie jej danych katalogowych. Przykład takich danych podano poniżej w tablicy Tab. 1. Tablica 1. Dane katalogowe silników prądu stałego – producent firma SIEMES Wielkość Uan nn Pn J Ian ηn Pfn Ufn Ra Laa mechaniczna V obr/min kW kgm2 A % W V Ω mH 100L 300 1850 1,25 0,0115 5 75 145 180 4,6 42 112L 400 2700 4,6 0,0301 13,5 83 130 180 1,97 16 160M 400 3500 19,2 0,121 54,0 86 480 180 0,13 2 225L 440 2300 38,0 0,65 94,0 90,4 650 310 0,15 2,3 225L 600 2950 136,0 0,75 245 91,1 800 310 0,12 1,5 W powyższej tabeli producent podał wartości tylko dla części parametrów (J, Ra, La) - wartości pozostałych parametrów wyznacza się wg podanych niżej zależności. Indukcyjność rotacji wyznacza się z równania równowagi dla obwodu twornika przy warunkach znamionowych: U an = (Gaf I fn ) Ω r mn + Ra I an [V] (1) M. Ronkowski G Kostro, M. Michna: Silniki prądu stałego…. 3 po przekształceniu otrzymuje się Gaf = (U an − Ra I an) /( I fn Ω r mn) [H] (2) [A] (3) [rad/s] (4) [Ω] (5) [Nm.s] (6) gdzie, znamionowy prąd wzbudzenia I fn = Pfn / U fn oraz znamionowa prędkość kątowa [rad/s] Ω r mn = 2π n n / 60 Rezystancja obwodu wzbudzenia R f = U 2fn / Pfn Współczynnik tarcia lepkiego Bm ≅ ΔPmn Ω r2mn gdzie, znamionowe straty mechaniczne szacuje się następująco ΔPmn ≅ (0,3...1 )% Pn 100 [W] Elektromagnetyczna stała czasowa (stała czasowa obwodu twornika) τ a = La / Ra [s] (7) (8) Elektromechaniczna stała czasowa τm = J Ra (Gaf I fn ) 2 [s] (9) Indukcyjności obwodu wzbudzenia ze względu na jej brak w danych katalogowych, szacuje się z następującej relacji między stałą czasową obwodu wzbudzenia ( τ f = L f / R f ) a elektromagnetyczną stałą czasową (stała czasowa obwodu twornika) τ f ≥ 20 τ a lub L f / R f = 20 La / Ra (10) [H] (11) zatem L f ≥ 20 Laa R f / Ra Uwaga: Powyższa relacja jest słuszna dla silnika o napięciu twornika takim samym jak napięcie wzbudzenia. W przypadku różnych napięć należy wyznaczyć wartość indukcyjności wg relacji (11), a następnie skorygować jej wartość do poziomu danego napięcia wzbudzenia, zakładając, że energia pola magnetycznego obwodu wzbudzenia jest taka sama w obu przypadkach. Indukcyjność obwodu twornika w przypadku braku jej wartości w danych katalogowych, można oszacować następująco: La ≅ 120 ca U an I an P nn [H] (12) gdzie, stała ca przyjmuje wartości: • w przedziale 0,05...0,07 - dla maszyn bez uzwojenia kompensacyjnego; • około 0,032 - dla maszyn z uzwojeniem kompensacyjnym. Uwaga: P – oznacza liczbę biegunów maszyny!. 3.2. Wyznaczanie wartości parametrów modelu nieliniowego na podstawie danych doświadczalnych Indukcyjność rotacji wyznacza się na podstawie charakterystyki biegu jałowego (w innej skali charakterystyka magnesowania) badanego silnika prądu stałego w stanie pracy prądnicowej. Sposób pomiaru charakterystyki opisano w instrukcji do ćwiczenia pt. „Maszyny prądu stałego – silniki” Laboratorium Maszyny Elektryczne I. Charakterystykę biegu jałowego, czyli relację między SEM rotacji a prądem wzbudzenia silnika, opisuje następująca zależność: E a ( I f ) = Gaf ( I f ) I f Ω rm [V] (13a) gdzie, iloczyn Gaf ( I f ) I f przedstawia strumień wzbudzenia sprzężony z uzwojeniem twornika na przestrzeni P/2 podziałek biegunowych. Wpływ nasycenia drogi strumienia wzbudzenia na wartość indukcyjności rotacji Gaf wyraża zapis Gaf (If), który odwzorowuje jej zależność od prądu wzbudzenia If. Po odpowiednim przekształceniu relacji (13a) otrzymuje się: Gaf ( I f ) = Ea ( I f ) [H] I f Ω rm (13b) Przykładowe przebiegi charakterystyk wg relacji (13a) i (13b) przy Ωrm = const. pokazano na rys. 2. Wartość Gaf wyznacza się dla znamionowego prądu wzbudzenia Ifn. 300V 1 8.0H 2 Ea Ean 200V 6.0H 4.0H 100V Gaf Gafn 2.0H >> 0V 0H 0A 0.2A 1 V(Ea) 2 0.4A V(3) Ifn 0.6A 0.8A If 1.0A 1.2A 1.4A 1.6A Rys. 2. Przykładowe charakterystyki biegu jałowego (w innej skali charakterystyka magnesowania) i indukcyjności rotacji maszyny prądu stałego Rezystancje obwodu wzbudzenia Rf oraz twornika Ra można wyznaczyć metodą techniczną (patrz instrukcja do ćwiczenia pt. „Maszyny prądu stałego – silniki” Laboratorium Maszyny Elektryczne I). Indukcyjności obwodów twornika i wzbudzenia wyznacza się doświadczalnie metodą stałych czasowych, polegającej na odpowiednim pomiarze przebiegu czasowego narastania lub zanikania prądu w obwodzie typu RL lub RC. Indukcyjność obwodu twornika ze względu na jej stosunkowo małą wartość, wyznacza się na podstawie przebiegu czasowego zanikania prądu w obwodzie twornika. Przykładowy układ pomiarowy przedstawiono na rys. 3, w którym obwód twornika początkowo jest zasilany ze źródła napięcia stałego, a następnie zwarty stycznikiem ST, co powoduje zanik prądu ia w obwodzie. Jeśli założy się jednowykładniczy zanik prądu ia, to jego przebieg jest opisany relacją: ia = I a (0)e −t / τ a (14) gdzie, Ia(0) – początkowy prąd twornika, t – czas, τa – stała czasowa obwodu twornika. Sposób wyznaczania wartości indukcyjność obwodu typu RL zilustrowano na przykładzie teoretycznego przebiegu wg rów. (14) pokazanego na rys. 4. Jego przebieg wyznaczono za pomocą programu PSPICE dla obwodu o danych R=1 Ω oraz L=0,5 H, przyjmując wartość początkową prądu I(0)=Ip=10 A. Punktem M. Ronkowski G Kostro, M. Michna: Silniki prądu stałego…. 5 wyjścia do wyznaczenia wartości L jest określenie stałej czasowej rozważanego obwodu. Jest kilka sposobów jej wyznaczenia. Tutaj, ze względu na dostępną w postprocesorze graficznym PROBE programu PSPICE opcję całkowania krzywej, wybrano sposób wyznaczania na podstawie pola powierzchni pod krzywą zanikania prądu. Pole powierzchni pod krzywą wg wyrażenia (14), w przedziale czasu od 0 do tx, wyznacza następujące wyrażenie: tx ∫ i dt = − I a a ( 0) τ e − t / τ 0 tx (15a) 0 A Karta pomiarowa (oscyloskop) LEM(I) Rd B2 Do źródła napięcia stałego ia ST M F1 F2 A If A1 Do źródła napięcia stałego Rys. 3. Przykładowy układ pomiarowy do wyznaczania indukcyjność obwodu twornika maszyny prądu stałego na podstawie przebiegu czasowego zanikania prądu w obwodzie twornika 10 i [A] Ip (10.000u,10.000) i s(Ik) (3.9018,4.9979) s(Ix) 5 s(i) Ix s(Ip) (20.000u,99.997u) 0 0s 0.5s I(R_A) S(I(R_A)) Ik (3.9018,4.0826m) tx 1.0s 1.5s 2.0s Time 2.5s 3.0s 3.5s 4.0s Rys. 4. Ilustracja sposobu wyznaczania wartości indukcyjność obwodu RL na podstawie pola powierzchni pod krzywą zanikania prądu – tzw. metodą zastępczej stałej czasowej Na rys. 4 krzywą pierwotną jest przebieg i, a po jego scałkowaniu przebieg s(i). Wartość pola pod krzywą i w przedziale czasu od 0 do tx określa wartość rzędnej s(Ix). Natomiast wartość całego pola pod krzywą i dla czasu t → ∞ praktycznie określa wartość rzędnej s(Ik). Zatem, biorąc pod uwagę wyrażenie (15a), można łatwo wykazać, że wartość stałej czasowej przebiegu określona jest następująco: τ ≅ s ( Ik ) 4 , 9979 = ≅ 0 ,5 Ip 10 [s] (15b) [s] (16) co odpowiada wartości τ = L 0 ,5 = = 0 ,5 R 1 dla przyjętych wartości parametrów rozważanego obwodu. Stąd, przy znanej wartość rezystancji R obwodu, można wyznaczyć wartość indukcyjność L z relacji: [H] L = R τ = 1 ⋅ 0 , 5 = 0,5 (17) Uwaga: Przedstawiony sposób wyznaczania stałej czasowej w literaturze znany jest pod nazwą metody zastępczej stałej czasowej, gdyż metodę tą można stosować do wyznaczania stałej czasowej przebiegów dwu lub więcej wykładniczych – takimi są przebiegi zanikania prądu w obwodach rzeczywistych (efekt zjawiska nasycenia obwodu magnetycznego, zjawisko indukowania prądów wirowych, itp.). Poniżej przedstawiono zastosowanie, powyżej opisanej metody, do wyznaczania wartości indukcyjności obwodu twornika na podstawie pomierzonego przebiegu zanikania prądu twornika (patrz rys. 5). a) 100m Iap tp (78.505m,57.619m) 50m Ia 0 b) 10m Chan0 s(Iap) tp (78.505m,4.5286m) s(Iak) tp (400.200m,6.1984m) s(Ia) 5m SEL>> 0 0s S(Chan0) 50ms 100ms 150ms 200ms 250ms 300ms 350ms 400ms Time Rys. 5. Przykładowe przebiegi do wyznaczenia indukcyjności obwodu twornika metodą zastępczej stałej czasowej: a) pomierzone zanikanie prądu twornika ia; b) przebieg s(ia)otrzymany po scałkowaniu krzywej ia Łatwo wykazać, że zastępcza stała czasowa przebiegu określona jest następująco: τa ≅ 6 ,1984 m − 4 , 5286 m s ( Iak ) − s ( Iap ) = ≅ 28 , 98 57 , 619 m Iap [ms] (18) Wartość pomierzonej rezystancji obwodu twornika dla badanego silnika wyniosła Ra = 3,72 Ω, zatem indukcyjność obwodu twornika wynosi: L aa = τ a R a = 28 , 98 ms ⋅ 3 , 72 Ω ≅ 107 ,81 [mH] Uwaga: M. Ronkowski G Kostro, M. Michna: Silniki prądu stałego…. 7 Błąd obliczeń wynika głównie z pomięcia rezystancji łącznika ST w układzie pomiarowym. Uwaga: Indukcyjność obwodu twornika wyznacza się dla następujących warunków zasilania: Ia(0) = 0,2 Ian przy If = Ifn Ia(0) = 0,2 Ian przy If = 0.4Ifn przy zablokowanym wirniku. Indukcyjność obwodu wzbudzenia ze względu na jej stosunkowo dużą wartość, można wyznaczyć na podstawie przebiegu czasowego narastania prądu w obwodzie wzbudzenia. Przykładowy układ pomiarowy przedstawiono na rys. 6, w którym obwód wzbudzenia jest skokowo załączony do zasilania ze źródła napięcia stałego za pomocą stycznika ST, co powoduje wzrost prądu if w obwodzie. Jeśli założy się jednowykładniczy wzrost prądu if, to jego przebieg jest opisany relacją: − t /τ i f = I f ( ∞)(1 − e f ) [A] (19) A F1 If ST Do źródła napięcia stałego gdzie, If(∞) – ustalona wartość prądu wzbudzenia, t – czas, τf – stała czasowa obwodu wzbudzenia. LEM(I) B2 A1 M F2 Karta pomiarowa (oscyloskop) Rys. 6. . Przykładowy układ pomiarowy do wyznaczania indukcyjność obwodu wzbudzenia maszyny prądu stałego na podstawie przebiegu czasowego narastania prądu w obwodzie wzbudzenia Na rys. 7a przedstawiono przykładowy przebieg narastania prądu w obwodzie wzbudzenia oraz przebiegi niezbędne do wyznaczenia indukcyjności obwodu wzbudzenia metodą zastępczej stałej czasowej. Zastępcza stałą czasowa przebiegu na rys. 7a została określona analogicznie jak dla przebiegu na rys. 5a: τ f ≅ 25 ,119 m − 19 , 789 m ≅ 347 , 64 15 , 332 m [ms] (20) Wartość pomierzonej rezystancji obwodu wzbudzenia dla badanego silnika wyniosła Rf = 621,25 Ω, zatem indukcyjność obwodu wzbudzenia wynosi: L ff = τ f R f = 347 , 64 ms ⋅ 621 , 25 Ω ≅ 215 , 97 [H] (21) Uwaga: Błąd obliczeń wynika głównie z pomięcia rezystancji łącznika ST i źródła napięcia zasilania w układzie pomiarowym. Uwaga: Indukcyjność obwodu wzbudzenia wyznacza się dla następujących warunków zasilania: If(∞) = Ifn przy Ia = 0 If(∞) = 0,4 Ifn przy Ia = 0 przy otwartym obwodzie twornika. 20m 0 -20m (3.0010,13.700m) Chan0 20m 0 -20m 40m (1.2825,15.332m) 13.7m- Chan0 (1.2825,19.789m) 20m SEL>> 0 0s 0.5s S(13.7m - Chan0) (3.0010,25.119m) 1.0s 1.5s Time 2.0s 2.5s 3.0s Rys. 7. Przykładowe przebiegi do wyznaczenia indukcyjności obwodu wzbudzenia metodą zastępczej stałej czasowej: a) pomierzone narastanie prądu wzbudzenia if; b) wyznaczone zanikanie prądu wzbudzenia (If(∞) - if); c) przebieg s(If(∞) - if) otrzymany po scałkowaniu krzywej (If(∞) - if) Moment bezwładności zwykle wyznacza się metodą wybiegu. Układ pomiarowy jest analogiczny jak przy wyznaczaniu charakterystyki magnesowania silnika. Badany silnik biegnie jałowo i jest zasilany z dwóch niezależnych źródeł napięcia, tzn. oddzielnie obwód wzbudzenia i obwód twornika (napięciem znamionowym). Regulując wartość prądu wzbudzenia ustalamy znamionową prędkość obrotową silnika, a następnie odłączamy zasilanie, ale tylko obwodu twornika, rejestrując jednocześnie przebieg czasowy zanikania prędkości obrotowej. Na rys. 8a przedstawiono przykładowy przebieg zanikania prędkości obrotowej silnika, oraz przebiegi niezbędne do wyznaczenia momentu bezwładności układu mechanicznego silnika metodą zastępczej stałej czasowej. Zastępcza stała czasowa przebiegu przedstawionego na rys. 8a została określona analogicznie jak dla przebiegu z rys. 5a: τJ ≅ 2 , 0147 − 823 , 992 m ≅ 4 , 574 260 , 300 m [s] (22) Uwaga: Jeżeli w czasie pomiaru zanikania prędkości obrotowej nie odłączono maszyny służącej do obciążenia silnika, to wyznaczona wartość momentu bezwładności jest łączna dla całego zespołu maszynowego. Przed wyłączeniem zasilania twornika, celem oszacowania strat mechanicznych maszyny, należy pomierzyć napięcie twornika, prąd twornika i prędkość obrotową. Ich wartości dla rozważanej maszyny wyniosły: Ua=217,5V oraz Ia=0,72A, n=1550 obr/min zatem starty mechaniczne: M. Ronkowski G Kostro, M. Michna: Silniki prądu stałego…. 9 ΔPm ≅ U a I a − Ra I a2 = 217,5 ⋅ 0,72 − 3,72 ⋅ (0,72) 2 = 110,82 [W] (23) a stąd współczynnik tarcia lepkiego Bm ≅ ΔPm 110,82 = = 4,206 ⋅10−3 2 2 Ω r m 162,32 [Nm.s] (24) gdzie Ω r mn = 2π n / 60 = 2π ⋅1550 / 60 = 162,32 [rad/s] zatem moment bezwładności J = τ J B m = 4 , 574 s ⋅ 4 , 206 ⋅ 10 − 3 Nm ⋅ s ≅ 0 , 01924 [kgm2] (25) Uwaga: Wyznaczone straty mechaniczne wg wzoru (23) zawierają także straty w żelazie twornika silnika i straty mechaniczne maszyny służącej do obciążenia. 400m (3.0775,260.300m) 200m 0 4.0 Chan1 (15.000,2.0147) 2.0 (3.0783,823.992m) SEL>> 0 0s 2s S(Chan1) 4s 6s 8s Time 10s 12s 14s 16s Rys. 8. Przykładowe przebiegi do wyznaczenia momentu bezwładności silnika metodą zastępczej stałej czasowej: a) pomierzony zanik prędkości obrotowej Ωrm; b) przebieg s(Ωrm) otrzymany po scałkowaniu krzywej Ωrm 4. PYTANIA 1. Podaj sposób wyznaczania wartości parametrów dynamicznego modelu obwodowego silnika prądu stałego — wzorcowego sprzężenia elektromechanicznego (rys. 1) na podstawie jego danych katalogowych. 2. Wymień, nazwij i opisz metody pomiaru wartości parametrów dynamicznego modelu obwodowego maszyny (silnika) prądu stałego — wzorcowego sprzężenia elektromechanicznego (rys. 1). 3. Narysuj układ pomiarowy do wyznaczania indukcyjność rotacji maszyny prądu stałego na podstawie charakterystyki magnesowania. Podaj zasady doboru elementów układu. 4. Narysuj układ pomiarowy do wyznaczania indukcyjność obwodu wzbudzenia maszyny prądu stałego na podstawie przebiegu czasowego narastania prądu w obwodzie wzbudzenia. Podaj zasady doboru elementów układu. 5. Narysuj układ pomiarowy do wyznaczania indukcyjność obwodu twornika maszyny prądu stałego na podstawie przebiegu czasowego narastania prądu w obwodzie twornika. Podaj zasady doboru elementów układu. 6. Narysuj układ pomiarowy do wyznaczania momentu bezwładności silnika metodą wybiegu. Podaj zasady doboru elementów układu. 5. SPRAWOZDANIE Opracowanie sprawozdania powinno zawierać: • stronę tytułową wg następującego układu: POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I MASZYN ELEKTRYCZNYCH PROJEKT/LABORATORIUM SYSTEMY ELEKTROMECHANICZNE Kierunek Elektrotechnika Studia stacjonarne 2-ego stopnia, semestr 1 ĆWICZENIE SILNIKI PRĄDU STAŁEGO WYZNACZANIE PARAMETRÓW MODELU OBWODOWEGO Opracował: Imię i nazwisko nr grupy laboratoryjnej data oddania sprawozdania • dane znamionowe (katalogowe) i dane obwodowe badanego silnika prądu stałego; • obliczenia stałych czasowych modelu obwodowego dla danego silnika indukcyjnego; • uzasadnienie fizyczne uzyskanych wyników (powinno być napisane w stylu inżynierskim —tzn. minimum języka tekstowego a maksimum języka graficznego i symbolicznego); • krótka dyskusja wpływu założeń upraszczających modelu maszyny na uzyskane wyniki obliczeń; • wykaz literatury wykorzystanej przy pisaniu sprawozdania; 6. LITERATURA P.C. Krause: Analysis of Electric Machinery. Mc Graus - Hill Book Comp. New York, 1986. W. Latek: Teoria maszyn elektrycznych. WNT, Warszawa, 1982. Z. Manitius: Maszyny elektryczne cz. I, II. Skrypt PG, 1982, 1984. W. Paszek: Stany nieustalone maszyn elektrycznych prądu przemiennego. WNT, Warszawa, 1986. M. Ronkowski: Szkic do wykładów z przedmiotu Systemy elektromechaniczne. Katedra Energoelektroniki i Maszyn Elektrycznych. WEiA, PG, Gdańsk, 2010/2011. http://www.ely.pg.gda.pl/e-mechatronika/index.php?strona=mat&kod=sysem&rodz=w 6. S. Roszczyk: Teoria maszyn elektrycznych. WNT, Warszawa, 1979. 1. 2. 3. 4. 5.