Pobierz - Technical Nowa Sól

VIII KONFERENCJA ODLEWNICZA TECHNICAL 2005
METODY I ALGORYTMY AUTOMATYCZNEJ IDENTYFIKACJI
WYBRANYCH PARAMETRÓW PROCESU TECHNOLOGICZNEGO
METODY I ALGORYTMY AUTOMATYCZNEJ IDENTYFIKACJI
WYBRANYCH PARAMETRÓW PROCESU TECHNOLOGICZNEGO
Eugeniusz ZIÓŁKOWSKI1
Wydział Odlewnictwa AGH
1.
Wprowadzenie.
Identyfikacja systemów jest gał zi modelowania systemów dynamicznych, w której
model jest utworzony za pomoc danych eksperymentalnych [4]. System dynamiczny
mo e by schematycznie przedstawiony tak, jak na rys. 1. Zachowanie układu wyznaczaj
sygnały wej ciowe u (t ) i zakłócenia v(t ) , przy czym u ytkownik mo e wpływa tylko na
u (t ) .
zakłócenie
v(t)
Istotnych informacji o układzie dostarcza sygnał wyj ciowy. W systemach
dynamicznych (tzw. sygnały dynamiczne przyczynowe) działanie steruj ce w chwili t
wpływa na sygnał wyj ciowy w chwilach s > t .
wej cie
u(t)
SYSTEM
wyj cie
y(t)
Rys. 1. Układ dynamiczny z sygnałem wej ciowym u(t), wyj ciowym y(t)
i zakłóceniem v(t), gdzie t oznacza czas [4].
Wiele procesów przemysłowych, musi by sterowanych tak, aby zapewni ich
bezpiecze stwo oraz efektywno . Projektowanie regulatorów wymaga znajomo ci modeli
procesów. Modele te mog ró ni si od siebie pod wzgl dem rodzaju i stopnia zło ono ci.
Konstrukcja optymalnego regulatora wymaga bardziej szczegółowego modelu,
opisuj cego równie wła ciwo ci zakłóce oddziałuj cych na proces.
Modele matematyczne systemów dynamicznych s u ywane w wielu dziedzinach
i maj wiele zastosowa . W zasadzie wyró niamy dwa sposoby konstruowania takich
modeli:
1. Modelowanie matematyczne. Jest to podej cie analityczne. Dynamika zjawiska lub
procesu wyprowadzana jest tu z podstawowych praw fizyki (takich jak praw
Newtona czy zasada zachowania).
2. Identyfikacja systemów. Jest to podej cie eksperymentalne. Po poddaniu systemu
szeregowi do wiadcze , dobieramy parametry modelu w taki sposób, by pasował
on do danych do wiadczalnych.
1
dr in .
103
VIII KONFERENCJA ODLEWNICZA TECHNICAL 2005
Odlewnictwo XXI wieku
technologie, maszyny i urz dzenia odlewnicze
W wielu przypadkach procesy s tak skomplikowane, e nie jest mo liwe
zbudowanie modelu wył cznie na podstawie znajomo ci fizyki procesu (stosuj c zasady
zachowania, na przykład równania bilansowe). Musimy wówczas posłu y si metodami
identyfikacji. Cz sto zdarza si równie , e model wyprowadzony z zasad ogólnych
zawiera du liczb nieznanych parametrów. Metody identyfikacji mog by wówczas
u yte do ich oszacowania.
Modele, uzyskane z identyfikacji, maj nast puj ce cechy, odró niaj ce jej od
modeli matematycznych:
- ich stosowalno jest ograniczona (mo na je stosowa w okre lonym punkcie
pracy, dla okre lonego typu wej cia, dla niektórych procesów itp.),
- nie wyja niaj one fizycznej istoty procesu, gdy w wi kszo ci przypadków
parametry modelu nie maja bezpo redniej interpretacji fizycznej, innymi słowy,
parametry te słu jedynie do uzyskania satysfakcjonuj cych zgodno ci modelu
z danymi eksperymentalnymi,
- s stosunkowo łatwe do otrzymania i wykorzystania.
Identyfikacja nie jest niezawodn technik , któr mo na u ywa bez współdziałania
z u ytkownikiem wyników identyfikacji [4]. Dzieje si tak, gdy :
- trzeba znale wła ciw struktur modelu - zadanie to nie jest łatwe, zwłaszcza
gdy dynamika systemu jest nieliniowa,
- w rzeczywistym wiecie nie istniej „idealne dane” i w zwi zku z tym trzeba
zawsze uwzgl dni obecno zakłóce w danych,
- proces mo e zmienia si w czasie, co powoduje trudno ci przy próbach
zbudowania modeli niezmiennych w czasie,
- pomiar zmiennych w zasadniczym znaczeniu dla modelu mo e okaza si
trudny b d wr cz niemo liwy.
Eksperyment identyfikacji prowadzi si pobudzaj c system (za pomoc okre lonego
sygnału wej ciowego, np. schodkowego, sinusoidalnego czy losowego) i obserwuj c jego
wej cia i wyj cia w pewnym przedziale czasu. Dane wej ciowe i wyj ciowe s z reguły
gromadzone w pami ci masowej komputera w celu dalszego przetwarzania. Nast pnie
próbujemy
dopasowa
model
parametryczny
do
zgromadzonych
danych
eksperymentalnych. Pierwszym krokiem w tym kierunku jest okre lenie stosownej postaci
modelu (w typowej sytuacji jest to równanie ró nicowe okre lonego rz du). W nast pnym
kroku estymujemy nieznane parametry modelu (takie jak współczynniki równania
ró nicowego), wykorzystuj c w tym celu któr z metod statystycznych. W praktyce
estymacja struktury i parametrów modelu odbywa si cz sto w sposób iteracyjny. Oznacza
to wybór pewnej próbnej struktury i estymacj jej parametrów.
Nast pnie otrzymany model jest testowany, aby sprawdzi , czy odpowiednio
reprezentuje on prawdziwy system. Je li tak nie jest, nale y wybra bardziej zło on
struktur , estymowa jej parametry, sprawdzi otrzymany model itd.
Omówiona procedura jest zilustrowana na rys. 2. Zauwa my, e warunek
wyst puj cy po sprawdzeniu modelu nadaje tej procedurze charakter iteracyjny.
2.
Metody identyfikacji.
Identyfikacj w automatyce nazywa si sporz dzanie opisu matematycznego obiektu
ze wzgl du na technik sterowania. Opis matematyczny obiektu sterowania jest cz sto
nazywany modelem matematycznym obiektu. Ewolucja poj cia obiektu powoduje równie
ewolucj poj cia identyfikacji. W przypadku obiektów jednowymiarowych i prostych
wielowymiarowych nale ało wyznaczy współczynniki równa ró niczkowych lub
transmitancji opisuj cych obiekt b d te wyznaczy charakterystyki czasowe lub
104
Nowa Sól 12-13.05.2005 r.
VIII KONFERENCJA ODLEWNICZA TECHNICAL 2005
METODY I ALGORYTMY AUTOMATYCZNEJ IDENTYFIKACJI
WYBRANYCH PARAMETRÓW PROCESU TECHNOLOGICZNEGO
cz stotliwo ciowe. W przypadku obiektów zło onych nale y wst pnie okre li dla obiektu
[3]:
-
struktur ;
wielko ci wej ciowe i wyj ciowe;
miejsca oddziaływania zakłóce ;
wska niki jako ci.
START
projektowanie
eksperymentu
wiedza a priori
planowanie
zastosowanie modelu
przeprowad
eksperyment
gromad dane
okre l / wybierz
struktur modelu
wybierz metod
estymuj parametry
sprawdzenie
modelu
nie
model
zaakceptowany ?
nowy
zestaw danych
tak
KONIEC
Rys. 2. Schemat blokowy algorytmu identyfikacji systemu wybranym modelem matematycznym [4].
Identyfikacja własno ci procesu technologicznego jest niezb dna do racjonalnego
sterowania tego procesu. Na ogół im wi ksza jest do dyspozycji informacja pocz tkowa
o procesie, tym lepsze mo na uzyska wska niki sterowania, i tym samym wi ksze efekty
ekonomiczne. Pewne zwi kszenie informacji pocz tkowej pozwala unikn urz dze
steruj cych o zło onych algorytmach adaptacyjnych oraz strat zwi zanych z niepotrzebn
identyfikacj w trakcie sterowania. Jednocze nie nale y wyra nie zwróci uwag , e
nadmierna informacja pocz tkowa o procesie jest równie niekorzystna jak i zbyt mała.
105
VIII KONFERENCJA ODLEWNICZA TECHNICAL 2005
Odlewnictwo XXI wieku
technologie, maszyny i urz dzenia odlewnicze
Przede wszystkim zdobycie jej jest bardziej kosztowne. Prócz tego urz dzenie steruj ce,
wykorzystuj ce du ilo informacji pocz tkowej, jest skomplikowane.
Przy identyfikacji zło onych obiektów sterowania z reguły nale y dokonywa bardzo
du o oblicze . Przeprowadzenie identyfikacji jest bardzo kosztowne. Oczywi cie nakłady
na identyfikacj i polepszenie sterowania nie mog przewy sza korzy ci, uzyskanych
w wyniku poprawy procesu technologicznego, dzi ki wprowadzeniu racjonalniejszego
sterowania.
W technice systemów post powanie prowadz ce do projektu układu sterowania
okre lonego obiektu przedstawia si jako ci g zło ony z nast puj cych etapów:
- sformułowania zadania;
- ustalenie matematycznego modelu obiektu;
- wyznaczenie sterowania optymalnego;
- wybór struktury układu sterowania;
- optymalizacja układu sterowania.
Tok post powania zwi zany z etapem ustalenia matematycznego modelu obiektu
i bezpo redniego sprz gania maszyny z obiektem polega na opracowywaniu metodyki
identyfikacji uwzgl dniaj cej nast puj ce wymagania:
- prostot realizacji algorytmu identyfikacji;
- ograniczony czas rozwi zywania zadania identyfikacji;
- sko czony czas obserwacji procesu identyfikacji;
- minimalne naruszenie naturalnych warunków przebiegania procesu przy
eksperymentach.
W zwi zku z powy szym nale y:
- maksymalnie ograniczy liczb zmiennych obiektu;
- maksymalnie upro ci posta równa obiektu;
- przyj mo liwie małe cz stotliwo ci próbkowania.
W przypadku obiektów prostych – na przykład zbiornika jako obiektu regulacji
poziomu czy pieca jako obiektu regulacji temperatury – mo na na ogół zagadnienie ideatyfikacji rozbi na cztery etapy:
- opracowanie metodyki identyfikacji;
- zainstalowanie odpowiedniej aparatury pomiarowej;
- dokonanie pomiarów;
- opracowanie wyników.
W przypadku obiektów zło onych – na przykład całych procesów technologicznych
– istotnie komplikuje si zagadnienie identyfikacji. Na ogół nie mo na opracowa
zupełnej metodyki identyfikacji. Przede wszystkim nale y wykona
prace
przygotowawcze obejmuj ce:
- ogólne zaznajomienie si z technologi obiektu automatycznego i sposobami
oceny jako ci;
- zaznajomienie si z mo liwo ciami pomiarowymi okre lenia stanu obiektu;
- opracowanie wst pnej ogólnej koncepcji sterowania i optymalizacji obiektu na
podstawie ogólnego opisu matematycznego obiektu.
Nast pnie przyst puje si do identyfikacji wst pnej zło onego obiektu obejmuj cej:
- opracowanie metodyki identyfikacji wst pnej;
- dokonanie pomiarów;
- opracowanie wyników.
106
Nowa Sól 12-13.05.2005 r.
VIII KONFERENCJA ODLEWNICZA TECHNICAL 2005
METODY I ALGORYTMY AUTOMATYCZNEJ IDENTYFIKACJI
WYBRANYCH PARAMETRÓW PROCESU TECHNOLOGICZNEGO
Opieraj c si na wynikach identyfikacji wst pnej tworzy si wst pn koncepcj
sterowania i sprawdza j w praktyce. Z reguły ujawniaj si istotne rozbie no ci mi dzy
rzeczywistym obiektem a modelem matematycznym, dla którego opracowano powy sz
koncepcj sterowania. Nale y wtedy powtórnie opracowa now metod identyfikacji;
dokona pomiarów i opracowa wyniki. Nast pnie nale y stworzy now koncepcj
sterowania i sprawdzi j na obiekcie.
W przypadku obiektów zło onych na ogół nie udaje si oddzieli zagadnienia
identyfikacji od zagadnienia algorytmu sterowania i dlatego identyfikacj przeprowadza
si iteracyjnie drog kolejnych przybli e
Istniej ce metody identyfikacji mo na ogólnie podzieli na metody identyfikacji
własno ci statycznych i własno ci dynamicznych. Zło ono zagadnienia optymalizacji
w przypadku obiektów o wielu wej ciach zmusza w praktyce in ynierskiej do
optymalizacji statycznej i dlatego metody identyfikacji własno ci statycznych nabieraj
szczególnego znaczenia.
Metody identyfikacji mo na uło y w porz dku chronologicznym powstania
w nast puj cy sposób [4]:
- metody analityczne;
- metody czasowe;
- metody cz stotliwo ciowe;
- metody korelacyjne;
- metody regresyjne;
- metody czynnikowe;
- metody aproksymacji stochastycznej;
- metody decyzji statystycznych.
Metody analityczne słu do znalezienia ogólnego opisu matematycznego procesu
przed przyst pieniem do identyfikacji eksperymentalnej. Opieraj si one na równaniach
bilansu materiałowego i bilansu energetycznego. Znaj c dane konstrukcyjne aparatury
technologicznej i parametry technologiczne procesu mo na w przypadkach prostszych
okre li nie tylko jako ciowe, ale i ilo ciowe własno ci dynamiczne obiektu. Metody
analityczne nabieraj aktualnie coraz wi kszego znaczenia w przypadku zło onych
procesów technologicznych.
Metody czasowe słu do wyznaczenia odpowiedzi na skok jednostkowy (niekiedy
równie na impuls jednostkowy) na podstawie bada eksperymentalnych przebiegów
przej ciowych obiektu.
Metody
cz stotliwo ciowe
słu
do
wyznaczania
charakterystyk
cz stotliwo ciowych obiektu na podstawie bada eksperymentalnych przebiegów
ustalonych obiektu powstałych przy wymuszeniach sinusoidalnych (harmonicznych).
Metody czasowe i metody cz stotliwo ciowe zostały opracowane w zasadzie dla
obiektów jednowymiarowych, mog one odda równie du e usługi przy badaniu
obiektów wielowymiarowych. Nale y jednak pami ta , e umo liwiaj one jedynie
identyfikacj modeli liniowych o stałych współczynnikach. Dlatego te w przypadku
zada
optymalizacyjnych, a wi c poszukiwania charakterystyk nieliniowych
(ekstremalnych) metody te nie mog by stosowane.
Metoda funkcji korelacji słu y do wyznaczania charakterystyk dynamicznych na
podstawie eksperymentu biernego, to znaczy obserwacji wej i wyj obiektu w czasie
jego normalnej pracy.
Metoda analizy regresyjnej pocz tkowo słu yła wył cznie do wyznaczania
charakterystyk statycznych na podstawie eksperymentu biernego. Ostatnio stosuje si j
równie do identyfikacji parametrów charakterystyk dynamicznych obiektów o działaniu
dyskretnym.
107
VIII KONFERENCJA ODLEWNICZA TECHNICAL 2005
Odlewnictwo XXI wieku
technologie, maszyny i urz dzenia odlewnicze
Metoda analizy czynnikowej, opieraj ca si na metodzie analizy regresyjnej, słu y
do tworzenia planów eksperymentu, umo liwiaj cego szybk identyfikacj nieznanych
parametrów charakterystyk statycznych.
Metoda aproksymacji stochastycznej podobnie jak metoda analizy regresywnej mo e
by stosowana do identyfikacji zarówno parametrów charakterystyk dynamicznych jak
i statystycznych.
Metoda decyzji statystycznych aktualnie mo e by stosowana wył cznie do
identyfikacji charakterystyk statycznych ze wzgl du na zło ony aparat matematyczny
teorii decyzji statystycznych.
3.
Identyfikacja za pomoc algorytmów optymalizacji statycznej lub dynamicznej.
Identyfikacja warto ci parametrów okre lonego modelu procesu technologicznego
mo e by realizowana za pomoc specjalizowanych algorytmów, na przykład algorytmu
Levenberga-Marquardta [3], albo z wykorzystaniem algorytmów optymalizacji statycznej
lub dynamicznej z ograniczeniami lub bez ogranicze .
Metody minimalizacji statycznej bez ogranicze dzieli si na dwie podstawowe
grupy [1,2]:
- metody bezgradientowe,
- metody gradientowe.
Wybór metody jest tutaj uzale niony od mo liwo ci zdefiniowania oraz obliczenia
gradientów funkcji f(x). Je eli dysponujemy algorytmem wyznaczaj cym warto funkcji
celu dla danego punktu x, a dodatkowo spodziewamy si , e nieregularny charakter funkcji
f oraz bł dy numeryczne przy wyznaczaniu warto ci f(x) spowoduj du niedokładno
aproksymacji warto ci gradientu tej funkcji ilorazami ró nicowymi, wówczas konieczne
jest zastosowanie jednej z odmian metod bezgradientowych.
W przypadku, gdy dysponujemy algorytmem wyznaczania warto ci funkcji f(x)
i gradient tej funkcji jest podany w postaci formuł analitycznych, celowe jest zastosowanie
metod gradientowych.
Je eli dysponujemy jedynie algorytmem wyznaczania warto ci funkcji f(x), ale
warto gradientu, cho nie jest on dany w postaci formuł analitycznych, mo e by z du
dokładno ci przybli ana przez ilorazy ró nicowe (estymacja gradientu), wówczas celowe
jest rozwi zywanie zadania minimalizacji bez ogranicze jedn z metod gradientowych,
współpracuj cych z metod estymacji gradientu.
Metody bezgradientowe mo na podzieli na [2]:
- metody poszukiwa prostych (na przykład metody: Hooke’a-Jeevesa,
Rosenbrocka, Neldera-Meada, metoda losowa),
- metody poprawy (metody: Powella oraz Daviesa-Swanna-Campeya).
Do metod gradientowych zalicza si [2]:
- gradientowe metody poprawy metod gradientu sprz onego,
- metody zmiennej metryki (na przykład metody: Davidona-Fletchera-Powella,
Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shanno i Fletchera).
Identyfikacja parametrów procesu technologicznego mo e by równie realizowana
za pomoc algorytmów optymalizacji funkcji celu z ograniczeniami [10]. W modelach
matematycznych szeregu procesów technologicznych, wyst powanie ogranicze jest
powszechne, st d celowe jest wykorzystanie metod optymalizacji z ograniczeniami. W
przypadku liniowej funkcji celu oraz ogranicze w postaci funkcji liniowych, mo na
zastosowa jedn z wielu metod programowania matematycznego liniowego, na przykład
108
Nowa Sól 12-13.05.2005 r.
VIII KONFERENCJA ODLEWNICZA TECHNICAL 2005
METODY I ALGORYTMY AUTOMATYCZNEJ IDENTYFIKACJI
WYBRANYCH PARAMETRÓW PROCESU TECHNOLOGICZNEGO
metod sympleksów. Je eli funkcja celu ma posta funkcji nieliniowej, za ograniczenia
maj posta funkcji liniowej to zadanie optymalizacji mo na rozwi za metodami:
- programowania kwadratowego (funkcja celu kwadratowa),
- gradientu sprz onego z rzutowaniem,
- zmiennej metryki z rzutowaniem.
W przypadku nieliniowej postaci funkcji celu i nieliniowych ogranicze
wyró ni nast puj ce grupy metod optymalizacji:
- metoda aproksymacji kwadratowych
- bezgradientowa metoda przesuwanej funkcji kary,
- metody gradientowe:
− przesuwanej funkcji kary,
− przesuwanej funkcji kary z rzutowaniem,
− przesuwanej funkcji kary z modyfikacj quasi-newtonowsk .
mo na
Bardzo istotne znaczenie ma mo liwo
zastosowania wybranej metody
programowania matematycznego nieliniowego do rozwi zywania zadania identyfikacji
dynamicznych procesów technologicznych. Przykład rozwi zywania pewnej klasy zada
optymalizacji dynamicznej z zastosowaniem metod programowania nieliniowego bez
ogranicze przedstawiono w pracy [2].
W dobie coraz powszechniej stosowanego podej cia rozmytego do wielu zagadnie
z dziedziny sterowania procesami technologicznymi nale y zauwa y , i w wielu
przypadkach praktycznych optymalizacj rozmyt mo na realizowa za pomoc metod
programowania matematycznego nieliniowego.
4.
Wnioski.
Tworzenie oprogramowania komputerowych systemów identyfikacji i sterowania
wybranymi
procesami
technologicznymi,
tak e
odlewniczymi,
wymaga
zaimplementowania odpowiednio dobranej metody optymalizacyjnej. Prowadzone w
Katedrze Mechanizacji, Automatyzacji i Projektowania Odlewni prace maj na celu
wykonanie biblioteki procedur optymalizacyjnych, które mo na zastosowa w ró nych
wersjach oprogramowania identyfikacyjnego i steruj cego. W pracach [5÷9]
przedstawiono niektóre przykłady aplikacyjne algorytmów identyfikacji wybranych
procesów odlewniczych.
Praca naukowa realizowana w ramach umowy z KBN nr 10.10.170.56.
5.
Literatura.
1. Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A.: Teoria i metody obliczeniowe
optymalizacji. PWN, Warszawa 1980.
2. Kr glewski T., Rogowski T., Ruszczy ski A., Szymanowski J.: Metody optymalizacji
w j zyku FORTRAN. PWN, Warszawa 1984.
3. Marquardt D.: An Algorithm for Least Squares Estimation of Nonlinear Parameters.
SIAM, 1963, pp. 431-442.
4. Söderström T., Stoica P.: Identyfikacja systemów. PWN, Warszawa 1997.
5. Ziółkowski E.: The Algorithm of the Automatic Identification of Dynamic
Technological Foundry Processes. Acta Metallurgica Slovaca 2/1998, Košice,
Slovakia, pp. 122-125.
109
VIII KONFERENCJA ODLEWNICZA TECHNICAL 2005
Odlewnictwo XXI wieku
technologie, maszyny i urz dzenia odlewnicze
6. Ziółkowski E.: Komputerowe systemy identyfikacji automatycznej oporowych i
indukcyjnych pieców odlewniczych. Acta Metallurgica Slovaca, 2/1999, Košice,
Slovakia, pp. 549-554.
7. Ziółkowski E.: Algorytm identyfikacji statystycznej systemów dynamicznych
wy szych rz dów. Mat. II Mi dzynarodowej Konferencji n.t.: „Tendencje rozwojowe
w mechanizacji procesów odlewniczych”. Kraków, 1999, s. 139-1144.
8. Ziółkowski E.: Program komputerowej automatycznej identyfikacji wybranych
dynamicznych procesów odlewniczych. Mat. XXIV Konferencji Naukowej z okazji
wi ta Odlewnika 2000. Kraków, 2000, s. 151-155.
9. Ziółkowski E.: Koncepcja modelowego stanowiska do automatycznej identyfikacji
elektrycznego pieca oporowego. Mat. XXVI Konferencji Naukowej z okazji wi ta
Odlewnika 2002. Wydział Odlewnictwa AGH, Kraków 2002, str. 59÷64.
10. Ziółkowski E.: Zastosowania programowania kwadratowego w identyfikacji
parametrów procesu technologicznego. Mat. XI Mi dzynarodowej Konferencji
Odlewników Polskich, Czeskich i Słowackich „WSPÓŁPRACA 2005”. ZakopaneKo cielisko, 2005,s. 189÷193.
110
Nowa Sól 12-13.05.2005 r.