Scenariusz zajęć cz. 1

Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki
Wydziału Matematyki i Informatyki
Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Opracowanie – Marlena Fila (na podstawie warsztatów prof. Adama Płockiego)
KONSPEKT WYKŁADU Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA DLA GIMNAZJUM
CZĘŚĆ PIERWSZA
I
Restauracja.
1 Sześcioosobowa rodzina idzie na obiad do restauracji. Kelner wskazuje im wolny stolik na 6
osób i mówi: jeżeli będziecie jadać u mnie obiady codziennie i za każdym razem usiądziecie
inaczej przy stole, to od dnia, kiedy wyczerpane zostaną wszystkie możliwości i układ przy
stole się powtórzy, jadacie u mnie obiady za darmo. Po jakim czasie rodzina będzie jadać
obiady za darmo?
A Aby się tego dowiedzieć, musimy wiedzieć, ile jest możliwości usadzenia przy stole
sześcioosobowej rodziny.
a Na początku wszystkie miejsca przy stoliku są wolne. Sadzamy pierwszą osobę. Na
ile możliwości możemy to zrobić? Skoro wszystkie miejsca są wolne, to mamy 6
możliwości.
b Sadzamy drugą osobę – na ile możliwości możemy to zrobić? Jedno miejsce jest
zajęte, pozostało 5 miejsc wolnych, mamy zatem 5 możliwości.
c A ile jest możliwości usadzenia czwartej/piątej/szóstej osoby?
d Zatem ile jest wszystkich możliwości usadzenia tej rodziny przy stole?
6*5*4*3*2*1=720. Taki iloczyn możemy zapisać inaczej, przy pomocy symbolu
zwanego silnią. 6!=1*2*3*4*5*6 n! to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.
Ile to będzie 2!? A 4!?
e Więc po jakim czasie rodzina będzie jadać za darmo? 720 dni to prawie 2 lata!
B Zadanie domowe: gdyby rodzina była siedmioosobowa, po jakim czasie jadałaby obiady
za darmo?
II
Lotto:
1 Rozdanie kuponów uczniom; wypełnianie kuponów przez uczniów. (Wybór 6 liczb z 49.)
2 Losowanie. (doświadczenie)
3 Dyskusja:
A Pytania:
a Czy ktoś trafił szóstkę?
b Kto trafił piątkę/czwórkę/trójkę?
c Jak myślicie, ile jest wszystkich możliwości wypełnienia kuponu?
B Policzenie (zapisanie) liczby możliwości wypełnienia kuponu:
a Gdy maszyna losuje pierwszą kulę, w bębnie jest 49 ponumerowanych kul. Zatem na
ile możliwości może zostać wylosowana pierwsza kula? (Każda z kul znajdujących się
w bębnie może zostać wylosowana – ma na to takie same szanse – zatem możliwości
wyboru pierwszej kuli jest 49.)
b Pierwsza kula została już wylosowana. Na ile możliwości może zostać wylosowana
druga kula? (Losujemy już nie z 49, ale z 48 kul, bo pierwsza wylosowana kula nie
wraca do bębna. Możliwości mamy 48.)
c Losujemy trzecią kulę. Ile mamy możliwości?
ul. Umultowska 87, Collegium Mathematicum, 61-614 Poznań
[email protected]
www.studmat.wmi.amu.edu.pl
strona 1 z 3
Ile jest możliwości wylosowania kuli czwartej/piątej/szóstej?
Zatem ile możliwych sposobów może zostać wylosowane 6 kul z 49? Pierwsza kula
na 49 sposobów, druga na 48, trzecia na 47, czwarta na 46, piąta na 45 i ostatnia na
44 sposoby, czyli wszystkich możliwych wyników takiego losowania jest:
49*48*47*46*45*44, co w wyniku daje 10 068 347 520.
f Ale w ten sposób uwzględniliśmy kolejność wylosowanych liczb. A przecież w Lotto
jest ona nieważna. Musimy zatem podzielić otrzymany wynik przez liczbę wszystkich
możliwych ustawień sześciu elementów. Ile ich jest? Wylosowanych jest 6 kul, które
można ustawić na 6! (czyli 720) możliwości.
g Więc ostatecznie 6 kul spośród 49 może zostać wylosowane na 13 983 816
sposobów.
Prawdopodobieństwo.
a A jakie jest prawdopodobieństwo głównej wygranej, tzn. trafienia szóstki?
1/13 983 816. A dlaczego?
b Co to znaczy, że coś jest prawdopodobne? Mówiąc o prawdopodobieństwie czegoś,
mamy na myśli jakieś doświadczenie losowe czyli coś, co się dopiero wydarzy. Kupon
lotto wypełniamy przed losowaniem. Takie losowanie jest doświadczeniem losowym,
bo jego wynik zależy od przypadku.
c Trafienie szóstki. Czy wypełniając kupon, jest pewne, że trafisz szóstkę? Nie. Czy jest
niemożliwe? Nie. Jest to prawdopodobne.
d Powiedzieliśmy już sobie o zdarzeniu losowym – to takie zdarzenie, którego wynik
zależy od przypadku. Wszystkie możliwe wyniki losowania (wyboru 6 liczb z 49) są
jednakowo prawdopodobne. (Każdy z możliwych układów cyfr ma jednakowe szanse
„wypadnięcia” w losowaniu.) Tworzą one przestrzeń zdarzeń elementarnych. Czyli
jeszcze raz: przestrzeń zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich możliwych
wyników doświadczenia losowego.
e Gdy ustalaliśmy prawdopodobieństwo głównej wygranej zapisaliśmy, że wynosi ono
1/13 983 816. Skąd się wziął ten ułamek i jedynka w liczniku? Trafić szóstkę znaczy
skreślić na kuponie dokładnie te cyfry, które zostaną wylosowane przez maszynę.
Maszyna losuje jeden ze wszystkich możliwych układów cyfr, mamy zatem tylko jedną
możliwość trafienia szóstki. Możemy powiedzieć inaczej: tylko jedno zdarzenie sprzyja
głównej wygranej. Takie zdarzenie nazywamy zdarzeniem sprzyjającym.
f Czyli prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia – w naszym przypadku wypadnięcia
szóstki – jest równe liczbie zdarzeń sprzyjających zajściu tego zdarzenia podzielonej
przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych – czyli w naszym losowaniu:
1/13 983 816. (tw. klasyczne)
g A jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie następujący układ cyfr: 2, 17, 0, 41,
52, 36? Wszystkich zdarzeń elementarnych wiemy, ile jest: 13 983 816. A zdarzeń
sprzyjających… brak. Skoro losujemy liczby spośród liczb od 1 do 49, jest niemożliwe,
że wylosowane zostanie 0 albo 52. Zatem ile wynosi prawdopodobieństwo? Zero. To
zdarzenie jest niemożliwe. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi
zero.
h Zastanówmy się jeszcze, ile losów trzeba kupić, by mieć pewną wygraną. Żeby być
pewnym trafienia szóstki, musielibyśmy na kuponach skreślić wszystkie możliwe
wyniki tego losowania. (jeden z nich na pewno wypadnie) Policzyliśmy już sobie
wcześniej, że jest ich 13 983 816. Musielibyśmy zatem kupić 13 983 816 losów, żeby
być pewnym wygranej. Ile zatem wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego?
Zdarzeń elementarnych: 13 983 816, zdarzeń sprzyjających: 13 983 816, zatem
d
e
C
Znak sprawy
strona 2 z 3
D
Znak sprawy
prawdopodobieństwo jest równe 13 983 816 /13 983 816 =1. Prawdopodobieństwo
zdarzenia pewnego wynosi 1.
i Jaki wniosek możemy wysnuć z dwóch ostatnich sytuacji? Jaką liczbą jest
prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia? Coś jest prawdopodobne to znaczy nie jest
niemożliwe i nie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0,
prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1, zatem prawdopodobieństwo jest
liczbą większą bądź równą zero i mniejszą bądź równą jeden.
Zadanie domowe:
a Jakie są szanse głównej wygranej w Mini-Lotto? (losowanie 5 kul z 42)
b Jaka jest liczba zdarzeń elementarnych losowania Mini-Lotto?
c Ile pieniędzy trzeba wydać na losy, aby być pewnym wygranej?
d Czy szanse głównej wygranej są większe czy mniejsze niż w Lotto?
strona 3 z 3