Podróże po Imperium Liczb Część 12. Wielomiany

Transkrypt

Podróże po Imperium Liczb
Część 12. Wielomiany
Rozdział 7
7. Funkcje wymierne
Andrzej Nowicki 31 maja 2013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spis treści
7 Funkcje wymierne
7.1 Ułamki właściwe . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Ułamki proste . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Twierdzenie Abela . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Funkcje wymierne i jedna zmienna . . . . . . .
7.5 Funkcje wymierne i co najmniej dwie zmienne
7.6 Wielkie twierdzenie Fermata dla wielomianów
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
87
89
91
93
93
Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze LATEX.
Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie
autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.
7
Funkcje wymierne
Jeśli k jest ciałem, to przez k(x1 , . . . , xn ) oznaczamy ciało funkcji wymiernych zmiennych
x1 , . . . , xn nad k, czyli ciało ułamków pierścienia wielomianów k[x1 , . . . , xn ]. Każdy element
ciała k(x1 , . . . , xn ) jest postaci fg , gdzie f, g ∈ k[x1 , . . . , xn ], przy czym g 6= 0.
Zajmować się będziemy głównie elementami ciała k(x), czyli funkcjami wymiernymi jednej
zmiennej x nad ustalonym ciałem k. Tym ustalonym ciałem k będzie zwykle jedno z ciał
liczbowych: Q, R lub C. Przykłady funkcji wymiernych nad Q:
x+2
,
3x + 7
1
,
x−1
x3 + 2x2 + x − 1
,
x2 + 1
x2 + 1
.
3x3 + 2x2 − 3x + 12
Są to również funkcje wymierne nad R i nad C.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
7.1
Ułamki właściwe
Niech ϕ = fg (gdzie f, g ∈ k[x], g 6= 0) będzie funcją wymierną jednej zmiennej x nad
danym ciałem k. Mówić będziemy, że ϕ jest ułamkiem właściwym, jeśli stopień wielomianu f
jest ostro mniejszy od stopnia wielomianu g. Przykłady ułamków właściwych:
1
,
x−1
W szczególności 0 =
0
1
2x
,
+1
x2
x3
x+2
.
+ x2 + 2x + 1
jest ułamkiem właściwym.
7.1.1. Niech ϕ ∈ k(x) będzie ułamkiem właściwym. Ułamek ϕ jest wielomianem należącym
do k[x] wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ = 0.
D. Jeśli ϕ = 0, to oczywiście ϕ należy do k[x]. Niech ϕ = fg , f, g ∈ k[x], g 6= 0, deg f < deg g.
Załóżmy, że ϕ = fg = u ∈ k[x] i przypuśćmy, że ϕ 6= 0. Wtedy f = ug, f 6= 0, u 6= 0 i mamy
sprzeczność: deg g > deg f = deg(ug) = deg u + deg g > deg g. 7.1.2. Suma ułamków właściwych jest ułamkiem właściwym.
D. Niech ϕ, ψ ∈ k(x) będą ułamkami właściwymi. Niech ϕ = ab , ψ = dc , gdzie a, b, c, d ∈ k[x],
b 6= 0, d 6= 0, deg a < deg b, deg c < deg d. Wtedy ϕ + ψ = uv , gdzie u = ad + bc, v = bd 6= 0 i mamy:
deg(ad + bc) 6 max(deg(ad), deg(bc)) = max(deg(a) + deg(d), deg(b) + deg(c))
< max(deg(b) + deg(d), deg(b) + deg(d)) = deg(b) + deg(d)
=
deg(bd).
Zatem deg u < deg v, a zatem ułamek
u
v
jest więc właściwy. 7.1.3. Iloczyn ułamków właściwych jest ułamkiem właściwym.
D. Niech ϕ, ψ ∈ k(x) będą ułamkami właściwymi. Niech ϕ = ab , ψ = dc , gdzie a, b, c, d ∈ k[x],
b 6= 0, d 6= 0, deg a < deg b, deg c < deg d. Wtedy ϕ · ψ =
ac
bd
i
deg(ac) = deg(a) + deg(c) < deg(b) + deg(d) = deg(bd).
Ułamek ϕ · ψ jest więc właściwy. 83
84
Andrzej Nowicki, Wielomiany
7. Funkcje wymierne
Zanotujmy również oczywiste stwierdzenie,
7.1.4. Jeśli ϕ ∈ k(x) jest ułamkiem właściwym i λ ∈ k, to λϕ jest ułamkiem właściwym.
Ze powyższych stwierdzeń wynika następujący wniosek.
7.1.5. Zbiór wszystkich ułamków właściwych (należących do ciała k(x)) jest pierścieniem
przemiennym ze względu na dodawanie i mnożenie funkcji wymiernych. Jest to pieścień bez
jedynki. Pierścień ten jest k-algebrą.
7.1.6. Każda funkcja wymierna ϕ ∈ k(x) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
ϕ = ϕ1 + ϕ2 ,
gdzie ϕ1 jest wielomianem należącym do k[x] oraz ϕ2 ∈ k(x) jest ułamkiem właściwym.
D. Niech ϕ =
f
g,
f, g ∈ k[x], g 6= 0. Istnieją takie wielomiany u, r ∈ k[x], że f = ug + r,
deg r < deg g (patrz 3.1.1). Mamy wtedy równość ϕ = ϕ1 + ϕ2 , gdzie ϕ1 = u ∈ k[x] oraz ϕ2 = rq jest
ułamkiem właściwym.
Jednoznaczność. Przypuśćmy, że ϕ1 + ϕ2 = f = ϕ01 + ϕ02 , gdzie ϕ1 , ϕ01 ∈ k[x] i ϕ2 , ϕ02 ∈ k(x) są
ułamkami właściwymi. Mamy wtedy równość ϕ2 − ϕ02 = ϕ01 − ϕ1 , z której wynika, że ϕ2 − ϕ02 jest
wielomianem należącym do k[x]. Ale ϕ2 − ϕ02 jest ułamkiem właściwym (patrz 7.1.2). Z 7.1.1 wynika
więc, że ϕ2 − ϕ02 = 0. Zatem ϕ2 = ϕ02 i stąd ϕ1 = ϕ01 . 7.1.7. Niech g, h będą niezerowymi, względnie pierwszymi, wielomianami należącymi do k[x],
stopni większych od 0. Niech 0 6= f ∈ k[x], deg f < deg(gh), nwd(f, gh) = 1. Istnieją wtedy
takie jednoznacznie wyznaczone wielomiany u, v ∈ k[x], że
f
u v
= +
gh
g
h
oraz u 6= 0, v 6= 0, nwd(u, g) = 1, nwd(v, h) = 1, deg u < deg g, deg v < deg h.
D. Część I. Istnienie. Ponieważ wielomiany g i h są względnie pierwsze, więc istnieją takie wielomiany α, β ∈ k[x], że 1 = αg + βh. Istnieją również (patrz 3.1.1) takie wielomiany γ, δ, u, v ∈ k[x],
że
f β = γg + u, deg u < deg g, f α = δh + v, deg v < deg h.
Mamy zatem równości:
f
f αg + f βh
(δh + v)g + (γg + u)h
u v
=
=
=γ+δ+ + .
gh
gh
gh
g
h
Ułamki
f u v
, ,
są właściwe, więc (patrz 7.1.2) funkcja wymierna
gh g h
f
u v
− −
gh g
h
jest ułamkiem właściwym. Ale funkcja ta jest równa γ + δ, jest więc wielomianem należącym do k[x].
Zatem (na mocy 7.1.1) γ + δ = 0 i mamy równość
f
u v
= +
gh
g
h
7. Funkcje wymierne
85
oraz nierówności deg u < deg g, deg v < deg h. Zauważmy, że f = uh + vg.
Przypuśćmy, ze u = 0. Wtedy f = gv. Ponieważ wielomiany f i g są niezerowe i względnie pierwsze
(gdyż nwd(f, gh) = 1), więc stąd wynika, że g ∈ k. To jest jednak sprzeczne z tym, że deg g > 1. Zatem
u 6= 0 i w podobny sposób wykazujemy, że v 6= 0.
Należy jeszcze wykazać, że nwd(u, g) = nwd(v, h) = 1. Przypuśćmy, że istnieje wielomian p ∈ k[x],
stopnia większego od zera, dzielący wielomiany u i g. Wtedy p dzieli g oraz f (gdyż f = uh+vg), wbrew
temu, że nwd(f, g) = 1. Zatem nwd(u, g) = 1 i w podobny sposób wykazujemy, że nwd(v, h) = 1.
Część II. Jednoznaczność. Przypuśćmy, że
u v
u0
v0
+ =
+ ,
g
h
g
h
gdzie u, u0 , v, v 0 są niezerowymi wielomianami należącymi do k[x] i przy tym deg u < deg g, deg u0 <
deg g, deg v < deg h, deg v 0 < deg h. Wtedy
v0 − v
u − u0
=
g
h
i stąd (u − u0 )h = (v 0 − v)g. Wielomian (u − u0 )h jest więc podzielny przez g. Ale nwd(g, h) = 1, więc
g dzieli u − u0 i przy tym deg(u − u0 ) < deg g. Zatem u − u0 = 0, a zatem u = u0 . W podobny sposób
wykazujemy, że v = v 0 . Powyższe twierdzenie jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia.
7.1.8. Niech g1 , . . . , gn będą niezerowymi, parami względnie pierwszymi, wielomianami należącymi do pierścienia k[x], stopni większych od 0. Niech 0 6= f ∈ k[x], deg f < deg(g1 · · · gn ),
nwd(f, g1 · · · gn ) = 1. Istnieją wtedy takie jednoznacznie wyznaczone wielomiany u1 , . . . , un ∈
k[x], że
f
u1
un
=
+ ··· +
g1 · · · gn
g1
gn
oraz ui 6= 0, nwd(ui , gi ) = 1, deg ui < deg gi , dla wszystkich i = 1, . . . , n.
D. Część I. Istnienie. Dla n = 1 jest to oczywiste. Niech n > 2 i załóżmy, że dla n − 1 to jest
prawdą. Oznaczmy:
g = g1 g2 · · · gn−1 .
Wielomiany g i gn są niezerowe, względnie pierwsze i ich stopnie są większe od 0. Ponadto nwd(f, g ·
gn ) = 1 i deg f < deg(g · gn ). Z twierdzenia 7.1.7 wynika, że
f
u un
= +
,
g · gn
g
gn
gdzie u, un są niezerowymi wielomianami naleącymi do k[x] takimi, że nwd(u, g) = 1, nwd(un , gn ) = 1,
u
jest sumą
deg u < deg g, deg un < deg gn . Z załóżenia indukcyjnego wynika natomiast, że ułamek
g
ui
(n − 1) ułamków
(gdzie i = 1, . . . , n − 1), spełniających rozpatrywane warunki. Zatem
gi
u1
un
f
=
+ ··· +
g1 · · · gn
g1
gn
oraz ui 6= 0, nwd(ui , gi ) = 1, deg ui < deg gi , dla wszystkich i = 1, . . . , n.
Część II. Jednoznaczność. Przypuśćmy, że
u1
un
u0
u0
+ ··· +
= 1 + ··· + n,
g1
gn
g1
gn
86
7. Funkcje wymierne
gdzie ui , u0i , dla wszystkich i = 1, . . . , n, są niezerowymi wielomianami nalezącymi do k[x] takimi, że
nwd(ui , gi ) = 1, nwd(u0i , gi ) = 1, deg ui < deg gi , deg u0i < deg gi . Wtedy
v1
vn
+ ··· +
= 0,
g1
gn
gdzie vi = ui − u0i dla i = 1, . . . , n. Stąd otrzymujemy równość
v1 g2 · · · gn + v2 g1 g3 · · · gn + · · · + vn g1 · · · gn−1 = 0,
z której wynika, że wielomian v1 g2 g3 · · · gn jest podzielny przez g1 . Ale nwd(g1 , g2 g3 · · · gn ) = 1, więc
g1 dzieli v1 i przy tym deg v1 < deg g1 . Zatem u1 − u01 = v1 = 0, a zatem u1 = u01 . W podobny sposób
wykazujemy, że u2 = u02 , . . . , un = u0n . Rozpatrzmy wielomiany g1 = x − a1 , g2 = x − a2 , . . . , gn − an , gdzie a1 , . . . , an są parami
różnymi elementami ciała k. Są to niezerowe, parami względnie pierwsze, wielomiany należące
do k[x], stopni większych od zera. Z twierdzenia 7.1.9, zastosowanego dla tych wielomianów,
otrzymujemy następujący wniosek.
7.1.9. Niech a1 , . . . , an są parami różnymi elementami ciała k. Niech f ∈ k[x] będzie niezerowym wielomianem stopnia mniejszego niż n takim, ze f (ai ) 6= 0 dla i = 1, . . . , n. Istnieją
wtedy takie jednoznacznie wyznaczone niezerowe elementy λ1 , . . . , λn ∈ k, że
f
λ1
λn
=
+ ··· +
.
(x − a1 ) · · · (x − an )
x − a1
x − an
Założyliśmy tu, że f (ai ) 6= 0 dla wszystkich i = 1, . . . , n. Dzięki temu założeniu, istniejące elementy λ1 , . . . , λn są niezerowe. Bez tego założenia powyższy wniosek ma następującą
postać.
7.1.10. Niech a1 , . . . , an są parami różnymi elementami ciała k. Niech f ∈ k[x] będzie niezerowym wielomianem stopnia mniejszego niż n, Istnieją wtedy jednoznacznie wyznaczone
elementy λ1 , . . . , λn ∈ k takie, że
f
λ1
λn
=
+ ··· +
.
(x − a1 ) · · · (x − an )
x − a1
x − an
Zanotujmy kilka przykładów ilustrujących przedstawione powyżej fakty.
7.1.11.
1
(x−1)(x−2)
2
(x−1)(x−2)(x−3)
6
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)
24
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)
7.1.12.
x
(x−1)(x−2)
2x
(x−1)(x−2)(x−3)
6x
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)
24x
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)
1
= − x−1
+
=
1
x−1
−
2
x−2
1
= − x−1
+
=
1
x−1
−
1
x−1
−
=
1
x−1
−
1
x−3 ,
−
+
3
x−3
6
x−3
+
−
1
x−4 ,
4
x−4
+
1
x−5 .
2
x−2 ,
4
x−2
1
= − x−1
+
+
3
x−2
4
x−2
1
= − x−1
+
=
1
x−2 ,
+
6
x−2
8
x−2
3
x−3 ,
−
+
9
x−3
18
x−3
+
−
4
x−4 ,
16
x−4
+
5
x−5 .
7.1.13.
7. Funkcje wymierne
2x2
(x−1)(x−2)(x−3)
6x2
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)
24x2
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)
7.1.14.
1
x−1
=
−
8
x−2
1
+
= − x−1
1
x−1
=
2
(x−1)x(x+1)
=
24
(x−2)(x−1)x(x+1)(x+2)
=
6!
(x−3)(x−2)(x−1)x(x+1)(x+2)(x+3)
=
−
+
12
x−2
16
x−2
1
x−3
−
9
x−3 ,
−
+
87
27
x−3
54
x−3
+
−
16
x−4 ,
64
x−4
+
25
x−5 .
1
x−1
−
2
x
+
1
x+1 ,
1
x−2
−
4
x−1
+
6
x
−
4
x+1
+
1
x+2 ,
6
x−2
+
15
x−1
−
20
x
+
15
x+1
−
5
x+2
+
1
x+3 .
7.2
Ułamki proste
Niech k będzie ustalonym ciałem. Ułamkiem prostym nad k nazywamy każdą funkcję wymierną postaci gfn , gdzie n ∈ N, 0 6= f ∈ k[x] i g ∈ k[x] r k jest wielomianem nierozkładalnym
w k[x] oraz deg f < deg g. Poniższe funkcje wymierne są ułamkami prostymi nad ciałem R,
liczb rzeczywistych.
2
,
x−1
3
,
(x − 2)5
2x + 1
,
x2 + 1
x+5
,
(x2 + x + 1)7
1
.
(x2 + 5)3
7.2.1. Każda funkcja wymierna należąca do ciała k(x) jest sumą wielomianu należącego do
k[x] i ułamków prostych nad k.
D. ([MoS]). Niech ϕ =
f
g
∈ k(x), f, g ∈ k[x], g 6= 0. Jeśli ϕ = 0 lub g ∈ k, to ϕ jest wielomianem
i nie ma czego dowodzić. Załóżmy, że f =
6 0 i deg g > 1. Niech
αn
1
g = pα
1 · · · pn
będzie rozkładem wielomianu g na czynniki nierozkładalne; p1 , . . . , pn są parami niestowarzyszonymi
wielomianami nierozkładalnymi w k[x] oraz α1 , . . . , αn są liczbami naturalnymi. Zastosujemy indukcję
matematyczną względem n.
Niech n = 1. Wtedy
f
ϕ = α,
p
p = p1 , α = α1 . Wielomian f (patrz twierdzenie 3.1.4) ma jednoznaczne przedstawienie postaci
f = rs ps + rs−1 ps−1 + · · · + r1 p + r0 ,
gdzie s jest nieujemną liczbą całkowitą oraz r0 , r1 , . . . , rs są wielomianami należącymi do k[x], stopni
mniejszych niż deg p. Dzieląc f przez pα , otrzymujemy sumę wielomianu i ułamków prostych.
Niech n > 2 i załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n − 1. Oznaczmy:
α
n−1
1
h = pα
1 · · · pn−1 .
n
Ponieważ wielomiany h i pα
n są względnie pierwsze, istnieją takie wielomiany u, v ∈ k[x], że 1 =
αn
uh + vpn . Stąd
f
uf
vf
ϕ = = αn + α1
αn−1 .
g
pn
p1 · · · pn−1
Pierwszy składnik jest sumą wielomianu i ułamków prostych. Drugi składnik jest również, na mocy
założenia indukcyjnego, sumą wielomianu i ułamków prostych. Twierdzenie zostało zatem wykazane
w całej ogólności. 88
7. Funkcje wymierne
Ułamek prosty jest oczywiście niezerowym ułamkiem właściwym. Wiemy (patrz 7.1.6), że
każda funkcja wymierna ϕ ∈ k(x) ma jednoznaczne przedstawienie w postaci sumy wielomianu i ułamka właściwego. Twierdzenie 7.2.1 można zatem udowodnić inaczej. Wystarczy to
udowodnić tylko dla ułamków właściwych. W takim przypadku twierdzenie to wynika natychmiast z twierdzeń 7.1.8 i 3.1.4. Otrzymujemy nawet dodatkową informację o jednoznaczności
rozkładu. Zanotujmy:
7.2.2. Każdy niezerowy ułamek właściwy ma jednoznaczne przedstawienie w postaci skończonej sumy ułamków prostych.
Z twierdzenia 7.1.8 wynika również następna informacja o rozkładach na ułamki proste.
7.2.3. Niech 0 6= ϕ = fg ∈ k(x), f, g ∈ k[x], g 6= 0, deg g > 1, deg f < deg g, nwd(f, g) = 1.
Niech g = pα1 1 · · · pαnn będzie rozkładem wielomianu g na czynniki nierozkładalne; p1 , . . . , pn są
parami niestowarzyszonymi wielomianami nierozkładalnymi w k[x] oraz α1 , . . . , αn są liczbami
naturalnymi.
Wtedy w rozkładzie funkcji wymiernej ϕ na ułamki proste występują wszystkie ułamki
proste z mianownikami pα1 1 , . . . , pαnn .
Pewne przykłady rozkładów funkcji wymiernych na ułamki proste podaliśmy w poprzednim podrozdziale. Zanotujmy inne przykłady.
7.2.4.
7.2.5.
1
(x − 1)2 (x − 2)2
4
2
(x − 1) (x − 2)2 (x − 3)2
2
2
2
(x + 1)(x + 2)(x2 + 3)
(x2
1
+ 1)(x2 + x + 1)
x3
(x2 + 1)(x2 + x + 1)
1
(x2 + 1)(x2 + x + 1)2
1
2
2
(x + 1) (x2 + x + 1)
1
2
2
(x + 1) (x2 + x + 1)2
=
=
=
= −
1
2
1
2
+
+
−
,
(x − 1)2 x − 1 (x − 2)2 x − 2
1
3
4
1
3
+
+
+
−
,
2
2
2
(x − 1)
x − 1 (x − 2)
(x − 3)
x−3
1
2
1
− 2
+ 2
,
2
x +1 x +2 x +3
x2
x
1+x
+ 2
,
+1 x +x+1
1
1+x
+ 2
,
+1 x +x+1
1
1
1+x
= − 2
+
+
,
x + 1 x2 + x + 1 (x2 + x + 1)2
2x + 1
1
x
= − 2
− 2
+ 2
,
2
x + 1 (x + 1)
x +x+1
1
x
2x + 1
2x + 3
= − 2
− 2
+ 2
+ 2
.
2
x + 1 (x + 1)
x + x + 1 (x + x + 1)2
= −
x2
7. Funkcje wymierne
89
7.3
Twierdzenie Abela
7.3.1 (Twierdzenie Abela). Niech f (x) i g(x) będą niezerowymi wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Załóżmy, że deg g(x) = n > 2, deg f (x) 6 n − 2 oraz, że wielomian
g(x) ma n parami różnych pierwiastków rzeczywistych a1 , . . . , an . Wtedy
f (a1 )
f (a2 )
f (an )
+ 0
+ ··· + 0
= 0,
0
g (a1 ) g (a2 )
g (an )
gdzie g 0 (x) jest pochodną wielomianu g(x).
([InvM] 35(1976) 321-390, [Mon] 116(2009) 629-630).
D. (Shui-Hung Hou, [Mon] 116(2009) 629-630). Rozpatrzmy ułamek właściwy
f (x)
i zastosujmy
g(x)
do niego 7.1.10. Istnieją takie liczby rzeczywiste λ1 , . . . , λn , że
f
λ1
λn
=
+ ··· +
.
g
x − a1
x − an
Mamy wtedy równość f =
n
X
λi
i=1
n
X
g(x)
=
λi (x − a1 ) · · · (x\
− ai ) · · · (x − an ). Porównując współx − ai
i=1
czynniki przy xn−1 otrzymujemy, że λ1 + · · · + λn = 0. Mamy ponadto:
f (ai ) = λi
Y
g(x)
g(x) − g(ai )
(ai − aj ) = λi lim
= λi lim
= λi g 0 (ai ).
x→ai x − ai
x→ai
x − ai
j6=i
Zatem f (ai ) = λi g 0 (ai ) dla i = 1, . . . , n. Stąd
n
n
X
X
f (ai )
=
λi = 0. g 0 (ai )
i=1
i=1
W powyższym twierdzeniu zakładaliśmy, że wielomiany mają współczynniki rzeczywiste.
To założenie nie jest tu istotne. Ciało liczb rzeczywistych można zastąpić dowolnym ciałem
(nawet ciałem dodatniej charakterystyki).
7.3.2 (Twierdzenie Abela). Niech k będzie dowolnym ciałem , n > 2 liczbą naturalną oraz
a1 , . . . , an parami różnymi elementami ciała k. Niech g(x) = (x − a1 ) · · · (x − an ) i niech
f (x) ∈ k[x] będzie wielomianem stopnia mniejszego niż n − 1. Wtedy
f (a1 )
f (a2 )
f (an )
+
+ ··· + 0
= 0,
g 0 (a1 ) g 0 (a2 )
g (an )
D. Dla każdego i = 1, . . . , n, oznaczmy przez gi (x) wielomian g(x)/(x − ai ).
Rozpatrzmy ułamek właściwy
f (x)
i zastosujmy do niego 7.1.10. Istnieją takie elementy λ1 , . . . , λn ,
g(x)
należące do ciała k, że
f
λ1
λn
=
+ ··· +
.
g
x − a1
x − an
Mamy wtedy równość f = λ1 gi (x) + · · · + λn gn (x), z której wynika, że f (ai ) = λi gi (ai ) dla i =
1, . . . , n. Porównując współczynniki przy xn−1 , otrzymujemy równość λ1 + · · · + λn = 0. Ponadto
90
7. Funkcje wymierne
g 0 (x) = g1 (x) + . . . gn (x), więc g 0 (ai ) = gi (ai ) dla i = 1, . . . , n. Zatem f (ai ) = λi g 0 (ai ) dla i = 1, . . . , n.
n
n
X
X
f (ai )
Stąd
=
λi = 0. g 0 (ai )
i=1
i=1
W twierdzeniu Abela występują wielomiany jednej zmiennej. Istnieje podobnego typu
twierdzenie, zwane formułą Jacobiego, dla pewnych wielomianów dowolnej (skończonej) liczby
zmiennych. Sformułowanie, dowód i wnioski wynikające z tej formuły znajdziemy na przykład
w artykule Arkadiusza Płoskiego [Plo]. Twierdzenie Abela, nazywane również twierdzeniem
Eulera, jest szczególnym przypadkiem formuły Jacobiego.
Podamy teraz kilka zastosowań twierdzenia Abela.
7.3.3. Jeśli a, b, c są parami różnymi elementami ciała k, to:
(1)
1
1
1
+
+
= 0,
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
(2)
a
b
c
+
+
= 0.
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
7.3.4. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi elementami ciała k, to:
(1)
1
(a−b)(a−c)(a−d)
+
1
(b−a)(b−c)(b−d)
+
1
(c−a)(c−b)(c−d)
+
1
(d−a)(d−b)(d−c)
= 0,
(2)
a
+
b
+
c
+
d
= 0,
(3)
a2
+
b2
+
c2
+
d2
= 0.
n
X


1 
ai
7.3.5.
= 0, dla n > 3 i parami różnych liczb a1 , . . . , an . ([Crux] 2000 s.486).
a − aj
i=1
j6=i i
Y
Wszystkie powyższe równości są szczególnymi przypadkami twierdzenia Abela 7.3.2.
Drobne modyfikacje dowodu tego twierdzenia pozwalają udowodnić następujące, podobnego
typu, twierdzenie.
7.3.6. Niech k będzie dowolnym ciałem , n > 2 liczbą naturalną oraz a1 , . . . , an parami
różnymi elementami ciała k i niech g(x) = (x − a1 ) · · · (x − an ). Wtedy
an−1
an−1
an−1
n
1
2
+
+
·
·
·
+
= 1,
g 0 (a1 ) g 0 (a2 )
g 0 (an )
an1
an2
ann
+
+
·
·
·
+
= a1 + · · · + an ,
g 0 (a1 ) g 0 (a2 )
g 0 (an )
Zanotujmy szczególne przypadki tego twierdzenia.
7.3.7. Jeśli a, b, c są parami różnymi elementami ciała k, to:
(1)
a2
b2
c2
+
+
= 1,
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
(2)
a3
b3
c3
+
+
= a + b + c.
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
7. Funkcje wymierne
91
7.3.8. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi elementami ciała k, to:
(1)
a3
+
b3
+
c3
+
d3
= 1,
(2)
a4
+
b4
+
c4
+
d4
= a + b + c + d.
7.3.9. Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami rzeczywistymi, to
a4 +1
+
b4 +1
+
c4 +1
+
d4 +1
= a + b + c + d.
([Crux] 2000 s.511 z.2487, wynika to z poprzednich równości).
F P. A. Griffiths, Variations on a theorem of Abel, [InvM] 35(1976) 321-390.
Shui-Hung Hou, On a theorem of Abel, [Mon] 116(2009) 629-630.
7.4
Funkcje wymierne i jedna zmienna
7.4.1. Jeśli ciąg (a, b, c, d) jest arytmetyczny, to pierwiastki równania
1
1
1
1
+
+
+
=0
x−a x−b x−c x−d
tworzą również ciąg arytmetyczny.
([MaJ] 138).
7.4.2. Niech f ∈ R(x). Jeśli f (x) = f ( x1 ), to istnieje taka funkcja wymierna g ∈ R(x), że
1
f (x) = g x +
.
x
([Mat] 1/60 57).
7.4.3. Nie ma takich wielomianów f, g, h ∈ R[x] r R, że
1
f (x + 1) f (x)
−
=h
.
g(x + 1)
g(x)
x
([MM] 990).
7.4.4. Niech n ∈ N. Istnieje taki wielomian f (t) ∈ R[t], że
1
1
x − n =f x−
x
x
n
wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzyste.
([Putn] 1958).
U. ([G-gk]). Jeśli n jest parzyste, to nie ma nawet żadnej funkcji f : R → R takiej, że
1
1
xn − n = f x −
.
x
x
Gdyby taka funkcja f istniała, to dla x = 21 i x = −2 mielibyśmy
1
1
1
1
3
1
1
1
n
−2 =f
−
=f
−2 =f −
= f −2 −
= (−2)n −
= 2n − n ,
2n
2 1/2
2
2
−2
(−2)n
2
1
skąd wynikałaby sprzeczność: 2 2n − n = 0. 2
92
7. Funkcje wymierne
7.4.5. Dany trójmian kwadratowy f (x) zamieniamy na jeden z trójmianów
x2 f 1 +
1
x
lub (x − 1)2 f
1 .
x−1
Czy można otrzymać w ten sposób z trójmianu x2 + 4x + 3 trójmian x2 + 10x + 9 ?
Odp. Nie można. Przy takiej zamianie nie zmieniają się wyróżniki. ([OM] Rosja 1992, [Pa97]).
1
. Następujące warunki są równoważne.
ax + b
(1) Istnieją takie trzy różne liczby rzeczywiste p, q, r, że f (p) = q, f (q) = r i f (r) = p.
7.4.6. Niech a, b ∈ R, ab 6= 0 i niech f (x) =
(2) a = −b2 .
([OM] Szwecja 1993, [Crux] 1998 s.328).
7.4.7. Rozważmy n-tą pochodną funkcji wymiernej
1
,
xk −1
gdzie k ∈ N. Jest ona postaci
Pn (x)
,
− 1)n+1
(xk
gdzie Pn (x) jest wielomianem należącym do R[x]. Znaleźć Pn (1). Odp. Pn (1) = (−k)n n!.
([Putn] 2002).
7.4.8. Niech ϕ = ϕ(x) ∈ R(x). Załóżmy, że istnieje taki nieskończony podzbiór A ⊆ Q, że
ϕ(A) ⊆ Q. Wtedy ϕ ∈ Q(x). ([PoS] 130, 321 z.92, [Crux] 1999 s.143).
f (x)
, gdzie f (x), g(x) 6= 0 są względnie pierwszymi wielog(x)
mianami należącymi do R[x]. Niech r = deg f (x) + deg g(x). Możemy założyć, że deg f (x) > deg g(x)
f (x)
g(x)
(w przeciwnym wypadku zamieniamy
na
).
g(x)
f (x)
D. ([Crux] 1999 s.143). Niech ϕ(x) =
Dla r = 0 dowód jest oczywisty. Niech a będzie jedną z liczb wymiernych taką, że g(a) 6= 0 oraz
f (a)
∈ Q. Oznaczmy:
g(a)
f (a)
h(x) = f (x) − g(x)
.
g(a)
Wtedy h(x) jest wielomianem należącym do R[x] i takim, że h(a) = 0. Zatem h(x) = (x − a)f1 (x),
gdzie f1 (x) ∈ R[x], deg fa < deg f . Wtedy
f1 (b)
∈Q
g(b)
dla wszystkich b ∈ A r {a} oraz deg f1 + deg g < r. Zatem, na mocy indukcji,
ϕ=
f1
∈ Q(x) i stąd
g
f
∈ Q(x). g
7.4.9. Niech f (x), g(x) ∈ R[x]. Wiadomo, że dla nieskończenie wielu liczb wymiernych a
(x)
liczba f (a)/g(a) jest wymierna. Wykazać, że ułamek fg(x)
można zapisać jako iloraz dwóch
wielomianów o współczynnikach wymiernych. ([S-kg] 67, [OM] Iran 1994).
F A. S. Jarski, Liczby i funkcje, [Kw] 6/88 13-18.
X. Li, A. Liu, Some properties of functions of the form f (x) =
x2 +ax+b
x2 +cx+d ,
[MC] 14(2)(2001) 35-41.
7. Funkcje wymierne
93
7.5
Funkcje wymierne i co najmniej dwie zmienne
7.5.1. Jeśli xyz = 1, to
1
1
1
+
+
= 1.
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx
Jeśli xyzt = 1, to
1
1
1
1
+
+
+
= 1.
1 + x + xy + xyz 1 + y + yz + yzt 1 + z + zt + ztx 1 + t + tx + txy
([MaS] 4/1993).
7.5.2. Niech 0 6 x, y, z 6 1. Jeśli
x
y
z
3
+
+
=
,
1 + y + zx 1 + z + xy 1 + x + yz
x+y+z
to x = y = z = 1.
([OM] Węgry 1999).
7.5.3. Znaleźć wszystkie takie pary (a, b) ∈ R2 , że układ równań
x3 + y 3
= b,
x2 + y 2
x+y
= a,
x2 + y 2
ma rozwiązanie (x, y) ∈ R2 .
([OM] Czechy-Słowacja 1999).
9
8
lub (a, b) = (0, 0). oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
O. Układ ten ma rozwiązanie ⇐⇒ 0 < ab 6
7.6
Wielkie twierdzenie Fermata dla wielomianów
W tym podrozdziale zakładać będziemy, że k jest ciałem charakterystyki zero. Jeśli f jest
wielomianem należącym do k[t] r k, to przez η(f ) oznaczamy liczbę wszystkich różnych pierwiastków wielomianu f należących do k (algebraicznego domknięcia ciała k). Dla przykładu,
jeśli f = t3 − t2 = t2 (t − 1), to η(f ) = 2. Zanotujmy oczywiste własności liczb postaci η(f ).
7.6.1.
(1)
η(f ) 6 deg(f ).
(2)
η(f n ) = η(f ).
(3)
η(f g) 6 η(f ) + η(g).
(4)
η(f g) = η(f ) + η(g), gdy Jeśli nwd(f, g) = 1.
W dalszym ciągu istotną rolę odgrywać będzie następujące twierdzenie.
7.6.2 (Mason 1984). Niech a, b, c będą względnie pierwszymi wielomianami należącymi do
k[t] r k, gdzie k jest ciałem charakterystyki zero. Jeśli a + b = c, to
max{deg a, deg b, deg c} 6 η(abc) − 1.
([Maso], [Laen]).
94
7. Funkcje wymierne
D. ([Laen]). Z założeń wynika, że wielomiany a, b, c są parami względnie pierwsze. Rozpatrzmy
funkcje wymierne
a
b
f= , g= .
c
c
Należą one do ciała k(t) i ich suma f + g jest równa 1. Pochodna tej sumy jest zatem równa 0. Mamy
g0
f0
więc równość f 0 + g 0 = 0. Równość tę możemy zapisać jako f + g = 0 i stąd mamy:
f
g
−
f0
f
g0
g
=
g
b
= .
f
a
Każdą funkcję wymierną r(t) ∈ k(t) r k można jednoznacznie przedstawić w postaci
r(t) = R · (t − u1 )s1 (t − u2 )s2 · · · (t − un )sn ,
gdzie R ∈ k r {0}, u1 , . . . , un ∈ k, s1 , . . . , sn ∈ Z r {0} oraz elementy u1 , . . . , un są parami różne. Jest
oczywiste, że mamy wówczas równość:
r0
s1
sn
=
+ ··· +
.
r
t − u1
t − un
Przedstawmy wielomiany a, b, c w postaci iloczynów wielomianów nierozkładalnych:
a =
A · (t − α1 )l1 · · · (t − αL )lL ,
b
=
B · (t − β1 )m1 · · · (t − βM )mM ,
c
=
C · (t − γ1 )n1 · · · (t − γN )nN .
Tutaj A, B, C ∈ k r {0}, α1 , . . . , αL , β1 , . . . , βM , γ1 , . . . , γN są parami różnymi elementami ciała k
oraz l1 , . . . , lL , m1 , . . . , mM , n1 , . . . , nN są dodatnimi liczbami całkowitymi. Wówczas
L
N
X li
X nk
f0
=
−
,
f
t − αi
t − γk
i=1
k=1
a zatem
L
N
X mi
X nk
g0
=
−
,
g
t − βj
t − γk
j=1
k=1
X li
X nk
f0
−
b
f
t−α
t−γ
= − 0 = − X m j i X nk k .
g
a
−
t − βj
t − γk
g
Rozpatrzmy teraz wielomian
h(t) = (t − α1 ) · · · (t − αL )(t − β1 ) · · · (t − βM )(t − γ1 ) · · · (t − γN ).
Jest jasne, że
η(abc) = deg h,
f0
h ∈ k[t],
f
g0
h ∈ k[t]
g
0
oraz
f
b
f h
= − g0 .
a
g h
0
0
Stopień wielomianu ff h jest co najwyżej równy deg(h) − 1 = η(abc) − 1. Stopień wielomianu gg h jest
również co najwyżej równy deg(h) − 1 = η(abc) − 1. Ponieważ wielomiany a i b są względnie pierwsze,
więc z powyżej równości wynika, że deg a 6 η(abc) − 1 oraz deg b 6 η(abc) − 1. Ponadto,
deg c = deg(a + b) 6 max(deg a, deg b) 6 η(abc) − 1.
Zatem max{deg a, deg b, deg c} 6 η(abc) − 1. Andrzej Nowicki, Wielomiany
7. Funkcje wymierne
95
Spójrzmy na oczywistą równość:
t2 − 1
2
+ 2t2
2
2
= t2 + 1 .
Zachodzi ona w każdym pierścieniu wielomianów k[t]. Z równości tej wynika, że jeśli n = 2,
to równanie
Xn + Y n = Zn
ma nietrywialne rozwiązanie w pierścieniu k[t]. Pokażemy, że takich nietrywialnych rozwiązań
nie ma dla n > 2.
Wyjaśnijmy najpierw co rozumiemy mówiąc ”nietrywialne rozwiązanie”. Dla każdej liczby
naturalnej n, w pierścieniu R[t] zachodzi równość
t+1
n
+ t+1
n
=
√
n
2(t + 1)
n
.
Wielomian t + 1 możemy zastąpić dowolnym wielomianem i również taka równość zostanie
zachowana. Dla każdego wielomianu a zachodzi także równość
a2n+1 + (−a)2n+1 = 02n+1 .
Tego rodzaju rozwiązania nie są interesujące.
Niech a, b, c będą wielomianami należącymi do k[t]. Mówić będziemy, że trójka (a, b, c) jest
nietrywialnym rozwiązaniem równania X n + Y n = Z n w pierścieniu k[t], jeśli an + bn = cn
oraz spełnione są następujące trzy warunki:
(1) a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0;
(2) nwd(a, b, c) = 1;
(3) co najmniej jeden z tych wielomianów jest dodatniego stopnia.
Teraz możemy udowodnić:
7.6.3. Jeśli n > 3, to równanie
Xn + Y n = Zn
nie ma nietrywialnych rozwiązań w pierścieniu k[t] (gdzie k jest ciałem charakterystyki zero).
([Laen], [Mart]).
D. ([Laen]). Przypuśćmy, że istnieją takie niezerowe wielomiany a, b, c ∈ k[t], że trójka (a, b, c)
jest nietrywialnym rozwiązaniem rozpatrywanego równania.
Rozpatrzmy najpierw przypadki, w których co najmniej jeden z tych wielomianów należy do k.
Jeśli dwa z tych wielomianów należą do k, to trzeci nie należy (bo założyliśmy, że co najmniej jeden
nie należy) i wtedy ten trzeci jest algebraiczny nad k, co jest oczywiście sprzecznością. Załóżmy, że
dokładnie jeden z wielomianów a, b, c należy do k. Mamy wtedy równość typu f n ± g n = u, gdzie
0 6= u ∈ k oraz f, g ∈ k[t] r {0}. Wtedy wielomiany f i g są względnie pierwsze i po zróżniczkowaniu
mamy równość
nf n−1 f 0 = ∓ng n−1 g 0 ,
z której wynika, że g | f 0 oraz f | g 0 . Wtedy deg g 6 deg f 0 = deg f − 1, deg f 6 deg g 0 = deg g − 1 i
mamy sprzeczność: deg g 6 deg f − 1 6 deg g − 2.
Załóżmy teraz, że a, b, c ∈ k[t] r k, an + bn = cn i oznaczmy przez |a|, |b|, |c| odpowiednio stopnie
wielomianów a, b, c. Przypomnijmy, że wielomiany a, b, c są względnie pierwsze.
96
Wielomiany
7. Funkcje wymierne
Z Twierdzenia Masona 7.6.2 otrzymujemy:
n|a| =
deg(an ) 6 max{deg an , deg bn , deg cn }
6 η(an bn cn ) − 1 = η(abc) − 1
6 deg(abc) − 1 = |a| + |b| + |c| − 1,
Zatem n|a| 6 |a| + |b| + |c| − 1. Analogicznie:
n|b| 6 |a| + |b| + |c| − 1
oraz
n|c| 6 |a| + |b| + |c| − 1.
Po dodaniu tych trzech nierówności stronami mamy
n(|a| + |b| + |c|) 6 3(|a| + |b| + |c|) − 3
i stąd otrzymujemy sprzeczność: n 6 3 −
3
< 3. |a| + |b| + |c|
W powyższych dowodach istotną rolę odgrywało twierdzenie Masona 7.6.2. Zanotujmy
jeszcze inne zastosowanie tego twierdzenia.
7.6.4. Równanie x4 + y 4 = z 2 nie ma nietrywialnych rozwiązań w pierścieniu wielomianów
k[t], gdzie k jest ciałem charakterystyki zero.
D. Przypuśćmy, że istnieją niezerowe (i względnie pierwsze) wielomiany a, b, c ∈ k[t] spełniające
równość a4 + b4 = c2 , z których co najmniej jeden nie należy do k.
Rozpatrzmy najpierw przypadki, w których co najmniej jeden z tych wielomianów należy do k.
Jeśli dwa z tych wielomianów należą do k, to trzeci nie należy i wtedy ten trzeci jest algebraiczny
nad k, co jest oczywiście sprzecznością. Załóżmy, że dokładnie jeden z wielomianów a, b, c należy do
k. Mamy wtedy równość typu f n ± g m = u, gdzie 0 6= u ∈ k m, n > 2 oraz f, g ∈ k[t] r {0}. Wtedy
wielomiany f i g są względnie pierwsze i po zróżniczkowaniu mamy równość nf n−1 f 0 = ∓mg m−1 g 0 , z
której wynika, że g | f 0 oraz f | g 0 . Wtedy
deg g 6 deg f 0 = deg f − 1,
deg f 6 deg g 0 = deg g − 1
i mamy sprzeczność: deg g 6 deg f − 1 6 deg g − 2.
Załóżmy teraz, że a, b, c ∈ k[t] r k, a4 + b4 = c2 i oznaczmy przez |a|, |b|, |c| odpowiednio stopnie
wielomianów a, b, c. Przypomnijmy, że wielomiany a, b, c są względnie pierwsze. Na mocy Twierdzenia
Masona 7.6.2 mamy:
4|a| =
deg(a4 ) 6 max{deg a4 , deg b4 , deg c2 }
6 η(a4 b4 c2 ) − 1 = η(a2 ) + η(b4 ) + η(c2 ) − 1 = η(abc) − 1
6 deg(abc) − 1 = |a| + |b| + |c| − 1,
Zatem 4|a| 6 |a| + |b| + |c| − 1. Analogicznie:
4|b| 6 |a| + |b| + |c| − 1
oraz
2|c| 6 |a| + |b| + |c| − 1.
Po dodaniu pierwszych dwóch nierówności stronami mamy 4(|a| + |b|) 6 2(|a| + |b| + |c|) − 2, czyli
|a|+|b| 6 |c|−1 i stąd otrzymujemy sprzeczność: 2|c| 6 |a|+|b|+|c|−1 6 |c|−1+|c|−1 = 2|c|−2 < 2|c|.
W powyższym twierdzeniu założenie o zerowej charakterystyce ciała k jest istotne. Jeśli
char(k) = 2, to (t + 1)4 + t4 = 12 . Przepisując dowód twierdzenia 7.6.3 z drobnymi modyfikacjami otrzymujemy:
7.6.5. Jeśli n, m, s > 3, to nie istnieją niezerowe i względnie pierwsze wielomiany a, b, c ∈ k[t]
(gdzie k jest ciałem charakterystyki zero), z których co najmniej jeden nie należy do k takie,że
an + bm = cs .
Wielomiany
7. Funkcje wymierne
97
Literatura
[Crux] Crux Mathematicorum, Canadian Mathematical Society, popolarne matematyczne czasopismo
kanadyjskie.
[G-gk] A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly, The William Lowell Putnam Mathem. Competition. Problems and Solutions 1938 − 1964, The Math. Assoc. America, 1980.
[InvM] Inventiones Mathematicae, (Invent. math.), Journal, Springer.
[Kw]
Kwant, popularne czasopismo rosyjskie.
[Laen] E. Laeng, Fermat’s last theorem for polynomials, Parabola, 35(1)(1999), 3-7.
[MaJ] The MATYC Journal, Mathematics Associations of Two-Years Colleges Journal.
[Mart] B. Martynowa, Twierdzenie Fermata dla wielomianów (po rosyjsku), Kwant 8/1976, 12-16.
[MaS] Matematyka w Szkole, popularne czasopismo rosyjskie.
[Maso] R. C. Mason, Diophantine equations over function fields, London Mathh. Soc., Lecture Notes
96, Cambridge University Press, 1984.
[Mat] Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli.
[MC] Mathematics Competitions, popularne czasopismo matematyczne
[MM] Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne.
[Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America.
[MoS] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, (wydanie 8), Warszawa 1975.
[OM] Olimpiada Matematyczna.
[Pa97] H. Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 1997.
[Plo]
A. Płoski, Lectures on polynomial equations: Max Noether’s fundamental theorem, the Jacobi
formula and Bézout’s theorem, Materiały 31 Konferencji Szkoleniowej z Geometrii Analitycznej
i Algebraicznej Zespolonej, Łódź 2010, 15-26.
[PoS] G. Pólya, G. Szegö, Problems and Theorems in Analysis, Springer–Verlag 11, N.York 1976.
[Putn] Putnam (William Lowell) Mathematical Competition.
[S-kg] W. A. Sadowniczij, A. A. Grigorjan, S. W. Konjagin, Zadania Studenckich Olimpiad Matematycznych (po rosyjsku), Moskwa, 1987.

Podróże po Imperium Liczb Część 12. Wielomiany

Transkrypt

Podobne dokumenty

zał. nr 1.7.10. do SIWZ - KARTA_DOBORU_WYMIENNIKA_CT

orzechy pior¡ce eko 200g tast - sklep

wymiana (transport) ciepła

przenikanie ciepła

WYMIANA CIEPŁA:

Wózek 4w1 Chicco I-Move Top Black (gondola

CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH